第12章 数的开方
第十二章数的开方
平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
平方根的基本性质一个数的平方根分为三种情况：正数有两个个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0_；负数没有平方根。
算术平方根正数的正的平方根称为算术平方根。
而0的算术平方根是0开平方运算求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
开平方是一种运算，它与平方互为逆运算，计算器求一个数的平方根时要特别注意按键顺序。
平方根与算术平方根的联系与区别：联系：具有包含关系，平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。
存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有。
0的平方根和算术平方根都为零。
区别：定义不同个数不同表示方法不同取值范围不同几个非负数之和为零，则它们分别为零。
立方根的定义：一个数的立方等于a，则这个数叫a的立方根。
立方根的性质正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
平方根与立方根的联系与区别联系：都与相应的乘方运算互为逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。
都可以归结为非负数的非负根来研究零的平方根和立方根都是它本身区别：符号不同，根指数2可以省略而根指数3不可以省略平方根只有非负数才有而立方根任何数都有正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个实数与数轴开立方的运算：求一个数立方根的运算叫做开立方，=__________无理数无限不循环小数叫做无理数。
一看是否是无限小数；二看是否是不循环小数。
无理数的常见形式含开平方不尽的式子；含π的式子；定义本身的形式。
实数有理数与实数统称为实数实数与数轴上的点一一对应分类⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数正有理数有理数负有理数实数正无理数无理数负无理数分数正整数有理数实数整数负整数无理数实数的运算顺序先算乘方开方、再算乘除、最后算加减，如果有扩号，则先算括号里面的。
八年级数学数的开方
2、算术平方根
（1）算术平方根的意义：非负数a的正的平方根。
一个非负数a的平方根用符号表示为：“ a ”，
读作：“根号a”，其中a叫做被开方数
（2）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根是一个正数； ②0的算术平方根是0； ③负数没有算术平方根
（3）重要性质： a2 a
2
a a(a 0)
3、立方根
（1）立方根的意义
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根 （也叫三次方根）。如果x3=a，则x叫做a的立方根。
记作： x 3 a ,读作“三次根号a” 。
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
（2）立方根的性质
①一个正数有一个正的立方根； ②一个负数有一个负的立方根； ③0的立方根是0。
例1、x为何值时，下列代数式有意义。
（1） 3 2x
（2） x 2 2 x
（3） x2 3
（4） （5）
1
3x 1
x 1 x 1
（6） (x 1)2
例2、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的
平方根是 4 ，
求a+2b的平方根。
例3、若x、y都是实数，且 y x 3 3 x 2 ， 求x+3y的平方根。
第12章 数的开方
－－（平方根与立方根）
知识点归纳：
1、平方根 （1）平方根的意义：如果一个数的平方等于a ，这个数
就叫做a 的平方根。a的平方根记作: 2 a或 a 。
求一个数a的平方根的运算叫做开平方.
（2）平方根的性质 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ②0有一个平方根，它是0本身 ③负数没有平方根。
数的开方知识点doc
第12章《数的开方》知识点一、知识点：1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的 。
正数a 有 平方根，它们 ，记作 ，a 称为 ．0的平方根只有 ，就是0，记作0＝0．负数没有平方根。
2、算术平方根：正数a 的 ，叫做a 的算术平方根，记作 ，读作“根号a ”．3、开平方： 运算，叫做开平方．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．4、立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 。
任何数（正数、负数或零）都有一个立方根．数a 的立方根，记作 ，读作“三次根号a ”，a 称为被开方数，3称为 。
5、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做 。
6、无理数： 叫做无理数。
7、实数： 称为实数。
8、实数与数轴上的点 ．二、知识点应用：1、49的平方根是 ，算术平方根是 .2、5是 的平方根，-9的平方根 .3、1是 的立方根，-1是 的立方根.4、-27的立方根是 ，0的立方根是 .5、若某数的一个平方根是2，则这个数是 ，它的另一个平方根是 .6、若某数的立方根是-3，则这个数是 .7、如果一个实数有且只有一个平方根，那么这个数是 .8、如果一个实数有且只有一个立方根，那么这个数是 .9、数轴上表示5-的点与原点的距离是________；10、2-的相反数是 ，3的倒数是 ，13-的相反数是 ；11、81的平方根是______，4的算术平方根是_______，210-的算术平方根是 ；12、计算：_______10_________,112561363=-=--，2224145-= ； 13、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ；14、当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义；15、若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ；16、已知0)3(122=++-b a ，则=332ab；17、在实数0、3、6-、236.2、π、723、14.3中无理数的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、418、36的平方根是（ ）（A ）6 （B ）±6 （C ）6 （D ）6±19、一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）．（A ） 1 （B ） 0 （C ） -1 （D ）1，-1或020、数3.14，2，π，0.323232…，71，9，21+中，无理数的个数为（）． （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个21、下列等式：①81161=，②()2233-=-，③()222=-，④3388-=-⑤416±=，⑥24-=-；正确的有（ ）个．（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1三、计算题22．81.031－4162＋2268101+； 23．3008.0-＋481－532－38742-．四、求下列各式中x 的值24．3（x 21＋1）2－108＝0； 25．8（x －1）3＝－64125．五、求值26．已知A ＝342--+b a a 是a ＋2的算术平方根，B ＝9232-+-b a b 是2－b 的立方根．求3A －2B 的立方根．27．已知y ＝12-x ＋x 21-＋x －2．求y x +10的值．28．已知|x |＝3，求代数式112-x ＋12+x －11-x 的值．六、（本题6分）29．一个长方体的木箱，它的底面是正方形，木箱高0.85米，体积为1.19米3，求这个木箱底面的边长（保留两个有效数字）．。
第12章 数的开方
第12章数的开方第一节平方根与立方根 2知识点1 1-30的平方数1-10的立方数2知识点2 平方根立方根2知识点3 平方根的性质立方根的性质3知识点4 算术平方根算术立方根3知识点5 求平方根求立方根3知识点6 用数轴巧记平方根,立方根4第二节实数与数轴 6知识点1 实数的认识与分类6知识点2 数与数轴上的点7赢家大比拼:勇闯三关唯我甲天下! 9排查第一节平方根与立方根评价[ ] 知识点1 1-30的平方数1-10的立方数【】观察242与262, 232与272, 222与282, 212与292有何关系?例如: 782 49 ←头乘头112 ←头乘尾的2倍+ 64 ←尾乘尾6084例如: 452=2025, 852=7225, 952=9025.比如:63=62×6, 83=82×8, 93=92×9.[ ] 知识点2 平方根立方根【】如果264x ,那么x=±8 如果x3=512,那么x=8↑↑↑↑平方前的数平方后的数立方前的数立方后的数如果x2=10,那么x=? 如果x3=10,那么x=?于是以前学的平方没办法,便产生了于是以前学的立方没办法,便产生了新的数平方根,出现了新的符号. 立方根,出现了新的符号.. a】】】（2） 显示结果为 35 ，所以35． （3）显示结果为 ，如果要求精确到0.01，可得81.44≈ ．例4 用计算器求下列各数的立方根：（1） 1331；（2） －343；（3） 9.263．分析:用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键．若被开方数为负数，“－”号的输入可以按（－），也可以按－．解（1） 在计算器上依次键入3■显示结果为11，所以31331＝11． （2） 在计算器上依次键入或7．（3） 在计算器上依次键入(3■) ，显示结果为 ，如果要求精确到0.01，可得3263.9≈ ．[ ] 知识点6 用数轴巧记平方根,立方根 【 】挑战你1: 学透知识, 想通方法, 挑战是一种快乐!1. 说出下列各数的平方根：（1） 64；（2） 0.25；（3）8149．2. 用计算器计算：（1）676；（2）8784.27；（3）225.4（精确到0.01）．3. 下列说法正确吗?为什么?如果不正确，那么请你写出正确答案． （1） 0.09的平方根是0.3； （2）25＝±５．4. 求下列各数的立方根：（1） 512；（2） －0.027；（3） －12564．5. 用计算器计算：（1）36859；（2）3576.17；（3）3691.5（精确到0 01）.挑战你: 学透知识, 想通方法, 挑战是一种快乐!1. 求下列各数的平方根：（1） 8116；（2） 0.36；（3） 324．2. 求下列各数的立方根：（1） 0.125；（2） －6427；（3） 1728．3. 用计算器计算．（精确到0.01） （1）89.16；（2）36892．4. （1）10在哪两个整数之间? （2） 3.1＜10＜3.2正确吗? （3） 下列四个结论中，正确的是（ ）． A. 3.15＜10＜3.16 B. 3.16＜10＜3.17 C. 3.17＜10＜3.18 D. 3.18＜10＜3.19排查第二节实数与数轴评价[ ] 知识点1 实数的认识与分类【】质数正整数自然数合数自然数0、1 0生活趣释自然数：原始人在打猎，摘野果子中自然而然产生了0 1 2 3 4……这些数。
第12章 数的开方
第12章数的开方§12.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。
它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。
二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a≥0。
三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a）即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。
其中a叫做被开方数。
∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。
四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。
五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正； （2）一个负数的立方根为负； （3）零的立方根是零。
3、立方根的记号：3a （读作：三次根号a ），a 称为被开方数，“3”称为根指数。
3a 中的被开方数a 的取值范围是：a 为全体实数。
六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。
七、注意事项：1、“±a ”、“a ”、“3a ”的实质意义：“±a ”→问：哪个数的平方是a ； “a ”→问：哪个非负数的平方是a ； “3a ”→问：哪个数的立方是a 。
2、注意a 和3a 中的a 的取值范围的应用。
如：若3-x 有意义，则x 取值范围是 。
第12章 数的开方
第12章 数的开方（12.1-12.2）一、选择题1、下列说法中正确的是（ ）A.4是8的算术平方根B.125的平方根是5C.-6是6的平方根D.-a 没有平方根 2、下列各式中错误的是（ ） A .±36.0=±0.6 B.327-=-3 C.-44.1=-1.2 D. 44.1=±1.2 3、下列说法中，正确的是（ ） A.27的立方根是3，记作27=3 B ．-100的算术平方根是10 C ．a 的三次立方根是±3a D ．正数a 的算术平方根是a 4、196的平方根是（ ）A ．14B ．±14C ．14D ．±145、下图是一个数值转换机，若输入的a 值为2，则输出的结果应为（ ） A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-16、数3.14，2， ，0.323 232…，71，9，1+2中，无理数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 7、把-1.6、-2π、23、32、0，按从小到大的顺序排列为（ ）A ．-1.6<-2π<0<23<32 B.-1.6<-2π<0<32<23C. -2π<-1.6<0<32<23 D. -2π<-1.6<0<23<328、用计算器计算,1515,1414,1313,12122222--------…，根据你发现的规律，判断P=1)1n (11)(n Q 1n 1n 22-+-+=--与（n 为大于1的整数）的大小关系为（ ）A ．P<Q B.P=Q C.P>Q D.与n 的取值有关 二、填空题9、︱-49︱的算术平方根是 ，2)9(-的平方根是 。
10、平方根、立方根都是它本身的数是 。
11、对于正实数a 、b 作新定义：a ■b=2ab+b 5a 2-，在此定义下，若3■b=40，则b 的值为 。
第十二章数的开方教案
12.1.1平方根教学目标:1．理解平方根和算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；2．会用根号表示一个数的平方根3. 体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别教学重点：了解一个非负数平方根的概念，求某些非负数的平方根。
教学难点：平方根和算术平方根的区别和联系，以及对a的理解。
教学过程：一、复习引入1、我们已学过哪些数的运算?(加、减、乘、除、乘方5种)2、加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?(均为互逆运算)3、一个正方形的边长是5米，它的面积是多少?其运算是什么运算?(面积25平方米，运算是乘方运算)二、创设问题情境，解决问题正方形面积为25 cm2, 的正方形纸片，纸片的边长应是多少？答案：边长是5cm．∵2525=，∴正方形的边长是5cm．如果把正方形的面积改为9，16，29呢？一定存在面积为29的正方形边长，那么是多少呢？我们今天就来解决这个问题（板书课题——平方根）平方根定义：2525=，25是5的平方，而5是25的平方根．还有没有平方能等于25的数，()2525-=，25是-5的平方，-5是也是25的平方根．如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．即若2x a=，则x叫做a的平方根．问：4，9，16，25，81，916，164的平方根是多少？为什么？【例1】求下列各数的平方根（1）81；（2）425；（3）100；（4）0.49．示范：∵()2981±=，∴81的平方根是9±．记作：9=±三、平方根的性质通过上面例题的解答，你能发现什么？1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数．①0的平方根是多少呢？2、∵200=，∴零只有一个平方根，是零．②负数的平方根多少呢？3、∵任何数的平方都是非负数，∴负数没有平方根．③ 四、算术平方根我们把正数a a 的负的平方根表示为a 的平方根表示为【例2】求下列各数的算术平方根49，100，144，925，0.64， 2.89 ； 971．81示范：∵2749=，∴49的算术平方根是7．3497134916971)3(=±=±=±所以，因为【例3】说出下列各式的值；；．引言：∵2290a a a a ==∵大于∴五、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，也叫做开二次方．“开平方是一种运算” 代数运算共有六种三个级别，加、减；乘、除；乘方、开方．【例3】将下列各数开平方0.04，1，1169，641225，0.81，36．示范：∵()20.20.04±=，∴0.04的平方根是0.2±，即0.2=±．六、小结：两个定义（平方根与算术平方根），三条性质（一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零只有一个平方根为零；负数没有平方根．） 七、作业：B4一张．12.1.1平方根——符号及逆运算教学目标：1会求非负数的平方根，2掌握a表示的算术平方根中的a的条件和a的本身的意义3应用平方根的性质解决问题教学重点和难点：区分应用平方根的性质解决问题教学过程：【例1】说出下列式子的值．；．三、a的关系．（一样给一列，依次推导公式，以会计算为主）2a=(2a=(2a=，，a=．【例2】计算下列各式的值．2；2(；2(；2(3)±．例3：求下列各式的值：．；；；；9005136.0314120)5(432425)4(362324)3(25214)2(625)1(2222--+⋅--±-例4 求下列各式字母的取值范围(2；(3同步：1x的值为________．2．已知3y=，求2x y+的值．【例5】23x y+的平方根．∴30x y-+=，10x y+-=．解得，1x=-，2y=，∴234x y+=．∴23x y+的平方根为2±．同步：若20a -=，求2a b -的值．四、加深平方与平方根的互逆关系【例6】已知21a -的平方根是3±，31a b +-的平方根为4±，求2a b +的平方根．解：由题意，得219a -=，3116a b +-=， ∴5a =，2b =，29a b +=． ∴2a b +的平方根为3±．同步：1．若54x +的平方根是1±，则x = _______．2．若x 是16的一个平方根，y 是9的一个平方根，则x +y =______． 五、利用平方根性质解题【例7】如果A 的两个平方根分别是21x -与34x -，求A 的值？解：由题意，得()()21340x x -+-=．解得1x =． ∴21211x -=-=，∴A 211==．同步：如果21x -和34x -是A 的平方根，求A 的值？ 六、利用平方根解一元二次方程 【例8】求下列各式的值：（1）0252=-x ； （2）81)1(42=+x ； （3）6442=x ； （4）09822=-x ． 解：（1）225x =，5x =±； （2）()28114x +=，912x +=±，∴72x =或112x =-． （3）216x =，∴4x =±． （4）2196x =，∴13x =±． 小结：作业：一张卷11.1.2立方根教学目标1．了解一个数的立方根的意义； 2．会用根号表示一个数的立方根；3．弄清立方根与平方根的区别，了解开立方和立方互为逆运算。
华华师版数学八年级上讲义(习题)
八年级上第12章 数的开方1．平方根（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
其中正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”，另一个平方根是它的相反数，即a -。
因此，正数a 的平方根可以记作a ±。
a 称为被开方数。
0的平方根只有一个，就是0，记作00=。
负数没有平方根。
（3）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
（1）求下列各数的平方根和算术平方根① 121 ②（－3）2 ③3161④361- ⑤625（2）下列说法正确的是（ ）①1的平方根是1 ②1是1的平方根 ③()21-的平方根是-1 ④若一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数只能是零 ⑤只有正数才有平方根（3）解下列方程①0492=-x ②()28922=-x（4）若()02y 5-x 2=++，则2x+y= 。
（1）81的平方根是 ，16的算术平方根是 。
（2）一个数的平方根等于它的本身，这个数是 。
（3）如果x,y （x ≠y ）是同一个不为零的数的平方根，那么x+y= 。
（4）若2m+4与3m-1是同一个数的平方根，试求m+3的平方根和算术平方根。
（1）()232-x 与2-y 是同一个不为零的数的平方根，那么x+y=（2）若51=-x x ，求221xx +的平方根。
2．立方根（1）如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
（3）数a 的立方根，记作3a ，读作“三次根号a ”，其中a 称为被开方数，3称为根指数。
（4）任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个。
正数有一个正的立方根。
负数有一个负的立方根。
0。
（1）求下列各数的立方根：①－271 ②0.064 ③1－87 ④64 ⑤512169 （2）下列说法正确的是（ ）① 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 ②一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同 ③负数没有平方根，也没有立方根 ④若一个数有立方根，则这个数一定有算术平方根 （3）解方程 ① ()()3432-x ②1258133=-=-x（4）若,643=x 则x = 。
八年级数学数的开方
八年级数学数的开方
《数的开方》单元总体分析
整理人：邹健玲
一、教材分析：
华东师大版《数学》八年级上册第12 章《数的开方》可以看成其后的代数内容的起始章。
本章在数的开方的基础上引入了无理数的概念，从而引出了实数的概念，并说明在实数范围内可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，而且在有理数范围内成立的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用，这样就为今后在实数范围内研究各种问题作好了准备。
因此，本章不仅是学习二次根式、一元二次方程的准备知识，而且是今后所要学习到的包括函数、平面解析几何在内的大部分知识的基础。
二、单元教学目标：
1、让学生经历又一次数系扩张的过程，进一步体验数学的发展源于实际，又作用于实际的辩证关系。
2、理解平方根、算术平方根、立方根的概念；认识平方与开平方、立方与开立方间的关系；会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根。
3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
4、能估计某些无理数的大小，培养学生的数感与估算能力，会进行简单的实数运算。
三、单元教学重、难点：
本章的重点是平方根、算术平方根的概念及求法。
要在教学中反复强调平方根与算术平方根这两个概念间的联系和区别，会查表或用计算器正确、迅。
12章 数的开方
Ｃ ⑥下列说法不正确的是_____ Ａ、10的平方根是±√10 Ｂ、-2是4的一个平方根 Ｃ、4的平方根是2 Ｄ、0.01的算术平方根是0.1 ⑦有下列四个结论，a、-0.064的立方根 是0.4，b、8的立方根是±2，c、27的立 方根是3，d、16的平方根是4，其中正确 Ｃ 的是____ Ａ、abcd Ｂ、bcd C、c D、d
例2：若Ｍ＝ a 2 b 3 a 3 b 为a+3b的算 2 1 a 术平方根，Ｎ＝ 为1－a 的 立方根，求Ｍ＋Ｎ的平方根．
2 a b 1 2
解：根据题意，a+2b+3=2 2a-b-1=3 ∴a=3,b=2 ∴M=3 N=-2 ∴M+N=1 ∴M+N的平方根是±1
①2－√9的结果是____ ②2的算术平方根是____ ③√2x- 4有意义的x的取值范围是______ 3 ④- √－8的平方根是____ ⑤若a的一个平方根是b，则另一个平方根 是____ ⑥立方根等于它本身的数是_____ ⑦若4a+1的算术平立根是3，则a的值是 ____ ⑧－√64的立方根是____ 2 ⑨若√m-3+（n+1） =0,则m+n的值是___ ⑩数轴上任意上点必定表示一个_____
你知道什么是非负数吗？ 定义：正数和零
统称为非负数。
性质：非负数的和仍为
非负数；非负数的算术平方 根仍为非负数；当若干个非 负数的和为0时，其中每个非 负数都是0；0是最小的非负 数，没有最大的非负数。
①a2 ≥0 ②IаI ≥0 ③√а ≥0
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。
——爱迪生
求一个数的立方根的运算叫 开立方．
∴代数式的值是1.
2
A
15.3期末复习(第12章数的开方)
数学·人教版（RJ）
8．非负数 正数和零 统称为非负数． 定义： 我们已经学过的非负数有如下三种形式： (1)任何一个实数a的 绝对值 是非负数，即 |a| ≥0； 2n (2)任何一个实数a的 偶次方 是非负数，即 a ≥0； (3)任何一个非负数a的算术平方根 是非负数，即 a ≥0. 非负数有以下性质： (1)非负数有最小值零； (2)非负数之和仍然是非负数； (3)几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
-a a
(3)0的平方根和立方根都是 0
数学·人教版（RJ）
2.开平方与开立方 求一个非负数a的平方根 的运算，叫做开平方．其 中a叫做被开方数 . 求一个数a的立方根 的运算，叫做开立方．其中a 叫做被开方数 . 立方 都分别互为逆运 开平方与 平方 、开立方与 算． [点拨] (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术 平方根，再在求出的数前面加上“±”号；(2)根据平 方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关 系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方 根(立方根)．
2．用计算器计算 0.000064， 0.064， 64， 64000，你能 发现什么规律？
3
3
3
3
解： 0.0000 64＝0.04， 0.064＝0.4， 64＝4， 64000＝40. 被开立方数的小数点每向右(或向左)移动 3 位，其立方根的小数 点相应地向右(或向左)移动 1 位．
3
3
3
数学·人教版（RJ）
考点六
实数的运算
计算：|－3|＋(－2)3－(－3)2－110＋ 16.
解：|－3|＋(－2)3－(－3)2－110＋ 16 ＝3＋(－8)－9－1＋4 ＝3－8－9－1＋4 ＝－11.
八年级数学数的开方
2、算术平方根
非负数a的正的平方根。 （1）算术平方根的意义：
一个非负数a的平方根用符号表示为：“ a 读作：“根号a”，其中a叫做被开方数 （2）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根是一个正数； ②0的算术平方根是0； ③负数没有算术平方根 ”，
（3）重要性质： a a
2
a
2
a (a 0)
例4、如果
M ab a b 3 是a+b+3的算术平方根，
是a+2b的立方根， 求M－N的立方根。
N a2b3 a 2b
例5、已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简
a 2 a b c a (b c) 2
练一练
1、求下列各数的平方根和算术平方根：
25 （1） 4
1 1 a b 2b c (c ) 2 0 2 2
，
5、a、b在数轴上的位置如图所示，化简：
(a 1) 2 (b 1) 2 (a b) 2
6、已知：实数、满足条件
a 1 (ab 2) 0
2
1 1 1 1 试求ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2) (a 2004)(b 2004的值． )
（2）
4
2
（3）．
2 8
2、计算：
（1） 256 16 （3） 25 （5）
3
（2）
1.44
（4）
0.01
4
2 3
2
（6） 10
1 3 16
（7） 0.125 （8） 3
64 125
+
3
7 (1 ) 2 8
初二数学知识点总结
初二数学知识点总结第十二章 数的开方一、平方根1、如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
a 的算术平方根记为 ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。
2、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
3、求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
二、立方根1、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
2、求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
三、实数1、无限不循环小数又叫做无理数。
2、有理数和无理数统称实数。
3、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
第十三章 整式的乘除一、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）二、幂的乘方法则：1、幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）2、幂的乘方法则可以逆用：即mn n m mn a a a )()(== 三、积的乘方法则：积的乘方，等于各因数乘方的积。
即nn b a ab =)(（n 是正整数） 四、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即n m n m a a a-=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 五、零指数和负指数；1、10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。
2、p p a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p次方的倒数。
六、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
第十二章数的开方
第十二章《数的开方》单元测试姓名 班级 座号一．选择题：1.下列各数没有平方根的是（ ）A. 8B.-22C.36D.241 2.下列各数：31， 2， 0， 3.14，327，1.010010001…其中无理数 的个数有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个3.下列计算不正确的是（ ）A ±2B =C =0.4D 4.下列说法正确的是（ ）A.带根号的数都是无理数B.无限小数都是无理数C.有理数与数轴一一对应D.实数与数轴一一对应的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2D 6.若x 2=16,则5-x 的值是（ ）A. ±1B. ±3C.1或9D.1或37. 一个自然数的算术平方根是x ，则它后面一个数的算术平方根是（ ）A ．x+1B ．x 2+1C 8. 若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m 的值是（ ）A ．-3B ．1C ．-3或1D ．-19.下列各组数中，互为相反数的是（ ）A.5和2)5(-B.-︱-5︱和-（-5）C.-5和3125-D. -5和-51二，填空题1.9的平方根是2. 25的算术平方根是3.- 641的立方根是 4. 一个数的算术平方根是5，这个数是5. -3的绝对值是6.3 -7的相反数是7.化简8+︱8-10︱的结果是8.在数轴上与原点距离是23的点所表示的数是9.若32 x 有意义，则x 的取值范围是10.若︱x ︱=6,则x=三．利用平方根、立方根来解下列方程．（1）169 x 2=49 （2）（2x-1）2-25=0；（3）x 2-121=0 （4）（x+3）3=8．四．解答题1. 已知x 的平方根是2a+3和1-3a ，y 的立方根为a ．（1）求a 的的值（2）求x+y 的值2.若实数m,n 满足︱2m+6︱+ 2-n =0，求m n 的值3.已知实数a,b,c,d,m,若a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的算术平方根是3， 求cd m b a 2-++的平方根。
华师大八下第十二章《数的开方》试卷(一)
华师大八下第十二章《数的开方》试卷(一) -1-第十二章单元检测姓名班级座号一、选择题(21分)1、64=()A.8±B.8C.4±D.42、4-的平方根是()A.2B.-2C.2±D.4±3、在实数3.14、π、722、-3、0、3、2中，无理数的个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个4、在数轴上N点表示的数可能是（）A.10B.5C.3D.25、下列说法中不正确的是（）A．绝对值最小的数是0B.平方最小的实数是0C.算术平方根最小的实数是0D.立方根最小的实数是06、下列各式中正确的是（）A.64=±8B.6)6(2-=-C.525-=-D.283-=-7、和数轴上的点成一一对应关系的数是（）A．整数B．有理数C．无理数D．实数二、填空题（40分）8、9的平方根是________.9、(-3)2的算术平方根是.10、比较大小3______2--11、-8的立方根是_________.12、054=++-y某则某y=___________.13、化简32-=________.14、81的算术平方根是_____________.-2-姓名班级座号一、选择题(21分)1、64=()A.8±B.8C.4±D.42、4-的平方根是()A.2B.-2C.2±D.4±3、在实数3.14、π、722、-3、0、3、2中，无理数的个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个4、在数轴上N点表示的数可能是（）A.10B.5C.3D.25、下列说法中不正确的是（）A．绝对值最小的数是0B.平方最小的实数是0C.算术平方根最小的实数是0D.立方根最小的实数是06、下列各式中正确的是（）A.64=±8B.6)6(2-=-C.525-=-D.283-=-7、和数轴上的点成一一对应关系的数是（）A．整数B．有理数C．无理数D．实数二、填空题（40分）8、9的平方根是________.9、(-3)2的算术平方根是.10、比较大小3______2--11、-8的立方根是_________.12、054=++-y某则某y=___________.13、化简32-=________.14、81的算术平方根是_____________.15、数轴上表示离原点的距离为2的点表示的是_______________.-3-16、李师傅要制作一个正方体木箱，使其体积为0.343m3.试问这个木箱的棱长为m.17、如图，在讲解实数这一节时，杨老师以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线(虚线)顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是.三、解答题18、求下列各式的值（9分）（1）21.1（2）2)10(-（3）25241±19、求下列各式的值（9分）（1）3125-（2）3008.0-（3）32712520、比较大小（10分）（1）3与10（2）364与2521、计算（10分）-4-(1)23)4(271--+-(2)144833493+-22、一个正数的平方根是a+3与2a-15，求a的值.（9分）23、已知()2a1620b-++=，求ba的立方根.（10分）24、在中国象棋中，棋子“马”走日字，图中棋盘中的每个小正方形格子的边长都是1，棋子“马”由原始位置出发，走了四次后回到原来位置，已知这个棋子所走过的路线刚好围成一个正方形，请你将它走的路线画在图中，并求出这个正方形的边长。
第12章数的开方1
第12章数的开方【教学目标】一、知识目标1.了解本章的知识结构。
2．了解开平方、开立方、实数的定义及实数的分类。
3．理解实数与数轴上的点成一一对应关系。
4．会用估算的方法比较实数的大小。
二、能力目标1、熟练掌握本章的知识结构网络.2、理解无理数、实数、算术平方根、平方根、立方根、开立方的定义.3、理解有理数与无理数的区别与联系.4、开方运算与乘方运算的区别与掌握.5、掌握估算的方法.三、情感态度目标通过本章内容的小结与复习，培养学生学会归纳，整理所学知识的能力，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，养成良好的品质.【重点难点】掌握平方根和算术平方根、立方根的定义和概念，会进行实数的分类、大小比较。
【教学设想】教学思路：知识梳理—习题选讲—训练巩固—应用提高【媒体平台】教具学具准备：多媒体，投影仪，【教学过程】1、复习导入：通过本章的学习，你学到了哪些知识？获得了哪些经验？请和同学们进行交流。
2.课前热身同学们交流、讨论，概括归纳本章所学的主要知识和个人的不同见解。
3、合作探究（1）整体感知本节课主要复习的内容有：第一部分：回顾概括本章的知识结构及平方根、立方根和实数的定义和概念。
第二部分：实数的运算和实数的大小比较。
（2）四边互动互动1：师：播放幻灯片1（不显示方框的文字），请同学们根据本章所学的主要内容在各个方框内填上适当的数学名称。
生：逐个举手回答，不断补充完善。
师：逐个点击各个方框，显示各个方框内的名称，验证学生的结论。
互动2：师：利用幻灯片演示幻灯片2（只显示第一行和第一列文字）生：学生逐个举手回答， 不断补充完善。
师：逐个点击空格内容，显示答案，验证学生回答的结果。
明确：正确地理解平方根、算术平方根的概念、性质是进行相应运算、化简的前提和关键。
互动3：师：利用多媒体演示幻灯片3.（1） 若m 、n 互为相反数则|m －3+n|= （2） 若|a|=3，2=b 且ab<0，则a －b=（3） 一个数的算术平方根是a ，则比这个数大3的数是 （4） 计算()()=-+-32222生：独立尝试，并交流，逐个举手回答解题思路和结果。
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第12章 数的开方
一、选择题
1．下列说法中正确的是（ ）．
(A) 4是8的算术平方根 （B ）16的平方根是4 (C) 是6的平方根 （D ）-a 没有平方根 2．下列各式中错误的是（ ）．
（A ） （B ） （C ） （D ） 3．若 x 2=（-0.7）2，则 x =（ ） (A) －0.7 (B) ±0.7 (C) 0.7 (D) 0.49 4． 的平方根是（ ）
（A ）6 （B ）±6 （C ） （D ） 5.下列语句正确的是（ ）
（A ）如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零； （B ）一个数的立方根不是正数就是负数； （C ）负数没有立方根；
（D ）一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零。
6、下列说法中，正确的是： （ ）
（A ）无限小数都是无理数 （B ）带根号的数都是无理数 （C ）循环小数是无理数 （D ）无限不循环小数是无理数 7、 是无理数，则a 是一个： （ ）
（A ）非负实数 （B ） 正实数 （C ）非完全平方数 （D ） 正有理数 8、下列说法中，错误的是： （ ）
（A ） 是无限不循环小数 （B ） 是无理数 （C ） 是实数 （D ）
等于1.414 9、与数轴上的点具有一一对应关系的是：（ ）
（A ）无理数 （B ）实数 （C ）整数 （D ）有理数 10、下列说法中，不正确的是： （ ）
（A ）绝对值最小的实数是0 （B ）平方最小的实数是0
66.036.0±=±6.036.0=.21-44.1-=.2144.1±=3666±a 2222
（C ）算术平方根最小的实数是0 （D ）立方根最小的实数是0 二、填空题
1. 和 统称为实数.
2.
绝对值是 ,相反数是 ,倒数是 . 3.下列说法：（1）带根号的数是无理数；（2）无限小数都是无理数；（3）无理数都是无限小数；（4）在实数范围内，一个数不是有理数，则一定是无理数，不是正数，则一定是负数。
其中错误的有 ______个。
三、应用
1、若x 、y 都是实数，且 ，求x+3y 的平方根
2、已知
3、
4、已知x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x 2+y 2的平方根
5、如果 是a+b+3的算术平方根，
是a+2b 的立方根，求M －N 的立方根。
1233+-+-=x x y 的立方根。
求已知
y x x
x
y x 63,
039
22
+=--++的立方根。
求
已知y x x x
y x 63,039
22
+=--+
+b a b a M -++=33
22+-+=b a b a N 的值求
c
b a
c b a +=++++-,01)5(32
6、 点A 在数轴上表示的数为
，点B 在数轴上表示的数为，则A ，B
两点的距离为______
7、a 、b
在数轴上的位置如图所示，化简：222)()
1()1(b a b a ---++．
8、已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简
9．化简下列各式：
(1) |-1.4| (2) |π-3.14| (3) |-|
(4) |x-|x-3|| (x ≤3) (5) |x 2+1|
10．有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一
个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm 。
11．已知的整数部分为a ，小数部分为b ，求（a+b ）（a-b ）的值.
22
()a a b c a b c --+-+-
《数的开方》练习试题
一、填空题
1．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 2．数轴上表示5-的点与原点的距离是________； 3．2-
的相反数是 ，3的倒数是 ，13-的相反数是 ；
4．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，2
10-的算术平方根
是 ； 5．计算：_______10_________,1125
61
363
=-=--，2224145-= ； 6．若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ；
7．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义；
8．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 9．22)(a a =成立的条件是___________； 1011
22
a a a a --=
--a 满足条件________； 11．已知0)3(122
=++-b a ，则=3
3
2ab
； 12．若最简二次根式5231-+-+-y x y x y x 与与是同类根式，则=x ，
=y ________；
13．下列运算正确的是（ ） A 、7272+=
+ B 、3232=+ C 、428=⋅ D 、
22
8
= 14．在实数0、3、6-、236.2、π、7
23
、14.3中无理数的个数是（ ） A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
15．下列二次根式中与26- ） A 18304854
16．下列说法错误的是（ ）
A 、1)1(2=-
B 、()1133
-=-
C 、2的平方根是2±
D 、()232)3(-⨯-=-⨯-
17．下列说法中正确的有（ ）
①带根号的数都是无理数；②无理数一定是无限不循环小数； ③不带根号的数都是有理数；④无限小数不一定是无理数； A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
18．一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425+ D 、无法确定
19．如果3
21,32-=
+=b a ，则有（ ）
A 、b a >
B 、b a =
C 、b a <
D 、b
a 1= 20．设x 、y 为实数，且554-+
-+=x x y ，则y x -的值是（ ）
A 、1
B 、9
C 、4
D 、5 三、计算题
1．)32)(32(-+ 2．8
6127
728⨯-
+
3．()()()62261322+-+- 4．22)2332()2332
(--+
5．
61422164323+⨯- 6．3
21)37(4732+--÷-- 四、解方程
1．()64392
=-x 2．8)12(3
-=-x
五、解答题
2．已知26-=
x ，试求20082423+-+x x x 的值．
3．已知2
32
3,2323-+=
+-=y x ，求下列各式的值。
①y x y xy x 22322-+-；②3
3y x +
六、阅读理解
设 3333.03
.0==x ①，则 333.310=x ②，则②—①得39=x ，即3
1
=x 故3
13
.0= ． （1）根据上述提供的方法，把①7
.0 ；②3.1 化为分数； （2）想一想是不是任何无限循环小数都可以化为分数？（简答即可）。