二次函数与三角形最大面积的3种求法
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法

二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法二次函数是高中数学中一个经常出现的重要知识点,它在数学中有着广泛的应用,其中一个重要的应用就是处理三角形面积最大值问题。
在本文中,我们将介绍二次函数在处理三角形面积最大值问题中的基本方法和应用技巧。
1. 三角形面积最大值问题的基本原理三角形面积最大值问题指的是给定三边长度为a、b、c,求出以这三条边为边长的三角形的面积最大值。
根据海伦公式,三角形面积公式为:S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2,是三角形半周长。
我们可以通过求解出上式的最大值来得到三角形的最大面积。
2. 二次函数相关知识介绍二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数,其中a、b、c 是常数,而x是自变量。
二次函数在数学中有着广泛的应用,其标准形式为:y=ax^2+bx+c(a≠0)其中a表示二次函数的开口方向和大小,常被称为二次函数的开口因子;b表示二次函数的对称轴的位置,常被称为二次函数的对称轴;c表示二次函数在y轴上的截距,即当x=0时,二次函数的函数值。
3. 二次函数求解三角形面积最大值的应用在二次函数求解三角形面积最大值的应用中,我们可以将三角形面积公式中的p表示为:p=(a+b+c)/2 = (x+y+z)/2然后使用二次函数y=f(x)表示√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中x、y、z分别表示三角形的三边长度a、b、c。
由于p=(x+y+z)/2是一个常数,因此我们可以将其视为一个固定值,从而将y=f(x)表示为:y=√[(x+y+z)/2(x+y+z)/2-x(x+y+z)/2-y(x+y+z)/2+z(x+y+z)/2]化简得:y=√[xyz(x+y+z)]这就是一个二次函数的标准形式。
通过求解这个二次函数的最大值,我们就可以得到三角形的最大面积。
4. 二次函数求解三角形面积最大值的具体方法为了求解上述的二次函数的最大值,我们需要使用二次函数y=f(x)的顶点公式:x=-b/2a,y=f(-b/2a)其中x=-b/2a即为二次函数的对称轴坐标,f(-b/2a)即为二次函数的顶点坐标。
二次函数中三角形面积问题

二次函数中三角形面积问题【典型例题】:如图,二次函数y=-x²+2x+3与y轴,x轴交于点A ,B,点C是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与点A ,B重合),求△ABC面积的最大值.【方法一】竖割法:过点C作CD⊥x轴,垂足为D,交AB于点E,S△ABC=S△ACE +S△BCE =1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE解:令x=0, y=3 点C的坐标为(0,3);令y=0, 则-x²+2x+3=0 ,解得:x1=-1 x2=3 点B的坐标为(3,0),设AB所在直线的解析式为y=kx+b.求出直线AB所在直线的解析式为y=-x+3.设点E的坐标为(m,-m+3) ,则点C的坐标为(m, -m2+2m+3)CE=y C-y E= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3mS△ABC=S△ACE +S△BCE =1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE=1/2×3( -m2+3m)=--3m2/2+9m/2S△ABC最大值=4ac-b2/4a=27/8【方法二】割补法:连接OC,S△ABC=S△OAC +S△OBC-S△OAB解:S△ABC=S△OAC+S△OBC-S△OAB=1/2×OA·X C+1/2×OB·Y C-1/2×OA×OB=1/2×3×m+1/2×3×(-m2+2m+3)-1/2×3×3=-3m2/2+9m/2S△ABC最大值=4ac-b2/4a=27/8【方法三】平移法:平移直线AB,当直线AB与抛物线只有一个交点时,此时三角形ABC的面积最大。
解:设和y=-x+3平行的动直线的解析式为y=-x+b,用y=-x+b和y=-x²+2x+3联立方程组得:-x+b=-x²+2x+3,整理得:x²-3x+b-3=0当Δ=0时,b=21/4,此时的点C的坐标为(3/2,9/2)。
二次函数之“铅垂法”求三角形面积

二次函数之“铅垂法”求三角形面积求三角形面积往往用公式12S a h∆=或1sin2S ab C∆=进行计算。
在二次函数里,有时用公式求三角形面积有一定的难度,我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。
图1 图2作法:1、作铅直线PM交线段AB于点M;2、分别过A、B两点作PM的垂线段。
计算:如图1:S△PAB= S△PMA+S△PMB=12×PM×h2+12×PM×h1=12×PM×(h2+h1);①如图2:S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=12×PM×h2-12×PM×h1=12×PM×(h2-h1)。
②理解:我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”,把(h2+h1)或(h2-h1)称为三角形的“水平宽度”,则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。
特别地,在二次函数中,三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差(y P -y M),“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差(x B-x A),即S△=12×(y P-y M)×(x B-x A)。
我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。
运用:例:如图,直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。
(1)求该抛物线的函数表达式;(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M 的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值及此时动点M的坐标。
解答:(1)y=-x 2+2x+3;(2)过点M 作MC ⊥x 轴交直线AB 于点C 。
设M (t ,-t 2+2t+3),则C (t ,-t+3)。
∵A (3,0),B (0,3)∴S=12×〖(-t2+2t+3)-(-t+3)〗×(3-0)化简整理得:23327()224S t =--+。
二次函数与面积

二次函数与面积求三角形的面积: (1)直接用面积公式计算;如图:抛物线与x 轴交于A 、B 两点,P 是抛物线上一点。
则S △ABP=21AB •PE(2)割补法;如图:直线MN 与抛物线交于M 、N ,与y 轴交于E , 则S △MON=S △OEM+S △OEN(3)铅垂高法;如图,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线, 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h ). 我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S △ABC =12ah ,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
BC铅垂高水平宽 haA1、如图,抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,点P在第二象限的抛物线上,S△POB=S△PCO,求P点的坐标。
2、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,- 3).(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;(2)在抛物线上求点P,使S△POA=2S△AOB。
3、如图,在平面直角坐标系中,直线112y x=+与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B 重合),连接PA、PB,S△PAB=6,求P点的坐标。
4、如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点()3 0,C ,与x 轴交于A 、B 两点,点B 的坐标为()0 3,-。
(1) 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标;(2) 点P 是第二象限内抛物线上的一动点,问:点P 在何处时△CPB 的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点P 的坐标。
5、如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧),与y 轴交于点C (0,4),顶点为(1,92). (1)求抛物线的函数表达式;(2)若点E 是线段AB 上的一个动点(与A 、B 不重合),分别连接AC 、BC ,过点E 作EF ∥AC 交线段BC 于点F ,连接CE ,记△CEF 的面积为S ,S 是否存在最大值?若存在,求出S 的最大值及此时E 点的坐标;若不存在,请说明理由.6、如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P点,使△ABC面积有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;7、如图,已知抛物线经过点(1,-5)和(-2,4)(1)求这条抛物线的解析式.(2)设此抛物线与直线相交于点A,B(点B在点A的右侧),平行于轴的直线与抛物线交于点M,与直线交于点N,交轴于点P,求线段MN的长(用含的代数式表示).(3)在条件(2)的情况下,连接OM、BM,是否存在的值,使△BOM的面积S最大?若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由.。
二次函数中三角形面积问题的三种求解方法

二次函数中三角形面积问题的三种求解方法二次函数是一种广泛应用于数学解题中的重要运算工具,有时需要根据给定的几何图形求解相关表达式,比如求出三角形的面积。
三角形面积问题在很多学科中都有着广泛的应用,下面将介绍三种求解三角形面积的方法,这三种方法均基于二次函数的概念。
第一种求解三角形面积的方法是通过使用二次函数的半径求解。
首先,根据给定的三角形边长,使用勾股定理求出该三角形的半径,然后用半径公式计算出三角形的面积,半径公式为πr/2,其中π是常数3.14159。
这种方法的优点是简单易行,只需要掌握勾股定理和半径公式即可求解三角形的面积。
第二种求解三角形面积的方法是使用三角函数求解。
有些三角形的边长有着特殊的关系,可以使用三角函数求出三角形的面积。
举例来说,如果某三角形的三条边长分别为a,b,c,那么可以使用以下公式求出此三角形的面积:S= a*b*sin(c)/2。
这种方法的优点是可以准确求出三角形的面积,但是要掌握的知识比较多,需要熟练掌握三角函数的概念。
第三种求解三角形面积的方法是使用二次函数求解。
如果给定三角形的三条边长都可以用二次函数表示,那么可以使用椭圆公式求解三角形的面积。
椭圆公式为S=∫ab√(f(x))dx,其中f(x)表示三角形边长可以表示为二次函数的表达式,a,b表示积分下限和上限。
这种方法的优点是准确度高,但使用难度也比较大,需要掌握椭圆公式和二次函数的概念。
以上就是介绍了三种求解三角形面积的方法。
不同的求解方法都有各自的优势和局限性,在不同场景下要根据实际情况选择合适的求解方法,使用二次函数可以有效地求出三角形的面积。
初中数学二次函数中三角形面积问题解析

∙∙∙∙初中数学二次函数中三角形面积问题解析一、命题意图二次函数中三角形面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题,题型常考常新,体现了数形结合、化归转化、分类讨论数学思想等。
如果将三角形这一平面图形问题与二次函数相结合,就需要学生以逻辑思维和空间思维相结合的方式进行学习,以培养学生逻辑思维与空间思维能力相结合的基本数学思想,让学生学会自主思考问题的过程。
二、考点及对应的考纲要求初中数学课程教学中关于三角形面积问题的讨论一直是教学重点,这其中牵涉了二次函数与几何问题的融合,是初中数学课程中的一个难点。
求面积常用的方法:(1)直接法,若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的高,那么三角形的面积能直接用公式算出来。
(2)简单的组合,解决问题的途径常需要进行图形割补、等积变形等图形变换。
(3)面积不变同底等高或等底等高的转换,利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化。
(4)如图,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”. 可得出一种计算三角形面积的新方法:ah S ABC 21=∆,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
三、试题讲解过程如图,在平面直角坐标系中,抛物线c bx ax y ++=2C (0,-4)三点.(1)求该抛物线的解析式; (2)若点D 是该抛物线上一动点,且在第四象限,当∆面积最大时,求点D 的坐标.解:(1)解法一: 由题意得,c=-4, ∴⎩⎨⎧=-+=--0441604b a b a ,解得:⎩⎨⎧-==31b a , ∴=x y 解法二: 由题意得,设y=a (x+1)(x-4), ∴∴y=(x+1)(x-4), ∴432--=x x y ,(2)解法一:由(1)可知,y=x 2-3x -4,设点D 为(x, x 2-3x -4),过点D 作DE ∥OC 交BC 设直线BC 的解析式为y=kx +b,则∙∙∙⎩⎨⎧=+-=044b k b ,∴⎩⎨⎧-==41b k ,∴y=x -4, ∴E (x, x -4)∴DE=(x -4)-(x 2-3x -4)= -x 2+4x,∵a=-1<0, ∴当x=2时, DE 取最大值,S △BCD 解法二:由(1)可知,y=x 2-3x -4, 设点D 为(x,y ),过点D 作DF ⊥OB 于点F,S △BCD =S 梯形OCDF +S △BDF -S △OBC=21x (4-y )+21(-y )(4-x )-8 =2x -2y -8=2x -2(x 2-3x -4)-8=-2x 2+8x,∵a=-2<0, ∴当x=2时, S △BCD 取最大值,∴D (2,-6解法三:由(1)可知,y=x 2-3x -4, 过点D 作DE ∥设直线BC 的解析式为y=kx +b, 则⎩⎨⎧=+-=044b k b ,∴⎩⎨⎧-==41b k ,∴y=x -4,∴设直线DE 的解析式为y=x +d,则x 2-3x -4=x +d, x 2∴当△=(-4)2-4(-4-d )=0, d=-8, S △BCD 取最大值, ∴x 2-4x +4=0, ∴(x-2)2=0, ∴x 1=x 2=2, ∴D (2,-6). 四、试题的拓展延伸及变式分析如图,在平面直角坐标系中,抛物线c bx ax y ++=2C (0,3)三点.(1)若点D 是抛物线的对称轴上一点,当ACD ∆求点D 的坐标;(2)在(1)的情况下,抛物线上是否存在除点A 得PCD ∆ 的面积与ACD ∆P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵抛物线c bx ax y ++=2经过A (1,0),B (3∴抛物线的对称轴l 是x=231+=2, ∵△ACD 的周长=AD+AC+CD, AC 是定值, ∴当AD+CD 最小时,△ACD 的周长最小,∵点A 、点B 关于对称轴l 对称,∴连接BC 交l 于点D ,即点D 为所求的点, 设直线BC 的解析式为n kx y +=,∴ ⎩⎨⎧=+=033n k n ,∴⎩⎨⎧=-=31n k ,∴直线BC 的解析式为3+-=x y ,∙∙当x=2时,y=-x+3=-2+3=1,∴点D 的坐标是(2,1).(2)解:由(1)可知,∵抛物线c bx ax y ++=2经过A (1,0),B (3,0),C (0,3)三点,∴c=3, ∴⎩⎨⎧=++=++033903b a b a ,解得:⎩⎨⎧-==41b a ,∴342+-=x x y ,解法一:如图,①过点A 作AP 1∥CD 交抛物线于点P 1,∴设直线AP 1的解析式为d x y +-=, ∴∴d=1,∴直线AP 1的解析式为1+-=x y , 解方程1+-x =342+-x x ,(x-1)(x-2)∴x 1=1, x 2=2,当x 1=1时,11+-=x y =0当x 2=2时,12+-=x y =-1,∴点P 1②设直线AP 1交y 轴于点E (0,1)把直线BC 向上平移2个单位交抛物线于P 2得直线P 2P 3的解析式为5+-=x y ,解方程5+-x =342+-x x , x 2-3x -2=0,∴x 3=2173+, x 4=2173-, 当x 3=2173+时,53+-=x y =2177-, 当x 4=2173-时,54+-=x y =2177+, ∴点P 2的坐标是(2173+,2177-),点P 3的坐标是(2173-,2177+), 综上所述, 抛物线上存在点P 1(2,-1),P 2(2173+,2177-), P 3(2173-,2177+), 使得△PCD 的面积与△ACD 的面积相等. 解法二:如图,过A 点作AE∥y 轴,交BC 于点E .则E 点的纵坐标为231=+-.∴ AE=2. 设点P 为(n ,342+-n n ),过P 点作PF∥y 轴,交BC 于点F ,则点F 为(n ,n -3),PF∥AE. 若PF =AE ,则△PCD 与△ACD 的面积相等.∙∙①若P 点在直线BC 的下方,则PF =(n -3)-(342+-n n )=n 2-∴n n 32+-=2.解得21=n ,12=n .当2=n 时,3-n-2∴P 1点坐标为(2,-1). 同理 当1=n 时,P 点坐标为(1,0)(不合题意,舍去).②若P 点在直线BC 的上方,则PF=(342+-n n )-(n -3)=n n 32-∴232=-n n .解得21733+=n ,4=n 当21733+=n 时,P 点的纵坐标为2177221733-=++-; 当21734-=n 时,P 点的纵坐标为2177221733+=+--. ∴点P 2的坐标是(2173+,2177-),点P 3的坐标是(2173-,2177+), 综上所述, 抛物线上存在点P 1(2,-1),P 2(2173+,2177-), P 3(2173-,2177+), 使得△PCD 的面积与△ACD 的面积相等. 在以上问题的分析中研究思路为:(1)分析图形的成因;(2)识别图形的形状;(3)找出图形的计算方法。
解二次函数中三角形面积最值问题

的长度 和除直角外任 意一个角度 就可 以表示 出其余 的边
出N G 的 长 为一 ÷Ⅱ + 4 a . S △ ^ c Ⅳ = S △ M+ J s △ : ÷Ⅳ G ×
1 1
+ ÷Ⅳ G x C F : ÷N G × O C =一 + 1 0 a . 故当口 : ÷时三角
SA A O B 4 x2 + 1 ×2 ×4 一 1
一
上存在一点 Ⅳ, 使 △N A C的面积有最大值?若存在请 求出 此值 ; 若不存在请说 明理 由.
×4 ×4 =4.
一 y
| |
解析
2
设 Ⅳ点坐 标 为 ( n,
A D ;
/
~
a
一
。+ 4 ) , 。∈( o ’ 5 ) . 如 图所
使 AA B M 面积存 在 最 大值 ?若 存 在 , 求 出最 值 ; 若 不 存在, 说 明理 由. 解析 以A B作 为三角形的底 , 只要求 出高 的最大值 就 可以求出面积 的最值. 将直 线 A B平移 , 与抛 物线存 在 交 点时 , 两直线 的距 离就 是高 的 长度. 观察 图形 可 知 , 当 直线与抛物线相切 时有最大值 , 此 时切点即为 点. 直 线
2 0 1 6 年1 2 月第 3 5 期
数理化 解 题 研 究
解 二 次 函数 中 三 角 形 面积 最 值 问题
江 苏省镇 江 实验 学校 魅 力之 城 分校 ( 2 1 2 0 0 0 ) 王唯 一 ●
中图分类号 : G 6 3 2
一
文献标识码 : B
文章编号 : 1 0 0 8— 0 3 3 3 ( 2 0 1 6 ) 3 5— 0 0 0 9— 0 1
二次函数三角形面积最大值公式

二次函数三角形面积最大值公式二次函数三角形面积最大值公式是指在已知三角形两边和夹角的情况下,求出三角形面积最大值的公式。
这个公式在数学中有着广泛的应用,特别是在优化问题中经常出现。
首先,我们来看一下二次函数的基本形式:y=ax^2+bx+c。
其中,a、b、c都是常数,x是自变量,y是因变量。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
接下来,我们来考虑如何利用二次函数求解三角形面积最大值。
假设已知三角形两边的长度分别为a和b,夹角为θ。
我们可以将三角形分成两个直角三角形,其中一个直角三角形的底边长度为x,高为h1;另一个直角三角形的底边长度为a-x,高为h2。
由于两个直角三角形的高相等,所以h1=h2=h。
根据正弦定理,我们可以得到:a/sinθ=b/sin(π-θ)=(a-x)/sinθ化简后得到:x=a/2(1-cosθ)将x代入三角形面积公式S=1/2ab*sinθ中,得到:S=a^2sinθ/4(1-cosθ)将二次函数的基本形式代入上式中,得到:S=a^2/4(1-cosθ)×sinθ将sinθ和cosθ表示为自变量x的函数,得到:sinθ=2t/(1+t^2),cosθ=(1-t^2)/(1+t^2)其中,t=tan(θ/2)。
将sinθ和cosθ代入S的公式中,得到:S=a^2/4(1-t^2)/(1+t^2)×2t/(1+t^2)化简后得到:S=a^2t/(2(1+t^2))由于t=tan(θ/2),所以t的取值范围是(-∞,+∞)。
因此,S的最大值可以通过求解二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标来得到。
其中,a=a^2/2,b=0,c=0。
因此,顶点坐标为(x,y)=(0,a^2/4)。
将x=tan(θ/2)代入上式中,得到:S=a^2/8sin(θ/2)这就是二次函数三角形面积最大值公式。
通过这个公式,我们可以在已知三角形两边和夹角的情况下求出三角形面积的最大值。
二次函数与三角形面积问题

⼆次函数与三⾓形⾯积问题⼆次函数与三⾓形的⾯积问题【教案⽬标】1.能够根据⼆次函数中不同图形的特点选择合适的⽅法解答图形的⾯积。
2.通过观察、分析、概括、总结等⽅法了解⼆次函数⾯积问题的基本类型,并掌握⼆次函数中⾯积问题的相关计算,从⽽体会数形结合思想和转化思想在⼆次函数中的应⽤。
3.掌握利⽤⼆次函数的解读式求出相关点的坐标,从⽽得出相关线段的长度,利⽤割补⽅法求图形的⾯积。
【教案重点和难点】1.运⽤2铅垂⾼⽔平宽?=s;2.运⽤y;3.将不规则的图形分割成规则图形,从⽽便于求出图形的总⾯积。
【教案过程】类型⼀:三⾓形的某⼀条边在坐标轴上或者与坐标轴平⾏例1.已知:抛物线的顶点为D(1,-4),并经过点E(4,5),求:(1)抛物线解读式;(2)抛物线与x轴的交点A、B,与y轴交点C;(3)求下列图形的⾯积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
解题思路:求出函数解读式________________;写出下列点的坐标:A______;B_______;C_______;求出下列线段的长:AO________;BO________;AB________;OC_________。
求出下列图形的⾯积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
⼀般地,这类题⽬的做题步骤:1.求出⼆次函数的解读式;2.求出相关点的坐标;3.求出相关线段的长;4.选择合适⽅法求出图形的⾯积。
变式训练1.如图所⽰,已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ,B ()0,2x ()21x x <,与y 轴负半轴相交于点C ,若抛物线顶点P 的横坐标是1,A 、 B 两点间的距离为4,且△ABC 的⾯积为6。
(1)求点A 和B 的坐标;(2)求此抛物线的解读式;(3)求四边形ACPB 的⾯积。
类型⼆:三⾓形三边均不与坐标轴轴平⾏,做三⾓形的铅垂⾼。
(歪歪三⾓形拦腰来⼀⼑)关于2铅垂⾼⽔平宽?=S 的知识点:如图1,过△ABC 的三个顶点分别作出与⽔平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“⽔平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂⾼(h )”.我们可得出⼀种计算三⾓形⾯积的新⽅法:ah S ABC 21=?,即三⾓形⾯积等于⽔平宽与铅垂⾼乘积的⼀半.想⼀想:在直⾓坐标系中,⽔平宽如何求?铅垂⾼如何求?例2.如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解读式;(2)点P 是抛物线(在第⼀象限内)上的⼀个动点,连结P A ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂⾼CD 及CAB S ?;(3)是否存在⼀点P ,使S △P AB =89S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.解题思路:求出直线AB 的解读式是为了求出D .点的纵坐标.....D y ;铅垂⾼D C y y CD -=,注意线段的长度⾮负性;分析P 点在直线AB 的上⽅还是下⽅?图1图-2 xCOy ABD 1 1变式训练2.如图,在直⾓坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解读式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最⼩?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下⽅,那么△P AB 是否有最⼤⾯积?若有,求出此时P点的坐标及△P AB的最⼤⾯积;若没有,请说明理由.变式训练3.如图,抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3,0)两点,(1)求该抛物线的解读式;(2)设(1)中的抛物线交y 轴于C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得△QAC 的周长最⼩?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在(1)中的抛物线上的第⼆象限上是否存在⼀点P ,使△PBC 的⾯积最⼤?,若存在,求出点P 的坐标及△PBC 的⾯积最⼤值.若没有,请说明理由.⼀般地,①所谓的铅垂⾼度,实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值,数学表达式为DC y y CD -=。
二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法

数学篇纵观近年来各地中考数学试题,一类以二次函数为载体,探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识,并融合了许多数学方法,难度颇高.如何根据题目提供的信息,依据图形的变化特征,抓住解答问题的关键,从而化难为易,正确解题呢?对此,笔者介绍四种常用方法,希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中,当三角形任意一边均不在坐标轴上,或者不与坐标轴平行时,一般采用割补法求解.割补法分为两部分,割是指将图形分解成几部分分别求解;补是指将所求图形填上一部分,然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想,化为“线段(和)”最值问题,间接地求出图形面积的最值.例1如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y =x 2+2x -3交x 轴于点A ,B ,在y 轴上有一点E (0,1),连接AE .(1)求直线AE 的解析式;(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点,求△ADE面积的最大值.图1解:(1)∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1),∴当y =0时,x 1=-3,x 2=1,∴点A 的坐标为(-3,0),设直线AE 的解析式为y =kx +b ,∵过点A (-3,0),E (0,1),∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得:ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1;(2)如图1,过点D 作DG ⊥x 轴于点G ,延长DG 交AE 于点F ,设D (m ,m 2+2m -3),则F (m ,13m +1),∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4,∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924,∴当m =-56时,△ADE 的面积取得最大值为16924.二、铅垂法如图2,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h ).我们可以得出一种计算三角形面积的新方法:即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值,往往可以转化为求铅垂高的最值,当铅垂高取得最大值时,三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知:如图3,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?图3解:(1)∵抛物线过点B(6,0)、C(-2,0),∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2),将点A(0,6)代入,得:-12a=6,解得:a=-12,所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6;(2)如图3,过点P作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G,设直线AB解析式为y=kx+b,将点A(0,6)、B(6,0)代入,得:ìíîb=6,6k+b=0,解得:ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6,设P(t,-12t2+2t+6),其中0<t<6,则N(t,-t+6),所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t,所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272,所以当t=3,P位于(3,152)时,△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想,将三角形的一边作为三角形的底,只要求出高的最大值就可以求出面积的最值.将底边所在的直线平移,与抛物线只有一个交点,即相切时,两直线的距离即高的长度最大,然后将直线与抛物线的解析式联立方程组,求出切点的坐标,此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值.例3如图4,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x-4与x轴,y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A,B两点,且对称轴为直线x=-1,抛物线与x轴的另一交点为点C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设点E是抛物线上一动点,且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时,求点E的坐标,及△ABE面积的最大值S.图4解:(1)在y=-x-4中分别令x=0,y=0,可得点A(-4,0),B(0,-4),根据A,B坐标及对称轴为直线x=-1,可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得:ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4;(2)设点E的坐标为(m,12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远,此时E 点所在直线与AB 平行,且与抛物线相切,只有一个交点,设点E 所在直线为l :y =-x +b ,联立得方程组:ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ,得:12x 2+2x -4-b =0,据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0,解得b =-6,∴直线l 的解析式为y =-x -6,联立方程,得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得:ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4),过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ,此时点N (-2,-2),EN =-2-(-4)=2,∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4,△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题,三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中,只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数,就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式,求出三角形面积的解析式,利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5,已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A (-1,0),B (3,0)两点,且与y 轴交于点C .(1)求抛物线的表达式;(2)设抛物线交y 轴于点C ,在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ,使△PAC 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值;若不存在,请说明理由.图5解:(1)把A (-1,0),B (3,0)代入y =-x 2+bx +c ,可得,{-1+b +c =0,-9-3b +c =0,解得{b =-2,c =3,∴抛物线的解析式为:y =-x 2-2x +3.(2)如图5,作PE ⊥x 轴于点E ,交AC 于点F ,作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ,把B (-3,0)、C (0,3),代入得{-3m +n =0,n =3,解得{m =1,n =3,故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为(x ,-x 2-2x +3)(-3<x <0),则点F 的坐标为(x ,x +3).由A 、C 坐标可知,AC =32,S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时,-x 2-2x +3=154,即P (-32,154).所以存在一点P ,使△PAC 的面积最大,最大值为278,P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍,相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法,在二次函数的综合题中,再出现求图形面积的最值问题,就能轻松应对了.数苑纵横25。
二次函数之三角形面积最大值专题

432y 2+-=x x 1221y 2++-=x x =max y 21ah S ABC 21=∆专题一:二次函数与面积问题------类型1:三角形面积的最大值一、知识点睛1.点P 是抛物线 上一动点。
若设点P 的横坐标为m ,则点P 的纵坐标可表示为: ,∴点P 的坐标可表示为:2.如右图,AB ∥x 轴,BC ∥y 轴。
则线段BC= ,AB=故:“竖直方向”上的线段长 = —“水平方向”上的线段长 = —3.二次函数的一般式为: ,顶点式为: 例如:将 化为顶点式为: ,开口向 ,顶点坐标: ∴当x= 时,二、铅垂法(割补求面积) 坐标系中三角形面积公式:S= •一点引铅垂线段的长•另两点的水平宽锐角三角形中过点C 引的铅垂线 钝角三角形中过点C 引的铅垂线锐角三角形中过点B 引的铅垂线 ah S ABC 21=∆ 铅垂法的优点: 1.任何一点引铅垂线都可以 2.任何形状的三角形都适用 3.与三角形在第几象限无关 4.与三角形在不在坐标系无关 ah S ABC 21=∆三、典例讲解例1.已知二次函数62343y 2++-=x x 交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点C 。
点P 是第一象限抛物线上一动点。
连结BC ,BP 和CP 。
当△BCP 面积最大时,求P 点坐标。
四、小试牛刀例2.如图,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3)且其对称轴为直线x= -1(1)求此抛物线的解析式(2)若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点(不包括点A 点B )求△PAB 的面积最大值,并求出此时点P 的坐标。
五、能力提升1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线34383y 2--=x x 与x 轴交于点A(-2,0),B(4,0),与直线323y -=x 交于点C(0,-3),直线323y -=x 与x 轴交于点D ,点P 是抛物线上第四象限上的一个动点,连接PC ,PD 。
当△PCD 面积最大时,求点P 坐标.2. 如图,已知抛物线c bx ++-=2x y 过(1,4)与(4,-5)两点,且与一直线1x y +=相交于A,C 两点,(1)求该抛物线解析式.(2)求A,C 两点的坐标.(3)若P 是抛物线上位于直线AC.上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值.B C A O M N xy3.如图,抛物线经过A (-1,0)、B (3,0)、C (0,3)三点.(1)求抛物线的解析式.(2)点M 是直线BC 上方抛物线上的点(不与B 、C 重合),过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ,若点M 的横坐标为m ,请用含m 的代数式表示MN 的长.(3)在(2)的条件下,连接MB 、MC ,是否存在点M ,使四边形OBMC 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及最大面积;若不存在,说明理由.4.如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A (0, 4), B(1, 0), C(5, 0),其对称轴与x 轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴.(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ,使△PAB 的周长最小?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)连接AC,在直线AC 的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC 的面积最大?若存在,请求出点N 的坐标:若不存在,请说明理由.。
二次函数图像中的三角形面积最大值的探讨

二次函数图像中的三角形面积最大值的探讨呕心写于2018.03.11晚二次函数图像中的三角形面积最值问题,有一个奇妙的结论,如图,当点E线段A B的中点时,△P A B 的面积取最大值。
为了探讨这个结论是否成立,我们给出一个一般情况下的二次函数。
如图,若二次函数(﹥0)与直线交与A、B两点,点P为抛物线上的一动点,且在直线A B的下方,,交A B于E,当△P A B的面积最大时,点E是A B的中点吗?探讨如下:(1)先求A B的中点的横坐标。
∴线段A B中点的横坐标为.(2)再求△P A B的面积取最大值时的点P的横坐标。
过点P作,交A B于E,则得:,求△P A B面积的最大值,就是求线段P E的最大值。
设点P的横坐标为m,则∴当时,P E取到最大值。
由(1)(2)得,当△P A B的面积取最大值时,点P的横坐标与线段A B的横坐标相同,即点E是线段A B 中点时,△P A B的面积取到最大值。
对于二次函数的系数﹤0时,结论同理可证。
例.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(6,8),连接O A,将线段O A绕原地O逆时针旋转至x轴负半轴上,得到线段O B.(1)求点B的坐标;(2)求经过AOB三点的抛物线的解析式;(3)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在X轴的下方,△P A B是否有最大面积?若有,直接写出此时P点的坐标;若没有,请说明理由.解析:(1)易知B(-10,0)(2)(3)由点A(6,8)和点B(-10,0),可以得出线段A B中点的坐标为(-2,4)当利用上面的结论,对于这种问题直接求点的坐标可以迅速得解。
对于直接求点的坐标问题,或是直接求三角形面积最大值问题,可以使问题简单明了。
掌握了这个结论对于解题或检验自己解题是否正确有一定的作用。
练习:在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(−4,0),B(0,−4),C(2,0)三点。
(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△A M B的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值。
求二次函数之内接三角形求面积的方法

S CAB
1 32 2
3
(3)、假设存在符合条件的点 P,设 P 点的横坐标为 x,△PAB 的铅垂高为 h,
则 h y1 y2 (x2 2x 3) (x 3) x2 3x
9 由 S△ PAB= 8 S△ CAB
1 3 (x2 3x) 9 3
= 1 ������������ × ������������
2
AD 即为铅垂高,BF 即为 B 点与 C 点的水平宽。
明白了这个原理,让我们一起来看一下二次函数内接三角形求面积的题型。
例题 1:
如图 12-2,抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0),交 y 轴于点 B.
(1)求抛物线和直线 AB 的解析式;
设直线 AB 的解析式为: y2 kx b
由 y1 x2 2x 3求得 B 点的坐标为 (0,3)
y C
BDLeabharlann 1 O1x A图 12-2
把 A(3,0) , B(0,3) 代入 y2 kx b 中,解得: k 1,b 3 ,所以 y2 x 3 .
(2)、因为 C 点坐标为(1,4),所以当 x=1时,y1=4,y2=2,所以 CD=4-2=2 ,
向下的函数,所以把二次函数一般式化成顶点式即可求出面积的最大值。
讲了这么多,相信同学们已经跃跃欲试了,请自己动手做一下面这个习题↓↓↓
得: 2
8
化简得: 4x2 12x 9 0
|PE|即为铅垂高 h,h 等于 P,E 两点纵坐标之差
x 3 解得, 2
将
x
3 2
代入
y1
x2
二次函数动点三角形面积最值问题

当点CC在何处时SS△AAAAAA有最大值?1.铅垂高法做CCCC⊥ xx轴且交直线AABB于点D,设点CC坐标为(mm, aamm2+ bbmm+ cc),直线AB的解析式为gg(xx) = kkxx + qq,∴点D坐标为(mm, kkmm + qq),∴CC CC的长度为f(m) − g(m) = aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq, ∴SS△AA AAAA= SS△AAAAAA+ SS△AA AAAA= AAAA×(xx BB−xx AA),将CC CC为aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq代入,令(xx−xx) = ss,可2 AA AA得SS= (aamm2+bbmm+cc−kk mm−qq)×ss= aa ss mm2+(bb−kk)ss mm+ss(cc−qq),当aassmm2+ (bb−△AAAAAA 2 2kk)ssmm + ss(cc−qq)有最大值时,SS△AA AAAA有最大值.当m = −bb= −(bb−kk)ss= −bb−kk时, aassmm2 + (bb−kk)ssmm + ss(cc−qq)有最2aa2aass2aa大值, SS△AAAAAA有最大值.A A � A A A � A作直线l l 平行于直线AABB 且与f(x)只有一个交点C (即直线l 与ff (xx ) = aaxx 2 + bbxx + cc 相切),此时SS △AAAAAA 为最大值.∴ ff ′(xx ) =ff (xx AA ) − ff (xx A A ) = 2aaxx + bb xx AA − xx AA (aaxx 2 + bbxx AA + cc ) − (aaxx 2 + bbxx A A + cc ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx 2 − xx 2) + bb (xx AA − xx A A ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx AA + xx A A )(xx AA − xx A A ) + bb (xx AA − xx A A )⇒ xx AA − xx AA= 2aaxx + bb ⇒ aa (xx AA + x x AA ) + bb = 2aaxx + bb ⇒ xx = xx AA + xx AA 2 ∴当xx = xx BB +xx AA时, SS 有最大值. 2 △AAAAAA。
二次函数面积最值问题的4种解法

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解法二:铅锤定理,在求二次函数三角形面积最值问题,运用非常多。 设动点 P 的坐标,然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度,然后利用铅锤定理的 计算公式,得出二次函数,必有最大值。
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原 题 :在( 1)中 的 抛 物 线 上 的 第 二 象 限 是 否 存 在 一 点 P,使 △PBC 的 面 积 最 大 ? 若 存 在 , 求出 P 点的坐标及△PBC 的面积最大值,若没有,请说明理由。 考试题型,大多类似于此。求面积最大值的动点坐标,并求出面积最大值。 一般解题思路和步骤是,设动点 P 的坐标,然后用代数式表达各线段的长。通过公式计 算,得出二次函数顶点式,则坐标和最值,即出。
解法一:补形,割形法。方法要点是,把所求图像的面积适当的割补,转化成有利于面 积表达的常规几何图形。请看解题步骤。
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解 法 二 : 铅 锤 定 理 , 面 积 =铅 锤 高 度 ×水 平 宽 度 ÷2。 这 是 三 角 形 面 积 表 达 方 法 的 一 种 非 常 重要的定理。 铅锤定理,在教材上没有,但是大多数数学老师都会作为重点,在课堂上讲解。因为, 铅 锤 定 理 ,在 很 多 地 方 都 用 的 到 。这 里 ,也 有 铅 锤 定 理 的 简 单 推 导 ,建 议 大 家 认 真 体 会 。
解法四:三角函数法。请大家认真看上面的解题步骤。 总之,从以上的四种解法可以得出一个规律。过点 P 做辅助线,然后利用相关性质,找 出各元素之间的关系。 设动点 P 的坐标,然后找出各线段的代数式,再通过面积计算公式,得出二次函数顶点 式,求出三角形面积的最大值。 对于同学们中考数学来说,只要你熟练掌握解法一和解法二,那么二次函数几何综合题 中,求三角形面积最大值问题,就非常简单了。
二次函数中三角形面积问题的三种求解方法

二次函数中三角形面积问题的三种求解方法
二次函数中三角形面积问题的三种求解方法
求二次函数中三角形面积问题是一个常见的数学问题,很多学生和老师都有求解它的困惑。
那么,我们应该如何求解这个问题呢?答案是:有三种求解方法。
第一种求解方法是使用牛顿勒让公式进行计算。
牛顿勒让公式是一种高级数学方法,它试图用参数表示二次函数上的点,然后把它们连接起来从而确定三角形的面积。
第二种求解方法是使用初等函数进行计算。
初等函数是指利用函数的一阶导数或二阶导数计算函数的极值,进而求得存在的三角形的面积。
第三种求解方法是使用微积分中的定积分。
定积分是指将该函数在指定的范围内进行积分,解出积分值,从而得出三角形的面积。
通过以上三种方法,我们可以求出二次函数中三角形的面积。
其中,牛顿勒让公式是一种高级数学方法,初等函数是一种直接使用函数的导数,定积分是把函数分段积分的方法。
而这三种方法对求解二次函数中三角形面积问题都有用处,都可以取得精确而完整的结果。
二次函数与三角形最大面积的3种求法

二次函数与三角形最大面积的3种求法一.解答题(共7小题)1.(2012•广西)已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A(3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B、C的距离之和最小,并求出点D的坐标;(3)在第一象限的抛物线上,是否存在一点P,使得△ABP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.2.(2013•茂名)如图,抛物线与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,已知点B的坐标为(3,0).(1)求a的值和抛物线的顶点坐标;(2)分别连接AC、BC.在x轴下方的抛物线上求一点M,使△AMC与△ABC的面积相等;(3)设N是抛物线对称轴上的一个动点,d=|AN﹣CN|.探究:是否存在一点N,使d的值最大?若存在,请直接写出点N的坐标和d的最大值;若不存在,请简单说明理由.3.(2011•茂名)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线对称轴l与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴;(2)点P在抛物线上,且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标;(3)连接AC.探索:在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请你说明理由.第1页(共12页)4.(2012•黔西南州)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴;(2)设点P为抛物线(x>5)上的一点,若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标;(3)连接AC,探索:在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.5.(2013•新疆)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.6.(2009•江津区)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.7.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c经过点A(1,0),C(0,3),且对称轴为直线x=﹣1.(1)求二次函数的表达式;(2)在抛物线上是否存在点P,使△PAB得面积为10,请写出所有点P的坐标.二次函数与三角形最大面积的3种求法参考答案与试题解析,解得=1,解得(PN OA(y×(,(=((﹣+时,x=+2x+3=,∴(,,)﹣×﹣﹣﹣﹣﹣(()+∴顶点坐标为(﹣,x x+2,,解得y=y=×y=,解得x﹣于点,x+2﹣×(﹣的坐标为(﹣BC==,y=x x+4=(,==5t﹣﹣t+4,﹣t+4x+4﹣(t﹣﹣NG+NG OC=(﹣t),t=时,,t=,得:y=t+4=,﹣,y=(=﹣x+4=﹣==5t﹣﹣x+4,﹣x+4﹣(t﹣﹣NG+CE=OC=(﹣t),t=时,,t=,得:y=t+4=,﹣5.(2013•新疆),解得,解得联立,﹣x=,﹣=,,﹣,﹣1=×=,=3×,此时,﹣..((解得﹣BE PE+((﹣时,=时,﹣,))根据题意得:AB。
二次函数与三角形的面积问题

二次函数与三角形的面积问题【教学目标】1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。
2.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。
3.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段的长度,利用割补方法求图形的面积。
【教学重点和难点】1.运用2铅垂高水平宽⨯=s;2.运用y;3.将不规则的图形分割成规则图形,从而便于求出图形的总面积。
【教学过程】类型一:三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例1.已知:抛物线的顶点为D(1,-4),并经过点E(4,5),求:(1)抛物线解析式;(2)抛物线与x轴的交点A、B,与y轴交点C;(3)求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
解题思路:求出函数解析式________________;写出下列点的坐标:A______;B_______;C_______;求出下列线段的长:AO________;BO________;AB________;OC_________。
求出下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
一般地,这类题目的做题步骤:1.求出二次函数的解析式;2.求出相关点的坐标;3.求出相关线段的长;4.选择合适方法求出图形的面积。
变式训练1.如图所示,已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x , B ()0,2x ()21x x <,与y 轴负半轴相交于点C ,若抛物线顶点P 的横坐标是1,A 、 B 两点间的距离为4,且△ABC 的面积为6。
(1)求点A 和B 的坐标; (2)求此抛物线的解析式; (3)求四边形ACPB 的面积。
类型二:三角形三边均不与坐标轴轴平行,做三角形的铅垂高。
(歪歪三角形拦腰来一刀)关于2铅垂高水平宽⨯=∆S 的知识点:如图1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:ah S ABC 21=∆,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.想一想:在直角坐标系中,水平宽如何求?铅垂高如何求?例2.如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式;(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结P A ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆;(3)是否存在一点P ,使S △P AB =89S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.解题思路:求出直线AB 的解析式是为了求出D .点的纵坐标.....D y ; 铅垂高D C y y CD -=,注意线段的长度非负性;分析P 点在直线AB 的上方还是下方?xA BOCyPBC铅垂高水平宽 ha 图1图-2xCOy ABD 1 1变式训练2.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△P AB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△P AB的最大面积;若没有,请说明理由.变式训练3.如图,抛物线cbxxy++-=2与x轴交于A(1,0),B(- 3,0)两点,(1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?,若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有,请说明理由.一般地,①所谓的铅垂高度,实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值,数学表达式为DC y y CD-=。
二次函数与三角形的面积问题

二次函数与三角形的面积问题【教学目标】1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择适宜的方法解答图形的面积。
2.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的根本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。
3.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段的长度,利用割补方法求图形的面积。
【教学重点和难点】1.运用2铅垂高水平宽⨯=s;2.运用y;3.将不规那么的图形分割成规那么图形,从而便于求出图形的总面积。
【教学过程】类型一:三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例1.:抛物线的顶点为D〔1,-4〕,并经过点E〔4,5〕,求:〔1〕抛物线解析式;〔2〕抛物线与x轴的交点A、B,与y轴交点C;〔3〕求以下图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
解题思路:求出函数解析式________________;写出以下点的坐标:A______;B_______;C_______;求出以下线段的长:AO________;BO________;AB________;OC_________。
求出以下图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
一般地,这类题目的做题步骤:1.求出二次函数的解析式;2.求出相关点的坐标; 3.求出相关线段的长;4.选择适宜方法求出图形的面积。
变式训练1.如下图,抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x , B ()0,2x ()21x x <,与y 轴负半轴相交于点C ,假设抛物线顶点P 的横坐标是1,A 、 B 两点间的距离为4,且△ABC 的面积为6。
(1)求点A 和B 的坐标;(2)求此抛物线的解析式; 〔3〕求四边形ACPB 的面积。
类型二:三角形三边均不与坐标轴轴平行,做三角形的铅垂高。
〔歪歪三角形拦腰来一刀〕 关于2铅垂高水平宽⨯=∆S 的知识点:如图1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽〞(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )〞.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:ah S ABC 21=∆,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.想一想:在直角坐标系中,水平宽如何求?铅垂高如何求?例2.如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式;(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结P A ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆;(3)是否存在一点P ,使S △P AB =89S △CAB ,假设存在,求出P 点的坐标;假设不存在,请说明理由.解题思路:求出直线AB 的解析式是为了求出D .点的纵坐标.....D y ; 铅垂高D C y y CD -=,注意线段的长度非负性;分析P 点在直线AB 的上方还是下方?xA BOCyPBC铅垂高水平宽 ha 图1图-2xCOy ABD 1 1变式训练2.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为〔-2,0〕,连结OA,将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB.〔1〕求点B的坐标;〔2〕求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;〔3〕在〔2〕中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?假设存在,求出点C的坐标;假设不存在,请说明理由.〔4〕如果点P是〔2〕中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△P AB 是否有最大面积?假设有,求出此时P点的坐标及△P AB的最大面积;假设没有,请说明理由.变式训练3.如图,抛物线cbxxy++-=2与x轴交于A(1,0),B(- 3,0)两点,〔1〕求该抛物线的解析式;〔2〕设〔1〕中的抛物线交y 轴于C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得△QAC 的周长最小?假设存在,求出Q 点的坐标;假设不存在,请说明理由.〔3〕在〔1〕中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ,使△PBC 的面积最大?,假设存在,求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.假设没有,请说明理由.一般地,①所谓的铅垂高度,实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值,数学表达式为DC y y CD -=。
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二次函数与三角形最大面积的3种求法
一.解答题(共7小题)
1.(2012•广西)已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A(3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B、C的距离之和最小,并求出点D的坐标;
(3)在第一象限的抛物线上,是否存在一点P,使得△ABP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.(2013•茂名)如图,抛物线与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,已知点B的坐标
为(3,0).
(1)求a的值和抛物线的顶点坐标;
(2)分别连接AC、BC.在x轴下方的抛物线上求一点M,使△AMC与△ABC的面积相等;
(3)设N是抛物线对称轴上的一个动点,d=|AN﹣CN|.探究:是否存在一点N,使d的值最大?若存在,请直接写出点N的坐标和d的最大值;若不存在,请简单说明理由.
3.(2011•茂名)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线对称轴l与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)点P在抛物线上,且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标;
(3)连接AC.探索:在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请你说明理由.
4.(2012•黔西南州)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.
(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴;
(2)设点P为抛物线(x>5)上的一点,若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标;
(3)连接AC,探索:在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
5.(2013•新疆)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.
6.(2009•江津区)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.
7.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c经过点A(1,0),C(0,3),且对称轴为直线x=﹣1.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使△PAB得面积为10,请写出所有点P的坐标.
二次函数与三角形最大面积的3种求法
参考答案与试题解析
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