第一章 一元线性回归分析基础 (2)[53页]

21世纪经济学系列教材 普通高等教育“十五”、“十一五”国家级规划 教材
计量经济学
（第三版）
赵国庆
中国人民大学出版社
一元线性回归分析基础
计量经济学 第一章
重点问题
2021年3月10日星期三
❖ 参数的最小二乘估计 ❖ 最小二乘估计的性质 ❖ 参数估计的检验 ❖ 预测
第一章 一元线性回归分析基础
主要内容
第一节 模型的假定
2021年3月10日星期三
(t≠s; t=1, 2, …, n; s=1, 2, …, n)
或 E(utus)=0
(1—11)
假设4 解释变量Xt与误差项ut不相关，即
cov(Xt, ut)=E((Xt-E(Xt))(ut-E(ut)))
=E((Xt-E(Xt))ut)
=0 (t=1, 2, …， n)
F(X1，X2，…，Xn，Y)=0
(1—1)
或 Y=f(X1，X2，…，Xn)
(1—2)
其中，最简单的形式为一元线性函数关系
Y=PX
(1—3)
另一类关系为不完全确定的相关关系,表示为：
F(X1，X2，…，Xn，Y，u)=0 (1—4)
第一章 一元线性回归分析基础
第一节 模型的假定
2021年3月10日星期三
第一章 一元线性回归分析基础
第一节 模型的假定
2021年3月10日星期三
❖ “线性”一词在这里有两重含义。它一方
面指被解释变量Y与解释变量X之间为线性关系， 另一方面也指Y与参数β1、β2之间为线性关系。
❖ 在数理统计学中，“回归”通常指散布点 分布在一条直线(或曲线)附近，并且越靠近该 直线(或曲线)，点的分布越密集的情况。
XtYt nXY
X
2 t
nX
2
第一章 一元线性回归分析基础
2021年3月10日星期三
为简化表达式，从本节起，在不会发生误解的情况下，略
去求和指标t求和的上下限。只要求和符号没有上下限，
就表示为从t=1到t=n求和。即用求和符号∑代替符号
n
t 1
假设估计直线：Y= а* + β*X
а*，β*为参数估计
当X=Xt Yt= а* + β*Xt (Xt,Yt)→(Xt, а* + β*Xt) 残差：et= Yt-( а* + β*Xt) 误差：ut= Yt-( а+ βXt) 残差平方和：Q=∑ et2= ∑ [Yt-( а* + β*Xt)]2
或 Y=f(X1，X2，…，Xn，u)
(1—5)
其中最简单的形式为一元线性回归模型
Y=β1+β2X+u
(1—6)
❖ 计量经济学只讨论变量之间不完全确定的关系，
如式(1—4)或式(1—5)所表示的关系。
❖ 如式(1—6)所表示的关系式，称为一元线性回归 模型。
❖ “一元”是指只有一个自变量X，这个自变量X可 以解释引起因变量Y变化的部分原因。因此，X称为解 释变量，Y称为被解释变量，β1和β2为参数。
假设2 误差项ut的方差与t无关，为一个常数，即
var(ut)=E((ut-E(ut))2)
= E(ut2)
=σu2 (t=1, 2, …， n)
(1—9)
假设3 不同的误差项ut和us之间互相独立，即
cov(ut,us)=E((ut-E(ut))(us-E(us)))=0 (1—10)
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第一节 模型的假定
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三、 经典假设条件
Βιβλιοθήκη Baidu经典的一元线性回归模型
Yt=β1+β2Xt+ut (t=1, 2, …， n) (1—7)
通常要满足五个假设条件：
假设1 误差项ut的数学期望(均值)为零，即
E(ut)=0 (t=1, 2, …， n)
(1—8)
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第二节 参数的最小二乘估计
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最小二乘法(OLS )(ordinary least squares):求出参
数估计量使Q达到最小值.
正规方程: Q
0,
Q
0
即: 2 Yt Xt 0
Y X
2 Xt Yt Xt 0
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❖第一节 ❖第二节 ❖第三节 ❖第四节 ❖第五节
模型的假定 参数的最小二乘估计 最小二乘估计量的性质 系数的显著性检验 预测和预测区间
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第一节 模型的假定
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一、一元线性回归模型
❖ 各种经济变量之间的关系，可以划分为两
种类型。一类是变量之间有惟一确定的关系， 即函数关系，可表示为：
2
(Yt Yˆt )
t 1
达到最小值 达到最小值 达到最小值 达到最小值
第4种准则，由于逐项平方，不存在正负抵消的问题。 它不仅考虑了所有点的影响，而且具有无偏性，是一个很 好的准则。这个准则称为最小二乘准则。用最小二乘准则 寻找拟合直线的方法称为最小二乘法。
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第二节 参数的最小二乘估计
ut～N(0, σu2)
(t≠s； t, s=1, 2, …, n)
(常数)
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第二节 参数的最小二乘估计
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一、 拟合准则与最小二乘估计
拟合准则：
n
1 使 (Yt Yˆt ) t 1
2 使n
Yt Yˆt
t 1
3 使 max Yt Yˆt
4 使n
(1—12)
假设5 ut为服从正态分布的随机变量，即
ut～N(0, σu2)
以上五个假设条件称为经典假设条件。
综上所述，一元线性回归模型可以归结为
Yt=β1+β2Xt+ut(t=1, 2, …， n)
(1—13)
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第一节 模型的假定
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E(ut)=0 cov(ut, us)=0 var(ut)=σu2 cov(Xt, ut)=0
❖ “模型”一词通常指满足某些假设条件的 方程或方程组。
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第一节 模型的假定
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二、 误差项的性质
与精密数学中的函数关系相比，回归模型式 (1—4),式 (1—5),式 (1—6) 中的显著特点是多了
误差项u。产生误差项的原因主要有以下几方面：
1.忽略掉的影响因素造成的误差 2.模型关系不准确造成的误差 3.变量观察值的计量误差 4.随机误差 误差项的存在是计量经济学模型的特点，是计 量经济学模型与精密数学中完全确定的函数关系的 主要区别。