子群的陪集

第 12 讲

§9 子群的陪集 （Coset of subgroup ）P 89—99

本讲的教学目的和要求：在第一章中，我们曾介绍了集合的分类与集合上的等价关系——他们是互相兼容的两个代数概念。在群中引人一种特殊等价关系，由此对该群进行分类——群的陪集分解。进而引出拉格朗日（Lagrange ）定理，得到了“每个子集（元素）的阶都是有限母群阶的因子” 这一重要结论。在本讲的学习中要求

（1） 陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H 的联系

要分辩清楚。

（2）

陪集和陪集的代表元所形成的系列性质，要能掌握。 （3） 群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项需要

了解。

（4） Lagrange 定理和推论本身的掌握以及有关理论应用

需要掌握。

本讲的重点和难点： 本节的内容中重点是对陪集概念的了解和lagrange 定理的应用，而难点在于学会并掌握有关陪集理论的等式命题证明。

一、陪集的引入

引例1 对整数加群{}+,Z 而言，取定模4，则可确定Z 的一个分类：[][][][]{}3,2,1,04=Z 。其中Z 中的4个剩余类分别为：

[]{} ,8,4,0,4,8,0--=

[]{} ,9,5,1,3,7,1--=

[]{} 10,6,2,2,6,2--=

[]{} ,11,7,3,1,5,3--=

现利用群的观点，分析上述事实，可得到如下启示：

(1) 在4Z 中剩余类[]{} ,8,4,0,4,8,0--=Z n n Z ∈∀==44是整数加群

{}+,Z 的一个子集. 而其余的剩余类[]1,[]2,[]3都不是{}+,Z 的子群.

(2) 其余的任何一个剩余类与这个特殊的剩余类[] 有着密切的联

系.譬如, []1就是用代表元1与[]0中每个元素相加所成的剩余类, []1即恰是用[]0中每个元素都加上1而形成的.一般地, 4Z 中的每个剩余类[]i 都是由[]0中每个元素普遍加上i (或加上[]i 中任取定的一个元素)而形成的.其中

3,2,1,0=i . 引例2. 给定三次对称群

()()()()()(){}132123,23,13,12,13=S 的一个分类{}M K H ,,=Ω.其中这

三个分列为: ()(){}12,1=H ， ()(){}123,13=K ，()(){}132,23=M 。 同上例一样可以发现：

(1) 分类Ω中只有H 是3S 的子群，而M K ,都不是3S 的子群。

(2) K 恰是由(13)右乘H 中每个元素而形成的类:

()()()13131=， ()()()1231312=

(或者说是由(123)右乘H 中每个元素而形成的类).同理,M 是由

(23)(或(132))右乘H 中每个元素形成的类.

总之, Ω中每个类,都是由本类中任取定一元素右乘H 中每个元素而得到的.

上述二引例中,虽然一个是加群,另一个是乘群,但它们的分类都有一个共同的特点：

① 分类中存在一个特殊的类是子群,而其余的类都不是子

群.

② 每个类正好是这个子群中的所有元素都加(乘)上这个类

中任取定的一个元素.

具有上述特点的群分类正是本节中研究的主要内容.(在下面 的讨论中,都是在乘群上展开的).

定义1. (集合的积) 设X 和Y 是群G 的二个非空子集,于是X 与Y

的积记为 Y y Z x xy XY ∈∀∈∀=,

特别地,如果{}y Y =是一个单元集,而设{} ,,21x x X =,那么X 与Y 的积为 {}{} ,,21y x y x y X XY ==

.此时我们记XY 为Xy ,并称Xy 为元素y 右乘X 的积.

定义2. (子群的陪集) 设G 为任意的群,G H ≤而,G a ∈∀, 那么

(1) 形如Ha 的子集,叫做子群H 的一个右陪集,其中a 叫做

代表元.

(2) 形如aH 的子叫做子群H 的一个左陪集,其中a 叫做代

表元.

由此可见,子群H 的陪集正是H 与元素a 相乘的积,当a 从右方去乘H 时,则得到右陪集. 反之得到左陪集.(下面只对右陪集展开讨论).

明示1. 在引例2中,自然有()()()12313,1H H K H H ===,

()()13223H H M ==. 所以有3S 的分类

()()23133H H H S =.

思考题1 若G H ≤,又设G a ∈,那么“aH Ha =”成立吗?为什么? 答：由于G 不一定是变换群,所以aH Ha =未必成立.

比如,在引例2中,()()(){}23,123123=H ，而

()()(){}13,123123=H ，()()123123H H ≠∴.

二、陪集的性质.

二个右陪集相等是什么意思?在什么条件下才会发生呢? 明示2. 设G H ≤,令{} ,,,,321h h h e H =, 若取G b a ∈,,那么有陪集

{} ,,,,321a h a h a h a Ha = {} ,,,,321b h b h b h b Hb =.

如果“Hb Ha =”,那么代表着二个集合相等而千万不能记为 “b h a h i i =”, ,3,2,1=i

明示3. 设M N ,都是群G 的非空子集(不一定是子群)

如果,M N =,则取任意G a ∈,必有 Ma Na =.

定理1. 设G H ≤, G b a ∈∀,,于是有

(1)

H ab Hb Ha Hb a ∈⇔=⇔∈-1 (2) H ba Hb Ha Ha b ∈⇔=⇔∈-1.

证明： (只需证明(1),因为(2可同理证得))

(ⅰ) ()Hb Ha Hb a =⇒∈

Hb a ∈ , 由陪集的含义可知,必存在H h ∈使 hb a =,即 .1a h b -=

H h Ha x ∈∃⇒∈∀1使 ()()b h h hb h a h x 111===

H hh G H ∈⇒≤1 ()Hb Ha Hb h h x ⊆⇒∈=∴1.

H h Hb y ∈∃⇒∈∀2使 ()()a h h a h h b h y 12122-===

同理 H h h ∈-12 ()Ha Hb Ha a h h y ⊆⇒∈=∴-12

由上分析知,Hb Ha =.

(ⅱ) ()H ab Hb Ha ∈⇒=-1.

Hb Ha = , ∴ 当任取Hb Ha ha =∈ 时H h ∈∃⇒' 使

b h ha '=,经调整得,H h h ab ∈=--'11,即

1-ab H ∈. (ⅲ) ()Hb a H ab ∈⇒∈-1

H ab ∈-1, 则存在H h ∈使h ab =-1,于是 Hb hb a ∈=

即 Hb a ∈ .

由上述(ⅰ)(ⅱ)和(ⅲ)知 (1)成立.

明示4. 利用定理1和明示3可知下列命题必是等价的：

H Hba H Hab Hb Ha Ha b Hb a =⇔=⇔=⇔∈⇔∈--11 H ba H ab ∈⇔∈⇔--11