初中数学一题多解精彩题集

初中数学一题多解精彩题集

1．（2009年中山市）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，

（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；

（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并

求出最大面积； （3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值． 解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥， 90AMN ∴∠=°，

90CMN AMB ∴∠+∠=°．

在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°， CMN MAB ∴∠=∠，

Rt Rt ABM MCN ∴△∽△． ·

·········································· 2分 （2）Rt Rt ABM MCN △∽△，

44AB BM x

MC CN x CN

∴

=∴=

-，， 244

x x CN -+∴=， ···························································································· 4分

2221411

4428(2)102422ABCN

x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭

梯形， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． ································································· 6分

（3）方法一：

90B AMN ∠=∠=°，

∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM AB

MN BM

=

， ··················································· 7分 由（1）知AM AB

MN MC

=

， BM MC ∴=，

∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．····························· 9分

方法二：作ME 垂直AN 于E ，可证MB=ME,MC=ME ，则MB=MC 。 方法三：延长NM 与直线AB 交于点E,利用全等三角形，可证MB=MC 。 方法四：设MB=x ，列方程。

2．（2009年烟台市）如图，AB ，BC 分别是O ⊙的直径和弦，点D 为BC 上一点，弦DE 交O ⊙于点E ，

交AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的切线交ED 的延长线于H ，且HC HG =，连接BH ，交O ⊙于点M ，连接MD ME ，．

N

D

A C

B M

第1题图

求证：（1）DE AB ⊥；

（2）HMD MHE MEH ∠=∠+∠． （1）证明：方法一：连接OC ，

HC HG HCG HGC =∴∠=∠，． ·

························ 1分 HC 切O ⊙于C 点，190HCG ∴∠+∠=°， ·

·········· 2分 12OB OC =∴∠=∠，， ·

····································· 3分 3HGC ∠=∠，2390∴∠+∠=°．······················· 4分 90BFG ∴∠=°，即DE AB ⊥． ·

··························· 5分 方法二：连接OC 、AC 。证BGF 相似于BAC （2）方法一：连接BE ．由（1）知DE AB ⊥． AB 是O ⊙的直径，

∴BD BE =． ······························································································· 6分

BED BME ∴∠=∠． ·

···················································································· 7分 四边形BMDE 内接于O ⊙，HMD BED ∴∠=∠． ··········································· 8分 HMD BME ∴∠=∠．

BME ∠是HEM △的外角，BME MHE MEH ∴∠=∠+∠． ·

····························· 9分 HMD MHE MEH ∴∠=∠+∠． ·

··································································· 10分 方法二：连接AM 证∠HMD=∠EMB=∠MHE+∠MEH 就行了。

方法三：连接AD 、AM 。证∠HMD=∠DAB=∠MHE+角E

方法四：连接AM 、BD.证∠HMD=∠BDM+∠MBD=∠E+∠MHE 3．已知a ，b 满足ab=1，那么=+++1

1

1122b a 。 解法

方法一：特值法，将a=1，b=1代入所求式子得

=+++1

1

112

2b a 1。 方法二：将a=b 1

代入所求式子得11

11111111112

222222=+++=+++=+++b b b b b

b a 。 方法三：将1=ab 代入所求式子得=+++111122b a =+++ab b ab ab a ab 2

21=+++a

b a

b a b 方法四：通分得

=+++111122b a =+++++++)1)(1(1

)1)(1(12

22222b a a b a b =+++++222

22212b a b a b a 1112

2

222=+++++b a b a

方法五：=+++11

1122b a =+++11222

22b b

b a b 11112

22=+++b b b 类似题目：

（第2题图）

（第24题图）