同济大学朱慈勉 结构力学第11章_结构的稳定计算

P A
EI
y1
k k
y2
ky1
l
B
EI
ky2
l
C
(2lk P ) y1 kly2 0 整理得 ：(kl P ) y Py 0 1 2
为使y1、y2 不同时为零，令：
HB’
P
A’ B’
VB’
ky1 ky2
2kl P kl 0 ----稳定方程 kl P P
•随遇平衡状态——经抽象简化，可能出现结构受干扰后
在 任何位置保持平衡的现象，此现象称为
“随
遇平衡状态”。
§11-1 两类稳定问题概述
二、失稳的概念及分类
失稳： 结构在荷载作用下其原始平衡状态可能由 稳定平衡状
态过渡到不稳定平衡状态，称原始平衡状态丧失稳定 性、简称“失稳”。
结构失稳的分类：根据结构失稳前后变形性质是否改变，
EIy( x ) M ( x )
M Py H A x
P y
P
HA
EIy( x ) ( Py H A x ) HA P 2 2 y y x 令 EI EI
HA
x
y EI
y
l
M
HA x 通解为：y( x ) A cos x B sin x 2 EI 由边界条件： y(0) 0, y( l ) 0, y( l ) 0
1、设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平衡
状态）；
2、由分支点上平衡的两重性出发，对新的平衡状态建立静力 平衡方程，由位移为非零解得“特征方程”，也称“稳定
方
程”； 3、解特征方程，从而求得临界荷载。
§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
弹性结构的稳定能量准则
定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所做的功，称 为“外力势能” ，记作UP 。 定义：体系应变能U 加外力势能UP称为“体系总势能” ，记作 EP 。 与材料力学压杆稳定问题一样，结构分支点失稳问题临界状态 的能量特征为：体系总势能EP取驻值。
H
l
EI
EI
θ
EI
A θ k
l
M A k
抗转弹簧刚度系数： k 解：转化为有弹性支座的单根压杆。
M A k 在新的平衡状态， 抗转弹簧的约束反力矩： k M A 0 Hl k 0 H l
3 EI l
§11-3 无限自由度体系的稳定——静力法
y
y(l ) l
y(l ) tanl
经试算： (l )min 4.493
2 Pcr min EI 4.493 2 EI ( ) EI 20.19 2 l l
2
3 2
5 2
l
§11-3 无限自由度体系的稳定——静力法
例11.8 求体系的临界荷载Pcr 。 P P
kl P P 0 P kl 2 P
P 2 3klP k 2 l 2 0
2.618kl 3 5 特征值: P kl 2 0.382kl Pcr 0.382kl ---临界荷载
§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
能量法求临界荷载分析步骤：
HA HA
y EI
y l
M
在此为 EIy( x ) M ( x )
x 曲率 y的正号规定： 若曲率中心位于所设定的y轴正向的一侧，则 y为正；反之为负。 挠曲线近似微分方程中的“ ”规定： 若所设定的弯矩正向引起正值的曲率 y，则公式中取“+”； 反之取“－”。
§11-3 无限自由度体系的稳定——静力法
§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
例11.5 能量法求例11.2的临界荷载。
U 解：体系应变能： 1 1 2 2 ky 1 ky 2 A 2 2 k EI U P P P(1 2 ) 外力势能：
P P

l l
y1 y2
θ1
ky1 ky2
l 2 i i 2
§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
例11.4 能量法求结构失稳时的临界荷载。P y P 1 解：体系应变能： U ky y ky 2 k 外力势能：U P P l EI θ l (1 cos ) l l 2(sin ) 2 2 2 2 y2 l 2 y l UP P UP P 能量形式的平衡方程 2 2l 1 P ) y2 体系总势能：E P U U P ( k 2 2l P dE P P , 令k 0 ( k ) y 0 为使y不为零 由势能驻值原理： l dy l 故临界荷载：Pcr lk
P
y1、y2不能全为零，故：
k1l P P 2k1l P k2 l
失稳形态
0 稳定方程
P 2 5klP 3(kl )2 0
P1 0.697kl , P2 4.303kl Pcr 0.697kl
§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
静力法求临界荷载分析步骤：
第十一章
结构的稳ห้องสมุดไป่ตู้计算
§11-1 两类稳定问题概述 §11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
§11-3 无限自由度体系的稳定 ——静力法 §11-4 无限自由度体系的稳定 ——能量法
§11-1 概述
强度验算 薄壁结构 刚度验算 结构设计 高强材料结构 稳定验算——某些时候是必须的 （如钢结构） 主要受压的结构等 强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的 结构的计算简图来分析的； 而稳定验算是在结构产生大变形后的几何形状和位置上进行计算 的，其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。
必不可少。
§11-1 两类稳定问题概述 一、结构平衡状态的分类——根据结构受任意微小外界干
扰后，能否恢复到原始平衡状态，将平衡状态分为如下三类：
•稳定平衡状态——若外界干扰消除后结构能完全恢复到原
始平衡位置，则原始平衡状态是稳定的。
•不稳定平衡状态——若外界干扰消除后结构不能恢复到原
始平衡位置，则原始平衡状态是不稳定的。
§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
三、结构失稳问题转化为具有弹性支座压杆的失稳问题 y P 例11.6 求体系的临界荷载Pcr 。 y P P 解： EI=
B EI
A EI C B
3 EI
P
y
P
l
θ
A C
3 EIθ / a
θ
3 EIθ / a
EI θ
A
P
k
k 6 EI a
可将失稳问题分为：
•分支点失稳——失稳前后平衡状态所对应的变形性质发
生改变。在分支点处，既可在初始位置处平衡，亦可在 偏离后新的位置平衡，即平衡具有二重性。
•极值点失稳——失稳前后变形性质没有发生变化，力－
位移关系曲线存在极值点，达到极值点的荷载使变形迅 速增长，导致结构压溃。
§11-1 两类稳定问题概述
1.分支点失稳 ——失稳前后平衡状态的变形性质发生变化 P＜Pcr
柱单纯受压、 无弯曲变形
P=Pcr
柱可在偏离原始平 衡位置附近的任一 位置上保持平衡。
P＞Pcr
柱的压弯变 形继续增大 直至破坏。
§11-1 两类稳定问题概述
P 不稳定平衡 大挠度理论 Pcr 小挠度理论
分支点
稳定平衡
Δ 分支点失稳的P-Δ曲线
失稳形式
§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
例11.3 求失稳时的临界荷载。已知：k1=k, k2=3k。
解：取B’C’为隔离体， M B, 0
P

P ( y2 y1 ) k1 y1l 0
由整体平衡MA=0，得：
k1 y1 2l k2 y2 l Py1 0
A0
HA B sin l l0 2 得： EI H B cos l 2 A 0 EI
x
为使B、HA不全为零(即y(x)不恒为零)：
l sinl 2 EI 0 稳定方程 1 cos l 2 EI
§11-3 无限自由度体系的稳定——静力法
tan l l 稳定方程
P y1
P P y2
EI
EI
EI

1个自由度 2个自由度 无限自由度
§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
稳定计算的中心问题是确定临界荷载。 完善体系分支点失稳分析有静力法和能量法。 静力法是从分支点上具有平衡的二重性出发，对新的平 衡状态建立静力平衡条件，从而求得临界荷载。 能量法是对新的平衡状态建立以能量形式表示的平衡条 件，依据临界点系统总势能为驻值，进而求得临界荷载。
1. 设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平 衡状态）； 2. 计算体系本身的应变能U、荷载势能UP，从而获得体系的 总势能EP=U+UP； 3. 由总势能的驻值条件建立以能量形式表示的平衡方程； 4. 由位移为非零解得“特征方程”，也称“稳定方程”； 5. 解特征方程，从而求得临界荷载。
a
由Pcr k / l
a
B
a
隔离体 受力图
A
θθ
A
3 EI a
C
6 EI Pcr al
§11-3 无限自由度体系的稳定——静力法
例11.7 求体系的临界荷载Pcr 。 解：规定：M正向与杆件纤维凸起方向一致。 y M Py H A x x 挠曲线近似微分方程： EIy( x ) M ( x ) P P
§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
P
即 : P 3klP k l 0
2 2 2
A 1.618
1
2.618kl 3 5 特征值: P kl 2 0.382kl
B C
k
Pcr 0.382kl ---临界荷载
y1 1 ---失稳形式 y2 1.618


§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
由势能驻值原理：
E P 1 2(kl P ) y1 2 Py2 0 y1 2l E P 1 2 Py1 2(kl 2 P ) y2 0 y2 2l
能量形式的平衡方程
为使y1、y2 不同时为零，令：
M A k
k Pl 0 ---稳定方程(特征方程)
Pcr k / l ---临界荷载
§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
讨论：
1.小挠度理论计算结果：Pcr k / l
2.大挠度理论计算：
P
C 大挠度理论
由Pl sin k 0 k Pcr l sin
k/l
A
B
小挠度理论
O
P-θ曲线
θ
临界荷载与θ是一一对应的
§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法 P
例11.2 求失稳时的临界荷载。
解：研究体系整体： MC 0 Py1 ky1 2l ky2 l 0 研究A’B’ ： MB' 0 ky1 l P( y2 y1 ) 0
一、静力法
§11-2 有限自由度体系的稳定 ——静力法和能量法
1
例11.1 求失稳时的临界荷载。 P P 解： M A 0 Pl sin k 0
B
k
小挠度、小位移情况下：sin

A
抗转弹簧 (刚度系数k)
l
EI
( Pl k ) 0

k
1. 0 — 对 应 原 始 平 衡 状 态 两 个 解: 2. 0 — 对 应 新 的 平 衡 状 态
2 ( y2 y1 ) 2 y 2 UP P 2l 2l
B
EI
k
C
θ2
EP U U P 体系总势能：
2 2 1 1 ( y y ) y 2 2 2 1 2 ky1 ky2 P 2 2 2 l 2 l 1 2 2 ( kl P ) y1 ( kl 2 P ) y 2 2 Py 1 y 2 2l
分支点上存在平衡形式的两重性 以分支点为界，原始平衡状态可分 为稳定平衡状态和不稳定平衡状态。
§11-1 两类稳定问题概述
2.极值点失稳 ——失稳前后变形性质没有发生变化
P
P<Pcr
P=Pcr
P>Pcr
Pcr
cr
cr
§11-1 两类稳定问题概述
三、稳定自由度 稳定自由度——体系产生弹性变形时，确定其变形状态所需的 独立几何参数的数目。