曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导

一、曲线坐标系下连续性方程的推导

曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导

一、曲线坐标系下连续性方程的推导

首先对有限体积内的质量运动运用拉格朗日观点并根据质量守恒定律推导与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程：

质量守恒定律告诉我们，同一流体的质量在运动过程中不生不灭。

在流体中取由一定流体质点组成的物质体，其体积为τ，质量为m ，则

m τ

ρδτ=⎰

()1.1

为了与随体符号d 区别开来，这里用δ来表示对坐标的微分。 根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立

()0dm d

dt dt

τ

ρδτ==⎰

()1.2

根据公式：

(

)

()d div dt

t

ττϕϕδτϕδτ∂⎛⎫

=+ ⎪∂⎝⎭

⎰⎰v ()1.3，得 (

)

()0dm d

div dt dt

t ττρρδτρδτ∂⎛⎫

==+= ⎪∂⎝⎭

⎰⎰v ()1.4

因τ是任意取的，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，于是有：

()0div t

ρ

ρ∂+=∂v

()1.5

()1.5式就是与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程。下面将写出它在曲线坐标下

的形式。

因为()()()1232313121231231

a H H a H H a H H div H H H q q q ∂∂∂⎡⎤=

++⎢⎥∂∂∂⎣⎦

a

()1.6

所以()()()()1232313121231231

v H H v H H v H H div H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤=

++⎢⎥∂∂∂⎣⎦

v

()1.7

将()1.7式代入()1.4得到曲线坐标下连续性方程的形式为：

()()()1232313121231231

0v H H v H H v H H t H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤∂+++=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦

()1.8

二、曲线坐标系下N S -方程的推导

首先根据动量定理推导与坐标系选取无关的微分形式的N S -方程：

任取一体积为τ的流体如图1所示，设其边界面为S ，根据动量定理，体积τ中流体动量的变化率等于作用在该体积上质量力和面力之和。以F 表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而n p 表示作用于单位面积上的面力分布函数。

则作用在τ上和S 上的总质量力和面力为

ρδτ⎰F

及

s

S δ⎰

n p

其次，体积τ内的动量是

τρδτ⎰v

于是，动量定理可写成下列表达式：

s d

S dt τ

τρδτρδτδ=+⎰⎰⎰n v F p

()2.1

利用公式d d dt dt

ττρδτρ

δτ=⎰⎰a

a ，得： d d dt dt

ττρδτρδτ=⎰⎰v

v

()2.2 再利用的是高斯公式得：

div s

s

s P s P τ

δδδτ==⎰

⎰⎰g n p n

()2.3

其中P 是应力张量。

将()2.2和()2.3式代入()2.1式，整理得：

(div )0d P dt

τ

ρ

ρδτ--=⎰v

F 因τ任意，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，即

div d P dt

ρ

ρ=+v

F

()2.4

()2.4式就是微分形式的动量方程，易见，它与坐标系的选取无关，下面将写出它在曲

线坐标下的形式。

因为

123(,,,)q q q t =v v

故

图1

3

12123dq dq dq d dt t q dt q dt q dt ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v v 112233112233111()/H dq H dq H dq dt t H q H q H q ∂∂∂∂=

+++∂∂∂∂v v v v 3

12123()ds ds ds t s dt s dt s dt ∂∂∂∂=

+++∂∂∂∂v v v v

()2.5

上式中利用到等式：

111ds H dq =，222ds H dq =，333ds H dq =

现在进一步处理()2.5式右端的第二项

Q

112233v e v e v e =++r r r

v ，根据定义有

3

1

2

123,,ds ds ds v v v dt

dt

dt

=

=

=

故

123123

()d v v v dt t s s s ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v v

()2.6

又

1111223311()v v v e v e v e s s ∂∂=++∂∂r r r v 111223311()v v e v e v e H q ∂=++∂r r r 3311212

1231231111111()v e v v v e e e e e v v v H q q q q q q ∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂r r r

r r r

()2.7

考虑到：

11123

12233

211

1

22311

1

331111e H H e e q H q H q e H e q H q e H e q H q ⎧∂∂∂=--⎪

∂∂∂⎪⎪∂∂=⎨∂∂⎪⎪∂∂=⎪∂∂⎩r

r r

r r

r r

()2.8

122

211

222312

3311

322

2

33

1111e H e q H q e H H e e q H q H q e H e q H q ⎧∂∂=

⎪

∂∂⎪⎪∂∂∂=--⎨∂∂∂⎪⎪∂∂=

⎪∂∂⎩r r

r r r

r r

()2.9