初中数学一题多解精彩题集
【中考复习】初中数学典型一题多解试题汇编(含解析)
初中数学一题多解（试题）1、若()16x 3-m 2x 2++ 是关于x 的完全平方公式（或完全平方数），则m=2、4的平方根为 ，16的平方根为 3、若2a =时， a 为 。
在数轴上，到原点的距离为3个单位的数有 。
4、若64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，则代数式=+x 1x 5、若关于x 的方程16-x 3m 4x m 4-x 12+=++无解，则m 的值为 6、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （3,4），点P 在x 轴上，若△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是7、在一个等腰三角形中，有一个角为70°，则另两个角分别为8、已知直角三角形的两边长分别为5和12，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为9、 在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高为12，求BC 边的边长为10、在平行四边形ABCD 中，∠A 的角平分线把BC 边分为3和4的两条线段，则此平行四边形ABCD 的周长为11、若⊙O 的半径为5cm ，某个点A 到圆上的距离为2cm ，则圆心到点A 的距离为12、 若⊙O 中的某条弦AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 所对的圆周角为13、已知x满足62x1x22=+，则x1x+的值是14、当-2≤x≤1时，二次函数()1mm-x-y22++=有最大值4，则实数m 的值为15、在平面直角坐标系中有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标为16、若某条线段AB长为2，则该线段AB的黄金分割点离A点的距离为17、若△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标为（6,0），则点A的对应点C的坐标为18、如下图在△ABC中，AB=5，AC=4，点Q从点A出发向点B以2个单位/s的速度出发，点P从点C向点A以1个单位/s的速度出发，若要使△ABC 与△AQP相似，则运动的时间为s。
初二数学练习题一题多解
初二数学练习题一题多解数学练习题一直以来都是学生们巩固知识、提升能力的重要方式。
然而，在解题过程中，往往会出现一题多解的情况，这就需要我们灵活运用所学的数学知识，寻找更多解题思路。
本文将以初二数学练习题为例，探讨一题多解的解题方法。
题目：已知三角形ABC，∠B=90°，AC=5cm，AB=4cm，请计算∠A的度数。
解法一：根据勾股定理可知，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，根据已知条件可得AC^2 = AB^2 + BC^2。
将已知值代入公式，可得5^2 = 4^2 + BC^2，化简后可得BC^2=9，再开方得BC=3。
由此可知，∠A的度数为30°（根据三角函数的知识，该结果可得）。
解法二：在解法一中，我们使用了勾股定理来解题。
然而，我们还可以通过正弦定理来求解。
根据正弦定理可知，a/sinA = c/sinC。
将已知值代入公式，可得4/sinA = 5/sin90°。
由于sin90°=1，化简后解得sinA=4/5，再通过反正弦函数可得A的度数为53.13°。
解法三：解法二中通过正弦定理得出了∠A的度数，那么我们在解这个题目的时候还可以用余弦定理来解。
根据余弦定理可知，c^2 = a^2 + b^2 -2abcosC。
将已知值代入公式，可得5^2 = 4^2 + BC^2 - 2*4*BC*cos90°。
由于cos90°=0，化简后可得BC=3。
再通过余弦定理解得∠A的度数为30°。
通过以上三种解法，我们可以发现在解题过程中存在一题多解的情况。
不同的解法可以帮助我们更全面地理解问题，并提供不同的思维角度去解决同一个问题。
在数学学习中，我们要灵活运用所学知识，善于寻找一题多解的可能性，培养自己的探究精神，从而提升自己的数学素养。
总结：本文以初二数学练习题为例，讨论了一题多解的情况。
通过勾股定理、正弦定理和余弦定理等不同的解题方法，我们可以得出不同的结果。
人教版数学八年级上册代数经典集锦---一题多解(含答案)
2019--2020人教版数学八年级代数经典集锦---一题多解在初中几何的证明和求解中，需要培养学生严密推理论证能力、灵动转化变换思维等方面素养，而在初中代数的计算过程中，需要培养学生多角度、多维度思考问题，掌握整体与局部、特例分析等全方位能力，从而寻求结果，下面以一道经典例题的不同解法，展开思维训练。
1、已知：x y = - 2，则x 2-2xy-3y 2x 2-6xy-7y 2 = .解法一：令x=2,y=-1,则x 2-2xy-3y 2=22-2*2*(-1)-3*(-1)2=4+4-3=5，X 2-6xy-7y 2=22-6*2*（-1）-7*（-1）2=4+12-7=9，所以，原式=59 .李老师点评：本解法是最简单却学生最不容易想到的解法。
原式看起来很复杂，x,y 只给出了比例关系，没有给出具体数值，那么取特例也是满足题设要求的，所以，当没有寻找到更好的解决办法时，可以取特殊值进行计算。
解法二：由已知比例x y = - 2变形有：x=-2y ┅┅①将①带入原式有：x 2-2xy-3y 2=(-2y)2-2*(-2y)*y-3y 2=5y 2,X 2-6xy-7y 2=(-2y)2-6*(-2y)*y-7y 2=9y 2,x 2-2xy-3y 2x 2-6xy-7y 2 =59 .李老师点评：本解法使用了带入消元法进行解题，带入消元法是解决含有未知数类求值问题最基本的解题方法之一。
解法三：∵x y = - 2，∴x ≠0，y ≠0则将原式分子和分母同时除以y 2得到：x 2-2xy-3y 2x 2-6xy-7y 2 = = 59=李老师点评：本解法是一种技巧型解法，首先通过观察x,y 的取值情况以及原式中分子分母所含式子，我们会发现：x,y 都不等于0，同时分子分母其实每一项都是二次项（将x,y 都看作未知数），所以分子分母同时除以y2，便可以轻松的将原式化成已知条件中的样子，从而得解。
初中数学几何：一题多解
A D C P B初中数学培优专题：一题多解一题多解是数学学科的奇妙所在，尤其体现在几何的学习过程之中. 很多学生会从喜欢上几何从而喜欢上数学的原因，就在于几何图形的变换中，对“多解”的追求给他们带来思维创造的快乐. 数学教师在解题教学中也会通过“多解”的呈现和对比来调动学生思维的积极性、激发学生思维的灵活性. 笔者在教学过程中，通过对几何的“多解”探索，使笔者又有了新的认识.1 题目呈现如图1，在等腰直角三角形ABC 中，点P 为斜边AB 上一个动点(不与A 、B 两点重合)，以CP 为斜边在直线CP 的左侧作等腰直角 CDP ∆，判断ADP ∆的形状并证明.图12 教学过程简录方法一：如图2，过C 点作AB CQ ⊥，连接DQ .易证DQ 平分CQA ∠，∴ 45=∠=∠DQA CQD∴CQD ∆≌AQD ∆（SAS ），∴CD AD =，又∵PD CD =∴DP AD =∴ADP ∆是等腰三角形 图2方法二：如图3，过C 点作AB CQ ⊥，连接DQ .易证CDQ ∆∽CPB ∆，∴ 45=∠=∠B DQC∴CQD ∆≌AQD ∆（SAS ）以下同方法一.图3方法三：如图4，过C 点作CP CQ ⊥交PD 的延长线于点Q ，连接AQ . 易证CQA ∆≌CPB ∆∴PB AQ =， 45=∠=∠CBP CAQ∴ 90=∠QAP . 在等腰直角CPQ ∆中，D 点是PQ 的中点， 图4 ∴在PAQ Rt ∆中，PQ AD 21=，∴DP AD =∴ADP ∆是等腰三角形 . 方法四：如图5，过点C 作CD CM ⊥，过P 点作PD PM ⊥ 交CM 于点M ，过C 点作AB CQ ⊥交AB 于点Q ，连接QM ，BM . 易证四边形CDPM 为正方形，QM 平分CQP ∠，∴ 45=∠=∠PQM CQM ， 图5∴CQM ∆≌BQM ∆（SAS ）∴CM BM =，又∵PD CM =∴PD BM =易证CMB ∆≌CDA ∆，∴AD BM =，∴DP AD =∴ADP ∆是等腰三角形 .方法五：如图6，过点C 作CD CQ ⊥，过P 点作PD PQ ⊥交CQ 于点Q ，过点D 作AB DM ⊥交AB 于点M ，过点Q 作AB QN ⊥交AB 于点N .易证PDM ∆≌QPN ∆，CQB ∆≌CDA ∆. 图6∴PD PQ =，AD QB =,CQB CDA ∠=∠， 90=∠+∠PDM PQN . 又∵ADC CMB ADC ADP ∠-=∠-∠-=∠27036090-∠=∠-∠=∠CQB CQP CQB PQB∴ 180=∠+∠PQB ADP ，∴ 90=∠+∠ADM BQN ，∴DAM BQN ∠=∠，易证ADM ∆≌QBN ∆，∴QM AD =，∴DP AD =∴ADP ∆是等腰三角形 .3 对解法的再认识该图形简单又漂亮，更重要的是我们在初二几何里学的常见的辅助线的构造都可以在该图形中呈现.比如方法一，看到等腰三角形想“三线合一”，故过C 点作AB CQ ⊥交AB 于点Q ，由于CDP ∆是等腰直角三角形，则得到了常见的基本图形，如图7：如果CDP ∆为等腰三角形，QP CQ ⊥，那么连接直角三角形的直角顶点DQ ，则DQ 是CQP ∆的外角平分线，即45=∠=∠DQA CQD ，我们平时称该图形为“钻石三角形”. 再由CQD ∆和AQD ∆对称全等，得结果.与方法一类似，还可以构造“钻石三角形”的内角平分线，如图5. 由等腰 图7 直角CDP ∆想到构造正方形CDPM ，那么在图形CQPM 中，如图8：因为CMP ∆是等腰直角三角形，QP CQ ⊥，所以连接QM ，则QM 平分CQP ∠.（“钻石三角形”内角平分线），其它见方法四.在原题中，如图1，仔细观察该图形，是一个等腰三角形的顶点对另一个等腰三角形的底角的形式（简称“两个等腰三角形的顶对底”），我们还可以想到“加倍或减半”进行构造. 图8“加倍”如图4，就得到了共顶点的两个等腰直角三角形CPQ ∆和CBA ∆，构造“手拉手”基本模型，得全等，即CDP ∆≌CQA ∆.其实图5当中构造正方形也是另外一种形式的“加倍”,同样可构造“手拉手”基本模型.“减半”即把CAB ∆减半 ，如图3. 减半之后就得到了两个底角对底角的等腰直角三角形，CDP ∆和CQB ∆.那么通过“边对边、底对低”可得三角形相似，即CDQ ∆和CPB ∆相似，既而得到 45=∠=∠B DQC ，具体思路见方法二.或者看到等腰直角三角形，想到构造“三垂直”，如图6. 但这种方法要比其它方法复杂一点，就是要看到ADP ∠和PQB ∠互补，证明方法见方法五. 不过该方法也有它特别的一面，就是再往后研究，我们可以发现ADP ∆和BQP ∆不仅都是等腰三角形，而且面积也相等.综上以上五种方法可用一句话总结：过C 点通过旋转或翻折构造全等或相似.几何图形很神秘、很美妙、很漂亮，经常会有让人看它一眼就再也无法忘记的特别存在. 我们就是这样被它吸引着，不知不觉中发现了它们各自的独特美又发现了它们美的通性，而自己的思维与想象也在不断的发生着变化，从量变到质变，眼界与能力同时也得到了升华.。
初一数学一题多解
例题一、如图1，已知AB//CD ，试找出B ∠、BED ∠和D ∠的关系并证明。
我们找出他们的关系是：D B BED ∠+∠=∠。
证明如下：方法一：如图2，过点E 作EF//AB 。
因为EF AB //，所以B BEF ∠=∠；因为CD AB //，EFAB //，所以CDEF //，所以D FED ∠=∠，所以D B FED BEF BED ∠+∠=∠+∠=∠。
方法二：如图3，过点E 作EF//AB 。
因为EF AB //，所以 180=∠+∠B BEF ，即B BEF ∠-=∠ 180；因为CD AB //，EF AB //，所以CD EF //，所以 180=∠+∠D FED ，即D FED ∠-=∠ 180；因为︒=∠+∠+∠360FED BED BEF ，所以)180180(360)(360D B FED BEF BED ∠-+∠--=∠+∠-=∠︒︒ D B ∠+∠=。
方法三：如图4，连接BD 。
因为CD AB //，所以 180=∠+∠BDC ABD ，即)(180EDB EBD EDC ABE ∠+∠-=∠+∠ ；在ΔBED 中，)(180EDB EBD BED ∠+∠-=∠ ，所以EDC ABE BED ∠+∠=∠。
方法四：如图5，过点E 做AB FG ⊥，垂足为点F ，交CD 于点G 。
因为CD AB //，所以 90180=∠-=∠EFB EGD ；在直角ΔEGD 中，D GED ∠-=∠90，在直角ΔEFB中，BFEB ∠-=∠ 90，所以)9090(180)(180B D FEB GED BED ∠-+∠--=∠+∠-=∠ D B ∠+∠=。
方法五：如图6，延长BE 交CD 于点F 。
因为CD AB //，所以B EFD ∠=∠；在ΔEFD 中，FED D EFD ∠-=∠+∠ 180，又因为FED BED ∠-=∠ 180，所以D B D EFD BED ∠+∠=∠+∠=∠。
一题多解的数学题
一题多解的数学题在数学中，有一类特殊的问题被称为“一题多解的数学题”。
这类题目的特点是，针对同一个问题，可能会有多种不同的解法，每种解法都是正确的，但可能从不同的角度或方法出发。
这种题目不仅考察了学生的计算能力，更注重了学生的思维能力和创新能力。
举一个简单的例子来说明一题多解的数学题。
假设有一个简单的方程题：2x +3 = 7，求解x的值。
这个问题看似简单，但实际上有多种不同的解法。
一种解法是直接移项求解，即2x = 4，x = 2。
另一种解法是通过代数方法，将方程两边同时减去3，得到2x = 4，再除以2，得到x = 2。
这两种解法都是正确的，但从不同的角度出发，展现了学生不同的思维方式。
在实际的数学学习中，遇到一题多解的数学题是很常见的。
这种题目不仅可以锻炼学生的逻辑思维能力，更能够激发学生的兴趣和创造力。
通过多种解法的比较和讨论，学生可以更加深入地理解数学概念，发现问题的本质，培养解决问题的能力。
当学生遇到一题多解的数学题时，可以尝试不同的方法去解决，比较不同解法的优缺点，思考哪种方法更加简洁、高效，或者更符合自己的思维习惯。
这种比较和思考的过程，有助于学生培养批判性思维，提高解决问题的能力，同时也增强了对数学的兴趣和自信心。
总的来说，一题多解的数学题是数学学习中的一种重要形式，它能够激发学生的思维能力和创造力，培养学生解决问题的能力，提高学生的数学学习兴趣。
学生在解题的过程中，可以尝试不同的解法，比较不同解法的优劣，从而更加全面地理解数学概念，提高数学解题的能力。
因此，教师在教学中应该多设计一题多解的数学题，引导学生积极思考，不断提升解决问题的能力，从而更好地学习数学，发展自己的潜力。
七年级数学实数一题多解案例
七年级数学实数一题多解案例在数学学习中，我们经常会遇到一些数学题目，有时候我们会发现一个问题有多种解法。
这样的情况在实数中也是很常见的。
本文将通过一个七年级数学的实数题目来说明一题多解的情况。
题目：已知集合A={-1, 2, 3}，集合B={x^2 | x ∈ A}，求集合B的所有元素。
解法一：逐个计算首先，我们可以逐个计算集合A中的元素的平方，然后得到集合B的所有元素。
-1的平方等于1，2的平方等于4，3的平方等于9。
所以，集合B的所有元素为{1, 4, 9}。
解法二：列出集合B的元素表达式我们也可以通过列出集合B的元素表达式来得到集合B的所有元素。
集合A中的元素是{-1, 2, 3}，那么集合B的元素表达式可以写为{x^2 | x∈{-1, 2, 3}}。
将集合A中的元素依次代入元素表达式中，我们可以得到集合B的所有元素。
当x=-1时，x^2=1。
当x=2时，x^2=4。
当x=3时，x^2=9。
所以，集合B的所有元素为{1, 4, 9}。
解法三：使用集合间运算除了以上两种解法，我们还可以使用集合间的运算来得到集合B的所有元素。
集合B={x^2 | x ∈ A}，意味着集合B中的元素是集合A中的每个元素的平方。
我们可以将集合A中的元素平方后得到新的集合，再将新的集合作为集合B的所有元素。
集合A中的元素是{-1, 2, 3}，将其平方后得到新的集合{-1^2, 2^2,3^2}，即{1, 4, 9}。
所以，集合B的所有元素为{1, 4, 9}。
综上所述，根据题目给出的集合A={-1, 2, 3}，我们可以通过逐个计算，列出元素表达式以及使用集合间运算的方法得到集合B的所有元素为{1, 4, 9}。
通过这个例子，我们可以看到在实数中存在一题多解的情况。
而且不同的解法可能会有不同的思路和方法。
在数学学习中，我们要灵活运用各种方法，培养多样化的思维方式，提高解题的能力。
同时，也要注意题目的具体要求，选择合适的解法来得到满足题目要求的答案。
中考数学一题多解课件
B
B
C
证法3：在AD上取点E，使DE=CD,连接BE
证法4：取BC中点E，连接DE，利用直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等
腰三角形的性质求解。
B
A
D
E
C
A E D
C
如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=600，
∠B=∠D=900，求四边形ABCD的面积。
D C
E
D
E
DF
C
DEA C
FF B
G
E
D A
CF B
证法5
E
D
A G
CF B
证法6
E
D A
CF GB
证法7
已知，如图所示，AB是⊙O的直径，C在AB延长线上，CD切 ⊙O于D，DE⊥AB于E。 求证：∠EDB=∠CDB
A
OE
B
C
A
OE
B
C A
OE
B
C
D
解法1
D
解法2
D
A
OE
B
C
A
OE B
C A
OE B
C
D
解法3
D
解法5
D
思考8.以两种方式表达手推车的满载重量：0.5x+180=4x+5 思考9：以两种方式表达一袋面粉重量并且在其中一种表达中不许出现x: (180-5)/(4-0.5)=x
如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D
1
求证：∠DBC= ∠BAC
2
A
证法1：直接用三角形导角
(完整)初中数学一题多解题
初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=323即4x^2-1=323x^2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x^2-1=323x^2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得135992512433202x y z x y z ++=<>++=<>⎧⎨⎩.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。
1. 凑整法解1：<>+<>123，得5344153x y z ++=<>.<>+<>23，得7735().x y z ++=∴++=x y z 105. 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略） 解2：原方程组可变形为134292522320()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=⎧⎨⎩ 解之得：x y z ++=105.2. 主元法解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2>得x z =-0505..，y z =-05505.. ∴++=+-+=x y z z z 05505105...解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2>得y x z x =+=-00512.，∴++=+-+=x y z x x x 1052105..解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2>得x y z y =-=-005112..， ∴++=-++-=x y z y y y 005112105...3. “消元”法解6：令x =0，则原方程组可化为5992543320051y z y z y z +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩... ∴++=x y z 105.解7：令y =0，则原方程组可化为1399252332000511x z x z x z +=+=⎧⎨⎩⇒=-=⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.解8：令z =0，则原方程组可化为1359252432005055x y x y x y +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.4. 参数法解9：设x y z k ++=，则1359925124332023x y z x y z x y z k ++=<>++=<>++=<>⎧⎨⎪⎩⎪..∴<>-<>⨯123，得x y -=-<>0054.<>⨯-<>332，得x y k -=-<>3325.∴由<4>、<5>得332005k -=-..∴=k 105.即x y z ++=105.5. 待定系数法解10. 设x y z a x y z b x y z a b x a b y a b z ++=+++++=+++++<>()()()()()135924313254931则比较两边对应项系数，得1321541931121421a b a b a b a b +=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪⇒==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 将其代入<1>中，得x y z ++=⨯+⨯=⨯=121925421321212205105....附练习题1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。
一题多解之五种方法解一道经典数学题
B一题多解之五种方法解一道经典数学题一题多解是我们学习数学的特好方法！通过一题多解，我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案，这样不仅能加强知识间的联系，同时也增添新颖性和趣味性，优化我们的思维结构，提升我们的思维能力。
更重要的是，一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现，而是让我们拥有了研究学问的态度！例题 如图，在平面直角坐标系中，点A (－1，0)，B (0，3)，直线BC 交坐标轴于B ，C 两点，且∠CBA ＝45°.求直线BC 的解析式．【分析】要求BC 解析式，现在已经知道了B 点坐标，所以只要求到C 点坐标就好了。
这就要用到条件∠CBA ＝45°。
但这个条件如何用呢？这是本题的难点，也是关键点。
考虑到这个角是45°，我们可以尝试做垂线，构造等腰直角三角形。
如图①，作AD ⊥BC 于D ，由A 、B 的坐标可知1OA =，3OB =，根据勾股定理2210AB OA OB =+=，5BD AD ==AC x =，则1OC x =+，25DC x =-255BC x =-，在RT OBC ∆中，根据勾股定理得出222OC OB BC +=，即()222213(55)x x ++=-，解得152x =-（舍去），25x =，求得6OC =，得出C （﹣6，0），然后根据待定系数法即可求得BC 的解析式．解法一：如图①，作AD ⊥BC 于D ，②∵点A （﹣1，0），B （0，3），∴1OA =，3OB =，∴AB =， ∵∠CBA =45°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴BD AD == 设AC x =，则1OC x =+， ∴25DC x =-，∴BC=+255BC x =-+，在152x =-中，222OC OB BC +=2，即()22213x ++=）， 解得x 1=﹣（舍去），25x =，∴5AC =，6OC =，∴C （﹣6，0）， 设直线BC 的解析式为3y kx =+，解得12k =，∴直线BC 的解析式为132y x =+． 【点评】虽然这种解法思路比较清晰，但是用勾股定理得出的方程比较复杂，解方程很繁，很费时，很累。
初中数学一题多变一题多解(二)
一题多解一题多变（二）1、一题多解，培养思维的发散性一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。
这方面的例子很多，尤其是几何证明题。
已知：点O是等边△ABC内一点,OA=4，OB=5，OC=3求∠AOC的度数。
练习：把此题适当变式:变式在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°OA=4，OB=6，OC=2求∠AOC的度数。
变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?2、一题多变，培养思维的灵活性一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。
一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。
例如：已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示）求证：AN=BM（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。
初中数学一题多解精彩题集
初中数学一题多解精彩题集1．（2009年中山市）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值． 解：（1）在正方形ABCD 中，49A B B C C D B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥， 90AMN ∴∠=°，90CMN AMB ∴∠+∠=°．在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°， CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△． ··········································· 2分 （2）Rt Rt ABM MCN △∽△，44AB BM xMC CN x CN∴=∴=-，， 244x x CN -+∴=， ···························································································· 4分22214114428(2)102422ABCNx x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． ································································· 6分（3）方法一：90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM ABMN BM=， ··················································· 7分 由（1）知AM ABMN MC=， BM MC ∴=，∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．····························· 9分方法二：作ME 垂直AN 于E ，可证MB=ME,MC=ME ，则MB=MC 。
(完整)初中数学一题多解题
初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=323即4x^2-1=323x^2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x^2-1=323x^2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得135992512433202x y z x y z ++=<>++=<>⎧⎨⎩.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。
1. 凑整法解1：<>+<>123，得5344153x y z ++=<>.<>+<>23，得7735().x y z ++=∴++=x y z 105. 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略） 解2：原方程组可变形为134292522320()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=⎧⎨⎩ 解之得：x y z ++=105.2. 主元法解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2>得x z =-0505..，y z =-05505.. ∴++=+-+=x y z z z 05505105...解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2>得y x z x =+=-00512.，∴++=+-+=x y z x x x 1052105..解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2>得x y z y =-=-005112..， ∴++=-++-=x y z y y y 005112105...3. “消元”法解6：令x =0，则原方程组可化为5992543320051y z y z y z +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩... ∴++=x y z 105.解7：令y =0，则原方程组可化为1399252332000511x z x z x z +=+=⎧⎨⎩⇒=-=⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.解8：令z =0，则原方程组可化为1359252432005055x y x y x y +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.4. 参数法解9：设x y z k ++=，则1359925124332023x y z x y z x y z k ++=<>++=<>++=<>⎧⎨⎪⎩⎪..∴<>-<>⨯123，得x y -=-<>0054.<>⨯-<>332，得x y k -=-<>3325.∴由<4>、<5>得332005k -=-..∴=k 105.即x y z ++=105.5. 待定系数法解10. 设x y z a x y z b x y z a b x a b y a b z ++=+++++=+++++<>()()()()()135924313254931则比较两边对应项系数，得1321541931121421a b a b a b a b +=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪⇒==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 将其代入<1>中，得x y z ++=⨯+⨯=⨯=121925421321212205105....附练习题1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。
初中数学 一题多解
一题多解题1.已知a、b为实数，且ab≠0＝.2.小明等五名同学四月份参加某次数学测验（满分为120）的成绩如下：100、100、x、x、80．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数x的值为．3.“五一”期间，某超市推出如下购物优惠方案：（1）一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内时一律享受九折的优惠；（3）一次购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠.在此期间某顾客一次性购物付款252元，那么该顾客比平时购买总价相同的商品（没有优惠的时候）优惠了元.4.已知，如图1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为.5.线段AB的两端点的坐标为A（-1，0），B（0，-2）现请你在坐标轴上找一点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是直角三角形，则满足条件的P点的坐标是6.如图2，在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（－1，－2）、C（2，－2）三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是7.已知矩形的长为3，宽为1，现将四个这样的矩形用不同的方式拼成一个面积为12的大矩形，那么这个大矩形的周长是8.如图4，在边长为1的正方形网格中画有一个圆心为O的半圆,请在网格中以O为圆心,画一个与已知半圆的半径不同,且面积相等的扇形．9. 题a：如图5，AB=AC，AD⊥BC于点D，请你在△ABC内部，仅用圆规确定E、F两点，使∠BEC=∠BFC=90°.题b：如图6，四边形ABCD是一个等腰梯形,请直接在图中仅用直尺,准确．．画出它的对称轴.10.把一个等边三角形分成四个等腰三角形，要求：1.除图a外再画出三种互不相同的分法，2.像图a一样，注明每个等腰顶角的度数.11..如图8是由三个小正方形组成的图形，现再给你一个同样的小正方形拼接在原图上，使原图形变为一个轴对称图形，请你分别在图a、b、c中画出不同的拼接方案，并画出对称轴.12.甲同学用如图9所示方法作出了C点，在△OA B中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC．（1）C点所表示的数是；（2）仿照甲同学的做法，在如下所给数轴上描出表示－29的点C．13.如图10，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．14.甲、乙两同学对关于y 、x 的抛物线f: 22222y x mx m m =-++进行探讨交流时，各得出一个结论.甲同学：当抛物线f 经过原点时，顶点在第三象限平分线所在的直线上;乙同学：不论m 取什么实数值，抛物线f 顶点一定不在第四象限.(1)请你求出抛物线f 经过原点时m 的值及顶点坐标，并说明甲同学的结论是否正确？(2)乙同学的结论正确吗？若你认为正确，请求出当实数m 变化时，抛物线f 顶点的纵横坐标之间的函数关系式，并说明顶点不在第四象限的理由；若你认为不正确，求出抛物线f 顶点在第四象限时，m 的取值范围.15.已知抛物线2141y x x =++的图象向上平移m 个单位（0m >）得到的新抛物线过点（1，8）.（1）求m 的值，并将平移后的抛物线解析式写成22()y a x h k =-+的形式；（2）将平移后的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y 的解析式，在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，并直接写出y 与1y 之间关系式.16. 已知抛物线m 、n 的解析式分别是关于y 与x 的关系式：2222m y x mx =--22222m y x mx +=--与. （1）对上述两个抛物线说法正确的序号是 ；①两条抛物线与y 轴的交点一定不在x 轴的上方②在抛物线m、n中，可以将其中一条抛物线经过向上或向下平移得到另一条抛物线③在抛物线m、n中，可以将其中一条抛物线经过向左或向右平移得到另一条抛物线④两条抛物线的顶点之间的距离为1（2）若这两条抛物线中，只有一条与x轴交于A、B（A点在左）两个不同的点，问是哪条抛物线经过A、B两点？为什么？并求出A、B两点的坐标.17. 某校七年级学生准备去购买《英汉词典》一书，此书的标价为20元，现A，B两书店都有此书出售，A店按如下方法促销：若只购1本则按标价销售，若一次性购买多于1本，但不多于20本时，每多购1本，每本售价在标价的基础上优惠2％(例如买两本,每本价优惠2％;买3本每本价优惠4％,依此类推)，若多于20本时，每本售价为12元；B书店一律按标价的7折销售.（1）试分别写出在两书店购此书总价y，B y与购书本数x之间的函数关系式；A（2）若某班一次性购买多于20本时，那么去哪家书店购买更合算，为什么？若要一次性购买不多于20本时，先写出y（y=y-B y）与购书本数x之间的函数式，画出其函数图象，再利用函数图象分析去哪家书店买更合算.。
初中代数一题多解 pdf
初中代数一题多解的例子可以有很多，这里我提供一个关于一元一次方程的一题多解的例子。
**题目**：解方程$2x + 3 = 7$。
**解法一：移项法**
1. 将方程$2x + 3 = 7$ 中的常数项移到等号的另一边，得到$2x = 7 -3$。
2. 计算$7 - 3$，得到$2x = 4$。
3. 将方程两边都除以2，得到$x = \frac{4}{2}$。
4. 计算$\frac{4}{2}$，得到$x = 2$。
**解法二：等式性质法**
1. 根据等式性质，两边同时减去3，得到$2x = 4$。
2. 接着，根据等式性质，两边同时除以2，得到$x = 2$。
**解法三：代入法（虽然对于简单的一元一次方程来说不太常用，但也是一种方法）**
1. 假设$x$ 的一个可能值为$a$。
2. 将$a$ 代入方程$2x + 3 = 7$，得到$2a + 3 = 7$。
3. 解这个关于$a$ 的方程，得到$a = 2$。
4. 因此，原方程的解为$x = 2$。
这个例子展示了同一方程可以通过不同的代数方法得到相同的解。
在实际解题过程中，选择哪种方法取决于问题的复杂性和个人的解题习惯。
对于更复杂的问题，一题多解不仅有助于检验答案的正确性，还能加深对问题本质的理解。
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初中数学一题多解精彩题集1．（2009年中山市）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值． 解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥， 90AMN ∴∠=°，90CMN AMB ∴∠+∠=°．在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°， CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△． ··········································· 2分 （2）Rt Rt ABM MCN △∽△，44AB BM xMC CN x CN∴=∴=-，， 244x x CN -+∴=， ···························································································· 4分22214114428(2)102422ABCNx x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． ································································· 6分（3）方法一：90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM ABMN BM=， ··················································· 7分 由（1）知AM ABMN MC=， BM MC ∴=，∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．····························· 9分方法二：作ME 垂直AN 于E ，可证MB=ME,MC=ME ，则MB=MC 。
方法三：延长NM 与直线AB 交于点E,利用全等三角形，可证MB=MC 。
方法四：设MB=x ，列方程。
2．（2009年烟台市）如图，AB ，BC 分别是O ⊙的直径和弦，点D 为BC 上一点，弦DE 交O ⊙于点E ，交AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的切线交ED 的延长线于H ，且HC HG =，连接BH ，交O ⊙于点M ，连接MD ME ，．NDA CB M第1题图求证：（1）DE AB ⊥；（2）HMD MHE MEH ∠=∠+∠． （1）证明：方法一：连接OC ，HC HG HCG HGC =∴∠=∠，． ························· 1分 HC 切O ⊙于C 点，190HCG ∴∠+∠=°， ··········· 2分 12OB OC =∴∠=∠，， ······································ 3分 3HGC ∠=∠，2390∴∠+∠=°．······················· 4分 90BFG ∴∠=°，即DE AB ⊥． ···························· 5分 方法二：连接OC 、AC 。
证BGF 相似于BAC （2）方法一：连接BE ．由（1）知DE AB ⊥． AB 是O ⊙的直径，∴BD BE =． ······························································································· 6分BED BME ∴∠=∠． ····················································································· 7分 四边形BMDE 内接于O ⊙，HMD BED ∴∠=∠． ··········································· 8分 HMD BME ∴∠=∠．BME ∠是HEM △的外角，BME MHE MEH ∴∠=∠+∠． ······························ 9分 HMD MHE MEH ∴∠=∠+∠． ···································································· 10分 方法二：连接AM 证∠HMD=∠EMB=∠MHE+∠MEH 就行了。