2003年重庆大学330数学分析考研真题【圣才出品】
2003数一数三考研数学真题及解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上.)(1)设10,cos ,()0,0,x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩其导函数在0x =处连续,则λ的取值范围是 .(2)已知曲线b x a x y+-=233与x 轴相切,则2b 可以通过a 表示为=2b.(3)设0,a >,01,()()0,,a x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩若其他而D 表示全平面,则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.(4)设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α;E 为n 阶单位矩阵,矩阵T E A αα-=,T aE B αα1+=其中A 的逆矩阵为B ,则a =.(5)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为.(6)设总体X 服从参数为2的指数分布,n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,则当∞→n 时,∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每题小给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设()f x 为不恒等于零的奇函数,且)0(f '存在,则函数xx f x g )()(= (A ) 在0x =处左极限不存在. (B ) 有跳跃间断点0x =. (C ) 在0x =处右极限不存在.(D ) 有可去间断点0x =.(2)设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值,则下列结论正确的是 (A ) ),(0y x f 在0y y=处的导数等于零.(B ) ),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C )),(0y x f 在0y y =处的导数小于零.(D ) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.(3)设2nn n a a p +=,2nn n a a q -=, ,2,1=n ,则下列命题正确的是(A ) 若∑∞=1n na条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B ) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C )∑∞=1n na若条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq的敛散性都不定.(D ) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq的敛散性都不定.(4)设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ,若A 的伴随矩阵的秩等于1,则必有(A ) a b =或20a b +=. (B ) a b =或20a b +≠. (C ) a b ≠且20a b +=.(D ) a b ≠且20a b +≠.(5)设s ααα,,,21 均为n 维向量,下列结论不正确．．．的是 (A ) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关.(B ) 若s ααα,,,21 线性相关,则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,有1122k k αα+0.s s k α++=L(C ) s ααα,,,21 线性无关的充要条件是此向量组的秩为s . (D ) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:1A ={掷第一次出现正面},2A ={掷第二次出现正面},3A ={正、反面各出现一次},4A ={正面出现两次},则事件(A ) 321,,A A A 相互独立. (B ) 432,,A A A 相互独立. (C ) 321,,A A A 两两独立.(D ) 432,,A A A 两两独立.三、(本题满分8分) 设1111(),[,1)sin (1)2f x x x x x πππ=+-∈-,试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.四、(本题满分8分)设(,)f u v 具有二阶连续偏导数,且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ,又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求 .2222ygx g ∂∂+∂∂五、(本题满分8分) 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域D =}.),{(22π≤+y x y x六、(本题满分9分)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数()f x 及其极值.七、(本题满分9分)设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在),(+∞-∞内满足一下条件:)()(x g x f =',)()(x f x g ='且(0)0f =,.2)()(x e x g x f =+(1)求()F x 所满足的一阶微分方程; (2)求()F x 出的表达式.八、(本题满分8分)设函数()f x 在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==.试证必存在(0,3)ξ∈,使.0)(='ξf九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时,(1)方程组仅有零解;(2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分13分) 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ,其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为12-.(1)求,a b 的值;(2)利用正交变换将二次型化f 为标准型,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本题满分13分)设随机变量X的概率密度为[1,8],();0,xf x∈=⎩其他()F x是X的分布函数,求随机变量()Y F X=的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X与Y独立,其中的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X,而Y的概率密度为()f y,求随机变量U X Y=+的概率密度()g u.2003年考研数学三试题答案与解析一、填空题(1)【分析】从题意知参数λ是在实数集中取值,这时幂函数xλ的定义域为0x>.故题目中的函数宜改为10,cos,()0.0,xxf x xxλ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩若若以下讨论这个函数()f x的导函数'()f x在0x=处的连续的条件.显然()f x在0x=可导的充要条件是1λ>,且当1λ>时有'1001cos01(0)lim lim cos0.x xxxf xx xλλ++-+→→-===-由()f x是偶函数,又可得''00()(0)()(0)(0)lim lim(0)0.00x xf x f f x ff fx x---+→→---==-=-=---故当1λ>时,'(0)f存在且等于0.注意,当0x >时,1211'()cossin f x x x x x λλλ--=+; 当0x <时,1211'()cos sin f x xx x xλλλ--=+. 于是()f x 由的导函数在0x =处连续得0lim '()'(0)0x f x f →==,故λ的取值范围是2λ>.(2)【分析】22'()33y x x a =-,令'()0y x =有x a =或x a =-.由题设还有3330a a b -+=或3330a a b -++=,所以32b a =或32b a =-,即264b a =.(3)【分析】 由题设知201,01,()()0,x y x a f x g y x ⎧≤≤≤-≤-=⎨⎩若且其他,于是,令1{(,)01,01}{(,)01,1}D x y x y x x y x x y x =≤≤≤-≤=≤≤≤≤+,则1112220()()x xDD I f x g y x dxdy a dxdy adx dy a +=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 按可逆定义,有AB E =,即()111()TTT T T T E E E aa aαααααααααααα-+=+--.由于22T a αα=,而Tαα是秩为1的矩阵,故111(12)0120, 1.2T AB E a a a a a a αα=⇔--=⇔--=⇒==-已知0a <,故应填:1-.(5)【分析】 (0.4),DZ D X DX =-=(,)(,0.4)(,)(,),0.9.XY XY Cov Y Z Cov Y X Cov Y X Cov X Y ρρ=-======(6)【分析】 根据简单随机样本的性质,n X X X ,,,21 相互独立都服从参数为2的指数分布,因此22212,,,nX X X L 也都相互独立同分布,且它们共同的期望值为222111()().422i i i EX DX EX =+=+= 根据辛钦大数定律,当∞→n 时,∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于其期望值12,因此应填:12.二、选择题(1)【分析】 由()f x 是奇函数有(0)0f =.又因为)0(f '存在,所以00()(0)()(0)limlim lim ().0x x x f x f f x f g x x x→→→-'===- 由于函数()g x 在点0x =无定义,但存在0lim ()'(0)x g x f →=,所以0x =是()g x 的可去间断点.故应选(D ).(2)【分析】 由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微,知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在,又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零.从而有000(,)(,)(,)0.y y x y x y df x y f dyy==∂==∂故应选(A ).(3)【分析】 利用正项级数的比较判别法,由级数∑∞=1n na绝对收敛以及0,0n n n n p a q a ≤≤≤-≤可知,正项级数∑∞=1n np与1()nn q ∞=-∑都收敛,从而∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛,故应选(B ).(4)【分析】 根据伴随矩阵A *秩的关系式,(),()1,()1,0,()1,n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩若若若知()1()2r A r A *=⇔=.若a b =,易见()1r A ≤,故可排除(A ),(B ).当a b ≠时,A 中有2阶子式0a b b a≠,若()2r A =,按定义只需0A =.由于2222(2)().a b a b a b A b a b a b a b b b a +++⎡⎤⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以应选(C ).(5)【分析】 按线性相关定义:若存在不全为零的数s k k k ,,,21 ,使11220s s k k k ααα+++=L ,①则称向量组s ααα,,,21 线性相关.即齐次方程组1212(,,,)0s n x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 有非零解,则向量组s ααα,,,21 线性相关,而非零解就是关系式①中的组合系数.按定义不难看出(B )是错误的,因为①式中的常数s k k k ,,,21 不能是任意的,而应当是齐次方程组的解.所以应选(B ).而向量组s ααα,,,21 线性无关,即齐次方程组1212(,,,)0s n x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 只有零解,亦即系数矩阵的秩12(,,,)s r s ααα=L.故(C )是正确的,不应当选.因为线性无关等价于齐次方程组只有零解,那么,若s k k k ,,,21 不全为0,则12(,,,)T s k k k L 必不是齐次方程组的解,即必有02211≠+++s s k k k ααα .可知(A )是正确的,不应当选.因为“如果s ααα,,,21 线性相关,则必有11,,,s s ααα+L 线性相关”,所以,若s ααα,,,21 中有某两个向量线性相关,则必有s ααα,,,21 线性相关.那么s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其任一个部分组必线性无关.因此(D )是正确的,不应当选.(6)【分析】 123411211(),(),(),(),22424P A P A P A P A ===== 124132312311()(),()(),()()044P A A P A P A A P A A P A A A P =====∅=.计算看出121213132323()()(),()()(),()()(),P A A P A P A P A A P A P A P A A P A P A ===但是123123()()()()P A A A P A P A P A ≠.因此事件123,,A A A 两两独立但不相互独立.应选(C ).进一步分析,由于事件24A A ⊃,故2A 与4A 不独立.因此不能选(B )与(D ).三、【解】利用sin sin[(1)]sin (1)x x x ππππ=--=-,并令(1)y x π=-,有111(1)sin lim ()lim (1)sin x x x xf x x xπππππ--→→--=+-200001sin 1sin lim lim sin 11cos 1sin 1lim lim .22y y y y y y y yy y y y y y πππππ++++→→→→--=+=+-=+=+=由于()f x 在1[,1)2上连续,因此定义1(1)f π=,就可使()f x 在]1,21[上连续.四、【解】由一阶全微分形式不变性,得221()()()()2f f f f dg d xy d x y ydx xdy xdx ydy u v u v ∂∂∂∂=+-=+--∂∂∂∂ ()()f f f f y x dx x y dy u v u v∂∂∂∂=++-∂∂∂∂.于是,g f f g f f y x x y x u v y u v∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂. 故22222222()()()()g f f f f f f f f y x y y x y x x x u x v v u u v v u v v∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂22222222,f f f f y xy x u u v v v ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂ 22222222()()()()g f f f f f f f fx y x x y y x y y y u y v v u u v v u v v∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=--=----∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 22222222.f f f f x xy y u u v v v ∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂ 所以 22222222222222()().g g f f y x x y x y x y u v∂∂∂∂+=+++=+∂∂∂∂五、【解】作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,有2222()2220sin()sin x y r DI eex y dxdy ed r dr πππθ-+-=+=⎰⎰⎰.令2t r =,则0sin t Ie e tdt πππ-=⎰.记0sin t A e tdt π-=⎰,于是sin sin cos t t t A tde e te tdt πππ---=-=-+⎰⎰cos cos sin 1.t t t tde e te tdt e A ππππ----=-=--=+-⎰⎰由此可解得1(1).2A e π-=+ 因此 (1)(1).22I e A e e e πππππππ-==+=+六、【解】将等式21()1(1)(1)2nnn x f x x n ∞==+-<∑逐项求导,得 2121'()(1)(1).1n n n xf x x x x ∞-==-=-<+∑ 上式两边从0到x 积分,有2201()(0)ln(1)(1).12xt f x f dt x x t -=-=-+<+⎰由于(0)1f =,故得到了和函数()f x 的表达式21()1ln(1)(1).2f x x x =-+<令'()0f x =,可求出函数()f x 有唯一驻点0x =,因为2221''()''(0)10,(1)x f x f x -=-⇒=-<+ 可见()f x 在点0x =处取得极大值,且极大值为(0)1f =.七、【解】(1)由22()'()()()'()()()F x f x g x f x g x f x g x =+=+22[()()]2()()(2)2().x f x g x f x g x e F x =+-=-可知()F x 所满足的一阶微分方程为2'()2()4.xF x F x e+=(2)用2xe同乘方程两边,可得24(())'4xx eF x e =,积分即得22()4,x x e F x e C =+于是方程的通解是22().xx F x eCe -=+将(0)(0)(0)0F f g ==代入上式,可确定常数1C =-.故所求函数的表达式为22().x x F x e e -=-八、【分析】 本题关键是证明存在一点[0,3)c ∈,使()1f c =,然后(3)1f =,用用罗尔定理即可.【证明】因为()f x 在[0,3]上连续,所以()f x 在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M 和最小值m ,于是(0),(1),(2).m f M m f M m f M ≤≤≤≤≤≤故(0)(1)(2)1.3f f f m M ++≤=≤这表明1[(0)(1)(2)]3f f f ++是函数()f x 当[0,2]x ∈时的值域[,]m M 上的一个点.由闭区间上连续函数的最大、最小值定理与介值定理知,至少存在一点[0,2]c ∈,使(0)(1)(2)()13f f f f c ++==.因为()1(3)f c f ==,且()f x 在[,3]c 上连续,在(,3)c 内可导,所以由罗尔定理知,必存在(0,3)(0,3),ξ∈⊂使.0)(='ξf九、【解】方程组的系数行列式12312312312312300000n n n n n a b a a a a b a a a a a b a a b b A a a a b a bb a a a a bbb+++-=+=-+-L L LL LL M M M M M M MM LL2311000().000000in nn i i a ba a ab b a b b b-=+==+∑∑L L L M M M M L(1)当0b ≠且10ni i a b =+≠∑时,0A ≠,方程组仅有零解.(2)当0b =时,原方程组的同解方程组为11220.n n a x a x a x +++=L由10nii a=≠∑可知(1,2,,)i a i n =L 不全为零,不妨设10a ≠.因为秩()1r A =,取23,,,n x x x L 为自由变量,可得到方程组的基础解系为12123111(,,0,,0),(,0,,,0),,(,0,0,,).T T T n n a a a a a a ααα-=-=-=-L L L L当1n i i b a ==-∑时,由10nii a=≠∑知0b ≠,系数矩阵可化为12312311100001010110000.1010100100000011nn in i a b a a a a a a a a b b A bb bb =⎡⎤+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦∑L L L L L L LM M M M uu r uu r L MM M M L M M MM L LL①②由于秩()1r A n =-,则0Ax =的基础解系是(1,1,1,1)T α=L .十、【解】(1)二次型f 的矩阵为002002a b A b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.设A 的特征值为(1,2,3)i i λ=,由题设,有 12321232(2)1,1,22(2)12.a ab A a b λλλλλλ++=++-=⎧⎪⇒==⎨==--=-⎪⎩(已知0b >). (2)由矩阵A 的特征多项式21021220(2)(2)(3),22202E A λλλλλλλλλ-----=-=-=-+-+-+得到A 的特征值1232, 3.λλλ===-对于2λ=,由102102(2)0,000000,204000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得到属于2λ=的线性无关的特征向量12(0,1,0),(2,0,1).T T αα==对于3λ=-,由402201(3)0,050010,201000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦得到属于3λ=-的特征向量3(1,0,2)T α=-.由于123,,ααα已两两正交,故只需单位化,有123(0,1,0),,2).T T T γγγ===- 那么,令1230(,,)100.0P γγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣则P 为正交矩阵,在正交变换x Py =下,有122.3T P AP P AP -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦二次型的标准型为222123223f y y y =+-.十一、【解】 易见,当1x <时,()0F x =;当8x >时,()1F x =.对于[1,8]x ∈,有1()1xf x ==⎰.设()G y 是随机变量()Y F X =的分布函数.显然当0y ≤时,()0G y =;当1y ≥时,()1G y =. 对于(0,1)y ∈,有(){}{()}1}G y P Y y P F X y P y =≤=≤=≤33{(1)}[(1)].P X y F y y =≤+=+=于是,()Y F X =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二、【解】 设()F y 是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U X Y =+的分布函数为(){}G u P X Y u =+≤0.3{1}0.7{2}0.3{11}0.7{22}.P X Y u X P X Y u X P Y u X P Y u X =+≤=++≤==≤-=+≤-=由于X 和Y 独立,可见()0.3{1}0.7{2}0.3(1)0.7(2).G u P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-由此,得U 的概率密度()'()0.3'(1)0.7'(2)0.3(1)0.7(2).g u G u F u F u f u f u ==-+-=-+-。
2003年考研数学试题详解及评分参考
相互独立，于是 Z 2 ~ c 2 (1) ，从而
c2 n 1 = : F (n,1) . 故选 (C) . X 2 Z2 1
三、 （本题满分 10 分） 过坐标原点作曲线 y = ln x 的切线， 该切线与曲线 y = ln x 及 x 轴围成平面图形 D . (1) 求 D 的面积 A ； (2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V . 解 (1) 设切点的横坐标为 x0 ，则曲线 y = ln x 在点 ( x0 , ln x0 ) 处的切线方程是
2
有 a2 =
p p 2 p 2 1 x cos 2 xdx = [ x 2 sin 2 x - ò 2 x sin 2 xdx] ò 0 0 p 0 p
p 1 p [ x cos 2p 0 - ò cos 2 xdx] = 1 . 0 p æ1 ö æ1 ö æ1ö æ1 ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç (4) 从 R 2 的基 a 1 = ç , a = 到基 b = , b = 2 1 2 ç 0÷ ç - 1÷ ç1÷ ç 2÷ ÷ 的过渡矩阵为 è ø è ø è ø è ø æ2 3 ö 【答】 应填 ç ç - 1 - 2÷ ÷. è ø
s s za , X + za ) ，由于 za = z0.025 ， 1 - 0.025 = 0.975 = F (1.96 ) ，数据代入， n 2 n 2 2 1 1 得置信区间为 (40 ´1.96, 40 + ´ 1.96) = ( 39.51, 40.49 ) 16 16
(X 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） (1) 设函数 f ( x) 在 (-¥,+¥) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f ( x) 有 (A) 一个极小值点和两个极大值点 (B) 两个极小值点和一个极大值点 (C) 两个极小值点和两个极大值点 (D) 三个极小值点和一个极大值点 【答】 应选 (C). 【解】 在 y 轴左侧，因 f ¢( x) 由正变负再变正，故 f ( x ) 由增变减再变增，从而有一个极 大值点和一个极小值点；而在 y 轴右侧，因 f ¢( x) 由负变正，故 f ( x) 由减变增，从而有 一个极小值点；又在点 x = 0 左右领域， f ¢( x) 由正变负， f ( x) 由增变减，且 f ( x) 在点
2003数学四--考研数学真题详解
2003年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题（1）极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→= .【答】 2e【详解】 xx x 20)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lim 00e ee x x x x x x ==+++→→（2）dx e x x x∫−−+11)(= .【答】 )21(21−−e 【详解】dx ex x x∫−−+11)(=dx xedx ex xx∫∫−−−−+1111=dx ex x−−∫111122x x xe dx xde −−+=−∫∫=1102()xx xe e dx −−−−∫ =)21(21−−e .(3)设a>0，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则∫∫−=Ddxdy x y g x f I )()(= .【答】2a 【详解】 ∫∫−=Ddxdy x y g x f I )()(=dxdy ax y x ∫∫≤−≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx ax x=−+=∫∫∫+（4）设A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡202040202,则 1)(−−E A = .【答】 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 【详解】 由AB=2A+B, 知 AB-B=2A-2E+2E, 即有 E E A B E A 2)(2)(=−−−， E E B E A 2)2)((=−−， E E B E A =−⋅−)2(21)(， 可见 1)(−−E A =)2(21E B −=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100.（5）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T"α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 TE A αα−=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= . 【答】 -1【详解】 由题设，有)1)((T Ta E E AB αααα+−= =TT T T a a E αααααααα⋅−+−11=TT T T a a E αααααααα)(11−+−=TT T a a E αααααα21−+−=E aa E T=+−−+αα)121(,于是有 0121=+−−a a ，即 0122=−+a a ，解得 .1,21−==a a 由于a<0 ,故a=-1.（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5, EX=EY=0,222==EY EX, 则2)(Y X E += .【答】 6 【详解】 因为2)(Y X E +=22)(2EY XY E EX ++ =4+]),([2EY EX Y X Cov ⋅+=4+2.625.024=××+=⋅⋅DY DX XY ρ二、选择题（1）曲线21x xe y =(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. 【答】 [ D]【详解】 当±∞→x 时，极限y x ±∞→lim 均不存在，故不存在水平渐近线；又因为 1lim lim 21==∞→∞→x x x e x y ，0)(lim 1=−∞→x xe x x ，所以有斜渐近线y=x.另外，在 x=0 处21x xe y =无定义，且∞=→1lim x x xe ，可见 x=0为铅直渐近线.故曲线21x xe y =既有铅直又有斜渐近线，应选(D).（2）设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在x=1处连续，则0)1(=ϕ是f(x)在x=1处可导的(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 【答】 [ A ] 【详解】 因为)1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ=⋅−−=−−++→→x x x x f x f x x ， )1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ−=⋅−−−=−−−−→→x x x x f x f x x ， 可见，f(x)在x=1处可导的充分必要条件是 .0)1()1(3)1(3=⇔−=ϕϕϕ 故应选(A).（3）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. 【答】 [ A ]【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00=′y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).（4）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B . 已知矩阵A 相似于B ，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. 【答】 [ C ]【详解】 因为矩阵A 相似于B ，于是有矩阵A-2E 与矩阵B-2E 相似，矩阵A-E 与矩阵B-E 相似，且相似矩阵有相同的秩，而秩(B-2E)=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−，秩(B-E)=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−， 可见有 秩(A-2E)+秩(A-E)= 秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C). （5）对于任意二事件A 和B(A) 若φ≠AB ，则A,B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则A,B 有可能独立. (C) 若φ=AB ，则A,B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则A,B 一定不独立. 【答】 [ B ]【详解】 φ≠AB 推不出P(AB)=P(A)P(B), 因此推不出A,B 一定独立，排除(A); 若φ=AB ，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确选项为(B).（6）设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 (A) X 与Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. 【答】 [ C ]【详解】 只有当(X,Y) 服从二维正态分布时，X 与Y 不相关⇔X 与Y 独立，本题仅仅已知X 和Y 服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X 与Y 一定独立，排除(A); 若X 和Y 都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道X,Y 是否独立，可排除(B); 同样要求X 与Y 相互独立时，才能推出X+Y 服从一维正态分布，可排除(D).故正确选项为(C).三 、（本题满分8分） 设 21,0(,)1(11sin 1)(∈−−−=x x x x x f πππ 试补充定义f(0),使得f(x)在]21,0[上连续.【详解】)(lim 0x f x +→= -.1π+xx xx x ππππsin sin lim 0−+→= -220sin lim 1ππππx x x x −++→= -xxx 202cos lim 1πππππ−++→= -2202sin lim 1ππππxx +→+ = -.1π由于f(x)在]21,0(上连续，因此定义π1)0(−=f ，使f(x)在]21,0[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vfu f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g −=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 【详解】v f x u f y x g ∂∂+∂∂=∂∂，.vfy u f x y g ∂∂−∂∂=∂∂ 故 v f v f x v u f xy u f y x g ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， .2222222222v f v f y u v f xy u f x y g ∂∂−∂∂+∂∂∂−∂∂=∂∂所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +五 、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=∫∫−+−π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x)sin(22)(22+=∫∫+−π=.sin 2022dr r re d e r ∫∫−πππθ令2r t =，则 tdt e e I t sin 0∫−=πππ.记 tdt e A t sin 0∫−=π，则t t de e A −−∫−=int 0π=]cos sin [0∫−−−−ππtdt e te t t=∫−−πcos t tde =]sin cos [0tdt e te t t ∫−−+−ππ=.1A e −+−π因此 )1(21π−+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=−六、（本题满分9分）设a>1，at a t f t−=)(在),(+∞−∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，t(a)最小？并求出最小值.【详解】 由0ln )(=−=′a a a t f t，得唯一驻点.ln ln ln 1)(aaa t −= 考察函数aaa t ln ln ln 1)(−=在a>1时的最小值. 令 0)(ln ln ln 1)(ln ln ln 11)(22=−−=−−=′a a aa aa a a t ，得唯一驻点 .ee a =当ee a >时，0)(>′a t ；当ee a <时，0)(<′a t ，因此ee t e11)(−=为极小值，从而是最小值.七、（本题满分9分）设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM的面积之和为3163+x ，求f(x)的表达式.【详解】 根据题意，有316)()](1[213+=++∫x x dt t f x f x .两边关于x 求导，得.21)()(21)](1[212x x f x f x x f =−′++当0≠x 时，得.1)(1)(2xx x f x x f −=−′ 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 ]1[)(121C dx e xx ex f x dxx+∫−∫=−−−∫=]1[ln 2ln C dx e xx ex x+−−∫=)1(22C dx xx x +−∫ =.12Cx x ++ 当x=0时，f(0)=1.由于x=1时，f(1)=0 ,故有2+C=0，从而C=-2. 所以 .)1(21)(22−=−+=x x x x f八、（本题满分8分）设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值； (2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量.【详解】 (1) 在时刻t 商品的剩余量为 )()(t x A t y −==kt A −， ].,0[T t ∈ 由kt A −=0，得 TA k =， 因此 ,)(t TAA t y −= ].,0[T t ∈ (2) 依题意，)(t y 在[0，T]上的平均值为∫=Tdt t y T y 0)(1 =∫−T dt t T A A T 0)(1=.2A因此在时间段[0，T] 上的平均剩余量为.2A九、（本题满分13分）设有向量组（I ）：T)2,0,1(1=α，T)3,1,1(2=α，Ta )2,1,1(3+−=α和向量组（II ）：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）等价？当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）不等价？【详解】 作初等行变换，有),,,,(321321βββααα#=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++−463232112110221111a a a a ###⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−+−−→111100112110111201a a a a ###.(1) 当1−≠a 时，有行列式[]01321≠+=a ααα，秩（3),,321=ααα，故线性方程组)3,2,1(332211==++i x x x i βααα均有唯一解. 所以，321,,βββ可由向量组（I ）线性表示.同样，行列式[]06321≠=βββ，秩（3),,321=βββ，故321,,ααα可由向量组（II ）线性表示. 因此向量组（I ）与（II ）等价.(2) 当a=-1时，有),,,,(321321βββααα#⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→202000112110111201###. 由于秩（321,,ααα）≠秩（),,1321βααα#，线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示. 因此，向量组（I ）与（II ）不等价.十、（本题满分13分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求a,b 和λ的值.【详解】 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α， 由于矩阵A 可逆，故*A 可逆.于是0≠λ，0≠A ，且 λαα=*A.两边同时左乘矩阵A ，得 αλαA AA =*， αλαAA =，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111121112b A b a λ， 由此，得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+.1,22,3λλλA b a b A b A b (1)(2)(3) 由式(1),(2)解得1=b或2−=b ;由式(1),(3)解得 a=2. 由于 42311121112=−==a aA ，根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值.343bb A+=+=λ 所以，当1=b 时，1=λ；当2−=b 时，.4=λ十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1.对于]8,1[∈x ，有.131)(3132−==∫x dt t x F x设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当0<y 时，G(y)=0；当1≥y 时，G(y)=1.对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤==})1({}1{33+≤=≤−y X P y X P=.])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为 0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩十二、（本题满分13分）对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ，)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P −=ρ称做事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ【详解】 (1) 由ρ的定义，可见0=ρ当且仅当P(AB)-P(A)P(B)=0,而这恰好是二事件A 和B 独立的定义，即0=ρ是A 和B 独立的充分必要条件.(2) 考虑随机变量X 和Y:A A X 不出现若出现若⎩⎨⎧=,0,1 .,0,1不出现若出现若B B Y ⎩⎨⎧= 由条件知，X 和Y 都服从0—1分布：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛)((10~A P A P X ，.)((10~⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛B P B P Y 易见)(A P EX =， )(B P EY =；)()(A P A P DX =, )()(B P B P DY =;).()()(),cov(B P A P AB P EXEY EXY Y X −=−= 因此，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二随机变量相关系数的基本性质，可见 .1≤ρ。
2003考研数一真题及解析汇报
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 21ln(1)lim(cos )x x x +→=(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = .(4) 从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .(5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P.(6) 已知一批零件的长度X (单位：cm cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个 零件，得到长度的平均值为40 (cm )，则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数()f x 在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示， 则()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3) 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则( )(A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4) 设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则( )(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.(5) 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =, 其中,A B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题：① 若0Ax =的解均是0Bx =的解，则秩(A )≥秩(B )； ② 若秩(A )≥秩(B )，则0Ax =的解均是0Bx =的解； ③ 若0Ax =与0Bx =同解，则秩(A )=秩(B )； ④ 若秩(A )=秩(B )， 则0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的是( )(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.(6) 设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则( ) (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y .三 、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四 、(本题满分12分)将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xex L y六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<. 问 (1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分)设函数()f x 连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ，⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性.(2) 证明当0t >时，).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数X 的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数()F x ;(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 (1)【答案】【详解】方法1：求()lim ()v x u x 型极限，一般先化为指数形式()()ln ()lim ()lim v x v x u x u x e =然后求lim ()ln ()v x u x ，再回到指数上去．)1ln(12)(cos lim x x x +→=220ln cos ln cos limln(1)ln(1)lim x xxx x x e e→++→=,而2200ln cos ln(1cos 1)limlim ln(1)ln(1)x x x x x x →→+-=++20cos 1lim x x x→-=(等价无穷小替换ln(1)x x +) 220112lim 2x x x →-==-(等价无穷小替换211cos 2x x -) 故 原式=.121ee=-方法2：令21ln(1)(cos )x y x +=，有2ln cos ln ln(1)xy x =+，以下同方法1．(2)【答案】542=-+z y x【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．平面042=-+z y x 的法向量：1{2,4,1}n =-；曲面22y x z +=在点),,(000z y x 的法向量：20000{(,),(,),1}x y n z x y z x y =-00{2,2,1}x y =- 由于12//n n ，因此有00221241x y -==- 可解得，2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：2{2,4,1}n =-，故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x(3)【答案】1【详解】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数2()cos ()n n f x x a nx x ππ∞===-≤≤∑，其中⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n ．所以 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ201[sin 2sin 22]x xx xdx πππ=-⋅⎰ 01cos2xd x ππ=⎰001[cos2cos2]x x xdx πππ=-⎰1=(4)【答案】⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2132【详解】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P =[121],,,-n ααα [],,,21n βββ ．根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 P =[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(5)【答案】14． 【分析】本题为已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤．连续型二维随机变量(,)X Y 概率的求解方法(,)(,),yxF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰此题可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤0(,)(,)g x y z f x y dxdy ≤=⎰⎰进行计算．【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有=≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰1220(612)x x dx =-⎰14=(6)【答案】)49.40,51.39(． 【分析】可以用两种方法求解：(1) 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计. 因为(,1)X N μ，设有n 个样本，样本均值11ni i X X n ==∑，则1(,)XN n μ，将其标准化，~(0,1)X N 得：)1,0(~1N nX μ- 由正态分布分为点的定义αμα-=<-1}1{2u nX P 可确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+．(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值μ的置信区间问题．由教材上已经求出的置信区间22(x u x u αα-+，其中2{}1,(0,1)P U u UN αα<=-，可以直接得出答案．【详解】方法1：由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题16n =, 40=x .根据 1.96}0.95P <=，有 1.96}0.95P <=，即{39.5140.49}0.95P μ<<=，故μ的置信度为0．95的置信区间是)49.40,51.39(． 方法2：由题设，95.01=-α，22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu 将1σ=，16n =, 40=x代入22(x u x u αα-+得置信区间)49.40,51.39( 二、选择题(1)【答案】()C【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定． 【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数 不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(2)【答案】()D 【详解】方法1：推理法由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，则lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在． 所以选项()D 正确．方法2：排除法取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确；取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．(3)【答案】()A 【详解】由2220,0(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+222(,)(1)()f x y xy x y α⇒-=++，其中00lim 0x y α→→=． 由(,)f x y 在点(0,0)连续知，(0,0)0f =．取y x =，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=++>；取y x =-，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=-++< 故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点，应选()A ． (极值的定义)(4)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关． 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤． 可见正确选项为(D)． 本题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】 用排除法：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C)．(5)【答案】(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③、④，迅速排除不正确的选项． 【详解】若0AX =与0BX =同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同，即n -秩(A )=n -秩(B ), 得秩(A )=秩(B )，命题③成立，可排除(A), (C)；但反过来，若秩(A )=秩(B )，则不能推出0AX =与0BX =同解，通过举一反例证明，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A )=秩(B )=1，但0AX =与0BX =不同解，可见命题④不成立，排除(D). 故正确选项为(B)．(6)【答案】(C)．【分析】求解这类问题关键在于了解产生2χ变量、t 变量、F 变量的典型模式．(1)2χ分布：设12,,,n X X X 相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量21ni i Z X ==∑服从自由度为n 的2χ分布．记做2().Zn χ(2)t 分布：设1(0,1)X N ，22~()X n χ，且12,X X 相互独立，则随机变量Z =n 的t 分布．记做()Z t n(3)F 分布：设2212(),(),Xn Y n χχ且,X Y 相互独立，则随机变量12X n Z Y n =服从F 分布，其第一、二自由度分别为12,.n n 记做12(,).ZF n n【详解】其实，由F 分布的性质以及t 分布和F 分布的关系得，(1) 如果统计量 ()T t n ，则有2(1,)T F n ；(2) 如果统计量12(,)FF n n ，则有211(,)F n n F．由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C)．先由t分布的定义知()X t n =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是 21XY ==122U n V U n V =， 分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以)1(~22χU. 由F 分布的定义知~(,1).Y F n 故应选(C)．三【分析】圆锥体体积公式：213V r h π=⋅；旋转体的体积：(1) 连续曲线()y f x =，直线x a =、x b =所围成的图形绕直线0x x =旋转一周而成的立体的体积[]210()ba V f x x dx π=-⎰(2) 连续曲线()x g x =，直线y c =、y d =所围成的图形绕直线0y y =旋转一周而成的立体的体积[]220()dc V g y y dy π=-⎰【详解】为了求D 的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是：).(1ln 000x x x x y -+=切线的斜率为01x y x '=，由于该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，得01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为.1x ey =(1) 利用平面图形D 的面积公式()()S y y dy βαϕψ=-⎰，得⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y (2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图．切线x ey 1=与x 轴及直线x e =所围成的三角形绕直线x e =旋转所得的圆锥体积为： 122101().3V e ey dy e ππ=-=⎰曲线ln y x =与x 轴及直线x e =所围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体体积为：dy e e V y 212)(⎰-=π1220(2)y y e e e e dy π=-⋅+⎰12201(2)2yy e y e e e π=-⋅+211(2)22e e π=-+-因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形．另外，由于函数展开成的幂级数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导(积分)后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有00()()n n n f x a x x ∞==-∑收敛区间为00(,)x R x R -+． 如果在0x x R =+处级数收敛，并且()f x (左)连续，则展开式成立的范围可扩大到0x x R =+处，在0x x R =-处亦有类似的结论，不过此时()f x (左)连续应改称(右)连续． 【详解】本题可先求导，()f x '()2222(12)2(12)1212121212111212x x x x x x x x x '-+---⎛⎫ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭基本求导公式 22422(14)14x x --==++21214x=-+ 对于函数2114x +，可以利用我们所熟悉的函数x-11的幂级数展开：2011(11)1nnn x x x x x x ∞==+++++=-<<-∑所以 2222001(4)(1)414114n n n nn n x x x x ∞∞===-=--<-<+∑∑ (把x 换成24x -) 有 22111()22(1)4,(,).1422n n nn f x x x x ∞='=-=--∈-+∑对上式两边求积分，得200()(0)()2(1)4xx n n n n f x f f t dt t dt ∞=⎛⎫'-==-- ⎪⎝⎭∑⎰⎰221000(1)4112(1)42,(,)2122n n x nnnn n n t dt x x n ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰，又因为04f π=（），所以()(0)()xf x f f t dt '=+⎰=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π即 21012(1)411arctan 2,(,).1242122n n n n x x x x n π∞+=--=-∈-++∑ (*)在21=x 处，右边级数成为0(1)1212n n n ∞=-⋅+∑，收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数()f x 连续，所以成立范围可扩大到21=x 处．而在12x =-处，右边级数虽然收敛，但左边函数()f x 不连续，所以成立范围只能是11(,]22x ∈-．为了求∑∞=+-012)1(n n n ，令21=x 代入(*)得∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n n n n n n n f ππ, 再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n五【详解】(1) 方法1：用格林公式证明. 由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰． 所以 ⎰⎰⎰--+=-D x yx Ly dxdy e edx ye dy xe )(sin sin sin sin所以 ⎰⎰⎰+=---Dxy x L y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin 因为积分区域D 关于y x =对称，所以sin sin sin sin ()()x y yxyx DDeedxdyee dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰与互换故 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--方法2：化为定积分证明左边sin sin yxLL xedy yedx -=-⎰⎰=dx edy exy⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x右边sin sin y x LLxe dy ye dx -=-⎰⎰=⎰⎰--ππππ00sin sin dx e dy e x y =⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x所以 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--．(2) 方法1：用格林公式证明⎰⎰⎰--+=-Dxy x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy eDDx y⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin 利用轮换对称性=sin sin ()2x x DDe e dxdy dxdy -+≥⎰⎰⎰⎰22π=(因为0,0a b a b +≥>>)方法2：由(1)知，sin sin sin sin 0()2y x x x Lxe dy ye dx e e dx dx ππππ---=+≥⎰⎰⎰22π=六【详解】(1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为x 轴正向，设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，汽锤所作的功等于克服阻力所做的功．121102x k W kxdx x ==⎰，2122221()2x x k W kxdx x x ==-⎰，3222332()2x x k W kxdx x x ==-⎰，1x a =从而 212332k W W W x ++=又 12rW W =，2321W rW r W ==， 从而222231231(1)(1)22k k x W W W r r W r r a =++=++=++于是 3x =(2) 第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ． 则汽锤前n 次所功的和等于克服桩被打进地下n x m 所做的功．11210(1)nx n n kxdx W W W r r W -=+++=+++⎰而 2102a kW kxdx a ==⎰ 牛-莱公式所以212(1)22n n k k x r r a -=+++从而 n x = 等比数列求和公式由于01r <<，所以1lim n n x +→∞=．七【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d x dy 变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dx dy 与22d ydx来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有dy dx =y dxdy '=11，)(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-． 代入原方程，得 .sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21xx e C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=则 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--= 解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为 .sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->，满足题设0y '≠条件．八【详解】(1) 首先对()F t 进行化简，三重积分转化为在球面坐标系中的计算；二重积分转化为在极坐标系中的计算．222222220()()()sin 2sin ()t tt f x y z dv d d f r r dr d f r r dr πππθϕϕπϕϕΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222002()cos 4()t tf r r dr f r r dr ππϕπ=⋅-=⎰⎰ (球面坐标)222220()()()2()t tD t f x y d d f r rdr f r rdr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰ (极坐标)所以222220000222()sin 4()()()2()ttttd d f r r drf r r drF t d f r rdrf r rdrπππθϕϕπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22022()()ttf r r drf r rdr=⎰⎰为了讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性，对()F t 求导：222222022()()()()()2[()]t ttt f t f r rdr f r r dr f t tF t f r rdr ⋅-⋅'=⎰⎰⎰22022()()()2[()]tttf t f r r t r drf r rdr ⋅-=⎰⎰由于()0,0,0f t r t r >>->，所以2()()0f r r t r ->. 再利用定积分的性质：若在区间[,]a b 上()0f x >，则()0baf x dx >⎰. 所以()0F t '>，所以()F t 在区间),0(+∞内严格单调增加．(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可．因为 2220()2()2()t t ttf x dx f x dx f r dr -==⎰⎰⎰，所以2222()0022200()2()()()()2()()ttD t ttttf x y d f r rdr f r rdrG t f x dxf r drf r drσππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰要证明0t >时)(2)(t G t F π>，只需证明0t >时，0)(2)(>-t G t F π，即22200222()2()2()()()()t tttf r r drf r rdrF tG t f r rdrf r drπ-=-⎰⎰⎰⎰()()()()()222222202()()()()()tttttf r r dr f r dr f r rdr f r rdr f r dr⎡⎤⋅-⎢⎥⎣⎦=⋅⎰⎰⎰⎰⎰令 ()()()22222()()()()tt tg t f r r dr f r dr f r rdr =⋅-⎰⎰⎰222222220222()()()()()2()()()()()0ttttg t f t t f r dr f t f r r dr f t t f r rdrf t f r t r dr t '=+-=->>⎰⎰⎰⎰故()g t 在),0(+∞内单调增加，又因为(0)0g =，所以当0t >时，有()0)0g t g >=（， 从而0t >时，).(2)(t G t F π>九【分析】 法1：可先求出*1,A P -，进而确定P A P B *1-=及2B E +，再按通常方法确定其特征值和特征向量；法2：先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据2B E +与*2A E +相似求出其特征值与特征向量． 【详解】方法1：经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，所以 P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ．令 2900(2)274(9)(3)0225E B E λλλλλλ--+=-=--=-，故2B E +的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数．当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η，所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数． 方法2：设A 的特征值为λ，对应的特征向量为η，即ληη=A ．由于07≠=A ，所以.0≠λ所以 ***()()A A A E A A A E A A A E ηηηη=⇒=⇒=***()AA A A A A ληηληηηηλ⇒=⇒=⇒=，于是 11*11()()()AB P P A P P P ηηηλ----==，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为2B E +的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于)7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为1231,7λλλ===当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP ．因此，2B E +的三个特征值分别为9，9，3．对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数．十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b c a b c b c a c a b A bc a b c a c a bc ab -++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b c a c a b c a b -=++-=-++-16()6()c ba ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c--=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同，所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．方法2：“必要性”设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以||0B =．而232323232323a b c a bcB bc a bc a A c a bca b-==--=-- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性”：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 将方程组(*)的三个方程相加，并由.0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==222[()]0a b a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．十一【详解】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组．(1) 方法1：X 的可能取值为0,1,2,3, 取出k 件次品()0,1,2,3k =的取法有333kkC C -种；样本空间即从两个箱子中取出3件产品的总的取法数为36C ．所以有，X 的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==， k 0,1,2,3.= 即 X 0 1 2 3 P201 209 209 201 因此，由离散型数学期望的定义{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑易得 19913()0123.202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 方法2：本题对数学期望的计算也可用分解法：设0, ,1,i i X i ⎧=⎨⎩从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第件产品是次品. 则i X 的概率分布为i X 0 1P 21 21 .3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以由数学期望的线性可加性，有()()()()1233.2E X E X E X E X =++= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====30}{}{)(k k X A P k X P A P =33001{}{}66k k k P X k k P X k ===⋅=⋅=∑∑ ()1131.6624E X ==⋅=十二【分析】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点．将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式．求分布函数()F X 是基本题型：求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立．【详解】(1) 由连续型随机变量分布函数的定义，有.,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) 由题给).,,,min(ˆ21nX X X =θ，有 }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ 121{min(,,,)}n P X X X x =->121{,,,}n P X x X x X x =->>> 1[1()]n F x =--2(),1,.0,n x x e x θθθ-->⎧-=⎨≤⎩(3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dx x dF x f x n因为 2()ˆˆ()()2n x E xf x dx nxe dx θθθθ+∞+∞---∞==⎰⎰12nθθ=+≠， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性．。
2003考研数一真题及解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 21ln(1)lim(cos )x x x +→=(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = .(4) 从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .(5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P.(6) 已知一批零件的长度X (单位：cm cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个 零件，得到长度的平均值为40 (cm )，则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数()f x 在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示， 则()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3) 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则( ) (A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4) 设向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则( )(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.(5) 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =, 其中,A B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题：① 若0Ax =的解均是0Bx =的解，则秩(A )≥秩(B )； ② 若秩(A )≥秩(B )，则0Ax =的解均是0Bx =的解； ③ 若0Ax =与0Bx =同解，则秩(A )=秩(B )； ④ 若秩(A )=秩(B )， 则0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的是( )(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.(6) 设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，则( ) (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y .三 、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四 、(本题满分12分)将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xex L y六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<. 问 (1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分)设函数()f x 连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当0t >时，).(2)(t G t F π>设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数X 的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21Λ，记).,,,min(ˆ21nX X X Λ=θ (1) 求总体X 的分布函数()F x ;(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】方法1：求()lim ()v x u x 型极限，一般先化为指数形式()()ln ()lim ()lim v x v x u x u x e =然后求lim ()ln ()v x u x ，再回到指数上去．)1ln(12)(cos lim x x x +→=220ln cos ln cos limln(1)ln(1)lim x xxx x x e e→++→=,而2200ln cos ln(1cos 1)limlim ln(1)ln(1)x x x x x x →→+-=++20cos 1lim x x x→-=(等价无穷小替换ln(1)x x +:) 220112lim 2x x x →-==-(等价无穷小替换211cos 2x x -:) 故 原式=.121ee=-方法2：令21ln(1)(cos )x y x +=，有2ln cos ln ln(1)xy x =+，以下同方法1．(2)【答案】542=-+z y x【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．平面042=-+z y x 的法向量：1{2,4,1}n =-r；曲面22y x z +=在点),,(000z y x 的法向量：20000{(,),(,),1}x y n z x y z x y =-r 00{2,2,1}x y =- 由于12//n n r r，因此有00221241x y -==- 可解得，2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：2{2,4,1}n =-r，故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x(3)【答案】1【详解】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数2()cos ()n n f x x a nx x ππ∞===-≤≤∑，其中⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n ．所以 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ201[sin 2sin 22]x xx xdx πππ=-⋅⎰ 01cos2xd x ππ=⎰001[cos2cos2]x x xdx πππ=-⎰1=(4)【答案】⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2132【详解】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21Λ到基n βββ,,,21Λ的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21Λ]=[n ααα,,,21Λ]P ，因此过渡矩阵P 为：P =[121],,,-n αααΛ[],,,21n βββΛ．根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P =[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(5)【答案】14． 【分析】本题为已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤．连续型二维随机变量(,)X Y 概率的求解方法(,)(,),yxF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰此题可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤0(,)(,)g x y z f x y dxdy ≤=⎰⎰进行计算．【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有=≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰1220(612)x x dx =-⎰14=(6)【答案】)49.40,51.39(． 【分析】可以用两种方法求解：(1) 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计. 因为(,1)X N μ:，设有n个样本，样本均值11n i i X X n ==∑，则1(,)X N n μ:，将其标准化，~(0,1)X N 得：)1,0(~1N nX μ- 由正态分布分为点的定义αμα-=<-1}1{2u nX P 可确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+．(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值μ的置信区间问题．由教材上已经求出的置信区间22(x u x u αα-+，其中2{}1,(0,1)P U u U N αα<=-:，可以直接得出答案．【详解】方法1：由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题16n =, 40=x .根据 1.96}0.95P <=，有 1.96}0.95P <=，即{39.5140.49}0.95P μ<<=，故μ的置信度为0．95的置信区间是)49.40,51.39(． 方法2：由题设，95.01=-α，22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu 将1σ=，16n =, 40=x代入22(x u x u αα-+得置信区间)49.40,51.39( 二、选择题(1)【答案】()Cy【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定． 【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数 不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(2)【答案】()D 【详解】方法1：推理法由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，则lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在． 所以选项()D 正确．方法2：排除法取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确；取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．(3)【答案】()A 【详解】由2220,0(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+222(,)(1)()f x y xy x y α⇒-=++，其中00lim 0x y α→→=． 由(,)f x y 在点(0,0)连续知，(0,0)0f =．取y x =，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=++>； 取y x =-，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=-++< 故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点，应选()A ． (极值的定义)(4)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关． 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤． 可见正确选项为(D)． 本题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】 用排除法：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C)．(5)【答案】(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③、④，迅速排除不正确的选项． 【详解】若0AX =与0BX =同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同，即n -秩(A )=n -秩(B ), 得秩(A )=秩(B )，命题③成立，可排除(A), (C)；但反过来，若秩(A )=秩(B )，则不能推出0AX =与0BX =同解，通过举一反例证明，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A )=秩(B )=1，但0AX =与0BX =不同解，可见命题④不成立，排除(D). 故正确选项为(B)．(6)【答案】(C)．【分析】求解这类问题关键在于了解产生2χ变量、t 变量、F 变量的典型模式．(1)2χ分布：设12,,,n X X X L 相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量21ni i Z X ==∑服从自由度为n 的2χ分布．记做2().Z n χ:(2)t 分布：设1(0,1)X N :，22~()X n χ，且12,X X 相互独立，则随机变量Z =n 的t 分布．记做()Z t n :(3)F 分布：设2212(),(),X n Y n χχ::且,X Y 相互独立，则随机变量12X n Z Y n =服从F 分布，其第一、二自由度分别为12,.n n 记做12(,).Z F n n : 【详解】其实，由F 分布的性质以及t 分布和F 分布的关系得，(1) 如果统计量 ()T t n :，则有2(1,)T F n :； (2) 如果统计量12(,)F F n n :，则有211(,)F n n F:． 由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C)．先由t分布的定义知()X t n =:，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是 21XY ==122U n V U n V =，分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以)1(~22χU. 由F 分布的定义知~(,1).Y F n 故应选(C)．三【分析】圆锥体体积公式：213V r h π=⋅；旋转体的体积：(1) 连续曲线()y f x =，直线x a =、x b =所围成的图形绕直线0x x =旋转一周而成的立体的体积[]210()ba V f x x dx π=-⎰(2) 连续曲线()x g x =，直线y c =、y d =所围成的图形绕直线0y y =旋转一周而成的立体的体积[]220()dcV g y y dy π=-⎰【详解】为了求D 的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是：).(1ln 000x x x x y -+= 切线的斜率为01x y x '=，由于该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，得01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为.1x ey =(1) 利用平面图形D 的面积公式()()S y y dy βαϕψ=-⎰，得⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y (2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图．切线x ey 1=与x 轴及直线x e =所围成的三角形绕直线x e =旋转所得的圆锥体积为： 122101().3V e ey dy e ππ=-=⎰曲线ln y x =与x 轴及直线x e =所围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体体积为：dy e e V y 212)(⎰-=π1220(2)y y e e e e dy π=-⋅+⎰12201(2)2yy e y e e e π=-⋅+211(2)22e e π=-+-因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形．另外，由于函数展开成的幂级数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导(积分)后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有00()()n n n f x a x x ∞==-∑收敛区间为00(,)x R x R -+． 如果在0x x R =+处级数收敛，并且()f x (左)连续，则展开式成立的范围可扩大到0x x R =+处，在0x x R =-处亦有类似的结论，不过此时()f x (左)连续应改称(右)连续．【详解】本题可先求导，()f x '()2222(12)2(12)1212121212111212x x x x x x x x x '-+---⎛⎫ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭基本求导公式 22422(14)14x x --==++21214x=-+ 对于函数2114x +，可以利用我们所熟悉的函数x-11的幂级数展开： 2011(11)1nnn x x x x x x ∞==+++++=-<<-∑L L所以 2222001(4)(1)414114n n n nn n x x x x ∞∞===-=--<-<+∑∑ (把x 换成24x -) 有 22111()22(1)4,(,).1422n n n n f x x x x ∞='=-=--∈-+∑对上式两边求积分，得200()(0)()2(1)4xxn n n n f x f f t dt t dt ∞=⎛⎫'-==-- ⎪⎝⎭∑⎰⎰221000(1)4112(1)42,(,)2122n n x nnnn n n t dt x x n ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰，又因为04f π=（），所以()(0)()xf x f f t dt '=+⎰=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n nn π即 21012(1)411arctan 2,(,).1242122n n n n x x x x n π∞+=--=-∈-++∑ (*)在21=x 处，右边级数成为0(1)1212n n n ∞=-⋅+∑，收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数()f x 连续，所以成立范围可扩大到21=x 处．而在12x =-处，右边级数虽然收敛，但左边函数()f x 不连续，所以成立范围只能是11(,]22x ∈-．为了求∑∞=+-012)1(n n n ，令21=x 代入(*)得∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n n n n n n n f ππ,再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n五【详解】(1) 方法1：用格林公式证明. 由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰Ñ． 所以 ⎰⎰⎰--+=-Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin所以 ⎰⎰⎰+=---Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin因为积分区域D 关于y x =对称，所以sin sin sin sin ()()x y yxyx DDeedxdyee dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰与互换故 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--方法2：化为定积分证明左边sin sin yxL L xedy yedx -=-⎰⎰蜒=dx edy exy⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x右边sin sin y xLLxe dy ye dx -=-⎰⎰蜒=⎰⎰--ππππ00sin sin dx e dy e x y =⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x所以 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--．(2) 方法1：用格林公式证明⎰⎰⎰--+=-Dxy x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy eDDx y⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin 利用轮换对称性=sin sin ()2x x DDe e dxdy dxdy -+≥⎰⎰⎰⎰22π=(因为0,0a b a b +≥>>)方法2：由(1)知，sin sin sin sin 0()2y x x x Lxe dy ye dx e e dx dx ππππ---=+≥⎰⎰⎰Ñ22π=六【详解】(1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为x 轴正向，设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1(Λ=n W n ．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，汽锤所作的功等于克服阻力所做的功．121102x k W kxdx x ==⎰，2122221()2x x k W kxdx x x ==-⎰，3222332()2x x k W kxdx x x ==-⎰，1x a =从而 212332k W W W x ++=又 12rW W =，2321W rW r W ==， 从而222231231(1)(1)22k k x W W W r r W r r a =++=++=++于是 3x =(2) 第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1(Λ=n W n ． 则汽锤前n 次所功的和等于克服桩被打进地下n x m 所做的功．11210(1)nx n n kxdx W W W r r W -=+++=+++⎰L L而 2102a kW kxdx a ==⎰ 牛-莱公式 所以212(1)22n n k k x r r a -=+++L从而 n x = 等比数列求和公式由于01r <<，所以1lim n n x +→∞=．七【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d x dy 变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dx dy 与22d ydx来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有dy dx =y dxdy '=11，)(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-． 代入原方程，得 .sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21xxe C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=则 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--= 解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为 .sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->，满足题设0y '≠条件．八【详解】(1) 首先对()F t 进行化简，三重积分转化为在球面坐标系中的计算；二重积分转化为在极坐标系中的计算．222222220()()()sin 2sin ()t tt f x y z dv d d f r r dr d f r r dr πππθϕϕπϕϕΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222002()cos 4()t tf r r dr f r r dr ππϕπ=⋅-=⎰⎰ (球面坐标)222220()()()2()t tD t f x y d d f r rdr f r rdr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰ (极坐标)所以222220000222()sin 4()()()2()ttttd d f r r drf r r drF t d f r rdrf r rdrπππθϕϕπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22022()()ttf r r drf r rdr=⎰⎰为了讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性，对()F t 求导：222222022()()()()()2[()]t ttt f t f r rdr f r r dr f t tF t f r rdr ⋅-⋅'=⎰⎰⎰22022()()()2[()]tttf t f r r t r drf r rdr ⋅-=⎰⎰由于()0,0,0f t r t r >>->，所以2()()0f r r t r ->. 再利用定积分的性质：若在区间[,]a b 上()0f x >，则()0baf x dx >⎰. 所以()0F t '>，所以()F t 在区间),0(+∞内严格单调增加．(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可． 因为 2220()2()2()ttttf x dx f x dx f r dr -==⎰⎰⎰，所以2222()022200()2()()()()2()()ttD t ttttf x y d f r rdr f r rdrG t f x dxf r drf r drσππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰要证明0t >时)(2)(t G t F π>，只需证明0t >时，0)(2)(>-t G t F π，即22200222()2()2()()()()t tttf r r drf r rdrF tG t f r rdrf r drπ-=-⎰⎰⎰⎰()()()()()222222202()()()()()tttttf r r dr f r dr f r rdr f r rdr f r dr⎡⎤⋅-⎢⎥⎣⎦=⋅⎰⎰⎰⎰⎰令 ()()()22222()()()()tt tg t f r r dr f r dr f r rdr =⋅-⎰⎰⎰222222220222()()()()()2()()()()()0ttttg t f t t f r dr f t f r r dr f t t f r rdrf t f r t r dr t '=+-=->>⎰⎰⎰⎰故()g t 在),0(+∞内单调增加，又因为(0)0g =，所以当0t >时，有()0)0g t g >=（， 从而0t >时，).(2)(t G t F π>九【分析】 法1：可先求出*1,A P -，进而确定P A P B *1-=及2B E +，再按通常方法确定其特征值和特征向量；法2：先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据2B E +与*2A E +相似求出其特征值与特征向量． 【详解】方法1：经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，所以 P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ． 令 2900(2)274(9)(3)0225E B E λλλλλλ--+=-=--=-，故2B E +的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数．当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η，所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数． 方法2：设A 的特征值为λ，对应的特征向量为η，即ληη=A ．由于07≠=A ，所以.0≠λ所以 ***()()A A A E A A A E A A A E ηηηη=⇒=⇒=***()AA A A A A ληηληηηηλ⇒=⇒=⇒=，于是 11*11()()()AB P P A P P P ηηηλ----==，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为2B E +的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于)7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为1231,7λλλ===当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP ．因此，2B E +的三个特征值分别为9，9，3．对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数．十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b c a b c b c a c a b A bc a b c a c a bc ab -++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b c a c a b c a b-=++-=-++-1006()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c--=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同，所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．方法2：“必要性”设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以||0B =．而232323232323a b c a bcB bc a bc a A c a bca b-==--=-- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性”：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由.0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==222[()]0a b a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．十一【详解】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组．(1) 方法1：X 的可能取值为0,1,2,3, 取出k 件次品()0,1,2,3k =的取法有333kkC C -种；样本空间即从两个箱子中取出3件产品的总的取法数为36C ．所以有，X 的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==， k 0,1,2,3.= 即 X 0 1 2 3 P201 209 209 201 因此，由离散型数学期望的定义{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑易得 19913()0123.202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 方法2：本题对数学期望的计算也可用分解法：设0, ,1,i i X i ⎧=⎨⎩从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第件产品是次品. 则i X 的概率分布为i X 0 1P 21 21.3,2,1=i因为321X X X X ++=，所以由数学期望的线性可加性，有精选文库-- 21 ()()()()1233.2E X E X E X E X =++= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====30}{}{)(k k X A P k X P A P =33001{}{}66k k k P X k k P X k ===⋅=⋅=∑∑ ()1131.6624E X ==⋅=十二【分析】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点．将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式．求分布函数()F X 是基本题型：求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立．【详解】(1) 由连续型随机变量分布函数的定义，有.,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) 由题给).,,,min(ˆ21nX X X Λ=θ，有 }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤=Λθθ 121{min(,,,)}n P X X X x =->L 121{,,,}n P X x X x X x =->>>L1[1()]nF x =--2(),1,.0,n x x e x θθθ-->⎧-=⎨≤⎩ (3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dx x dF x f x n 因为 2()ˆˆ()()2n x E xf x dx nxe dx θθθθ+∞+∞---∞==⎰⎰12nθθ=+≠， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性．。
2003年考研数学真题与答案
= 3(a + b + c)[(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ] ,
但根据题设 (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≠ 0 ，故 a + b + c = 0.
充分性：由 a + b + c = 0 ，则从必要性的证明可知， A = 0 ，故秩 ( A) < 3.
⎢⎣ 1 −1 1 ⎥⎦
α Tα =
3
.
⎡ 1 −1 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎡1⎤
【详解】 由αα T = ⎢⎢−1 1 −1⎥⎥ = ⎢⎢−1⎥⎥[1 −1 1]，知α = ⎢⎢−1⎥⎥ ，于是
⎢⎣ 1 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎡1⎤
α Tα = [1 −1 1]⎢⎢−1⎥⎥ = 3.
其中A的逆矩阵为B，则a= -1 .
【详解】 由题设，有
于是有
AB = (E − αα T )(E + 1 αα T ) a
= E − αα T + 1 αα T − 1 αα T ⋅αα T
a
a
= E − αα T + 1 αα T − 1 α (α Tα )α T
a
a
= E − αα T + 1 αα T − 2aαα T a
⎢⎣− 2 − 2 3 ⎥⎦
从而
⎡9 0 0⎤ B + 2E = ⎢⎢− 2 7 − 4⎥⎥ ，
⎢⎣− 2 − 2 5 ⎥⎦
λ−9 0 0 λE − (B + 2E) = 2 λ − 7 4 = (λ − 9)2 (λ − 3) ，
2003年数学四试题 考研数学真题及解析
2003年考研数学（四）试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→= - . （2）dx e x x x ⎰--+11)(= - .（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= - .（4）设A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡202040202,则 1)(--E A = - .（5）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= - .（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5, EX=EY=0,222==EY EX , 则2)(Y X E += .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）曲线21x xe y =(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. [ ]（2）设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在x=1处连续，则0)1(=ϕ是f(x)在x=1处可导的(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. [ ]（3）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.(C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.[ ]（4）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B . 已知矩阵A 相似于B ，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. [ ]（5）对于任意二事件A 和B(A) 若φ≠AB ，则A,B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则A,B 有可能独立.(C) 若φ=AB ，则A,B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则A,B 一定不独立.[ ]（6）设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则(A) X 与Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布.(C) X 与Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. [ ]三 、（本题满分8分）设],21,0(,)1(11sin 1)(∈---=x x x x x f πππ 试补充定义f(0),使得f(x)在]21,0[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ，又)](21,[),(22y x xy f y xg -=,求.2222yg x g ∂∂+∂∂ 五 、（本题满分8分）计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I D y x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）设a>1，at a t f t -=)(在),(+∞-∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，t(a)最小？并求出最小值.七、（本题满分9分）设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM的面积之和为3163+x ，求f(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值；(2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量.九、（本题满分13分）设有向量组（I ）：T )2,0,1(1=α，T )3,1,1(2=α，Ta )2,1,1(3+-=α和向量组（II ）：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）等价？当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）不等价？十、（本题满分13分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求a,b 和λ的值.十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ，)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P -=ρ称做事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ。
2003考研数一真题及其解析资料全
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)21ln(1)0lim(cos )x x x +→=(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = .(4) 从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为.(5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P.(6) 已知一批零件的长度X (单位：cm cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个 零件，得到长度的平均值为40 (cm )，则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数()f x 在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示， 则()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3) 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则( ) (A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4) 设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则( )(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.(5) 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =, 其中,A B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题：① 若0Ax =的解均是0Bx =的解，则秩(A )≥秩(B )； ② 若秩(A )≥秩(B )，则0Ax =的解均是0Bx =的解； ③ 若0Ax =与0Bx =同解，则秩(A )=秩(B )； ④ 若秩(A )=秩(B )， 则0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的是( )(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.(6) 设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，则( ) (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y .三 、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四 、(本题满分12分)将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xex Ly六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<. 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分)设函数()f x 连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当0t >时，).(2)(t G t F π>设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数X 的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数()F x ;(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 (1)【详解】方法1：求()lim ()v x u x 型极限，一般先化为指数形式()()ln ()lim ()lim v x v x u x u x e =然后求lim ()ln ()v x u x ，再回到指数上去．)1ln(12)(cos lim x x x +→=220ln cos ln cos limln(1)ln(1)lim x xxx x x e e→++→=,而2200ln cos ln(1cos 1)limlim ln(1)ln(1)x x x x x x →→+-=++20cos 1lim x x x→-=(等价无穷小替换ln(1)x x +) 220112lim 2x x x →-==-(等价无穷小替换211cos 2x x -) 故 原式=.121ee=-方法2：令21ln(1)(cos )x y x +=，有2ln cos ln ln(1)xy x =+，以下同方法1．(2)【答案】542=-+z y x【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．平面042=-+z y x 的法向量：1{2,4,1}n =-；曲面22y x z +=在点),,(000z y x 的法向量：20000{(,),(,),1}x y n z x y z x y =-00{2,2,1}x y =- 由于12//n n ，因此有00221241x y -==- 可解得，2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：2{2,4,1}n =-，故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x(3)【答案】1【详解】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数2()cos ()n n f x x a nx x ππ∞===-≤≤∑，其中⎰=ππcos )(2nxdx x f a n ．所以 x d x xdx x a 2sin 12cos 2222⎰⎰=⋅=ππππ201[sin 2sin 22]x xx xdx πππ=-⋅⎰1cos2xd x ππ=⎰001[cos2cos2]x x xdx πππ=-⎰1=(4)【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132【详解】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P =[121],,,-n ααα [],,,21n βββ ．根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P =[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(5)【答案】14． 【分析】本题为已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤．连续型二维随机变量(,)X Y 概率的求解方法(,)(,),yxF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰此题可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤0(,)(,)g x y z f x y dxdy ≤=⎰⎰进行计算．【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有=≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰1220(612)x x dx =-⎰14=(6)【答案】)49.40,51.39(． 【分析】可以用两种方法求解：(1) 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计. 因为(,1)X N μ，设有n个样本，样本均值11ni i X X n ==∑，则1(,)XN n μ，将其标准化，~(0,1)X N 得：)1,0(~1N nX μ- 由正态分布分为点的定义αμα-=<-1}1{2u nX P 可确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+．(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值μ的置信区间问题．由教材上已经求出的置信区间22(x u x u αα-+，其中2{}1,(0,1)P U u UN αα<=-，可以直接得出答案．【详解】方法1：由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题16n =, 40=x .根据 1.96}0.95P <=，有 1.96}0.95P <=，即{39.5140.49}0.95P μ<<=，故μ的置信度为0．95的置信区间是)49.40,51.39(． 方法2：由题设，95.01=-α，22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu 将1σ=，16n =, 40=x代入22(x u x u αα-+得置信区间)49.40,51.39(二、选择题(1)【答案】()Cy【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定． 【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数 不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(2)【答案】()D 【详解】方法1：推理法由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，则lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在． 所以选项()D 正确．方法2：排除法取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确；取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．(3)【答案】()A 【详解】由2220,0(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+222(,)(1)()f x y xy x y α⇒-=++，其中00lim 0x y α→→=． 由(,)f x y 在点(0,0)连续知，(0,0)0f =．取y x =，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=++>； 取y x =-，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=-++< 故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点，应选()A ． (极值的定义)(4)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关． 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤． 可见正确选项为(D)． 本题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】 用排除法：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C)．(5)【答案】(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③、④，迅速排除不正确的选项． 【详解】若0AX =与0BX =同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同，即n -秩(A )=n -秩(B ), 得秩(A )=秩(B )，命题③成立，可排除(A), (C)；但反过来，若秩(A )=秩(B )，则不能推出0AX =与0BX =同解，通过举一反例证明，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A )=秩(B )=1，但0AX =与0BX =不同解，可见命题④不成立，排除(D). 故正确选项为(B)．(6)【答案】(C)．【分析】求解这类问题关键在于了解产生2χ变量、t 变量、F 变量的典型模式．(1)2χ分布：设12,,,n X X X 相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量21nii Z X ==∑服从自由度为n 的2χ分布．记做2().Zn χ(2)t 分布：设1(0,1)X N ，22~()X n χ，且12,X X 相互独立，则随机变量Z =服从自由度为n 的t 分布．记做()Z t n(3)F 分布：设2212(),(),Xn Y n χχ且,X Y 相互独立，则随机变量12X n Z Y n =服从F 分布，其第一、二自由度分别为12,.n n 记做12(,).ZF n n【详解】其实，由F 分布的性质以及t 分布和F 分布的关系得，(1) 如果统计量 ()T t n ，则有2(1,)T F n ；(2) 如果统计量12(,)FF n n ，则有211(,)F n n F．由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C)．先由t分布的定义知()X t n =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是 21XY ==122U n V U n V =，分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以)1(~22χU . 由F 分布的定义知~(,1).Y F n故应选(C)．三【分析】圆锥体体积公式：213V r h π=⋅；旋转体的体积：(1) 连续曲线()y f x =，直线x a =、x b =所围成的图形绕直线0x x =旋转一周而成的立体的体积[]210()ba V f x x dx π=-⎰(2) 连续曲线()x g x =，直线y c =、y d =所围成的图形绕直线0y y =旋转一周而成的立体的体积[]220()dc V g y y dy π=-⎰【详解】为了求D 的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是：).(1ln 000x x x x y -+= 切线的斜率为01x y x '=，由于该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，得01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为.1x ey =(1) 利用平面图形D 的面积公式()()S y y dy βαϕψ=-⎰，得⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y (2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图．切线x ey 1=与x 轴及直线x e =所围成的三角形绕直线x e =旋转所得的圆锥体积为： 122101().3V e ey dy e ππ=-=⎰曲线ln y x =与x 轴及直线x e =所围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体体积为：dy e e V y 212)(⎰-=π1220(2)y y e e e e dy π=-⋅+⎰12201(2)2yy e y e e e π=-⋅+211(2)22e e π=-+-因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形．另外，由于函数展开成的幂级数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导(积分)后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有00()()n n n f x a x x ∞==-∑收敛区间为00(,)x R x R -+． 如果在0x x R =+处级数收敛，并且()f x (左)连续，则展开式成立的范围可扩大到0x x R =+处，在0x x R =-处亦有类似的结论，不过此时()f x (左)连续应改称(右)连续．【详解】本题可先求导，()f x '()2222(12)2(12)1212121212111212x x x x x x x x x '-+---⎛⎫ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭基本求导公式 22422(14)14x x --==++21214x =-+ 对于函数2114x +，可以利用我们所熟悉的函数x-11的幂级数展开： 2011(11)1nnn x x x x x x ∞==+++++=-<<-∑所以 2222001(4)(1)414114n n n nn n x x x x ∞∞===-=--<-<+∑∑ (把x 换成24x -) 有 22111()22(1)4,(,).1422n n n n f x x x x ∞='=-=--∈-+∑对上式两边求积分，得200()(0)()2(1)4xxn n n n f x f f t dt t dt ∞=⎛⎫'-==-- ⎪⎝⎭∑⎰⎰221000(1)4112(1)42,(,)2122n n x nnnn n n t dt x x n ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰，又因为04f π=（），所以()(0)()xf x f f t dt '=+⎰=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π即 21012(1)411arctan 2,(,).1242122n n n n x x x x n π∞+=--=-∈-++∑ (*)在21=x 处，右边级数成为0(1)1212n n n ∞=-⋅+∑，收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数()f x 连续，所以成立范围可扩大到21=x 处．而在12x =-处，右边级数虽然收敛，但左边函数()f x 不连续，所以成立范围只能是11(,]22x ∈-．为了求∑∞=+-012)1(n n n ，令21=x 代入(*)得∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n n n n n n n f ππ,再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n五【详解】(1) 方法1：用格林公式证明. 由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰． 所以 ⎰⎰⎰--+=-D x y x L ydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin所以⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin 因为积分区域D 关于y x =对称，所以sin sin sin sin ()()x y yxyx DDeedxdyee dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰与互换故dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰-- 方法2：化为定积分证明左边sin sin yxLL xedy yedx -=-⎰⎰=dx edy e xy ⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x 右边sin sin y x LLxe dy ye dx -=-⎰⎰=⎰⎰--ππππ00sin sin dx e dy ex y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x 所以dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--． (2) 方法1：用格林公式证明⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy eDDx y⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin 利用轮换对称性=sin sin ()2x x DDe e dxdy dxdy -+≥⎰⎰⎰⎰22π=(因为0,0a b a b +≥>>)方法2：由(1)知，sin sin sin sin 0()2y x x x Lxe dy ye dx e e dx dx ππππ---=+≥⎰⎰⎰22π=六【详解】(1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为x 轴正向，设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，汽锤所作的功等于克服阻力所做的功．121102x k W kxdx x ==⎰，2122221()2x x k W kxdx x x ==-⎰，3222332()2x x k W kxdx x x ==-⎰，1x a =从而 212332k W W W x ++=又 12rW W =，2321W rW r W ==， 从而222231231(1)(1)22k k x W W W r r W r r a =++=++=++于是 3x =(2) 第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ． 则汽锤前n 次所功的和等于克服桩被打进地下n x m 所做的功．11210(1)nx n n kxdx W W W r r W -=+++=+++⎰而 2102a kW kxdx a ==⎰ 牛-莱公式 所以212(1)22n n k k x r r a -=+++从而 n x = 等比数列求和公式由于01r <<，所以1lim n n x +→∞=．七【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d x dy 变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dx dy 与22d ydx来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有dy dx =y dxdy '=11，)(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-． 代入原方程，得 .s i nx y y =-'' ( * ) (2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21xxe C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=则 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--= 解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为 .sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->，满足题设0y '≠条件．八【详解】(1) 首先对()F t 进行化简，三重积分转化为在球面坐标系中的计算；二重积分转化为在极坐标系中的计算．222222220()()()sin 2sin ()t tt f x y z dv d d f r r dr d f r r dr πππθϕϕπϕϕΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222002()cos 4()t tf r r dr f r r dr ππϕπ=⋅-=⎰⎰ (球面坐标)222220()()()2()t tD t f x y d d f r rdr f r rdr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰ (极坐标)所以222220000222()sin 4()()()2()ttttd d f r r drf r r drF t d f r rdrf r rdrπππθϕϕπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22022()()ttf r r drf r rdr=⎰⎰为了讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性，对()F t 求导：222222022()()()()()2[()]t ttt f t f r rdr f r r dr f t tF t f r rdr ⋅-⋅'=⎰⎰⎰22022()()()2[()]tttf t f r r t r drf r rdr ⋅-=⎰⎰由于()0,0,0f t r t r >>->，所以2()()0f r r t r ->. 再利用定积分的性质：若在区间[,]a b 上()0f x >，则()0baf x dx >⎰. 所以()0F t '>，所以()F t 在区间),0(+∞内严格单调增加．(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可． 因为 2220()2()2()tt ttf x dx f x dx f r dr -==⎰⎰⎰，所以2222()022200()2()()()()2()()ttD t ttttf x y d f r rdr f r rdrG t f x dxf r drf r drσππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰要证明0t >时)(2)(t G t F π>，只需证明0t >时，0)(2)(>-t G t F π，即22200222()2()2()()()()t tttf r r drf r rdrF tG t f r rdrf r drπ-=-⎰⎰⎰⎰()()()()()222222202()()()()()tttttf r r dr f r dr f r rdr f r rdr f r dr⎡⎤⋅-⎢⎥⎣⎦=⋅⎰⎰⎰⎰⎰令 ()()()22222()()()()tt tg t f r r dr f r dr f r rdr =⋅-⎰⎰⎰222222220222()()()()()2()()()()()0ttttg t f t t f r dr f t f r r dr f t t f r rdrf t f r t r dr t '=+-=->>⎰⎰⎰⎰故()g t 在),0(+∞内单调增加，又因为(0)0g =，所以当0t >时，有()0)0g t g >=（， 从而0t >时，).(2)(t G t F π>九【分析】 法1：可先求出*1,A P -，进而确定P A P B *1-=及2B E +，再按通常方法确定其特征值和特征向量；法2：先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据2B E +与*2A E +相似求出其特征值与特征向量． 【详解】方法1：经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，所以 P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ． 令 2900(2)274(9)(3)0225E B E λλλλλλ--+=-=--=-，故2B E +的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数．当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η，所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数． 方法2：设A 的特征值为λ，对应的特征向量为η，即ληη=A ．由于07≠=A ，所以.0≠λ所以 ***()()A A A E A A A E A A A E ηηηη=⇒=⇒=***()AA A A A A ληηληηηηλ⇒=⇒=⇒=，于是 11*11()()()AB P P A P P P ηηηλ----==，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为2B E +的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于)7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为1231,7λλλ===当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP ．因此，2B E +的三个特征值分别为9，9，3．对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数．十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b c a b c b c a c a b A bc a b c a c a bc ab -++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b c a c a b c a b-=++-=-++-1006()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c--=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同，所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．方法2：“必要性”设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以||0B =．而232323232323a b c a bcB bc a bc a A c a bca b-==--=-- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性”：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由.0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==222[()]0a b a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．十一【详解】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组．(1) 方法1：X 的可能取值为0,1,2,3, 取出k 件次品()0,1,2,3k =的取法有333kkC C -种；样本空间即从两个箱子中取出3件产品的总的取法数为36C ．所以有，X 的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==， k 0,1,2,3.= 即 X 0 1 2 3 P201 209 209 201 因此，由离散型数学期望的定义{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑易得 19913()0123.202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 方法2：本题对数学期望的计算也可用分解法：设0, ,1,i i X i ⎧=⎨⎩从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第件产品是次品. 则i X 的概率分布为i X 0 1P21 21.3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以由数学期望的线性可加性，有word 格式精心整理版范文范例 学习指导 ()()()()1233.2E X E X E X E X =++= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====30}{}{)(k k X A P k X P A P =33001{}{}66k k k P X k k P X k ===⋅=⋅=∑∑ ()1131.6624E X ==⋅=十二【分析】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点．将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式．求分布函数()F X 是基本题型：求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立．【详解】(1) 由连续型随机变量分布函数的定义，有.,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) 由题给).,,,min(ˆ21nX X X =θ，有 }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ 121{min(,,,)}n P X X X x =->121{,,,}n P X x X x X x =->>> 1[1()]n F x =--2(),1,.0,n x x e x θθθ-->⎧-=⎨≤⎩(3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dx x dF x f x n 因为 2()ˆˆ()()2n x E xf x dx nxe dx θθθθ+∞+∞---∞==⎰⎰12nθθ=+≠， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性．。
2003考研数三真题及解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 设10,cos ,()0,0,x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩若若 其导函数在0x =处连续，则λ的取值范围是.(2) 已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b .(3) 设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.(4) 设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=，T aE B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a = .(5) 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为.(6) 设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设()f x 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=( ) (A) 在0x =处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点0x =. (C) 在0x =处右极限不存在. (D) 有可去间断点0x =.(2) 设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 ( )(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. (B)),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.(C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.(3) 设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=，Λ,2,1=n ，则下列命题正确的是 ( )(A) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.(B) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.a b =(C) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.(4) 设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 ( )(A) a b =或20a b +=. (B) a b =或20a b +≠.(C) a b ≠且20a b +=. (D) a b ≠且20a b +≠.(5) 设s ααα,,,21Λ均为n 维向量，下列结论不正确的是 ( )(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有02211≠+++s s k k k αααΛ，则sααα,,,21Λ线性无关.(B) 若s ααα,,,21Λ线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有.02211=+++s s k k k αααΛ(C) s ααα,,,21Λ线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21Λ线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件( ) (A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立. (C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立.三 、(本题满分8分)设1111(),[,1)sin (1)2f x x x x x πππ=+-∈-，试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.四 、(本题满分8分)设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=, 求.2222y gx g ∂∂+∂∂五 、(本题满分8分)计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域22{(,)}.D x y x y π=+≤六、(本题满分9分)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数()f x 及其极值.七、(本题满分9分)设()()()F x f x g x =, 其中函数(),()f x g x 在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且(0)0f =, .2)()(x e x g x f =+(1) 求()F x 所满足的一阶微分方程； (2) 求出()F x 的表达式.八、(本题满分8分)设函数()f x 在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==. 试证：必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、(本题满分13分)已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 其中.01≠∑=ni i a 试讨论n a a a ,,,21Λ和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分13分)设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ， 中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求,a b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f()F X 是X 的分布函数. 求随机变量()Y F X =的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为()f y ，求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】2>λ【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量. 【详解】λ是参变量，x 是函数()f x 的自变量10001cos()(0)1(0)limlim lim cos 00x x x x f x f x f x x x xλλ-→→→-'====-，要使该式成立，必须10lim 0x x λ-→=，即1λ>.当(,0)(0,)x ∈-∞+∞U 时，1211()cos sin f x x x x xλλλ--'=+要使()0f x '=在0x =处连续，由函数连续的定义应有120011lim ()lim cos sin ()0x x f x x x f x x x λλλ--→→⎛⎫''=+== ⎪⎝⎭ 由该式得出2λ>. 所以()f x '在0x =处右连续的充要条件是2>λ．(2)【答案】64a【详解】设曲线与x 轴相切的切点为0(,0)x ，则00x x y ='=. 而2233y x a '=-，有22033x a =又在此点y 坐标为0(切点在x 轴上)，于是有320030x a x b -+=，故 322200003(3)b x a x x x a =-=-，所以 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=(3)【答案】2a【详解】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=20101x y x a dxdy ≤≤≤-≤⎰⎰=1120x x a dx dy +⎰⎰1220[(1)]a x x dx a =+-=⎰(4)【答案】-1【详解】这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-==T T T T a a E αααααααα⋅-+-1111()T T T T E a a αααααααα=-+-=T T T a a E αααααα21-+-1(12)T E a E aαα=+--+=，于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得.1,21-==a a 已知0a <，故1a =-．(5)【答案】0.9.【详解】利用方差和相关系数的性质DX a X D =+)(，(,)(,)Cov X Y a Cov X Y +=，又因为Z 仅是X 减去一个常数，故方差不会变，Z 与Y 的协方差也不会变，因此相关系数也不会变．(,)(,0.4)[((0.4)]()(0.4)Cov Y Z Cov Y X E Y X E Y E X =-=---()0.4()()()0.4()E XY E Y E Y E X E Y =--+ ()()()(,)E XY E Y E X Cov X Y =-=，且()().D Z D X = 又(,)Cov Y Z (,)Cov X Y =，所以0.9.XY ρ===(6)【答案】12． 【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21Λ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i 【详解】本题中22221,,,n X X X Λ满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+， 因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于()2111.2n i i E X n ==∑二、选择题(1)【答案】()D【详解】方法1：直接法：由()f x 为奇函数知，(0)0f =；又由xx f x g )()(=，知()g x 在0x =处没定义，显然0x =为()g x 的间断点，为了讨论函数()g x 的连续性，求函数()g x 在0x →的极限．000()()(0)lim ()lim lim (0)0x x x f x f x f g x f x x →→→-'===-导数的定义存在， 故0x =为可去间断点．方法2：间接法：取()f x x =，此时()g x =,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除()A ()B ()C 三项．(2)【答案】()A【详解】由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微，知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零． 从而有000(,)(,)(,)0y y x y x y df x y f dyy==∂==∂选项()A 正确．(3)【答案】()B 【详解】由2nn n a a p +=，2nn n a a q -=，知0n n p a ≤≤，0n n q a ≤-≤若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n a 收敛. 再由比较判别法，∑∞=1n n p 与()1n n q ∞=-∑都收敛，后者与1n n q ∞=∑仅差一个系数，故1n n q ∞=∑也收敛，选(B)．(4)【答案】(C)【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1， 说明A 的秩为2，由此可确定,a b 应满足的条件． 【详解】方法1：根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系()()()()1101*n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩知秩(A )=2，它的秩小于它的列数或者行数，故有11(2)1(2)0010a b b b b b b A b a b a b a b a b a bb b ab aa b==+=+--2(2)()0a b a b =+-=有02=+b a 或a b =．当a b =时，[][]()[][]()211311000000b b b b b b A b b b b b b +⨯-+⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦显然秩()12A =≠， 故必有 a b ≠且02=+b a ． 应选(C)．方法2：根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系，()()()()1101*n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，知()1*r A =，()2r A =. 对A 作初等行变换[][]()[][]()21131100a b b a b b A b a b b a a b b b a b a a b +⨯-+⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦当a b =时，从矩阵中可以看到A 的秩为1，与秩()2A =，不合题意(排除(A)、(B)) 故a b ≠，这时[]()[]()[][][][]231213201100100101001b a b a a b b a b b a b b b A b a a b b a a b ÷-÷-+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦故02=+b a ，且a b ≠时，秩(A )=2，故应选．(5)【答案】(B)【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式．应注意是寻找不正确的命题．【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有 02211≠+++s s k k k αααΛ， 则s ααα,,,21Λ必线性无关.因为若s ααα,,,21Λ线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，使得02211=+++s s k k k αααΛ，矛盾． 可见(A)成立．(B): 若s ααα,,,21Λ线性相关，则存在一组(而不是对任意一组不全为零的)数s k k k ,,,21Λ，都有.02211=+++s s k k k αααΛ (B)不成立．(C) s ααα,,,21Λ线性无关，则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21Λ的秩为s ，则s ααα,,,21Λ线性无关，因此(C)成立．(D) s ααα,,,21Λ线性无关，则其任一部分组线性无关，则其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立．综上所述，应选(B)．【评注】 原命题与其逆否命题是等价的． 例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，使得02211=+++s s k k k αααΛ成立，则s ααα,,,21Λ线性相关． 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有02211≠+++s s k k k αααΛ，则s ααα,,,21Λ线性无关． 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性．(6)【答案】C【分析】(1) ,A B 两事件相互独立的充要条件：{}{}{}P AB P A P B =(2) ,,A B C 三事件相互独立的充要条件：(i),,A B C 两两相互独立； (ii){}{}{}{}P ABC P A P B P C =⋅⋅【详解】方法1：因为{}112P A =，{}212P A =，{}312P A =，{}414P A =，且 {}1214P A A =，{}1314P A A =，{}2314P A A =，{}2414P A A =，{}1230P A A A =，可见有{}{}{}1212P A A P A P A =，{}{}{}1313P A A P A P A =，{}{}{}2323P A A P A P A =， {}{}{}{}123123P A A A P A P A P A ≠，{}{}{}2424P A A P A P A ≠．故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C)．方法2：由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立．可见(A)不正确，因为如果正确，则(C)也正确，但正确答案不能有两个；同理，(B)也不正确. 因此只要检查(C)和(D){}{}{}{}{}2342341110244P A A A P P A P A P A =∅=≠⋅⋅=⨯⨯故(D)错，应选(C)．三【详解】为使函数()f x 在1[,1]2上连续，只需求出函数()f x 在1x =的左极限)(lim 1x f x -→，然后定义(1)f 为此极限值即可．11111lim ()lim[]sin (1)x x f x x x x πππ--→→=+-- 1111lim[]sin (1)x x x πππ-→=+--11(1)sin lim (1)sin x x xx xπππππ-→--=+-令1u x =-，则当1x -→时，0u +→，所以1lim ()x f x -→01sin (1)lim sin (1)u u u u u πππππ+→--=+-1sin (1)lim (sin cos cos sin )u u u u u u ππππππππ+→--=+⋅⋅-⋅01sin (1)limsin u u u u uπππππ+→--=+⋅ 2201sin (1)lim u u u u ππππ+→--+等201cos (1)lim 2u u uπππππ+→+-+洛 2201sin (1)lim 2u u ππππ+→-+洛110ππ+== 定义π1)1(=f ，从而有11lim ()(1)x f x f π-→==，()f x 在1x =处连续． 又()f x 在)1,21[上连续，所以()f x 在]1,21[上连续．四【详解】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的求导法则，得221()()2x y g f xy f x u x v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂f f y x u v ∂∂=+∂∂ 221()()2x y g f xy f y u y v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂.f f x y u v∂∂=-∂∂ 从而2222222222222222g f f f f f y y x x y x x u u v v u v v f f f f y xy x u u v v v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅+⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂2222222222222222g f f f f f x x y y x y y u u v v u v v f f f f x xy y u u v v v⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅-⋅--⋅-⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂所以 222222222222222222()()()()g g f f f f x y x y x y x y u v u v∂∂∂∂∂∂+=+++=++∂∂∂∂∂∂=.22y x +五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．作极坐标变换：设θθsin ,cos r y r x ==，有2222222()22()22222220sin()sin()sin sin sin .2xy xy DDt r rr t I e x y dxdy e e x y dxdye e d r rdr d r dr e e tdt ππππππππθθπ-+--+=---=+=+=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记tdt e A t sin 0⎰-=π，则0000sin cos cos cos t t t t A e tdt e d t e t e tdt ππππ----⎡⎤==-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰0001sin 1sin sin t t t e e d t e e t e tdt πππππ-----⎡⎤=---+=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ，).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六【分析】(1) 和函数一般经过适当的变换后，考虑对其逐项求积分后求和，再求导即可得和函数；或者先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数．本题可直接采用后者．(2) 等比级数求和公式2011(11)1n n n x x x x x x∞==+++++=-<<-∑L L【详解】先对和函数21()1(1)2nnn x f x n ∞==+-∑求导211()(1)nn n f x x∞-='=-∑2221(1)(1)nn n n n n x xx x ∞∞-===-=--∑∑2221()11n n x x x x x x ∞=-=--=-⋅=++∑ 对上式两边从0到x 积分200()1xxt f t dt dt t '=-+⎰⎰21()(0)ln(1)2f x f x ⇒-=-+ 由(0)1f =， 得21()1ln(1)(1).2f x x x =-+<为了求极值，对()f x 求一阶导数，2212()211x xf x x x-'=-⋅=++ 令0)(='x f ，求得唯一驻点0x =． 由于2221()(1)x f x x -''=-+， 01)0(<-=''f 由极值的第二充分条件，得()f x 在0x =处取得极大值，且极大值为(0)1f =．七【分析】题目要求()F x 所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对()F x 求导，并将其余部分转化为用()F x 表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可． 【详解】(1) 方法1：由()()()F x f x g x =，有)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +2[()()]2()()f x g x f x g x =+-=2(2)2()x e F x -可见()F x 所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'相应的初始条件为(0)(0)(0)0F f g ==． 方法2：由()()()F x f x g x =，有)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=22[()][()]f x g x ''+2[()()]2()()f x g x f x g x ''''=+-又由.2)()(x e x g x f =+ 有()()2x f x g x e ''+=，)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，于是22()42()()42()x x F x e f x g x e F x '=-=-可见()F x 所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'相应的初始条件为(0)(0)(0)0F f g ==(2) 题(1)得到()F x 所满足的一阶微分方程，求()F x 的表达式只需解一阶微分方程．又一阶线性非齐次微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解为 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰ 所以 ]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰- =.22x x Ce e -+将(0)0F =代入上式，得01,1C C =+=-. 所以 .)(22x x e e x F --=八【分析】题目要证存在)3,0(∈ξ，使得其一阶导数为零，自然想到用罗尔定理. 而罗尔定理要求函数在某闭区间连续，且端点处函数值相等．题目中已知(3)1f =，只需要再证明存在一点[0,3)c ∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[,3]c 上应用罗尔定理即可． 条件(0)(1)(2)3f f f ++=等价于13)2()1()0(=++f f f ．问题转化为1介于()f x 的最值之间，最终用介值定理可以达到目的．【详解】方法1：因为()f x 在[0，3]上连续，所以()f x 在[0，2]上连续，则在[0，2]上必有最大值M 和最小值m (连续函数的最大值最小值定理)，于是M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(，M f m ≤≤)2(．三式相加 3(0)(1)(2)3.m f f f M ≤++≤ 从而 (0)(1)(2)1.3f f f m M ++≤=≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为()(3)1f c f ==， 且()f x 在[,3]c 上连续，在(,3)c 内可导，由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf方法2：由于(0)(1)(2)3f f f ++=，如果(0),(1),(2)f f f 中至少有一个等于1，例如(2)1f =，则在区间[2,3]上对()f x 使用罗尔定理知，存在(0,2)(0,3)ξ∈⊂使.0)(='ξf 如果(0),(1),(2)f f f 中没有一个等于1，那么它们不可能全大于1，也不可能全小于1．即至少有一个大于1，至少有一个小于1，由连续函数的介值定理知，在区间(0,2)内至少存在一点η使()1f η=．在区间[,3]η对()f x 用罗尔定理知，存在(,3)(0,3)ξη∈⊂，使.0)(='ξf 证毕．九【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等．可先将所有行对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的(-1)倍加到其余各行，即可计算出行列式的值． 【详解】方程组的系数行列式ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++=ΛM M M M M ΛΛΛ321321321321 231231231231nin i n in i nin i nin i b a a a a b a a b a a b a a a b a b a a a a b====+++=++++∑∑∑∑L LL M M M M M L23232312311()11nn ni n i n a a a a b a a b a a a ba a a a b=+=+++∑L L L M M M M M L 2311000()000000n ni i a a a b b a b b==+∑L L L M M M M M L =).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0A ≠，即0≠b 且01≠+∑=ni i a b 时，秩()A n =，方程组仅有零解．(2) 当0b =时，0A =，原方程组的同解方程组为.02211=+++n n x a x a x a Λ由01≠∑=ni i a 可知，),,2,1(n i a i Λ=不全为零．不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系T a a )0,,0,1,(121Λ-=α，Ta a )0,,1,0,(132Λ-=α，.)1,,0,0,(,1T n na a ΛΛ-=α (3) 当∑=-=ni i a b 1时，0A =. 这时0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为1231123112311231nin i nini ni n i nn i i a a a a a a a a a a A a a a a a aa a a a ====⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑L LLM M M M L1231111111001(1)000nin i nniii i nni i i i n ni i i i a a a a a a a a a a a =======⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑L LLu u u u u u u u u u u u u u u u u u r M M M M L将第行的倍加到其余各行12311211001101011nin i n ii a a a a a n a ==⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∑∑L L L M M MM u u u u u u u u u u u u u u u u u u r L从第行到第行同乘以倍 0000()11001.2,3,,10001001i i a i n ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦LL M M M M L L u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r L将第行的倍加到第行，由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n =Λ ．原方程组的一个基础解系为.)1,,1,1(T Λ=α十【分析】 特征值之和等于A 的主对角线上元素之和，特征值之积等于A 的行列式，由此可求出,a b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵．【详解】(1)二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为(1,2,3)i i λ=，由题设得1231122332(2)1a a a a λλλ++=++=++-=，21230||0204212.02a bA a b b λλλ===--=--解得1,2a b ==-．(2) 求矩阵A 的特征值，令210202(2)(3)022E A λλλλλλ---=-=-+=-+，得矩阵A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ 解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，系数矩阵为102000204-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，得基础解系T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，系数矩阵为402050201--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，得基础解系.)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]12300100Q ηηη⎤⎥⎥==⎢⎥⎢⎥，则Q 为正交矩阵． 在正交变换X QY =下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】本题求,a b 也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(220022b a a bb aA E +----=+----=-λλλλλλλ设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ 由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得1,2a b ==-．第一步求参数见《数学复习指南》P361重要公式与结论4，完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P47第九题．十一【分析】先求出分布函数()F x 的具体形式，从而可确定()Y F X = ，然后按定义求Y 的分布函数即可．注意应先确定()Y F x =的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论． 【详解】易见，当1x <时，()0F x =; 当8x >时，()1F x =．对于]8,1[∈x ，有.131)(3132-==⎰x dt t x F x设()G y 是随机变量()Y F x =的分布函数． 显然，当0<y 时，()G y =0；当1≥y 时，()G y =1． 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=31}{(1)}P y P X y =≤=≤+3[(1)].F y y =+=于是，()Y F x =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二【分析】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性．求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率． 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算．求概率密度()g u ，一般应先求分布函数(){}{}G u P U u P X Y u =≤=+≤，在计算概率的时候，应充分利用X 只有可能取值1X =和2X =．全概率公式：如果事件1,,n A A L 构成一个完备事件组，即它们是两两互不相容，其和为Ω(总体的样本空间)；并且()0,1,2,,.i P A i n >=L 则对任一事件B 有()1()(|)ni i i P B P A P B A ==∑．【详解】设()F y 是Y 的分布函数，由全概率公式，得U X Y =+的分布函数}{)(u Y X P u G ≤+={1}{1}{2}{2}P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤= 0.3{1}0.7{2}P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤= 0.3{11}0.7{22}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=．由于X 和Y 相互独立，所以 {1}{11}P Y u P Y u X ≤-=≤-=，{2}{22}P Y u P Y u X ≤-=≤-= 所以 ()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此，因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g 0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-。
2003年考研数学真题与答案
⎜⎜⎝⎛
1 0
⎟⎟⎠⎞,
β
2
=
⎜⎜⎝⎛
0 1
⎟⎟⎠⎞
，
α
1
可由
β1
,
β
2
线性表示，但
α1
线性无
关，排除(C). 故正确选项为(D).
3. 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为 m × n 矩阵，现有 4 个命题：
① 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) ≥ 秩(B)；
5. 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1 : ax + 2by + 3c = 0 ，
l2 : bx + 2cy + 3a = 0 ，
l3 : cx + 2ay + 3b = 0 .
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a + b + c = 0.
【详解】 ：必要性
设三条直线 l1, l2 , l3 交于一点，则线性方程组
可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出
Ax=0
与
Bx=0
同解，如
A
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 0⎥⎦
，
B
=
⎡0 ⎢⎣0
0⎤ 1⎥⎦
，则秩(A)=秩(B)=1，但
Ax=0
与
Bx=0
不同解，可见命题④不成立，排除(D),
故正确选项为(B).
⎡3 2 2⎤
⎡0 1 0⎤
4. 设矩阵 A = ⎢⎢2 3 2⎥⎥ ， P = ⎢⎢1 0 1⎥⎥ ， B = P −1 A*P ，求 B+2E 的特征值与特征向
(A) 当 r < s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r > s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r < s 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 r > s 时，向量组 I 必线性相关.
2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案.doc
【 分析 】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：
若向量组 I： 1 , 2 , , r
可由向量组 II ： 1 , 2 , , s 线性表示，则当 r s 时，向量组 I 必线性相关 . 或其逆否命
题：若向量组 I ： 1, 2, , r 可由向量组 II ： 1, 2, , s 线性表示，且向量组 I 线性无 关，则必有 r s . 可见正确选项为 (D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案 .
（ 4）从 R2 的基 1
1
, 0
2
1
到基
1
1
1
, 1
2
1
的过渡矩阵为
2
x ) ，其 23
.
12
【 分析 】 n 维向量空间中，从基 1, 2 , , n 到基 1 , 2, , n 的过渡矩阵 P 满足
[
1 , 2 , , n ]=[
1, 2, , n ]P ， 因 此 过 渡 矩 阵 P 为 ：
x=0 为极大值点，故
f(x) 共有两个极小值点和两个极大值点，应选 (C).
（ 2） 设 { a n}, { bn }, { cn } 均为非负数列，且
lim
n
an
0
,
lim
n
bn
1,
lim
n
cn
,则必有
(A) an bn 对任意 n 成立 .
(B) bn cn 对任意 n 成立 .
(C)
极限
lim
可排除 (A),(C) ；但反过来， 若秩 (A)= 秩(B) ， 则不能推出 Ax=0 与 Bx=0 同解，如 A
10
，
00
00
2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案
自己供应的文档均由自己编写如成，如对你有帮助，请下载支持！2003 年全国硕士入学统考数学( 一) 试题及答案一、填空题（此题共6 小题，每题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）11（ 1）lim (cos x)ln(1 x2 ) = .x 0 e【分析】 1 型不决式，化为指数函数或利用公式lim f ( x) g( x) (1 )=e lim( f ( x) 1) g ( x) 进行计算求极限均可 .1lim1 【详解 1】lim (cos x)ln(1 x2) ln cos x=e x 0 ln( 1 x2 ) , x 0ln cosx ln cos x s i nx1而lim lim lim c o sx2 2 ，x 0 ln(1 x )x 0 x x 0 2x 211 .故原式 = e2e1 1 x21【详解 2】由于lim (cos x 1) lim 2ln(1 x 2 ) x 2 ，x 0 x 0 211 .因此原式 = e2e（ 2 ）曲面z x 2 y2与平面 2x 4 y z 0平行的切平面的方程是2x 4 y z 5 .【分析】待求平面的法矢量为n { 2,4, 1} ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程 , 而切点坐标可依照曲面z x 2 y2切平面的法矢量与n { 2,4, 1} 平行确定.【详解】令 F (x, y, z) z x2 y2，则F x 2x ， F y 2 y ， F z 1 .设切点坐标为 ( x0 , y0 , z0 ) ，则切平面的法矢量为{ 2x0 , 2 y0 ,1} ，其与已知平面2x 4 y z 0 平行，因此有2x 02y 0 1，241可解得x 0 1, y 0 2，相应地有z 0x 02 y 02 5.故所求的切平面方程为2( x 1) 4( y2) ( z 5) 0 ，即 2x 4y z 5 .（ 3） 设 x 2a n cosnx(x) ，则 a 2 =1.n 0【分析】将 f (x) x 2 (x) 张开为余弦级数 x 2a n cosnx(x) ，n 0其系数计算公式为 a n2f ( x) cosnxdx .【详解】 依照余弦级数的定义，有a 22x 2 cos2xdx1x 2 d sin 2x=1[ x 2sin 2x 0 sin 2x 2xdx]= 1xd cos2x1[ xcos2xcos2xdx]=1.（4）从 R 2的基11111,21 到 基1, 2的过渡矩阵为122 3 .12【分析】 n 维向量空间中，从基1, 2,, n 到基1,2 , , n 的过渡矩阵 P 知足[ 1,2,, n]=[1, 2,,n]P ， 因 此 过 渡 矩 阵P 为 ：P=[1, 2,,n]1[1, 2,, n ] .R 2的基1 , 2111【详解】依照定义，从11 到基1,2的过渡矩12阵为1P=[1, 2]1[1, 2]1 1 1 1 .0 1 1 21 1 1 123 =1 12 1 .0 2 （ 5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y) 6x, 0 x y 1, 0, 其他，则P{X Y 1} 1. 4【分析】已知二维随机变量 (X,Y) 的概率密度 f(x,y) ，求知足必然条件的概率P{ g( X , Y) z0 } ，一般可转变为二重积分P{ g ( X ,Y) z0 } = f ( x, y) dxdy 进行计算.g( x, y) z0【详解】由题设，有1xP{ X Y 1} f ( x, y)dxdy 12 dx 6xdyx y 10x112x 2 ) dx 1= 2 (6x .0 4y1DO 11 x 2（ 6）已知一批零件的长度X ( 单位： cm) 遵照正态散布N ( ,1) ，从中随机地抽取16个零件，获取长度的平均值为40 (cm) ，则的置信度为的置信区间是 (39.51,40.49) .(注：标准正态散布函数值(1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)【分析】已知方差 2 1，对正态整体的数学希望进行估计，可依照X ~ N(0,1) ，由 P{ X u } 1 确定临界值 u ，进而确定相应的置信区间 .1n 1 2 2n【详解】由题设， 1 ，可见0.05. 于是查标准正态散布表知 u1.96.2此题 n=16, x 40 ,因此，依照 P{ X，有1nP{ 40，即P{ 39.51,40.49} 0.95 ，故的置信度为0.95 的置116信区间是 (39.51,40.49) .二、选择题（此题共 6 小题，每题 4 分，满分 24 分 . 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（）设函数f(x) 在 ( , ) 内连续，其导函数的图形以以下图，则f(x)有1(A) 一个极小值点和两个极大值点 .(B) 两个极小值点和一个极大值点 .(C) 两个极小值点和两个极大值点 .(D) 三个极小值点和一个极大值点 . [ C ]yO x【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共 4 个，是极大值点仍是极小值可进一步由取极值的第一或第二充足条件判断.【详解】依照导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则是导数不存在的点 . 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0 为极大值点，故f(x) 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（ 2）设{ a n}, { b n}, { c n}均为非负数列，且lim a n 0 , lim b n 1 , lim c n ,则必有n n n(A) a n b n对任意n建立. (B) b n c n对任意n建立.(C) 极限 lim a n c n不存在. (D) 极限lim b n c n不存在 . [ D ]n n【分析】此题察看极限见解，极限值与数列前面有限项的大小没关，可立刻除去(A),(B) ；而极限lim a n c n是0 型不决式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极n限 lim b n c n属 1 型，必为无量大量，即不存在 .na n 2， b n 1 ，c n1 )，则可立刻除去【详解】用举反例法，取nn(n 1,2, 2(A),(B),(C) ，因此正确选项为 (D).（ 3）已知函数 f(x,y) 在点 (0,0)的某个邻域内连续，且f ( x, y) xy1 ，则lim2y 2 ) 2x 0, y 0(x(A) 点 (0,0)不是 f(x,y) 的极值点 . (B) 点 (0,0)是 f(x,y) 的极大值点 .(C)点 (0,0)是 f(x,y) 的极小值点 .(D) 依照所给条件无法判断点(0,0)可否为 f(x,y) 的极值点 .[ A]【分析】 由题设，简单推知 f(0,0)=0 ，因此点 (0,0) 可否为 f(x,y) 的极值， 要点看在点 (0,0) 的充足小的邻域内 f(x,y) 是恒大于零、恒小于零仍是变号 .【详解】 由lim f ( x, y) xy1知，分子的极限必为零，进而有f(0,0)=0, 且y 2 ) 2x 0, y 0( x 2f ( x, y) xy( x 2 y 2 ) 2 ( x , y 充足小时），于是f (x, y)f (0,0) xy ( x 2y 2 )2 .可见当 y=x 且 x 充足小时， f ( x, y)f (0,0)x 24x 40 ；而当 y= -x 且 x 充足小时，f ( x, y) f (0,0)x 2 4x 4 0 . 故点 (0,0)不是 f(x,y) 的极值点，应选 (A).（4）设向量组 I ： 1, 2,,r 可由向量组 II ：1,2,, s 线性表示，则(A) 当 r s 时，向量组 II 必线性有关 . (B) 当 r s 时，向量组 II 必线性有关 . (C) 当 rs 时，向量组 I 必线性有关 . (D) 当 rs 时，向量组 I 必线性有关 .[ D ]【分析】此题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组 I ： 1 , 2, ,r可由向量组 II ： 1, 2,, s 线性表示，则当 rs 时，向量组 I 必线性有关 . 或其逆否命题：若向量组 I ： 1,2,,r可由向量组 II ： 1 ,2,, s 线性表示，且向量组 I 线性无关，则必有 rs . 可见正确选项为 (D).此题也可经过举反例用除去法找到答案.1 ,2 01,【详解】用除去法：如 1,1 01，则112 ，但 2(A) ；,111,线性没关，除去 1 0 2,10 ，则2 可由 1 线性表示，但 1 线性没关，除去 (B) ；1 ,11, 10 1,2 ，1 可由2 线性表示，但1 线性无1关，除去 (C). 故正确选项为 (D).（ 5）设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为 m n 矩阵，现有 4 个命题：①若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩 (A) 秩(B)；②若秩 (A) 秩 (B) ，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；③若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩 (A)= 秩(B) ；④若秩 (A)= 秩 (B) ，则 Ax=0 与 Bx=0 同解 .以上命题中正确的选项是(A) ①② . (B) ①③ .(C) ②④ . (D) ③④ . [ B ]【分析】此题也可找反例用除去法进行分析，但①②两个命题的反例比较复杂一些，要点是抓住③与④，快速除去不正确的选项 .【详解】若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩 (A)=n - 秩 (B), 即秩 (A)= 秩 (B) ，命题③建立，1 0 可除去 (A),(C) ；但反过来，若秩 (A)= 秩(B) ，则不能够推出 Ax=0 与 Bx=0 同解，如A ，0 00 0与 Bx=0 不同样解，可见命题④不建立，除去(D),B ，则秩 (A)= 秩 (B)=1 ，但 Ax=00 1故正确选项为 (B).（ 6）设随机变量X ~ t (n)( n 1),Y1，则X 2(A) Y ~ 2 (n) . (B) Y ~ 2 (n 1) .(C) Y ~ F (n,1) . (D) Y ~ F (1,n) . [ C ]【分析】先由 t 散布的定义知X U ，其中 U ~ N (0,1),V ~ 2 ( n) ，再将其代入Vn1Y2，尔后利用 F 散布的定义即可 .X【详解】由题设知， X U ，其中 U ~ N (0,1),V ~ 2 (n) ，于是Vn1 V V1Y = n n ，这里U2 ~ 2 (1) ，依照F散布的定义知 Y ~ F (n,1). 故X 2 U 2 U 2 X 21应选 (C).三、（此题满分10 分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A;(2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1)设切点的横坐标为x，则曲线y=lnx在点 ( x ,ln x ) 处的切线方程是y ln x 01(x x 0 ).x 0由该切线过原点知 ln x 0 10 ，进而 x 0 e. 因此该切线的方程为1 yx.e平面图形 D 的面积A1 ey) dy1 e 1. (ey2（ 2） 切线 y1x 与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体积e为V 11 e2 .3曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为V 21(e e y ) 2 dy ，因此所求旋转体的体积为1 e2 1 e y ) 2dy(5e 2V V 1 V 2(e 12e 3).36y 1D O1ex四 、（此题满分 12 分）将函数 f ( x)arctan1 2 x张开成 x 的幂级数，并求级数( 1) n 的和 .1 2xn 0 2n 1【分析】 幂级数张开有直接法与间接法，一般察看间接法张开，即经过适合的恒等变形、求导或积分等， 转变为可利用已知幂级数张开的状况。
2003年数一真题、标准答案及解析(超强版)
2003年全国硕士研究生入学(rù xué)统一考试数学一真题一、填空题（本题(běntí)共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案(dáàn)填在题中横线上）（1） = .（2）曲面(qūmiàn)与平面(píngmiàn)平行的切平面的方程是 .（3）设，则= .（4）从的基到基的过渡矩阵为 .（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]yO x（2）设均为非负数列(shùliè)，且,,,则必有(A) 对任意(rènyì)n成立. (B) 对任意(rènyì)n成立.(C) 极限(jíxiàn)不存在(cúnzài). (D) 极限不存在. [ ]（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ]（4）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则(A) 当时，向量组II必线性相关. (B) 当时，向量组II必线性相关.(C) 当sr>时，向量组I必线性相关.r<时，向量组I必线性相关. (D) 当s[ ]（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A) ①②. (B) ①③.(C) ②④. (D) ③④. [ ]（6）设随机变量，则(A) . (B) .(C) . (D) . [ ]三、（本题(běntí)满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面(píngmiàn)图形D.(1)求D的面积(miàn jī)A;(2)求D绕直线x=e旋转一周(yī zhōu)所得旋转体的体积V.四、（本题(běntí)满分12分）将函数展开成x的幂级数，并求级数的和.五、（本题满分10分）已知平面区域，L为D的正向边界. 试证：(1) ;(2)六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米.）七、（本题(běntí)满分12分）设函数(hánshù)y=y(x)在)-∞内具有(jùyǒu)二阶导数，且是y=y(x)的,(+∞反函数.(1) 试将x=x(y)所满足(mǎnzú)的微分方程变换(biànhuàn)为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解.八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，，，其中，(1) 讨论F(t)在区间内的单调性.(2) 证明当t>0时，九、（本题满分10分）设矩阵，，，求B+2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为，，.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为十一、（本题(běntí)满分10分）已知甲、乙两箱(liǎnɡ xiānɡ)中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学(shùxué)期望；(2) 从乙箱中任取一件产品(chǎnpǐn)是次品的概率.十二(shíèr) 、（本题满分8分）设总体X的概率密度为其中是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本，记(1)求总体X的分布函数F(x);(2)求统计量的分布函数；(3)如果用 ˆ作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学(sh ùxu é)一真题评注一、填空题（本题共6小题(xi ǎo t í)，每小题4分，满分24分. 把答案(d á àn)填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =.【分析(f ēnx ī)】型未定式，化为指数函数(zh ǐ sh ù h án sh ù)或利用公式=进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=,而 ，故原式=【详解2】 因为，所以原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.【分析】 待求平面的法矢量为，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令，则，，.设切点坐标为，则切平面的法矢量为 ，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有，可解得 ，相应地有故所求的切平面方程为，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ，则2a = 1 .【分析(f ēnx ī)】 将展开(zh ǎn k āi)为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ，其系数(x ìsh ù)计算公式为.【详解(xi án ɡ ji ě)】 根据余弦级数(j í sh ù)的定义，有===1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为.【分析】 n 维向量空间中，从基到基的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[[.【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 P=[[.=（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P.【分析(f ēnx ī)】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定(y īd ìng)条件的概率，一般(y īb ān)可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=进行(j ìnx íng)计算.【详解(xi án ɡ ji ě)】 由题设，有 =≤+}1{Y X P=y1 DO 1 x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公共部分D ，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ【分析(fēnxī)】已知方差(fānɡ chà)，对正态总体(zǒngtǐ)的数学期望μ进行估计(gūjì)，可根据，由确定(quèdìng)临界值，进而确定相应的置信区间.【详解】由题设，，可见于是查标准正态分布表知本题n=16, , 因此，根据，有，即，故μ的置信度为0.95的置信区间是51.,( .394049).二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在)-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有,(+∞(D)一个极小值点和两个极大值点.(E)两个极小值点和一个极大值点.(F)两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]yO x【分析(f ēnx ī)】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数(d ǎo sh ù)为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解(xi án ɡ ji ě)】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个(li ǎn ɡ ɡè)极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注(p íngzh ù)】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导的图象，本题是其逆问题.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有 (A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取，，，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. （3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim 2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是(b ù shi)f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法(w úf ǎ)判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析(f ēnx ī)】 由题设，容易(r óngy ì)推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解(xi án ɡ ji ě)】 由 1)(),(lim 2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且充分小时），于是可见当y=x 且充分小时，；而当y= -x 且x 充分小时，. 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解(xi án ɡ ji ě)】 用排除法：如，则，但线性无关(w úgu ān)，排除(A)；，则可由线性表示(bi ǎosh ì)，但1β线性无关(w úgu ān)，排除(B)；，可由21,ββ线性表示(bi ǎosh ì)，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ]【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如，，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).【例】 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件 (A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵.(C) A, B 的行向量组等价(d ěngji à). (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速(x ùn s ù)找到答案.（6）设随机变量(su í j ī bi àn li àn ɡ)21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析(f ēnx ī)】 先由分布(f ēnb ù)的定义知，其中，再将其代入，然后利用F 分布的定义即可.【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==，这里，根据F 分布的定义知故应选(C).【评注】 本题综合考查了t 分布、分布和F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义.三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (3) 求D 的面积A;(4) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析(f ēnx ī)】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算(j ì su àn)，为了帮助理解，可画一草图.【详解(xi án ɡ ji ě)】 (1) 设切点(qi ēdi ǎn)的横坐标为，则曲线(q ūxi àn)y=lnx 在点处的切线方程是由该切线过原点知 ，从而所以该切线的方程为平面图形D 的面积（2） 切线与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为，因此所求旋转体的体积为y 1DO 1 e x【评注】 本题不是求绕坐标轴旋转的体积，因此不能直接套用现有公式. 也可考虑用微元法分析.四 、（本题满分12分）将函数(h ánsh ù)x xx f 2121arctan )(+-=展开(zh ǎn k āi)成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析(f ēnx ī)】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查(k ǎoch á)间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数的幂级数展开(zh ǎn k āi)即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的和.【详解】 因为又f(0)=, 所以=因为级数∑∞=+-012)1(n nn 收敛，函数f(x)在处连续，所以令21=x ，得 ,再由，得五 、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly【分析(f ēnx ī)】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式(g ōngsh ì)；(2)的证明应注意用(1)的结果.【详解(xi án ɡ ji ě)】 方法(f āngf ǎ)一： (1) 左边(zu ǒ bian)==，右边==⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，所以 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--.(2) 由于，故由（1）得方法二：（1） 根据格林公式，得， .因为D 具有轮换对称性，所以=，故 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--.(2) 由(1)知⎰⎰⎰--+=-Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin==（利用轮换对称性）=【评注(píngzhù)】本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一(dìyī)部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.六、（本题(běntí)满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力(zǔlì)而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤(qìchuí)击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米.）【分析】本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n次击打后，桩被打进地下，第n次击打时，汽锤所作的功为. 由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为，所以，由可得即由可得，从而(c óng ér)，即汽锤击打(j ī d ǎ)3次后，可将桩打进地下. （2） 由归纳法，设，则=由于(y óuy ú)，故得,从而(c óng ér)于是(y úsh ì) ，即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 m.【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度.但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足(m ǎnz ú)的微分方程0))(sin (322=++dy dxx y dy x d 变换(bi ànhu àn)为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程(w ēi f ēn f ān ɡ ch én ɡ)满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析(f ēnx ī)】 将转化(zhu ǎnhu à)为比较简单，dydx =，关键是应注意：==.然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知 ，于是有)(22dy dxdy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程的通解为设方程( * )的特解为，代入方程( * )，求得，故，从而的通解是由23)0(,0)0(='=y y ，得. 故所求初值问题的解为【评注】 本题的核心是第一步方程变换.八 、（本题(b ěnt í)满分12分）设函数(h ánsh ù)f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ，⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中(q ízh ōng)}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论(t ǎol ùn)F(t)在区间),0(+∞内的单调(d āndi ào)性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1) 因为，，所以在),0(+∞上，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.（2） 因，要证明t>0时，只需证明t>0时，，即令 ，则，故g(t)在),0(+∞内单调(d āndi ào)增加.因为g(t)在t=0处连续(li ánx ù)，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0, 因此(y īnc ǐ)，当t>0时，).(2)(t G t F π>【评注(p íngzh ù)】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来(q ǐ l ái)了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：，在上式中取f(x)为，g(x)为即可.九 、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.【分析】 可先求出，进而确定P A P B *1-=及B+2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E 与A*+2E 相似求出其特征值与特征向量.【详解】 方法一： 经计算可得， ，P A P B *1-==.从而(c óng ér)，，故B+2E 的特征值为当时，解，得线性无关(w úgu ān)的特征向量为所以(su ǒy ǐ)属于特征值921==λλ的所有(su ǒy ǒu)特征向量为，其中(q ízh ōng)是不全为零的任意常数.当时，解，得线性无关的特征向量为，所以属于特征值33=λ的所有特征向量为，其中为任意常数.方法二：设A 的特征值为，对应特征向量为，即 . 由于，所以又因，故有于是(y úsh ì)有 ，因此(y īnc ǐ)，为B+2E 的特征值，对应(du ìy ìng)的特征向量为由于(y óuy ú) ，故A 的特征值为当时，对应的线性无关(w úgu ān)特征向量可取为，当时，对应的一个特征向量为由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，得，，.因此，B+2E 的三个特征值分别为9，9，3. 对应于特征值9的全部特征向量为，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为，其中是不为零的任意常数.【评注(p íngzh ù)】 设，若λ是A 的特征值，对应(du ìy ìng)特征向量为η，则B 与A 有相同(xi ān ɡ t ón ɡ)的特征值，但对应特征向量不同，B 对应特征值λ的特征向量为.1η-P本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉(sh úx ī)的，主要是考查考生的计算能力.不过利用相似矩阵有相同的特征值以及A 与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.十 、（本题(b ěnt í)满分8分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性 设三条直线交于一点，则线性方程组(*)有唯一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，于是由于=, 但根据(g ēnj ù)题设 ，故.0=++c b a充分性：由，则从必要性的证明(zh èngm íng)可知，，故秩由于(y óuy ú)=，故秩(A)=2. 于是(y úsh ì)， 秩(A)=秩=2.因此(y īnc ǐ)方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点，则为Ax=0的非零解，其中于是 .而=,但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组(* *)因为(y īn w èi)])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==-,故方程组(* *)有唯一(w éi y ī)解，所以方程组(*)有唯一(w éi y ī)解，即三直线321,,l l l 交于一点(y ī di ǎn).【评注(p íngzh ù)】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一 、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.【详解】 (1) X 的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布为， k=0,1,2,3.即 X 0 1 2 3 P209 201 因此(2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于，，，构成完备事件组，因此根据全概率公式，有==【评注(p íngzh ù)】本题对数学(sh ùxu é)期望的计算也可用分解法： 设则的概率分布为i X 0 1P 21 21因为(y īn w èi)，所以(su ǒy ǐ)十二(sh í èr) 、（本题满分8分） 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (4) 求总体X 的分布函数F(x); (5) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ；(6) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验是否成立.【详解(xiánɡ jiě)】(1)(2)====(3) θˆ概率密度为因为(yīn wèi)=，所以(suǒyǐ)θˆ作为(zuòwéi)θ的估计量不具有(jùyǒu)无偏性.【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.内容总结。
2003考研数二真题及解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a = .(2) 设函数()y f x =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线()y f x =在点(1,1)处的切线方程是 .(3) xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是 .(4) 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .(5) 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .(6) 设三阶方阵,A B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则=B .二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(2) 设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于( ) (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e . (C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e .(3) 已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为( )(A) .22x y - (B) .22x y (C) .22yx - (D) .22y x(4 ) 设函数()f x 在),(+∞-∞则()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(5) 设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则( )(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >>(6)设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则( ) (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.三 、(本题满分10分)设函数 32ln(1),0arcsin ()6,01,sin 4ax ax x x x f x x e x ax x x x ⎧⎪+<⎪-⎪⎪==⎨⎪+--⎪>⎪⎪⎩ 问a 为何值时，()f x 在0x =处连续；a 为何值时，0x =是()f x 的可去间断点？四 、(本题满分9分)设函数()y y x =由参数方程212ln 112,(1)ut x t t e y du u +⎧=+⎪>⎨=⎪⎩⎰所确定，求.922=x dxyd五 、(本题满分9分)计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.七 、(本题满分12分)讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八 、(本题满分12分)设位于第一象限的曲线()y f x =过点)21,22(，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 ()y f x =的方程；(2) 已知曲线sin y x =在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s .九 、(本题满分10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m . 根据设 计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入 液体时，液面的面积将以2/min m π的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、(本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(,)a b 内()0f x >; (2) 在(,)a b 内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(,)a b 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十 一、(本题满分10分)若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】4-【详解】 当0→x 时，11(1)1~nx x n +-，sin ~x x ，则241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x 由题设已知，当0→x 时，124(1)1ax --与sin x x 是等价无穷小，所以 12242001(1)141lim lim sin 4x x ax ax a x x x →→--===-，从而 4a =-．(2)【答案】0x y -=【分析】为了求曲线在点(1,1)处的切线方程，首先需要求出函数在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可．【详解】对所给方程两边对x 求导数，将其中的y 视为x 的函数，有y y xy x y '=+'+342将1,1x y ==代入上式，得.1)1(='y 故函数在点(1,1)处的导数为1，即点(1,1)处切线的斜率为1，再利用点斜式得，过点(1,1)处的切线方程为)1(11-⋅=-x y ，即.0=-y x(3)【答案】!)2(ln n n【详解】()y f x =带佩亚诺余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x x n ο'''=+++++求()y f x =的麦克劳林公式中nx 项的系数相当于先求()y f x =在点0x =处的n 阶导数值)0()(n f，()(0)!n f n 就是麦克劳林公式中nx 项的系数.2ln 2x y ='；2)2(ln 2x y =''；()2(ln 2)n x n y = (归纳法及求导公式)于是有nn y )2(ln )0()(=，故xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y nn =(4)【答案】)1(414-ae aπ 【详解】方法1：用定积分计算. 极坐标下平面图形的面积公式：θθρβαd S ⎰=)(212，则 θθθρπθπd e d S a ⎰⎰==20220221)(21==πθ20241a e a)1(414-ae aπ． 方法2：用二重积分计算. D 表示该图形所占的区域，在极坐标下，利用二重积分面积公式：Dd d σρρθ=⎰⎰所以 2220012a e a DS d d rdr e d θππθσθθ===⎰⎰⎰⎰⎰=)1(414-ae aπ．(5)【答案】3【分析】本题的可由矩阵Tαα的秩为1，把其分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行(或任一非零行)，列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成．也可设TA αα=求出α，或利用2A 或设123[]T x x x α=，定出α等．【详解】方法1：观察得A 的三个行向量成比列，其比为1:1:1, 故111111111T A αα-⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=[]111111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111α，于是[].3111111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ααT方法2：TA αα=， 2()()(1)TTTTTA Aαααααααααα===而 21111113331111113333(2)111111333A A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 比较(1)，(2)式，得3Tαα=．方法3：设123[]T x x x α=211213221223231323111111111Tx x x x x A x x x x x x x x x x αα⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥===--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦故 122212321233()T x x x x x x x x x αα⎡⎤⎢⎥==++⎢⎥⎢⎥⎣⎦(A 的主对角元之和)(6)【答案】21【分析】 先化简分解出矩阵B ，再计算行列式B 或者将已知等式变形成含有因子B 的矩阵乘积形式，而其余因子的行列式都可以求出即可．【详解】方法1：由E B A B A =--2，知E A B E A +=-)(2，即E A B E A E A +=-+))((，易知矩阵A E +可逆，于是有 .)(E B E A =- 再两边取行列式，得 1=-B E A ，因为2002010100=-=-E A , 所以=B 21．方法2：由E B A B A =--2，得E A B E A E A +=-+))((等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积，得A E A EB A E +-=+约去0A E +≠，得 112B A E ==+．二、选择题 (1)【答案】()D 【详解】方法1：推理法由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，则lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在． 所以选项()D 正确．方法2：排除法取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确；取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．(2)【答案】()B【详解】dx x xa n n n n n +=⎰+-123101=)1(12310n n nn x d x n ++⎰+ (第一类换元法) =3121(1)n n n x n++321111nn n n n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭可见 n n na ∞→lim =32lim 111n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=321(1)1lim 1(1)11n n n n n -+-+→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥-⎧⎫ ⎪++-⎢⎥⎨⎬ ⎪+⎩⎭⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦(凑重要极限形式) 312(1)1e -=+- (重要极限)所以选项()B 正确(3)【答案】()A 【详解】将x x y ln =代入微分方程y x y x y ϕ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，其中2ln 1ln x y x -'=，得： )(ln ln 1ln 1ln 2x x xx ϕ+=-，即 21(l n )ln x x ϕ=- 令ln x u =，有21)(u u -=ϕ，以xu y =代入，得 )(y xϕ=.22xy - 故选项()A 正确．(4) 【答案】()C【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定．【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数 不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(5)【答案】()B【详解】令()tan x x x ϕ=-，有2(0)0,()s e c 10,0,4x x x πϕϕ⎛⎫'==-> ∈⎪⎝⎭，所以当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()x ϕ单调递增，则()0x ϕ>，即tan 0x x >>，tan 1x x >，<1tan x x ，由定积分的不等式性质知，44412000tan 14tan x xI dx dx dx I x x ππππ=>=>=⎰⎰⎰可见有 21I I >且42π<I ．(6)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关． 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤． 可见正确选项为(D)． 本题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】 用排除法：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C)．三【详解】函数()f x 在0x =处连续，则要求函数()f x 在0x =处既是左连续又是右连续，即(0)(0)(0).f f f +-==300ln(1)(0)lim ()lim arcsin x x ax f f x x x ---→→+==-30lim arcsin x ax x x-→=-(由于ln(1)(0)x x x +→，所以33ln(1)ax ax +(0)x →)23lim 11x ax -→= （型极限，用洛必达法则）2lim lim x x --→→= (极限的四则运算) =2023lim 12x ax x -→- （1222211(1)1()(0)22x x x x ---=-→）6a =-2001(0)lim ()lim sin4ax x x e x ax f f x x x +++→→+--==2201lim 4ax x e x ax x +→+--= 22014lim ax x e x ax x +→+--=024lim 2ax x ae x ax +→+-= 220024lim 2lim (2)2ax ax x x a e a e ++→→+=+=224a =+ (0) 6.f =所以，0x =为()f x 的连续点⇔(0)(0)f f +-=⇔26624a a -==+，得1-=a ； 所以，0x =为()f x 的可去间断点⇔26246a a -=+≠，即22640,1a a a ++=≠-但 解得2-=a ，此时()f x 在0x =为可去间断点．四【分析】(i)变上限积分求导公式：()()()()()()()()u x v x df t dt f u u x f v v x dx''=-⎰；(ii)参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩的一阶导数:1()()dy dy dt dy t dx dx dt dx dt t dtψϕ'=⋅=⋅='； (iii)若()x t ϕ=，()y t ψ=二阶可导，函数的二阶导数公式：2223()()()()()()1()()()()()()()d y d dy d t dtdx dx dx dt t dxt t t t t t t t t t t ψϕψϕψϕψϕψϕϕϕϕ'⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭''''''''''''--=⋅='''【详解】设2()12x t t ϕ==+,12ln 1()ute y t du uψ+==⎰，则 ()4dxt t dtϕ'==；12ln 2222()12ln 12ln 12ln t dy e e t et t dt t t t t t ψ+⋅'==⋅=⋅=+++； 所以 212ln 42(12ln )etdy et dx t t +==+ 所以 2222214()11()2(12ln )44(12ln )44(12ln )e d y d dy d t dt e e t dx dx dx dt t dx t t t t t t ψϕ-''⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪'+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 当9x =时，由221t x +=及1t >得2t =, 故2222229.4(12ln )16(12ln 2)t x d y eedx t t ===-=-++五【详解】方法1：第二类换元法. 由于被积函数中含有根号21x +，作积分变量变换tan ()22x t x ππ=-<<，那么3232(1)sec x t +=，2sec dx tdt =，则dx x xe x⎰+232arctan )1(=2322tan sec (1tan )t e ttdt t +⎰23tan sec sec t e ttdt t =⎰ 三角变换公式 tan sec tte dt t=⎰=.sin tdt e t ⎰又t d e tdt e t tcos sin ⎰⎰-==)cos cos (tdt e t e tt⎰-- 分部积分 (c o s (s i n t t e t e dt =--⎰(c o s s i n s i nt t te t e t et d t =--+⎰ 分部积分 =tdt e t e t e tttsin sin cos ⎰-+-，故.)cos (sin 21sin C t t e tdt e tt+-=⎰由tan ()22x t x ππ=-<<得arctan t x =，因此dx x xe x⎰+232arctan )1(=C x x x e x ++-+)111(2122arctan =.12)1(2arctan C x e x x++-方法2：分部积分法dx x xe x ⎰+232arctan )1(=x de xx arctan 21⎰+arctan arctan ()x xd e e ==dx x e xxe x x ⎰+-+232arctan 2arctan )1(1 分部积分=x x de xxxe arctan 22arctan 111⎰+-+a r c t a n a ()x x d e e=arctan arctan arctan 322122(1)xxx x e dx x ⎛⎫-⋅ ⎪=-⎪+⎪⎭⎰ 分部积分 =dx x xe xe xxe x x x ⎰+-+-+232arctan 2arctan 2arctan )1(11，移项整理得；dx x xe x ⎰+232arctan )1(=.12)1(2arctan C xe x x ++-六【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d x dy 变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dx dy 与22d ydx 来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有dy dx =y dxdy '=11，)(22dydx dy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-． 代入原方程，得 .s i nx y y =-'' ( * ) (2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21xxe C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=则 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--= 解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为.sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->，满足题设0y '≠条件．七【详解】讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数等价于讨论方程4()ln 4ln 4x x x x k ϕ=-+-在区间(0,)+∞内的零点问题，为此对函数求导，得334ln 44()4(ln 1).x x x x x x xϕ'=-+=-+可以看出1x =是)(x ϕ的驻点，而且当10<<x 时，3ln 0x <，则3l n 10x x -+<，而40x>，有()0x ϕ'<，即)(x ϕ单调减少；当1x >时，3ln 0x >，则3ln 10x x -+>，而40x>，有()0x ϕ'>，即)(x ϕ单调增加，故k -=4)1(ϕ为函数)(x ϕ的惟一极小值即最小值.① 当(1)40k ϕ=->，即当4k <时，()(1)0x ϕϕ≥>，)(x ϕ无零点，两曲线没有交点； ② 当(1)40k ϕ=-=，即当4k =时，()(1)0x ϕϕ≥=，)(x ϕ有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点；③ 当(1)40k ϕ=-<，即当4k >时，由于+∞=-+-=++→→]4)4(ln [ln lim )(lim 30k x x x x x x ϕ；+∞=-+-=+∞→+∞→]4)4(ln [ln lim )(lim 3k x x x x x x ϕ由连续函数的介值定理，在区间(0,1)与),1(+∞内各至少有一个零点，又因)(x ϕ在区间(0,1)与),1(+∞内分别是严格单调的，故)(x ϕ分别各至多有一个零点. 总之，)(x ϕ有两个零点． 综上所述，当4k <时，两曲线没有交点；当4k =时，两曲线仅有一个交点；当4k >时，两曲线有两个交点．八【详解】(1) 曲线()y f x =在点(,)P x y 处的法线方程为)(1x X yy Y -'-=- 令0X =，则它与y 轴的交点为).,0(y xy '+ 由题意，此点与点(,)P x y 所连的线段被x 轴平分，由中点公式得0)(21='++y xy y ，即.02=+xdx ydy 积分得222x y C +=(C 为任意常数)，代入初始条件2122==x y 得12C =，故曲线()y f x =的方程为22122x y +=，即.1222=+y x (2) 曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为22022.x tl ππππ=+-====⎰⎰⎰弧长公式另一方面，将(1)中所求得的曲线()y f x =写成参数形式，在第一象限中考虑，于是⎪⎩⎪⎨⎧==,sin 22,cos t y t x .20π≤≤t 于是该曲线的弧长为：s ===2)t udu π=-=-= 所以12l =，即4s =．九【详解】(1) 设在t 时刻，液面的高度为y ，此时液面的面积为2()()A t y πϕ=圆的面积公式,由题设：液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大，可得2()()dA t d y dt dt πϕπ==，即2()1dy dtϕ= 所以2()y t C ϕ=+, 由题意，当0t =时()2y ϕ=，代入求得4C =，于是得2() 4.y t ϕ=+从而 .4)(2-=y t ϕ(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为20()()yV t u du πϕ=⎰，由题设：以min /33m 的速率向容器内注入液体，得()20()()3y dV t du du dt dtπϕ==⎰所以 220()33()12.yu du t y πϕϕ==-⎰上式两边对y 求导，得2()6()()y y y πϕϕϕ'=变限积分求导，即()()6d y y dy ϕπϕ= 解此微分方程，得yCey 6)(πϕ=，其中C 为任意常数，由2)0(=ϕ知2C =, 故所求曲线方程为.26yex π=十【详解】(1) 因为极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，且lim()0x a x a +→-=，故lim (2)0x a f x a +→-=又()f x 在[,]a b 上连续，从而lim (2)()x af x a f a +→-=，则()0f a =． 由于0)(>'x f ，则()f x 在(,)a b 内严格单调增加，所以()f x 在x a =处取最小值，即).,(,0)()(b a x a f x f ∈=>(2) 由要证明的形式知，要用柯西中值定理证明．取2()F x x =，()()xag x f t dt =⎰()a x b ≤≤，则0)()(>='x f x g ，则)(),(x g x F 满足柯西中值定理的条件，于是在(,)a b 内存在点ξ，使222()()()2()()()()()(())baxaaa x Fb F a b a x g b g a f f t dt f t dtf t dt ξξξ='--===-'-⎰⎰⎰即)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰． (3) 在区间],[ξa 上应用拉格朗日中值定理，得在),(ξa 内存在一点η，使()()()()f f a f a ξηξ'-=-因()0f a =，上式即))(()(a f f -'=ξηξ，代入(2) 的结论得，))((2)(22a f dxx f a b ba-'=-⎰ξηξ即 ⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη十一【分析】 已知A 相似于对角矩阵，应先求出A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a . 至于求P ，则是常识问题．【详解】矩阵A 的特征多项式为]16)2)[(6(628222---=------=-λλλλλλa A E =)2()6(2+-λλ，故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故对应621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即2)6(3=--A E r ，于是有 .1)6(=-A E r42021068400000000E A a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以0a =．于是对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001ξ， .0212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ξ当23-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--0001000128000480242A E ，解方程组⎩⎨⎧==+,0,02321x x x 得对应于23-=λ的特征向量.0213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=ξ令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=001220110P ，则P 可逆，并有.1Λ=-AP P十二【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b c a b c b c a c a b A bc a b c a c a bc ab -++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b c a c a b c a b -=++-=-++- 16()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c--=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++---2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同，所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．方法2：“必要性”设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以||0B =．而232323232323a b c a bcB bc a bc a A c a bca b-==--=-- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性”：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 将方程组(*)的三个方程相加，并由.0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==222[()]0a b a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．。
重庆大学数学分析2004-2011年考研真题+高等代数2003-2010年考研真题
二阶可导，且 f (a) = f (b) = 0, 证明：至少存在一点ξ ∈ (a,b),使得f ′′(ξ ) < 0 。 十一、（12 分）设函数 f (x) 在 [0,+∞]可微， f ′(x)在[0,+∞)单调增加、无上界，证明：广义积
∫ 分
+∞
0 1+
1 f2
(
dx x)
收敛。
∫ 十二、（12 分）证明：含参广义积分 F (α ) = +∞ α e−αx2 dx 在区间 (0,+∞)上，1）有连续的导函 0
B = (β1 + β n , β1 + β 2 , β 2 + β3 ,⋯, β n−1 + β n ) 的行列式的值。 3．证明题 (1) 设V1,V2 是 R n 中的两个非平凡子空间，证明在 R n 中存在向量 α 使得
α ∉V1,α ∉V2 ，并在 R3 中举例说明此结论。
(2) 设 e1, e2 ,⋯, en 是 n 维 线 性 空 间 Vn 的 一 组 基 ， 对 任 意 n 个 向 量 α1,α 2 ,⋯,α n ∈Vn ，证明存在唯一的线性变换T 使得T (ei ) = αi ,i = 1,2,⋯, n 。
(2) 设 e1, e2 ,⋯, e5 是 5 维 Euclid 空 间 R5 的 一 组 标 准 正 交 基 ，
VL(α1,α 2 ,α3 ) ，其中α1 = e2 + e3 ，α 2 = −e1 + e2 + e4 ，α3 = 4e1 − 5e2 + e5 ，求V1 的
一组标准正交基。
⎡ 1 1 −1⎤
。
⎡1 1 −1⎤
(3) 设 A = ⎢⎢0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6．设 f (x) 在[a, b] 上可积，则 f (x) 在[a, b] 上的连续点有无限多个（0）
7．连续函数的不定积分一定存在（1）
8．若 f (x, y) 在区域 D 内对 x 和 y 都是连续的，则 f (x, y) 对 (x, y) D 为二元连续（0）
9． un
0(n
1, 2,) 且 n,
二 型 区 面 积 分 x(x2 1)dydz y( y2 2)dzdx z(z2 3)dxdy ， 其 中 为 球 面
x2 y2 z2 1的外侧。
三、证明题（66 分）
1．证明不等式
1 2n 1 2n 1 1 , n 1, 2
2n 1
2n 1
设 xn 1
1 3
1 5
1 x
0
x 0 ，求 f '(0) 。
x0
2．求定积分
2 0
sin sin cos
d
3．求由圆柱面 x2 y2 a2 , x2 z2 a2 (a 0) 所围立体的体积
f (x, y, z) 0
4．设 x( y), z( y) 是由方程组
z g(x, y)
所确定的隐函数，求 x '( y), z '( y) ，计算第
二、计算题（60 分）
1/3
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
1 ． 求 极 限 lim( x x x x) ， 设 函 数 g(x) 在 x 0 的 邻 域 内 有 定 义 ， n
g(0) g '(0) 0 ，
f
(x)
g
(x)
sin
3．若 f (x) 在 x0 的邻域内有定义，在 x0 可导，则 f (x) 在 x0 的某邻域内连续（0） 4．f (x), g(x) 在[a,b] 上可导，x [a,b], f '(x) g '(x) ，则 x [a,b], f (x) g(x)
（0）
5．定义 f (x) 在[a, b] 上可积时，必须先假定 f (x) 在[a, b] 上有界（1）
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
2003 年重庆大学 330 数学分析考研真题
重庆大学 2003 年数学分析试卷
一、是非题（24 分）
1． p
为正整数， lim n
un p
un
0
，则
lim
n
un
存在（0）
2．设 f (x) 在 (a,b) 一致连续，则 f (x) 在 (a,b) 上有界（1）
单侧导数
F '(x), F '(x) 都存在（16 分）
4 ． 设 cn (x) 在 [0,1] 上 非 负 连 续 (n 1, 2,) ， cn (x) 在 [0,1] 上 一 致 收 敛 ， 令 n1
Mn
max [0,1]
cn
(
x
)
，问
n1
Mn
是否收敛？用
n2
xn (1 x) ln n
验证上面的结论（20
分）
2/3
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
3/3
un1 un
1，则
un
n 1
收敛（0）ຫໍສະໝຸດ 10． n1un1 un
收敛，则
lim
n
un
存在（1）
n
11． f (x) 在[0, ) 上非负连续， n 是正整数，若 lim f (x)dx 存在，则 f (x)dx
n 0
0
收敛（0）
12．若 f (x, y) 的偏导数 fx , f y 在 (x0 , y0 ) 存在，则 f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 连续（0）
1 2n 1
2n
1
，证明
lim
n
xn
存在（15
分）
2．设函数 f (x) 在[0, ) 连续， lim( f (x) k x) 0, k 0 为常数，证明： f (x) 在 x
[0, ) 一致连续（15 分）
3．设 f (x) 在[a,b] 上单调，证明其变上限积分 F (x) x f (t)dt 在每一 x (a,b) ，其 a