空间直线和平面复习总结.doc
备战高考数学复习考点知识与题型讲解53---空间直线、平面的平行
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第53讲空间直线、平面的平行考向预测核心素养直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想．直观想象、逻辑推理一、知识梳理1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⎭⎬⎫l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎬⎫l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b[提醒] 三种平行关系的转化常用结论1．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 2．平行关系有关的性质(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(3)同一条直线与两个平行平面所成角相等．二、教材衍化1．(人A必修第二册P143习题8.5T1(1)改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：选D.因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．2．(人A必修第二册P142练习T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：选D.若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.3.(人A必修第二册P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．答案：平行四边形一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.( )(2)若直线l在平面α外，则l∥α.( )(3)若直线l∥b，直线b⊂α，则l∥α.( )(4)若直线l∥b，直线b⊂α，那么直线l平行于平面α内的无数条直线．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏1．(线面平行的概念理解不清致误)已知M是两条异面直线a，b外一点，则过点M 且与直线a，b都平行的平面( )A．有且只有一个 B.有两个C．没有或只有一个 D.有无数个解析：选C.过点M作直线a′∥a，过点M作直线b′∥b，则直线a′，b′确定平面α.当a，b都不在由a′，b′确定的平面α内时，过点M且与a，b都平行的平面有且只有一个；当a⊂α或b⊂α时，过点M且与a，b都平行的平面不存在．2.(多选)(判断平行关系条件不明致误)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是( )A．OM∥PDB.OM∥平面PCDC．OM∥平面PDAD.OM∥平面PBA解析：选ABC.对于A，由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OM∥PD，故正确；对于B，由于OM∥PD，OM⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，则OM∥平面PCD，故正确；对于C，由于OM∥PD，OM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，则OM∥平面PAD，故正确；对于D，由于M∈平面PAB，故错误．故选ABC.3．(线面平行性质不清致误)在三棱柱ABCA′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC 交于直线a，则直线a与直线A′B′的位置关系为________．解析：在三棱柱ABCA′B′C′中，A′B′∥AB，AB⊂平面ABC，A′B′⊄平面ABC，所以A′B′∥平面ABC.又A′B′⊂平面A′B′C，平面A′B′C∩平面ABC＝a，所以A′B′∥a.答案：平行4.(面面平行性质不清致误)如图，平面α∥平面β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________．解析：由结论知PC PA ＝CD AB ，所以AB ＝PA ×CD PC ＝5×12＝52.答案：52考点一 线面平行的判定与性质(多维探究)复习指导：以立体几何的定义和基本事实为出发点，认识和理解空间中直线与平面平行的有关性质与判定定理．角度1 直线与平面平行的判定如图所示，正方形ABCD 与正方形ABEF 所在的平面相交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP ＝DQ ，求证：PQ ∥平面BCE .【证明】 方法一：如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN ，因为正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，所以AE ＝BD ，又AP ＝DQ ，所以PE ＝QB ，又PM ∥AB ∥QN ，所以PM AB ＝PE AE ＝QB BD ＝QN DC ，所以PM AB ＝QNDC，又AB 綉DC ，所以PM 綉QN ，所以四边形PMNQ 为平行四边形，所以PQ∥MN，又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，所以PQ∥平面BCE.方法二：如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM，则PM∥平面BCE，因为PM∥BE，所以APPE＝AMMB，又AE＝BD，AP＝DQ，所以PE＝BQ，所以APPE＝DQBQ，所以AMMB＝DQQB，所以MQ∥AD，又AD∥BC，所以MQ∥BC，所以MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，所以平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ，所以PQ∥平面BCE.证明线面平行有两种常用方法一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．角度2 直线与平面平行的性质四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH.【证明】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，又M是PC的中点，所以AP∥OM.又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，所以PA∥平面BMD.又因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH.在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．|跟踪训练|如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m ∥AM ，所以l ∥m .考点二 面面平行的判定与性质(思维发散)复习指导：以立体几何的定义和基本事实为出发点，认识和理解空间中平面与平面平行的有关性质与判定定理．如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG . 【证明】 (1)因为G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，所以GH ∥B 1C 1，又B 1C 1∥BC ，所以GH ∥BC ，所以B ，C ，H ，G 四点共面． (2)在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点， 所以EF ∥BC ，因为EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， 所以EF ∥平面BCHG .又因为G ，E 分别为A 1B 1，AB 的中点，AB ＝A 1B 1， 所以A 1G 綉EB ，所以四边形A 1EBG 是平行四边形， 所以A 1E ∥GB .因为A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， 所以A 1E ∥平面BCHG . 又因为A 1E ∩EF ＝E ， 所以平面EFA 1∥平面BCHG .1．在本例条件下，若D 为BC 1的中点，求证：HD ∥平面A 1B 1BA . 证明：如图所示，连接HD ，A 1B ，BC 1， 因为D 为BC 1的中点，H 为A 1C 1的中点，所以HD ∥A 1B ， 又HD ⊄平面A 1B 1BA ，A 1B ⊂平面A 1B 1BA ， 所以HD ∥平面A 1B 1BA .2．在本例条件下，若D 1，D 分别为B 1C 1，BC 的中点，求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D . 证明：如图所示，连接A 1C 交AC 1于点M ，因为四边形A 1ACC 1是平行四边形， 所以M 是A 1C 的中点，连接MD ， 因为D 为BC 的中点， 所以A 1B ∥DM .因为A 1B ⊂平面A 1BD 1，DM ⊄平面A 1BD 1， 所以DM ∥平面A 1BD 1.又由三棱柱的性质知，D 1C 1綉BD ， 所以四边形BDC 1D 1为平行四边形， 所以DC 1∥BD 1.又DC 1⊄平面A 1BD 1，BD 1⊂平面A 1BD 1， 所以DC 1∥平面A 1BD 1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.|跟踪训练|(多选)(2022·菏泽市东明一中月考)已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为( )A．20 B.16C.12D.4解析：选AD.因为过P点的两条直线AC，BD确定的平面分别交α于A，B，交β于C，D，且平面α∥平面β，所以可得AB∥CD，分两种情况：当点P在两平行平面之外时，PAPC＝ABCD，则CD＝20；当点P在两平行平面之间时，得PC＝AC－AP＝3，APPC＝ABCD，则CD＝4.故选AD.考点三平行关系中的探索性问题(综合研析)复习指导：能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．如图，已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点． (1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC的值． 【解】(1)如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1， 连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形， 所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， 所以OD 1∥BC 1.又因为OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， 所以BC 1∥平面AB 1D 1. 所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 所以BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1. 因为A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD， 又因为A 1O OB ＝1，所以DC AD ＝1，即ADDC＝1.解决探索性问题的方法(1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．(2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”“只需使……成立”．|跟踪训练|如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为对角线BD ，CD 1上的点，且CQ QD 1＝BP PD ＝23. (1)求证：PQ ∥平面A 1D 1DA ； (2)若R 是AB 上的点，ARAB的值为多少时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA ？请给出证明． 解：(1)证明：连接CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，如图， 因为四边形ABCD 为正方形， 所以BC ∥AD ， 故△PBC ∽△PDM ， 所以CP PM ＝BP PD ＝23， 又因为CQ QD 1＝BP PD ＝23，所以CQ QD 1＝CP PM ＝23， 所以PQ ∥MD 1.又MD 1⊂平面A 1D 1DA ，PQ ⊄平面A 1D 1DA ，故PQ ∥平面A 1D 1DA .(2)当AR AB 的值为35时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA .如图， 证明如下：因为AR AB ＝35，即BR RA ＝23，故BR RA ＝BP PD . 所以PR ∥DA .又DA ⊂平面A 1D 1DA ，PR ⊄平面A 1D 1DA ， 所以PR ∥平面A 1D 1DA ， 又PQ ∩PR ＝P ，PQ ∥平面A 1D 1DA . 所以平面PQR ∥平面A 1D 1DA .[A 基础达标]1．下列命题中正确的是( )A ．若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，则b ∥α解析：选D.A 中，a ，b 可以在同一平面内；B 中，a 与α内的直线也可能异面；C 中，两平面可相交；D 中，由直线与平面平行的判定定理知b ∥α，正确．2．(2022·济南模拟)如图所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面 B.平行 C ．相交D.以上均有可能解析：选B.在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE，所以DE∥A1B1，所以DE∥AB.3.如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( ) A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能解析：选B.由题意得，因为MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，所以由直线与平面平行的性质定理可得，MN∥PA.4．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )A．0条 B.1条C．2条 D.1条或2条解析：选C.如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.因为EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD.又因为EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.所以CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条．5．(多选)(2022·济南质检)下列四个命题中正确的是( )A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行B．过直线外一点有无数个平面与这条直线平行C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行D．过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行解析：选BC.A.如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行或相交，故A错误；B.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，过这条直线有无数个平面与已知直线平行，故B正确；C.过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线在同一平面内，故C正确；D.过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行，当此点在其中一条直线上时平面最多只能与另一条直线平行，故D错误．6．在下面给出的条件中，若条件足够推出a∥α，则在横线上填“OK”；若条件不能保证推出a∥α，则请在横线上补足条件：(1)条件：a∥b，b∥c，c⊂α，________，结论：a∥α；(2)条件：α∩β＝b，a∥b，a⊂β，________，结论：a∥α.解析：(1)因为a∥b，b∥c，c⊂α，所以由直线与平面平行的判定定理得，当a⊄α时，a∥α.(2)因为α∩β＝b，a∥b，a⊂β，则由直线与平面平行的判定定理得a∥α.答案：(1)a⊄α(2)OK7.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长等于________．解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．故EF＝12AC＝ 2.答案： 28．(2022·西北师大附中高三模拟)设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．(填序号)解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．答案：①或③9.在如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.(1)要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系？并证明你的结论．解：(1)如图所示，过点P作B′C′的平行线，交A′B′，C′D′于点E，F，连接BE，CF.(2)EF∥平面ABCD.理由如下：因为BC∥平面A′B′C′D′，又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，所以BC∥B′C′，因为EF∥B′C′，所以EF∥BC，又因为EF⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.10.(2022·银川长庆高级中学模拟)如图，在四棱锥SABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC＝SA＝12BC＝2，点E，G分别在线段SA，AD上，且SE＝AE，AG＝GD，F为棱BC上一点，且CF＝1.证明：平面SCD∥平面EFG.证明：因为点E，G分别在线段SA，AD上，且SE＝AE，AG＝GD，故EG∥SD，又EG⊄平面SCD，SD⊂平面SCD，故EG∥平面SCD；因为∠ADC＝∠BCD＝90°，故AD∥BC，因为GD＝FC＝1，故四边形GDCF为平行四边形，故GF∥CD；又GF⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，故GF∥平面SCD，因为GF⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面SCD∥平面EFG.[B 综合应用]11．(2022·重庆联考)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且DEEB＝DFFD1＝12，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则CGCC1＝( ) A.12B.13C.23D .14 解析：选B.如图所示，延长AE 交CD 于H ，连接FH ，则△DEH ∽△BEA ，所以DH AB ＝DE EB ＝12.因为平面AEF ∥平面BD 1G ，平面AEF ∩平面CDD 1C 1＝FH ，平面BD 1G ∩平面CDD 1C 1＝D 1G ，所以FH ∥D 1G .又四边形CDD 1C 1是平行四边形，所以△DFH ∽△C 1GD 1，所以DF C 1G ＝DH C 1D 1，因为DH C 1D 1＝DH AB ＝12，所以DF C 1G ＝12，因为DF FD 1＝12，所以FD 1＝C 1G ，DF ＝CG ，所以CG CC 1＝13，故选B. 12．(多选)如图，在透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜程度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图(3)所示时，AE ·AH 为定值解析：选AD.根据棱柱的特征并结合题中图形易知A 正确．由题图可知水面EFGH 的边EF 的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B 错误．因为A 1C 1∥AC ，AC ⊂平面ABCD ，A 1C 1⊄平面ABCD ，所以A 1C 1∥平面ABCD ，当平面EFGH 不平行于平面ABCD 时，A 1C 1不平行于水面所在平面，故C 错误．当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH BFG 的体积V 为定值，又V ＝S △AEH ·AB ，高AB 不变，所以S △AEH 也不变，即AE ·AH 为定值，故D 正确．13．在三棱锥PABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝23AC＝2，FM＝EN＝13PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：814．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.解析：如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，PO∩PA＝P，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故当Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q为CC1的中点[C 素养提升]15.如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD 的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝________，ED与AF相交于点H，则GH＝________．解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，且AB＝CD.又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1.因为PA＝AB＝PB＝2，所以PE＝3，GH＝12PE＝32.答案：13 216.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1.(1)证明：平面ABF∥平面DCE；(2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上、下两部分的体积比为3∶5？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，21 / 21 所以DE ∥AF ，因为DE ⊂平面DCE ，AF ⊄平面DCE ，所以AF ∥平面DCE ，因为四边形ABCD 是正方形，AB ∥CD ，AB ⊄平面DCE ，CD ⊂平面DCE ，所以AB ∥平面DCE ，因为AB ∩AF ＝A ，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以平面ABF ∥平面DCE .(2)假设存在一点G ，过G 作MG ∥BF 交EC 于点M ，连接BG ，BM ，FG ，BD ，如图，由V ABCDEF ＝V B ADEF ＋V B CDE ＝13×3×（1＋3）×32＋13×3×3×32＝212， 设EG ＝t ，则V GFBME ＝V B EFG ＋V B EGM ＝212×38＝6316. 过点C 作BF 的平行线CN 交ED 于点N ，则△ABF ≌△DCN ，所以DN ＝1，因为MG ∥BF ，所以MG ∥CN .所以△EGM ∽△ENC .设M 到ED 的距离为h ，则h 3＝EM EC ＝EG EN ＝t 3－1，即h ＝32t ， 则S △EGM ＝12×t ×32t ＝34t 2， V GFBME ＝V B EFG ＋V B EGM ＝13×3×12×3×t ＋13×3×34t 2＝6316，即4t 2＋8t －21＝0，解得t ＝32或t ＝－72(舍)， 则存在点G ，当EG ＝32时， 即G 为ED 的中点，此时满足条件．。
高三第一轮复习 空间直线与平面的平行关系
空间直线与平面的平行关系【提纲挈领】主干知识归纳1． 直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理规律方法总结：1．平行问题中的转化关系2．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．【指点迷津】【类型一】线面平行、面面平行的基本问题【例1】有互不相同的直线m ，n ，l 和平面α，β，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若m ，n 是相交直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂α，n ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m. 其中真命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选B 由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l ′⊂α，m ′⊂α，使得l ∥l ′，m ∥m ′，∵m ，l 是异面直线，∴l ′与m ′是相交直线，又n ⊥l ，n ⊥m ，∴n ⊥l ′，n ⊥m ′，故n ⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件l ∥α，m ∥β，α∥β的直线m ，l 或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选B.【例2】过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1 平行的直线共有________条．解析：过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．答案：6【类型二】直线与平面平行的判定与性质【例2】如图，直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积． [解] (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF.因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD.由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB.又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D. 所以VC -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.思考：在本例条件下，线段BC 1上是否存在一点M 使得DM ∥平面A 1ACC 1？ 解：存在．当M 为BC 1的中点时成立． 证明如下：连接DM ，在△ABC 1中， D ，M 分别为AB ，BC 1的中点 ∵DM 綊12AC 1，又DM ⊄平面A 1ACC 1AC1⊂平面A1ACC1，∴DM∥平面A1ACC1.【类型三】平面与平面平行的判定与性质【例1】如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD -A1B1D1的体积．[解](1)证明：由题设知，BB1∥DD1且BB1=DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊆平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1∥B1C1∥BC且A1D1=B1C1=BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊆平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD -A1B1D1的高．又∵AO＝12AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1.又∵S△ABD＝12×2×2＝1，∴V ABD -A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.【例2】如图，在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF证明：∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE.∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF；又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1；又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.【例3】如图1,AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点，设Q 为PA 的中点，G 为ΔAOC 的重心，求证：QG//平面PBC解：如图2连接OG 交AC 于点E ，连接QE ∵点G 为ΔAOC 的重心 ∴点E 为AC 的中点 又点Q 为PA 的中点 ∴QE 为ΔPAC 的中位线 ∴QE ∥PCPBC PC PBC QE 平面，平面⊆⊄∴QE ∥平面PBC 同理OE ∥平面PBC 由E OEQE =⋂得平面QEO//平面PBCQEO QG 平面⊂∴QG//平面PBC【同步训练】【一级目标】基础巩固组1．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b. 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①不正确；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②不正确；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．2．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )E图2图1A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析：选C 对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行，故选C.3．(2014·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，则a ∥α，a ∥β，故排除A.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C.故选D.4．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题 ①⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ②⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ③⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a 其中正确的命题是( )A ．①②③B ．①④C ．②D ．①③④解析：选C ②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．5．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件______时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析：由平面HNF ∥平面B 1BDD 1知，当M 点满足在线段FH 上有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈线段FH6.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB.因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD.答案：平面ABC 、平面ABD7.（2016江苏．16，节选（1））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：⑴ 直线//DE 平面11A C F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11A C F ．解：,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线 //DE AC ∴又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴ 11//DE AC ∴又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄//DE ∴平面11A C F ；8. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点， 求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG . 证明：(1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC. ∴B ，C ，H ，G 四点共面． (2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC.∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG . ∵A 1G ∥EB 且A 1G ∥EB ∴四边形A 1EBG 是平行四边形． ∴A 1E ∥GB.∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG . ∴A 1E ∥平面BCHG . ∵A 1E ∩EF ＝E∴平面EFA 1∥平面BCHG .【二级目标】能力提升题组1．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线FEC BAC 1B 1A 1B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：选A当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.2．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是()A．①③B．②④C．①④D．②③解析：选C对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，不一定在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：选B由直线l与点P可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内，选B.4．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，则下列命题中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：选C由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝45°，故D正确；而AC＝BD不确定，故选C．5.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是()A．MC⊥ANB．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMND．平面DCM∥平面ABN解析：选C显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，作AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB⊂平面AMN ，MH ⊂平面AMN ，所以GB ∥平面AMN ，所以B 正确；因为AB ∥CD ，DM ∥BN ，且AB∩BN ＝B ，CD∩DM ＝D ，所以平面DCM ∥平面ABN ，所以D 正确．6．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有________． ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n.解析：若m ∥α，n ∥α，m ，n 可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m ∥α，m ∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，④正确．答案：④7．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO.解析：假设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥PA.连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，所以D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO.故Q 满足条件Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面PAO.答案：Q 为CC 1的中点8．设α，β，γ为三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ. 可以填入的条件有________．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n ∥β，m ⊂γ时，n 和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：①或③9．已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥C -MNB 的体积．解：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′， ∵四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，∴AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点， ∴MN ∥AC ′，又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′， ∴MN ∥平面A ′ACC ′. (2)由图可知V C -MNB ＝V M -BCN ，∵∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝22，又三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱，且AA ′＝4， ∴S △BCN ＝12×22×4＝4 2.∵A ′B ′＝A ′C ′＝2，∠B ′A ′C ′＝90°，点N 为B ′C ′的中点，∴A ′N ⊥B ′C ′，A ′N ＝ 2.又BB ′⊥平面A ′B ′C ′， ∴A ′N ⊥BB ′， ∴A ′N ⊥平面BCN. 又M 为A ′B 的中点， ∴M 到平面BCN 的距离为22， ∴V C -MNB ＝V M -BCN ＝13×42×22＝43.10．如图，在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB.过A作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA.证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB.因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC.同理EG ∥平面ABC.又EF ∩EG ＝E ， 所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC.因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC.又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB. 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA.【高考链接】1．（2016北京理．17），14分，节选（3）） 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.解：设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得λ=.因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-M .因为⊄BM平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅BM ，∵平面PCD 的一个法向量)2,2,1(-=n即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM .2．（2016新课标Ⅲ．文19，12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥地面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（I ）证明MN ∥平面PAB; （II ）求四面体N-BCM 的体积.【解析】 (1)取PB 中点Q ，连接AQ 、NQ ， ∵N 是PC 中点，NQ//BC ，且NQ=12BC ，又22313342AM AD BC BC ==⨯=，且//AM BC ， ∴//QN AM ，且QNAM=．∴AQNM是平行四边形．∴//MN AQ ．又MN ⊄平面PAB ，AQ ⊂平面PAB ，∴//MN平面PAB ．(2)由(1)//QN平面ABCD．∴1122N BCM Q BCM P BCM P BCA V V V V ----===．∴11142363N BCM ABCV PA S-∆=⨯⋅=⨯⨯=．。
7.3空间直线平面的平行课件高三数学一轮复习
训练1 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形 ACEF是矩形，M是线段EF的中点. (1)求证：AM∥平面BDE；
证明 如图，记AC与BD的交点为O，连接OE. 因为O，M分别为AC，EF的中点， 四边形ACEF是矩形， 所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE. 又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE.
(2)平面BDE∥平面MNG. 证明 因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点， 所以DE∥NG， 又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因为M为AB的中点，N为AD的中点， 所以MN为△ABD的中位线， 所以BD∥MN， 又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面BDE∥平面MNG.
行
图形表示
符号表示
a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α， b∥α⇒α∥β
两个平面平行，则其中一 性质 个平面内的直线__平__行__于
另一个平面
两个平面平行，如果另一 性质 个平面与这两个平面_相__交__， 定理 那么两条__交__线__平行
α∥β， a⊂α⇒a∥β
α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b
例 4 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝21AD，E，F，H 分别
为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点.
(1)求证：AP∥平面 BEF；
证明 如图，连接 EC，因为 AD∥BC，BC＝12AD， 所以BC∥AE，BC＝AE， 所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点. 又因为F是PC的中点，所以FO∥AP， 因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF， 所以AP∥平面BEF.
第03讲 空间直线、平面的平行 (精讲)(原卷版)-2023年高考数学一轮复习
第03讲空间直线、平面的平行(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定角度2：直线与平面平行的性质题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定角度2：平面与平面平行的性质题型三：平行关系的综合应用第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：直线与平面平行1、直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.2、直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述： a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭3、直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：a α，a β⊂，b αβ=⇒a b知识点二：平面与平面平行1、平面与平面平行的定义两个平面没有公共点2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.符号表述：βαααββ////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b a3、平面与平面平行的性质定理3.1性质定理两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.符号语言3.2性质 ////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面符号语言：,a a αβαβ⊂⇒1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．（1）若平面//α平面β，l ⊂平面β，m ⊂平面α，则lm ．( )（2）夹在两平行平面之间的平行线段相等．( )2．（2022·全国·高一课时练习）已知长方体ABCD A B C D ''''-，平面α平面ABCD EF =，平面α平面A B C D E F ''''''=，则EF 与E F ''的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．不确定3．（2022·全国·高一课时练习）在正方体1111F EFG E G H H -中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A ．平面11E FG 与平面1EGHB ．平面1FHG 与平面11F H GC ．平面11F H H 与平面1FHED ．平面11E HG 与平面1EH G4．（2022·全国·高一课时练习）若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A ．一定平行B ．一定相交C ．平行或相交D ．以上判断都不对5．（2022·全国·高一课时练习）直线//a 平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( )A ．至少有一条B ．至多有一条C ．有且只有一条D ．没有6．（2022·全国·高二课时练习）若平面//α平面β，直线a α⊂，则a与β的位置关系是____________．题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，2AC =，3BC =4AB =，12AA =，点D 是AB 的中点(1)求证：1//AC 平面1CDB ；(2)求直线1AC 与直线1CB 所成角的余弦值．例题2．（2022·四川凉山·高一期末（文））已知直三棱柱ABC A B C '''-中，AA C C ''为正方形，P ，O 分别为AC '，BC 的中点．(1)证明：PO ∥平面ABB A ''；(2)若ABC 是边长为2正三角形，求四面体B AOC '-的体积．.题型归类练1．（2022·四川成都·高一期末（理））在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面PAB ，点E ，F 分别在线段CB ，AP 上，且CE EB =，=AF FP ．(1)求证：//EF 平面PCD ；2．（2022·重庆市第七中学校高一期末）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，E 为线段11B C 的中点，F 为正方形11ACC A 对角线的交点．(1)求证：EF ∥面1B AC ；(2)求三棱锥111C B A C -的体积．3．（2022·河北石家庄·高一期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==90ACB ∠=︒．12AA =，D 为AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1B CD ；(2)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．4．（2022·四川南充·高二期末（文））如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，PD 的中点，且2PA AD ==．(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求三棱锥C PEF -的体积．角度2：直线与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD 为长方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，4=AD ，点E 、F 分别为AD 、PC 的中点．设平面PDC 平面PBE l =．(1)证明：//DF 平面PBE ；(2)证明：//DF l ；(3)求三棱锥P BDE -的体积．例题2．（2022·吉林·双辽市第一中学高三期末（文））如图，三棱锥P ABC -中，AC ，BC ，PC 两两垂直，AC BC =，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，ABC 的面积为8，四棱锥P ABFE -的体积为4.（1）若平面PEF 平面=PAB l ，求证：//EF l ；（2）求三棱锥P ABC -的表面积.题型归类练 1．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，AC 和BD 相交于点N ，面PAC ⊥面ABCD ，22BC AD ==，1CD =，6PA PC ==．(1)在线段PD 上确定一点M ，使得PB ∥面ACM ，求此时PM MD的值；2．（2022·安徽池州·高一期末）在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，BC ⊥平面VAB ，VA VB ⊥，设平面VAB 与平面VCD 的公共直线为l .(1)写出图中与l 平行的直线，并证明；3．（2022·全国·高三专题练习）刍（ch ú）甍（m éng ）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为长方形，//EF 平面ABCD ，ADE 和BCF △是全等的等边三角形.求证：EF∥DC ；4．（2022·全国·模拟预测（理））如图1，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，2BC DE EC ==，将DAE △沿AE 进行翻折，翻折后D 点到达P 点位置，且满足平面PAE ⊥平面ABCE ，如图2．(1)若点F 在棱PA 上，且EF ∥平面PBC ，求PF PA；5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB △为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且//SD 平面GAC .求证：G 为SB 的中点题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·北京延庆·高一期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别是1,A D BD 的中点.(1)求证：平面1A BD平面11CB D ； (2)求证：EF 平面11DCC D ；(3)求三棱锥1A BDA -的体积.例题2．（2022·山东山东·高一期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，12BC BB ==，点E ，F 分别为边1AA ，1DD 的中点.(1)求三棱锥1E A BC -的体积；(2)证明：平面1CFA ∥平面BDE .例题3．（2022·福建省福州第一中学高一期末）如图①，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -木块中，E 是1CC 的中点.(1)求四棱锥11E ABC D -的体积；(2)要经过点A 将该木块锯开，使截面平行于平面1BD E ，在该木块的表面应该怎样画线？（请在图②中作图，并写出画法，不必说明理由）.题型归类练1．（2022·甘肃武威·高一期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为线段1AC ，11A C 的中点．(1)求证：//EF 平面11BCC B ．(2)在线段1BC 上是否存在一点G ，使平面//EFG 平面11?ABB A 请说明理由．2．（2022·河南·模拟预测（文））如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是正方形，E ，F ，G 分别是棱1BB ，11B C ，1CC 的中点.(1)证明：平面1//A EF 平面1AD G ；(2)若点1A 在底面ABCD 的投影是四边形ABCD 的中心，124A A AB ==，求三棱锥11A AD G -的体积.3．（2022·湖南衡阳·高一期末）如图：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为2，E ，F 分别为DD 1，BB 1的中点.(1)求证：CF //平面A 1EC 1；(2)过点D 做正方体截面使其与平面A 1EC 1平行，请给以证明并求出该截面的面积.角度2：平面与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱111ABC A B C -中，（1）若,,,E F G H 分别是1111,,,AB AC A B A C 的中点，求证：平面1EFA //平面BCHG . （2）若点1,D D 分别是11,AC A C 上的点，且平面1//BC D 平面11AB D ，试求AD DC的值．例题2．（2022·辽宁锦州·高一期末）如图，已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，且4PA PB ==，2AB =，3AD =，O 为棱AB 的中点，点E 在棱AD上，且13AE AD =．(1)证明：CE PE ⊥；(2)在棱PB 上是否存在一点F 使OF ∥平面PEC ？若存在，请指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．题型归类练1．（2022·江苏·高一课时练习）在三棱柱111ABC A B C -中，点D 、1D 分别是AC 、11A C 上的点，且平面1//BC D 平面11AB D ，试求AD DC的值.2．（2022·河北省唐县第一中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF //CE ，BF ⊥BC ，BF ＜CE ，BF =2，AB =1，AD 5(1)求证：BC ⊥AF ；(2)求证：AF //平面DCE ；3．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，2PA PD ==，4AB =，1DC =，22AD BC ==(1)求四棱锥P ABCD -的体积；(2)在线段PA 上是否存在点M ，使得∥DM 平面PBC ？若存在，求PM AM的值；若不存在，请说明理由．4．（2022·河北·张北县第一中学高一阶段练习）如图所示正四棱锥S ABCD -，2,2SA SB SC SD AB =====P 为侧棱SD 上的点．且3SP PD =，求：(1)正四棱锥S ABCD -的表面积；(2)侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由．题型三：平行关系的综合应用典型例题例题1．（2022·江苏·高一课时练习）下列四个正方体中，A 、B 、C 为所在棱的中点，则能得出平面//ABC 平面DEF 的是（ ）A ．B ．C ．D ．例题2．（2022·安徽师范大学附属中学高一期中）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F ､分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面四边形11BCC B 内（不含边界）一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值是___________.例题3．（2022·江苏省姜堰第二中学高一阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11ADD A （包括边界）内运动，且//BP平面AMN ，则1PA 的长度范围为___．题型归类练1．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E F ､分别是棱1AA ､11A D 的中点，点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（ ）A ．2B 5C 6D ．222．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高二期末）在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，N 为BC 的中点．当点M 在平面DCC 1D 1内运动时，有MN //平面A 1BD 则线段MN 的最小值为（ ）A ．1B 6C 2D 33．（2022·湖南·株洲二中高一期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11(BCC B 包括边界)内运动．若1PA ∥平面AMN ，则1PA 的最小值是（ ）A ．1B 5C 32D 64．（2022·北京通州·高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，F 为正方体棱的中点，则满足条件直线//EF 平面1ACD 的点F 的个数是___________.5．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，E 为AD 的中点，F 在PA 上，AP =λAF ，若PC //平面BEF ，则λ的值为_________.6．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））在正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为11A B ，11B C ，11C A 的中点，2AB =，M 为BD 的中点，则下列说法正确的是______．①AF ，BE 为异面直线；②EM ∥平面ADF ；③若BE CF ⊥，则12AA =④若60BEC ∠=︒，则直线1A C 与平面11BCC B 所成的角为45°．1．（2022·全国·模拟预测（理））已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A ．26B ．27C ．42D ．62．（2022·全国·高考真题）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC⊥，E 是PB 的中点．OE平面PAC；(1)证明：//3．（2022·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，EAB FBC GCD HDA 包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，,,,均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．EF平面ABCD；(1)证明：//(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．4．（2022·宁夏中卫·三模（理））如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ，将AED 沿DE 翻折到A ED '，使A E BE '⊥，如图2．(1)求三棱锥C A BD -'的体积；(2)在线段A D '上是否存在一点F ，使EF ∥平面A BC '？若存在，求DFFA '的值；若不存在，说明理由．。
线面平行知识点总结
线面平行知识点总结一、线面平行的定义1. 线面平行是指在三维空间中，两条直线或者一个直线与一个平面的关系。
如果两条直线在同一个平面上且不相交，则它们是线面平行的；如果一条直线与一个平面平行，则它们是线面平行的。
2. 线面平行的判断方法：- 根据定义，两条直线在同一个平面上且不相交即为线线平行，可以通过观察二维平面投影来进行判断；- 通过向量的性质来判断，如果两条直线在同一个平面上且它们的方向向量平行，则它们是线线平行的；- 对于线面平行，直线的方向向量与平面的法向量平行。
3. 线面平行的特点：- 对于线线平行，它们在同一个平面上且不相交；- 对于线面平行，直线的方向向量与平面的法向量平行。
二、线面平行的应用1. 几何形状的判断- 在空间几何中，线面平行的概念常常用于判断几何形状的性质。
例如，在判断一个立方体的对角线是否在同一个平面上时，就可以利用线面平行的性质来进行推理。
2. 建模与设计- 在工程建模和设计中，线面平行的概念也有着重要的应用。
例如在建筑设计中，为了保证构件的安装与连接，需要考虑构件之间的线面平行关系，以确保各构件之间的准确配合。
三、线面平行的相关定理1. 平行线性质定理- 定理1：两条直线在同一个平面上且平行，则它们的方向向量成比例；- 定理2：如果一条直线与一个平面平行，则直线上的任意一点到平面的距离等于这个点到平面的法向量的点积的绝对值。
2. 平面平行性质定理- 定理1：如果两个平行的平面被交叉一条直线所截，则它们的法向量成比例；- 定理2：如果两个平面平行，那么它们的法向量成比例，且它们之间的距离是相等的。
3. 线面平行的性质定理- 定理1：如果一条直线与一个平面平行，则直线上的任意一点到平面的距离等于这个点到平面的法向量的点积的绝对值；- 定理2：如果一条直线与一个平面平行，并且与这个平面内的直线相交，则这两条直线的夹角等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角。
四、线面平行的相关问题1. 直线在平面内的投影问题- 给定一个直线和一个平面，在平面上求直线的投影。
点线面关系知识总结和练习题
//a α//a b点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂2.性质定理：//a a bαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= //αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥ //αβ; ////a γβγ//αβ 2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法 ① 用定义.//a b a b αα⊄⊂//a α//a b//a b ② 判定定理:a ba cb c A b c αα⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥③ 推论://a a bα⊥ b α⊥ （3）性质 ①a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥ αβ⊥ （3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥② l P P A A αβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈④ l P PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥ PA α⊂“转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
空间直线和平面 概念整理
空间直线和平面概念整理1.空间直线、平面这一章节有哪几个章节组成？（1）平面直线；（2）空间两直线；（3）直线与直线平行，平面与平面平行；（4）直线与平面相交，平面与平面相交2.空间两直线位置关系有哪几种？（1）相交；（2）平行；（3）异面3.空间直线与平面的位置关系卫？（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交（包括垂直）；（3）直线与平面平行4.空间两平面位置关系？（1）平行；（2）相交（包括垂直）5.平面的概念中有哪几个公理？公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面内有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共线。
公理3：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面（也称确定一个平面）。
推论1：经过直线与直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
6.什么是等角定理？如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，则这两组直线所交的锐角（或直角）相等。
7.异面直线如何定义？什么是异面直线所成角？什么是两条异面直线互相垂直？（1）不同在任何一平面内的两条直线，叫做异面直线。
（2）经过空间任意一点，作两条异面直线的平行线，这两条平行直线所成的锐角（或直角）就称异面直线的所成角。
90，则称这两条异面直线互相垂直。
（3）若两条异面直线的所成角为8.直线与平面平行的判定（1）定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称直线与平面平行。
（2）判定：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（线线平行，面面平行）9.直线与平面平行的性质：定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（线面平行，线线平行）10.平面与平面平行的判定：（1）定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行。
空间直线和平面复习总结
空间直线和平面（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥(a//b,b//c a//c)αβαγβγ//,// ==⇒⎫⎬⎭a b a b面面平行性质 线面平行性质a ab a b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪ 面面平行性质1αβαβ////a a ⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：面面垂直判定面面垂直定义αβαβαβ=--⇒⊥⎫⎬⎭l l，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：面面∥面面平行判定2面面平行性质3a bab//⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααaba b⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//aa⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//aa⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
”5. 唯一性结论：（三）空间中的角与距离1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=︒⊂0b b（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。
4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。
常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。
简单几何体：（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）性质侧棱都相等侧面是平行四边形对角面是平行四边形两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形直截面周长侧棱长底面积高直截面面积侧棱长侧柱S V =⨯=⨯=⨯⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）hS 31V ⋅=底锥定理：截面与底面平行则有221h h S S =底截正棱锥的性质⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆=+=-=∆α=+=+=∆θ=α=-=∆OEB Rt n 180sin2a a 41r h l R SEB Rt cos r a 41l r h h SOE Rt sin l sin h R l h SOB Rt 2222222222图）及元素之间的关系四个直角三角形（如上全等的等腰三角形侧棱都相等，侧面都是O O OO S S 11221=λ是两个平行截面且、如图）（与定比分点公式比较则λ+λ+=1SS S 21概率与统计（一）散型随机变量的分布列性质：⎩⎨⎧=++=≥1p p 21i 0p 21i ，，二项分布：)p 1q (npq D np E )p n k (b q p C )p n (B ~kn k k n -==ξ=ξ=⋅ξ-，，，，，若b a +ξ=η则b aE )b a (E E +ξ=+ξ=ηξ-=+ξ=ηD a )b a (D D 2期望： ++++=ξn n 2211p x p x p x E方差： +ξ-++ξ-+ξ-=ξn 2n 222121p )E x (p )E x (p )E x (D（二）抽样方法⎪⎩⎪⎨⎧分层抽样系统抽样简单随机抽样【典型例题】例1. 如图，在四面体ABCD 中作截面EFG ，若EG ，DC 的延长线交于M ，FG 、BC 的延长线交于N ，EF 、DB 的延长线交于P ，求证M 、N 、P 三点共线。
高考数学知识点：空间点、直线、平面的位置关系知识点总结
高考数学知识点：空间点、直线、平面的位置关系知识点总
结
1、平面
(1)平面概念的理解
直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分．
抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄．
(2)平面的表示法
①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面．
②字母表示：常用等希腊字母表示平面．
(3)涉及本部分内容的符号表示有：
①点A在直线l内，记作；②点A不在直线l内，记作；
③点A在平面内，记作；④点A不在平面内，记作；
⑤直线l在平面内，记作；⑥直线l不在平面内，记作；
注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系．
(4)平面的基本性质
公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．
符号表示为：．
注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
符号表示为：直线AB存在唯一的平面，使得．
注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面．。
空间几何中的直线和平面知识点总结
空间几何中的直线和平面知识点总结直线和平面是空间几何中最基本的几何元素，它们在解决几何问题和应用数学中起到了重要的作用。
本文将对直线和平面的相关知识点进行总结，以便读者更好地理解和应用。
1. 直线的定义和性质直线是由无数个点组成的，它没有长度、宽度和厚度，可以看作是无限延伸的。
直线可以用两点确定，也可以通过斜率和截距的方式表示。
直线具有以下性质：- 直线上的任意两点可以确定一条直线。
- 直线上的任意一点与直线上的任意一点之间的距离是固定的。
- 直线上的相邻两点之间的线段是直线的一部分。
2. 平面的定义和性质平面是由无数个点组成的，它没有厚度，可以看作是无限延伸的。
平面可以用三个不共线的点确定，也可以通过法向量和过点的方式表示。
平面具有以下性质：- 平面上的任意三点不共线，可以确定一个平面。
- 平面上的任意一点与平面上的任意一点之间的距离是固定的。
- 平面上的任意两点之间的线段都在平面内。
3. 直线与平面的关系平面可以与直线相交、平行或重合：- 如果直线与平面相交于一点，则该点同时在直线和平面上。
- 如果直线与平面平行，则直线与平面没有公共点。
- 如果直线在平面上，则直线上所有的点都在平面上。
4. 平行线和垂直线直线之间的关系可以分为平行和垂直：- 如果两条直线在平面上没有公共点，它们互为平行线。
- 如果两条直线的斜率是互为倒数的关系，它们互为垂直线。
- 如果两条直线的斜率相同，但它们不重合，则可以判断它们既不平行也不垂直。
5. 平面之间的关系平面之间的关系可以分为平行和垂直：- 如果两个平面没有公共点，它们互为平行平面。
- 如果两个平面的法向量互为垂直关系，它们互为垂直平面。
6. 直线和平面的交点直线与平面相交于一点，可以使用解方程或者向量的方法求出交点的坐标。
如果直线与平面平行或重合，它们没有交点。
7. 斜线和斜面如果直线不在平面上，即使两者存在交点，也不构成斜线和斜面的关系。
斜线和斜面的定义如下：- 斜线：直线在空间中的投影线与平面的交点为一点。
空间几何体知识点总结
空间几何体知识点总结一、点、线、面1. 点：点是空间的基本要素，没有长、宽、高，只有位置，用字母表示，如A、B、C等。
2. 线：由无限多个点组成的集合，是一种没有宽度只有方向的图形，分为直线和曲线两种。
- 直线：不含任何弯曲的线段，用两个点表示。
- 曲线：含有至少一段弯曲的线段。
3. 面：是由无限多个线组成的集合，是一种有长和宽但没有高度的图形，可以分为平面和曲面两种。
- 平面：没有限定的表面，如白纸的一面。
- 曲面：有曲度且没有边界的平面，常见的如球面、圆柱面等。
二、多面体1. 三棱锥和四棱锥：三棱锥和四棱锥是由底面和三个（四个）三角形面组成的几何体，具有尖顶和底部的多面体，如金字塔就是一种三棱锥。
2. 正多面体：正多面体是每个面都是正多边形的多面体，常见的有正立体角、正方体和正十二面体等。
3. 钝角多面体：钝角多面体是有一些面是钝角形的多面体，常见的有十二面体和二十面体等。
三、棱柱和棱台1. 棱柱：棱柱是以一个多边形为底面，侧面为平行四边形的几何体，根据底面形状的不同，可以分为三棱柱、四棱柱等。
2. 棱台：棱台是以一个多边形为底面，上下底面平行且相等的多面体，也根据底面形状的不同可以分为三棱台、四棱台等。
四、球面1. 球：球是一种特殊的曲面，就是一个没有边界、厚度的曲面，是由所有到一个给定点（球心）距离不大于给定半径的点的集合组成。
2. 球面积和体积：球面积和体积的计算公式分别是4πr^2和(4/3)πr^3，其中r为球的半径。
五、坐标系1. 直角坐标系：直角坐标系是用坐标轴构成的平面直角坐标系，通常用x、y轴表示，原点为坐标轴的交点，可以表示二维平面上的点。
2. 三维坐标系：三维坐标系是在直角坐标系的基础上加上z轴，表示三维空间内的点。
六、平行线、平行面、垂直线1. 平行线：平行线是两条直线在同一个平面内，且没有交点的直线。
2. 平行面：平行面是在三维空间内没有交点的两个平面。
3. 垂直线：垂直线是两条直线的夹角为90°，表示两条线在空间的相互关系。
直线与平面投影知识点总结
直线与平面投影知识点总结在几何学中，直线与平面的投影是一个重要的概念。
它们常常出现在三维空间的几何关系中，同时也在工程学、物理学等领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将主要介绍直线与平面的投影的基本概念、性质和应用。
一、直线的投影：1. 直线的投影定义：在三维空间中，如果一个直线与一个平面相交，那么这条直线在这个平面上的投影就是直线在该平面上的影子。
投影是一个向量，它的方向是垂直于平面，并且与直线平行。
投影的长度等于直线在该方向上的投影长度。
2. 直线的投影性质：（1）如果平行于平面的直线在平面上的投影为一线段，则该线段的中垂线必然在平面上。
（2）如果垂直于平面的直线在平面上的投影是一个点，则该点在平面上。
（3）直线在平面上的投影长度等于直线在法向量方向上的投影长度。
3. 直线的投影应用：（1）在工程制图中，需要将三维物体的投影绘制在二维平面上，这就涉及到了直线的投影。
（2）在几何学中，研究直线在平面上的投影可以帮助我们理解平行与垂直关系。
二、平面的投影：1. 平面的投影定义：在三维空间中，如果一个平面与一个平面相交，那么这个平面在另一个平面上的投影就是该平面在另一个平面上的影子。
平面的投影通常是一个多边形。
2. 平面的投影性质：（1）如果平行于平面的平面在另一个平面上的投影是一个多边形，则该多边形的边界一定是一个多边形的投影。
（2）如果垂直于平面的平面在另一个平面上的投影是一个点，则该点在另一个平面上。
3. 平面的投影应用：（1）在工程制图中，需要将三维物体的投影绘制在二维平面上，这就涉及到了平面的投影。
（2）在建筑设计中，考虑到平面的投影会对建筑物的外观和结构有着重要的影响。
三、直线与平面的投影：1. 直线与平面的投影定义：在三维空间中，如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线在这个平面上的投影就是直线在该平面上的影子。
同样地，如果一个平面与一个平面相交，那么这个平面在另一个平面上的投影就是该平面在另一个平面上的影子。
高考数学复习空间点、直线、平面之间的位置关系
第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲考向预测借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解公理1～4及其相关定理.命题趋势主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，主要以选择题和填空题的形式出现，主要为中低档题.核心素养 直观想象、逻辑推理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎥⎤0，π2．(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线和平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内a⊂α有无数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α没有公共点直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．常见误区1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线即不平行，也不相交．2．在判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在平面内”．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.()(2)三点A，B，C确定一个平面．()(3)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．()(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.()(5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行解析：选ABC.依题意，m∩α＝A，n⊂α，所以m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选 D.两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.4．(易错题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD 的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求角，又B1D1＝B1C ＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°5．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA 的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．解析：(1)因为四边形EFGH为菱形，所以EF＝EH，故AC＝BD.(2)因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH，因为EF綊12AC，EH綊12BD，所以AC＝BD且AC⊥BD.答案：(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD平面的基本性质如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D中，E，F分别是AB和AA1的中点，求证：E，C，D1，F四点共面．【证明】如图所示，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝12A1B.又因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF与CD1确定一个平面α，所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．【引申探究】(变问法)若本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？证明：如图，由本例知EF∥CD1，且EF＝12CD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE且P∈D1F，又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线交于一点．共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． [提醒] 点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．1.(多选)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是( )A ．C 1，M ，O 三点共线B ．C 1，M ，O ，C 四点共面 C ．C 1，O ，A 1，M 四点共面D ．D 1，D ，O ，M 四点共面解析：选ABC.连接A 1C 1，AC ，则AC ∩BD ＝O ，又A 1C ∩平面C 1BD ＝M ，所以三点C 1，M ，O 在平面C 1BD 与平面ACC 1A 1的交线上，所以C 1，M ，O 三点共线，所以选项A ，B ，C 均正确，选项D 错误．2．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明：(1)因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD .在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，所以GH ∥BD ，所以EF ∥GH ，所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC .所以P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．空间两直线的位置关系(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN，因为△CDE 是正三角形，所以EF⊥CD.设CD＝2，则EF＝ 3.因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD＝22，NF＝1，BC⊥CD.因为平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝22，所以在等腰三角形BDE中，BM＝7，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直线．故选B.【答案】 B1．已知a，b是异面直线，A，B是a上的两点，C，D是b上的两点，M，N分别是线段AC，BD的中点，则MN和a的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选A.若MN与AB平行或相交，则MN与AB共面，设该平面为α.因为C∈直线AM，D∈直线BN，所以C∈α，D∈α，所以b⊂α.又因为A∈α，B ∈α，所以a⊂α.这与a，b异面矛盾．故选A.2．(多选)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C 的中点，下列说法正确的有()A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线解析：选CD.因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故A错；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN 与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确，故选CD.异面直线所成的角(1)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB 的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．【解析】(1)取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.(2)如图，取BC的中点O，连接OE，OF，因为OE∥AC，OF∥BD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ， EF ＝2EM ＝2×34＝32. 【答案】 (1)2 (2)12或32平移法求异面直线所成角的步骤具体步骤如下：1．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C.如图，可补成一个正方体，所以AC 1∥BD 1.所以BA 1与AC 1所成的角为∠A 1BD 1.又易知△A1BD1为正三角形．所以∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1所成的角为60°.2．(2021·济南市学习质量评估)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为________．解析：如图，连接DE交FC于点O，取BE的中点G，连接OG，CG，则OG∥BD且OG＝12BD，所以∠COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角．设正方形ABCD的边长为2，则CE＝BE＝1，CF＝DE＝CD2＋CE2＝5，所以CO＝12CF＝52.易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，所以BD＝DE2＋BE2＝6，所以OG＝12BD＝62.易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，又GE＝12BE＝12，所以CG＝CE2＋GE2＝52.在△COG中，由余弦定理得，cos∠COG＝OC2＋OG2－CG22OC·OG＝⎝⎛⎭⎪⎫522＋⎝⎛⎭⎪⎫622－⎝⎛⎭⎪⎫5222×52×62＝3010，所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为30 10.答案：3010[A级基础练]1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：选D.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D.2．(多选)下列命题正确的是()A．梯形一定是平面图形B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行C．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合解析：选AC.对于A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故A正确；对于B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，故B错误；对于C，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故C正确；对于D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误．3．(2021·安徽蚌埠第二中学期中)在四面体ABCD中，点E，F，G，H分别在直线AD，AB，CD，BC上，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定() A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对解析：选A.直线EF和GH相交，设其交点为M.因为EF⊂平面ABD，HG ⊂平面CBD，所以M∈平面ABD且M∈平面CBD.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以M∈BD，所以EF与HG的交点在直线BD上．故选A.4．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°解析：选C.由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．6．已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC ∥A ′C ′，所以MN ∥A ′C ′.答案：平行7．(2020·高考全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P -ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝________．解析：依题意得，AE ＝AD ＝3，在△AEC 中，AC ＝1，∠CAE ＝30°，由余弦定理得EC 2＝AE 2＋AC 2－2AE ·AC cos ∠EAC ＝3＋1－23cos 30°＝1，所以EC ＝1，所以CF ＝EC ＝1.又BC ＝AC 2＋AB 2＝1＋3＝2，BF ＝BD ＝AD 2＋AB 2＝6，所以在△BCF 中，由余弦定理得cos ∠FCB ＝BC 2＋CF 2－BF 22BC ×CF ＝22＋12－（6）22×2×1＝－14. 答案：－148．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________．解析：如图，将原图补成正方体ABCD -QGHP ，连接AG ，GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.答案：π39．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出l的位置；(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长．解：(1)如图，延长DM与D1A1交于点O，连接NO，则直线NO即为直线l.(2)因为l∩A1B1＝P，则易知直线NO与A1B1的交点即为P.所以A1M∥DD1，且M，N分别是AA1，D1C1的中点，所以A1也为D1O的中点．由图可知A1PD1N＝OA1OD1＝12，所以A1P＝a4，从而可知PB1＝3a4.10．如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF 与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.[B级综合练]11．已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，给出下面四个结论：①若l与m 不垂直，则l与α一定不垂直；②若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角也为30°；③l∥m是l∥α的必要不充分条件；④若l与α相交，则l与m一定是异面直线．其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选A.对于①，当l与m不垂直时，假设l⊥α，那么由l⊥α一定能得到l⊥m，这与已知条件矛盾，因此l与α一定不垂直，故①正确；对于②，易知l与m所成的角为30°时，l与α所成的角不一定为30°，故②不正确；对于③，l∥m可以推出l∥α，但是l∥α不能推出l∥m，因此l∥m是l∥α的充分不必要条件，故③不正确；对于④，若l与α相交，则l与m相交或异面，故④不正确．故正确结论的个数为1，选A.12.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，平面α垂直于对角线AC′，且平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为S，周长为l，则()A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值解析：选B.设平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形ω，ω与正方体的棱的交点分别为I，J，N，M，L，K(如图)．将正方体切去两个正三棱锥AA′BD和C′B′CD′，得到一个几何体V，则V的上、下底面B′CD′与A′BD互相平行，每个侧面都是等腰直角三角形，截面六边形ω的每一条边分别与V的底面上的每一条边平行．设正方体的棱长为a ，A ′K A ′B ′＝γ，则IK ＝γB ′D ′＝2aγ，KL ＝(1－γ)A ′B ＝2a (1－γ)，故IK ＋KL ＝2aγ＋2a (1－γ)＝2a .同理可证LM ＋MN ＝NJ ＋IJ ＝2a ，故六边形ω周长为32a ，即周长为定值．当I ，J ，N ，M ，L ，K 都在对应棱的中点时，ω是正六边形．其面积S ＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2×32＝334a 2，△A ′BD 的面积为12×(2a )2×32＝32a 2，当ω无限趋近于△A ′BD 时，ω的面积无限趋近于32a 2，故ω的面积一定会发生变化，不为定值．故选B.13．如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD 可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，所以GH 綊BC .所以四边形BCHG 为平行四边形．(2)C ，D ，F ，E 四点共面，理由如下：由BE 綊12AF ，G 为F A 的中点知，BE 綊FG ，所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，所以EF 与CH 共面，又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面．14.如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.解：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面．(2)当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形，理由如下：当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为EHBD＝AEAE＋EB＝mm＋1，所以EH＝mm＋1BD.同理可得FG＝nn＋1BD，由EH＝FG，得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.[C级创新练]15．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.13解析：选A.如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因为α∥平面CB1D1，则m1∥m，又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B 1D 1∥m 1，所以B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m ，n 所成角的大小与B 1D 1，CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小． 又因为B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)，所以∠CD 1B 1＝π3， 得sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.16．(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°.以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．解析：如图，连接B 1D 1，易知△B 1C 1D 1为正三角形，所以B 1D 1＝C 1D 1＝2.分别取B 1C 1，BB 1，CC 1的中点M ，G ，H ，连接D 1M ，D 1G ，D 1H ，则易得D 1G ＝D 1H ＝22＋12＝5，D 1M ⊥B 1C 1，且D 1M ＝ 3.由题意知G ，H 分别是BB 1，CC 1与球面的交点．在侧面BCC 1B 1内任取一点P ，使MP ＝2，连接D 1P ，则D 1P ＝ D 1M 2＋MP 2＝（3）2＋（2）2＝5，连接MG ，MH ，易得MG ＝MH ＝2，故可知以M 为圆心，2为半径的圆弧GH 为球面与侧面BCC 1B 1的交线．由∠B 1MG ＝∠C 1MH ＝45°知∠GMH ＝90°，所以GH ︵的长为14×2π×2＝2π2.答案：2π2第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 最新考纲考向预测 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解公理1～4及其相关定理. 命题趋势 主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，主要以选择题和填空题的形式出现，主要为中低档题. 核心素养 直观想象、逻辑推理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2． (3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线和平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内a⊂α有无数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α没有公共点直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．常见误区1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线即不平行，也不相交．2．在判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在平面内”．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.()(2)三点A，B，C确定一个平面．()(3)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．()(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.()(5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行解析：选ABC.依题意，m∩α＝A，n⊂α，所以m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选 D.两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.4．(易错题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD 的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求角，又B1D1＝B1C ＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°5．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA 的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．解析：(1)因为四边形EFGH为菱形，所以EF＝EH，故AC＝BD.(2)因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH，因为EF綊12AC，EH綊12BD，所以AC＝BD且AC⊥BD.答案：(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD平面的基本性质如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D中，E，F分别是AB和AA1的中点，求证：E，C，D1，F四点共面．【证明】如图所示，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝12A1B.又因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF与CD1确定一个平面α，所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．【引申探究】(变问法)若本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？证明：如图，由本例知EF∥CD1，且EF＝12CD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE且P∈D1F，又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线交于一点．共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． [提醒] 点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．1.(多选)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是( )A ．C 1，M ，O 三点共线B ．C 1，M ，O ，C 四点共面 C ．C 1，O ，A 1，M 四点共面D ．D 1，D ，O ，M 四点共面解析：选ABC.连接A 1C 1，AC ，则AC ∩BD ＝O ，又A 1C ∩平面C 1BD ＝M ，所以三点C 1，M ，O 在平面C 1BD 与平面ACC 1A 1的交线上，所以C 1，M ，O 三点共线，所以选项A ，B ，C 均正确，选项D 错误．2．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明：(1)因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD .在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，所以GH ∥BD ，所以EF ∥GH ，所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC .所以P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．空间两直线的位置关系(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN，因为△CDE 是正三角形，所以EF⊥CD.设CD＝2，则EF＝ 3.因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD＝22，NF＝1，BC⊥CD.因为平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝22，所以在等腰三角形BDE中，BM＝7，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直线．故选B.【答案】 B1．已知a，b是异面直线，A，B是a上的两点，C，D是b上的两点，M，N分别是线段AC，BD的中点，则MN和a的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选A.若MN与AB平行或相交，则MN与AB共面，设该平面为α.因为C∈直线AM，D∈直线BN，所以C∈α，D∈α，所以b⊂α.又因为A∈α，B ∈α，所以a⊂α.这与a，b异面矛盾．故选A.2．(多选)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C 的中点，下列说法正确的有()A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线解析：选CD.因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故A错；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN 与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确，故选CD.异面直线所成的角(1)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB 的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．【解析】(1)取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.(2)如图，取BC的中点O，连接OE，OF，因为OE∥AC，OF∥BD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ， EF ＝2EM ＝2×34＝32. 【答案】 (1)2 (2)12或32平移法求异面直线所成角的步骤具体步骤如下：1．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C.如图，可补成一个正方体，所以AC 1∥BD 1.所以BA 1与AC 1所成的角为∠A 1BD 1.又易知△A1BD1为正三角形．所以∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1所成的角为60°.2．(2021·济南市学习质量评估)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为________．解析：如图，连接DE交FC于点O，取BE的中点G，连接OG，CG，则OG∥BD且OG＝12BD，所以∠COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角．设正方形ABCD的边长为2，则CE＝BE＝1，CF＝DE＝CD2＋CE2＝5，所以CO＝12CF＝52.易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，所以BD＝DE2＋BE2＝6，所以OG＝12BD＝62.易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，又GE＝12BE＝12，所以CG＝CE2＋GE2＝52.在△COG中，由余弦定理得，cos∠COG＝OC2＋OG2－CG22OC·OG＝⎝⎛⎭⎪⎫522＋⎝⎛⎭⎪⎫622－⎝⎛⎭⎪⎫5222×52×62＝3010，。
空间直线与平面
空间直线与平面1、平面的特征：无厚度，无边界，无面积，无限延展；2、公理及其作用公理一：若一条直线上有两点在一个平面内，则该直线在平面内. 【作用】用以证明线在面内．．．．和点在面内．．．．.．公理二：如果两个平面有一个公共点，则两个平面的交集是通过该点的一条直线. 【作用】用以证明．．三．点共线．．．. 公理三：经过不在同一条直线上的三点有且仅有一个平面 【作用】确定平面的依据推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且仅有一个平面； 推论2 经过两条相交直线有且仅有一个平面； 推论3 经过两条平行直线有且仅有一个平面；公理四：平行于同一直线的两直线平行；()// ////a b b c a c ⇒，【作用】对空间的平行线进行传递．．．．．．．. 3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 4、空间直线的位置关系：平行、相交、异面. 【注】异面直线的证明，一般采用反证法； 5、★异面直线所成角（1）范围:0,2π⎛⎤⎥⎝⎦（2）求解方法（一作、二证、三求解）①平移法：一般是通过作中位线（关键字：中点），或是做平行四边形进行平移； ②补形法：适用于长方体中异面直线问题，其本质还是平移；③向量法：借助异面直线方向向量的夹角，进行间接求解，设异面直线1l 和2l 的方向向量分别为1d 和2d ，1d 和2d 的夹角为ϕ，异面直线1l 和2l 所成的角为θ，则1212||cos |cos |||||d d d d θϕ⋅==⋅.【注】通过解三角形求出平移后的角度余弦值为m ，则异面直线的夹角为arccos m . 6、异面直线间的距离：公垂线段的长度，求解时，可以借助向量投影. 7、直线与平面的位置关系：平行、相交（含垂直）、在平面内.（平行与相交又称为在面外） 8、直线与平面平行（1）定义：直线与平面没有公共点. （2）判定定理：11l l l ll ααα⎧⎪⇒⎨⎪⎩ÜÚ（3）性质定理：11l l l l lαβαβ⎧⎪⇒⎨⎪=⎩Ü 【注】线面平行不具有传递性.9、直线与平面垂直（1）定义：直线垂直于平面内的所有直线（或任意一条直线） （2）判定定理：121212,,l l l l l l l l l P αα⊥⊥⎧⎪⇒⊥⎨⎪=⎩Ü；（3）性质定理：11l l l l αα⊥⎧⇒⊥⎨⎩Ü，l l ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩Ü；10、★直线与平面所成的角（1）定义：斜线与射影所成的锐角或直角.（2）范围:0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦;（3）求解方法①定义法：作出线面角，解三角形求解（关键找到垂足．．，进而找到射影．．）； ②投影法：求出点到面的距离d ，斜线长为l ，则arcsindlθ=； ③*向量法：设直线l 的方向向量为d ，平面α的法向量为n ，d 和n 的夹角为ϕ，直线l 与平面α所成的角为θ，||sin |cos |||||d n d n θϕ⋅==⋅； 11、★点到平面的距离（1）定义：过点作平面的垂线，点与垂足之间的线段长即为点到面的距离. （2）求解方法 ①等体积代换．．．．．：放在三棱锥中，借助体积转化. ②*向量法：设平面α的斜线段是()AB B α∈，平面α的法向量为n ，点A 到平面α的距离为d ，则||||AB n d n ⋅=. 12、平面与平面的位置关系：相交、平行. 13、*面面平行（1）定义：平面与平面无公共点； （2）判定：121212,,l l l l P l l ααβββ⎧⎪=⇒⎨⎪⎩Ü；（3）性质：l l αβαα⎧⇒⎨⎩Ü；1122l l l lαβαγβγ⎧⎪=⇒⎨⎪=⎩；【注】面面平行具有传递性.14、*面面垂直（1）定义：两平面所成二面角为直角； （2）判定：l l βαβα⊥⎧⇒⊥⎨⎩Ü；（3）性质：111,ll l l l αβαβαβ⊥=⎧⎪⇒⊥⎨⎪⊥⎩Ü；【注】面面垂直不具有传递性. 15、*二面角（1）定义：由两个相交的半平面组成的图形； （2）范围：[]0,π（3）求解方法（作—证—算—答）①定义法：在棱上任意取一点，过这点分别在两个面内作棱的垂线；②垂面法：在棱上任意取一点，过这点作棱的垂面，得两条交线（射线）所成的最小正角； ③借助射影定理：cos S S θ=射影原图（若是钝二面角，取补角即可）④向量法：设二面角l αβ--中，平面α和β的法向量分别为1n 和2n ，向量1n 和2n 的夹角为θ，则1212cos ||||n n n n θ⋅=⋅，若二面角l αβ--是锐角，则其大小为1212||arccos ||||n n n n ⋅⋅；若二面角l αβ--是钝角，则其大小为1212||arccos||||n n n n π⋅-⋅.【注】法向量的方向控制为一进一出．．．．时，法向量的夹角即为二面角的平面角. 16、立体几何中的轨迹问题探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性． 17、立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有：①几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； ②代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值． 18、立体几何中的翻折问题翻折问题处理时关键在于把握翻折过程中哪些是不变量，哪些是改变量，注意翻折前后图形之间的内在联系，结合相关理论进行处理.【例题分析】例1、空间中，下列命题正确的是（ ） A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C.四边相等的四边形是菱形； D.对角线相交的四边形是平面图形例2、完成下列问题（1）不重合的三条直线交于同一点，则三条直线可以确定的平面的个数为_______. （2）三条互相平行的直线可以确定的平面的个数为_______. （3）三个平面可以将空间分成________部分；（4）不共面的四个定点到平面α的距离相等，这样的平面α有______个. （5）正方体一个面上的对角线与正方体的棱可以组成______对异面直线.（6）三棱锥的四个顶点与各棱中点，共10个点中，任取四个点，则四点共面的概率为______.例3、如图所示，ABC ∆的三边延长线分别与平面α交于,,D E F 三点，证明：,,D E F 三点共线.【练习】如图所示，,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 边,,,AB AD BC CD 上的点，且直线,EF GH 相交于M 点，证明：,,B D M 三点共线.ABCD EFαM例4、判断下列命题是否正确，并说明理由.①1122l l l l αα⎧⇒⎨⎩；②l lααββ⎧⇒⎨⎩；③1122l l l l αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④l l ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；⑤αγαββγ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；⑥1122l ll l l l ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；⑦1122l l l l αα⊥⎧⇒⊥⎨⎩；⑧ll αβαβ⊥⎧⇒⎨⊥⎩.【练习1】设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列所有正确的命题序号是________. ①在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直； ②与直线m 平行的直线不．可能与平面α垂直； ③与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行； ④与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直．【练习2】平面αβ⊥，直线b α，m β，且b m ⊥，则b 与β（ ）A.b β⊥B.b 与β斜交C.//b βD.位置关系不确定【练习3】判断下列命题是否正确，并说明理由. ①直线l 上存在不同的两点到平面α的距离相等，则l α；②a β⊥，l αβ=，过a 内一点P 作l 的垂线1l ，则1l β⊥；③直线l 垂直于平面α内的无数条直线，则l α⊥； ④直线12,l l 与平面α成等角，则12l l ；ABCD E F例5、已知ABC ∆，点P 是平面ABC 外一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影，（1）若点P 到ABC ∆的三边所在直线的距离相等且O 点在ABC ∆内，则O 为ABC ∆的 心． （2）若点P 到ABC ∆的三个顶点的距离相等，则O 为ABC ∆的________心； （3）若,,PA PB PC 两两垂直，则O 为ABC ∆的________心．（4）平面PAB ，平面PAC ，平面PBC ，与平面ABC 所成的二面角相等，则O 为ABC ∆的________心；（5）若,,PA PB PC 与平面ABC 所成的线面角相等，则O 为ABC ∆的________心；例6、如图所示PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AE PB ⊥，且AF PC ⊥. （1）证明：BC ⊥平面PAB ； （2）证明：AE ⊥平面PBC ； （3）证明：PC ⊥平面AEF .例7、异面直线12,l l 所成的角为60,直线l 与12,l l 所成的角均为θ,则θ的范围是________.【变式1】直线12,l l 相交于点O 且12,l l 成60角，过点O 与12,l l 都成60角的直线有_____条.【变式2】异面直线12,l l 相交于点O 且12,l l 成80角，过点O 与12,l l 都成50角的直线有____条.例8、空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD的中点，EF ,AD BC 所成的角为________.【变式】如图，在空间四边形ABCD 中，6AC BD ==，7AB CD ==，8AD BC ==，求异面直线AC 与BD 所成角的大小.例9、如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为21θθ和，则（ ）A ．1sin sin 2212≥+θθB ．1sin sin 2212≤+θθC ．1sin sin 2212>+θθD ．1sin sin 2212<+θθ【练习】长方体1111ABCD A B C D -中，设对角线1BD 与自B 点出发的三条棱所夹的角分别为,,αβγ，则222sin sin sin αβγ++=_______.例10、如图，设S AB C D -是一个高为3的四棱锥,底面ABCD 是边长为2的正方形,顶点S 在底面上的射影是正方形ABCD 的中心．K 是棱SC 的中点．试求直线AK 与平面SBC 所成角的大小．ABCDSBCDOK【变式】如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中12A AC ACB π∠=∠=，16AAC π∠=侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为3π，1AA =4BC =求（1）1A C 与底面ABC 所成角的大小； （2）斜三棱柱111ABC A B C -的体积.例11、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ．求点1C 到平面11AB D 的距离.【变式1】ABC ∆的三边长分别是3,4,5，P 为ABC ∆所在平面α外一点,它到三边的距离都是2,则P 到α的距离为________.【变式2】已知ABC ∆中，9AB =，15AC =，23BAC π∠=，ABC ∆所在平面外一点P 到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P 到平面ABC 的距离是_________.例12、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11AD A A ==. （1）证明直线1BC 平面1D AC ；（2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.A 1A BCD1D 1C 1B A AB CD1A 1B 1C 1D【变式1】已知R t ABC ∆的直角顶点C 在平面α内，斜边AB α，AB ，AC 、BC 分别和平面α成4π和6π角，则AB 到平面α的距离为________【变式2】已知矩形ABCD 的边长6AB =，4BC =，在CD 上截取4CE =，以BE 为棱将矩形折起，使BC E '∆的高C F '⊥平面ABED ，求 （1）点C '到平面ABED 的距离； （2）点C '到AB 的距离； （3）点C '到AD 的距离.例13、*已知二面角l αβ--的大小为2πθθ⎛⎫> ⎪⎝⎭，AB αÜ，CD βÜ，且A B l ⊥，CD l ⊥，若AB 与CD 所成角为ϕ，则（ ） A.ϕθ=B. 2πϕθ=-C.2πϕθ=+D.ϕπθ=-【练习1】已知二面角l αβ--的平面角为θ，在平面α内有一条直线AB 与棱l 成锐角δ，与平面β成角γ，则必有（ ） A. sin sin sin θδγ= B. sin sin cos θδγ=C. cos cos sin θδγ=D. cos cos cos θδγ=【练习2】设二面角l αβ--的大小为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，1l 是平面α内异于l 的一条直线，则1l 与平面β所成角的范围为_______.C 'DBCF例14、*过正方形ABCD 的顶点A 作PA ^平面ABCD ，设PA AB a ==， （1）求二面角B PC D --的大小； （2）求二面角C PD A --的大小．【练习1】如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，3BCDp?，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD，PA =（1）证明：BE ⊥平面PAB ； （2）求PB 与面PAC 的角； （3）求二面角A BE P --的大小.【练习2】已知空间四边形ABCD 中，若2AB AC ==,2CAB CBD π∠=∠=，6BCD π∠=，平面ABC ⊥平面BCD ．（1）求AD 与平面BCD 所成角的大小； （2）求二面角A CD B --的大小； （3）求点B 到平面ACD 的距离．例15、设,M N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE AB ⊥于E （如图）．现将ADE ∆沿DE 折起，使二面角A DE B --为45，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则,M N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．M NBNMA EGDABCDPCED P【练习】将两块三角板按图甲方式拼好，其中2B D π∠=∠=，6ACD π∠=，4ACB π∠=，2AC =，现将三角板ACD 沿AC 折起，使D 在平面ABC 上的射影恰好在AB 上，如图乙．（1）求证：AD ⊥平面BCD ； （2）求二面角B AC D --的大小.例16、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是矩形ABCD 和11BB C C 的中心，则过点,,A M N 的平面截正方体的截面面积为______．【变式1】在棱长为6的正方体ABCD-1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是111,A B CC 的中点，设过,,D M N 三点的平面与11B C 交于点P ,做出P 点，并保留作图痕迹，求PM PN +的值．【变式2】在三棱锥A BCD -中，AB a =,CD b =，ABD BDC ∠=∠,,M N 分别为AD ,BC 的中点，P 为BD 上一点，则MP NP +的最小值是________.DABCOABCDMNP【变式3】已知正三棱锥A BCD ，其底面边长为a ，侧棱长为2a ,过点B 作与侧棱,AC AD 相交的截面，在这样的截面三角形中 （1）求周长的最小值； （2）求周长最小时的截面面积.例17、正方体的截面图形的形状可以为_________. ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形； 【注】①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；截面三角形是锐角三角形；截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形；ABCDMN例18、如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线 其中真命题的编号是___________.（写出所有真命题的编号）例19、在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 是AB 上的动点 （1）若直线1D E ⊥EC ，请确定E 点的位置，并求此时异面直线1AD 与EC 所成的角； （2）在（1）的条件下，求二面角1D EC D --的大小.【练习1】底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，1PA AB ==,2BC =. （1）求PC 与平面PAD 所成角的大小；（2）若E 是PD 中点，求异面直线AE 与PC 所成角的大小；（3）在BC 边上是否存在一点G ，使得点D 到平面PAG若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由.PA BCEABCD 1A 1B 1C 1D EA1A BCD1D 1C 1B P【练习2】如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形, PA ⊥底面ABCD ,垂足为A ,PA AB =,点M 在棱PD 上，PB ∥平面ACM .（1）试确定点M 的位置；（2）计算直线PB 与平面MAC 的距离；（3）设点E 在棱PC 上，当点E 在何处时，使得AE ⊥平面PBD ？【练习3】如图，在矩形ABCD 中,AB ，BC a =，PA ⊥平面ABCD ，4PA =. （1）若在边BC 上存在一点Q ，使得PQ QD ⊥，求实数a 的取值范围；（2）当边BC 上存在唯一一点Q ，使得PQ QD ⊥时，求异面直线AQ 与PD 所成角的大小； （3）若4a =，且PQ QD ⊥，求二面角A PD Q --的大小.【练习4】如图所示，等腰ABC ∆的底边AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于点,B D 的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积． （1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值．PAFCED PA BCDMPA BCD【练习5】如图，在四棱锥ABCD P -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形,2PD AD ==，M ，N 分别为线段AC 上的点．若︒=∠30MBN ，则三棱锥M PNB-体积的最小值为 .【练习6】如图：PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，1PA AB ==，PD 与平面ABCD 所成角是6π，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动. （1）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系,并说明理由；（2）无论点E 在边BC 的何处，PE 与AF 所成角是否都为定值，若是，求出其大小；若不是，请说明理由；（3）当BE 等于何值时，二面角P DE A --的大小为4π.例20、已知动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BB C C 中,且满11PD D BD D ∠=∠,则动点P 的轨迹是（ ）的一部分A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线PABCEDFPBCD M N【变式1】平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支【变式2】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A.直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线【变式3】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11A D 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．直线【变式4】如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 上的动点，将ABE ∆沿着直线BE 翻转成1A BE ∆，使平面1A BE ⊥平面ABCD ，则点1A 的轨迹是（ ） A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D 以上都不是例21、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在1DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为_________．αBCAlA B CD 1A 1B 1C 1D NMPABCD 1A E【变式1】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为侧面11BB C C 内的动点，且2PA PB =，则P 点在四边形11BB C C 内形成轨迹图形的长度为_________．【变式2】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为1AC 、11A B 的中点，点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长为________.【变式3】若P 是以12,F F 为焦点的双曲线上任意一点,过焦点作12F PF ∠的平分线的垂线,垂足M 的轨迹是曲线C 的一部分,则曲线C 是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线【变式4】设B 、C 是定点，且均不在平面α上,动点A 在平面α上,且1sin 2ABC ∠=，则点A 的轨迹为（ ）（A ）圆或椭圆 （B ）抛物线或双曲线 （C ）椭圆或双曲线 （D ）以上均有可能ABCD 1A 1B 1C 1D PAB CD1A 1B 1C 1D N M。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解48---空间点、直线、平面之间的位置关系
高考数学复习考点知识与题型专题讲解空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．知识梳理 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧ 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．(×)(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)教材改编题1.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是()A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面答案D解析把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错．2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b()A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线答案D解析α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线．3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ， ∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一 平面基本性质的应用例1如图所示，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 证明(1)∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ， ∴EF ∥BD .∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．教师备选如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明(1)如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B . 又∵A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1能够确定一个平面ECD 1F ， 即E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1， ∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，∵CE ⊂平面ABCD ，D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1.又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1(1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是()答案D解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG ＝P，则点P()A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.题型二空间位置关系的判断例2(1)下列推断中，错误的是()A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是()A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．教师备选1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是() A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案D2．如图所示，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________．(填序号)答案②④思维升华(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．图1图2题型三空间几何体的切割(截面)问题例3(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案C解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形．(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______．答案π2解析以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线是以C1为圆心，1为半径的圆与正方形BCC1B1相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为14×2π×1＝π2.延伸探究将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．答案2π2解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝3且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝R2球－D1E2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP＝EQ＝2，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P＝5，∴B1P＝D1P2－D1B21＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝π2，知PQ︵的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.教师备选如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．答案9 2解析如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，故BD＝22，MN＝2，且BM＝DN＝5，∴等腰梯形MNDB的高为h ＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，∴梯形MNDB 的面积为 12×(2＋22)×322＝92.思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．跟踪训练3(1)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图是()答案A解析在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分的直观图如图．则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案3 2解析在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝22a，MI＝2a，IH＝22a，HG＝2a，FG＝22a，EF＝2a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝92a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3 2.课时精练1．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故③错误．④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交、可平行、可异面，故④错误．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是() A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．3．(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a ，b ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行． 所以a ，b ，l 在同一平面，则a ，b ，l 两两相交不一定成立； 而若a ，b ，l 两两相交，则a ，b ，l 在同一平面成立．故“a ，b ，l 两两相交”是“a ，b ，l 共面”的充分不必要条件．4.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是平面ADD 1A 1的中心，M ，N ，F 分别是B 1C 1，CC 1，AB 的中点，则下列说法正确的是()A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行 B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行 C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面 D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面 答案D解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝2a ， 作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连接EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋(2a )2 ＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误； 连接DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心， 所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点， 所以MN ∥B 1C ，又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ， 且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误．5.如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.6．(2022·厦门模拟)下列说法正确的是()A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案C解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC 与BD 确定一个平面α，则AC ⊂α，BD ⊂α，所以A ∈α，B ∈α，C ∈α，D ∈α，所以AB ⊂α，CD ⊂α，这与假设矛盾，故C 正确；如图1，AB ∥CD ，而直线AA 1与AB 相交，但与直线CD 不相交，故D 错误．图1图27．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列命题①⎭⎬⎫a ∥αa ∥β⇒α∥β；②⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β；③ ⎭⎬⎫a ∥αb ∥α⇒a ∥b ；④⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 中，正确的命题是________(只填序号)． 答案②④解析①与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题；②根据直线与平面的位置关系，由a ⊥α，a ⊥β可得出α∥β，所以②是真命题； ③根据直线与平面的位置关系，可得a 与b 可以是平行或相交或异面，所以③是假命题； ④垂直于同一个平面的两条直线平行，所以④是真命题．8．(2022·渭南模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．答案①②④解析对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥AF且BE＝12AF，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明∵G，H分别是F A，FD的中点，∴GH綉12AD.又BC綉12AD，∴GH綉BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解∵BE綉12AF，G是F A的中点，∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．10.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点．(1)若D1E与CM相交于点K，求证D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(2)若AB＝2，AA1＝4，∠BAD＝π3，求点D1到平面FBD的距离．(1)证明∵D1E与CM相交于点K，∴K∈D1E，K∈CM，而D1E⊂平面ADD1A1，CM⊂平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，∴K∈AD，∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K.(2)解∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∴BC＝CD＝2，而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，∴CC1⊥底面ABCD，又∵F是CC1的中点，CC1＝4，∴CF＝2，∴BF＝DF＝22，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝π3， ∴BD ＝AB ＝2， ∴S △FBD ＝12×2×(22)2－1＝7.设点D 1到平面FBD 的距离为h ，点B 到平面DD 1F 的距离为d ， 则d ＝2sin π3＝3， 又∵11D FBD B DD F V V --=，∴13×S △FBD ×h ＝13×1DD F S △×d ， ∴13×7×h ＝13×12×4×2×3， 解得h ＝4217.即点D 1到平面FBD 的距离为4217.11.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．12．(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是()A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MC∥平面BB1D1D答案B解析如图，连接MP，AC，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又平面A1ADD1∩平面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确；令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝12CD，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BB1D1D，OD1⊂平面BB1D1D，所以MN ∥平面BB 1D 1D ，C 不正确，D 不正确．13．棱长均为1m 的正三棱柱透明封闭容器盛有a m 3水，当侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面高为h m(如图1)；当转动容器至截面A 1BC 水平放置时，容器中的水恰好充满三棱锥A －A 1BC (如图2)，则a ＝________，h ＝________.图1图2答案31232－22解析由题意得S △ABC ＝12×1×1×sin60° ＝12×1×1×32＝34， AA 1＝1.∴1A A BC V -＝13S △ABC ·AA 1＝13×34×1＝312＝a . 由1111ABED A B E D V -＝1A A BC V -得S 四边形ABED ·AA 1 ＝13S △ABC ·AA 1， ∴S 四边形ABED ＝13S △ABC ， ∴S △CDE ＝23S △ABC ，∴34DE2＝23×34AB2，∴DEAB＝23＝63.∵DCAC＝DEAB＝63，∴DC＝63，∴AD＝1－63，在等边△ABC中，AB边上的高为32.∵h32＝ADAC＝1－631，∴h＝32－22.14．(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为棱A1D1，CC1的中点，过P，Q，A作正方体的截面，则截面多边形的周长是________．答案25＋95＋2133解析如图所示，过Q作QM∥AP交BC于M，由A 1P ＝CQ ＝2，tan ∠AP A 1＝2，则tan ∠CMQ ＝2，CM ＝CQ tan ∠CMQ＝1， 延长MQ 交B 1C 1的延长线于E 点，连接PE ，交D 1C 1于N 点，则多边形AMQNP 即为截面，根据平行线性质有C 1E ＝CM ＝1，C 1N ND 1＝C 1E PD 1＝12，则C 1N ＝43，D 1N ＝83，因此NQ ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， NP ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝103， 又AP ＝42＋22＝25，AM ＝42＋32＝5， MQ ＝12＋22＝5， 所以多边形AMQNP 的周长为AM ＋MQ ＋QN ＋NP ＋P A ＝5＋5＋2133＋103＋2 5＝25＋95＋2133.15.(2022·山西康杰中学模拟)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝3，E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面记为α，则下列说法中错误的是()A．点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶2B．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的面积为73 2C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的形状为四边形答案D解析对于A，因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等．由平面α过A1A的三等分点M可知，点A1到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍，因此，点A1到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍．故选项A正确；延长DA ，DC 交直线EF 的延长线于点P ，Q ，连接D 1P ，D 1Q ，交棱A 1A ，C 1C 于点M ，N .连接ME ，NF ，可得五边形D 1MEFN ，故选项D 错误；由平行线分线段成比例可得AP ＝BF ＝1，故DP ＝DD 1＝3，则△DD 1P 为等腰三角形．由相似三角形可知，AM ＝AP ＝1，A 1M ＝2，则D 1M ＝D 1N ＝22，ME ＝EF ＝FN ＝ 2.连接MN ，则MN ＝22，因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN .等腰梯形MEFN 的高h ＝(2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝62， 则等腰梯形MEFN 的面积为22＋22×62＝332.又1D MN S △＝12×22×6＝23，所以五边形D 1MEFN 的面积为332＋23＝732，故选项B 正确；记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2＝1D DPQ M PAE N CFQ V V V ----- ＝13×12×3×3×3－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＝256，所以V 1＝1111ABCD A B C D V -－V 2＝12－256＝476， V 1∶V 2＝47∶25，故选项C 正确．16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．图1图2(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ， 同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共面．(2)解因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，所以AE是四棱锥A－CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，又AE＝DE＝1，CD＝23，EF＝3，BD＝2，所以V＝V A－CDEF＋V A－BCD＝13S梯形CDEF ·AE＋13S△BCD·DE＝736.。
空间点线面位置关系复习
2．(2015·江苏高考)已知 l，m 是两条不同的直线，α，β 是两 个不同的平面，下列命题： ①若 l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则 α∥β； ②若 l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则 l∥m； ③若 α∥β，l∥α，则 l∥β； ④若 l⊥α，m∥l，α∥β，则 m⊥β. 其中真命题___②__④___(写出所有真命题的序号)．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”， “有且只有”有时也说成“确定”．
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
(2)范围：0，π2.
空间点线面位置关系复习
•高考考纲要求:
• 1. 能用符号语言表示空间中点线面的位置关系;
• 2. 理解空间直线、 平面位置关系的定义， 并了解作为推理依
据的公理和定理.
• 3. 能运用公理、 定理和已获得的结论证明空间位置关系的简单命题.
• 1. 能实现文字语言、 图形语言及数学符号语言之间的相互转 化， 会用图形与符号语言表示点线面的位置关系 。 • 2. 理解线面位置关系的含义， 能解决简单的证明推理问题 。 • 3. 培养空间想象能力、 逻辑思维能力。
本节教学目标:
【知识梳理】 1.平面的性质 填一填
基本性质
表示
文字语言
图形语言
公理1
如果一条直线上的两点在一 个平面内,那么：
空间直线与平面的位置关系教学方法总结
空间直线与平面的位置关系教学方法总结空间直线与平面的位置关系是几何学中的重要内容之一，它在数学教学中具有重要的意义。
正确的教学方法能够帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
本文将总结一些有效的教学方法，以帮助教师在教学过程中更好地教授空间直线与平面的位置关系。
一、引导学生观察实际物体和图形在教学开始阶段，教师可以引导学生观察实际物体和图形，帮助他们建立对空间直线与平面位置关系的直观感受。
比如，可以找一些具有直线和平面的实际物体，如书桌、门窗等，让学生观察并描述它们之间的位置关系。
同时，可以展示一些相关的立体图形，让学生观察并讨论其中的位置关系。
这样能够激发学生的学习兴趣，并为后续的教学打下基础。
二、介绍基本概念和术语在引导学生观察实际物体和图形的基础上，教师需要向学生介绍空间直线与平面的基本概念和术语。
比如，直线的定义、平面的定义以及直线与平面的公共点等。
通过具体的例子和图示，帮助学生理解这些概念，并能够正确运用相关的术语。
三、讲解关键步骤和方法了解基本概念后，教师需要系统地讲解学生求解空间直线与平面位置关系问题的关键步骤和方法。
例如，讲解直线与平面的相交情况的判断方法，包括直线与平面的位置关系的三种情况：直线与平面相交、直线在平面内、直线与平面平行。
针对每种情况，教师可以给出对应的判定条件和求解方法，并通过具体的例题进行讲解和演示。
四、练习与巩固理论知识的学习只是教学的一部分，通过大量的练习才能巩固所学的知识。
在教学过程中，教师应该提供足够的练习机会，让学生运用所学的知识解决不同形式的问题。
例如，可以设置一些练习题，要求学生判断直线与平面的位置关系，并用几何图形表示出来。
此外，还可以组织学生进行小组合作，让他们互相交流讨论，增强彼此的学习效果。
五、拓展应用在实际教学中，教师可以引导学生将所学的知识应用到实际问题中去。
例如，可以给学生提供一些生活中的实际问题，让他们分析并求解问题中的空间直线与平面位置关系。
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学习好资料 欢迎下载空间直线和平面（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：面面平行性质//a // ba ,ba, bbaAa // baa bAa, b ba //, b //a ////公理 4线面平行判定面面平行判定 1面面平行性质线线∥线面∥面面∥(a//b,b//c线面平行性质面面平行性质 1 // a//c)a //// //aa//b a //a // b2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：a , ba b Ol a , l b al a三垂线定理、逆定理线面垂直判定 1 面面垂直判定PA , AO为 PO 线线⊥线面⊥面面⊥线面垂直定义面面垂直性质，推论 2在内射影laa b a则a OA a POl a a, a ba POa AOaa面面垂直定义l ，且二面角l成直二面角3.平行与垂直关系的转化：aaa / /b / /b aa线面垂直判定 2 面面平行判定 2 线线∥线面⊥面面∥线面垂直性质 2 面面平行性质 3a/ /a / / bb aa4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
”5.唯一性结论：（三）空间中的角与距离1.三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ： 0°＜θ ≤ 90°（ 2）直线与平面所成的角：0°≤ θ ≤ 90°（0 时， b∥或b）（ 3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤ θ≤ 180°2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（ 1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。
3.空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。
4.点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。
常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。
简单几何体：（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）侧棱都相等侧面是平行四边形对角面是平行四边形性质两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形S侧直截面周长侧棱长V柱底面积高直截面面积侧棱长（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）V 锥1 S底3h定理：截面与底面平行S截h12则有 S底h 2正棱锥的性质侧棱都相等，侧面都是全等的等腰三角形四个直角三角形（如上图）及元素之间的关系Rt SOB h l 2 R 2 h sin l sin Rt SOE h h 2 r 2 l 2 1 a2 r4 cosRt SEB R l 2 h 2 r 2 1a 2a4 2sin180nRt OEB如图 S1、S2是两个平行截面且O 2O1O1 O则S2 S）S1 （与定比分点公式比较1概率与统计（一）散型随机变量的分布列p i性质：p 1二项分布：0 i 1，2，p 21~ B( n ， p) C n k p k q n kb( k ， n ， p)， E np ， Dnpq (q 1 p)x 1 x 2 x ipp 1p 2p i若 a b则EE(a b) aE bDD (ab) a 2D期望： Ex 1p 1 x 2 p 2 x n p n方差：D( x 1 E ) 2 p 1 ( x 2 E ) 2 p 2 ( x n E ) 2 p n（二）抽样方法简单随机抽样系统抽样 分层抽样【典型例题】例 1. 如图，在四面体 ABCD 中作截面 EFG ，若 EG ， DC 的延长线交于 M ，FG 、 BC 的延长线交于 N ， EF 、 DB 的延长线交于 P ，求证 M 、 N 、 P 三点共线。
证明： 由已知，显然 M 、 N 、 P 在平面 EFG 上又 M 、 N 、 P 分别在直线 DC 、 BC 、DB 上故也在平面 BCD 上即 M 、 N 、 P 是平面 BCD 与平面 EFG 的公共点∴它们必在这两个平面的交线上 根据公理 2. M 、 N 、 P 三点共线例 2. 在棱长为 1 的正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中， M 、 N 分别是 A 1B 1 和 BB 1 的中点，那 么 AM 与 CM 所成角的余弦值为（）A.3B.10C.3D.22255分析： 如图，取 AB 中点 E ， CC 1 中点 F连结 B 1E 、 B 1F 、 EF则 B 1E//AM ， B 1F//NC∴∠ EB 1F 为 AM 与 CN 所成的角又棱长为 1B 1 E5，B 1F5，EF6222B 1E 2B 1F 2 EF 22 c o s EB 1F52B 1 E B 1F∴选 D例 3. 已知直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，有下面四个命题：① /l m②l / /m ③ l / / m④l m/ /其中正确的两个命题是（）A. ①与②B. ③与④C. ②与④D. ①与③lll m①正确对于①/ /m分析：l对于②a，如图/ l / /mm∴②错l m对于③③正确l // m ml对于④ l m /// ，如图m∴④错∴①③正确，选 D例 4. 如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD ，PD=DC ， E 是 PC 的中点，作 EF⊥ PB 交 PB 于点 F。
（ 1）证明 PA//面 EDB 。
（ 2） PB⊥平面 EFD 。
证：（ 1）连 AC ，AC 交 BD 于 O，连 EO∵底面 ABCD 是正方形∴点O是AC中点又 E为 PC中点∴EO//PA又EO面EDB，且PA面EDB∴PA//面 EDB（2）∵ PD⊥底面 ABCD∴ BC⊥ PD又BC DC且PD DC D∴ BC⊥面 PDC∴BC⊥ DE又 E 为等直角三角形中点DE PC且 PC BC C∴ DE⊥面 PBC∴ DE⊥ PB又已知 EF PB且EF DE E∴ PB⊥面 DEF例 5. 正三棱柱ABC － A 1B 1C1中， AB 1⊥ BC1，求证： A 1C⊥ BC 1。
证明：设 E、 E1分别是 BC 、 B 1C1的中点，连AE ， A 1E1， B1E， E1C则AE 面B1 BCC1，A1E1 面B1 BCC1及EB1 / /E1CAE 面 B1 BCC1 EB1 BC1E1C BC1 AB1 BC1EB1 / /E1CA1E1 A1 C BC1面 B1 BCC1注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。
例 6. 下列正方体中， l 是一条体对角线，M 、 N、 P 分别为其所在棱的中点，如何证明l⊥面 MNP 。
（1）D1 P C1 （2）D1 C1 （3）D1 C1 MA 1B 1 A 1 B1 A 1 P1BNll N NlMD C D C D CP MA B A B A B分析：① l在侧面的射影显然与 MP、MN垂直MP l，MN l l面MNP②显然 l分别与 MN在底面上射影垂直及与 MP垂直 l 面MNP③如图，取棱 A 1A 、DC 、 B 1C1的中点，分别记为 E、 F、 G，显然 EMFNGP 为平面图形，而 D1B 与该平面垂直∴l⊥面 MNP例7.如图，斜三棱柱 ABC A' B'C'中， AC' A' B，AA' AC 8， AB10，学习好资料欢迎下载∠ACB=90 °，侧棱与底面成60°的角。
（1）求证：面 AA'C' C 面 ABC；（ 2）求侧面 AA' B' B的面积。
分析：要证明面 AA'C'C 面 ABC，只要证明 BC 面AA'C' C，又 BC AC，只要证明 BC AC' ，故只要证明 AC' 平面 A' BC。
证明：（1）∵ AA' C'C为菱形AC' A'C又AC' A' B AC' 面A'BC AC' BC又∠ ACB=90 °，即 AC ⊥BCBC 面AA' C'C又BC 面ABC 面 ABC 面AA'C' C （2）作 A' D AC于D面AA'C'C 面 ABC，AC为交线A' D面ABC∠A'AD为侧棱AA 与底面成的角，即A∠'AC 60°过D作DE AB于E，连结 A' E，则 A' E AB又 AD 8 cos60 4， A' D 8 sin 604 3∴D为AC中点在Rt ABC中DE ADDE 4 6 12BC AB 10 5A' E A' D2 DE 2 (4 3) 2 (12)2 8215 5S平行四边形 A 'ABB 'ABA' E10821 16 215例 8. 已知 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=8 ， BC=6 ， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，沿（ 1）C 到 A ’D 的距离； （ 2）D 到平面 A ’ BC 的距离；（ 3）A ’D 与平面 A ’ BC 所成角的正弦值。
解：（ 1）∵二面角 A ’－ DE － B 是直二面角 又 A ’E⊥ ED ， CE ⊥ ED∴ ED ⊥面 A ’ EC 及 EC ⊥面 A ’ ED 作 EF ⊥ A ’D 于 F ，连结 CF ，则 CF ⊥ A ’D∴ CF 即为 C 点到直线 A ’D 的距离在 Rt △A ’ ED 中， EF · A ’ D=A ’E·ED4 3 12 EF55FCEF 2EC 2( 12 )2 4 2 4 3455 （2） DE // BC ，BC面A'BC ，DE / 面A' BC∴ DE// 面 A ’ BC∴ E 到面 A ’ BC 的距离即为 D 点到平面 A ’ BC 的距离过 E 作 EM ⊥A ’C 于 M ∵ ED ⊥面 A ’ EC 又 BC//ED∴ BC ⊥面 A ’ EC ∴ BC ⊥ EM ∴ EM ⊥面 A ’ BC∴ EM 为E 点到平面 A' BC 的距离即为 D 点到面 A' BC 的距离且 EM = 2 2或者用体积法：由VD A'BCVA' BCD即 1S A' BC h1S BCD A'E3 3S BCD A'E1BC CE A'E22 2h1SA'BCBC A'C2（ 3）设 A' D 与平面 A' BC 所成角为又由（ 2）知 D 点到面 A' BC 的距离为 h 2 2及A ' D 5h 2 2s i n5A' D如图，直三棱柱 ABCA BC 中，∠ACB°， AC， CB2，侧棱 例 9.11 1 901AA 1 1，侧面 AA 1 B 1 B 的两条对角线交点为 D ， B 1 C 1 的中点为 M 。