二次函数的性质的应用

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推导二次函数的性质与应用

推导二次函数的性质与应用二次函数是代数学中的重要概念之一，在数学和应用中有着广泛的应用。

本文将从推导二次函数的性质开始，逐步展开探讨二次函数的应用领域。

一、推导二次函数的性质二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

我们可以通过对二次函数进行完善平方来推导出它的一些性质。

1. 首先，将二次函数的一般形式进行完善平方变形，得到y=a(x-h)^2+k。

其中，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标，a为二次函数的开口方向和大小。

2. 从完善平方的形式可以看出，二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线，并且在顶点处取得极值。

如果a>0，则抛物线开口向上，函数的最小值为k；如果a<0，则抛物线开口向下，函数的最大值为k。

3. 通过求导，我们可以进一步证明二次函数的导数为一次函数，即dy/dx=2ax+b。

通过对导数的研究，可以得到二次函数的增减性以及凹凸性质。

4. 当a>0时，即抛物线开口向上时，函数单调递增。

当a<0时，即抛物线开口向下时，函数单调递减。

5. 二次函数的凹凸性质取决于a的正负。

当a>0时，函数为凹函数，曲线向上弯曲；当a<0时，函数为凸函数，曲线向下弯曲。

6. 二次函数的对称轴为直线x=h，其中h为顶点的横坐标。

对称轴将抛物线分为两个完全对称的部分。

二、二次函数的应用二次函数的性质使得它在许多应用领域中有着广泛的运用。

下面将介绍二次函数在数学和实际问题中的应用。

1. 最值问题由于二次函数在顶点处取得极值，因此可以用来解决许多最值问题。

比如，给定一定长度的材料，如何构造一个矩形使得其面积最大或最小；给定一定面积的围栏，如何构造一个矩形使得其周长最小或最大等问题都可以通过二次函数来解决。

2. 弹射问题在物理学中，弹射问题是二次函数的一个典型应用。

当我们研究一个物体在空中受到重力作用时的运动轨迹时，可以通过二次函数来描述物体的垂直位移与时间的关系。

(完整word版)二次函数的性质与应用

二次函数的性质与应用，主要研究：顶点、对称轴、最值、对称性、增减性、与坐标轴交点、图象平移、图象与方程（不等式）、图象信息、图象结合几何问题，实际应用问题等1、抛物线y=－x2+(m－1）x+m与y轴交于（0，3）点。

（1)求出这条抛物线解析式; (2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；(3）求出最值、画出图象; （4)x取什么值时，y的值随x的增大而减小？（5）x取什么值时，抛物线在x轴上方?2、已知函数（1）m= 时,函数图像与x轴只有一个交点; (2）m为何值时,函数图像与x轴没有交点;3、抛物线的一部分如右上图所示，该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是4将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后,所得抛物线的解析式为y=x2﹣1，则原抛物线的解析式为．5、如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1,0)，B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是___________．5、二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是( ）A、b≥ B、b≥1或b≤-1 C、b≥2 D、1≤b≤2二次函数的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当时,函数y随x的增大而增大；⑤当时，．其中，正确的说法有________ ．(请写出所有正确说法的序号）抛物线顶点坐标为点C（1，4),交x轴于点A(3,0），交y轴于点B.（1)求此抛物线的解析式；（2)抛物线上是否存在点P,使S△ABP=S△ABC,若存在,求出P点坐标；若不存在,请说明理由.如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm,点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2)求△PBQ的面积的最大值．1、如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD,AC=4BC，设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )A、B、C、D、二、综合题（共2题；共25分）2、（2015•崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1）求证：△AEF∽△ABC；（2)求这个正方形零件的边长；（3)如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大面积是多少?3、（2016•义乌）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0。

二次函数与二次曲线的性质与应用

二次函数与二次曲线的性质与应用二次函数与二次曲线是高中数学中重要的概念，具有广泛的应用背景。

了解和掌握二次函数与二次曲线的性质，对于学生们提高数学素养、拓展思维能力以及掌握实际问题的解决方法都有着重要的意义。

本文将介绍二次函数与二次曲线的性质，并探讨其在实际中的应用。

一、二次函数的定义和基本性质二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数通常表示为抛物线的形状，其性质包括开口方向、顶点、对称轴等。

其中，开口方向由a的正负决定，当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

顶点是二次函数的抛物线的最低点或最高点，由二次项系数b和c决定。

顶点的横坐标为-x = b / (2a)，纵坐标为f(-x) = c - b² / (4a)。

对称轴是二次函数抛物线的中心线，由顶点的横坐标x = -b / (2a)确定。

对称轴与y轴的交点坐标为(0, c)。

二、二次曲线的性质与图像在笛卡尔坐标系中，二次函数所对应的图像被称为二次曲线。

除了前述的开口方向、顶点和对称轴之外，二次曲线还具有一些其他的性质。

1. 零点：二次曲线与x轴的交点称为零点，即解方程f(x) = 0的解。

二次函数的零点可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0得到。

2. 判别式：对于二次方程ax² + bx + c = 0，其判别式记为Δ = b² -4ac。

判别式的正负性可判断二次曲线与x轴的交点情况：当Δ > 0时，有两个不相等的实根，二次曲线与x轴有两个交点；当Δ = 0时，有两个相等的实根，二次曲线与x轴有一个交点（切线）；当Δ < 0时，没有实根，二次曲线与x轴无交点。

3. 平移和伸缩：通过改变二次函数的参数a、b、c，可以实现对二次曲线的平移和伸缩。

参数a决定了曲线的开口方向和形状，参数b控制了对称轴的位置，参数c影响了曲线在y轴上的截距。

二次函数图像性质的应用

二次函数的应用内容分析二次函数在实际生活中的应用主要包括以下几个方面：（1）二次函数与经济问题，主要用于求解利润最大化；（2）二次函数与面积问题，涉及到实际图形面积关系式的表达、面积最值的求解等；（3）二次函数与拱桥问题，二次函数的图像与拱桥横截面的形状都是抛物线状，所以利用二次函数求解拱桥问题在实际生活中很常见；（4）二次函数与物体的运动轨迹：在实际生活中，由于只受重力的作用，掷出的铅球、踢出的足球、投出的篮球等物体的运动轨迹一定是抛物线形状，则可以利用二次函数的图像性质求解相关的问题．当然二次函数也会与其他的知识点相结合，例如二次函数与一次函数、二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式等的代数综合，以及二次函数与相似三角形、二次函数与圆、二次函数与动点等的几何综合，这些内容我们会在秋季班的课程中深入地学习．知识结构例题解析1、知识点名称求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值．这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围．【例1】某商品进价为90元/个，按100一个出售，能售出500个，如果这种商品每涨价1 元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，单价应定为__________．【难度】★★ 【答案】120元【解析】可设商品价格在100元基础上涨x 元，其总利润为y 元，总利润=单个利润×销量，()()21009050010104005000y x x x x =+--=-++，化为顶点式即为()210209000y x =--+，可知20x =时有最大利润，此时商品单价为10020120+=元．【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其最值．模块一：二次函数与利润最大化知识精讲【例2】某商店以120元每件的成本购进一批新产品，在试销阶段，每件产品的销售价x（元）（1）若日销售量y是销售价x的一次函数，求这个一次函数；（2）每件产品的销售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？【难度】★★【答案】（1）200y x=-+；（2）1600元【解析】（1）依题意可设y kx b=+，则有1307015050k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得1200kb=-⎧⎨=⎩，即这个一次函数解析式为200y x=-+；（2）总利润=单个利润×销量，则其总利润为()()()()22120120200320240001601600 x y x x x x x-=--+=-+-=--+，可知160x=时商品有最大日销售利润1600元．【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其最值．【例3】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数 y = kx + b ，且x = 65时，y = 55；x =75时，y = 45．（1）求一次函数y = kx + b 的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．【难度】★★【答案】（1）120y x =-+；（2）单价87元时有最大利润891元；（3）7087x ≤≤ 【解析】（1）依题意有65557545k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1120k b =-⎧⎨=⎩，即一次函数解析式为120y x =-+；（2）销售利润=单个利润×销售量，由此可得 ()()()260601201807200W x y x x x x =-=--+=-+-，化为顶点式，()290900W x =--+，又商场最大利润不得高于45%，可知定价最高不超过()60145%87⨯+=元，即x 取值范围是6087x ≤≤，函数开口向下，在对称轴左侧函数单调递增，可知定价87元时，商场有最大利润()28790900891--+=元；（3）令21807200500W x x =-+-=，解得170x =，2110x =，函数开口方向向下，结合6087x ≤≤，可知利润不低于500的范围是7087x ≤≤．【总结】根据题意列出相应的函数解析式，求最值时需要注意根据题目条件确定好相应自变量取值范围，适当结合函数增减性进行解题．【例4】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式；（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【难度】★★ 【答案】（1）2224320025y x x =-++；（2）降价200元；（3）降价250元时有最大利润5000元【解析】（1）销售利润=单个利润×销售量，由此可得()2224002000842432005025x y x x x ⎛⎫=--+⋅=-++ ⎪⎝⎭；（2）商场要盈利4800元，则有22243200480025y x x =-++=，解得1100x =，2200x =，要使百姓得到实惠，则冰箱降价尽可能高，取2200x =，即每台冰箱应降价200元；（3）化为顶点式，即得()222224320015050002525y x x x =-++=--+，由此可知每台冰箱降价150元时，商场有最高利润，最高利润为5000元．【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其相应最值．【例5】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ，市场调查发现：单价定于 70元时，日均销售60kg ，单价每降低1元，日均多售出2kg ，在销售过程每天还要支出其它费用500元（不足一天时，按整天计算），设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭的形式，指出单价定为多少时日均获利最多，是多少？（3）将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高，这两种销售方式，哪一种获总利最多，多多少？【难度】★★★【答案】（1）()2226065003070y x x x =-+-≤≤；（2）单价65元时日均获利最多是1950元；（3）销售单价最高时，获总利最多，多26500元．【解析】（1）日均利润=单个利润×销售量－日支出，由此可得 ()()()()2306027050030220050022606500y x x x x x x =-+--=--+-=-+-⎡⎤⎣⎦，依题意可知其定价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ，即其取值范围为3070x ≤≤；（2）化为顶点式，即得()22226065002651950y x x x =-+-=--+，由此可知单价定为65元时，日均获利最多，最高利润为1950元；（3）日均获利最多，单价65元，日销量26520070-⨯+=，销售天数700070100÷=天，商场总获利为元1950100195000⨯=；销售单价最高，日均销售60kg ，则销售天数为3507000601173÷=≈天，商场总获利为()70307000500117221500-⨯-⨯=元；195000221500<，可知销售单价最高时获总利最多，多22150019500026500-=元．【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其相应最值．【例6】某商场要经营一种文具，进价为20元，当售价为25元时，每天的销售量为250件，售价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）商场提出了A 、B 两种营销方案．方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B ：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【难度】★★★【答案】（1）21070010000w x x =-+-；（2）方案A 最大利润更高．【解析】（1）日均利润=单个利润×销售量，由此可得()()()()220250102520105001070010000w x x x x x x =---=--+=-+-⎡⎤⎣⎦；（2）化为顶点式，即得()22107001000010352250w x x x =-+-=--+，函数开口方向向下，在对称轴左侧函数递增，在对称轴右侧函数递减，在35x =时函数取最大值，由此可确定相关方案最高利润：方案A ：依题意有2030x <≤，根据函数增减性可知30x =时函数取最大值，即有最大利润2max1103070030100002000w =-⨯+⨯-=元；方案B ：依题意有()2501025102025x x ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩，可解得4549x ≤≤，根据函数增减性可知45x = 时函数取最大值，即有最大利润2max 2104570045100001250w =-⨯+⨯-=元；max1max 2w w >，可知方案A 最大利润更高．【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其相应最值，前提是确定相关自变量取值范围，再根据函数增减性进行求解．例题解析1、知识点名称求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围．而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多．【例7】在半径为4厘米的圆面上，从中挖去一个半径为x 厘米的同心圆面，剩下一个圆环的面积为y 平方厘米，则y 关于x 的函数关系式为（） A ．24y x π=-B ．()22y x π=- C ．()24y x π=-+D ．216y x ππ=-+【难度】★ 【答案】D【解析】S S S =-圆环小圆大圆，由此即可计算得222416y x x ππππ=⋅-=-+，故选D ．【总结】考查圆环的面积计算，确定相关函数的求取．【例8】一长方体的长和宽相等，高比长多0.5米，若长方体的长和宽用x （米）表示，则长方体的表面积S （平方米）关于x 的函数关系式为________________．【难度】★【答案】262S x x =+．【解析】长方体长和宽为xm ，高为()0.5x m +，根据长方体表面积计算公式，即得()()()222++20.50.562S x x x x x x x ⎡⎤=⨯⨯⨯=++++=+⎣⎦长宽长高宽高．【总结】考查长方体的表面积计算的知识回顾，同时结合函数内容进行相关解答．模块二：二次函数与面积问题知识精讲【例9】如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 上的一动点，若QP AP ⊥，交DC 于Q ，设PB = x ，ADQ ∆的面积为y ，y 与x 的函数关系式为_________________．【难度】★★【答案】24162x x y -+=．【解析】由90B APQ C ∠=∠=∠=︒，易证得ABP PCQ ∆∆，可得AB BP PC CQ =，即44xx CQ =-，由此可得()44x x CQ -=，则()24416444x x x x DQ CD CQ --+=-=-=，2114164224ADQx x S AD DQ ∆-+=⋅=⨯⨯，即24162x x y -+=．【总结】考查正方形的基本性质，同时应用“一线三直角”基本模型证明三角形的相似．【例10】小智用总长为8厘米的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）平方厘米A ．4B ．8C ．16D ．32【难度】★★ 【答案】A【解析】设矩形一边长为x ，由此可得矩形面积()()224424S x x x x x =-=-+=--+，可知 2x =时矩形面积S 有最大值24cm ，此时矩形恰为正方形．【总结】周长一定的情况下，图形为圆形时面积最大，矩形为正方形时面积最大，即在顶点时函数取最大值．ABCDPQAB CD【例11】如图所示，矩形花圃ABCD 的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．【难度】★★【答案】（1）2232S x x =-+；（2）8x =时S 有最大值2128m ．【解析】（1）AB 边长为x ，四边形为矩形，且剩余三边长总和为32，由此可得BC 边长为()322x m -，根据矩形面积公式面积=长×宽， ()2322232S AB BC x x x x =⋅=-=-+；（2）函数化为顶点式，即得()2223228128S x x x =-+=--+，可知8x =时，S 有最大值2max 128S m =．【总结】根据简单等量关系解决问题，二次函数化为顶点式即可得到函数最值．【例12】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 40 cm ，BC = 30 cm ，在Rt ABC ∆内部作一个矩形DEFG ，其中点D 和点G 分别在AC 、BC 上，点E 、F 在AB 上．设矩形的一边 EF = x cm ，设矩形的面积为y cm 2．（1）写出y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）求当x = 25 cm 时，矩形DEFG 的面积．【难度】★★ 【答案】（1）()2122405025y x x x =-+<<；（2）2300cm ．【解析】（1）90C ∠=︒，AC = 40 cm ，BC = 30 cm ，可得50AB cm =，四边形DEFG 为矩形，可知//GD AB ，3sin sin 5BC GDC A AB ∠===，4sin 5AC B AB ==，同时DG EF x ==，3sin 5GC GD GDC x =⋅∠=，3305GB BC GC x =-=-，12sin 2425GF GB B x =⋅=-+，由此2121224242525y GF EF x x x x ⎛⎫=⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭，同时实际问题中各线段长度均大于零，可得函数定义域为050x <<；（2）x = 25时，代入即可得21225242530025y =-⨯+⨯=，即矩形面积为2300cm ．【总结】利用简单公式求解面积，过程中可结合运用锐角三角比和相似三角形等基本内容．ABCDEF G【例13】抛物线的对称轴是直线x = 1，它与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点A 、C 的坐标分别是（1-，0）、（0，32）．（1）求此抛物线对应的函数的解析式；（2）若点P 是抛物线上位于x 轴上方的一个动点，求ABP ∆面积的最大值．【难度】★★【答案】（1）21322y x x =-++；（2）4．【解析】（1）设()21y a x c =-+，抛物线过点()10A -，，302C ⎛⎫⎪⎝⎭，，代入即有4032a c a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即得()21122y x =--+，整理得：21322y x x =-++；（2）令21322y x x =-++，可得()10A -，，()30B ，，则4AB =， 12ABP P S AB y ∆=⋅，ABP ∆面积最大，则P y 最大，又P 在抛物线上方，可知正好在顶点位置P y 有最大值max2P y =，由此可得面积最大值为14242⨯⨯=．【总结】抛物线解析式的求法，本题中顶点式最合适，同时由顶点式可得函数最值解决问题．A B C DEFNM GH【例14】如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE = 1，CF =43，直线EF 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，垂足分别为M 、N ，设HM = x ，矩形AMHN 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？【难度】★★【答案】（1）2483y x x =-+；（2）3x =，即点H 在点E 位置时，矩形有最大面积max 12y =．【解析】（1）四边形ABCD 是正方形，4AB BC CD ∴===，90C ABC ∠=∠=︒，//AB CD ， CFE EHN G ∴∠=∠=∠1CE =，43CF =，3tan tan 4CE G CFE CF ∴=∠==，3BE =， ∵MH x =，则有43MG x =，4BG =，故4444833AM AB BG MG x x =+-=+-=-，2448833y MH AM x x x x ⎛⎫∴=⋅=-=-+ ⎪⎝⎭；（2）将2483y x x =-+化为顶点式，即为()243123y x =--+，点H 在线段FG 上运动，易得函数定义域为04x <≤，故可知当3x =，即点H 在点E 位置时，矩形有最大面积max 12y =．【总结】利用简单公式求解面积，过程中可结合运用锐角三角比和相似三角形等基本内容，同时将函数化为顶点式即可求得函数最值解决问题．【例15】如图，矩形ABCD 中，AB = 6厘米，BC = 12厘米．点M 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度向点B 移动，点N 从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点 C 移动．若点M 、N 分别从A 、B 两点同时出发，设移动时间为t （06t <<），DMN ∆ 的面积为S ．（1）求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最小值；（2）当DMN ∆为直角三角形时，求DMN ∆的面积．【难度】★★★【答案】（1）2636S t t =-+，S 最小值为27；（2）1174S =．【解析】（1）依题意可得AM t =，2BN t =，由此6BM t =-，122CN t =-， DMN AMD BMN DNC S S S S S ∆∆∆∆=---矩形ABCD ，即111222S AB BC AD AM BM BN CN CD =⋅-⋅-⋅-⋅()()11161212621226222t t t t =⨯-⋅--⋅--⋅2636t t =-+，将2636S t t =-+化为顶点式，即为()2327S t =-+，可知3t =时，S 有最小值min 27S =；（2）MDN ADC ∠<∠，可知MDN ∠不可能为直角，由此可进行以下分类讨论：①90DMN ∠=︒，易证得AMD BNM ∆∆，则有AM AD BN BM =，即1226t t t =-，整理即为12162t =-，解得24t =-不合题意，应舍去； ②90DNM ∠=︒，易证得CDN BNM ∆∆，则有CD CN BN BM =，即612226tt t-=-，整理即为32t =，解得32t =符合题意；综上所述，32t =，此时233117636224S ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭．【总结】（1）不规则图形面积应用割补法进行求解，只需将相应长度表示出来即可；（2）主要应用“一线三直角”基本模型得到相似三角形转化求解．A BCDNM例题解析1、知识点名称二次函数与拱桥问题的解题，依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用二次函数的图像性质解答相关的问题．【例16】如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽AB 为12米，如图建立直角坐标系．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中3 1.7≈）【难度】★★【答案】（1）2149y x =-+；（2）10m【解析】（1）由题意可知函数关于y 轴对称，()04C ，为其顶点，162AO BO AB ===，可设抛物线解析式为2y ax c =+，则4c =，且函数过点()60B ，，代入可求得19a =-，即抛物线解析式为2149y x =-+；（2）水位上升1m ，即此时对应水面纵坐标为1，令21419y x =-+=，可得133x =-，233x =，则水面宽度为()3333636 1.710m --=≈⨯≈．【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题．模块三：二次函数与拱桥问题知识精讲ABCOxy【例17】有一个横截面为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m ，跨度为10 m ，则把它的横截面的图形放在如图所示的直角坐标系中时：（1）抛物线的顶点坐标为________，这条抛物线所对应的函数解析式为________________；（2）如图，在对称轴右边3 m 处，桥洞离水面的高度为______ m ．【难度】★★【答案】（1）()54，，248255y x x =-+；（2）3625【解析】（1）桥洞跨度为10m ，依题意可得抛物线对称轴为直线5x =，桥洞离水面最大高度为4m ，可知抛物线顶点坐标为()54，，可设抛物线解析式为()254y a x =-+，抛物线过点()00O ，，代入则有2540a +=，解得425a =-，代入整理得248255y x x =-+；（2）对称轴右边3m ，即该点处横坐标为8，代入即得248648825525y =-⨯+⨯=，则桥洞离水面高度为643642525m -=．【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题．【例18】某农业合作社的蔬菜大棚的横截面为抛物线，尺寸如图所示：（1）根据图中的平面直角坐标系求该抛物线的解析式；（2）若菜农身高为1.6米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.01米）【难度】★★【答案】（1）2122y x =-+；（2）1.79m【解析】（1）由题意可知函数关于y 轴对称，顶点为()02，，可设抛物线解析式为22y ax =+，则函数过点()20，，代入可求得12a =-，即抛物线解析式为2122y x =-+；（2）令212 1.62y x =-+=，可得x =1.79m ≈．【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解．【例19】一条隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长OC 为8米，宽OA 为2米，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6米，建立如图所示的坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4米，宽2米，能否从该隧道内通过？请说明理由；（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）21224y x x =-++；（2）能通过；（3）能通过．【解析】（1）隧道跨度8AB OC m ==，依题意得抛物线对称轴为直线4x =，隧道最高点距地面6m ，可知抛物线顶点坐标为()46，，可设抛物线解析式为()246y a x =-+，抛物线过点()02A ，，代入则有1662a +=，解得14a =-，代入得()21464y x =--+，整理得21224y x x =-++；（2）能通过，货车高4米，令212244y x x =-++=，解得14x =-24x =+，说明允许通过的车最大宽度为21x x -=，2>，说明该车可顺利通过；（3）隧道设双行道，则车高4米时，可顺利通过的车最大宽度为14x -=，2>，说明该车可顺利通过．【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题．【例20】某工厂要赶制一批蒙古包．如图，蒙古包横截面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成的，矩形长为12 m ，抛物线拱高为5.6 m ．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式；（2）现需在抛物线AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB 上，每扇窗户宽1.5 m ，高1.6 m ，相邻窗户之间的间距均为0.8 m ，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8 m ．请计算最多可安装几扇这样的窗户？【难度】★★ 【答案】（1）2745y x =-；（2）4 【解析】（1）蒙古包跨度为12m ，依题意可得：抛物线对称轴为y 轴，抛物线顶点坐标为(00 由12AB =，抛物线拱高5.6 m ，可得(6A --，可设抛物线解析式为2y ax =，抛物线过点()6 5.6A --，，代入则有36 5.6a =-，解得745a =-，代入得2745y x =-；（2）窗高1.6 m ，则对应窗上角纵坐标为1.6 5.64-=-，令27445y x =-=-，解得 5.1x =≈，6 5.10.8->2=设最多可安装b 扇窗户，由植树问题基本原理可知()1.50.81a a +-≤，保留一位小数取近似值可得 4.8b ≤，取整得4b =，即最多装4扇这样的窗户．【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题．【例21】如图有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB 的宽为20米，如果水位上升3 米时，水面CD 的宽是10米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280千米（桥长忽略不计）．货车正以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶1小时后，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨（货车接到通知时，水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行），试问：如果货车按原来速度行驶，能否完全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？【难度】★★★ 【答案】（1）2125y x =-；（2）不能通过，速度应超过56/km h ．【解析】（1）水面跨度为20m ，依题意可得抛物线对称轴为y 轴，抛物线顶点坐标为()00，，由20AB =，可设()10A b -，，依题意水位上升3m ，水面宽度变为10m ，可知()53C b -+，，可设抛物线解析式为2y ax =，则有100253a b a b =⎧⎨=+⎩，解得1254a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入得：2125y x =-；（2）不能通过，若要安全通过速度应超过56/km h ．CD 处水位高为3431b +=-+=-，水位上升到点O 所需时间为10.254h ÷=，货车原速行驶，到达此桥所需时间为()280140406h -⨯÷=， 46<，说明货车不能通过此桥，若要货车安全通过，则货车速度应超过()2804156/km h ÷+=．【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题．【例22】如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米，现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD —DC —CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？【难度】★★★【答案】（1）()120M ，，()66P ，；（2）2126y x x =-+；（3）15．【解析】（1）由12OM =，可得抛物线对称轴为直线6x =，抛物线最大高度为6米，即抛物线顶点纵坐标为6，由此可得点()120M ，，抛物线顶点坐标()66P ，；（2）可设抛物线解析式为()266y a x =-+，抛物线过点()120M ，，则有3660a +=，解得16a =-，代入得()21666y x =--+，整理得2126y x x =-+；设()0A x ，，则2126D x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，即2126AD x x =-+，根据抛物线的对称性可知BM AO x ==，则122AB x =-，“支撑架”总长为()2AD DC +，即为()221122212221263AD AB x x x x x ⎛⎫+=-++-=-++ ⎪⎝⎭，化为顶点式，为()213153x --+，可知3x =时，“支撑架”总长有最大值15．【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题，同时注意函数的最值在顶点处取得，将解析式化为顶点式即可求最值．1、知识点名称与拱桥问题相同，也需要借助建立平面直角坐标系，利用二次函数的图像性质解答二次函数与运行轨迹的问题．【例23】若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为232y t t =+，则t = 5秒时，该物体所经过的路程为________．【难度】★ 【答案】85m【解析】t = 5时，2352585y =⨯+⨯=，即物体经过路程为85m ．【总结】考查二次函数解析式的意义，代值计算即可．模块四：二次函数与运行轨迹知识精讲例题解析【例24】如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为21251233y x x =-++（单位：米），其中点A 为出手点，点C 为铅球运行中的最高点，点B 为铅球落地点，求：（1）出手点A 离地面的高度；（2）最高点C 离地面的高度；（3）该运动员的成绩是多少米？【难度】★【答案】（1）53m ；（2）3m ；（3）10m ．【解析】（1）出手点503A ⎛⎫⎪⎝⎭，，即出手点离地面高度为53m ；（2）化为顶点式，即()214312y x =--+，()43C ，，可知最高点离地面高度为3m ；（3）令212501233y x x =-++=，解得12x =-，210x =，即()100B ，，由此可知该运动员成绩为10OB m =．【总结】考查二次函数解决运动问题，弄清楚函数表示各点的实际意义，可将实际问题转化为对点坐标的求解．【例25】在距离地面2米高的某处把一物体以初速度v 0（米/秒）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度h （米）与抛出的时间t （秒）满足2012h v t gt =-（其中g是常数，取g = 10 米/秒2）．若v 0 = 10 米/秒，则该物体在运动过程中，最高点距离地面______米．【难度】★★ 【答案】5．【解析】代入数值，即得2510y t t =-+，化为顶点式，即为()2515y t =--+，1t =时函数有最大值5，由此可知最高点离地面距离为5m ．【总结】考查二次函数解决运动问题，弄清楚函数表示各点的实际意义，可将实际问题转化为对函数最值的求解，化为顶点式即可．【例26】顽皮的小明，从10米高的窗口A 用水枪向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403米，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（） A ．2米 B ．3米 C ．4米 D ．5米【难度】★★ 【答案】B【解析】可设()24013y a x =-+，抛物线过点()010A ，，代入得103a =-，则()21040133y x =--+，整理得210201033y x x =-++，令()210401033y x =--+=，解得11x =-，23x =，则()30B ，，即3OB m =，故选B ．【总结】考查二次函数解决运动问题中点的实际意义，可将实际问题转化为求方程解的问题．【例27】如图所示，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线213.55y x =-+运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05米．（1）球在空中运行的最大高度为多少米？（2）如果该运动员跳投时球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮筐中心的水平距离是多少米？【难度】★★【答案】（1）3.5m ；（2）4m【解析】（1）213.55y x =-+，球运行高度最大，即为函数取得最大值，可知球在空中运行最大高度为3.5m ；（2）令213.5 2.255y x =-+=，解得 2.5x =±，可知运动员与最高点水平距离为2.5m ；令213.5 3.055y x =-+=，解得 1.5x =±，可知篮筐中心与最高点水平距离为1.5m ，由此运动员与篮筐中心水平距离为2.5 1.54m +=．【总结】考查二次函数解决运动问题，函数表示各点的实际意义的理解，可将实际问题转化为求方程解的问题．【例28】足球比赛中，某足球运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图1中的抛物线是足球的飞行高度y （m ）关于飞行时间x （s ）的函数图像（不考虑空气的阻力），已知足球飞出1 s 时，足球的飞行高度是2.44 m ，足球从飞出到落地共用3 s ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）足球的飞行高度能否达到4.88 m ？请说明理由；（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44 m （如图2所示，足球的大小忽略不计）．为了能及时将足球扑出，那么足球踢出时，距离球门左门柱 12 m 处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左门柱？【难度】★★★【答案】（1）21.22 3.66y x x =-+；（2）不能；（3）6/m s ．【解析】（1）可设函数()3y ax x =-，则函数过点()12.44，，代入得2 2.44a -=，解得 1.22a =-，由此y 关于x 的函数解析式为()1.223y x x =--，整理得21.22 3.66y x x =-+；（2）令21.22 3.66 4.88y x x =-+=，化简即为2340x x -+=，方程无解，即足球飞行高度不能达到4.88 m ；（3）根据抛物线的对称性，可求得足球到达球门左上角所需时间为2s ，守门员要扑出足球，则速度至少为1226/m s ÷=．【总结】考查二次函数解决运动问题，可根据实际问题设为二根式，函数表示各点的实际意义的理解，可将实际问题转化为求方程解的问题．。

二次函数的性质与应用

二次函数的性质与应用一、引言二次函数是高中数学中经常出现的一种函数形式，它具有许多独特的性质和广泛的应用。

本节课我们将学习二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。

二、二次函数的定义与基本性质1. 二次函数的定义二次函数是指具有形如 y = ax² + bx + c （其中a ≠ 0）的函数。

其中a、b、c 是实数，a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。

2. 二次函数图像的性质（1）抛物线的开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

（2）抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是 x = -b/2a。

（3）抛物线的顶点坐标：顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)）。

三、二次函数的性质推导与证明1. 零点的性质（1）二次函数的零点是函数与 x 轴的交点，即使 f(x) = 0。

（2）根据二次函数定义，我们可以列出二次方程 ax² + bx + c = 0，其中a ≠ 0，然后利用求根公式和配方法进行求解。

2. 极值点的性质（1）二次函数的最值点是函数的极值点。

（2）当 a > 0 时，函数有最小值；当 a < 0 时，函数有最大值。

3. 单调性分析（1）当 a > 0 时，二次函数在无穷大的负值处单调递增，在无穷大的正值处单调递减；当 a < 0 时，二次函数在无穷大的负值处单调递减，在无穷大的正值处单调递增。

（2）证明单调性时，可通过求导或按照定义进行推导。

四、二次函数的应用实例1. 弹射运动二次函数可以用来描述抛体的弹射运动。

我们可以通过列出二次函数来分析弹射运动的高度、时间、最远水平距离等。

2. 变速运动二次函数也常常用于描述物体的运动情况，如物体的位移随时间的变化。

利用二次函数的特性，我们可以分析物体的运动过程。

3. 优化问题二次函数可应用于求解最值问题，如在给定条件下，求函数取得极值时的自变量取值。

二次函数的性质与应用

二次函数的性质与应用二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。

二次函数是一种重要的函数类型，在数学和实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的性质与应用。

一、二次函数的基本性质1. 解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别代表函数的系数。

a控制开口方向和开口程度，正值使函数开口向上，负值使函数开口向下；b决定了函数的对称轴位置，对称轴的横坐标为-x/b；c是函数的常数项，表示函数与y轴的交点y=c。

2. 零点：二次函数的零点是使f(x) = 0的横坐标值。

一般情况下，二次函数有两个零点，可以用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)求得。

3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点。

顶点的横坐标为-x/b，纵坐标为f(-b/2a)。

对于a > 0，函数的图像开口向上，顶点是最低点；对于a < 0，函数的图像开口向下，顶点是最高点。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。

当a > 0时，函数图像开口向上；当a < 0时，函数图像开口向下。

2. 开口程度：a的绝对值越大，函数图像开口越窄；a的绝对值越小，函数图像开口越宽。

当|a| < 1时，函数图像会比较平缓；当|a| > 1时，函数图像则会比较陡峭。

三、二次函数的应用1. 最值问题：通过观察二次函数的开口方向和顶点，我们可以判断函数的最值。

对于开口向上的函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的函数，最大值为顶点的纵坐标。

这在实际问题中有很多应用，例如优化问题、成本最小化等。

2. 运动问题：二次函数可以用来描述某些运动的轨迹。

例如，一个物体从某个高度落下，忽略空气阻力的影响，可以用二次函数表示物体的高度随时间的变化。

通过求解函数的零点和顶点，可以确定物体的落地时间和最高高度。

二次函数的性质和应用

二次函数的性质和应用二次函数是一种常见的函数形式，在数学中具有重要的地位。

本文将讨论二次函数的性质和应用，希望能帮助读者更好地理解这种函数形式。

一、二次函数的定义和基本性质二次函数的标准形式为f（x）=ax²+bx+c，其中a、b、c都是实数，且a ≠ 0。

它的图象是一个开口向上或向下的抛物线。

1. 对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，它的方程式为x=-b/2a。

对称轴把图象分成两个对称的部分。

2. 零点：一个二次函数可以有两个、一个或零个零点。

其中，零点是函数的根，即f（x）=0的解。

3. 最值和顶点：当a>0时，f（x）的最小值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最小值。

当a<0时，f（x）的最大值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最大值。

最小值或最大值统称为顶点。

4. 函数的增减性：当a>0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）<f（x₂）。

当a<0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）>f（x₂）。

二、二次函数的应用1. 抛物线的运动学应用：抛物线可以描述物体的抛体运动轨迹，因此它在物理学中经常被使用。

例如，在高尔夫球运动中，运动员需要考虑到地面的摩擦力和空气的阻力等因素，以确定击球的位置和力度。

抛物线方程可以帮助运动员做出更精确的计算，从而提高得分率。

2. 光学应用：抛物线的形状与光的传播有关。

例如，抛物面反射镜常用于望远镜、卫星通信等光学领域中，因为它可以使光线以特定的角度集中在一个点上，从而使视野更宽广。

3. 非线性回归分析：在生物统计学、社会科学、经济学和金融学等领域中，二次函数经常被用于分析非线性回归方程。

非线性回归是指，回归方程中包含二次函数或更高次的函数。

例如，经济学家常用二次函数分析消费者的支出模式，这会帮助他们预测市场的需求变化。

4. 工程应用：二次函数也可以用于工程领域中的计算。

二次函数的解析几何性质及其应用

二次函数的解析几何性质及其应用二次函数是数学中常见的一种函数形式，其解析几何性质和应用广泛而深入。

本文将从几何性质和应用两个方面进行阐述。

一、二次函数的解析几何性质1. 函数图像的特征二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。

对于二次函数的图像，其形状为抛物线，具体形状取决于a的正负和大小。

当a>0时，抛物线开口朝上，图像在y轴上方开口；当a<0时，抛物线开口朝下，图像在y轴下方开口。

b和c分别决定了抛物线在x轴方向的平移和y轴方向的平移。

2. 对称性二次函数的图像具有关于直线x = -b/2a的对称性。

这意味着，如果点(x1, y1)在图像上，那么点(x2, y2) = (2(-b/2a)-x1, y1)也在图像上。

这个性质可以通过函数的导数推导得出。

3. 零点和顶点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，也就是抛物线与x轴的交点。

根据二次函数的解的公式，可以求得零点的坐标。

而二次函数的顶点则是抛物线的最高点（当a<0时）或最低点（当a>0时），其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

二、二次函数的应用1. 物理学中的抛物线运动抛物线运动是物体在重力作用下的运动轨迹。

由于重力加速度的存在，物体在垂直方向上的运动满足二次函数的形式。

通过分析物体的抛物线轨迹，可以计算出其运动的高度、时间、速度等重要参数。

2. 金融学中的成本和收益分析在金融学中，二次函数常被用于成本和收益的分析。

例如，某公司的生产成本可以表示为二次函数，通过求解该函数的最小值点，可以确定最低成本的生产量。

同样地，某产品的销售收益也可以表示为二次函数，通过求解该函数的最大值点，可以确定最大收益的销售量。

3. 工程学中的曲线设计在工程学中，二次函数常被用于曲线的设计。

例如，公路的水平曲线和立交桥的拱形设计都可以通过二次函数来描述。

通过调整二次函数的参数，可以使得曲线满足工程要求，达到良好的设计效果。

二次函数的性质与应用

二次函数的性质与应用二次函数是数学中常见且重要的一种函数类型。

它的特点是含有二次项的多项式函数，一般的形式为y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）。

本文将探讨二次函数的性质与应用，旨在帮助读者更好地理解和运用二次函数。

1. 二次函数的图像特点二次函数的图像一般为抛物线，其开口的方向与二次项系数a的正负有关。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

此外，二次函数的图像在经过顶点，顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

2. 二次函数的对称性二次函数具有关于顶点对称的性质，即当x轴上的一个点关于顶点对称时，对应的函数值也是相等的。

这一特性可以通过函数关于x=-b/2a的对称性来解释。

3. 二次函数与一次函数的关系若将二次函数的一次项系数b取为0，则得到的函数为f(x)=ax²+c，此时就变成了一元二次方程。

一次函数可以看作是二次函数的一种特殊情况，在一次函数中，a=0，即y=c，其中c为常数。

4. 二次函数的零点二次函数的零点即为函数的根，即f(x)=0的解。

对于一般形式的二次函数，可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0来得到它的零点。

根的情况有三种：当判别式b²-4ac>0时，有两个不相等的实根；当判别式b²-4ac=0时，有两个相等的实根；当判别式b²-4ac<0时，没有实根。

5. 二次函数的最值二次函数在抛物线的顶点处取得最值。

当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

6. 二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。

例如，抛物线的运动轨迹、物体自由落体的高度与时间的关系、利润与销量的关系等都可以用二次函数来描述和分析。

通过建立二次函数模型，可以对实际问题进行预测和优化。

总结：二次函数作为一种重要的数学工具，在数学和实际问题中都扮演着重要的角色。

二次函数的性质与应用

二次函数的性质与应用二次函数是数学中常见的一类函数，它的特点是含有二次项的多项式函数，通常表示为y=ax^2+bx+c（其中a、b、c为实数且不全为零），在本文中我们将探讨二次函数的性质与应用。

一、二次函数的基本性质二次函数的图像为抛物线，其性质如下：1. 开口方向：由二次项的系数a的正负决定，若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。

2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)为二次函数，即抛物线的对称轴为x=-b/2a。

3. 对称性：抛物线关于对称轴对称，即f(x)=f(-b/2a+x)。

4. 零点：二次函数的零点为使得f(x)=0的x值，可以通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。

二、二次函数的应用由于二次函数具有较为简洁的数学表达式和良好的图像特点，因此在实际问题中有广泛的应用，以下是几个典型的应用场景：1. 物体运动的模拟二次函数可以用来模拟抛体运动的轨迹。

假设一个物体从地面上沿着水平方向射出，经过一段时间后，它的轨迹可以用二次函数表示。

其中，抛物线的开口方向取决于物体的发射角度和初速度大小，而顶点坐标则可以表示物体的最高和最远点。

2. 经济学中的成本和收益问题在经济学中，成本和收益通常与产量或销售额等变量相关。

二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系，从而帮助企业或个人做出决策。

例如，一个生产商可以通过分析其成本函数来确定最佳产量，从而实现成本最小化。

3. 工程学中的曲线拟合在工程学中，需要对一些实验数据进行拟合，以找出合适的曲线来描述数据之间的关系。

二次函数可以较好地拟合一些非线性数据，因为它具有一定的弹性和灵活性。

通过拟合二次函数，可以预测未知数据点的取值，并帮助工程师做出正确的决策。

4. 地理学中的地形分析地理学研究中，经常需要对地形进行分析和描述。

二次函数可以用来模拟山脉和河流的起伏曲线，帮助研究人员理解地理变量之间的关系，比如高度和距离之间的关系。

二次函数的性质及应用

二次函数的性质及应用二次函数是一类形式为y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，它在数学中具有重要的性质和广泛的应用。

本文将介绍二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。

一、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线，具体的形状取决于a的正负和大小：- 当a > 0时，图像开口向上，形状类似于“U”字型；- 当a < 0时，图像开口向下，形状类似于倒置的“U”字型。

2. 对称性二次函数关于其顶点具有对称性。

设二次函数的顶点坐标为(h, k)，则函数图像关于直线x = h对称。

3. 零点与判别式二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解。

一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac可以判断二次函数的零点情况：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，函数图像与x轴有一个切点；- 当Δ < 0时，方程无实根，函数图像与x轴无交点。

4. 极值点二次函数在最高点（开口向下）或最低点（开口向上）取得极值。

当二次函数开口向上时，极小值等于函数的最低点y = k；当二次函数开口向下时，极大值等于函数的最高点y = k。

二、二次函数的应用1. 物理学应用二次函数在物理学中有广泛的应用，例如抛物线运动。

抛物线运动可以用二次函数的形式进行建模，通过分析和解决相关的二次函数问题，可以求得抛物线物体的最高点、运动轨迹等信息。

2. 经济学应用经济学中的一些问题也可以通过二次函数来描述和解决。

比如，成本函数和利润函数常常使用二次函数来表示，通过求解这些二次函数的极值点，可以确定最低成本、最大利润等关键数据。

3. 工程学应用工程学中的一些问题也可以用二次函数进行建模。

比如，在建筑设计中，可以用二次函数来描述一个拱形或穹顶的形状；在电子工程中可以通过二次函数来描述某些电子元件的特性和响应等等。

二次函数的最值与应用学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用

二次函数的最值与应用学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用二次函数的最值与应用二次函数是高中数学中一个非常重要的概念，在学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用之前，我们首先需要了解二次函数的基本形式和性质。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0，x、y为变量。

在此基础上，我们将深入探讨二次函数的最值及其在实际问题中的应用。

一、二次函数的最值性质二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数a的正负决定。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

对于一个二次函数而言，其最值即为函数的最大值和最小值。

1. 最值存在性对于二次函数y=ax^2+bx+c，当抛物线开口向上时，函数存在最小值；当抛物线开口向下时，函数存在最大值。

即最值存在性与a的正负相关。

2. 最值点的横坐标对于二次函数y=ax^2+bx+c，最值点的横坐标可以通过计算二次函数的自变量x的取值来确定。

最值点的横坐标为二次函数的顶点，顶点的横坐标为-x轴的对称轴，即x=-b/2a。

3. 最值点的纵坐标最值点的纵坐标可通过将最值点的横坐标代入二次函数中求得。

将x=-b/2a代入二次函数y=ax^2+bx+c中，可以求出最值点的纵坐标。

二、二次函数最值的应用二次函数的最值性质在实际问题中具有广泛的应用。

下面将介绍二次函数最值的几个常见应用场景。

1. 最值问题通过研究二次函数的最值性质，可以解决许多涉及最值问题的实际情况。

例如，我们要抛掷一个物体，求出其最高点的高度以及达到最高点时的时间。

可以建立一个关于时间的二次函数模型，然后通过最值性质计算出最高点的高度和达到最高点的时间。

2. 优化问题在实际生活中，许多问题可以通过优化函数来解决。

例如，我们要制造一个容积为V的长方体包装盒，为了节省材料成本，我们想使包装盒的表面积最小。

可以建立一个关于长方体各边长的二次函数模型，然后通过最值性质求解出使表面积最小的边长。

二次函数的相关性质与应用

二次函数的相关性质与应用二次函数是高中数学中比较重要的一类函数，它的图像呈现出U型或者倒U型的形状，具有多种性质和应用。

本文将介绍二次函数的相关性质以及它在现实生活中的应用，并探讨其中的数学原理和实际意义。

一、二次函数的一般形式及相关性质二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数，a不等于0。

根据此一般形式，可以了解到以下几个与二次函数相关的性质。

1. 首先，二次函数的图像为抛物线，在坐标系中通常呈现U型或者倒U型。

这一性质决定了二次函数在不同区间内的增减性，以及极值点的存在性。

2. 其次，二次函数的a值决定了抛物线的开口方向。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

这一性质可以通过计算二次函数的导数来进行证明，从而体现出与导数的相关性。

3. 另外，二次函数的顶点坐标可以通过求解二次方程的解来获得。

顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为f(x)=-b^2/4a+c。

顶点是抛物线的最低点（当a>0时）或者最高点（当a<0时），具有重要的几何意义。

4. 最后，二次函数的轴对称性是一个重要的性质。

对于任意一个二次函数，它的图像关于直线x=-b/2a对称。

这意味着，当我们确定了图像的一部分时，可以通过轴对称性来得到另一部分的信息。

二、二次函数的应用二次函数在现实生活中具有广泛的应用。

以下列举了几个常见的应用场景。

1. 马鞍形建筑设计二次函数的图像呈现U型或者倒U型的形状，可以用来设计马鞍形建筑物。

比如，体育馆、停车场和演唱会场馆等运用了二次函数的特性，使得空间的设计更加合理，并且能够提供较好的视野和使用效果。

2. 投射运动的轨迹抛体的运动轨迹可以被建模为二次函数。

比如，物体在自由落体运动或者抛体运动下的轨迹都可以使用二次函数来描述。

此外，通过求解二次方程可以计算出物体的最大高度、最大水平距离等重要参数。

3. 线性加速度运动某些物体的运动状态可以通过二次函数来刻画。

二次函数的性质与应用

二次函数的性质与应用二次函数是高中数学中的重要内容，它具有独特的性质和广泛的应用。

本文将重点介绍二次函数的性质和应用，从而帮助读者全面了解和掌握二次函数的相关知识。

一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c ，其中 a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线，具体的形状取决于二次项系数 a 的正负情况。

二、二次函数的性质二次函数具有很多重要的性质，下面将对其中几个常见的性质进行详细介绍。

1. 零点：二次函数的零点即其图像与 x 轴的交点，可以通过求解方程 f(x) = 0 来获得。

根据二次函数的性质，若判别式 D = b^2 - 4ac 大于零，则函数有两个不相等的实根；若 D 等于零，则函数有两个相等的实根；若 D 小于零，则函数没有实根。

2. 非负性：二次函数的非负性指函数值大于等于零，可以通过判别式 D 的值来确定。

当 D 大于等于零时，函数的图像在其两个实根之间的部分大于等于零；当 D 小于零时，函数的图像要么完全位于 x 轴上方，要么完全位于 x 轴下方。

3. 极值：二次函数在抛物线的顶点处取得极值，其极值点的横坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 来计算。

若 a 大于零，则抛物线开口朝上，极值是最小值；若 a 小于零，则抛物线开口朝下，极值是最大值。

三、二次函数的应用1. 抛物线的建模：许多现实生活中的问题可以通过二次函数来建立模型，并求解相关的问题。

例如，抛物线的形状可以用二次函数来描述，我们可以利用二次函数的性质来分析抛物线的最高点、最远距离等问题。

2. 物体的运动轨迹：在物理学中，许多物体的运动轨迹都可以用二次函数进行描述。

例如，自由落体运动的轨迹可以用二次函数来建模，我们可以通过分析二次函数的性质来研究物体的速度、加速度、运动时间等问题。

3. 经济学中的应用：在经济学中，二次函数可以用来描述成本、利润、需求等与价格相关的关系。

二次函数表达式、性质及其应用

二次函数表达式、性质及其应用
1、二次函数表达式
①一般式：y=ax 2+bx+c(a≠0,a、b 、c 为常数)。

②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,h、k 为常数)；
③二交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0)（适用于抛物线与x 轴有交点的情形）。

3、经典题例
如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且0<x 1<1, 1<x 2<2与y 轴交于点（0,2）
下列结论
①2a+b>-1 ②3a+b>0 ③a+b<-2 ④a>0 ⑤a-b<0 ⑥8a-b 2<0,其中正确的是①②③④⑥
〖解析〗：对于二次函数图像判断结论，我们一般总结出一句话：一口，二轴，三顶点，交点之后再增减。

由此可判断：
①a>0
②–b/2a>0,b<0
③顶点（-b/2a,(4ac-b2)/4a）
④b2-4ac>0,c=2,代入后得到b2-8a>0
⑤a+b+c<0,故而a+b+2<0
4a+2b+c>0,故而4a+2b+2>0，即2a+b+1>0
由以上两式可以推出3a+b>0
另外，这一题，也可以运用特值法，如x1=0.5, x2=1.5,通过交点解析式代入求得a 和b的值，从而判断各选项。

二次函数的图像性质及应用

二次函数的图像性质及应用二次函数是一种代数函数，由形如f(x) = ax^2 + bx + c 的方程定义，其中a、b、c为实数且a不等于0，x为自变量，f(x)为因变量的值。

在二次函数的图像性质及应用方面，可以从以下几个角度来进行解析。

一、图像性质1. 平移性质：二次函数的图像可以根据a、b、c的值进行平移。

当c不为0时，图像沿y轴平移c个单位；当b不为0时，图像沿x轴平移-b/2a个单位；当a 不为0时，图像的开口方向取决于a的正负性，开口向上（a>0）或者开口向下（a<0）。

2. 对称性质：二次函数的图像关于y轴对称。

这是因为二次函数的方程中只有x 的二次项没有一次项，故图像关于y轴对称。

3. 零点性质：二次函数的零点是指函数值为0的x值。

对于一般的二次函数，它将有两个零点，除非它开口向上或开口向下且顶点位于x轴上，此时则只有一个零点。

4. 首项分类：当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为正二次函数；当a<0时，二次函数的图像开口向下，称为负二次函数。

首项a的正负性决定了二次函数的凹凸性。

二、应用1. 自然科学中的运动学问题：二次函数可以用来描述自然界中物体的运动状态。

例如，自由落体运动中物体的下落高度与时间的关系可以用二次函数来表示。

2. 经济学中的成本与收益问题：在经济学中，很多问题可以用二次函数来建模。

例如，成本与产量之间的关系、价格与需求之间的关系等。

3. 地理学中的地形分析：地理学中，二次函数可以用来描述地形的变化。

例如，山谷河流的横断面、地势的坡度等。

4. 工程学中的建模问题：在工程学中，二次函数可以应用于许多建模问题，如桥梁设计、弹道分析等。

总结起来，二次函数的图像性质包括平移性质、对称性质、零点性质和首项分类。

而其应用领域广泛，包括自然科学中的运动学问题、经济学中的成本与收益问题、地理学中的地形分析以及工程学中的建模问题等。

通过对二次函数的图像性质及应用的深入理解，可以更好地应用于实际问题的建模与求解。

二次函数的性质和应用

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二次函数的性质和应用
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添加目录项标题二次函数的性质二次函数的应用二次函数的图像和性质的关系二次函数的应用题解析
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二次函数的性质
二次函数的开口方向
二次函数的开口方向取决于二次项系数a的正负。当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。开口方向与对称轴垂直，对称轴为x=h。开口大小与二次项系数a的绝对值成正比。
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二次函数的对称轴
二次函数图像的对称轴是x=-b/2a
二次函数图像的对称轴与开口方向有关，开口向上时，对称轴是x=-b/2a；开口向下时，对称轴是x=-b/2a
二次函数图像的对称轴与顶点坐标有关，顶点坐标为(h,k)，则对称轴是x=h
二次函数图像的对称轴与函数值有关，当x=-b/2a时，函数值取得最值
二次函数在数学竞赛中的应用
二次函数在几何作图中的应用
二次函数在数列求和中的应用
二次函数在不等式证明中的应用
二次函数在代数方程求解中的应用
二次函数在金融领域的应用
计算投资组合风险和回报评估股票价格和波动性预测汇率变动和贸易平衡制定保险和退休计划策略
二次函数在物理中的应用
自由落体运动：公式y=1/2gt^2描述物体下落距离与时间的关系弹性碰撞：公式y=mv/(m+m)描述两物体碰撞后的速度变化简谐振动：公式 y = A* s i n ( ω t + φ ) 描述物体振动的位移与时间的关系抛体运动：公式y=v0t-1/2gt^2描述物体抛出后的下落距离与时间的关系

二次函数抛物线的性质与应用

二次函数抛物线的性质与应用在数学中，二次函数是一种多项式函数，其最高次幂为2。

二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状，而抛物线在许多实际问题中都有重要的应用。

本文将探讨二次函数抛物线的性质以及其在实际生活中的应用。

一、二次函数的一般形式二次函数的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c 为实数，且a不等于0。

根据a的正负，可以判断抛物线的开口方向。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

二、二次函数的性质1. 零点与轴对称二次函数的零点指的是使得函数值等于零的x值。

通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以得到二次函数的零点。

除非判别式b^2-4ac 小于零，否则二次方程将有实根，也即二次函数将与x轴交于两点。

当判别式小于零时，说明二次函数与x轴没有交点，抛物线位于x轴上方或下方。

除此之外，二次函数的抛物线具有轴对称性，轴对称的直线称为抛物线的对称轴。

2. 高低点抛物线的顶点被称为高低点，它是抛物线的最高点或最低点。

如果抛物线开口向上，高点的纵坐标就是抛物线的最大值；反之，如果抛物线开口向下，低点的纵坐标就是抛物线的最小值。

通过求解二次函数的导数可以找到这个关键点的坐标。

3. 对称轴对称轴是指抛物线的对称线，它是抛物线两边形状相似的主要分界线。

对称轴的方程可以通过直接计算或利用二次函数的性质得到。

对称轴与抛物线的顶点是重合的。

三、二次函数的应用1. 物体运动的模型二次函数可以用于描述物体在空中的轨迹。

例如，当一个物体被抛出时，其运动轨迹符合二次函数的性质。

通过分析二次函数的系数，可以了解物体的运动速度、加速度以及最大或最小高度等信息。

2. 经济学模型二次函数在经济学中有广泛的应用。

例如，成本函数、利润函数和边际收益函数等经济学模型可以被表示为二次函数。

通过研究这些函数的性质，可以分析产品价格、成本、利润最大化等经济问题。

3. 自然界中的抛物线抛物线在自然界中也有很多应用。

高中数学二次函数图像的性质及应用

高中数学二次函数图像的性质及应用二次函数是高中数学中重要的一种函数类型，它的图像具有许多特殊的性质和应用。

本文将详细介绍二次函数图像的性质，并通过具体题目的分析来说明考点和解题技巧，以帮助高中学生更好地理解和应用二次函数。

一、二次函数图像的性质1. 对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。

对称轴是图像的中心线，它垂直于x轴，过抛物线的顶点。

例如，对于函数y = ax^2 + bx + c，其对称轴的x 坐标为 x = -b/2a。

这一性质在解题中常常用来求抛物线的对称轴以及顶点的坐标。

2. 开口方向：二次函数图像的开口方向由二次项系数a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

这一性质在解题中用来判断函数的增减性和极值。

3. 零点：二次函数的零点即为函数图像与x轴的交点，也就是方程ax^2 + bx +c = 0的解。

求零点是解二次方程的常见问题，可以通过因式分解、配方法、求根公式等方法来求解。

二、二次函数图像的应用1. 最值问题：二次函数图像的顶点即为函数的极值点。

通过求解二次函数的极值，可以应用到许多最值问题中。

例如，一辆汽车以二次函数的形式描述其加速度，通过求解函数的极值，可以确定汽车的最大加速度或最短时间内达到某个速度。

2. 抛体运动问题：抛体运动问题是物理学中常见的应用题，可以用二次函数来描述抛体的轨迹。

通过解析抛体运动问题，可以求解抛物线的顶点、抛物线与地面的交点等。

例如，求解一个抛出的物体在空中的最高点、最远距离等问题。

3. 面积问题：二次函数的图像下方与x轴之间的面积可以表示某些实际问题中的面积。

例如，通过求解二次函数图像与x轴之间的面积，可以计算出某个区域的面积、某个物体的体积等。

这一应用在几何学和物理学中都有广泛的应用。

三、解题技巧和注意事项1. 确定函数的类型：在解题过程中，首先要确定给定函数是否为二次函数。

如果函数的表达式中含有二次项（x^2）且系数不为零，则可以确定为二次函数。

二次函数图像性质与应用

二次函数图像性质与应用二次函数，也叫做一元二次方程，是中学数学中非常重要的一门知识。

它的图像是一条叫做抛物线的曲线，也广泛应用于物理学、经济学、生物学等领域。

在这篇文章中，我将会介绍二次函数的图像性质以及在现实生活中的应用。

一、二次函数的图像性质二次函数是以 x 的二次方作为自变量的函数。

它的一般式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c 都是实数，a 不等于 0。

这个式子是抛物线的标准式，根据 a 的正负可以确定抛物线的形状。

如果 a 大于 0，抛物线开口朝上；如果 a 小于 0，抛物线开口朝下。

除了开口方向，二次函数还有一些其他的图像性质。

以下是一些重要的性质：1、对称轴二次函数的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线。

它过抛物线的顶点，用下面的公式可以求出它的方程：x = -b / 2a2、零点二次函数的零点就是方程 y = 0 的解。

抛物线和 x 轴的交点就是它的零点。

用下面的公式可以求出它的值：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a如果判别式 b²-4ac 大于 0，那么二次函数就会有两个不同的零点；如果判别式等于 0，那么二次函数有一个二重根；如果判别式小于 0，那么二次函数没有实数解。

3、极值二次函数的极值就是抛物线的顶点。

如果 a 大于 0，那么它的极小值就是 y = c - (b²/4a)，对应的 x 坐标是 -b/2a；如果 a 小于 0，那么它的极大值就是 y = c - (b²/4a)，对应的 x 坐标也是 -b/2a。

二、二次函数在现实生活中的应用二次函数在现实生活中的应用非常广泛。

以下是几个例子。

1、建筑设计建筑设计中常常需要使用二次函数。

比如说，建筑师需要设计一个带拱形的门，那么他们会使用二次函数来描述这个门的形状。

不同的二次函数可以绘制出不同形状的门，用于满足客户的设计需求。

2、股市预测股市是一个非常复杂的市场，股票价格每天都有不同的波动。