2003年重庆大学330数学分析考研真题【圣才出品】
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单侧导数
F '(x), F '(x) 都存在（16 分）
4 ． 设 cn (x) 在 [0,1] 上 非 负 连 续 (n 1, 2,) ， cn (x) 在 [0,1] 上 一 致 收 敛 ， 令 n1
Mn
max [0,1]
cn
(
x
)
，问
n1
Mn
是否收敛？用
n2
xn (1 x) ln n
二 型 区 面 积 分 x(x2 1)dydz y( y2 2)dzdx z(z2 3)dxdy ， 其 中 为 球 面
x2 y2 z2 1的外侧。
三、证明题（66 分）
1．证明不等式
1 2n 1 2n 1 1 , n 1, 2
2n 1
百度文库
2n 1
设 xn 1
1 3
1 5
1 2n 1
2n
1
，证明
lim
n
xn
存在（15
分）
2．设函数 f (x) 在[0, ) 连续， lim( f (x) k x) 0, k 0 为常数，证明： f (x) 在 x
[0, ) 一致连续（15 分）
3．设 f (x) 在[a,b] 上单调，证明其变上限积分 F (x) x f (t)dt 在每一 x (a,b) ，其 a
二、计算题（60 分）
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1 ． 求 极 限 lim( x x x x) ， 设 函 数 g(x) 在 x 0 的 邻 域 内 有 定 义 ， n
g(0) g '(0) 0 ，
f
(x)
g
(x)
sin
验证上面的结论（20
分）
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6．设 f (x) 在[a, b] 上可积，则 f (x) 在[a, b] 上的连续点有无限多个（0）
7．连续函数的不定积分一定存在（1）
8．若 f (x, y) 在区域 D 内对 x 和 y 都是连续的，则 f (x, y) 对 (x, y) D 为二元连续（0）
9． un
0(n
1, 2,) 且 n,
un1 un
1，则
un
n 1
收敛（0）
10． n1
un1 un
收敛，则
lim
n
un
存在（1）
n
11． f (x) 在[0, ) 上非负连续， n 是正整数，若 lim f (x)dx 存在，则 f (x)dx
n 0
0
收敛（0）
12．若 f (x, y) 的偏导数 fx , f y 在 (x0 , y0 ) 存在，则 f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 连续（0）
1 x
0
x 0 ，求 f '(0) 。
x0
2．求定积分
2 0
sin sin cos
d
3．求由圆柱面 x2 y2 a2 , x2 z2 a2 (a 0) 所围立体的体积
f (x, y, z) 0
4．设 x( y), z( y) 是由方程组
z g(x, y)
所确定的隐函数，求 x '( y), z '( y) ，计算第
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2003 年重庆大学 330 数学分析考研真题
重庆大学 2003 年数学分析试卷
一、是非题（24 分）
1． p
为正整数， lim n
un p
un
0
，则
lim
n
un
存在（0）
2．设 f (x) 在 (a,b) 一致连续，则 f (x) 在 (a,b) 上有界（1）
3．若 f (x) 在 x0 的邻域内有定义，在 x0 可导，则 f (x) 在 x0 的某邻域内连续（0） 4．f (x), g(x) 在[a,b] 上可导，x [a,b], f '(x) g '(x) ，则 x [a,b], f (x) g(x)
（0）
5．定义 f (x) 在[a, b] 上可积时，必须先假定 f (x) 在[a, b] 上有界（1）
F '(x), F '(x) 都存在（16 分）
4 ． 设 cn (x) 在 [0,1] 上 非 负 连 续 (n 1, 2,) ， cn (x) 在 [0,1] 上 一 致 收 敛 ， 令 n1
Mn
max [0,1]
cn
(
x
)
，问
n1
Mn
是否收敛？用
n2
xn (1 x) ln n
二 型 区 面 积 分 x(x2 1)dydz y( y2 2)dzdx z(z2 3)dxdy ， 其 中 为 球 面
x2 y2 z2 1的外侧。
三、证明题（66 分）
1．证明不等式
1 2n 1 2n 1 1 , n 1, 2
2n 1
百度文库
2n 1
设 xn 1
1 3
1 5
1 2n 1
2n
1
，证明
lim
n
xn
存在（15
分）
2．设函数 f (x) 在[0, ) 连续， lim( f (x) k x) 0, k 0 为常数，证明： f (x) 在 x
[0, ) 一致连续（15 分）
3．设 f (x) 在[a,b] 上单调，证明其变上限积分 F (x) x f (t)dt 在每一 x (a,b) ，其 a
二、计算题（60 分）
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1 ． 求 极 限 lim( x x x x) ， 设 函 数 g(x) 在 x 0 的 邻 域 内 有 定 义 ， n
g(0) g '(0) 0 ，
f
(x)
g
(x)
sin
验证上面的结论（20
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6．设 f (x) 在[a, b] 上可积，则 f (x) 在[a, b] 上的连续点有无限多个（0）
7．连续函数的不定积分一定存在（1）
8．若 f (x, y) 在区域 D 内对 x 和 y 都是连续的，则 f (x, y) 对 (x, y) D 为二元连续（0）
9． un
0(n
1, 2,) 且 n,
un1 un
1，则
un
n 1
收敛（0）
10． n1
un1 un
收敛，则
lim
n
un
存在（1）
n
11． f (x) 在[0, ) 上非负连续， n 是正整数，若 lim f (x)dx 存在，则 f (x)dx
n 0
0
收敛（0）
12．若 f (x, y) 的偏导数 fx , f y 在 (x0 , y0 ) 存在，则 f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 连续（0）
1 x
0
x 0 ，求 f '(0) 。
x0
2．求定积分
2 0
sin sin cos
d
3．求由圆柱面 x2 y2 a2 , x2 z2 a2 (a 0) 所围立体的体积
f (x, y, z) 0
4．设 x( y), z( y) 是由方程组
z g(x, y)
所确定的隐函数，求 x '( y), z '( y) ，计算第
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2003 年重庆大学 330 数学分析考研真题
重庆大学 2003 年数学分析试卷
一、是非题（24 分）
1． p
为正整数， lim n
un p
un
0
，则
lim
n
un
存在（0）
2．设 f (x) 在 (a,b) 一致连续，则 f (x) 在 (a,b) 上有界（1）
3．若 f (x) 在 x0 的邻域内有定义，在 x0 可导，则 f (x) 在 x0 的某邻域内连续（0） 4．f (x), g(x) 在[a,b] 上可导，x [a,b], f '(x) g '(x) ，则 x [a,b], f (x) g(x)
（0）
5．定义 f (x) 在[a, b] 上可积时，必须先假定 f (x) 在[a, b] 上有界（1）