杆的扭转定理和公式

圆截面杆的扭转
外力与内力Il
圆杆扭转切应力与强度条件
Il圆杆扭转变形与刚度条件Il 圆杆的非弹性扭转1. 外力与内力
杆件扭转的受力特点是在垂直于其轴线的平面内作用有力偶（图2∙2 -Ia ）,其变形特点是在任意两个截面绕轴线发生相对转动。

轴类构件常有扭转变形发生。

作用在传动轴上的外力偶矩m通常是根据轴所传递的功率N和转速n（r∕min）来计算。

当N的单位为千瓦（kW）时
啊= $549一Nw（2- 2-1）
n
当N的单位为马力（HP）时
时
m= 7024—N
■畑（2-2-2）
n
扭转时的内力为扭矩T,用截面法求得。

画岀的内力图称为扭矩图（或T图），如图2∙2-1b所示
图2 ∙2 -1 圆杆的扭转
2. 圆杆扭转切应力与强度条件
r p时，某横截面上任意C点（图2∙2-2 ）的切应力公式为
Tr
式中T―― C点所在横截面上的扭矩
P――C点至圆心的距离
L P――横截面对圆心的极惯性矩，
见
当应力不超过材料的剪切比例极限
表2-2-1等直杆扭转时的截面几何性质
图2 ∙2 -2 切应力分布
圆杆横截面上的切应力 r 沿半径呈线性分布，其方向垂直于半径（图 周各点上，其计算公式为
丁二至 （2-2-A ）
等截面杆的最大切应力发生在
T maX 截面（危险截面）的圆周各点（危险点）上。

其强度条件为
≤［r ］
C2-2— 了）
式中，［T ］为许用扭转切应力，与许用拉应力［σ ］的关系为：［T ］= （0.5〜0.6 ）［ σ ］（塑性材料）或［T ］= （0.5
0.6 ） ［ σ ］（脆性材料）
3.
圆杆扭转变形与刚度条件
在比弹性范围内，圆杆在扭矩
T 作用下，相中为 L 的两截面间相对扭转角为
式中,［θ ］为圆杆的许用单位扭转角（°） /m
4.
圆杆的非弹性扭转
讨论圆杆扭转时切应力超过材料的比例极限并进入塑性状态的情况。

对于加工硬化材料，如果材料的应
2 ∙
3 -2 ）。

模截面上的最大切应力在圆 式中G ――材料的切变模量 单位扭转角公式为
式中GL P 抗扭刚度
圆杆上与杆轴距离为 P 外（图 rad (2-2-6)
180
毋二一
π
2 ∙2 -2 TI
T
—Cy 阳 (JL
F
）的切应变r 为
(2-2-7)
(2
(2-2-9)
圆杆表面处的最大切应变为
”二扈
¢2-2-10)
式中,r ——圆杆的半径
等截面圆杆的最大单位扭转角，发生在 段内, 其刚度条件为
ISO
εj HbSK
JZ r
尹］
(2- 2-12)
相应的切应力r max可以从应力-应变图求得。

整个横截面上切应力的(图2∙3-3b )与应力-应变图的形状相同使圆杆产生单位扭转角所必需的扭矩T,可根据静力学方程求得(见图2 ∙2 -3b )为
4
图2 ∙2 -3 圆杆的非弹性扭转
T= f⅛p2⅛⅜? (2-2-13)
将式(2-2-10) 代入式(2-2-13) 得
T = ςr⅛C2-2-14)
式中R max=r θ
根据式(2 ∙2 -14 ),可以得到T与θ的关系曲线，根据该曲线，可以确定对给定T值的θ和T maX。

如果圆杆的材料具有明显的屈服极限r s,则可使应力-应变图理想化，如图2∙2-4a所示，此材料弹塑性
材料。

此时，只要杆中最大应变小于r s时，杆就属于弹性的。

当横截面边缘处的应变超过r s时，横截面上
的应力分布如图2 ∙2 -4b所示，此图表明屈服开始于边缘，当应变增大时，屈服区例向里边发展。

如果材料的屈服极限为r s，弹塑性边界为P S =C时，则扭矩为
式中d——圆杆的直径
当整个横截面都面到屈服时，其应力将接近均匀分布，如图扭矩，其值为
TP 二［琢％妙=⅛ g j ~τ
∕
3(2- 2-16)
当扭矩达到此值时，扭矩不再增加而杆将继续变形
杆中最初开始屈服时的弹性极限扭矩T S ,由式（2∙2 -3 ）得
比较式（2-2-16 ）和式（2-2-17 ），可得塑性极限扭矩与弹性极限扭矩之比为
(2-2-18)
由此可知，杆中开始屈服后，只要扭矩增大三分之一，就将使杆达到极限承载能力非圆截面杆的抟转与薄膜比拟等直杆扭转时的应力与变形Il薄膜比拟Il 非弹性扭转杆
非圆截面杆扭转时，其横截面将产生曲。

横截面可以自由翘曲的扭转，称为自由扭转。

此时，由于各截
面的翘曲程度相同，故横截面收只在切而没有正奕力。

例如，图2∙2-5所示的工钢薄壁杆件，在两端作用一
对扭转偶矩，杆的两个翼缘将相对转动，但翼缘的轴线仍为直线，不发生弯曲变形，也不产生正。

图2 ∙2 -5 自由扭转
若由于约束或受力条件的限制，造成杆件各截面的翘曲程度不同时，则横截面上除有切应力外还有正应力。

这种情况称为约束扭转。

例如，图 2 ∙2 -6a ,所示的工字钢杆，一端固定，另一端作用扭转力偶矩。

在固
定端截面为平面，不能翘曲，但它限制了相邻截面的翘曲，离固定越远，翘曲受到的限制也越小，到自由端
变成了可以自由翘曲。

由于相邻两截面的翘曲不同，则引起这两个截面间纵向纤维长度的改变，于是横截面上产生正应力。

又如图2 ∙2 -6b抽示两端简支工字钢杆，在跨度中点截面上作用一个扭转力偶矩。

两端铰支座不允许端截面绕杆轴旋转，但可自由翘曲。

由于对称，跨度中点截面应保持为平面，离中点截面越远，翘曲越大。

对于象工字钢、槽钢等薄壁杆件，在约束扭转时，横截面上的正应力往往很大刚愎自用库以考虑。

但对于一些袂体杆件，如截面为矩形、椭圆形等杆件，因约束扭转而引起的正应力数值很小，可忽略不计。

（2-2-↑S）
2 ∙
3 -4c所示，相应的扭矩为杆的塑性极限
t2-2-Π)
3λ
T
图2 ∙2 -6 约束扭转
1. 等直杆扭转时的应力与变形
具有任意形状的无限长等截面直杆，在绕扭转时，在与Z轴正交的截面上，要产生切应力rxz和rxz （图2-2-7）。

为了确定应力和变形，设应力函数U （X，丫），使其满足下列各式，即
∆V=-2G t⅛= c
U S=CI （对单联域截面，可取Cl = 0）
T =
式中C、C1――常数
U S 沿截面周边上的U值
Al ――多联域时各孔的面积，单联域时，AI=O
切应力和应力函数的关系为
等直杆扭转时最大切应力为
(2-2-19)
单位长度扭转角为
(2-2-20)
式中，Jk、Wk为截面抗几何特性，见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质
1
图2 ∙2 -7 等值杆的扭转
对于任意实体截面（参见表2-2-2 任意实心截面的Jk 公式），最大切应力位于或非常接近于最大内切圆 与边界的切点之一（除非在边界的其他点上有引起很高局部应力的尖锐凹角），以及位于边界曲率代数值为 最小的点上。

对于凸面 ，边界曲率为正：对于凹面，边界曲率为负（图 2 ∙2 -8 ）。

最大切应力可近似地用下 式计算，即
图2 ∙2 -8 任意实体截面
式中的C 分下列两种情形求得：
（1） 在曲率为正（截面边界是直或凸的）的点上
式中 D ——最大内切圆直径
r ――该点上的边界曲率半径（此时为正）
A 截面面积
（2） 在曲率为负（截面边界是凹的）的点上
(2-2-23)
式中，ψ为边界切线绕过凹部时所转过的角度，（见图 2-2-8 ）,其单位为弧度（这里的 r 为负）而D 、r
和
(2-2- 21)
¢2-2-22)
OHShd 1-
2φ
JZ r
A的含义同前。

一些任意实体截面的Jh值，见表2-2-2 任意实心截面的Jk公式
2. 薄膜比拟
应用薄膜理论与弹性扭转理论的数学相似性，通过实验确定扭转切应力是比较方便的。

用一块均匀薄膜，
张在与截面相似的边界上，然后从薄膜的一侧施加微小的气体压力，使薄膜鼓成曲面，如图2-2-9所示。

该曲面与扭转切应力等有着下述关系，即
图2-2-9 薄膜比拟
(1) 薄膜曲面上任一点的斜率，与截面相应点的扭转切应力的大小成正比。

(2) 曲面的等高线即这切应力线
(3) 薄腊鼓起的体积的两倍相当于扭矩。

由薄膜比拟可知，一般情况下切应力分布有的规律为
(1) 实心轴最大扭转切应力，必发生在外周边上，且在最大内切圆切点或其附近，或有凹角处。

(2) 内外周边上的切应力都是沿周边切线方向作用。

(3) 在凸角的顶点上切应力为零。

3. 非弹性扭转杆
当杆的一部分材料的应力超过弹性极限而产生塑性变形时，即在弹塑性变形情况下，如仍引用与前一节情况相同应力函数，则对于非硬化材料，在塑性区域要满足。

IgEH询二十孤r =τ2二常数
由上式可知，在塑性区域内，U曲面斜率为一常数。

在弹塑性区的交界处，U是连续的。

当达到极限状态即发生全面塑性变形时，则可由截面边界上筑起具有等倾角为rs的“屋顶”(自然倾斜
表面即砂堆比拟法)。

由该“屋顶”与底面所围成的体积即等于塑性极限扭矩的一半。

例如，图2-2-10所示边长这2a的方形截面，其应力函数是高为ars的角锥体。

当发生全面塑性变形时，其
极限扭矩的一半等于角锥体的体积，其大小等于底面积乘以高度的1/3。

因此可得
-∣Q
Tp = 2 -{2a↑r s a =-T s^(2-2-24)
图2-2-10 方形截面的全塑性应力函数曲面
表2-2-3 常用截面的θS、TS、TP和Tp/Ts列岀了几种常用的塑性极限扭矩，并与弹性极限扭矩进行比较。

由表看出，若使屈服扩展至整个截面，则杆件的承载能力将大大提高。

表2-2-4 常用组合截面的TP列岀了某些常用组合截面的塑性极限扭矩近似公式。

表中末列岀弹性极限据矩，是因为凹角处很高的应力集中系数对初始屈服有影响。

计算空心截面扭杆的塑性极限扭矩时，对于等壁厚的空心扭杆，其极限据矩TP等于具有外截面边界的实心扭
杆的极限扭矩TPS减去与空心内截面的实心扭杆的极限扭矩MPH即
Tp=Tp5-ηr⅛(2-2-25)
薄壁截面杆的自由扭转
开口截面Il 闭口截面Il 多闭室闭口截面
1 .开口截面
薄壁截面可分为开口截面和闭口截面。

轧制的型钢或挤压成形的型材，如工字钢、槽钢、角钢或T形、
Z形等为“开口”截。

这种截面可看成是由一些等宽度的狭矩形组成。

狭矩形可能是直的或是弯的，如图2-2-11
所示。

在对一个弯的开口狭矩形截面杆的自由扭转进行应力和变形计算时，可用同宽同长的直的狭矩形截面杆来代替。

图2-2-11 开口截面
单位长度扭有角的变化为
G――切变模量
Jk——自由扭转的截面抗几何特性兀吨璋 (2-2-27) 其中a――截面形状修正系数，见表2-2-5
ti ――每个狭矩形的厚度或平均厚度
di ――每个狭矩形的长度
表2-2-5 截面形状系数α的平均值
截面形状系数工字钢槽钢角钢T型钢Z型钢α 1.20「12 1.10 1.15 1.14
最大切应力
式中，tmax为最大厚度。

2•闭口截面
闭口截面可分为单闭室和多闭室截面。

薄壁管和空心矩形截面杆等属于单闭室截面。

它们在自由扭转时, 单位长度扭转角的变化为
(2-≥-30)
A c= —I S——中心线包围的面积
2 J
〔见圏2- 2-12)
应力或剪流公式为
q - Tl-
IAC (2-2-32)
d^_T
式中T――扭矩
(2-Ξ-20
(2-2-29)
(2- 2-31)
(2-2-33)
由式(2-2-27)和式(2-2-28)的
如由N 个闭室构成的一个闭口截面扭杆，设各闭室的剪流分别为 q l 、q H ,, 流应分别为q l -q H （向上）、q H -q 皿（向上）、”。

可建立（N+1）个方程组， q∏ ,,qN 和 d θ ∕dz 。

其中N 个方程是由各闭室的单位长度扭转角公式（
2-2-30 条件
图2-2-12 闭口截面
得出
(2-2-34)
qN o 这时，隔板上的剪 解岀（N+1）个末知数:q I 、 ）得岀，另一个方程由平衡
JV r T =工2恥
3-1
(2-2-35)
3.多闭室闭口截面。