空间直线和平面复习总结.doc

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空间直线和平面

（一）知识结构

（二）平行与垂直关系的论证

1、线线、线面、面面平行关系的转化：

面面平行性质

//

a // b

a ,

b

a

, b

b

a

A

a // b

a

a b

A

a

, b b

a //

, b //

a //

//

公理 4

线面平行判定

面面平行判定 1

面面平行性质

线线∥

线面∥

面面∥

(a//b,b//c

线面平行性质

面面平行性质 1 // a//c)

a //

// //

a

a

//

b a //

a // b

2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

a , b

a b O

l a , l b a

l a

三垂线定理、逆定理线面垂直判定 1 面面垂直判定

PA , AO为 PO 线线⊥线面⊥面面⊥线面垂直定义面面垂直性质，推论 2

在内射影

l

a

a b a

则

a OA a PO

l a a, a b

a POa AO

a

a

面面垂直定义

l ，且二面角l

成直二面角

3.平行与垂直关系的转化：

a

a

a / /

b / /

b a

a

线面垂直判定 2 面面平行判定 2 线线∥线面⊥面面∥

线面垂直性质 2 面面平行性质 3

a

/ /

a / / b

b a

a

4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”

5.唯一性结论：

（三）空间中的角与距离

1.三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ： 0°＜θ ≤ 90°

（ 2）直线与平面所成的角：0°≤ θ ≤ 90°

（0 时， b∥或b）

（ 3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤ θ≤ 180°

2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”

即：（ 1）找出或作出有关的角；

（2）证明其符合定义；

（3）指出所求作的角；

（4）计算大小。

3.空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。

4.点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。

常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。

简单几何体：

（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）

侧棱都相等

侧面是平行四边形

对角面是平行四边形

性质

两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

S侧直截面周长侧棱长

V柱底面积高直截面面积侧棱长

（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）

V 锥1 S

底

3

h

定理：截面与底面平行

S截h12

则有 S底h 2

正棱锥的性质

侧棱都相等，侧面都是全等的等腰三角形

四个直角三角形（如上图）及元素之间的关系Rt SOB h l 2 R 2 h sin l sin Rt SOE h h 2 r 2 l 2 1 a2 r

4 cos

Rt SEB R l 2 h 2 r 2 1

a 2

a

4 2sin

180

n

Rt OEB

如图 S1、S2是两个平行截面且O 2O1

O1 O

则

S2 S

）S1 （与定比分点公式比较

1

概率与统计

（一）散型随机变量的分布列

p i

性质：

p 1

二项分布：

0 i 1，2，

p 2

1

~ B( n ， p) C n k p k q n k

b( k ， n ， p)， E np ， Dnpq (q 1 p)

x 1 x 2 x i

p

p 1

p 2

p i

若 a b

则

E

E(a b) aE b

D

D (a

b) a 2

D

期望： E

x 1p 1 x 2 p 2 x n p n

方差：

D

( x 1 E ) 2 p 1 ( x 2 E ) 2 p 2 ( x n E ) 2 p n

（二）抽样方法

简单随机抽样

系统抽样 分层抽样

【典型例题】

例 1. 如图，在四面体 ABCD 中作截面 EFG ，若 EG ， DC 的延长线交于 M ，FG 、 BC 的延长线交于 N ， EF 、 DB 的延长线交于 P ，求证 M 、 N 、 P 三点共线。

证明： 由已知，显然 M 、 N 、 P 在平面 EFG 上

又 M 、 N 、 P 分别在直线 DC 、 BC 、DB 上

故也在平面 BCD 上

即 M 、 N 、 P 是平面 BCD 与平面 EFG 的公共点∴它们必在这两个平面的交线上 根据公理 2. M 、 N 、 P 三点共线

例 2. 在棱长为 1 的正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中， M 、 N 分别是 A 1B 1 和 BB 1 的中点，那 么 AM 与 CM 所成角的余弦值为（

）

A.

3

B.

10

C.

3

D.

2

2

2

5

5

分析： 如图，取 AB 中点 E ， CC 1 中点 F

连结 B 1E 、 B 1F 、 EF

则 B 1E//AM ， B 1F//NC

∴∠ EB 1F 为 AM 与 CN 所成的角

又棱长为 1

B 1 E

5

，B 1F

5

，EF

6

2

2

2

B 1E 2

B 1F 2 EF 2

2 c o s EB 1F

5

2B 1 E B 1F

∴选 D

例 3. 已知直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，有下面四个命题：

① /l m

②

l / /m ③ l / / m

④l m

/ /

其中正确的两个命题是（

）

A. ①与②

B. ③与④

C. ②与④

D. ①与③

l

l

l m

①正确

对于①

/ /

m

分析：

l

对于②

a

，如图

/ l / /m

m

∴②错

l m

对于③③正确

l // m m

l

对于④ l m /// ，如图

m

∴④错

∴①③正确，选 D

例 4. 如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD ，PD=DC ， E 是 PC 的中点，作 EF⊥ PB 交 PB 于点 F。（ 1）证明 PA//面 EDB 。（ 2） PB⊥平面 EFD 。

证：（ 1）连 AC ，AC 交 BD 于 O，连 EO

∵底面 ABCD 是正方形

∴点O是AC中点

又 E为 PC中点

∴EO//PA

又EO面EDB，且PA面EDB

∴PA//面 EDB

（2）∵ PD⊥底面 ABCD

∴ BC⊥ PD

又BC DC且PD DC D

∴ BC⊥面 PDC∴BC⊥ DE

又 E 为等直角三角形中点

DE PC且 PC BC C

∴ DE⊥面 PBC∴ DE⊥ PB

又已知 EF PB且EF DE E

∴ PB⊥面 DEF

例 5. 正三棱柱ABC － A 1B 1C1中， AB 1⊥ BC1，求证： A 1C⊥ BC 1。

证明：设 E、 E1分别是 BC 、 B 1C1的中点，连AE ， A 1E1， B1E， E1C

则AE 面B1 BCC1，A1

E1 面B1 BCC1及EB1 / /E1C

AE 面 B1 BCC1 EB

1 BC1

E1C BC1 AB1 BC1

EB1 / /E1C

A1E1 A1 C BC1

面 B1 BCC1

注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。

例 6. 下列正方体中， l 是一条体对角线，M 、 N、 P 分别为其所在棱的中点，如何证明l

⊥面 MNP 。

（1）D1 P C1 （2）D1 C1 （3）D1 C1 M

A 1

B 1 A 1 B1 A 1 P1B

N

l

l N N

l

M

D C D C D C

P M

A B A B A B

分析：① l在侧面的射影显然与 MP、MN垂直

MP l，MN l l面MNP

②显然 l分别与 MN在底面上射影垂直及与 MP垂

直 l 面MNP

③如图，取棱 A 1A 、DC 、 B 1C1的中点，分别记为 E、 F、 G，显然 EMFNGP 为平面图

形，而 D1B 与该平面垂直

∴l⊥面 MNP

例7.如图，斜三棱柱 ABC A' B'C'中， AC' A' B，AA' AC 8， AB10，

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∠ACB=90 °，侧棱与底面成60°的角。

（1）求证：面 AA'C' C 面 ABC；

（ 2）求侧面 AA' B' B的面积。

分析：要证明面 AA'C'C 面 ABC，只要证明 BC 面AA'C' C，又 BC AC，只要证明 BC AC' ，故只要证明 AC' 平面 A' BC。

证明：（1）∵ AA' C'C为菱形AC' A'C

又AC' A' B AC' 面A'

BC AC' BC

又∠ ACB=90 °，即 AC ⊥BC

BC 面AA' C'C

又BC 面ABC 面 ABC 面AA'C' C （2）作 A' D AC于D

面AA'C'C 面 ABC，AC为交线

A' D面ABC

∠A'AD为侧棱AA 与底面成的角，即A∠'AC 60°过D作DE AB于E，连结 A' E，则 A' E AB

又 AD 8 cos60 4， A' D 8 sin 604 3

∴D为AC中点

在Rt ABC中

DE AD

DE 4 6 12

BC AB 10 5

A' E A' D2 DE 2 (4 3) 2 (12)2 8

21

5 5

S

平行四边形 A 'ABB '

AB

A' E

10

8

21 16 21

5

例 8. 已知 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=8 ， BC=6 ， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，沿

（ 1）C 到 A ’D 的距离； （ 2）D 到平面 A ’ BC 的距离；

（ 3）A ’D 与平面 A ’ BC 所成角的正弦值。

解：（ 1）∵二面角 A ’－ DE － B 是直二面角 又 A ’E⊥ ED ， CE ⊥ ED

∴ ED ⊥面 A ’ EC 及 EC ⊥面 A ’ ED 作 EF ⊥ A ’D 于 F ，连结 CF ，则 CF ⊥ A ’D

∴ CF 即为 C 点到直线 A ’D 的距离在 Rt △A ’ ED 中， EF · A ’ D=A ’E·ED

4 3 12 EF

5

5

FC

EF 2

EC 2

( 12 )2 4 2 4 34

5

5 （2） DE // BC ，BC

面A'BC ，DE / 面A' BC

∴ DE// 面 A ’ BC

∴ E 到面 A ’ BC 的距离即为 D 点到平面 A ’ BC 的距离

过 E 作 EM ⊥A ’C 于 M ∵ ED ⊥面 A ’ EC 又 BC//ED

∴ BC ⊥面 A ’ EC ∴ BC ⊥ EM ∴ EM ⊥面 A ’ BC

∴ EM 为E 点到平面 A' BC 的距离即为 D 点到面 A' BC 的距离且 EM = 2 2

或者用体积法：

由V

D A'BC

V

A' BCD

即 1

S A' BC h

1

S BCD A'E

3 3

S BCD A'E

1

BC CE A'E

2

2 2

h

1

S

A'BC

BC A'C

2

（ 3）设 A' D 与平面 A' BC 所成角为

又由（ 2）知 D 点到面 A' BC 的距离为 h 2 2及A ' D 5

h 2 2

s i n

5

A' D

如图，直三棱柱 ABC

A BC 中，∠ACB

°， AC

， CB

2

，侧棱 例 9.

1

1 1 90

1

AA 1 1，侧面 AA 1 B 1 B 的两条对角线交点为 D ， B 1 C 1 的中点为 M 。 （1）求证： CD 平面 BDM ；

（ 2）求面 B 1 BD 与面 CBD 所成二面角的大小。

（ 1）证明：

连结

CA 1

，则

CA

1

2

BC

又D 为A 1 B 中点 CD BD ①

易知AC 面BB 1C 1C

CB 1 是CD 在底面 BB 1C 1C 上射影

故只要 BM CB 1

设BM CB 1

E

在Rt CBB 和Rt BB M 中

CB

2 1 BB 1 1

1

BB 1

1

2 MB 1

又∠ CBB 1 ∠BB 1 M 90° 2

Rt CBB 1 ~ Rt BB 1 M

∠BCB 1 ∠B 1BM

又∠ B 1 BM ∠CBM 90°

∠BCB ∠CBM 90°

∠CEB 90°

1

BM CB 1

BM CD ②

由①②知 CD 面BDM

AB 1

2

1 2

（ 2）解：

3

B 1 D BD BB 1 1

即△ B 1 DB 为正三角形，取 BD 中点 F ，则 B 1 F BD

又取 BC 中点 N ，连结 NF

NF / / 1 CD

2

又CD BD

NF BD

∠NFB 1为所求二面角的平面角

又B 1N

2) 12 6

，CD

BC 2

BD 2

2

( 2 12

1

2

2

NF

1

，B 1F

3

2

2

在△ DCB 1中由余弦定理

1 )

2

3 ) 2 6 ) 2

FN 2

2

2

( (

( 3 cos ∠NFB 1

FB 1 NB 1

2

2 2

2 FN FB 1

3 3

2

2

2

3

所 求 二 面 角 为 a r c c o s

3

例 10. 将一颗骰子连续抛掷两次称为一次试验， 如果一次试验中两次抛掷的骰子所出现的点数之和大于 9 时，则称为这次试验成功。

（ 1）求一次试验成功的概率； （ 2）在试验成功的所有情况中，以表示两次抛掷的骰

子出现的点数和，求的概率分布列及数学期望。

解：（ 1）两次抛掷出现点数之和大于

9 的有（ 4，6），（ 5，5），（ 5，6），（ 6，4），（ 6，5），

（ 6， 6）

一次成功的概率为 p

6 1

6

6

6

（ 2）在成功的条件下， ξ =10 ， 11， 12

且P(

10)

3

1

，P( 11) 2 1

，P(

12) 1

6

2

6 3

6

∴ ξ 的概率分布列为

ξ 10

11 12

p

1 1 1

2

3

6

E

10 1 11 1 12 1

32

2 3 6

3

【模拟试题】

一. 选择题

1. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（

A. 成异面直线

B. 相交

C. 平行

D. 平行或相交

）

2.已知直线 a， b，平面，，

，有下列四个命题

① a / / ，a / / / / ；②//，/ / / ；

③ a ， a / / ；④ a ，b ， a / /b / /

其中正确的命题有（）

A. ①②③

B. ①②④

C. ②③④

D. 以上都不对

3.边长为 a 的正三角形 ABC 中， AD ⊥BC 于 D，沿 AD 折成二面角 B－ AD －C 后，BC 1 a

B －AD －

C 的大小为（

2 ，这时二面角）

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

4. 设 a，b 是两条异面直线，P 是 a，b 外的一点，则下列结论正确的是（）

A.过 P 有一条直线和 a， b 都平行

B.过 P 有一条直线和 a， b 都相交

C.过 P 有一条直线和 a， b 都垂直

D.过 P 有一个平面与 a， b 都平行

5.若 a，b 是异面直线，点 A 、B 在直线 a 上，点 C、D 在直线 b 上，且 AD=AC ，BD=BC ，则直线 a， b 所成的角为（）

A. 90°

B. 60°

C. 45°

D. 30°

二. 填空题

6. 设正方体ABCD A

1

B

1

C

1

D

1 的棱长为1，则

D C

A B

D1 C1

A1B1

（1）A 点到CD

1的距离为 _____________

（2）A 点到BD

1的距离为 _____________

（3）A 点到面BDD

1

B

1的距离为 _____________

（4）A 点到面A

1

BD

的距离为 _____________

（5）AA

1

与面BB

1

D

1

D

的距离为_____________

7.如图，正方形 ABCD 中， E、F 分别是BC、DC中点，现沿 AE 、AF 、 EF 把它折成一个四面体，使 B 、D 、C 三点重合于G，则V A GEF =_____________ 。

8. 把边长为 a 的正三角形

_________________。

ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，则点 A 到BC 的距离为

9.如图 PA⊥⊙ O 面， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上的一点， E、 F 分别是 A 在 PB、PC上的射影，给出下列结论：① AF ⊥ PB，② EF⊥ PB，③ AF ⊥ BC，④ AE ⊥平面 PBC，其中正确命题的序号是 _____________ 。

10. 平面平面，其交线为 l ，A

，B ，AB 与所成角为30°，则 AB 与α

所成角的取值范围是_____________ 。

三.解答题

11.四面体 ABCS 中， SB、SC、SA 两两垂直，∠ SBA=45 °，∠ SBC=60 °， M 为 AB 的中点。求：

（1）BC 与面 SAB 所成的角；

（2）SC 与平面 ABC 所成角的正弦值。

12. AB 为⊙ O 的直径， C 为弧 AB 上的一点（异于 A 、 B）， PA⊥平面 ABC 。（ 1）求证：面 PAC⊥面 PBC ；（2）若 AE ⊥PC 于 E，则面 AEB ⊥面 PBC， BE 为交线。

AB 1

AD

13. 在矩形 ABCD 中，已知2，E是AD的中点，沿BE将△ ABE折到△ A' BE 的位置，使 A' C A' D 。

（1）求证：平面A' BE平面 BCDE 。

（2）求A'C和面 BCD 所成角的大小。

14. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ ABC=90 °， SA ⊥面 ABCD ，

1 SA=AB=BC=1 ，

AD

2 。

（

I ）求 V S ABCD ；

（ II ）求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值。

15. 一个由 5 人组成的数学课外活动小组，其中 随机抽查 3 人。

2 名女生，

3 名男生，老师每天从

5 人中

（ 1）求一次抽查时， 2 名女生全被抽到的概率； （ 2）用

表示一周

5 天中， 2 名女生同时被抽查的次数，

求随机变量

的概率分布和它

的数学期望。

【试题答案】

一.1.C 2. C 3. C

4. C（当 P 点和直线 a 确定的平面与 b 平行时，则过P 点的直线与 a 不相交，∴ B 错，当 P 点在 a 或 b 上时， D 不成立）

5.A

（ 1）6，（）6，（）2 ，（

4 ）

3，（）

2

二. 6.

2 3

2 5 2

2 3 3

a 3

7. 24

15a

8.4

9.①②③

10.（ 0°， 60° ]

（如图∠ ABD ≥ 30°，∴ 90°－∠ BAD ≥ 30°

∴∠ BAD ≤ 60°∴ 0<∠ BAD≤ 60°）

三. 11. 解：（ 1）∵ SC⊥ SA ， SC⊥ SB

∴SC⊥面 SAB

∴SB 是 CB 在面 SAB 上的射影

∴∠ SBC 是直线 BC 与面 SAB 所成的角，且为60°

（2）连 SM ， CM ，则 SM⊥ AB （△ SAB 为等腰 Rt△）

∴AB ⊥面 CSM

设 SH⊥ CM 于 H，则 AB ⊥SH

∴SH⊥面 ABC

∴∠ SCH 为 SC 与平面 ABC 所成的角

设 SB=SA=a

SM 2

a， SC a tg60°3a

则2

CM( 3a)

2

( 2

a) 2 7 a

2

2

sin ∠ SCH

SM

7

CM 7

注：“垂线”是相对的， SC 是面 SAB 的垂线，却又是面 ABC 的斜线。

12. 证：（ 1）∵ PA ⊥面 ABC ， PC 在面 ABC 上射影为 AC 又 AB 为⊙O 直径 ∴ BC ⊥ AC ∴ BC ⊥ PC

∴ BC ⊥面 PAC 又 BC

面 PBC

∴面 PAC ⊥面 PBC

（ 2）由（ 1）知 BC ⊥面 PAC 又AE 面PAC

∴ BC ⊥ AE ，又 PC ⊥ AE

∴ AE ⊥面 PBC 又AE 面AEB ∴面 AEB ⊥面 PBC

或者：由（ 1）知面 PAC ⊥面 PBC ， PC 为交线 又 AE ⊥PC ∴AE ⊥面 PBC

又 AE

面 AEB

∴面 AEB ⊥面 PBC

注：线线垂直

线面垂直 面面垂直

13. （ 1）取 BE 中点 M ，CD 中点 N ，

连 A M ，MN ，A ' N ，M 、N 分别为中点

A' B A' E ，A'C

A' D

A' M BE ，A' N CD ，MN CD

CD 面A' MN CD A'M

又 BE 与 CD 不平行，必相交

A' M 面 BCDE

又A' M

面A' BE

面A' BE 面BCDE

（ 2）连结 MC ， ∵

A' M 面 BCDE

∴∠ A'CM 就是 A' C 与面 BCDE 所成的角

A' M

2 a

设 AB=a ，则

2

在 Rt MNC 中， MC

2

MN

2

NC

2

( 3

a) 2

( a

) 2 5 a 2

2

2

2

MC

10 a 2

2 a

5

在Rt A CM 中， tg ∠A CM

2

'

' 10 a

5

2

5 ∠ A' CM

arctg 5

14. 分析：易证 AD ⊥面 SAB

V S

1

SA S

ABCD

S

ABCD

1

3 ABC

( AD BC) AB

（ I ）

3

2

4

V S ABC

1 3 1 1

4

4

3

（ II ）延长 CD 、 BA 交于点 E 连结 SE ， SE 即为面 CSD 与面 BSA 的交线

又∵ DA ⊥面 SAB ∴过 A 作 AF ⊥SE 于F 连 FD ，则 DF ⊥ SE

∠ AFD 为二面角的平面角

又易知△ SAE 为等腰直角三角形，

F 为 SE 中点

AF

1

SE

2

SA

2

2 2 2

又AD

1

tan

AFD

AD 2 2 FA

2

p

C 22C 13 3

C 53 10

15. 解：（ 1） 2 名女生全被抽到的概率为

3

（ 2）某一天中 2 名女生全被抽到的概率为 10

3

7

1

则不全被抽到的概率为

10

10

的取值为0，2，3，4，5

则 P( k) C5k p k (1 p) 5 k（k=0，1，3，4，5），p 3

10

~ B(5，3

)E np 5 3 3

即10 ，10 2

【励志故事】

扛船赶路

一个青年背着一个大包裹千里迢迢跑来找无际大师，他说：“大师，我是那样的孤独、痛苦

和寂寞，长期的跋涉使我疲倦到极点；我的鞋子破了，荆棘割破双脚；手也受伤了，流

血不止；嗓子因为长久的呼喊而喑哑为什么我还不能找到心中的阳光？”

大师问：“你的大包裹里装的什么？”青年说：“它对我可重要了。里面是我每一次跌倒

时的痛苦，每一次受伤后的哭泣，每一次孤寂时的烦恼靠着它，我才能走到您这儿来。”

于是，无际大师带青年来到河边，他们坐船过了河。上岸后，大师说：“你扛了船赶路吧！”“什么，扛了船赶路？”青年很惊讶，“它那么沉，我扛得动吗？” “是的，孩子，你扛

不动它。”大师微微一笑，说：“过河时，船是有用的。但过了河，我们就要放下船赶路。否则，

它会变成我们的包袱。痛苦、孤独、寂寞、灾难、眼泪，这些对人生都是有用的，它能

使生命得到升华，但须臾不忘，就成了人生的包袱。放下它吧！孩子，生命不能太负重。”

青年放下包袱，继续赶路，他发觉自己的步子轻松而愉悦，比以前快得多。原来，生命

是可以不必如此沉重的。