湖南省邵阳市邵东三中2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年湖南省邵阳市邵东三中高三（上）第一次月考数

学试卷（理科）

一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则A∪B=（）

A．∅B．R C．B D．A

2．若复数z满足z=，则z的虚部为（）

A．﹣4 B．﹣C．4 D．

3．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样D．系统抽样

4．已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则a的值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）

A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]

6．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB=b，则角A=（）

A．B．C．D．

7．若实数x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）

A．B．3 C．﹣2 D．2

8．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a1+4a2，a5=7，则a1=（）

A．1 B．﹣1 C．D．﹣

9．有4人排成一排照相，由于甲乙两人关系比较好，要求站在一起，则4人站法种数（）A．12 B．16 C．20 D．24

10．已知高为2的直四棱柱，其俯视图是一个面积为1的正方形，则该直四棱柱的正视图的面积不可能等于（）

A．2 B．2C．﹣1 D． +1

11．已知（1+ax）5的展开式中x2的系数为40，则a=（）

A．±1 B．±2 C．2 D．﹣2

12．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）

A．B．C．D．

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．

13．3x2dx=（用数字作答）．

14．已知f（x）=x3﹣ax在（﹣∞，+∞）是增函数，则a的取值范围是．

15．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．16．在平面直角坐标系xOy中，若l：（t为参数）过椭圆C：（φ为参数）的右顶点，则常数a的值为．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN

的面积．

18．已知函数f（x）=sin2x+cos2x．

（1）求f（x）的周期及单调递增区间．

（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．

19．已知数列{a n}的前n项和为S n且2S n=n（n+1），

（1）求数列{a n}的通项公式．

（2）若b n=，求{b n}的前n项和T n．

（3）若C n=2，{C n}的前n项和R n，求满足R n≥2016的最小整数n．

20．直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D、E分别为AB、BB′的中点．（1）求证：CE⊥A′D；

（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

21．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为1的直角三角形．

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．

22．定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d同时满足以下条件：

①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；

②f′（x）是偶函数；

③f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设g（x）=4lnx﹣m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．

2017-2018学年湖南省邵阳市邵东三中高三（上）第一次

月考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则A∪B=（）

A．∅B．R C．B D．A

【考点】并集及其运算．

【分析】化简集合A，根据并集的定义计算A∪B即可．

【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0或x＞2}，

B={x|﹣＜x＜}，

所以A∪B=R．

故选：B．

2．若复数z满足z=，则z的虚部为（）

A．﹣4 B．﹣C．4 D．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z，从而得到它的虚部．

【解答】解：∵z====+i，

∴z的虚部为，

故选：D．

3．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样D．系统抽样

【考点】分层抽样方法．

【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．

【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．

了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．

故选：C．