清华大学高等量子力学-Lecture-15
清华大学量子力学讲义
任意矢量：
a
ˆ 算符（对矢量的运算，例如平移，旋转等） ： Ta 基矢： en , n 1, 2,3
基矢完备性： 内积： 矢量模方：
b ，仍然是 3 维空间中的一个矢量。
3 a an en
n 1
a b anbm en em
n ,m
n
写出矩阵形式： 外积： 由于 a b
a b
b Fa
ˆ 的矩阵形式，是一个方阵，矩阵元是 F 。 F 是算符 F mn
c
b
a
b
c ， a b 的作用是把矢量 c 变成了另一个平行于 a 的矢量，故外
积 a b 是一个算符。它的具体表示是一个方阵，矩阵元是
a
mn
ma bn ma nb
类似性： sx , s y , sz 和 Ex ' , E y ' 都可看成二分量矢量 不同： s 是内禀角动量，量子力学量； E 是空间相关力学量，经典力学量。
3
2. 线性矢量空间
从上一节，电子自旋角动量在任意方向的投影 sn 只能取两个值，可看成是一个二维矢量。为了 建立量子力学的矩阵描述方式，先讨论线性矢量空间。 1）3 维矢量空间
量子性质：当 sz 有确定值时， sx 没有确定值。 sz 和 sx 不能同时有确定值！
S N
S Sz+ Sz图b
Sx＋ Sx-
N
再让入射原子束经过 Z，X 和 Z 方向的三个磁场，见图 c。最后观察到 sz 有 sz 和 sz 两个分
量，说明在第三个磁场之前 sz 有两个值 sz 和 sz 两个分量（虽然 sx 有确定值 sx ） 。
高等量子力学 课件
进而 对于任意的 fr(q) , 总可以进行如下的幺正变换:
(q) 是任意实函数. 于是上式成为:
21
因而, 只要选择 (q) 使得
就有 即 譬如:
(通过适当选择基矢的相因子)
22
于是, 对于任一依赖于坐标和动量的算符
有
小结 在坐标表象中，坐标算符和动量算符对态矢量的作 用, 对应于以下算符对波函数的作用:
15
形式上, 可以把(k), A(k, k)理解为下标连续改变的矩阵:
16
§1.3.4 坐标表象
1 基矢 以体系的Descartes直角坐标本征态为基矢的
表象称为坐标表象, 或Schrodinger表象.
选取全体Descartes直角坐标
为厄米
算符完备组, 可以证明, 其本征值有连续谱, 于是正交归
反之 i = Ui 上述即为矢量的表象变换.
11
二、算符的表象变换
设算符A在K表象、L表象中分别表示为{Aij}和{A}:
Aij = iAj , A = A.
于是， A = ij iiAjj
即
一化关系和完备性公式分别为:
17
2 态矢量|和坐标算符函数的表示
其中,
是
在 |q 上的本征值.
进而,
18
3 动量算符的表示
利用原理3, 即 Heisenberg 对易关系 有
我们知道 (x) 具有性质:
19
将 与 则知, 若
取如下形式
对比
可使上述等式恒成立. 其中 fr(q)是q的任意实函数.
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符
《高等量子力学》课程教学大纲
《高等量子力学》课程教学大纲一、中文课程简介（含课程名、课程编号、学分、总学时、课程内容概要等内容）课程名称：高等量子力学课程编号：学分：3学时：48高等量子力学是本科初等量子力学的延伸。
本课程简明扼要地介绍量子力学的基本概念和重要框架后，简要讲解：粒子数表象、形式微扰理论、角动量理论、量子力学体系的对称性、时间反演对称性、相对论量子力学、前沿专题介绍。
二、英文课程简介（含课程名、课程编号、学分、总学时、课程内容概要等内容）Course Title：Advanced Quantum MechanicsCourse Code：Credit Value ：3Total Hours ：48Course Introduction ：Quantum mechanics underpins a variety of broad subject areas within the physical sciences from high energy particle physics, solid state and atomic physics through to chemistry. By building upon the conceptual foundations introduced in the undergraduate Quantum Physics course, the aim of Advanced Quantum Mechanics is to develop further conceptual insights and technical fluency in the subject. The subjects involve occupation representation, perturbation theory, angular momentum theory, symmetries, relativistic quantum mechanics, and some introduction of research sunjects.三、教学目标1、通过本课程的学习要求学生掌握高等量子力学的基本方法，并能较熟练的运用基本规律解决问题。
高等量子力学
高等量子力学连续谱在量子力学中有一些可观测量具有连续的本征值。
于是我们从从本征值方程出发，在连续谱的情况下它被写成：\hat \xi | \xi' \rangle = \xi' | \xi' \rangle \tag{1}其中\hat \xi是一个算符，而\xi' 只是一个数。
也就是说，右矢| \xi'\rangle是算符\hat \xi的一个本征右矢，其本征值为\xi'。
为了类比于分立谱，我们用：狄拉克的\delta函数替代克罗内科符号。
用对连续变量\xi'的积分代替对本征值\{ a_n \}的分立求和。
因此我们有：\langle a_m|a_n\rangle =\delta _{mn}\longrightarrow \langle\xi _p|\xi _q\rangle =\delta \left( \xi _p-\xi _q \right) \tag{2} \sum_n{\left| a_n \right> \left< a_n \right|}=I\longrightarrow\int{d\xi _q\left( \left| \xi _q \right> \left< \xi _q \right|\right)}=I \tag{3} \left| \alpha \right> =\sum_n{\left| a_n\right>}\langle a_n|\alpha \rangle \longrightarrow \left| \alpha \right> =\int{d\xi _q\left| \xi _q \right> \langle \xi _q|\alpha \rangle} \tag{4} \sum_n{\left| \langle a_n|\alpha \rangle\right|}^2=1\longrightarrow \int{d\xi _q}\left| \langle \xi_q|\xi \rangle \right|^2=1 \tag{5} \langle \beta |\alpha \rangle =\sum_n{\langle \beta \left| a_n \right> \left< a_n\right|}\alpha \rangle \longrightarrow \langle \beta |\alpha\rangle =\int{d\xi _q\langle \beta \left| \xi _q \right> \left< \xi _q \right|}\alpha \rangle \tag{6} \langlea_m|\hat{A}|a_n\rangle =a_n\delta _{mn}\longrightarrow \langle \xi _q|\hat{A}|\xi _p\rangle =\xi _q\delta \left( \xi _q-\xi _p \right) \tag{7} 。
清华大学课件--量子论教案
与众不同的是开尔文又敏锐地发现，在物理学 晴朗的天空里，还平静而晴朗的天空。
对这两朵乌云的研究分别导致了相对论和量子论的 诞生，它们是： 迈克尔孙-莫雷实验：在实验中没测到预期的“以 太风”，即不存在一个绝对参考系，也就是说光速
觉，认为物理学的发展已经完成，人们对物理世界
的解释已经达到了终点，宇宙万物必然按照由精美 的数学方程所表达的物理学定律永远运动下去。
著名德国物理学家基尔霍夫曾表示：
“物理学将无所作为了，至多只能在已知规
律的公式的小数点后面加几个数字罢了。” 在刚刚跨入20世纪的第一天，英国著名的物理
学家开尔文在《元旦献词》中曾经说过：
……我以前同现在一样，相信物理定律越带普遍性, 就越是简单。 ——普朗克,《M.普朗克物理论文和演讲集》
当一个人寻求生活的和谐时，必须永不忘记，在生 活的伟大戏剧中，我们既是观众，又是演员，这是 一个古老的真理。 —— 玻尔,《原子物理学与自然的描述》
第五次索尔维会议与会者合影(1927年)
N.玻尔、M.玻恩、 W.L.布拉格、L.V.德布罗意、A.H.康普顿、 M.居里、P.A.M 狄喇克、A.爱因斯坦、W.K.海森堡、 郞之万、W.泡利、普朗克、薛定谔 等
汤姆孙第一个外国研究生。后 来成为卡文迪许实验室的第四 任教授。
Rutherford （1871-1937）
他发现了放射性规律，发现了原子
核式结构，首此实现了人工核反应，预
言了中子等。被誉为“核物理之父”。 他非常重视人才培养，被称为培养人才 的巨匠。 反应堆的发明者——费米说，卢瑟福在科学史 上被怀念，不仅因为他的贡献，而且还因为“他作 为教师这个字眼最高意义上的一个教师”。他提倡
《高等量子力学》课程教学大纲
《高等量子力学》课程教学大纲《高等量子力学》课程教学大纲一、课程名称（中英文）中文名称：高等量子力学英文名称：Advanced Quantum Mechanics二、课程代码及性质课程编码：课程性质：学科(大类)专业选修课/选修三、学时与学分总学时：64（理论学时：64学时）学分：4四、先修课程先修课程：无五、授课对象本课程面向物理学各专业学生开设六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）量子力学理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。
本课程是物理学专业本科课程《量子力学》的后续课程，用以弥补量子力学课程与学生实际进入科研前沿之间的知识鸿沟。
其内容分为两部分：第一部分是在量子力学课程的基础上归纳阐述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。
第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。
在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。
课程的教学目的是使得学生掌握微观粒子的运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法，掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理，并了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
七、教学重点与难点：课程重点：本课程所讲授的内容均为学生从事前沿科学研究所必备，因此所有内容均为重点课程难点：本课程所讲授的内容抽象程度较高，理论推导计算量大，因此所有内容均为难点八、教学方法与手段：教学方法：采用课堂讲授、讨论、习题等多种授课形式相结合的教学新模式。
课堂讲授基本概念、基本原理，通过讨论课加深学生对基本内容的理解，通过习题课提高学生运用基本理论分析问题、解决问题的能力。
教学手段：采用多媒体与板书相结合的教学手段，传统授课手段与现代教育技术手段相互取长补短，相得益彰。
特别的，将Mathematica 和Matlab等计算软件引入本课程的教学，以实现抽象复杂的数学物理问题的直观展现，提高学生的学习兴趣。
高等量子力学第一章希尔伯特空间 PPT课件
完全集 一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性
无关的矢量集合 i ，这个空间中的每个矢量都能表为完
全集中矢量的线性叠加，即每一矢量都能写成
i ai
i
的形式，其中ai 是一组复数。
如果一个空间中有一个线性无关的矢量集 1, 2 ,...n ，
但还不是完全集，这时可以把不能表为其线性叠加的一个矢量
命名为 n1，加入这个矢量集。这时 1, 2 ,...n , n1，肯定是
证明： 设在空间中有1和2 ，对所有矢量 都满足 1 , 2
取第一式的 为2 ，第二式中的 为1，分别得 2 1 2,1 2 1
于是，根据条件（1），
2 2 1 1 2 1 即1 2 ，只有唯一的零矢量。
（2）每个矢量的逆元是唯一的。
证明： 若 1,2 都是 的逆元，即
1 , 2
如果 少 多，即 m n ，则把全部 用完后，仍有 未
被顶掉。这就是说，要加上一些 才是完全集 ，与是
完全集相矛盾。所以 m n 是不可能的。
如果 多 少，即 m n，那么把全部 顶掉后，还有一些 没
有用到，这就是说， 中的一部分就是完全集，也与 是完全集
相矛盾。所以 m n也是不可能的。
这是一个复数域上的内积空间。
如果内积定义为：
(l,
m)
l1*
m12
l2*
m
23l
* 3
m34
l 4*
m4
空间是否仍然是一个内积空间？
第四个例子 数学对象为在 a x b 区间定义的实变
量 x 的“行为较好”的复函数 f (x) 的全体，而且都是平方可
积的。所谓“行为较好”是指满足一定数学要求，如单值性、 连续性及导数存在等等，这里我们不去详细讨论。规定加法
清华大学计算量子化学讲义
v | p |2 1 2 T = mv = 2 2m
亦不再适用，需要建立新的表达形式。量子力学的第二个基本假定认为，微观体 系以及构成它们的实物粒子的力学量应表示为一种特殊的线性算符 厄密算符。 1. 厄 密 算 符 的 定 义 （ Definition of Hermite operator） ˆ满足 若线性算符 F ˆϕ dτ = ( F ˆψ dτ ) ∫∞ ψ * F ∫∞ ˆψ) * ϕ dτ = ( ∫∞ ϕ * F
Chap. 1 Preparatory Knowledge of Quant. Mech.
ˆϕ dτ = 〈ψ | F ˆ | ϕ〉 ∫ϕ * F
conjugate ） ： 〈ψ | = ( | ψ〉 ) * 左、右矢碰在一起表示积分运算： 〈ψ | ϕ〉 = ∫ψ * ϕ dτ 用 Dirac 符 号 ， 厄 密 算 符 定 义 式 (1.1- 7) 可 改 写 为 ： ˆ | ϕ〉 = 〈 F ˆψ | ϕ〉 = 〈ϕ | F ˆψ〉* = 〈ϕ | F ˆ | ψ〉 * 〈ψ | F 根据以上定义，容易证明一阶微分算符 ˆ= d D dx 不是厄密算符，但 ˆ = i h d （ h = h ， h 为 Planck 常 数 ） ihD dx 2π 则为厄密算符（留作课外练习） 。 2. 构 建 力 学 量 算 符 的 方 法 （ How to Construct an Observable Operator） v 在经典力学中，可观测的力学量通常表示为两个基本力学量 坐标（ r ）和动 v 量（ p ）以及时间（t）的函数 v v F = f (r , p , t ) (1.1- 9) v v v v where position r = i x + jy + k z v v v v linear momentum p = i p x + j p y + k p z ˆ 系采用“经典类比”的方 在量子力学中，与可观测量 F 相应的力学量算符 F 法来建立，后者表示为两个基本力学量算 符 r ˆ（坐标算符）和 p ˆ （动量算符）以 及 t 的函数且函数的表达完全相同： v v v where position operator r ˆ= ix ˆ + jy ˆ+ kz ˆ v v v v ˆx + j p ˆy + kp ˆz linear momentum operator p = i p ˆ = f (r F ˆ, p ˆ, t ) (1.1- 10) (1.1- 8)
《量子力学教程》_课后答案
(n 1, 2, 3,)
∴ 2 ( x) A sin
n x a
由归一化条件
得
( x) dx 1
2
A2
a
2 sin
0
n xdx 1 a
由
a
b
sin
m n a x sin xdx mn a a 2
14
A
2 a 2 n sin x a a
2 ( x)
23
2
23
T 100 K 时， E 1.381021 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 h ec 2 ，其中 e 为电子的静止质量，而
c h ，所以 ，即有 ec
A2 2 T A2 2T pdq A 0 cos t dt 2 0 (1 cost )dt 2 nh ， n 0,1,2,
2 2 T 2
A2 2 nh E nh ， n 0,1,2, 2 T
6
v 2 v （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 evB ，得 R eB R
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n ka 0 ka n
max
0 h 6.626 1034 c 0.024A （电子的康普顿波长）。 31 8 e c 9.1 10 3 10
高等量子力学(第2版)
高等量子力学(第2版)高级量子力学是一门融合了近代物理中的理论和实验的学科，它提供了一个解释和预测原子和分子物理系统的统一框架。
本书《高等量子力学(第2版)》是一本深入浅出的教材，深入的述及了理论和实验的完整内容，让学生和研究生可以全面了解量子力学的概念和应用。
一、量子力学基础1. 历史背景本书介绍量子力学的理论基础和实验过程，追溯自plank常数的发现；对量子力学的提出有详细介绍，以及Heisenberg不确定性原则，Schrόdinger方程以及杂化原理等重要概念；2. 量子力学模型量子力学模型也会在本书中被提到。
将大自然的运动规律抽象为微观的量子力学形式，能够解释为何物质的特性和行为出现这样那样的现象。
3. 矩阵技术量子力学中矩阵技术的应用，会在本书中被详细描述。
矩阵技术提供了一个量子力学模型的更加精确和深入的理解方式，它们可以让我们更好的理解量子力学。
二、量子力学的实验1. 物理学实验物理学的实验有助于研究和探索量子力学的原理，比如量子隧道效应；拉曼散射、X射线衍射等实验，并可以通过测量分子能级的精确度来检验量子力学的模型正确性。
2. 抽象实验当量子力学的原理无法直接验证时，可以通过抽象实验进行测试推测，比如你仭-杨实验等，他们是用电子粒子进行可靠性实验的奠基人，为量子力学的研究现代化而做出重大贡献。
三、量子力学的应用1. 化学量子力学的应用同样可以在化学中拥有重要的作用，基于量子力学原理可以准确地预测和解释分子结构，特性以及相互作用；比如量子化学，电子学，以及其他电子结构学方面。
2. 核物理学量子力学也可以应用在核物理学中，其概念可以用于探索原子核内部的结构，以及解释核反应，并且可以提出抽象的模型来模拟量子力学在核物理学中的作用。
因此，《高等量子力学(第2版)》深入浅出的展现了量子力学的理论与实验，结合实验的科学，系统的历史背景，基本概念，矩阵技术及其实验应用，让我们对量子力学有初步了解，未来在这个科学领域也有较为充分的准备。
清华大学物理课件：量子物理
§6．1 光电效应
金属及其化合物在电磁辐射照射下发射电子的 现象称为光电效应，所发射的电子称为光电子。
实验装置：
GD为光电管， 光通过石英窗口照射 阴极K，光电子从阴极 表面逸出。
光电子在电场加速下向 阳极A运动，形成光电流。
17
实验规律
（1）用光强一定的某种频率的光照射，得 到的饱和光电流强度im是一定的，光强越 大，饱和光电流强度也越大。
黑体的吸收本领最大，辐射本领也最大
7
研究热辐射本身的规律，应利用辐射本领 M 只与温度有关，而和材料及表面状态无关的 物体。
而黑体的热辐射正好与空腔的形状、材料及 ‘表面状态’ 都无关。
对各种具体物体的总辐出度，可以通过实验
定出的“黑度系数”(有“机电手册”可查)
来得出。
物体的黑度系数
热辐射的电磁波的能量对波长有一个分布。 温度不同，热辐射的电磁波的能量不同， 波长分布不同。
例如加热铁块，随着温度的升高: 开始不发光→ 暗红 → 橙色 → 黄白色
3
一.描述热辐射的物理量
1．单色辐出度M(T)
温度为T时,单位时间内从物体单位表面发出的
波长在 附近单位波长间隔内的电磁波的能量，
19
实验规律
Uc(V)
Cs Na Ca 电压 Uc与 入射光
频率 呈线性关系
Uc= K - U0
其中K 为普适常数
(1014Hz)
U0 与材料有关
直线与横坐标的交点 就是红限频率0.
0
U0 K
20
（3）不论光强多大， 只有当入射光频率 大于一定的红限频率 0 时，才会产
生光电流。 （这与 经典电磁波的概念也完全不同）
清华大学量子力学讲义 庄鹏飞教授
ˆ a ˆ n b b ，n n n b b na
n n 0，
ˆ ˆ a ˆa a
n ˆ ˆa a 1 ˆ
ˆ ˆ a ˆ a a n 1 a
1 ˆ n n
a n
ˆ a ˆa ˆ a
ˆ aa ˆ ˆ n a ˆ a ˆ a ˆ 1 n n 1 a ˆ n n a
两种形式完全等价，不影响力学量的矩阵元的时间变化，特别是不影响力学量 的平均值。例如，空间平移的作用也可以表示为
不变，
ˆ i ˆ ˆ U ˆ ˆ (dx ) 1 i p ˆ dx x ˆ i ˆ ˆ x ˆ dx 。 ˆ (dx ) xU x p dx , x 1 p dx x
4
其中，常数项 V x0 可以归并到能量中去。在势最小值点，有 V x0 0 。略去高 阶项，有
V x 1 2 V x0 x x0 ， 2
近似为谐振子势。故研究谐振子问题具有普遍意义。 经典：
H p2 1 m 2 x 2 2m 2
量子： 由于
2m
a
mn
amn
2m
n m,n 1 n 1 m,n 1
pmn i
m 2
n m,n 1 n 1 m,n 1 ，
ˆ n n p ˆ n 0。 均不是对角阵。注意： n x
7
6）进入坐标表象 对于基态 0 ，
ˆ 0 0， a
ˆ x x
在 Heisenberg 绘景：
ˆ (t ) a, t A H
H
a a, t
(精品)《高等量子力学》课程教学大纲
《高等量子力学》课程教学大纲课程编号: 1352001-04课程名称：高等量子力学英文名称：Advanced Quantum Mechanics课程类型: 课程群（平台课、模块课、课程群）开课学期：第一学期课内学时：80学时讲课学时：72 实验学时：学分：4教学方式：课堂讲授及课外作业练习适用对象: 凝聚态物理、理论物理、粒子与原子核、光学、生物物理考核方式：闭卷考试预修课程：大学物理、热力学与统计物理、数学物理方法、理论力学、电动力学、（初等）量子力学后续课程：量子场论开课单位：郑州大学物理工程学院一、课程性质和教学目标课程性质：本课程为凝聚态物理、理论物理、粒子与原子核等专业硕士研究生必修课。
教学目标：本课程的目的是通过《高等量子力学》课堂授课、课外作业练习及考试，能够使有关学科的研究生系统了解该课程的基本概念、发展历史，掌握其主要内容与研究方法，为学生以后的学习和研究奠定坚实的理论基础，以及学生毕业后应能胜任高等院校、科研机构等部门与物理相关专业的教学、科研、技术等工作，或者为学生继续深造、攻读博士学位等奠定理论知识基础。
本课程的目标主要为凝聚态物理、理论物理、粒子与原子核等专业的深入研究进行理论准备。
凝聚态物理是研究由大量微观粒子组成的凝聚态物质的宏观、微观结构和粒子运动规律、动力学过程、彼此间的相互作用及其与材料的物理性质之间关系的一门学科，是一门以物理学各个分支学科、数学和相关的基础理论知识为基础，并与材料学、化学、生物学等自然科学和现代技术相互交叉的学科。
凝聚态物理所研究的新现象和新效应是材料、能源、信息等工业的基础，对当前高技术的带头领域，如新型材料、信息技术和生物材料等有重要影响，对科学技术的发展和国民经济建设有重大作用。
理论物理是从理论上探索自然界未知的物质结构、相互作用的物理运动的基本规律的学科，理论物理的研究领域涉及粒子物理与原子核物理、统计物理、凝聚态物理、宇宙学等，几乎包括物理学所有分支的基本理论问题。
量子力学ppt课件
一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光 (荷兰，乌仑贝克，1925年电子自旋发现者）
一． 黑体辐射问题
黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反 射。 热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：
热力学+特殊假设→维恩公式, (长波部分不一致). 经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完 全不一致） 二．光电效应
光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光 电子。光电效应的规律： （1）存在临界频率 ； （2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光 频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光 强越大，光电子数目越多。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现代物理方面的
贡献，特别是阐明 光电效应的定律
二、爱因斯坦光量子理论
爱因斯坦在普朗克能量子论基础上进一步提出光量 子（或光子）的概念。辐射场是由光量子组成的，光 具有粒子特性，既有能量，又有动量。
光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）
光子的能量 h 说明光具有微粒性
m m0
1
v2 c2
h
n
c
h 0
c
n0
X
mv
0
2h m0c
sin2
2
康普顿散射公式
c
h m0c
高等量子力学
引入长度的概念 在矢量空间中还没有引进长度概念。在解析几 何中所谓度量概念可通过矢量的内积来表示
内积 (规定一种内积规则)
( , ) c
得实数,在实数域上的矢量空间 得复数,在复数域上的矢量空间
次序有关 在复数范围,有时也可以是实数,例 ( , ) ~ 实数 按一定次序任取两个矢量,总有一个数c与之相对应 内积规则满足：
+ 具有空间的完全性
矢量空间 指的是
( m - n , m - n )<
类似级数收敛的充要条件—哥西收敛原理
下面举出矢量空间的一些简单性质 书 (1) 在矢量空间中,零矢量是唯一的 证：设在空间中有两个零矢量 1 , 2 ,对所有矢量 都满足
1 ,
取
③加法单位元存在
0 ( , )=( a , a )
( , ) a( , ) a* ( , ) a*a( , ) ( , )* ( , )* ( , ) 将 a值代入 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 2
2
12
a
* (9) ( , )=( , ) (10) ( , ) ( , ) ( , ) (分配律) (11) ( , a) ( , )a (12) ( , ) 0
⑨⑩
1
2
( , )
2
0, 2 2 2 ( , )
+( 0 ( ))
② ① ② ④
⑤
⑦
⑤
+ ( ) 0
④ ① ③
0
+( ) 0 0 0 0
量子力学课件
量子力学彭斌地址：微固楼211电话：83201475Email: bpeng@引言牛顿力学质点运动牛顿力学（F、p、a）22dtvdmmaF==牛顿力学成功应用到从天体到地上各种尺度的力学客体的运动中。
引言牛顿力学热力学●统计物理Ludwig Boltzmann Willard Gibbs引言牛顿力学热力学●统计力学 电动力学电磁现象——Maxwell方程组¾统一电磁理论¾光─> 电磁波1600170018001900时间t力学电磁学热学物理世界（力、光、电磁、热…）经典热力学（加上统计力学）经典电动力学（Maxwell 方程组）经典力学（牛顿力学）迈克尔逊－莫雷实验黑体辐射动力学理论断言，热和光都是运动的方式。
但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得黯然失色了……——开尔文（1900年）引言什么是量子力学？什么是量子力学？——研究微观实物粒子（原子、电子等）运动变化规律的一门科学。
相对论量子力学量子电动力学量子场论高能物理相对论力学经典电动力学V~C量子力学（非相对论）经典力学v<<C微观宏观量子力学的重要应用量子力学的重要应用¾自从量子力学诞生以来，它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和促发人类物质文明的大飞跃。
¾百年（1901－2002）来总颁发Nobel Prize 97次单就物理奖而言：——直接由量子理论得奖25次——直接由量子理论得奖＋与量子理论密切相关而得奖57次¾量子力学成为整个近代物理学的共同理论基础。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it." -Niels Bohr 任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it."-Niels Bohr 我想我可以相当有把握地说，没有人理解量子力学。
高等量子力学 课件
§3-4 无无穷维空间情况
• 厄米米算符： – 具有离散的本征值谱，其本征值及相应的 本征矢矢量是可数的无无穷多个 – 具有连续的本征值谱，具有不可数无无穷多 个本征值和相应的本征矢矢量
离散本征值情形
• 本征矢矢量 A|ii = ai |ii
! ! ! !
(i = 1, 2, · · · )
ij
• 线性算符：定义域为矢矢量空间，且满足足如下 条件
A( | i + | ' i ) = A| i + A| ' i
A( | i a ) = ( A| i ) a
§2-1 定义
• 算符：两个矢矢量间的一一种对应关系
! !
| ' i = A| i
• 反线性算符：定义域为矢矢量空间，且满足足如 下条件
定理
• 当且仅当两个厄米米算符互相对易时，它们有 一一组共同的本征矢矢量完全集
厄米米算符完备组
• 对于一一个希尔伯特空间，一一组互相对易的厄 米米算符A,B,C,…,它们有一一组完全确定的共同 本征矢矢量完全集，而而去掉算符中的任何一一个， 都会使剩下的那些算符的共同本征矢矢量完全 集具有任意性，称它们一一组厄米米算符完备组
空间的完全性
• 空间中任何在Cauchy意义下收敛的序列的 极限必须也在此空间中。
量子子力力学的空间
• 复数域上的希尔伯特空间 • 向量：线性空间中的元素
§1-2 正交性和模
• 两个矢矢量正交：两个矢矢量的内积为零
! !
( , ') = 0
• 模方方：
! !
• 两个关系： – Schwartz 不等式 – 三角角形不等式
• 如何用用一一组数字具体的表示示矢矢量
清华大学高等量子力学01-18(庄鹏飞)
定域质量守恒：
ρ m = mρ , jm = mj ρe = eρ , je = ej
r r
r
r
位置的不确定，导致质量、电荷分布的不确定，按几率分布。 若对整个空间积分：
→ 量子力学
1.2 电子双缝衍射实验
1
实验结果： 只开缝 1，强度分布为 I1 ( x ) = ψ 1 ( x ) ;
2
只开缝 2， 同时开缝 1 和 2， 实验分析：
I 2 ( x ) = ψ 2 ( x) ；
2
I = ψ 1 ( x) + ψ 2 ( x ) ≠ I1 + I 2 ，电子具有衍射特性，波动性。
Quantum Mechanics I L + D&E + S
Lecture + Discussion&Exercise + Seminar
Professor: 庄鹏飞 (High Energy Nuclear Physics) Doctor students: 何联毅 (High Energy Nuclear Physics) 屈真 (High Energy Nuclear Physics) 梅佳伟 (High Temperature Superconductivity) 清华大学精品课程, 北京市精品课程
r
r
2
r
r
注意波函数一般为复函数。
r 基本量是波函数ψ ，虽然本身不是可观察物理量，但它描述物理量 r 取值的几率。
高等量子力学
1） 表象理论：Schrodinger表象，Heisenberg表象，相互作用表象。
2） 形式微扰理论，相互作用表象中时间演化算符的一般性质，形式解以及和散射矩阵的关系。
3） 形式散射理论，散射矩阵的微扰展开，散射截面，光学定理。
4） 中心力场中粒子的散射截面，分波法。
(5) Time reversal symmetry: Invariance of a specific Hamiltonian under time reversal transformation; The properties of anti-unitary operators; The role played by the internal degrees of freedom of quantum systems under time reversal transformation; The Kramer theorem and its applications.
(3) Theory of angular momentum: the SU(2) and SO(3) groups and their linear representations; Solutions of the rotating rigid-body systems; The definition of irreducible tensor of operators; Wigner-Eckart theorem and its applications.
高等量子力学课程详细信息
课程号
00410340
学分
4
英文名称
Advanced Quantum Mechanics
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问题：由于 Jˆ 与 Jˆ1, Jˆ2 有关，而 Jˆ1, Jˆ2 对易，可以同时有确定取值，则 j1, j2, m1, m2 的取值怎 样约束 j, m 的取值？
1）两个表象
Jˆ1 与
Jˆ2 相互对易，故
Jˆ12,
Jˆ1z ,
Jˆ
2 2
,
Jˆ2 z
有共同本征矢。总的矢量空间是两个独立子空间的直
积，构成无耦合表象：
j2
max
−
j2
min
+ 2 jmax
+1
j = jmin
必须相等，否则破坏正交性，完备性条件，
(2 j1
+1)(2 j2
+1) =
(
j1
+
)j2 2
−
j2 min
+ 2(
j1
+
j2 ) +1 ，
( ) j2 min
=
j1 − j2 2 ， jmin = j1 − j2 。
故当 j1, j2 确定时，总角动量 Jˆ 2, Jˆz 的取值：
先考虑任意两个角动量 Jˆ1, Jˆ2 的耦合。
⎡⎣ Jˆ1i , Jˆ1 j ⎤⎦ = i εijk Jˆ1k , ⎡⎣ Jˆ2i , Jˆ2 j ⎤⎦ = i εijk Jˆ2k , ⎡⎣ Jˆ1i , Jˆ2 j ⎤⎦ = 0
J12 = j1( j1 +1) 2 , J1z = m1 ,
m1 = − j1,..., j1
m1 ,m2
∑ ( ) m − m1 − m2 j1m1 j2m2 j1 j2 jm j1m1 j2m2 = 0
m1 ,m2
在无耦合表象中，基矢 j1m1 j2m2 是相互独立的，故上式存立的条件是每个基矢前的系数都
必须等于零。即要么 CG 系数=0，要么 m = m1 + m2 。我们要求的就是不等于零的 CG 系数，
耦合表象基矢
1 l, 2 , j,mj
，
无耦合表象基矢
1 l, ml , 2 , ms
。
表象变换：
由于
∑ 1
l 2 jmj
=
Cml ,ms
ml ,ms
1 l, ml , 2 , ms
∑ =
ml
⎡ ⎢⎣ Aml
l
,
ml
,
1 2
,
1 2
+ Bml
l
,
ml
,
1 2
,
−1 2
⎤ ⎥⎦
m j = ml + ms ,
2
l1 2
jm j
，
代人在无耦合表象的自旋子空间 J 2 的矩阵形式
J2
=
L2
+
S2
+
2LiS
=
⎛ ⎜ ⎜
Lˆ2
+
3 4
2+
Lˆz
⎜⎜⎝
Lˆ+
Lˆ−
⎞ ⎟
⎟，
Lˆ2 + 3 4
2−
Lˆz ⎟⎟⎠
其中 Lˆ± = Lˆx ± iLˆy 为轨道角动量上升、下降算符，
以及
l
,
ml
,
1 2
,
1 2
，
l,
ml
2
2
当 j = l + 1 时， 2
A = l + ml +1 ，
B
l − ml
归一化后：
1 l 2 jmj
==
l + ml +1 2l +1
11 l, ml , 2 , 2
+
l − ml 2l +1
l, ml
+ 1,
1 2
,
−1 2
，
有耦合表象
CG
无耦合表象
CG
无耦合表象
同理，当 j = l − 1 时， 2
+ 1) ⎤⎥⎦
A
+
(l − ml )(l + ml +1)B⎬⎫ l, ml
⎭
=0
⎨
⎪ ⎪⎩
⎧ ⎨ ⎩
(l
+
ml
)(l
−
ml
+1)A +
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
l
(l
+ 1)
+
3 4
− (ml
+
1)
⎞ ⎟⎠
−
j(
j
+ 1)⎤⎥⎦
⎫ B⎬
⎭
l, ml
+1
=0即Leabharlann ⎧ ⎪ ⎪⎡⎛ ⎣⎢⎜⎝
l
(l
+ 1)
+
3 4
+
ml
⎞ ⎟⎠
−
j ( j +1)⎦⎤⎥ A +
(l − ml )(l + ml +1)B = 0
⎨
→ A, B
⎪ ⎩⎪
(l
+
ml
)(l
−
ml
+1)A +
⎡⎛ ⎣⎢⎝⎜
l
(l
+1) +
3 4
− (ml
+
1)
⎞ ⎠⎟
−
j(
j
+ 1)⎦⎤⎥
B
=
0
4
j 可能取值： j = l − 1 , l + 1 共两个值。
j1m1 j2m2
m1 = − j1, , j1, m2 = − j2 , , j2 由于在无耦合表象，
1
⎡ ⎢⎣
Jˆ
2
,
Jˆ1z
⎤ ⎥⎦
≠
0,
⎡ ⎢⎣
Jˆ
2
,
Jˆ2 z
⎤ ⎥⎦
≠
0
，
故
Jˆ 2 不是对角矩阵，不便求解
Jˆ1
⋅
Jˆ2
=
1 2
⎡ ⎢⎣
Jˆ
2
−
Jˆ12
−
Jˆ22
⎤ ⎥⎦
的本征值。
由于
⎡ ⎢⎣
4.两个角动量耦合
自旋角动量与轨道运动产生的磁场之间的相互作用V ∼ Lˆ ⋅ Sˆ 。
由于
( ) Lˆ + Sˆ 2 = Lˆ2 + Sˆ2 + 2Lˆ ⋅ Sˆ ，
( ) Lˆ ⋅Sˆ
=
1⎡ 2 ⎢⎣
Lˆ + Sˆ
2
−
Lˆ2
−
Sˆ
2
⎤ ⎥
，
⎦
要了解 Lˆ ⋅ Sˆ 耦合，必须考虑两个角动量之和。
因此取
2
m = m1 + m2 。 再考虑 j 的取值。设
jmin ≤ j ≤ jmax ，
( ) ( ) jmax = mmax =
m1
+
max
m2
max = j1 + j2 。
由无耦合表象维数
D = (2 j1 +1)(2 j2 +1) ，
与耦合表象维数
jmax
∑ D =
( ) 2 j +1
=
= j1 ( j1 +1)
2
j1 j2 jm ，
Jˆ
2 2
j1 j2 jm
= j2 ( j2 +1)
2
j1 j2 jm
Jˆ 2 j1 j2 jm = j ( j +1) 2 j1 j2 jm ， Jˆz j1 j2 jm = m j1 j2 jm
在耦合表象， Jˆ 2, Jˆz 是对角矩阵，本征值就是对角元。
J 2 = j ( j +1) 2, j = j1 − j2 , , j1 + j2
J z = m , m = m1 + m2 3）耦合表象的本征态 j1 j2 jm
关键是如何求 CG 系数。不做一般讨论，有专门表可查。
下面以 Lˆ ⋅ Sˆ 耦合为例来说明求法。
Jˆ = Lˆ + Sˆ, Jˆ1 = Lˆ, Jˆ2 = Sˆ ，
l
1 2
jm j
=−
l − ml 2l +1
l
,
ml
,
1 2
,
1 2
+
l − ml +1 2l +1
l, ml
+1, 1 , −1 22
。
5
由于已知的是
Jˆ12,
Jˆ1z
,
Jˆ
2 2
,
Jˆ2
z
的本征值和本征矢，为了用它们来表示总角动量
Jˆ 2 ,
Jˆz
的本征
值，必须联系两个表象，即进行表象变换。
由无耦合表象的完备性条件
∑ j1m1 j2m2
m1 ,m2
有表象变换：
j1m1 j2m2 = 1 ，
∑ j1 j2 jm =
j1m1 j2m2 j1m1 j2m2 j1 j2 jm
j1m1 j2m2 = j1m1 j2m2 ，
( ) Jˆ
2 1
j1m1 j2m2
= j1
j1 +1
2 j1m1 j2m2 ，
Jˆ1z j1m1 j2m2 = m1 j1m1 j2m2
( ) Jˆ
2 2
j1m1 j2m2
= j2
j2 +1
2 j1m1 j2m2 ，
Jˆ2z j1m1 j2m2 = m2
ml
=
mj
− ms