最新中考数学专题培优：二次函数综合应用(含答案)

2020年中考数学专题培优 二次函数综合应用（含答案） 一、解答题（共有7道小题）

1.如图，直线1y x =+与x 轴教育点A ，切经过点B(4，m)。点C 在y 轴负半轴上，满足OA=OC ，抛物线

()

20y ax bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点，且与x 轴的另一交点为D 。

（1）球抛物线的解析式。

（2）在抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+ PC 的和最小。求出点P 的坐标。

2.如图，已知二次函数2

2y ax x c ＝

＋

＋

的图象经过点C(0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B(3，

0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点．

(1)求二次函数

2

2y ax x c ＝

＋

＋

的表达式； (2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形，

请求出此时点P 的坐标；

(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积．

3.如图，已知二次函数

2

＝

＋

＋

y ax bx c 的图象与x 轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y

轴相交于点C(0，－3)．

y x C D B

A O

x

y P B A C O

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．

①求线段PM 的最大值；

②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数265＝－

＋

－

y

x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与

y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ． (1)求点P ，C 的坐标；

(2)直线l 上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

5.如图，已知二次函数2

2y ax x c ＝

＋

＋

的图象经过点C(0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B(3，

0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点．

(1)求二次函数

2

2y ax x c ＝

＋

＋

的表达式；

(2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形，请求出此时点P 的坐标；

(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积．

y x M C

A O

B P

H y x

D B A

l C P O x

y P

B A

C O

6.如图，直线1y x =+与x 轴教育点A ，切经过点B(4，m)。点C 在y 轴负半轴上，满足OA=OC ，抛物线

()

20y ax bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点，且与x 轴的另一交点为D 。

（1）球抛物线的解析式。

（2）在y 轴上是否存在一点G ，似的GB GD

- 的值最大？若存在，求出点G 的左边；若

不存在，请说明理由。

7.已知顶点为A 抛物线2

12

2y a x ⎛

⎫=-- ⎪⎝⎭经过点322B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，点522C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，直线AB 与x 轴相交于点M ，y 轴相交于点E ，抛物线与y 轴相交于点F ，在直线AB 上有一点P ，若＝

OPM

MAF ∠∠，求△POE 的面积；

(3)如图2，点Q 是折线A －B －C 上一点，过点Q 作QN ∥y 轴，过点E 作EN ∥x 轴，直线QN 与直线EN 相交于点N ，连接QE ，将△QEN 沿QE 翻折得到1

QEN V ，若点

1

N 落在x

轴上，请直接写出Q 点的坐标．

y x C D B

A O

y

图2

N1N

F E

M A

C

B O Q y

x 图1

F E

M A

C B

O P

参考答案

一、解答题（共有7道小题）

1.（1）解：把y=0代入1y x =+，得x=-1，所以A(-1，0) 由OA=OC 可得C(0，-1)

将B(4，m)代入1y x =+可得m=5，所以B(4，5) 所以，将A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入

()

20y ax bx c a =++≠可得

0516411a b c a b c =-+⎧⎪

=+-⎨⎪=-⎩，解得12121a b c ⎧=⎪⎪

⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩ ，进而，211

122y x x =--

（2）

2

211119

1=22228y x x x ⎛⎫=----

⎪⎝⎭ 所以，函数的对称轴为直线

12x =

，点A(-1，0)关于直线1

2x =

的对称点为A’(2，0)。A’C 与

直线

1

2x =

的交点即为点P 。

设A’C 所在直线解析式为y kx b =+，进而可得

1

12y x =

-

当

12x =

时13

124y x =-=-

所以，点P 的坐标为13,2

4⎛⎫

- ⎪

⎝⎭ 2.解：(1)将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得

960

3a c c ++=⎧⎨=⎩，