反褶积

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相关分析
• 相关函数的定义 • 相关与褶积的关系 • 相关函数的频谱
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相关函数的定义
1、互相关函数
rxy (m)
2、自相关函数
n
x


n
yn m
rxx (m)
n
x
n
xn m
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1 1 , 2 2
基础分为若干
小段，每段长1/ Δ，然后将各段的X(f)值相加。 由此可见，当采样率为Δ 时，离散序列的最大频率为1/2Δ， 这就是奈魁斯特频率，也称折叠频率。
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频率折叠示意图
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褶积
1、褶积的定义 褶积是一种数学运算的方式以及运算结果。定义如下：
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2、脉冲反褶积的原理
设地震记录 x(t) 可表示为反射系数函数 g(t) 和地震子波 b(t) 的褶积： x(t)=g(t)*b(t) 要把 x(t) 变为 g(t) ，只需设计一个算子 a(t) ，使 a(t)*b(t)=δ(t) （1） 即可。假定有那么一个a(t)，满足（1）式。 在（1）式两端同用b(-t)褶积，得 a(t)*b(t)*b(-t)=δ(t)*b(-t) a(t)*rbb(t)=b(-t) （2） rbb(t)为b(t的自相关函数。 在离散有限的情况下，将（2）式写成矩阵形式：
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两种特殊信号
1、单位脉冲 δ(t) (狄拉克函数） （当t =0时） （当t≠0时）
1 (t ) 0
δ(t)频谱 Δ(f)=1
2、白噪声 b(t) ∑b(t)=0 Rbb(t)= δ(t)
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反信号
对信号x(t)，如果有信号a(t)，使x(t)*a(t)= δ(t)，则称a(t)是 x(t)的反信号。 由于 X ( f ) A( f ) ( f ) (t )e i 2ft dt 1


ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ写成指数形式：
X ( f ) ei x A( f ) eia 1 1 ei 0
所以，反信号的频谱与原信号的频谱有以下关系：
1、 2、
X ( f ) A( f ) 1
φx= -φa
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由反信号的定义可知：并非任何信号都有反信号，
如在某些频率点f， ，则反信号不存在。
概形态。通常认为反射系数振幅谱的各个频率对应的振幅值均在同一水平线上 浮动，于是我们不管子波和反射系数的振幅谱到底是什么，反正把地震记录的
振幅谱改变成我们所希望的样子即可。这一类反褶积主要有以下方法：
（1） 谱白化 （2） 频率补偿 （3） 振幅补偿 （4） 频域反褶积 以上两类反褶积方法都是从现象入手来提高分辨率。着眼于引起分辨率降低的根 本原因的反褶积方法是反Q滤波。
上式表明：地震记录由地震信号和反射系数序列的褶积 构成： x(t)=g(t)*b(t)
i
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地震记录的分辨率
地震记录的分辨率由地震信号（地震子波）b(t)的延续长度和反射系数 g(t)之间的距离决定。b(t)的延续长度越短，g(t)之间的距离越大，分辨率 越高，反之分辨率越低。 通常震源产生的信号（震源子波）是较短的，但它在传播过程中，因为
X( f ) 0 最小相位信号的反信号：
设 是 的反信号，如 是物理可
实现的最小相位信号，则
也是物理可实现的
a(t ) 最小相位信号。 b(t ) a(t )
b(t )
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反褶积概述
• • • • 地震记录的褶积模型 地震记录的分辨率 反褶积的一般定义 反褶积的类型
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反褶积的类型
反褶积的类型可按实现反褶积的方法来区分。目 前，实现反褶积的方法大致可分为两类： （1）压缩子波：多数反褶积方法都属于这一类。
（2）改变地震记录的频谱：谱白化和频率振幅补
偿等。
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以压缩子波为目标的反褶积
根据地震记录的褶积模型，地震记录x(t)可表示为地震子波函数b(t) 与反射系数函数g(t)的褶积： x(t)=b(t)*g(t) 反褶积的目标是压缩的延续长度，最好压缩成单位脉冲δ(t)，使
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预测反褶积的 基本原理和计算方法
• 脉冲反褶积 • 预测反褶积的基本原理和计算方法
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脉冲反褶积
1、脉冲反褶积的假设条件 2、脉冲反褶积的基本原理 3、脉冲反褶积的计算
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1、脉冲反褶积的假设条件
两个假设条件 （1）反射系数函数：白噪声 （2）地震子波：最小相位
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相关函数的频谱
由： 有： 所以
rxy (n) xn yn
Rxy ( f ) X ( f )Y ( f )
R xy ( f ) X ( f ) Y ( f )
特别地，对于自相关函数有：Rxx(f)=|X(f)|2
以上公式说明： （1）自相关函数的频谱是实数； （2）由信号的振幅谱可确定其自相关函数的频谱进而确定自 相关函数。反过来，由自相关函数也可求振幅谱。
地震记录的褶积模型 设震源发出的信号为 b(t),它遇到第一个到第n个反射界
面的反射系数分别为g1、g2、…、gn,则检波器接收到处的
反射信号分别为g1.b(t-t1)、g2.b(t-t2)、…、gnb(t-tn)，地 震记录x(t)为各反射信号之和，即：
x(t ) gib(t ti )
结果就是单位脉冲函数。由此我们得反褶积的定义：
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反褶积的一般定义
反褶积就是去掉地震记录中大地的滤波作 用的一种处理方法，所以反褶积也叫反滤波。
它用的运算方法归根到底仍然是褶积。
但现在的反褶积已不局限于去除大地的滤 波作用，凡是对地震子波进行改造的处理都 叫它反褶积。
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两个函数x(t)和y(t)的褶积定义为：

x(t ) y(t )
在离散有限的情况下，积分变成以下求和形式：

x( ) y(t )d
x ( n ) y ( n)
x( ) y (n )
N1
N2
我们通常用到的多为离散有限的情况。从以上公式可以看出，褶积就是先 将其中一个函数（序列）反转过来再对应相乘并求和。即所谓的先褶 后积，褶积的名称由此而来。
使A(z)= 0的z值称为Z变换的根，该序列的 Z变换有n个根。
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信号的相位特征
设一两项信号 a=(a1,a2),则 1、若a1>a2,称a是最小相位延迟信号 2、若a1<a2,称a是最大相位延迟信号 3、若a1=a2,称a是等延迟信号 任一n+1项信号 b=(b0,b1,…,bn)可分解为n个两项信号 的褶积。 如果 1、所有两项信号 都是最小相位延迟信号，则b是最小相位 2、所有两项信号 都是最大相位延迟信号，则b是最大相位 3、既有最大相位延迟也有最小相位延迟，则b是混合相位 信号的相位特征也可用其z变换来定义： 1、 z 变换的根都在单位圆外，信号是最小相位 2、 z 变换的根都在单位圆内，信号是最大相位 3、单位圆内外都有根，信号是混合相位 最小相位信号的能量集中在前端。
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2、褶积的性质
（1）对称性：满足交换律
x(n)*y(n)=y(n)*x(n)
（2）线性：满足分配律 x(n)*[ay(n)+bz(n)]=ax(n)*y(n)+bx(n)*z(n)
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3、褶积的频谱
两个序列（信号）褶积的频谱等于两个序列频谱
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零相位信号
信号x(t)的复频谱可表示为： X(f)=u(f)+iv(f) 它的振幅谱: 它的相位谱: 如果
A( f ) X ( f ) u 2 ( f ) v 2 ( f )
v( f ) ( f ) arctg u( f )
( f ) 0 ，
则信号x(t)称为零相位信号，从时域上看，它必然关于零点为 对称。
震资料与假设条件的符合程度。
反褶积的名称各种各样，有的取名来源于它的假设条件，有的取名来源于它的 计算方法，有的取名来源于它的功能。我们在选用某个反褶积模块时对它的假
设条件、计算方法和功能都应该有所了解。
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改变地震记录的频谱的反褶积
这一类方法假定：虽然不知道反射系数的具体数值，但知道反射系数振幅谱的大
（Xn、yn为离散信号）
相关与褶积的关系
信号xn与gn的褶积为：
x ( n) y ( n )
m
x
n

nm
gm
信号xn与yn的相关函数：
rxy (m)
n
x

yn m
两个信号的互相关函数等于将后一个信号的翻转信 号与前一信号的褶积：
rxy (n) xn yn
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物理可实现信号
信号是以时间为自变量的函数：
0
t
如果信号x(t)满足：当t<0时，x(t)=0，
0
t
则称为物理可实现信号。
地震记录是物理可实现信号
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Z变换
序列(a0,a1,a2,…an)的Z变换定义为
A(z)= a0+a1z,+a2z2+…anzn (z是复数)
x(t)=δ(t)*g(t)=g(t)
要这样做，b(t)必须是已知的。事实上，在地震记录的褶积表达式
中，只有x(t)是已知的，因此无法对方程x(t)=b(t)*g(t)求解。但我们面
对的反褶积问题又必须对其求解。为此就需要附加一些假设条件。根 据假设条件的不同，就出现了各种反褶积方法。
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大地的滤波作用会逐渐拉长，以至分辨率越来越低。为了提高分辨率，只
有两种办法：加大g(t)之间的距离或者压缩b(t)的延续长度。 g(t)之间的距离是客观存在，显然我们无法也不应该去改变它。为了提
高地震记录的分辨率，只有压缩地震子波b(t)的长度。理想的情况是将b(t)
缩为单位脉冲函数。这时地震记录x(t)就是反射系数序列g(t)。把b(t)缩为 单位脉冲函数的方法通常是用某种办法设计出一个算子，它与b(t)褶积的
（1） 假定子波已知：子波反褶积
（2） 假定反射系数已知：层序反褶积 （3） 假定子波是最小相位，反射系数为白噪声：脉冲反褶积、预测反褶积、最大 熵反褶积等。 （3） 假定反射系数由稀疏大脉冲构成：最小熵反褶积 （4） 假定反射系数序列的前两个脉冲有足够的间隔：同态反褶积 等等。 各种不同的反褶积均有自己的优点和局限性。反褶积效果的好坏取决于实际地
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信号的离散化
实际地震记录是连续信号，数字仪记录时，要间隔一定的时间间隔Δ 记录一个值，由此将地震记录x(t)变成时间序列 x(nΔ) (n=1,2,…N) Δ 称为采样间隔。
将连续信号离散采样的过程就是信号的离散化。
对于离散化有以下采样定理： 若连续信号x(t)有截止频率fc，则当 1 2 fc 确定X(t): 时，离散x(nΔ) 可完全
的乘积：
设 x(n) → X(f) y(n) → Y(f) 则
x(n) y(n) → X ( f ) Y ( f )
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4、褶积与滤波
通常的滤波是将信号中的某些频率成份去掉。为了达到滤波
的目的，我们可以在频率域设计这种一个滤波门函数H（f），
它在需要去掉的频率范围内为零，其它地方为1，用H（f）与 信号的频谱相乘，然后再转换到频域。从时间域看，这即是用 H（f）对应的时间函数（滤波因子）与信号函数的褶积。所以， 滤波的实质就是褶积。
x(t ) x(n)
n

sin




(t )
(t )
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奈魁斯特频率
如果x(t)不存在截止频率fc，或 时， x(nΔ) 不能完全恢复x(t)，但x(t)的频谱X(f)与x(nΔ) 的频谱xΔ (f) 之间有以下关系： m X( f ) X ( f ) m 该式表明： 1、 xΔ (f) 是一个周期函数（周期为1/Δ） 2、它在一个周期的值等于将X(f)以为
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地震资料处理中的 反褶积处理
黄大云
2006年3月
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主要内容
• • • • • • • 有关反褶积的预备知识 反褶积概述 预测反褶积 地表一致性反褶积 子波整形反褶积 谱白化 反Q滤波
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预备知识
• • • • • 信号的离散化 褶积 相关分析 物理可实现信号 Z变换 • • • • 反信号 信号的相位特征 零相位信号 两种特殊信号