概率论基础复习及答案

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概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

第一章随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是：（）A ．AB AC + B ．()A B C +C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则（）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为：（）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是（）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是（）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有（）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有（）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是（）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则（）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则（）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于（）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示（）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=，则P A B C -=U （）（）.A ．B ．C ．D ．17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为（）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为（）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（）。

概率论知识点整理及习题答案

概率论知识点整理及习题答案概率论知识点整理及习题答案第一章随机事件与概率1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。

（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。

（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。

而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。

特别地，=A、AU= 、AI=φ。

2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。

我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。

而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。

3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。

其中基本事件也称为样本点。

而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。

通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。

在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。

而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。

为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。

这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。

条件发生变化，事件的性质也发生变化。

例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。

而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。

例如：（1）={3，4，5，L，18}。

（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。

李贤平-概率论基础答案

<M
的数，哪
k2
次取到>M
的数，这共有
C k1 n
×k2 n−k1
种不同的固定方式，因此
k1
次取到<M
的
数，
k2 次取到>M
的数的可能取法有
C k1 n
×k2 n−k1
(M
− 1) k1
(N
−
M
)k2
种。
设 B 表示事件“把取出的 n 个数从小到大重新排列后第 m 个数等于 M“，则 B 出现就
是 k1 次取到<M 的数， k2 次取到>M 的数的数，0 ≤ k1 ≤ m −1,0 ≤ k2 ≤ n − m ，因此 B 包含
（6） E1 中还有这样的点 ω ：12345，它仅属于 E1 ，而不再属于其它 Ei (i ≠ 1,0) 。诸 Ei 之间的
关系用文图表示（如图）。
8、解：（1）因为 (1+ x)n = 1 + Cn1 x + Cn2 x 2 +
+
nC
n n
x
n
，两边对
x
求导得
n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + + nCnn x n−1 ，在其中令 x=1 即得所欲证。
就不是运动员的学生全体时成立。也可表述为：当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学生，并且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。
5、解：设袋中有三个球，编号为 1，2，3，每次摸一个球。样本空间共有 3 个样本点（1），
（2），（3）。设 A = {1,2}, B = {1,3}, C = {3}，则 A = {3}, A ∪ B = {1,2,3}, A ∩ B = {1}, A − B = {2},

《概率论基础》(李贤平)第三版-课后答案

第一章事件与概率1、解：(1) P｛只订购A 的｝=P{A(B∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30.(2) P｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07(3) P｛只订购A 的｝=0.30,P｛只订购B 的｝=P{B-(A∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23.P｛只订购C 的｝=P{C-(A∪B)}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.∴P｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73.(4)P{正好订购两种报纸的}＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC)=(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.(5)P｛至少订购一种报纸的｝= P｛只订一种的｝+ P｛恰订两种的｝+ P｛恰订三种的｝=0.73+0.14+0.03=0.90.(6) P｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10.2、解：（1）ABC =A ⇒BC ⊃A( A BC ⊂A显然) ⇒B ⊃A且C ⊃A ，若A发生，则B 与C 必同时发生。

（2）A ∪ B ∪ C =A ⇒B ∪ C ⊂A ⇒B ⊂A且C ⊂ A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。

（3）AB ⊂C ⇒A与B 同时发生必导致C 发生。

（4）A ⊂BC ⇒A ⊂B ∪ C ，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。

3、解： A1 ∪ A2 ∪…∪ A n =A1 + ( A2 -A1 ) +… + ( A n -A1 -… -A n-1 )(或)＝A1 +A2 A1 +…+A n A1 A2 … A n-1 ．4、解：（1）ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。

概率论重点及课后题答案1

第1章随机事件与概率一、大纲要求（1）理解随机事件的概率，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算.（2）了解概率的统计定义和公理化定义，掌握概率的基本性质.（3）会计算古典概型的概率和几何概型的概率.二、重点知识结构图三、基础知识1.随机试验的特征（1）试验可以在相同的条件下重复地进行.（2）试验的可能结果不止一个，但明确知道其所有可能会出现的结果.（3）在每次试验前，不能确知这次试验的结果，但可以肯定，试验的结果必是所有可能结果中的某一个.2.样本空间在讨论一个随机试验时，试验的所有可能结果的集合是明确知道的，称这个集合为该实验的样本空间，常用()S Ω或表示，其元素称为样本点，常用ω记之，它是试验的一个可能结果.3.随机事件在实际问题中，面对一个随机试验，人们可能会关心某些特定的事情在重复试验下是否会发生.例如，投资者关心明日收市股价是否上涨，即明日股价>今日收市价，它是样本空间的一部分.因此，称样本空间的一些子集为随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A B C 、、记之.4.事件的关系和运算一个较为复杂的事件，通过种种关系，可使其与一些较为简单的事件联系起来，这时，我们就可设法利用这种联系，通过简单的事件去研究那些较为复杂的事件，用已知的事件去表示未知的事件.5.事件的蕴含与包含若当事件A 发生时B 必发生，则称A 蕴含B ，或者说B 包含A ，记作A B ⊂.6.事件的相等若A 与B 互相蕴含，即A B ⊂且B A ⊂，则称事件A 与B 相等，记为A B =.7.事件的互斥(或称互不相容)若事件A B 、不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生)，则称它们是互不相容的或互斥的.若一些事件中的任意两个事件都互不相容，则称这些事件是两两互不相容的，或简称互不相容的.8.事件的对立（或称逆）互不相容的一个重要特例是“对立”.称事件{}B A =不发生为A 的对立事件或逆事件，常记作A .9.事件的并（或称和）对给定的事件A 、B ，定义一个称为并或和的事件，以A B 记之.A B ={A 发生或B 发生}={A 、B 至少有一个发生}10.事件的交（或称积）对给定的事件A 、B ，定义一个称为交或积的事件，以AB 记之.AB ={A 发生且B 发生}={A 、B 同时发生}11.事件的差两个事件A 、B 之差，记为A B -.其定义是：A B -={A 发生但B 不发生}={A 发生且B 发生}从定义可看出：A B -=AB .12．事件域定义称样本空间Ω的一些子集所组成的集合F 为事件域.如果满足以下3个条件：①Ω∈F ；②若A ∈F ,则A ∈F ③若i A ∈F （1,2,i = ）,则1nii A =∈ F ;称F a 中的元素为事件. 13.概率的统计定义定义若事件A 在n 次试验中出现了r 次，则称比值/r n 为事件A 在n 次试验中出现的频率记作()n f A ，即()n r f A n= 式中r 称为事件A 在n 次试验中出现的频数.概率的统计定义在同一组条件下所作的大量重复试验中，事件A 出现的频率总是在区间（0,1）上的一个确定的常数p 附近波动，并且稳定于p ，则称p 为事件A 的概率，记为()P A .即()P A p =14.古典概率定义古典概率定义在古典概型中，如果基本事件的总数为n （n 为有限数），事件A 所包含的样本点个数为r （r n ≤），则定义事件A 的概率()P A 为/r n .即()r A P A n ==中包含的样本点个数基本事件总数15.概率的公理化定义定义设Ω是样本空间，A 是随机事件，即A 是Ω上事件域F a 中的一个元素，()P A 是A 的实值函数，且满足下列3条公理，则称函数()P A 为事件A 的概率. 公理1对于任意事件A ，有0()1P A ≤≤.公理2()1P Ω=.公理3若12,,,,n A A A 两两互斥，则11()()i i i i P A P A ∞∞===∑∑（可列可加性）.四、典型例题例1设A 、B 是两个随机事件，若()0P AB =，则下列命题中正确的是（）.（A ）A 和B 互不相容（互斥）（B ）AB 是不可能事件（C ）AB 不一定是不可能事件（D ）()0()0P A P B ==或解一个事件的概率为0，这个事件未必是不可能事件；因此C 项正确.反例如下：随机地向[0,1]区间内投点，令x 表示点的坐标，设{01/2},{1/21}A x B x =≤≤=≤≤，则{1/2}A B x ==，由几何概率可知，()0P AB =，由此例子还可得出A 项和B 项是不对的.D 项也是错误的，反例如下：掷一枚均匀的硬币，设A 表示出现正面，B 表示出现反面，则()()1/2P A P B ==，但AB φ=，从而()0P AB =.例2 设当事件A 与B 同时发生时，事件C 比发生，则下列式子正确的是（）.（A ）()()()1P C P A P B ≤+-（B ）()()()1P C P A P B ≥+-（C ）()()P C P AB =（C ）()()P C P A B =解已知AB C ⊂，则()()P C P AB ≥，又因为()()()()()()1P AB P A P B P A B P A P B =+-≥+-所有B 项正确，而A 项、C 项和D 项显然是错误的.例3 袋子里有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率.解样本空间所包含的样本点总数为28n C =.设事件{}A =取出的两个球都是白球，则事件A 包含的样本点总数为25k C =，故2528()0.357k C P A n C ==≈ 例4 一批产品工200个，其中有6个废品，求：（1）这批产品的废品率；（2）任取3个恰有1个废品的概率；（3）任取3个全是废品的概率.解样本空间所包含的样本点的总数为3200n C =. 设事件{3}1,3i A i i ==取出的个产品中有个废品（）；{}B =事件这批产品的废品率.若取出的3个产品中有i 个废品，则这i 个废品必是从6个废品中获得的，而另3i -个合格品必是从194个合格品中获得的，从而事件i A 所包含的样本点数为36194(1,3)i i i k C C i -==，故6()0.03200P B == 121619413200()0.086k C C P A n C ==≈ 33613200()0.00002k C P A n C ==≈ 例5 袋子里装有6个球，其中4个白球，2个红球.从袋中取球两次，每次任取一个，试分别就放回抽样和不放回抽样两种情况，求：（1）取到的两个球都是白球的概率；（2）取到的两个球颜色相同的概率；（3）取到的两个球中至少有一个是白球的概率.解设事件{}A =两个球都是白球；事件{}B =两个球都是红球；事件{}C =两个球中至少有一个是白球.第一种情况：不放回抽样样本空间的基本事件总数为116530n C C ==.事件A 的基本事件数为11434312A k C C ==⨯=.事件B 基本事件数为1121212B k C C ==⨯=.（1）122()305A k P A n === （2）由于21()3015B k P B n ===，且AB =∅，因此 217()()()51515P A B P A P B =+=+= （3）114()1()11515P C P B =-=-= 第二种情况：放回抽样第一次从袋中取球有6个球可供抽取，第二次也有6个球可供抽取，由乘法原理，共有66⨯种取法，即样本空间的基本事件总数为66⨯.对事件A 而言，第一次有4个白球可供抽取，第二次也有4个球可供抽取，由乘法原理，共有44⨯种取法，即A 中包含44⨯个基本事件.同理，B 中包含22⨯个基本事件.（1）444()669P A ⨯==⨯ （2）由于221()669P B ⨯==⨯，且AB =∅，因此 415()()()999P A B P A P B =+=+= （3）18()()1()199P C P B P B ==-=-= 例6 从n 双不同型号的鞋子中任取2(2)k k n <只，试求下列事件的概率：（1）A ={没有成对的鞋子}；（2）B ={恰有一对鞋子} .解样本空间包含22k n C 个样本点.（1）为使事件A 发生，先将鞋子成对地放在一起，然后从n 双鞋子中取出2k 双，最后再从这2k 双鞋子中每双取出1只，故事件A 的概率为2122222222()2()k k k k n n k k n nC C C P A C C == （2）为使事件B 发生，先从n 双鞋子中取出1双，再从剩下的1n -双鞋子中任取22k -双，最后再从这22k -双鞋子中每双取出1只，故事件B 的概率为12212222221212222()2()k k k k n n n k k n nC C C n C P B C C ------== 例7随机地向半圆0y <<a 为正常数）内掷一点，点数在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，试求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于/4π的概率.解这是一个几何概型的概率计算问题.设{(,):02}S x y y x a =≤≤≤≤，在极坐标下可写为{(,):2cos ,0/2}S r r a θθθπ=≤≤≤设事件{(,):2cos ,0/4}A r r a θθθπ=≤≤<，故2221124()22a a A P A a B πππ+===+的面积的面积例8 将50个铆钉随地取来用在10个部件上，其中3个铆钉强度太弱，每个部件用3个铆钉，若将3个强度太弱的铆钉都装在同一个部件上，则这个部件的强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解设事件A ={发生一个部件强度太弱}，则A 所含的样本点数为1271047927!(3!)C C .将50个铆钉装在10个部件上的所有装法的全体看作样本空间，则所包含的样本点数为30501030!(3!)C ，故 1271047930501027!1(3!)()30!1960(3!)C C P A C ==例9 设A B 、为随机事件，()0.5,()0.2P A P A B =-=，求()P AB .解因为A B A AB -=-，且AB A ⊆，所以()()()P A B P A P AB -=-于是()()()0.50.20.3P AB P A P A B =--=-= 因此()1()0.7P AB P AB =-=例10 在（0,1）内任取三个数，求以为长度的三条线段围成一个三角形的概率.解设样本空间{(,,):0,,1}S a b c a b c =<<；所求事件{(,,):,,}A a b c a b c a c b b c a =+>+>+> 因此23111311132()112A OABCD P A S -⨯⨯⨯⨯====的面积六面体的体积的面积边长为的正方体体积五、课本习题全解1-1（1）Ω={1,2,3,4,5,6}；（2）Ω={（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4）（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5）}；（3）Ω={3,4,5,6,7,8,9,10}；（4）用数字1代表正品，数字0代表次品，则Ω={（0,0），（1,0,0），（0,1,0），（1,1,0,0），（0,1,1,0），（1,0,1,0），（1,1,1,0），（1,1,0,1），（1,0,1,1），（1,1,1,1）}.1-2 （1）A 为随机事件；B 为不可能事件；C 为随机事件；D 为必然事件；（2）、（3）、（4）、（5）均为随机事件.1-3 （1）A ；（2）ABC ；（3）A B C ；（4）ABC ；（5）ABC ABC ABC . 1-4 （1）ABC ；（2）ABC ABC ABC ；（3）ABC ；（4）ABC A B C 或；（5）ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；（6）A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 或或ABC . 1-5 （1）买的是1985年以后出版的英文版物理书；（2）在“书店所有物理书都是1985年以后出版的且是英文版”这一条件下，ABC A = .1-6 （1）、（4）、（5）、（6）、（7）正确，其余均不正确.1-7 若需要测试7次，即前6次恰好取出2个次品，还有一个次品在第7次取出，故有246376C C A 次.而在10个中取出7个共有710A 种取法.设A={测试7次}，故2463767101()8C C A P A A == 1-8 设A ={能开门}，从6把钥匙中任取2把共有26C 种取法，故2611()15P A C == . 1-9 设A ={拨号不超过3次就能接通电话}，则191981()0.3101091098P A =+⨯+⨯⨯= 设B ={若记得最后一位是奇数时，拨号不超过3次就能接通电话}，则141431()0.6554543P B =+⨯+⨯⨯= 1-10 设A ={恰有2人的生日在同一个月份}，则21114121110455()12144C C C C P A == .1-11 将五个数字有放回地抽取，出现的结果有35125=种. 三个数字不同的取法有335360C A =种，故60()0.48125P A ==；三个数字不含1或5，即每次只能在2、3、4中进行抽取，共有3327= 种取法，故27()0.216125P A ==；三个数字5出现两次，即有213412C C =种取法，故12()0.096125P C == . 1-12 设A ={指定的3本书恰好放在一起}，10本书的排列方法共有10！种，而指定的3本书的排列方法有3！种，剩下的7本书与指定的3本书这一整体的排列有8！种，故3!8!1()10!15P A == 1-13 （1）21134339()416C C C P A ==；（2）341()416P B == . 1-14 从10个人中任选3个人共有310C 种方法.（1）设A ={最小号码是5}，当最小号码是5时，在610 之间还有地两个号码，即有25C 种方法，故253101()12C P A C == （2）设B ={最大号码是5}，当最大号码是5时，在14 之间还有两个号码，即有24C 种方法，故243101()20C P B C == 1-15 （1）112211661()9C C P A C C ==；（2）1111244211664()9C C C C P B C C +== .1-16 （1）22261()15C P A C ==；（2）1124268()15C C P A C == . 1-17 （1）设A ={样品中有一套优质品、一套次品}，则11844210056()825C C P A C ==；（2）设B ={样品中有一套等级品、一套次品}，则1112421008()825C C P B C ==；（3）设C ={退货}，则2112496412210076()825C C C C P C C ++==；（4）设D ={该批货被接受}，则2118484122100749()825C C C PD C +==；（5）设E ={样品中有一套优质品}，则1184162100224()825C C P E C == . 1-18 (1)设A ={恰有5张黑体,4张红心,3张方块,1张梅花},则5431131313131352()C C C C P A C = (2)设B ={恰有大牌A,K,Q,J 各一张而其余为小牌},则111194444361352()C C C C C P B C = 1-19 设A ={至少有两张牌的花色相同},则3112113441134354()0.562C C C C C P A C +==.六、自测题及答案1．事件A 与B 互不相容，且()0.8P A =，则()P AB =2. ()0.5,()0.2P A P B A =-=则()P AB =3．事件A 与B 互不相容，且A B =，则()P A =4．()()()1/4P A P B P C ===,()0P AB =,()()1/16P AC P BC ==,则事件A 、B 、C 全不发生的概率为5. 设A B 、是任意两事件，则()P A B -=（）(A) ()()P A P B - (B)()()()P A P B P AB -+(C)()()P A P AB - (D) ()()()P A P B P AB +-6. 设甲乙两人进行象棋比赛，设事件A ={甲胜乙负}，则A 为（）.(A){甲胜乙负} (B){甲乙平局}(C){甲负} (D) {甲负和平局}7．某单位招工需经过四项考核，设能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别是0.6，0.8，0.91，0.95，且各项考核都是独立的，每个应招者都要经过四项考核，只要有一项不通过即被淘汰，试求：（1）这项招工的淘汰率；（2）虽通过第一和第三项考核，但仍被淘汰的概率；（3）设考核按顺序进行，应试者一旦某项不合格即被淘汰，不参加后面项目的考核，求这种情况下的淘汰率.8.从1~9这九个数字中，又放回地抽取三次，每次任取一个，求所取的三个数之积能被10整除的概率.9. 在某城市中发行三种报纸A B C 、、，订阅A 报的有45%，订阅B 报的有35%，订阅C 报的有30%，同时订阅A 报及B 报的有10%，同时订阅A 报及C 报的有8%，同时订阅B 报及C 报的有5%，同时订阅A B C 、、报的有3%，试求下列事件的概率：（1）只订A 报的；（2）只订A 报及B 报的；（3）只订一种报纸的；（4）正好订两种报纸的；（5）至少订阅一种报纸的.【答案】1.由()0,P AB =且()1()10.80.2P A P A =-=-=，得()()()0.200.2P AB P A P AB =-=-=2．由()()()0.2P B A P B P AB -=-=()0.5P A =得()1()1()()()P AB P A B P A P B P AB =-+=--+=1()[()()]P A P B P AB ---=1-0.5-0.2=0.33．由于A B =，于是有AB A B ==，又由于A 与B 互不相容，所以有AB =∅，即A B =∅=，因此()0P A = .4事件A B C 、、全不发生表示为ABC 。

概率知识点总复习有答案

可.
【详解】
解：∵ＡＨ＝６,ＢＨ＝８,
勾股定理得ＡＢ＝１０,
∴ＨＧ＝８－６＝２,Ｓ△ＡＨＢ＝２４,
∴Ｓ正方形 GHEF＝４,四个直角三角形的面积＝９６,
∴针扎在小正方形 GHEF 部分的概率是４ = 1 100 25
故选Ｄ.
【点睛】
本题考查了几何概型的实际应用,属于简单题,将概率问题转换成求图形的面积问题是解题关
航模、彩绘、泥塑三个社团，于是可得到（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C， A），（C，B），（C，C），共 9 中不同的选择结果，而征征和舟舟选到同一社团的只有（A，A），（B，B），（C，C）三种，
所以，所求概率为 3 1 ，故选 C． 93
考点：简单事件的概率．
果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．岐山县各学校开展了第二课堂的活动,在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中,若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加,则小斌和小宇选到同一活动的概率是（）
共有 9 种等可能的结果数，其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果数为 3，
所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率= 3 1 ， 93
故选 B. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
A．两个转盘转出蓝色的概率一样大 B．如果 A 转盘转出了蓝色，那么 B 转盘转出蓝色的可能性变小了 C．先转动 A 转盘再转动 B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同

概率论复习题及答案

概率论复习题及答案一、单选题1. 随机事件A和B是互斥事件，则P(A+B)等于（）。

A. P(A)+P(B)B. P(A)-P(B)C. P(A)×P(B)D. P(A)÷P(B)答案：A2. 如果随机变量X服从参数为λ的指数分布，则其概率密度函数为（）。

A. f(x) = λe^(-λx)，x≥0B. f(x) = λe^(-λx)，x<0C. f(x) = λe^(-λx)，x>0D. f(x) = λe^(-λx)，x≤0答案：A二、填空题1. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，则其期望E(X)为______。

答案：np2. 若随机变量X和Y独立，则P(X>a且Y>b)等于______。

答案：P(X>a)×P(Y>b)三、计算题1. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，求其概率P(μ-2σ<X<μ+2σ)。

答案：P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9542. 设随机变量X和Y分别服从参数为λ1和λ2的泊松分布，且X和Y相互独立，求Z=X+Y的分布。

答案：Z服从参数为λ1+λ2的泊松分布。

四、证明题1. 证明：若随机变量X服从标准正态分布，则E(X^2)=1。

答案：根据标准正态分布的性质，E(X)=0，方差D(X)=1，因此E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1+0=1。

2. 证明：若事件A和B相互独立，则P(A|B)=P(A)。

答案：由于事件A和B相互独立，根据条件概率的定义，P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。

又因为A和B独立，所以P(A∩B)=P(A)P(B)，代入上式得P(A|B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A)。

概率论复习题 (有答案)

选择题1.设事件A 和B 满足A B ⊂，()0P B >，则下列选项一定成立的是 ( B ) (A) ()(|)P A P A B < (B) ()(|)P A P A B ≤ (C) ()(|)P A P A B > (D) ()(|)P A P A B ≥2.掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为 ( B ) (A) 50 (B) 100 (C) 120 (D) 1503.随机变量X 的分布函数为()F x ，则31Y X =+的分布函数()G y =（ A ）(A) 11()33F y - (B) (31)F y + (C) 3()1F y + (D) 11()33F y - 4.设连续型随机变量X 的密度函数有()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则下列成立的有 ( C )(A) ()()F a F a -= (B) 1()()2F a F a -=(C) ()1()F a F a -=- (D) 1()()2F a F a -=- 5.设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2y x =与y x =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 A .(A)6,(,)(,)0,x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其它 (B)1/6,(,)(,)0,x y Gf x y ∈⎧=⎨⎩其它(C)2,(,)(,)0,x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其它 (D)1/2,(,)(,)0,x y Gf x y ∈⎧=⎨⎩其它6.设随机变量X 服从正态分布()211,N μσ,随机变量Y 服从正态分布()222,N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<, 则必有 ( C )(A)12σσ< (B) 12σσ> (C) 12μμ< (D) 12μμ>7.设随机变量12,,,n X X X 独立同分布，且方差为20σ>.令11ni i Y X n ==∑，则. ( A ) (A) 21(,)/Cov X Y n σ= (B) 21(,)Cov X Y σ=(C) 21()(2)/D X Y n n σ+=+ (D) 21()(1)/D X Y n n σ-=+8.设随机变量X 服从正态分布()211,N μσ,随机变量Y 服从正态分布()222,N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<, 则必有 ( B )(A)12σσ> (B) 12σσ< (C) 12μμ> (D) 12μμ<9设随机变量n X X X 12,,,,相互独立且同服从参数为λ的指数分布,其中()x Φ是标准正态分布的分布函数，则 AA) lim ()ni n X n P x x λ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎭∑B) lim ()ni n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑C)lim ()n i n X P x x λ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎭∑ D) 1lim ()n i i n X P x x n λλ=→∞⎧⎫-⎪⎪⎪⎪≤=Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑ 11．已知()0.5,()0.4,()0.6,P A P B P A B ==⋃=则(|)P A B = A(A) 0.75 (B) 0.6 (C) 0.45 (D) 0.2 12、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(),01,02(,)0,a x y x y f x y +<<<<⎧=⎨⎩其他，则常数a = D (A) 3 (B) 2 (C) 12 (D) 1313、已知(,)XB n p ，且8, 4.8EX DX ==，则n = B(A) 10 (B) 20 (C) 15 (D) 25 14、离散型随机变量X 的分布函数()F x 一定是 D(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 周期函数 (D) 有界函数15、随机变量X 的分布函数为40,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则EX = A(A)144x dx ⎰(B)133x dx ⎰(C)134x dx ⎰(D)150x dx ⎰16、设~(2,4)X N ，且~(0,1)aX b N +，则 C(A) 2,2a b ==- (B) 2,1a b =-=- (C) 0.5,1a b ==- (D) 0.5,1a b ==17、设,X Y 为两个随机变量，1,4,cov(,)1DX DY X Y ===，令122,2Z X Y Z X Y =-=-，则1Z 与2Z 的相关系数为 D(A) 0 (B) 1(C)(D)18、设随机变量~(0,1)X N ，21Y X =+，则~Y A(A) (1,4)N (B) (0,1)N (C) (1,1)N (D) (1,2)N19、．以事件A 表示“甲同学考试合格，乙同学考试不合格”，则事件 A 为 D (A) 甲、乙两同学考试均合格； (B) 甲同学考试不合格，乙同学考试合格； (C) 甲同学考试合格； (D) 甲同学考试不合格或乙同学考试合格. 20设随机变量X 和Y 的关系为32011Y X =+，若3DX =，则DY = A (A) 27 (B) 9 (C) 2020 (D) 2038 21．若事件,,A B C满足()P C =A ,B ,C 不满足 A(A) A B C ==; (B) A B C ≠≠;(C) A B ==Ω,C =∅; (D) ,()0A B P C ==Ω=. 22．设随机变量()()22,4,,5XN YN μμ,{}14P X μ=≤-，{}25P Y μ=≥+，则1P 与2P 的关系是 B(A) 12P P > (B) 12P P = (C) 12P P < (D) 与μ相关23．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙中产品滞销”则事件A 为（ D ）.A 甲种产品滞销，乙中产品畅销 .B 甲、乙两种产品均畅销.C 甲种产品滞销 .D 甲种产品滞销或乙种产品畅销24. n 张奖券中有m 张可以中奖，现有k 个人每人购买一张，其中至少有一个人中奖的概率为（ C ）.A k n k mn m C C C 11-- .B k n C m .C k n k m n C C --1 .D ∑=ki kni m C C 1 25、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量Xe Y 21--= A.A 服从)1,0(上的均匀分布 .B 仍服从指数分布.C 服从正态分布 .D 服从参数为2的泊松分布 26、设随机变量),(Y X 的概率分布为已知随机事件)0(=X 与)1(=+Y X 相互独立，则（ C ） .A 3.0,2.0==b a .B 1.0,4.0==b a .C 2.0,3.0==b a .D 4.0,1.0==b a27、设)2.0,10(~B X ，)2.0,20(~B Y 且Y X ,相互独立，则~Y X +（ C ） .A )2.0,10(B .B )4.0,30(B .C )2.0,30(B .D )4.0,10(B28、已知随机变量)4,9(~N X ，则下列随机变量中服从标准正态分布的有（B ） .A 49-X .B 29-X .C 43-X .D 23-X 29、设Y X ,为任意随机变量，若)()()(Y E X E XY E =，则下述结论中成立的是（ A ） .A )()()(Y D X D Y X D +=+ .B )()()(Y D X D XY D = .C Y X ,相互独立 .D Y X ,不独立判断题1．二维正态分布的边缘分布是正态分布； T2．设有分布律：{}1(1)2/1/2(1,2,)n n np X n n +=-==，则X 的期望存在； F3．设 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的次数为m , 则 4n 次独立重复试验中，A 出现的次数为4m ； F4．若AB =∅，则事件,A B 一定相互独立； F5．X 与Y 相互独立且都服从指数分布()E λ，则~(2)X Y E λ+。

(完整)概率复习题及答案

〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。

试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。

将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。

5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。

已知随机变量X的密度为,且，则________________8。

设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。

若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。

用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。

用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。

15。

已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。

设的概率密度为，则＝18。

设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。

设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。

特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。

22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。

23。

设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。

2020年大学基础课概率论与数理统计复习题及答案(精选版)

2020年大学基础课概率论与数理统计复习题及答案（精选版）一、单选题1、设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时，{}P X μσ-<= A ）增大 B ）减少 C ）不变 D ）增减不定。

【答案】C2、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A3、设 ()2~,N ξμσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 为其样本，下列各项不是统计量的是（）(A)22212321()X X X σ++ (Ｂ)13X μ+(Ｃ)123max(,,)X X X (D)1231()3X X X ++【答案】A4、设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为总体X 的一个随机样本，2(),()E X D X μσ==，12211()n i i i C XX θ-+==-∑为 2σ的无偏估计，C ＝（A ）1/n （B ）1/1n - （C ） 1/2(1)n - （D ） 1/2n - 【答案】C5、服从正态分布，，，是来自总体的一个样本，则服从的分布为___ 。

(A)N (,5/n) (B)N (,4/n) (C)N (/n,5/n) (D)N (/n,4/n) 【答案】B6、设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量2121ni i n mi i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布X 1-=EX 25EX =),,(1n X X X ∑==ni inX X 111-1-1-1-是A) (,)F m n B) (1,1)F n m -- C) (,)F n m D) (1,1)F m n -- 【答案】C7、假设随机变量X 的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X 与-X 有相同的分布函数，则下列各式中正确的是 A ）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x). 【答案】C8、掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为 A ） 50 B ） 100 C ）120 D ） 150 【答案】B9、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。

大学数学《概率论》复习题及答案

《概率论》复习题及答案复习提纲（一）随机事件和概率（1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。

（2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。

（3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式，以及应用这些公式进行概率计算。

（4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。

（5）掌握Bernoulli 概型及其计算。

（二）随机变量及其概率分布（1）理解随机变量的概念。

（2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。

（3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。

（4）会求简单随机变量函数的概率分布。

（三）二维随机变量及其概率分布（1）了解二维随机变量的概念。

（2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

（3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。

（4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。

（5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。

（6）理解二维均匀分布和二维正态分布。

（四）随机变量的数字特征（1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。

（2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。

（3）会计算随机变量函数的数学期望。

（4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。

（五）大数定律和中心极限定理（1）了解Chebyshev 不等式。

（2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。

（3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

概率论复习题和答案

概率论复习题和答案# 概率论复习题和答案一、选择题1. 事件A和B是互斥的，如果P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.1B. 0.3C. 0.7D. 0.4答案：C. 0.72. 抛掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的概率。

A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 1答案：A. 0.53. 随机变量X服从均值为μ，方差为σ²的正态分布，那么P(X > μ)是多少？A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 不能确定答案：A. 0.5二、填空题4. 如果事件A的概率是0.6，事件B的概率是0.5，且P(A∩B) = 0.2，那么P(A∪B)等于______。

答案：0.75. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，那么X 的期望E(X)等于______。

答案：3三、简答题6. 什么是条件概率？请给出条件概率的定义和公式。

答案：条件概率是指在已知某个事件B已经发生的情况下，另一个事件A发生的相对概率。

条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B) /P(B)。

7. 什么是大数定律？请简述其主要内容。

答案：大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了随机事件在大量重复实验中所表现出的稳定性。

主要内容是，当独立同分布的随机变量的个数趋于无穷大时，它们的算术平均值会趋近于它们的期望值。

四、计算题8. 某工厂生产的灯泡，其寿命超过1000小时的概率为0.7。

如果随机抽取5个灯泡，求至少有3个灯泡寿命超过1000小时的概率。

答案：首先计算恰好有3个、4个、5个灯泡寿命超过1000小时的概率，然后将这些概率相加。

使用二项分布公式计算，具体计算过程略。

9. 假设有一批零件，其合格率为90%。

如果从这批零件中随机抽取100个，求至少有85个是合格品的概率。

答案：使用正态近似的方法来计算，首先计算期望和标准差，然后使用标准正态分布表来查找对应的概率。

概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

C. A 与B 互不相容A+B 是必然事件第一章随机事件及其概率一、选择题:1设A 、B C 是三个事件，与事件 A 互斥的事件是： (A . AB AC BC. ABC D2•设B A 贝UA . P(AI B)=1-P (A )B . C. P(B|A) = P(B) D3.设 A B 是两个事件，P (A ) > 0 , P ( B ) > 0,当下面的条件定独立 A . P(AI B) P(A)P(B) B . P (A|B ) =0 C. P (A|B):=P (B ) D.P (A|B ) =P(A)4.设 P (A ) =a , P ( B ) = b, P (A+B )= c,贝U P(AB)为 A. a-bB .c-bC. a(1-b) D.b-a 5.设事件A 与B 的概率大于零，且 A 与B 为对立事件，则不成立的是 A . A 与B 互不相容B . A 与B 相互独立 C. A 与B 互不独立 D . A 与B 互不相容6.设A 与B 为两个事件，P (A )M P( B ) > 0,且A B ，则一定成立的关系式是( )A . P (A|B ) =1 B. P(B|A)=1C. p(B|A) 1D . p(A| B) 17.设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 ( )A . (AU B)B A B . (AU B) B A C. (AUB) B A D . (A B) U B A &设事件A 与B 互不相容，则有( )A . P (AB ) =p (A ) P (B ) B . P (AB =0.A(B C) .ABCP(B A) P(B) (A).P(A|B) P(A)成立时，A 与B9 .设事件A与B独立，则有( )A . P(AB) =p ( A) P ( B)B .P (A+B) =P (A) +P (B)C.P (AB) =0D.P (A+B) =1( )10.对任意两事件A与B, 一定成立的等式是A . P(AB) =p ( A) P ( B)B .P (A+B) =P (A) +P (B)C.P (A|B) =P (A)D.P (AB =P (A) P ( B|A)11.若A、B是两个任意事件，且P (AB) =0,贝U( )A . A与B互斥B.AB是不可能事件C.P (A) =0 或P ( B) =0D.AB未必是不可能事件12.若事件A、B满足A B，则( )A . A与B同时发生B.A发生时则B必发生C.B发生时则A必发生D.A不发生则B总不发生13.设A、B为任意两个事件，则P (A-B)等于( )A. P(B) P(AB) B . P(A) P(B) P(AB)C. P(A) P(AB) D . P(A) P(B) P(AB)14 .设A、B C为二事件，则AB U BC U AC表示( )A . A、B、C至少发生-个B . A、B、C至少发生两个C.A、B、C至多发生两个 D . A、B、C至多发生一个15.设0 < P (A) < 1.0 <P (B)< 1. P(A|B)+P(A B)=1 .则下列各式正确的是( )A .A与B互不相容B A与B相互独立C.A与B相互对立D A与B互不独立16 .设随机实际A B、C两两互斥，且P (A) =, P ( B) =, P( C)=，则P( AU B C)( ).A. B .C. D .17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为( )A. 1/2 B . 1/3C. 1/4 D . 3/418 .一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p1，第二道工序的废品率为p2，则该零件加工的成品率为A. 1 p1p2 B . 1 p1 p2C. 1 5 P2 P1P2 D . 2 P1 P2p(0 p 1)，则在3次重复试验中至少失败一次概率为19 .每次试验的成功率为A. (1 p)2B. 1 p 2C . 3(1 p)D •以上都不对20 .射击3次，事件A i 表示第i 次命中目标（i =）.则表示至少命中一次的是（）S A 1A 2 A 3C. A , A 2 A 3 AA 2A 3 A i A 2A 3 D .、填空题:12.已知 P (A ) = P ( B ) =P (C ) =1/4，P (AB )= 0，P (AC ) =P (BC ) =1/6，贝 U A 、 BC 至少发生一个的概率为13.已知 P (A ) = P ( B ) =P (C ) =1/4，P (AB )=0， P (AC ) =P (BC )=1/6，贝 U A 、BC 全不发生的一个概率为14.设A 、B 为两事件，P (A )=， P (B ) =，P(B A) =，则 P (A+B )=15.设A 、B 为两事件，P (A )=， P (B ) =，P(B A)=，则 P (A+B )=11.若A 、B 为两个事件，且 P （ B ） B)=A . A , U A 2 U AAl A 2 A 31. 2. 若A 、若B 为两个相互独立的事件，且 B 为两个相互独立的事件，且3. 若A 、B 为两个相互独立的事件，且 4. 若A 、B 为两个相互独立的事件，且 5. 若A 、B 为两个相互独立的事件，且 (A): =,P ( B )= =，贝U P (AB )= .(A): =,P ( B )= =，贝U P (A+B )= . (A): =,P ( B )= =，则 P(AI B)= .(A): =,P ( B )= =，则 P(AB)=. (A): =,P ( B )= =，则 P(A B)= . 6. 若A 、 7. 若A 、 8. 若A 、 9. 若A 、 10.若A 、B 为两个互不相容事件,且P (A )= ,P ( B )= ，则 P(AI B)=. 且 P (A )= ,P ( B )= ，贝U P(AUB)= .且 P (A )= ,P ( B )= ，则 P(AB)= . 且P (A )= ,P ( B )= ，则 P(B A)= . 且P (A ) =,P (B )=，贝UP(BA)=.=，P(AB)=，贝y P(AP P P P P B 为两个互不相容事件, B 为两个互不相容事件, B 为两个互不相容事件, B 为两个互不相容事件,19.若A 与B 互斥，则P (AU B ) = 116. 设A 、B 为两事件， P (A ) =,P (B ) =,A B = =，贝U P (A+B ) 17. 设A 、 B 为两事件， P (A ) =,P (B ) =,A B = =，贝U P (AB )18.设A 、 B 为两事件，P (A ) =,P (B )=,A B ==，贝U P(AB)=19 设A 、 B 为两事件， P (A )= ,P (B )=,A B = ，则 P(AB) = 20. 设A 、B 为两事件，P (A ) =,P (B )=,AB=「则 P(A B)三、判断题:1. 2. 3, 4. 5. 6. 概率为零的事件是不可能事件。

概率复习题和答案

概率复习题和答案1. 某随机事件A发生的概率为0.3，求事件A不发生的概率是多少？答案：事件A不发生的概率为1减去事件A发生的概率，即1 - 0.3 = 0.7。

2. 如果两个独立事件B和C同时发生的概率为0.2，事件B发生的概率为0.5，求事件C发生的概率。

答案：由于事件B和C是独立的，所以事件B和C同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积。

设事件C发生的概率为P(C)，则有0.5* P(C) = 0.2，解得P(C) = 0.2 / 0.5 = 0.4。

3. 已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求X=0的概率。

答案：泊松分布的概率质量函数为P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，当k=0时，P(X=0) = e^(-λ)。

4. 一组数据的样本均值为10，样本方差为4，求这组数据的标准差。

答案：标准差是方差的平方根，所以这组数据的标准差为√4 = 2。

5. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是多少？答案：一副扑克牌中有13张红桃，所以抽到红桃的概率为13/52 =1/4。

6. 已知随机变量Y服从正态分布N(μ, σ^2)，求Y的期望值和方差。

答案：对于正态分布N(μ, σ^2)，其期望值E(Y)等于参数μ，方差Var(Y)等于参数σ^2。

7. 某工厂生产的零件合格率为95%，求抽取100个零件中有90个合格的概率。

答案：这是一个二项分布问题，其中n=100，p=0.95，求的是恰好有k=90个合格的概率。

使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)是组合数，计算得到P(X=90)。

8. 一个骰子连续投掷两次，求两次投掷结果之和为7的概率。

答案：骰子投掷两次，共有36种可能的结果组合。

其中和为7的组合有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共6种，所以两次投掷结果之和为7的概率为6/36 = 1/6。

概率论基础复习题及答案

概率论基础复习题及答案《概率论基础》本科填空题（含答案）1．设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ⎰∞∞-dx x p )(=1 ；Eξ=⎰∞∞-dx x xp )(。

考查第三章2．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。

考查第一章3．设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ϕ，分布函数为)(0x Φ，则)0(0ϕ等于π21，)0(0Φ等于 0.5 。

考查第三章4．设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=51 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ=2 。

考查第五章5．已知随机变量X ，Y 的相关系数为XYr ,若U=aX+b,V=cY+d,其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XYr 。

考查第五章6．设),(~2σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k -考查第五章7．设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=ix }=ip,...,2,1=i 则i p ≥0 ；∑∞=1i ip = 1 ；Eξ=∑∞=1i ii p x 。

考查第一章8．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：CB A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。

考查第一章9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。

考查第三章10．设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012=++x xξ有实根的概率为45。

考查第三章较难11．若随机变量X ，Y 的相关系数为XYr ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数=XYr 。

概率复习题答案

概率复习题答案1. 随机事件的概率范围是多少？答案：随机事件的概率范围是0到1，即0≤P(A)≤1。

2. 互斥事件的概率和如何计算？答案：如果事件A和事件B是互斥的，那么它们的概率和等于各自概率的和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3. 独立事件的概率乘积如何计算？答案：如果事件A和事件B是独立的，那么它们同时发生的概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。

4. 条件概率的公式是什么？答案：条件概率的公式是P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。

5. 贝叶斯定理如何表述？答案：贝叶斯定理表述为P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)，其中P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

6. 什么是大数定律？答案：大数定律表明，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于其概率。

7. 中心极限定理的条件是什么？答案：中心极限定理的条件是样本量足够大，且样本数据是相互独立的。

8. 如何计算二项分布的概率？答案：二项分布的概率可以通过公式P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)计算，其中n是试验次数，k是成功次数，p是单次试验成功的概率。

9. 正态分布的概率密度函数是什么？答案：正态分布的概率密度函数是f(x)=1/(σ√(2π))×e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ是均值，σ是标准差。

10. 泊松分布的期望值和方差的关系是什么？答案：泊松分布的期望值和方差相等，即E(X)=Var(X)=λ，其中λ是事件发生的平均次数。

概率论复习题答案

概率论复习题答案1. 随机事件的概率值范围是什么？答：随机事件的概率值范围是0到1，包括0和1。

2. 如何理解概率的公理化定义？答：概率的公理化定义是基于三个公理：非负性、归一化和可加性。

非负性公理表明任何事件的概率都是非负的；归一化公理表明必然事件的概率为1；可加性公理表明互斥事件的概率可以相加。

3. 什么是条件概率？答：条件概率是在给定某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

4. 条件概率的公式是什么？答：条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

5. 什么是贝叶斯定理？答：贝叶斯定理是一种在已知某些条件概率的情况下，计算其他条件概率的方法。

其公式为P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。

6. 什么是独立事件？答：如果两个事件A和B同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) * P(B)，则称事件A和B是独立的。

7. 什么是互斥事件？答：如果两个事件A和B不能同时发生，即P(A∩B) = 0，则称事件A和B是互斥的。

8. 什么是随机变量？答：随机变量是一个函数，它将样本空间中的每个基本事件映射到实数轴上的一个数值。

9. 离散型随机变量的概率分布是什么？答：离散型随机变量的概率分布是描述随机变量取各个可能值的概率的集合。

10. 连续型随机变量的概率密度函数是什么？答：连续型随机变量的概率密度函数是一个描述随机变量取值在某个区间内的概率密度的函数。

11. 什么是期望值？答：期望值是随机变量的平均值，它反映了随机变量的中心趋势。

12. 期望值的计算公式是什么？答：期望值的计算公式是E(X) = Σ[xi * P(X = xi)]，对于离散型随机变量，或者E(X) = ∫x * f(x) dx，对于连续型随机变量，其中xi 是随机变量X的可能取值，P(X = xi)是X取xi的概率，f(x)是X的概率密度函数。

《概率论》总复习题4及参考答案

雪夫不等式有 P( X − 3 < Y < X + 3)
（A） ≤ 0.25 . （B） ≤ 5 . （C） ≥ 0.75 . （D） ≥ 5 .
12
12
（）
解：（1）（A）：成立，（B）： ( A U B) − A = B − A ≠ B
应选（B）
（2） F (+∞) = 1 = a + b .
应选（C）
二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（）中）
（1） A, B, C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是
（A） ( A − B) U B = A U B .
（B） ( A U B) − A = B .
（C） ( A U B) − AB = AB U AB .
（D） ( A U B)C = ( A − C) U (B − C) .
n
|i−
j =1
j
|
a
⋅
1 n2
∑ ∑ ∑ =
a n2
n ⎡i ⎢ (i −
⎣ i=1 j=1
n
⎤
j) + ( j − i)⎥
j =i+1
⎦
= (n2 −1) a. 3n
σ
σ
σ
所以 p = 2Φ(1) −1 = 0.6826 .
故Y
的分布列为
P(Y
=
k)
=
Ck 100
(0.6826)k
(0.3174)100−k
（2） EY = 100× 0.6826 = 68.26 ， DY = 68.26× 0.3174 = 21.6657 .
五、设 ( X , Y ) 在由直线 x =1, x = e2, y = 0 及曲线 y = 1 所围成的区域上服从均匀分布， x