湖南省邵阳市邵东三中2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年湖南省邵阳市邵东三中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则A∪B=（）A．∅B．R C．B D．A2．若复数z满足z=，则z的虚部为（）A．﹣4 B．﹣C．4 D．3．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]6．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB=b，则角A=（）A．B．C．D．7．若实数x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）A．B．3 C．﹣2 D．28．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a1+4a2，a5=7，则a1=（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣9．有4人排成一排照相，由于甲乙两人关系比较好，要求站在一起，则4人站法种数（）A．12 B．16 C．20 D．2410．已知高为2的直四棱柱，其俯视图是一个面积为1的正方形，则该直四棱柱的正视图的面积不可能等于（）A．2 B．2C．﹣1 D． +111．已知（1+ax）5的展开式中x2的系数为40，则a=（）A．±1 B．±2 C．2 D．﹣212．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．3x2dx=（用数字作答）．14．已知f（x）=x3﹣ax在（﹣∞，+∞）是增函数，则a的取值范围是．15．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．16．在平面直角坐标系xOy中，若l：（t为参数）过椭圆C：（φ为参数）的右顶点，则常数a的值为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．18．已知函数f（x）=sin2x+cos2x．（1）求f（x）的周期及单调递增区间．（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．19．已知数列{a n}的前n项和为S n且2S n=n（n+1），（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若b n=，求{b n}的前n项和T n．（3）若C n=2，{C n}的前n项和R n，求满足R n≥2016的最小整数n．20．直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D、E分别为AB、BB′的中点．（1）求证：CE⊥A′D；（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．21．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为1的直角三角形．（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．22．定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d同时满足以下条件：①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②f′（x）是偶函数；③f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=4lnx﹣m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．2017-2018学年湖南省邵阳市邵东三中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则A∪B=（）A．∅B．R C．B D．A【考点】并集及其运算．【分析】化简集合A，根据并集的定义计算A∪B即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0或x＞2}，B={x|﹣＜x＜}，所以A∪B=R．故选：B．2．若复数z满足z=，则z的虚部为（）A．﹣4 B．﹣C．4 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z，从而得到它的虚部．【解答】解：∵z====+i，∴z的虚部为，故选：D．3．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】分层抽样方法．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．4．已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：由双曲线的方程得b=1，则c=，∵双曲线的离心率为，∴==，平方得，得a2=4，∵a＞0，∴a=2，故选：B．5．执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]【考点】程序框图；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选A．6．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB=b，则角A=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0得出sinA的值，由A为锐角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=．故选：A．7．若实数x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）A．B．3 C．﹣2 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，﹣1），代入目标函数z=2x+y得z=2×2﹣1=4﹣1=3．即目标函数z=2x+y的最大值为3．故选：B8．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a1+4a2，a5=7，则a1=（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由S3=a1+4a2，a5=7，得：，解得，故选：B．9．有4人排成一排照相，由于甲乙两人关系比较好，要求站在一起，则4人站法种数（）A．12 B．16 C．20 D．24【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】相邻的问题利用捆绑法，先排相邻的，再和其它的全排，问题得以结解决．【解答】解：甲乙两同学相邻，把甲乙看作一个元素，和其它2个元素全排，则共有=12不同的排法种法．故选：B．10．已知高为2的直四棱柱，其俯视图是一个面积为1的正方形，则该直四棱柱的正视图的面积不可能等于（）A．2 B．2C．﹣1 D． +1【考点】简单空间图形的三视图．【分析】已知高为2的直四棱柱，其俯视图是一个面积为1的正方形，可知该几何体为长方体．正视图的投影面积与放置的方向有关．当正放的时候，正视图刚好是边长为1，高为2的长方形，此时面积最小，当斜45°放置的时候，正视图是中间的长方形，高不变，边长是，此时面积最大．由此即可得到答案．【解答】解：由题意，可知该几何体为长方体，正视图的投影面积与放置的方向有关．高始终不变，边长最短是1，最长是对角线，∴正视图的面积最小为：S=1×2=2；面积最大为：S=2×=2，那么正视图的面积应该在[2，2]，观察题中提供答案，正视图的面积不可能的﹣1．故选C．11．已知（1+ax）5的展开式中x2的系数为40，则a=（）A．±1 B．±2 C．2 D．﹣2【考点】二项式系数的性质．【分析】根据x2系数为C52•a2=40解得a的值．【解答】解：（1+ax）5的展开式中的x2系数为C52•a2=40，a2=4，解得a=±2，故选：B．12．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．3x2dx=7（用数字作答）．【考点】定积分．【分析】运用微积分基本定理和定积分的运算律计算即可．【解答】解：3x2dx=（x3）=23﹣1=7，故答案为：714．已知f（x）=x3﹣ax在（﹣∞，+∞）是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，0] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求函数f（x）的导数，然后根据f'（x）=3x2﹣a≥0在R上恒成立，即可得到答案．【解答】解：f（x）=x3﹣ax，f′（x）=3x2﹣a，∵f（x）在R上单调递增，∴f'（x）=3x2﹣a≥0在R上恒成立即a≤3x2在R上恒成立，a小于等于3x2的最小值，∴a≤0故答案为：（﹣∞，0]．15．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．16．在平面直角坐标系xOy中，若l：（t为参数）过椭圆C：（φ为参数）的右顶点，则常数a的值为2．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】求出椭圆的直角坐标方程得出右顶点，代入直线l的参数方程即可得出a．【解答】解：椭圆的直角坐标方程为，∴椭圆的右顶点为（2，0）．代入直线的参数方程得，解得a=2．故答案为：2．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．18．已知函数f（x）=sin2x+cos2x．（1）求f（x）的周期及单调递增区间．（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用辅助角公式即可转化为：y=sin（2x+），利用周期公式可求最小正周期，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，即可求得函数的单调递增区间．（2）由已知可求2x+的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解其值域．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴周期为T==π．∴由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为：（kπ﹣，kπ+），k∈Z，（2）∵当x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，∴f（x）=sin（2x+）的值域为：[﹣1，]．19．已知数列{a n}的前n项和为S n且2S n=n（n+1），（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若b n=，求{b n}的前n项和T n．（3）若C n=2，{C n}的前n项和R n，求满足R n≥2016的最小整数n．【考点】数列的求和；数列递推式．，【分析】（1）由2S n=n（n+1），利用递推关系可得：n=1时，a1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出．（2）b n===2，利用“裂项求和”方法即可得出：{b n}的前n项和T n．（3）C n=2=2n，利用等比数列的求和公式即可得出：前n项和R n，满足R n≥2016，转化为：2n+1﹣2≥2016，即可得出．【解答】解：（1）∵2S n=n（n+1），=﹣=n，∴n=1时，a1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1n=1时也成立，∴a n=n．（2）b n===2，∴{b n}的前n项和T n=2+…+=2=．（3）C n=2=2n，∴数列{C n}是等比数列，首项为2，公比为2，其前n项和R n==2n+1﹣2，满足R n≥2016，转化为：2n+1﹣2≥2016，210=1024，211=2048．∴n+1=11，解得n=10．∴满足R n≥2016的最小整数n=10．20．直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D、E分别为AB、BB′的中点．（1）求证：CE⊥A′D；（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）先=a，=b，=c建立一个基底，再用基底表示，，然后计算其数量积，可得答案；（2）由（1）表示，=||，再用向量的夹角求解．【解答】解：（1）证明：设=a，=b，=c，根据题意，|a|=|b|=|c|且a•b=b•c=c•a=0，∴=b+c，=﹣c+b﹣a．∴•=﹣c2+b2=0．∴⊥，即CE⊥A′D．（2）=﹣a+c，∴||=|a|，||=|a|．•=（﹣a+c）•（b+c）=c2=|a|2，∴cos＜，＞==．即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为．21．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为1的直角三角形．（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由△AB1B2是面积为1的等腰直角三角形知|OA|=|OB1|=1，从而求a，b，c 即可；（2）分类讨论，从而设直线l的方程为y=k（x+1），（k≠0），从而联立方程化简得（5k2+1）x2+10k2x+5k2﹣5=0，从而利用平面向量化简即可．【解答】解：（1）∵△AB1B2是面积为1的直角三角形，∴△AB1B2是面积为1的等腰直角三角形，∴|OA|=|OB1|=1，∴b=|OA|=1，c=2|OB1|=2，∴a=，e==，∴标准方程为+y2=1．（2）①当直线l与x轴垂直时，显然PB2与QB2不垂直，②当直线l与x轴重合时，显然PB2与QB2重合，故不成立，③设直线l的方程为y=k（x+1），（k≠0），联立方程得，即（5k2+1）x2+10k2x+5k2﹣5=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，∵PB2⊥QB2，∴•=0，∴（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1+k2（x1+1）（x2+1）=0，即（k2+1）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+1+k2=0，即（k2+1）﹣（k2﹣1）+1+k2=0，即16k2﹣4=0，解得，k=或k=﹣；故直线l的方程为：y=（x+1）或y=﹣（x+1），即l的方程为：x﹣2y+1=0或x+2y+1=0．22．定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d同时满足以下条件：①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②f′（x）是偶函数；③f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=4lnx﹣m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x）=3ax2+2bx+c，由f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，得到f′（1）=3a+2b+c=0，再由函数的奇偶性和切线方程能够求出函数y=f（x）的解析式．（2）若存在x∈[1，e]，使4lnx﹣m＜x2﹣1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx﹣x2+1，由此入手，结合题设条件，能够求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c．∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴f′（1）=3a+2b+c=0，（*）由f′（x）是偶函数得b=0，（ⅰ）又f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，∴f′（0）=c=﹣1，（ⅱ）将（ⅰ）（ⅱ）代入（*）得a=，∴f（x）=x3﹣x+3．（2）由已知得，若存在x∈[1，e]，使4ln x﹣m＜x2﹣1，即存在x∈[1，e]，使m＞（4ln x﹣x2+1）min．设M（x）=4ln x﹣x2+1，x∈[1，e]，则M′（x）=x4﹣2x=x4﹣2x2，令M′（x）=0，又因为x∈[1，e]，所以x=．当＜x≤e时，M′（x）＜0，则M（x）在（，e]上为减函数；当1≤x≤时，M′（x）＞0，则M（x）在[1，]上为增函数，所以M（x）在[1，e]上有最大值．又M（1）=0，M（e）=5﹣e2＜0，所以M（x）的最小值为5﹣e2．所以m＞5﹣e2．故实数m的取值范围是（5﹣e2，+∞）．2016年10月17日。