2017年全国数学竞赛真题AB卷

由余弦定理得， DE AD2 AE2 2AD AE cos60
49 16 28 37 ，
同理有 DF 37 .
作等腰 DEF 底边 EF 上的高 DH ，则 EH
于是 S DEF
1 EF DH
2
2 33 .
1 EF 2
2 ，故 DH
DE 2 EH 2
33 ，
6. 答案： 5 14
解：注意 K 中共有 9 个点，故在 K 中随机取出三个点的方式数为
二、解答题
9.设 k, m 为实数，不等式 x 2 kx m 1对所有 x a, b 成立 .证明： b a 2 2 .
10.设 x1, x2 , x3 是非负实数，满足 x1
x2
x3 1 ，求 ( x1 3 x 2 5 x3 )( x1
x2 3
小值和最大值 .
x3 ) 的最 5
11.设复数 z1, z2 满足 Re(z1 ) 0， Re(z2 ) 0 ，且 Re( z12 ) Re( z22 ) 2（其中 Re( z) 表示 复数 z 的实部） .
（ 1）求 Re(z1 z2 ) 的最小值；
（ 2）求 z1 2 z2 2 z1 z2 的最小值 .
2017 年全国高中数学联赛 A 卷 二试
一.如图， 在 ABC 中， AB AC ， I 为 ABC 的内心， 以 A 为圆心， AB 为半径作圆 1 ， 以 I 为圆心， IB 为半径作圆 2 ，过点 B, I 的圆 3 与
5.正三棱锥 P ABC 中， AB 1， AP 2 ，过 AB 的平面 将其体积平分，则棱 PC 与
平面 所成角的余弦值为 __________ .
6.在平面直角坐标系 xOy 中， 点集 K ( x, y) x, y 1,0,1 .在 K 中随机取出三个点， 则这
三点中存在两点之间距离为 5 的概率为 __________.
三、（本题满分 50 分） 如图，点 D 是锐角 ABC 的外接圆 上弧 BC 的中点，直线 DA 与圆 过点 B,C 的切线分别相交于点 P, Q ， BQ 与 AC 的交点为 X ， CP 与 AB 的交点为 Y ， BQ 与 CP 的交点为 T ，求证： AT 平分线段 XY .
四、（本题满分 50 分） 设 a1, a2, , a20 {1,2, ,5} ， b1, b2 , , b20 {1,2, ,10} ，集合 X {( i, j ) 1 i j 20,( ai a j )(bi bj ) 0} ，求 X 的元素个数的最大值 .
f (2) ( 1 a)(5 a) 0
此 f (t ) 0 等价于
，解得 3 a 5
f (4) (3 a)(5 a) 0
所以实数 a 的取值范围是 3 a 5 .
10. 解：（ 1）设等差数列 { an} 的公差为 d ，则 bn 1 bn (an 2an 3 an2 1 ) (an 1an 2 an2 )
x2 ( a)2
1，则 c2
(
a )2 ( a)2
a2 a ，注意到焦距 2c 4 ，可知 a 2 a
4 ，又 a 0 ，
所以 a 1
17
.
2
8. 答案： 574
解：由条件知 c
2017 []
2 ，当 c 1 时，有 10
b
20 ，对于每个这样的正整数
b ，由 10 b
a 201 知，
1000
相应的 a 的个数为 202 10b ，从而这样的正整数组的个数为
10. 设数列 { an} 是等差数列，数列 { bn} 满足 bn an 1an 2 an2 ， n 1,2, . （ 1）证明：数列 { bn} 也是等差数列； （ 2）设数列 { an} 、 { bn} 的公差均是 d 0 ，并且存在正整数 s,t ，使得 as bt 是整数，求 | a1 | 的最小值 .
an 2 (an 3 an 1) (an 1 an )(an 1 an ) an 2 2d (an 1 an ) d (2an 2 an 1 an ) d 3d 2
所以数列 { bn} 也是等差数列 .
（ 2）由已知条件及（ 1）的结果知： 3d 2 d ，因为 d bn an 1an 2 an2 (an d )(an 2d ) an2
2017 年全国高中数学联赛 A 卷 一试
一、填空题
1.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，对任意实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 .又当 0 x 7
时， f ( x) log 2 (9 x) ，则 f ( 100) 的值为 __________. 2.若实数 x, y 满足 x 2 2 cos y 1 ，则 x cos y 的取值范围是 __________.
7.在 ABC 中， M 是边 BC 的中点， N 是线段 BM 的中点 .若 A ， ABC 的面积为 3
3 ，则 AM AN 的最小值为 __________.
8.设两个严格递增的正整数数列
an , bn 满足： a10 b10 2017 ，对任意正整数 n ，有
an 2 an 1 an ， bn 1 2bn ，则 a1 b1 的所有可能值为 __________.
一、填空题：本大题共 8 个小题 , 每小题 8 分, 共 64 分.
1. 在等比数列 { an} 中， a2
2 ， a3 3 3 ，则 a1 a2011 的值为
.
a7 a2017
2. 设复数 z 满足 z 9 10z 22i ，则 | z |的值为
.
3. 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，若 f ( x) x2 是奇函数， f ( x) 2x 是偶间距离不超过 2 时，有如下三种情况：
（ 1）三点在一横线或一纵线上，有 6 种情况，
（ 2）三点是边长为 1,1, 2 的等腰直角三角形的顶点，有 4 4 16 种情况，
（ 3）三点是边长为 2, 2,2 的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于
(0,0) 的有 4 个，直角顶点位
x2 3.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为 :
y 2 1 ， F 为 C 的上焦点， A 为 C 的
9 10
右顶点， P 是 C 上位于第一象限内的动点， 则四边形 OAPF 的面积的最大值为 __________.
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过
1，则称其为“平稳数” .平稳数的个数是
a 9 10a ，解得： a 1,b 2 ，故 z 1 2i ，进而 | z | 5 .
b 10b 22
3. 答案： 7 4
解：由条件知， f (1) 1
( f ( 1) ( 1)2 )
f ( 1) 1 ， f (1) 2
两式相加消去 f ( 1) ，可知： 2 f (1) 3
1 ，即 f (1)
7
1 , 2 分别交于点 P, Q （不同于点 B ）.设 IP 与 BQ 交于 点 R .证明： BR CR
二 .设数列 an 定义为 a1 1 ， an 1 的正整数 r 的个数 .
an n, an n, an n, an n,
n 1,2, .求满足 ar r 32017
三.将 33 33 方格纸中每个小方格染三种颜色之一， 使得每种颜色的小方格的个数相等 .若相
之间距离均不超过 2 的概率为
.
7. 设 a 为非零实数，在平面直角坐标系 xOy 中，二次曲线 x2 ay2 a2 0 的焦距为 4，则 a 的值
为
.
8. 若正整数 a,b,c 满足 2017 10a 100b 1000c ，则数组 (a,b, c) 的个数为
.
二、解答题 （本大题共 3 小题，共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ） 9. 设不等式 | 2x a | |5 2x | 对所有 x [1,2] 成立，求实数 a 的取值范围 .
一、（本题满分 40 分） 设实数 a,b,c 满足 a b c 0 ，令 d max{ a , b , c } ，证明： (1 a)(1 b)(1 c) 1 d 2
二、（本题满分 40 分） 给定正整数 m ，证明：存在正整数 k ，使得可将正整数集 N 分拆为 k 个互不相交的子集 A1, A2 , , Ak ，每 个子集 Ai 中均不存在 4 个数 a, b, c, d （可以相同） ，满足 ab cd m .
.
2
4
1 f ( 1) ，
2
4. 答案：
2
4
解：由正弦定理知，
a
sin A
2
2 ，又 b
ac ，于是 a : b : c 2: 2 :1 ，从而由余弦定理得：
c sin C
b2 c2 a2 ( 2) 2 12 22
2
cos A
.
2bc
2 21
4
5. 答案： 2 33
解：由条件知， EF 平行于 BC ，因为正四面体 ABCD 的各个面是全等的正三角形， 故 AE AF EF 4 ， AD AB AE BE 7 .
.
4. 在 ABC 中，若 sin A 2sin C ，且三条边 a, b, c 成等比数列，则 cos A 的值为
.
5. 在正四面体 ABCD 中， E, F 分别在棱 AB, AC 上，满足 BE 3 ， EF 4 ，且 EF 与平面 BCD 平行，
则 DEF 的面积为
.
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K {( x, y) | x, y 1,0,1} ，在 K 中随机取出三个点，则这三个点两两
1. 答案： 8 9
解：数列 { an } 的公比为 q
a3 a2
一试试卷答案
33
，故
a1