递推数列在解概率问题上应用
2019高考概率真题解析概率问题中的递推数列
概率问题中的递推数列一、a n =p ·a n －1+q 型【例1】 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是12，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是13，出现绿灯的概率是23；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是35，出现绿灯的概率是25，记开关第n 次闭合后出现红灯的概率为P n 。
(1)求：P 2；(2)求证：P n <12 (n ≥2) ；(3)求lim n n P →∞。
解析：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P 2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯。
于是P 2=P 1·13+(1－P 1)·35=715。
(2)受(1)的启发，研究开关第N 次闭合后出现红灯的概率P n ，要考虑第n －1次闭合后出现绿灯的情况，有 P n =P n －1·13+(1－P n －1)·35=－415P n －1+35，再利用待定系数法：令P n +x =－415(P n －1+x )整理可得x =－919∴{P n －919}为首项为(P 1－919)、公比为(－415)的等比数列P n －919=(P 1－919)(－415)n －1=138(－415)n －1，P n =919+138(－415)n －1∴当n ≥2时，P n <919+138=12(3)由(2)得lim n n P →∞=919。
【例2】 A 、B 两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A 开始掷.设第n 次由A 掷的概率为P n ，(1)求P n ；⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率. 解析：第n 次由A 掷有两种情况：① 第n －1次由A 掷，第n 次继续由A 掷，此时概率为1236P n －1；② 第n －1次由B 掷，第n 次由A 掷，此时概率为(1－1236)(1－P n －1)。
深入研究概率与统计的递推关系问题
深入研究概率与统计的递推关系问题概率与统计是数学中两个重要的分支学科，它们在处理随机事件和数据分析方面都具有广泛的应用。
而在概率与统计的研究中，递推关系问题是一类具有重要意义的问题。
本文将深入探讨概率与统计中的递推关系问题，分析其原理和应用，并结合实例进行详细说明。
一、递推关系的定义和原理递推关系是指在数列或函数中，通过前几个项或前一个函数值推导出后续项或后一个函数值的关系。
在概率与统计中，递推关系常常用于解决相关的概率问题或统计推断问题。
其基本原理是将已知的条件或已有的信息用于推导出下一步的结果，从而得到整个序列或函数的解。
递推关系通常通过递推公式来表示。
以数列为例，设数列的第n项为an，其递推关系可以表示为：an = f(an-1, an-2, ..., a1)其中f为一个确定的函数。
根据这个递推关系，我们可以通过已知的前几项，计算出后续的项。
二、递推关系问题在概率中的应用概率论中的递推关系问题是指在给定一些初始概率后，通过递推计算得到后续的概率。
递推关系问题在概率论中有着广泛的应用，例如在信道编码中的前向纠错编码、马尔科夫链等领域。
以前向纠错编码为例，其主要思想是在发送数据时加入冗余信息，并通过递推关系计算出校验位，用于纠正接收端的错误。
这就需要根据已知的初始概率和递推关系计算出后续每个位置上的纠错码。
递推关系在这一过程中起到了关键的作用，它能够通过已知信息和概率计算出后续的结果，进而提高数据的可靠性。
三、递推关系问题在统计中的应用统计学中的递推关系问题是指通过递推关系计算得到后续的统计指标或推断结果。
递推关系问题在统计学中也有着广泛的应用，例如在时间序列分析、预测模型和回归分析等领域。
在时间序列分析中，往往需要通过已知的观测数据，计算出后续的预测结果。
递推关系可以将已有的观测数据与模型参数结合起来，通过递推计算得到后续的预测值。
递推关系在这一过程中起到了重要的作用，能够通过已有的数据和模型，得到后续时间点上的预测结果。
递推思想在概率中的应用
＼／
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的图像一致． ＜ ＜旦 即一 ｍ 一
下２ 情况 ： 种
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② 当ｔｅ＝ ， — ‘ 时 ， 程有 — 即ｔｅ＝ 方
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一
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、
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．
解 ：
＾ ，’ ＾ １
① 当函数ｙ １ ｆｘ ＋ ］ 图像与ｘ ＝ｏ （） ｐ 的 ［ 轴无交点时 ， 则必须有
Ｊ， 作 ＿
，
出ｆｘ 的示 意 图 ， 图： （） 如
１ ２
当Ｘ ０ ｅ 时 ， Ｘ Ｉ ０ Ｌ （ ） （ ， ］ 为增 函数 ； ∈（ ，） Ｌ （ ） ， ｘ 在 ０ ｅ 上 ＞ 当ｘ ｅ ＋ 。 时 ， Ｘ ≤Ｏ Ｌ （ ） ［ ， 。 ） 为 减 函 数 ； Ｅ（ ， 。） Ｌ （ ） ， ｘ 在 ｅ ＋ 。 上
Ｘ
列 表 如 下
（一∞ ，一１ ）
ｆ（ ） ｘ
ｆ （ ｘ ）
立； ） （ 试讨论关于ｘ ２ 的方程ｍ一 一（）） ２）ｔ ｘ ｇ ＝３ ｅ＋【 ｘ 【 【】 — ２ 根的个数．
Ｘ
一１ （一１， ） １
Ｏ
ｌ
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（ ２，＋∞ ）
解 ： １ ｍ＝ ＝１ （） ｎ （ 方程 瑚】 一 （ ＝ ３２ ｘ＋ ｘ ） ２） Ｉ一 【 ｇ ｘ） Ｘ－ ｅ ｔ Ｚ￣ ｆ２ｎ ： ３２ ｘ＋ｘ １ｘ ｘ— ｅ ｔ
２１ ３ 周刊 ０ 年第 ３ ２ 期鼋 试
离散数学中的递归函数和递推式
离散数学是应用数学的一个重要分支，它研究离散对象和离散结构之间的关系。
递归函数和递推式是离散数学中两个重要的概念，在解决问题和理解数学概念中起到了重要的作用。
递归函数是指定义的函数可以通过对自身的调用来实现计算的过程。
递归函数需要满足两个条件：首先，必须有一个基本情况，这个基本情况是递归函数能够直接计算出结果而不需要再递归调用；其次，递归函数必须能够将问题规模减小，使得递归函数能够趋近于基本情况。
递归函数一般采用递归调用的方式进行计算，通过多次调用最终得到结果。
递归函数的定义通常使用递归方程来表达。
递归函数的应用非常广泛。
比如在计算数列中的斐波那契数列，递归函数可以非常方便地计算当前数列项的值。
斐波那契数列的定义如下：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥2）。
我们可以通过递归函数来计算出任意一项的值，只需要将问题规模n减小到1时，就可以直接得到结果。
另一个例子是阶乘函数。
阶乘函数的定义是：n！=n×(n-1)！，其中0！=1。
通过递归函数的调用，我们可以直接计算出给定正整数n的阶乘值。
递推式是一种通过前一项推导出后一项的数学表达式。
递推式可以看做递归方程的一种特殊形式。
递推式的求解往往是从已知条件出发，通过逐步推导得到问题的解。
递推式的求解方法一般有两种：一种是直接法，通过简单的代入运算得到递推式的解；另一种是递推法，通过已知条件推导出递推关系式并进行逐步求解。
递推式在离散数学中的应用非常广泛，比如在解决递推关系问题、计算数列中的元素等方面都有重要的作用。
递推式的一个典型应用是求解斐波那契数列的第n项的值。
斐波那契数列的递推式是：F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥2）。
通过已知条件F(0)=0，F(1)=1，我们可以逐步推导出递推关系式并进行逐步求解，最终得到第n项的值。
递推式还可以用来解决概率问题中的递推关系，比如生存概率、病毒传播概率等。
递推式在离散数学中有着广泛的应用，为解决实际问题提供了重要的数学工具。
概率问题—递推数列(精华)
一、a n =p ·a n －1+q 型【例1】 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是，从开关第二次闭合12起，若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率132335是，记开关第n 次闭合后出现红灯的概率为P n 。
25(1)求：P 2；(2)求证：P n < (n ≥2) ；12(3)求。
lim n n P →∞解析：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P 2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯。
于是P 2=P 1·+(1－P 1)·=。
1335715(2)受(1)的启发，研究开关第N 次闭合后出现红灯的概率P n ，要考虑第n －1次闭合后出现绿灯的情况，有 P n =P n －1·+(1－P n －1)·=－P n －1+，133541535再利用待定系数法：令P n +x =－(P n －1+x )整理可得x =－ 415919∴{P n －}为首项为(P 1－)、公比为(－)的等比数列 919919415P n －=(P 1－)(－)n －1=(－)n －1，P n =+(－)n －1 919919415138415919138415∴当n ≥2时，P n <+=91913812(3)由(2)得=。
lim n n P →∞919【例2】 A 、B 两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A 开始掷.设第n 次由A 掷的概率为P n ，(1)求P n ；⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率. 解析：第n 次由A 掷有两种情况：① 第n －1次由A 掷，第n 次继续由A 掷，此时概率为P n －1； 1236② 第n －1次由B 掷，第n 次由A 掷，此时概率为(1－)(1－P n －1)。
递推数列在解概率问题上的应用
．
｛ 一 吾 ） 是 首 项 为 一 吾 ＝ 一 吾 ， 公 比 为 一 的 等 比 数 列 。
一
故｛ ｄ ｝ 是公比为一 ， 首项为 一 的 等 比 数 列（ １ ≤ｉ ｑ ≤１ ０ ０ ） 。 （ １ ） 由（ ２ ） 知， ａ ｌ ＋ ２ ＋ …＋ ９ ９ ＝（ 一 ） ＋ （ 一 ） ＋ …＋（ ９ 一Ｒ ８ ） ＝
ｎ 次后， 棋 子 仍 然 在 Ａ方 的 概 率 记 为 Ｐ 。
ｒ ５ ５ 、
题 增 加 了新 的 亮 点 。 这 对 培 养 学 生 的 数 学 思 想 方 法 和 提 高解 题 能 力十分有益 。 本 文 试 图 对 递 推 数 列 在 概 率 上 的 应 用 做 粗 浅 的 分 析
构 造 的 等 比 数 列 表 现 形 式 进… 步 延 伸 ， 改变 问法 ， 变成了证【 ｌ 题。
＝
使 之 与解 析 几 何 直 线 问题 密切 结 合 ， 沟 通 了递 推 数 列 、 慨率 、 觯析
几 何之 间的 联 系 ， 拓 展 了学生 的 思 维 ， 培 养＿ ｒ探 究 州题 的能 。ｌ ｌ ｆ
情 况应 当 考 虑 ：
前跳 动 两 站 。 直到 棋子 跳 到 第 ９ ９ 站（ 获 胜） 或第 １ ｏ ０ 站（ 失 败） 时， 游 戏
结束 。 已知硬 币 出现正 、 反 面 的概 率 相 同 ， 设 棋子 跳 到 第ｎ 站时 的 概
率为Ｐ （ １ ） 求 ， ， 。
研究 。 －
—
（ １ ） 对 于 任 意 ｎ ∈ Ｎ ， ｉ ｉ ｌ ！ Ｎ Ａ （ Ｐ ， ， ） 总 在 过 定 点 ’ Ｊ ， 斜 率 为
ｌ
的直线上。 （ ２ ） 求 。 解： （ １ ） 把 骰 子 掷 Ｔｎ ＋１ 次， 棋 子 仍 在 Ａ方 的概 率 为Ｐ 有两 种
数列的三种表示方法
数列的三种表示方法摘要：一、数列的定义与意义二、数列的三种表示方法1.顺序表示法2.通项表示法3.递推表示法三、各种表示方法的优缺点及适用场景四、如何选择合适的表示方法五、数列在实际问题中的应用案例正文：数列是数学中一个重要的概念，它在数学分析、概率论、物理学等多个领域有着广泛的应用。
为了更好地理解和研究数列，我们有必要了解数列的三种表示方法：顺序表示法、通项表示法和递推表示法。
1.顺序表示法顺序表示法是指用自然数表示数列中的每一个元素。
例如，等差数列{a1, a2, a3, ...}，其中a1表示数列的第一个元素，a2表示第二个元素，以此类推。
顺序表示法直观地反映了数列中元素的位置关系，但当数列的项数较多时，记忆和计算都会变得复杂。
2.通项表示法通项表示法是用一个公式来表示数列中任意一项的方法。
例如，等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
通项表示法简洁地反映了数列的规律，方便进行分析和计算。
但需要注意的是，通项表示法适用于具有规律性的数列，对于无规律的数列，通项表示法可能不适用。
3.递推表示法递推表示法是用前一项与当前项之间的关系来表示数列的方法。
例如，斐波那契数列的递推关系式为：fn = fn-1 + fn-2。
递推表示法揭示了数列中项之间的内在联系，有助于发现数列的性质和规律。
但递推表示法在实际应用中可能涉及到复杂的递推关系，计算和分析难度较大。
在实际问题中，选择合适的表示方法至关重要。
一般来说，顺序表示法适用于描述简单有序的数据，通项表示法适用于研究具有规律的数列，递推表示法适用于分析复杂数列之间的关系。
根据问题的需求，我们可以灵活地选择合适的表示方法。
例如，在研究等差数列的求和公式时，我们可以采用通项表示法，将求和公式表示为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an 表示第n项。
而在分析斐波那契数列的性质时，我们通常使用递推表示法，通过迭代计算来揭示数列的规律。
递推数列“亮剑”排列组合与概率
共 有Ａｘ 种方 法 ；由分类计 数原理知经过４ ２２ 次传球仍 回
到 甲共 有 ３ ３ Ａｘ ＝ １ 方 法 ． 选 Ａ ｘ ＋ ￣２ ２ 种 故 ．
解析
方法 一 ： 对跨二级进行分类讨论．
０ 个二级 ， 即从 １ 步中选择０ ０ 个二级 ， ％ １ 则ｃ ；个二 级 ，
方法二 ：人传 球 时 ， ４ 传递ｋ 次共 有３种传 法 ， 第ｋ 设
分 组 有 五 种 情 况 ， 如 ： Ｃ，Ｄ， ； ， Ｅ， Ａ 到 下 依 次标 为 ｌ２ ３４ ５ ６ … ，ｎ １２ ）其 中 １ 以 和 Ａ Ｂ Ｅ ＡＣ Ｂ Ｄ； Ｄ， ， ， ， ， ， ， ２ 一 ，ｎ ， 可 Ｂ Ｃ Ｄ， Ｅ Ｂ；Ｄ， Ｅ， Ｅ， ； Ｃ ， Ｂ Ｃ Ａ．所 以不 同 的 染 色 方 法 共 有 ３ ４ … ，ｎ １２ 共 ２ 一 个连 接点 相连． ， ， ２ 一 ，ｎ ｎ ２ 假设 １ 相连 ， 与３
模 型．
ｎ ｎ
三 、 色 问 题 染
二 、 球 问题 传
例 ３如 图 ， 五边 形 Ａ Ｃ Ｅ中 ， ． 正 ＢＤ
若把顶点Ａ、 Ｃ、 Ｅ Ｂ、 Ｄ、 染上红 、黄 、 绿 例２甲 、 、 、 ． 乙 丙 丁四人相互传球 ， 一次 甲传 给 乙 、 三 种 颜 色 中 的 一 种 ， 得 相 邻 顶 点 所 Ｅ 第 使 丙、 丁三人 中任一人 ， 二次 由拿 球者再 传给 其他三人 第 染颜色 不相 同 ， 不 同的染 色方法共 则 中任一 人 ， 样共传 了４ ， 第４ 这 次 则 次仍 回到 甲的方法 共 有多少种？ 有（ ） ．
维普资讯
课■麓攮
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递 推 数 列 “ 剑 ” 列 组 合 与 概 率 亮 排
与递推数列有关的概率问题
一 向秒 后 ,带电粒子“ 同时在 点 次 左 动, 以 ,哥李合 移 所卜
处 ,必 须带 电粒 子
两 向一 , 带一粒 一 一 ”一 一 一 右’一卜李象一 孚 次向 ” 次 一 ,一 左、 向 故 孟 ,次 ,右 且 电 子 一 一 一 “ ‘
肺 二 掷 币出正 , 概 为 次 硬 均 现 面其 率 于 ②一 掷 币 现 面, 概 为 , 以 二十 第 次 硬 出 反 其 率 奇所 几奇奋
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秒 后 ,带 电粒子
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凹 ,
张海波 、 童星 ,被动城市化群体城市适应性与现代性获得 中的自我认同 ,社会学研究 ,
李苏娟 《 , 吉登斯 自 我认同理论对我国成人教育的启示 》 ,
砰 孩 安东尼 吉登斯 现代性与自 我认同凹 赵旭东 , 方文
译 北京 生活 读书 新知三联书店 ,
湖北大学成人教育学院学报 , 管理干部学院学报
站 ,一枚棋子开始在第 站 ,棋手 每掷一 次硬币棋子向前跳动
一次 ,若掷 出正面 ,棋 子 向前 跳一站 从 到 若 掷出反 面 ,棋 子向前跳二站 从 到 ,直到棋子跳到第 站 胜
位, 向 移 的 率 奇, 右 动 概 为 设左 动 概为 向移 的率 哥
球
球
秒后 ,带电粒子
由一道概率题所引发的对递推数列的思考
由一道概率题所引发的对递推数列的思考
如果你有一道概率题，可以引发对递推数列的思考，那么很可能这道题目要求你利用递推的方法来解决。
递推数列是一种数学工具，可以用来描述一个数列的形式。
它通常由一个初始值和一个递推公式组成，用于计算数列中后续项的值。
例如，你可能有一道概率题，要求你求出掷n次骰子后，每种点数出现的概率。
这道题目可以用递推数列来解决，具体方法如下:
•首先，你需要确定初始值。
在这道题目中，初始值为掷一次骰子后每种点数出现的概率，即1/6。
•然后，你需要确定递推公式。
在这道题目中，掷n次骰子后每种点数出现的概率等于掷n-1次骰子后每种点数出现的概率乘以1/6。
根据初始值和递推公式，你就可以求出掷n次骰子后每种点数出现的概率了。
总之，递推数列是一种非常有用的数学工具，可以帮助你快速解决一些求解数列的问题。
统计与概率背景下的递推数列
18
中学数学研究
2020 年第 4 期 (上)
解 答 设 该 队 员 投 进 第 n − 1 个 球 的 概 率 为 an−1,
投 失 的 概 率 为 1 − an−1, 则 投 进 第 n 个 (球 的 概 率 )为
2
2
11
1
an = 3 an−1 + 3 (1 − an−1), 即 an − 2 = 3 an−1 − 2 .
总之, 如何体现在核心价值引领下对知识的交叉、能力 的复合、素养的整合的全方位的考查, 是“四翼”的综合性对 高考试题提出的要求.
参考文献
[1] 教育部考试中心. 中国高考评价体系 [S]. 北京: 人民教育出版社. 2019.11.
[2] 教育部考试中心. 中国高考评价体系说明 [S]. 北京: 人民教育出版 社. 2019.11.
11 1
41
所以
an
=
2
+
2
×
3n ,
a4
=
. 81
评注 求解这类问题要求掌握互斥事件, 独立事件的概
率及递推数列的相关知识, 同时要具备分析、归纳、推理等
理性思维方法进行正确合理地判断、推理, 建立起递推数列
模型, 并能准确清晰有条理地进行表述. 由递推关系 an =
1
pan−1 + q, 可用待定系数法: 如例 2, 由 1 − pn = 2 pn−1,
1
1
即 pn = − 2 pn−1 + 1, 令 pn + x = − 2 (pn−1 + x), 整理解得
2
x = − . 将其转化为等比数列, 从而求得相应的通项公式.
3
例谈数列递推在求概率中的应用
例 ｌ 从原点 出发 的某动点 ， 照向量 （ ， ） 按 ＝ １０ 移
１
动的概率为 ， 按照向量 （，） ＝２０移动的概率为÷ ， 设 （ ＇ 处 ， Ｐ＋ ０） ￣ ｏ＝ ｋ ２ ５
可 到 达点 （ ， ） ｎ０ 的概 率 为 ．
， ￣ ｏ Ｎ ２Ｐ
一 （ｏ ｒ ２ Ｐ＋
５生 活应 用 ．
提问 ： 过这样 的图吗？（ 见 学
生联 系生 活说 一说 ）这里 的千 克
是 表 示 有 多 重 的单 位 ． （） 梯 图 （ ） ４电 图４ 提 问 ： 是 哪 儿 ？思 考 ： 果 你 在５ ， 这 如 楼 你 想 去 ｌ楼 ， ５ 电梯 是 往 上还 是 往 下 呢 ？ 如 果 想
其中 １ ＝ ， ＋ ＝ 是一种特殊 的递归形式． ｏｆ １ ｅ ｌ
＝
，
即一＝ （ 卜＝２ 丢一 ２ 了 （ 一 ＦＰ （ 厂… ＝ ） Ｊ ． 一 ， （ ｆ＿ ， 一 ； ２一 累有 一（ ）一 …一 加 ： 一 ＋ ＝ ＋ （ （ 故 ÷ ＋ ３＋ ＋ － ． － 所 一（ 厂 以 号 一 ． ５
大 的数分 别 为Ｍ Ｍ： … ， ， ， ， Ｍｎ求满 足Ｍ Ｍ２Ｍ， ＜ ＜ ＜…＜ 的概 率．
提问 ： 在哪见过？（ 公交站 台 ） 经过“ 莫愁路 ” 的有哪
些车？
（） 袋 （ ３ ３米 图 ）
（） ２草莓图 还有一幅草莓图， 你来估计一下有多少个草莓 ， 比一比
这次 准的眼力 准 ！学着 老师 的方 法来数一数 有多少 个． 展 示 学 生 的 方法 ， 扬 估 计对 的小 朋 友 ． 表
所以 １ ＝
故累积有 ：
， 尸 ÷Ｐ …，２ ＝ １ ．
例析概率问题中的递推数列
例析概率问题中的递推数列
管宏斌
【期刊名称】《中学生数理化：高二版》
【年(卷),期】2005(000)004
【摘要】<正>数列问题是高考数学中的一棵"常青树",可谓常考常新.2004年,多个省市高考数学试卷的最后一题都与递推数列有关,这是因为递推数列问题的题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性,所以高考命题人常"乐此不疲"地去编制递推数列题,但学习者往往不得要领,递推数列由此"曲高和寡"而难以让人"亲近".本文就概率问题中的两类递推数列,从求解策略出发剖析,以期望广大师生能够从中受到启发,进而归纳出一般解题思考方法.
【总页数】3页(P13-15)
【作者】管宏斌
【作者单位】江苏
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.递推数列在解概率问题上的应用 [J], 李杰
2.例析概率问题中的递推数列 [J], 管宏斌
3.例析概率问题中的递推数列 [J], 管宏斌
4.例析概率问题中的递推数列 [J], 薛伯敬;王秀奎
5.与递推数列有关的概率问题 [J], 陈兆权
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概率问题中的递推数列
概率问题中的递推数列一、a n =p ·a n －1+q 型【例1】 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是12，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是13，出现绿灯的概率是23；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是35，出现绿灯的概率是25，记开关第n 次闭合后出现红灯的概率为P n 。
(1)求：P 2；(2)求证：P n <12(n ≥2) ； (3)求lim n n P →。
【例2】A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A开始掷.设第n次由A掷的概率为P n，(1)求P n；⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率.二、a n+1=p·a n+f(n)型【例3】(传球问题)A、B、C、D4人互相传球，由A开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到A手中，则不同的传球方式有多少种？若有n个人相互传球k次后又回到发球人A手中的不同传球方式有多少种？【例4】(环形区域染色问题)将一个圆环分成n(n∈N*，n≥3)个区域，用m(m≥3)种颜色给这n个区域染色，要求相邻区域不使用同一种颜色，但同一颜色可重复使用，则不同的染色方案有多少种？123nn-1……变式：(2003年高考江苏卷)某城市在中心广场建一个花圃，花圃分为6个部分如图，现要栽种4种不同颜色的花且相邻部分不能同色，由不同的栽种方法有种。
1 2345 6三、a n+1=a n·f(n)型【例5】(结草成环问题)现有n(n∈N*)根草，共有2n个草头，现将2n个草头平均分成n 组，每两个草头打结，求打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数。
变式：某人手中握有2n(n∈N*)根草，只露出两端的各自2n个草头，现将两端的2n个草头各自随机平均分成n组，并将每组的两个草头连接起来，最后松手，求这时所有的草恰好构成一个圆环的概率。
巧用数列方法解决概率问题——2023年新高考1卷第21题的一点思考
巧用数列方法解决概率问题——2023年新高考1卷第21题的一点思考引言：2023年高考已落下帷幕，本轮考试中继续在反套路，反机械刷题上下功夫，充分落实中国高考评价体系中“四层四翼”的考查要求，合理控制考题的难度，进一步科学引导教学.今年的高考题中又再一次继2019年后利用数列的递推公式公式解决概率问题，此类题型在新教材中也有体现，也进一步体现教考衔接，引导广大师生要在高三复习备考中要回归课本，回归基本方法，注意章节知识之间的灵活应用。
关键词：概率递推数列一、2023年高考真题再现例：甲、乙两人投篮，每次由其中一位投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求.分析:研究每一次（第2次起）是谁投篮是需要知道上一次是谁投篮的，因为甲乙投篮的命中率不一样，会关系到下一轮是谁投篮，所以需要弄清楚它们的关系，利用树状图就非常清晰。
解：（1）略（2）.求第投篮是甲是要弄清楚第次投篮的是谁，其可以分为甲和乙，设表示第次投篮是甲的概率.第次投篮是甲的概率来自两个方面，若果前一次是甲的话（概率为），那么第次投篮是甲的概率为；若果前一次是乙的话（概率为），那么第次投篮是甲的概率为，故第次投篮是甲的概率可表示为，进而又可以根据数列的知识化为，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以第次投篮的人是甲的概率.用数列的递推公式求概率问题是一个比较抽象的问题，需要学生较强逻辑推理和归纳概括的能力，在概率题中特别需要让学生体会表格和树状图的作用，它常常能帮助我们理清它们的关系，在高三复习备考中要关注培养学生的这些能力.第（3）问给出的公式在考场短时间上很多学生不能轻易理解其中含义，因而也就无法知道这个公式计算的就是期望，其实我们还是可以根据自己对均值的理解来帮助理解这个公式的意义，采用特殊到一般的思路获得两点分布中的均值等于每个表示成功的随机变量与相应概率之积的和来理解.如：设第次甲投篮的概率为P①当前1次中甲投篮的次数的分布列为:②当前2次中甲投篮的次数的分布列为:P③当前3次中甲投篮的次数的分布列为:P由不完全归纳可以得出前次投篮中甲投篮次数的均.这样也能帮助我们进一步理解问题中给的公式就是计算期望的.所以.事实上给出的公式还是可以这样来理解的：前次中甲投篮次数的均值可以理解为前边的n次中每次投篮贡献的均值之和，而第二问求出的概率刚好又是每次投篮的概率，所以前边n次投篮中每次投篮在均值中的贡献可用下面这个表格来表示:.当然更进一步的问题也可以改为前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮成功的次数为，求.这样就会对甲每次投篮成功的概率有关系了.二、探寻2023年高考概率题的“源”其实，在新教材中二项分布和超几何分布都对均值有了明确的阐述，也对其结果进行了证明.而今年的高考题第21题无论是方法还是过程都可以参考二项分布中均值的方法进行，都是采用归纳推理的思想。
概率中的递推关系—马尔科夫链
【解答】 因为棋子跳到第 n 站，必是从第 n－1 站或 n－2 站跳出来的，所以 pn＝12 pn－1＋12pn－2(2≤n≤100)，即 pn－pn－1＝－12(pn－1－pn－2)．又 p1－p0＝－12，故{pn－pn－1} 是首项为－12，公比为－12的等比数列，所以 pn－pn－1＝－12n，可得 pn＝p0＋(p1－p0) ＋(p2－p1)＋…＋(pn－pn－1)＝1＋－121－1－－－1212n＝23＋13·－12n，所以 pn＝23＋13－12n．
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配套精练
2．(2024·无锡江阴期初)王先生准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机
选择一种出行．从即日起出行方式选择规则自定如下：第一天选择骑自行车出行， 随后每天用“一次性抛掷4枚质地均匀的硬币”的方法确定出行方式，若得到的正 面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方 式．设pn(n∈N*)表示事件“第n天王先生选择骑自行车出行”的概率． (1) 用pn－1表示pn(n≥2)；
2 甲、乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比 赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过 关另一人未过关，过关者得1分，未过关得－1分；若两人都过关或都未过关则两人 均得0分．甲、乙过关的概率分别为m和n，在一轮闯关中，甲的得分记为X． (3)在第(2)问的条件下求P2，并尝试解释游戏规则的公平性．
【解答】 由题意可知 pn＝14pn－1＋12(1－pn－1)，即 pn－25＝－14pn－1－25．又 p1－25＝23－ 25＝145，所以pn－25是首项为145，公比为－14的等比数列，所以 pn－25＝145－14n－1，即 pn＝25＋145－14n－1．
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递推数列在解概率问题上的应用
摘要：本文指出了递推数列、概率有机结合的题型，体现了知识网络的交汇点，探讨了运用递推数列解答概率问题的数学方法，分析了递推数列与概率的综合题对提高学生解题能力的作用。
关键词：递推数列概率综合能力
中图分类号：g633.6 文献标识码：a 文章编号：1673-9795（2013）06（c）-0090-02
递推数列是中学数学教学的难点，概率是新教材所增加的内容。
二者的联袂，使数学题增加了活力，也使在知识网络交汇处命题增加了新的亮点。
这对培养学生的数学思想方法和提高解题能力十分有益。
本文试图对递推数列在概率上的应用做粗浅的分析研究。
例1：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2…100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即p0=1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次。
若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站。
直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束。
已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第n站时的概率为pn。
（1）求。
（2）设（1≤n≤100），求证：数列是等比数列。
（3）求玩该游戏获胜的概率。
解：设事件a发生的概率为p，若在a发生的条件下发生b的概率为p′，则由a产生b的概率为p·p′。
根据这一事实解答下题。
（1）∵p0=1
∴p1=，，
（2）棋子跳到第n站，必是从第n-1站或第n-2站跳来的（2≤n≤100），
所以，
∴，
∴≤≤，且。
故{}是公比为，首项为的等比数列（1≤n≤100）。
（1）由（2）知，
故获胜的概率为。
例1是一道跳棋游戏的应用题，贴近学生生活，具有知识性，趣味性。
不仅使学生能够运用所学的递推数列和概率的有关知识解答这一身边的游戏性问题，而且使枯燥，呆板的数学题充满了活力和魅力，令学生感到学的轻松和愉悦。
例2：有人玩掷骰子动棋的游戏，棋盘分为a、b两方，开始时把棋子放在a方，根据下列（1）、（2）、（3）的规定移动棋子：（1）骰子出现1点时，不能动棋子；（2）出现2，3，4，5点时，把棋子移向对方；（3）出现6点时，如果棋子在a方就不动。
如果在b 方，就移至a。
把骰子掷了n次后，棋子仍然在a方的概率记为pn。
（1）对于任意n∈n，证明点（pn，pn+1）总在过定点，斜率为的直线上。
（2）求pn。
解：（1）把骰子掷了n+1次，棋子仍在a方的概率为pn+1，有两种情况应当考虑：
①第n次棋子在a方，其概率为pn，且第n+1次骰子出现1点或6点，不动棋子其概率为，因此，第①种情况产生的概率为。
②第n次棋子在b方，其概率为1-pn，且第n+1次骰子出现2，3，4，5或6点，其概率为，因此，第②种情况产生的概率为。
∴
易知
∴点（pn，pn+1）在过点，斜率为的直线上。
（2）
又∵（利用（1）的结论）
∴是首项为公比为的等比数列。
∴
∴
例2虽然也是个玩棋的游戏问题，但在第（1）问中是把递推数列构造的等比数列表现形式进一步延伸，改变问法，变成了证明题。
使之与解析几何直线问题密切结合，沟通了递推数列、概率、解析几何之间的联系，拓展了学生的思维，培养了探究问题的能力。
再进一步推广，递推数列，都可以化成第（1）题形式的证明题，起到了一题多变，多题一解的作用。
例3：已知正四面体a—bcd，有一只小虫自顶点a沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点b、c、d。
然后又从b、c、d中的
一个顶点沿每一条棱以等可能的概率爬到其它三个顶点，依次进行下去。
记pn为第n次到顶点a的概率（小虫刚开始在a点，此时算作第1次到a，即记为p1=1）。
（1）求p n的通项公式。
（2）求第2005次爬行到顶点a的概率。
解：（1）由于第n次到顶点a是从b、c、d三个顶点爬行而来，从其中任何一个顶点到达a的概率都是，而第n—1次在顶点a与小虫在顶点b、c、d是对立事件，因此，第n次到达顶点a的概率为，即。
∵
∴是以为首项，公比为的等比数列，
∴.
故
（2）第2005次爬行到顶点a的概率
小虫爬行问题，小学初中数学中出现过相关问题。
学生阅读完例3，有我们曾相识的感觉。
从而激发了学生强烈的求知欲，调动了学生在新知识背景下解答小虫爬行问题的积极性。
由于用到对立事件原理，推导出递推数列，使学生感到很新奇。
同时使学生认识到解数学题也应与时俱进，从而培养学生科学发展观。
例4：从原点出发的某质点m，按向量a=（0，1）移动的概率为，按向量b=（0，2）移动的概率为。
设m到达点（0，n）的概率为pn，求pn。
解：m到达点（0，n）有两种情形：
（1）从点（0，n-1）按向量a=（0，1）移动到点（0，n），此时概率为。
（2）从点（0，n-2）按向量b=（0，2）移动到点（0，n），此时概率为。
因这两种情形是互斥的，故有≥，
即≥。
又易得
所以数列是以为首项，为公比的等比数列。
于是≥
所以
向量与概率都是新教材重量级内容，例4是用向量“包装”的概率题，又以数列“一剑封喉”，创意新颖，别具匠心。
例4的解答是学生所学向量，递推数列、概率知识融为一体的综合运用，也是对学生知识网络的全面考查。
例5：质点a位于数轴χ=0处，每隔1秒就向左或向右移动1个单位，设向左移动的概率为，向右移动的概率为。
（1）求经过3秒后，质点a在c=1处的概率。
（2）假若质点b在c=0和c=1两处之间移动，并满足：当质点b 在c=0处时，经1秒后必移到c=1处，当质点b在c=1处时经1秒后分别以的概率停留在c=1处或移动到c=0处。
今质点b在c=1处，记经n秒后质点在c=1处或移动到c=0处。
今质点b在c=1处，记经n秒后质点在c=1处的概率为p n，建立p n+1与p n的关系式，并求出pn。
解：（1）a到x=1对应“两右一左”的一个排列，
所以。
（2）质点a经n秒，在c=1处的概率
由此得。
而，
所以。
所以。
学生在审题时，注意到关键词“两右一左”，才能确定第（1）题是求独立重复试验的概率。
第（2）题是把条件进一步拓宽。
使问题有了新高度，通过递推数列构造等比数列，使问题迎刃而解。
题目不偏不怪，对培养学生敏锐地观察能力和灵活的思维能力颇有益处。
以上可以看到，递推数列与概率的综合在数学命题中举足轻重，再加上联系其它知识，更是锦上添花，前景广阔。
参考文献
[1] 薛金星.《中学教材全解》高二数学（下）[m].陕西人民教育出版社，2002.。