高中奥数_集合 函数 不等式 导数
集合、函数与导数、不等式
函数的定义与性质
包括函数的定义、函数的表示法（解析法、列表 法、图像法）、函数的性质（单调性、奇偶性、 周期性、有界性）等。
不等式的性质与解法
包括不等式的性质（传递性、可加性、可乘性、 正数可乘性等）、不等式的解法（一元一次不等 式、一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等 式等）。
易错难点剖析
集合运算中的错误
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
集合的基本概念与运算
包括集合的定义、表示法、元素与集合的关系、 集合间的关系（子集、真子集、相等）、集合的 运算（并集、交集、补集）等。
导数的定义与计算
包括导数的定义、导数的几何意义、导数的计算 （基本导数公式、导数的四则运算、复合函数求 导、隐函数求导、参数方程求导等）。
导数在经济学中 的应用
导数在经济学中有广泛 应用，如边际分析、弹 性分析等。通过导数可 以研究经济变量之间的 变化关系，为经济决策 提供数学支持。
不等式在优化问 题中的应用
不等式在优化问题中有 重要作用，如约束条件 中的不等式可以限制变 量的取值范围。同时， 不等式也可以用于刻画 目标函数的性质，如凸 函数和凹函数的定义就 与不等式密切相关。
反函数与复合函数
反函数
设函数$y=f(x)$的定义域为$D_f$，值域 为$R_f$。如果存在一个函数$g:R_f rightarrow D_f$，使得对于任意的$x in D_f, y in R_f$，都有$g(y)=x Leftrightarrow y=f(x)$，则称函数$g(y)$ 为函数$f(x)$的反函数，记作$g=f^{-1}$。
如忽视空集的情况，对并集和 交集的理解不清等。
函数性质理解不透彻
如对函数单调性的判断不准确 ，对函数奇偶性的判断方法掌 握不牢等。
精品高中数学专题：集合与常用逻辑用语、不等式、函数
专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．3．充要条件从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)A Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)B Ap是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案 D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①④解析∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点C在线段AB上等号成立，即三个点A，B，C，∴点C在线段AB上，∴点C是A，B，C的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|P A|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|P A|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故②是假命题．如图(2)，A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|P A|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及①可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一集合的概念与运算问题例1(1)(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4(2)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M等于()A．M B．N C．{1,4,5} D．{6}审题破题(1)先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．(2)透彻理解A－B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案(1)D(2)D解析(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }． ∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ； 3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ； 6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M . ∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )A ．(－1,2)B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析 S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}， T ＝{x |x >2或x <－2}． ∴S ∩T ＝{x |x >2}． 题型二 命题的真假与否定问题 例2 下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件；④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题 判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词． 答案 B解析 对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2. 反思归纳 (1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词． 变式训练2 给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题． 题型三 充要条件的判断问题例3 (1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 审题破题 (1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决． 答案 (1)B (2)A解析 (1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <12；綈q ：x >a ＋1或x <a .若綈p ⇐綈q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，即0≤a ≤12.反思归纳 (1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3 (1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件． (2)设A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m ≤1C ．m ≥1D ．m >1答案 D解析 xx －1<0⇔0<x <1.由已知得，0<x <m ⇒0<x <1， 但0<x <1⇒0<x <m 成立． ∴m >1.典例 设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确． 答案 D得分技巧 创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论． 阅卷老师提醒 在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1． 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0答案 D解析 依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A . 因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝ π2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．3． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 根据全称命题的否定是特称命题知． 綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4． 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析 由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}． 由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 5． 下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析 易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.4． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30D ∈C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案 D解析 “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．5． 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 6． 下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 答案 D解析 对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7． 已知p ：2xx －1<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[1,3]C ．[1，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 2xx －1－1<0⇒x ＋1x －1<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒，从而可推出a 的取值范围是a ≥1. 8． 下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题．综上所述，选D. 二、填空题9． 已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}， 集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}． 故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11． 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 命题p ：a ≤12x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x＝(x －1)(x ＋1)x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝12，∴a ≤12. 12．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①④解析 对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列 {a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确． 三、解答题13．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q为假命题，求a 的取值范围．解 由命题p ：1∈A ，得⎩⎨⎧ －2－a <1，a >1.解得a >1. 由命题q ：2∈A ，得⎩⎨⎧－2－a <2，a >2.解得a >2. 又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤2，即1<a ≤2， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a >2，无解． 故所求a 的取值范围为(1,2]．。
高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图象与性质教案 理-
第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析： 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减． 应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数， 所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称． 又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2， 那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1， 可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析： 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。
高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式教案 理-人教版高三
第四讲不等式年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷线性规划求最值·T131.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查．2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查．3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.Ⅱ卷线性规划求最值·T142017Ⅰ卷线性规划求最值·T14Ⅱ卷线性规划求最值·T5Ⅲ卷线性规划求最值·T132016Ⅰ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T8线性规划的实际应用·T16Ⅱ卷一元二次不等式的解法、集合的并集运算·T2Ⅲ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T6线性规划求最值·T13不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第9页[悟通——方法结论]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c 同号，那么其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，那么其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．3．解含参数不等式要正确分类讨论．[全练——快速解答]1．(2018·某某一模)a >b >0，c <0，以下不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c>b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D.aa －c >bb －c解析：法一：(性质推理法)A 项，因为a >b ，c <0，由不等式的性质可知ac <bc ，故A 不正确；B 项，因为c <0，所以－c >0，又a >b >0，由不等式的性质可得a －c >b －c>0，即1a c >1bc >0，再由反比例函数的性质可得a c <b c，故B 不正确； C 项，假设a ＝12，b ＝14，c ＝－12，那么log a (a －c )＝1＝0，log b (b －c )＝34>1＝0，即log a (a －c )<log b (b －c )，故C 不正确；D 项，a a －c －bb －c ＝a (b －c )－b (a －c )(a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c )，因为a >b >0，c <0，所以a －c >b －c >0，b －a <0，所以c (b －a )(a －c )(b －c )>0，即a a －c －b b －c>0，所以aa －c >bb －c，故D 正确．综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝－2. 那么A 项，ac ＝－8，bc ＝－4，所以ac <bc ，排除A ； B 项，a c ＝4－2＝116，b c ＝2－2＝14，所以a c <b c，排除B ；C 项，log a (a －c )＝log 4(4＋2)＝log 4 6，log b (b －c )＝log 2(2＋2)＝2，显然log 4 6<2，即log a (a －c )<log b (b －c )，排除C.综上，选D. 答案：D2．(2018·某某四校联考)不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2，那么m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m <0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52. 答案：B 3．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．答案：B4．x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x>0恒成立，那么实数a 的取值X 围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.(]－∞，6解析：根据题意，由于1＋2x＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(0<t≤2)，那么可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋tt2，故只要求解h (t)＝－1＋tt 2(0<t≤2)的最大值即可，h (t)＝－1t 2－1t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ≥0，－x 3，x <0，那么使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg (x ＋1)≤1得0≤x ≤9，由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x <0，故使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是[－1,9]．答案：[－1,9]1．明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 2．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的X 围，谁就是变量，求谁的X 围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．基本不等式授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论]求最值时要注意三点：“一正〞“二定〞“三相等〞．所谓“一正〞指正数，“二定〞是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立．[全练——快速解答]1．(2018·某某模拟)x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8B ．9 C ．12 D ．16解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，那么x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝〞，应选B.答案：B2．(2017·高考某某卷)假设a ，b ∈R ，ab >0，那么a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：43．(2017·高考某某卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，那么总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30. 答案：30掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：假设无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论] 平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝x －y 的取值X 围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值X 围是[－3,2]．答案：B2．平面上的单位向量e 1与e 2 的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D 由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12B. 3C.32D.34解析：建立如下图的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1,0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为34，应选D. 答案：D3．(2018·某某模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一X 桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一X 桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．解析：设该厂每个月生产x 把椅子，y X 桌子，利润为z 元，那么得约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，z ＝1 500x ＋2 000y .x ，y ∈N ，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2 000，2x ＋y ≤1 300，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋4y ＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2 000，2x ＋y ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝900，即P (200,900)，所以z max ＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．答案：2 100 000解决线性规划问题的3步骤[练通——即学即用]1．(2018·湘东五校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，那么(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3 C. 5D. 3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最小，可得(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.应选A. 答案：A2．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，2x ＋y ≤1，记z ＝4x ＋y 的最大值是a ，那么a ＝________.解析：如下图，变量x ，y 满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x ＋y ＝0，平移直线，知当直线经过点A 时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以A (1，－1)，此时z ＝4×1－1＝3，故a ＝3.答案：33．(2018·高考全国卷Ⅰ)假设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，那么z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max＝3×2＋2×0＝6.答案：6授课提示：对应学生用书第118页一、选择题1．互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，那么以下等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：假设a >b >0，那么a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A ，D ； 又由a 2－c 2＝2c (b －c )得a －c 与b －c 同号，排除C ；当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立，例如：取a ＝3，b ＝5，c ＝1.应选B. 答案：B2．b >a >0，a ＋b ＝1，那么以下不等式中正确的是() A ．log 3a >0B ．3a －b<13C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥6解析：对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31，所以a >1，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以A 不正确；对于B ，由3a －b<13可得3a －b <3－1，所以a －b <－1，可得a ＋1<b ，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确；对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 214，所以ab <14，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ，所以ab <14，两者一致，所以C 正确；对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b >3×2b a ×ab＝6, 所以D 不正确，应选C. 答案：C3．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知(x －a )(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.答案：C 4．a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为P ，且－2∉P ，那么a 的取值X 围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：∵－2∉P ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案：D5．x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2－3x －y，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.应选D.答案：D6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，那么不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (xx <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A7．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝3x －2y 的最小值为0，那么实数m 等于( )A ．4B ．3C ．6D ．5解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝3x －2y 所对应的直线经过点A 时，z 取得最小值0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 3，2m －13.故z 的最小值为3×1＋m 3－2×2m －13＝－m 3＋53，由题意可知－m 3＋53＝0，解得m ＝5.答案：D8．假设对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，那么实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.答案：C9．(2018·某某一模)实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，那么z ＝x 2＋y 2的取值X围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，应选C.答案：C10．(2018·某某二模)假设关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，那么x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( ) A.63 B.233 C.433D.263解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2>0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：C11．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，那么租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，那么约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：C12．(2018·某某模拟)点P (x ，y )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}，x ≥－2M (2，－1)，那么OM →·OP→(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由题意知OM →＝(2，－1)，OP →＝(x ，y )，设z ＝OM →·OP →＝2x －y ，显然集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}x ≥－2对应不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝2x －y 对应的直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ＋2y －2＝0得A (－2,2)，所以目标函数的最小值z min ＝2×(－2)－2＝－6，即OM →·OP →的最小值为－6，应选C.答案：C二、填空题13．(2018·某某模拟)假设a >0，b >0，那么(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 的最小值是________．解析：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b，因为a >0，b >0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥3＋22b a ×a b ＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2b 时等号成立．所以所求最小值为3＋2 2.答案：3＋2 214．(2018·高考全国卷Ⅱ)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，那么z ＝x ＋y的最大值为________．解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．(2018·某某模拟)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，那么z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，那么有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125. 答案：－12516．a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，那么a ＋1b 2－1的最小值为________． 解析：令log a b ＝t ，由a >b >1得0<t<1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号. 故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：3。
专题十集合、函数与导数、不等式
失分点 3 对命题的否定不当致误 例3 已知 M 是不等式aaxx＋ －1205≤0 的解集且 5∈M，
则 a 的取值范围是________．
错解 (－∞，－2)∪(5，＋∞)
找准失分点 5∈M，把 x＝5 代入不等式，原不等 式不成立， 有两种情况：①55aa＋ －1205>0；②5a－25＝0，答案中漏 掉了第②种情况．
失分点 2 忽视集合的三特性致误 例 2 设集合 A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，
若 A∩B＝{9}，则实数 a＝________.
错解 3 或－3
找准失分点 忽视了集合中元素的互异性．
失分原因与防范措施 在求出 a 的值后，没有验证集合
中的元素是否符合要求，是否具有集合元素的特征是导
存在这样的实数 a，使得 A∪B＝{1，a，a2}与 A∩B
＝{1，a}同时成立？若存在，求出实数 a；若不存在，
请说明理由．
解 假设这样的实数 a 存在，由 A∩B＝{1，a}，知 a2 ＝a， ∴a＝0 或 a＝1. 当 a＝0 时，A∪B 不可能为{1，a，a2}，故 a＝0 不合 题意； 当 a＝1 时，B＝{1，a2}中，a2＝1，与集合中元素的互 异性矛盾， 故 a＝1 也不合题意． 综上可知，满足题设条件的实数 a 不存在．
失分点 6 混淆“切点”致误 例 6 求过曲线 y＝x3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．
错解 ∵y′＝3x2－2， ∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1， ∴切线方程为：y＋1＝x－1 即 x－y－2＝0.
找准失分点 错把(1，－1)当切点．
失分原因与防范措施 过曲线上的点（1，-1）的切线与 曲线的切点可能是（1，-1），也可能不是（1，-1）.本题 错误的根本原因就是把（1，-1）当成了切点.解决这类题 目时，一定要注意区分“过点 A（x0,y0）的切线方程”与 “在点 A 处的切线方程”的不同.虽只有一字之差，意义 完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过 这个点，这个点不一定是切点.
2015专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(第三讲)
2．抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性 ①若函数 f(x)满足 f(x＋a)＝f(x－a) ，则 f(x)为周期函数，
2a 是它的一个周期．
②设 f(x)是 R 上的 偶函数 ， 且图象关于直线 x＝a(a≠0)对称 ， 则 f(x)是周期函数，
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(3)[2014· 四川高考]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当 x∈[－1,1)时，f(x)＝ ________.
f(－x)＝－f(x)
成立，则 f(x)为奇函数(都有 f(－x)＝f(x)
成
立，则 f(x)为偶函数)． (3)周期性 周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件： ①当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ； ②T 是
不为零的最小正数．
专题一 第二讲
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专题一
集合、常用逻辑用语、函数 与导数、不等式
专题一 第二讲
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第二讲
函数的图象与性质(选择、填空题 型)
专题一 第二讲
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[解析] x>1，故选C.
要使函数有意义，需满足x2－x>0，解得x<0或
高中数学专题复习一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 一、利用公式求导:1、常见函数求导：'1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()x xe e = '()ln (0)x x a a a a =⋅>'1(ln )x x='1(log )(01)ln a x a a x a=>≠且 2．求导法则：[]'''()()()()()()f xg x fx g x f x g x ⋅=±， []'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 二、利用导数几何意义(切线的斜率）解题——切点待定法（设出切点坐标，写出切线表达式） 曲线y=f(x)在点P(x 0 ，f （x 0))处的切线方程是: 0()()()y f x f x x x '-=-三、导函数与原函数图象关系（1()0()f x f x '>⇔、是增函数 2、导数越大，函数变化越大3、原函数看增减性，导函数看正负)1。
已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==,则=N M （ ）。
),1[+∞-.]2,1[-. ),2[+∞ 。
ϕ选.由题意得}1|{-≥=y y M ，}22|{≤≤-=x x N ，所以=N M ]2,1[-。
2．命题“存在04,2<-+∈a ax xR x 使为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ）．充要条件．必要不充分条件．充分不必要条件 ．既不充分也不必要条件选。
依题意,“存在04,2<-+∈a ax x R x 使为假命题”得2160aa ∆=+≤，解得016≤≤-a ,所以命题“存在04,2<-+∈a ax x R x 使为假命题”是命题“016≤≤-a "的充要条件. 3.设554a log4b log c log ===25，（3），，则（） ．b c a << 。
高中奥数辅导：集合 函数 不等式
第十一讲：联赛训练之集合 函数 不等式一,基础知识导引 <一>,集合 1,集合的性质集合中的元素是确实的,互异的,无序的. 2,集合的表示方法(1)列举法:如{1,2,3,4} (2)描述法:如{()}S x P x =. 3,集合的元素个数有限集合A 的元素个数记作A ,我们有下面的容斥原理 (1)A B A B A B =+- ,(2)A B C A B C A B B C C A A B C =++---+ 4,最小数原理(1)设M 是正整数集的一个非空子集,则M 中必有最小数(2)设M 是实数集的一个有限的非空子集,则M 中必有最小数. <二>函数 1,函数的图象(1)函数的图象的平移变换与伸缩变换: 平移变换:()()y f x y b f x a =-=-向右平移a 个单位向上平移b 个单位伸缩变换:11()()y f x y f x BA==x 伸长到原来的A 倍y 伸长到原来的B 倍 (A>0,B>0)(2)函数的图象的对称变换与翻折变换 对称变换:通过点对称进行研究, 翻折变换:()()y f x y f x ==保留y 轴右边的图像,去掉y 轴左边的图像再作关于y 轴对称的图像;()()y f x y f x ==保留x 轴上方的图像并将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方去1,函数的性质(1)奇偶性:定义域关于原点对称,且()()f x f x -=(偶)或()()f x f x -=-(奇) (2)单调性:1212()()x x f x f x <⇒<(增)或12()()f x f x >(减) (3)周期性:对于0T >,有()()f x T f x +=, 2,函数的最大值与最小值(1)对于定义域D 内的任意x ,存在0x D ∈,使得0()()f x f x ≤,则m a x 0()()f x f x =; 对于定义域D 内的任意x ,存在0x D ∈,使得0()()f x f x ≥,则m in 0()()f x f x = (2)()f x 在闭区间[,]a b 内连续,则()f x 必有最大值与最小值. (3) ()()f x g x ≥恒成立m in ()()m a n f x g x ⇔≥或m in [()()]0f x g x -≥. <三>,不等式(1),均幂不等式链设12,,,n a a a R +⋅⋅⋅∈,则12111nna a a ++⋅⋅⋅+(调和平均)≤(几何平均)12na a a n++⋅⋅⋅+≤(算术平均)≤平方平均)≤(k 次方平均,2k ≥),等号成立的条件是12n a a a ==⋅⋅⋅=. (2),柯西不等式设12,,,n a a a ⋅⋅⋅与12,,,n b b b ⋅⋅⋅R ∈,则222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+等号成立的条件是1212n na a ab b b ==⋅⋅⋅=.(3),排序不等式设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···nb ≤.12,,i i ···n i 是1,2,···,n 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和)1212i i a b a b ≥++···+nn ia b (乱序和)121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和)当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时,等号成立.二,解题思想与方法导引.1,函数与方程思想 2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,转化5,换元法 6,配方法 7,判别式法 8,局部调整法. 三,习题导引 <一>选择题1,设全集{(,),}I x y x y R =∈,集合3{(,)1}2y M x y x -==-,{(,)1}N x y y x =≠+,那么I I C M C N 等于A,∅ B,{(2,3)} C,(2,3) D,{(,)1}x y y x =+ 2,函数212()lo g (23)f x x x =--的单调递增区间是A,(,1)-∞- B,(,1)-∞ C,(1,)+∞ D,(3,)+∞3,若非空集合{2135}A x a x a =+≤≤-,{333}B x x =≤≤,则能使()A A B ⊆ 成立 的所有a 的集合是A,{19}a a ≤≤ B,{69}a a ≤≤ C,{9}a a ≤ D,∅ 4,设()f x 是一个函数,使得对所有整数x 和y ,都有()()()61f x y f x f y xy +=+++ 和 ()()f x f x =-,则(3)f 等于A,26 B,27 C,52 D,53 5,函数()122xx x f x =--A,是偶函数但不是奇函数 B,是奇函数但不是偶函数C,既是偶函数又是奇函数 D,既不是偶函数也不是奇函数 6,若对任何[0,1]x ∈,不等式111k x lx -≤≤-恒成立,则一定有A,10,3k l ≥≥B,10,k l ≥≤C,11,43k l ≥≤D,11,2k l ≥≤<二>填空题7,一次函数()f x a x b =+的图象经过点(10,13),它与x 轴的交点为(,0)p ,与y 轴的交点为(0,)q ,其中p 是质数,q 是正整数,则满足条件的所有一次函数为 .8,函数2()f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值()M a = .9,已知()f x 是定义域在(0,)+∞上的音调递增函数,且满足(6)1f =,()()()xf x f y f y-=(0,0)x y >>,则不等式1(3)()2f x f x+<+的解集是 .10,设,,,x y z t 满足1100x y z t ≤≤≤≤≤,则x z yt+的最小值为 .11,已知2{430,}A x x x x R =-+<∈,12{20,2(7)50,}x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈. 若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .12,使不等式22sin co s 1co s x a x a x ++≥+对一切x R ∈恒成立的负数a 的取值范围 是 . <三>解答题13,是否存在实数a ,使函数2()2f x x a x a =-+的定义域为[1,1]-,值域为[2,2]-. 若存在,求a 的值;若不存在,说明理由.14,设二次函数2()f x a x b x c =++(,,,0a b c R a ∈≠)满足条件: (1)当x R ∈时,(4)(2)f x f x -=-,且()f x x ≥; (2)当(0,2)x ∈时,21()()2x f x +≤;(3)()f x 在R 上的最小值为0.求最大的(1)m m >,使得存在t R ∈,只要[1,]x m ∈,就有()f x t x +≤.15,求方程11145xyz++=的正整数解.四,解答导引1,B M 表示直线1y x =+上除去点(2,3)的部分,I C M 表示点(2,3)和除去直线1y x =+的部 分,I C N 表示直线1y x =+上的点集,所以,I I C M C N 表示的点集仅有点(2,3),即{(2,3)}. 2,A ()f x 的定义域为(,1)(3,)-∞-+∞ ,而2223(1)4u x x x =--=--在(,1)-∞-上单 调递减,在(3,)+∞上单调递增,所以,()f x 在(,1)-∞-上单调递增,在(3,)+∞上单调递减.3,B 由()A A B ⊆ 知A B ⊆,所以2335223521a a a a +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥+⎩,解得69a ≤≤.4,A 令0x y ==,得(0)1f =-,令y x =-,得2()31f x x =-,所以(3)26f =. 5,A 3(1)2f =-,3(1)2f -=-.有(1)(1)f f =-6,D由(11k x -≤,得2(1)(1)1x k x +-≤,于是222322121k x kx k x kx x -++-+≤,又[0,1]x ∈,有222(2)120k x k k x k +-+-≤,得12k ≥.11lx ≤-,得221121lx l x x≤-++,有222(2)120l x l l x l +-+-≥,[0,1]x ∈⇒l ≤.7,()13143f x x =-+或()23f x x =-+. 由题意得1013q p p q +=, 有(10)(13)130p q --=.p 只能是11,23. 当p =11时,q =143; 当p =23时,q =23.8,11,21,2a a a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩当当. 数形结合,分类讨论.9,{02x x <<.由1(3)()2(6)f x f f x +-<及单调性,知((3)(6))(6)f x x f f +-<,得(3)66x x x +⎧<⎪⎨⎪>⎩. 10,15. 1100x y z t ≤≤≤≤≤,x z yt+要最小,则1,100x t ==,y 尽量大,z 尽量小,于是y x =,得111005y y+≥=,这时1,10,100x x y t ====.11,41a -≤≤-. 可得{13}A x x =<<,设1()2xf x a -=+,2()2(7)5g x x a x =-++要使A B ⊆,只需()f x ,()g x 在(1,3)上的图象均在x 轴的下方,则(1)0f ≤,(3)0f ≤,(1)0g ≤,(3)0g ≤,由此可解得结果.12,2a ≤-. 原不等式可化为2221(1)(c o s )24a a x a ---≤+,由1co s 1x -≤≤,10,02a a -<<知当co s 1x =时,函数21(c o s )2a y x -=-有最大值21(1)2a --,于是2221(1)(1)24a a a ---≤+,解得2a ≤-或1a ≥(舍去).13,解:22()()f x x a a a =-+-,对称轴是x a =.(1)当1a >时,()f x 在[1,1]-上是减函数, 有(1)2(1)2f f -=⎧⎨=-⎩,得a ∈∅;(2)当01a ≤≤时,有()2(1)2f a f =-⎧⎨-=⎩,得a ∈∅;(3)当10a -≤<时,有()2(1)2f a f =-⎧⎨=⎩,得1a =-;(4)当1a <-时,()f x 在[1,1]-上是增函数,有(1)2(1)2f f -=-⎧⎨=⎩,得a ∈∅.于是存在1a =-,使()f x 的定义域为[1,1]-,值域为[2,2]-.14,解:由(4)(2)f x f x -=-,x R ∈,可知二次函数()f x 的对称轴为1x =-, 又由(3)知,二次函数()f x 的开口向上,即0a >, 于是可设2()(1)f x a x =+ (0a >) 由(1)知(1)1f ≥,由(2)知211(1)()12f +≤=,所以(1)1f =,得21(11)a =+,有14a =,所以得21()(1)4f x x =+.因为21()(1)4f x x =+的图象开口向上,而()y f x t =+的图象是由()y f x =的图象平移t 个单位得到.要在区间[1,]m 上,使得()y f x t =+的图象在y x =的图象的下方,且m最大,则1和m 应当是关于x 的方程21(1)4x t x ++= ①的两个根令1x =代入方程①,得0t =或4t =-.当0t =时,方程①的解为121x x ==,这与1m >矛盾! 当4t =-时,方程①的解为121,9x x ==,所以9m =. 又当4t =-时,对任意[1,9]x ∈,恒有 (1)(9)0x x --≤,即21(41)4x x -+≤也就是(4)f x x -≤, 所以,m 的最大值为9.15,解:由对称性,不妨设x y z ≤≤,则111x y z≥≥,有111145xxyz≥++=,得154x ≤.又x 是正整数,所以x =1或2或3. (1)若1x =,1115y z +=-无正整数解,(2)若2x =,则2114135210yyz≥+=-=,得203y ≤,y 是正整数,且2y ≥,于是3,4,5,6y =.当3y =时,30z =-(舍去);当4y =时,20z =;当5y =时,10z =;当6y =,7.5z =(舍去).(3)若3x =,则2114175315yyz≥+=-=,得307y ≤,y 是正整数,且3y ≥,于是3y =或4, 经检验,这时方程无正整数解,所以原方程的正整数解为(,,)(2,4,20)x y z =或(2,5,10).[参考题]:k 是实数,42421()1x k x f x x x ++=++,对任意三个实数,,,a b c 存在一个以(),(),()f a f b f c 为三边长的三角形,求k 的取值范围.(答案:142k -<<)。
高中奥数_集合 函数 不等式 导数
集合 函数 不等式 导数一 能力培养1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想; 4,运算能力; 5,转化能力. 二 问题探讨[问题1] 已知{3}A x x a =-≤,2{780}B x x x =+->,分别就下面条件求a 的取值范围:(I)A B =∅;(II)A B B =.[问题2]求函数()af x x x=+的单调区间,并给予证明.[问题3]已知()1x f x e ax =--.(I)若()f x 在定义域R 内单调递增,求a 的取值范围;(II)若()f x 在(,0]-∞上单调递减,在[0,)+∞上单调递增,求a 的值;(III)设2()22g x x x =-++在(II)的条件下,求证()g x 的图象恒在()f x 图象的下方.[问题4]设11()lg 21x f x x x-=+++. (I)试判断()f x 的单调性;(II)若()f x 的反函数为1()f x -,证明1()0f x -=只有一个解;(III)解关于x 的不等式11[()]22f x x -<.三 习题探讨 选择题1已知函数()2x f x =,则12(4)f x --的单调减区间是 A,[0,)+∞ B,(,0]-∞ C,[0,2) D,(2,0]-2已知集合M={01}x x ≤≤,N={01}x x ≤≤,下列法则不能构成M 到N 的映射的是 A,2y x = B,sin y x = C,tan y x =D,y3已知函数(1)()(1)x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，奇函数()g x 在0x =处有定义，且0x <时,()(1)g x x x =+，则方程()()()f x g x f x +=·()g x 的解的个数有A,4个 B,2个 C,1个 D,0个 4如果偶函数()y f x =在[0,)+∞上的图象如右图,则在(,0)-∞上,()f x =A,1x + B,1x - C,1x -+ D,1x -5设函数121()1(0)2()(0)xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,已知()1f a >,则a 的取值范围为A,(1,1)- B,(,1)(1,)-∞-+∞ C,(,2)(0,)-∞-+∞ D,(1,)+∞6对于函数32()3f x x x =-,有下列命题:①()f x 是增函数,无极值;②()f x 是减函数,无极值;③()f x 的增区间是(,0)-∞,(2,)+∞,()f x 的减区间是(0,2);④(0)0f =是极 大值,(2)4f =-是极小值.其中正确的命题有A,一个 B,二个 C,三个 D,四个 填空题7函数2(2)log xf x =的定义域是 .8已知2(1cos )sin f x x -=,则()f x = .9函数2log (252)x y x x =-+-单调递增区间是 .10若不等式2log 0(0,1)a x x a a -<>≠对满足102x <<的x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .112ln y x x =-在点M(1,0)处的切线方程是 . 解答题12函数y A,函数2lg(43)y kx x k =+++的定义域 集合B,当A B ⊃时,求实数k 的取值范围.13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线22()y x ax a R =++∈与线段AB 有两个不同的 交点,求a 的取值范围.14已知定义在R 上的函数()f x ,满足:()()()f a b f a f b +=+,且0x >时,()0f x <, (1)2f =-.(I)求证:()f x 是奇函数; (II)求()f x 在[3,3]-上的最大值和最小值.15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和 描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的 兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用()f x 表 示学生掌握和接受概念的能力(()f x 值越大,表示接受的能力越强),x 表示提出和讲授 概念的时间(单位:分),可有以下公式:20.1 2.643(010)()59(1016)3107(1630)x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间?(II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些?(III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直 达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?16已知函数2()ax f x x e =,其中0a ≤,e 为自然对数的底数.(I)讨论函数()f x 的单调性;(II)求函数()f x 在区间[0,1]上的最大值.四 参考答案:问题1:(I):(1)a<0,A=,∅∅解当时有AB=,{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{B=x x<-8或x>1}.由∅AB=,有3813a a -+≥-⎧⎨≥+⎩ 得112a a ≤⎧⎨≤-⎩与≥a 0,矛盾! 故当∅AB=时,a 的取值范围是(,0)-∞;(II)解:(1)a<0,A=,∅当时有A B=B ,{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{B=x x<-8或x>1}由AB=B,必有A B ⊆,得 38a +<-或31a -+> 得11a <- (舍去)或2a < 得02a ≤<故当AB=B 时, a 的取值范围是(,2)-∞.温馨提示:在处理集合的问题中,别忘了我们的好朋友 空集.问题2:解:(1)当0a =时,0()f x x x=+, 令'()0f x <,得x <<它的定义域是0x ≠, 得()f x 的单调增区间是(,-∞,)+∞它分别在(,0)-∞,(0,)+∞上为增函数. ()f x 的单调减区间是(. (2)当0a >时,()f x 的定义域是0x ≠, (3)当0a <时,()f x 的定义域是0x ≠,2'22()1a x a f x x x -=-= 2'22()1a x a f x x x-=-=0>令'()0f x >,得x >x < 得()f x 的单调增区间是(,0),(0,)-∞+∞.温馨提示:①对参数进行分类讨论,是处理含参数问题的常用方法, ②'()0f x >('()0f x <)⇒()f x 为增(减)函数,反之不行; ③以上单调区的书写格式,符合国际标准,请放心使用. 问题3:解:(I)()1x f x e ax =--,得'()x f x e a =-.()f x 在R 上单调递增,'()0x f x e a ∴=-≥恒成立,即xa e ≤,x R ∈恒成立 又xa e ≤时,(0,)x e ∈+∞,得0a ≤. (II)'()x f x e a =-,而()f x 在(,0]-∞上单调递减,得0xe a -≤在x ∈(,0]-∞上恒成立,有max x a e ≥, 又当x ∈(,0]-∞时,(0,1]xe ∈ ,得1a ≥ ①又()f x 在[0,)+∞上单调递增,得0x e a -≥在[0,)x ∈+∞上恒成立,有min x a e ≤, 又当[0,)x ∈+∞时,[1,)xe ∈+∞,得1a ≤ ② 由①,②知1a =.(III)由(II)可知(0)f 是()f x 的最小值,有()(0)f x f ≥, 而0(0)010f e =--=,2()(1)11g x x =---≤- 故()()f x g x >,即()g x 的图象恒在()f x 图象的下方.温馨提示:()()f x g x ≥恒成立时,转化为min max ()()f x g x ≥进行考虑,合情合理.问题4:(I)解:()f x 的定义域是11x -<<,得'2212()lg (2)1f x e x x=--+-0< 所以()f x 在(1,1)-上是减函数.(II)证明:假设存在12,x x 且12x x ≠,使11()0f x -=,12()0f x -=,则有1110lg 0210x -=+++,2110lg 0210x -=+++,于是得1212x x ==,与12x x ≠矛盾! 所以1()0f x -=只有一个实根12x =.(III)解:由(II)得11()02f -=,即1(0)2f =,又11[()]22f x x -<=(0)f而()f x 在(1,1)-上是减函数,得11()]02x x >->,有104x <<或1124x +<<.即11[()]22f x x -<的解集是1117(,2+. 温馨提示:()f x 为增(减)函数⇒'()0f x ≥('()0f x ≤),反之不行. 习题1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B.1,12()log f x x -=,有1222(4)log (4)f x x --=-,2,我们由映射的概念:每一个x ,有唯一的由240x ->,得22x -<< 一个y 与它对应.知,A,B,D.都满足.函数2log y x =为(0,)+∞上的增函数, 而在C 中,M 中的1与tan1对应, 求22log (4)x -的单调减区间, 但tan11>,tan1在N 中找不到了.选C. 即求24u x =-的单调减区间,于是选C.3,设0x >,则0x -<,得()(1)g x x x -=--=()g x -,有()(1)g x x x =-, (1)当0x ≤时,由()()()()f x g x f x g x +=⋅,得(1)()(1)x x x x x x -++=-⋅+,解得12x =-,20x =.(2)当01x <<时,由()()()()f x g x f x g x +=⋅,得(1)()(1)x x x x x x -+-=-⋅-,无解. (3)当1x ≥时,由()()()()f x g x f x g x +=⋅,得(1)(1)x x x x x x +-=⋅-,无解.选B. 4,由(1)(1)0f f -==,(2)(2)1f f -==-,知只有C 正确.5,当a →+∞与a →-∞时,均合题意,而1a =时,1211=,不合题意,选B.6,③④正确.选B. 7,令2xt =,得2log x t =,22()log (log )f x x =,得1x >.8,令1cos t x =-,有cos 1x t =-,22()1cos 1(1)f t x t =-=--,得2()2f x x x =-,x ∈[0,2].9,令2252,u x x =-+-0u >,得122x <<.而它在5(1,]4上递增,在5(,2)4上递减, 而当1(,1)2x ∈时,log x y u =,x ↗,u ↗,y ↘;当5(1,]4x ∈时,x ↗,u ↗,y ↗;当5,2)4x ∈时,x ↗,u ↘,y ↘.于是得递增区间是5(1,]4.10,设2()f x x =,()log a g x x =,由题意,当102x <<时,()f x 的图象总在()g x 的图象的下方.当1a >时,显然不合题意;当01a <<时,必有11()()22g f ≥,211log ()22a ≥,得116a ≥,又01a <<,于是1116a ≤<. 11, 1''2''2(ln )()[(2)]y x x x -=-+-= 3'2112(2)(2)2x x x x ----⋅-=32112(2)2x x x --+-,得'112x k y ===-,有x+2y-1=0.12,解:{23}A x x =-≤≤,而B ≠∅,2{430,}B x kx x k x R =+++>∈,又由题意知0k <,且22k --≤,23k-≤,解得342k -<≤-,故k 的取值范围是3(4,]2--. 温馨提示:函数的定义域,值域,均为非空集.你留意到了没有?13,解:过A,B 两点的直线方程为1y x =+,令221x ax x ++=+,则这方程有两相异实根12,x x ,且12,[0,2]x x ∈.设2()(1)1f x x a x =+-+,则问题等价于21022(1)40(0)0(2)0a a f -⎧<-<⎪⎪⎪∆=-->⎨⎪≥⎪≥⎪⎩,解得312a -≤<-.所以a 的取值范围是312a -≤<-. 14,解:(I)由()()()f a b f a f b +=+,令a b =-,得(0)()()f f a f a =+-, 又令0a b ==,有(0)2(0)f f =,得(0)0f =,于是()()f a f a -=-,a R ∈. 所以()f x 是奇函数. (II)又0x >时,()0f x <设120x x <<,则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-=21()f x x -- 而210x x ->,得21()f x x -0<,有21()f x x --0>,即12()()f x f x > 得()f x 在R 上是减函数,于是它在[3,3]-上有最大值(3)f -,最小值(3)f 而(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)6f f f f f f f =+=++==-,(3)(3)f f -=-=6. 所以()f x 在R 上有最大值6,最小值6-. 15,解:(I)当010x <≤时,22()0.1 2.6420.1(13)59.9f x x x x =-++=--+,得()f x 递增, 最大值为(10)f =59.当1630x <≤时,()f x 递减,()31610759f x <-⨯+=因此,开讲后10分钟,学生达到最强的接受能力(值为59),并维持6分钟. (II)(5)f =20.1(513)59.953.5-⨯-+=,(20)3201074753.5f =-⨯+=< 因此开讲后5分钟,学生的接受能力比开讲后20分钟强一些. 16,解:(I)'()(2)ax f x x ax e =+. ①当0a =时,令'()0f x =,得0x =.若0x >,则'()0f x >,从而()f x 在(0,)+∞上单调递增; 若0x <,则'()0f x <,从而()f x 在(,0)-∞上单调递减;②当0a <时,令'()0f x =,得(2)x ax +=0,有1220,x x a==-. 若0x <或2x a >-,则'()0f x <,从而()f x 在(,0)-∞,2(,)a -+∞上单调递减;若20x a <<-,则'()0f x >,从而()f x 在2(0,)a-上单调递增;(II)①当0a =时,()f x 在区间[0,1]上的最大值是(1)1f =;②当20a -<<时,()f x 在区间[0,1]上的最大值是(1)af e =;③当2a ≤-时,()f x 在区间[0,1]上的最大值是2224()f a a e-=.。
2015专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(第四讲)
(5)
a2＋b2 a＋b 2ab 2 ≥ 2 ≥ ab≥a＋b(a>0，b>0)； (a＋b)2(a，b∈R，当 a＝b 时等号成立)．
专题一 第四讲
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(6)2(a2＋b2) ≥
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热点一 不等式的解法
不等式的求解尤其是一元二次不等式的求解是高考 重点考查的知识点之一，既可数列、平面向 量、解析几何、导数等内容综合在解答题中进行考查.
易错提醒 (1)利用基本不等式求最值时，一定要注意基本不等式的适 用条件，否则容易出错． (2)解决线性规划问题时，一定要注意最优解必须在可行域 内，否则达不到最值．
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R热点探究悟道
(3)a>b >0 ⇒an>bn(n∈N，n≥1)． n n >0 (4)a>b ⇒ a> b(n∈N，n≥2)．
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3．六个重要的不等式 (1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)； (2)a2＋b2 ≥2ab (a，b∈R)； a＋b ≥ ab (3) (a>0，b>0)； 2
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专题一集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式第1讲集合与常用逻辑用语［云览高考1说明：A表示简单题,B表示中等题,C表示难题.频率为分析2012各省市课标卷情况. 二轮复习建议：命题角度：该部分地命题通常围绕三个点展开，第一个点是围绕集合地概念、基本关系和运算展开，设计考查集合地意义、根据集合之间地关系求参数范围、集合地运算等试题，目地是考查集合地基础知识和基本方法；第二个点是围绕命题（包括特称命题和全称命题）、充要条件、逻辑联结词展开,设计判断命题之间地关系、命题之间地充分性与必要性地判断等试题，目地是考查对常用逻辑用语基础知识地掌握程度、逻辑知识在数学中地应用；第三个点是围绕集合命制新定义试题，目地是考查在新地环境中使用数学知识分析问题、解决问题地创新能力.预测2013年高考在该部分仍然会从上述命题角度出发设计试题，考查集合与常用逻辑用语地基础知识，试题会在知识网络交汇上下工夫，使试题能够考查到更多地知识点，但试题地难度为容易或者中等.复习建议：1 •企化对集合意义地复习，使学生能够正确地处理各种情况下集合表达地是什么数学问题，重点加張对集合地运算地复习，注意集合之间关系地等价转化，如A^B^AQB=A^A 2•强化命题真假地判斷、充要条件地判断地训练，重点加强对在知识交汇处命制地试题地分析，引导学生注意知识地融会贯通.1・集合地概念、关系与运算(1)集合中元素地特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数地集合问题时要根据互异性进行检验.(2)集合与集合之间地关系：AVB,BUC=>AUC,空集是任何集合地子集，含有n个元素地集合地子集数为2n・(3)集合地运算：C l)(AUB)=(C u A)n(C u B),C lJ(AnB)=(CuA)U(CuB),C u(CUA)=A.2.四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难地,釆用转化为反面情况处理.3.充分条件与必要条件若p=>q,则p是q地充分条件,q是p地必要条件；若pQq,则p,q互为充要条件.4.简单地逻辑联结词⑴命题pg只要阳有一真，即为真；命题pg只有阳均为真，才为真；続卩和p为真假对立地命题.(2)命题p\/q地否定是(»AC，<7);命题pf\q地否定・5.含有量词地命题地否定“ VxWM,p(x)” 地否定为“；“ mxoWM旅口)” 地否定为“ VxWM,5x)” ・要点热点探究►探究点一集合地概念、关系和基本运算例1 (1)[2012•课程标准卷]已知集合/ = {1,2,3,4,5},〃={(*丁)|>:丘/』丘/事一夕丘/},贝1」B中所含元素地个数为(D )A・3 B・6 C・8 D・10(2)已知集合A = {z^C\z=l-la\,a e R},B={zeC||z| = 2},则力门〃=(A )A・{l+、/5i,l-Q5i} B・{、/5-i}C. {1+2曲,1一2血D・{1 一帀i}I点评]集合是一种数学语言，使用集合可以表示函数地定义域、值域、方程地解集、不等式地解集、平面区域等，在复习时要注意集合地这个特点，准确地把集合表达地数学问题翻译为普通地数学问题，看下面地变式.变式题(1)已知集合昇=仪丘列0£*£5},(/={1,3,5},则集合B=( B )A・{2,4} B・{0,2,4} C. {0,1,3} D・{2,3,4}(2)已知集合M={yA=2"}傑合N ={旳=仗("一疋)},则MCN=( A )A.(0,2)B. (2,+ oo)C・[0,+ 8) D・(一8,O)U(2,+8)►探究点二命题地认识及其真假判断例2 (1)[2012-湖南卷|命题“若a=J,则伽么=1”地逆否命题是(C )A.若《号,则tan(zHlB.若么=子,则tanaHlC.若tana^l,则么工号D.若tana^l,则么=子(2)已知命题p：题彳：工+2伉q+2—“=0” ・若命题“是真命题，则实数“地取值范围是(C )A. 2 或G=1B. G W—2 或1 W“W2C・a>\ D. —2WaWlI点评|原命题与其逆命题、否命题、逆否命题是根据原命题得出地形式上地命题，其中逆否命题是把原命题中地结论否定作为条件，条件否定作为结论得到地形式上地命题，这个命题与原命题等价；p\/q为真只要p,q至少有一个真即可；p/\q为真必需p,q同时为真；PC 一真一假.对第2题注意：理解题目中命题地含义，命题°等价于“WF在［1,2］上恒成立；命题彳等价于方程x2+2ax+2-a=0有实根.如果是Vx,«x2+Z>x+c=0,则等价于方程ax2+bx+c=Q恒成立，则必须«=A = t = O；如果是卅一aMO/G ［1,2］侧等价于|x►探究点三充分条件、必要条件地推理与判断例3 (1)|2012•山东卷］设“>0且“H1,则“函数f［x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x i在R上是增函数”地(A )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C・充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)若条件p：—3WxWl,条件牛x2+2x—3<0,则是、地(A )A・充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件I点评］充分条件、必要条件地推理与判断有三种方法.一、定义法：直接推断若p则彳，若q则p是否成立；二、集合法：即若命题p成立地集合为力,命题q成立地集合为B,若A 是B地真子集，则〃是彳地充分不必要条件，若B是/地真子集，则卩是彳地必要不充分条件, 若A=B,则p与彳互为充要条件；三、等价转化法：根据一个命题与其逆否命题等价，把判断"是彳地什么条件转化为判断「彳是「"地什么条件，如么工扌是tana^V3地什么条件等价于判断tan«=V3是么=申也什么条件(必要不充分条件).►探究点四量词与命题地否定例4 |2012-辽宁卷］已知命题"0xi*2 GR,(/(X2)-/(X I))(X2—X I)M0,则。
经典不等式导数
经典不等式导数经典不等式导数，是一个在高中数学中比较重要的主题。
在解决各种数学问题中，不等式是其中一个很重要的部分。
在数学中，不等式是数学语言中描述量的大小关系的一种表示方式。
不等式中的符号是“<”，“>”，“≤”，“≥”等，其中“<”和“>”的含义是严格大于和严格小于，而“≤”和“≥”的含义是小于等于和大于等于。
为了研究不等式，需要涉及导数的概念。
导数是数学上非常重要的一个概念，它在微积分的各个分支中都有着广泛的应用。
导数是用来描述函数在某一点处的变化率，它是函数的重要性质之一。
如果一个函数在某一点处的导数为正，说明函数在这个点处的斜率是正的，也就是说函数在这个点处是单调递增的；如果函数在某一点处的导数为负，说明函数在这个点处的斜率是负的，也就是说函数在这个点处是单调递减的。
在不等式中，如果我们能够证明一个函数在某个区间内单调递增或单调递减，那么我们就可以得到原不等式的结论。
这便是我们通常所说的利用导数来解决不等式问题的方法。
接下来我们将会介绍几种常见的不等式题型，以及它们的解法。
1、一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中比较常见的一种不等式，它可以写成ax²+bx+c<0或者ax²+bx+c>0的形式，其中a、b、c都是实数，且a≠0。
这种类型的不等式可以使用数轴法和配方法解决，但是我们也可以利用函数的导数来解决这种问题。
首先，我们需要将一元二次不等式转化成一个二次函数，在一元二次不等式中，如果a>0，那么函数的开口向上，可以写成f(x)=ax²+bx+c的形式；如果a<0，那么函数的开口向下，可以写成f(x)=ax²+bx+c的形式。
接下来，我们分别对这两种情形讨论。
当a>0的时候，在函数f(x)=ax²+bx+c的图像中，当x越大的时候，函数也越大；当x越小的时候，函数也越小。
也就是说，在函数f(x)的区间内它是单调递增的，因此，当f(x)在某个区间内小于0时，原不等式便成立。
高中数学专题复习集合常用逻辑用语不等式函数与导数
2013-2014高三数学集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数一知识点梳理 1、 利用公式求导（1）、常见函数求导：'1()n n x nx-='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()x xe e ='()ln (0)x xa a a a =⋅>'1(ln )x x ='1(log )(01)ln a x a a x a=>≠且（2）求导法则：[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±，[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ （3）利用导数几何意义（切线的斜率）解题——切点待定法（设出切点坐标，写出切线表达式）（4） 曲线y=f(x)在点P(x 0 ,f(x 0))处的切线方程是:000()()()y f x f x x x '-=-4、导函数与原函数图象关系（1()0()f x f x '>⇔、是增函数2、导数越大，函数变化越大3、原函数看增减性，导函数看正负）二，典型例题1.已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则=N M （ ）. ),1[+∞-.]2,1[-.),2[+∞. ϕ选.由题意得}1|{-≥=y y M ，}22|{≤≤-=x x N ，所以=N M ]2,1[-.2．命题“存在04,2<-+∈a ax x R x 使为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ）．充要条件．必要不充分条件．充分不必要条件．既不充分也不必要条件选.依题意，“存在04,2<-+∈a ax x R x 使为假命题”得2160a a ∆=+≤，解得016≤≤-a ，所以命题“存在04,2<-+∈a ax x R x 使为假命题”是命题“016≤≤-a ”的充要条件.3.设554a log 4b log c log ===25，（3），，则（ ）．b c a <<.a c b <<.c b a <<．c a b <<选.由对数函数5log y x =的图像，可得550log 3log 41<<<，∴255(log 3)log 4b =<，又4log 51,c b a c =>∴<<.4、若曲线x x y -=4在点P 处的切线垂直于直线03=+y x ，则点P 的坐标是（ ）．)0,1(.)1,0(-.)1,0(．)0,1(-选.143-='x y ，当3='y 时，即3143=-x ，解得1=x ，此时点P 的坐标为)0,1(.5、由直线1,2,2x x ==曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（ ）15.4A 17.4B 1.ln 22C .2ln 2D 6．下列4个命题：①命题“若0232=+-x x ， 则 1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则0232≠+-x x ”； ②“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件； ③若q p ∧为假命题，则p 和q 均为假命题；④对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥； 其中正确命题的个数是 ( ) A ． 0个B ．1个 C ．2个 D ．3个7．设函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（）．3(1,log 2)--．3(0,log2)．3(log2,1)．3(1,log 4)选.32()log 1f x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(1,2)上是减函数，由题设有(1)0,(2)0f f ><，解得a∈3(log 2,1).8．函数)(x f y =在定义域（3,23-）内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)('x f y =，则不等式0)('≤x f 的解集为（ ）9．．1[,1][2,3)3-．]38,34[]21,1[ -．]2,1[]21,23[ -．)3,38[]34,21[]1,23( --选.依题意，当0)('≤x f 时，函数)(x f y =是减函数，由图象知，x∈1[,1][2,3)3-.10．如图，正方形ABCD 的顶点2(0,)2A ，2(,0)2B ，顶点CD 、位于第一象限，直线 :(02)l x t t =≤≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为()f t ，则函数()s f t =的图象大致是（ ）选．依题意得222,(0)2()2(2)1,(2)2t t S f t t t ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪--+<≤⎪⎩ 二、填空题11. 根据定积分的几何意义，计算1202d x x x -=⎰12.已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是_____________. 因为11112222()4a b a b a b a b a b a b ++≥+=+≥当且仅当11a b=，且1ab ab=，即1a b ==时，取“=”。
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集合 函数 不等式 导数一 能力培养1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想; 4,运算能力; 5,转化能力. 二 问题探讨[问题1] 已知{3}A x x a =-≤,2{780}B x x x =+->,分别就下面条件求a 的 取值范围:(I)A B =∅ ;(II)A B B = .[问题2]求函数()af x x x=+的单调区间,并给予证明.[问题3]已知()1xf x e ax =--.(I)若()f x 在定义域R 内单调递增,求a 的取值范围;(II)若()f x 在(,0]-∞上单调递减,在[0,)+∞上单调递增,求a 的值;(III)设2()22g x x x =-++在(II)的条件下,求证()g x 的图象恒在()f x 图象的下方.[问题4]设11()lg21xf x x x-=+++. (I)试判断()f x 的单调性; (II)若()f x 的反函数为1()fx -,证明1()0f x -=只有一个解;(III)解关于x 的不等式11[()]22f x x -<.三 习题探讨 选择题1已知函数()2xf x =,则12(4)fx --的单调减区间是A,[0,)+∞ B,(,0]-∞ C,[0,2) D,(2,0]-2已知集合M={01}x x ≤≤,N={01}x x ≤≤,下列法则不能构成M 到N 的映射的是 A,2y x = B,sin y x = C,tan y x =D,y =3已知函数(1)()(1)x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，奇函数()g x 在0x =处有定义，且0x <时,()(1)g x x x =+，则方程()()()f x g x f x +=·()g x 的解的个数有A,4个 B,2个 C,1个 D,0个 4如果偶函数()y f x =在[0,)+∞上的图象如右图,则在(,0)-∞上,()f x =A,1x + B,1x - C,1x -+ D,1x -5设函数121()1(0)2()(0)xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,已知()1f a >,则a 的取值范围为A,(1,1)- B,(,1)(1,)-∞-+∞ C,(,2)(0,)-∞-+∞ D,(1,)+∞ 6对于函数32()3f x x x =-,有下列命题:①()f x 是增函数,无极值;②()f x 是减函数, 无极值;③()f x 的增区间是(,0)-∞,(2,)+∞,()f x 的减区间是(0,2);④(0)0f =是极 大值,(2)4f =-是极小值.其中正确的命题有A,一个 B,二个 C,三个 D,四个 填空题7函数2(2)log xf x =的定义域是 . 8已知2(1cos )sin f x x -=,则()f x = .9函数2log (252)x y x x =-+-单调递增区间是 . 10若不等式2log 0(0,1)a x x a a -<>≠对满足102x <<的x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .112ln y x x =-+在点M(1,0)处的切线方程是 . 解答题 12函数y =A,函数2lg(43)y kx x k =+++的定义域集合B,当A B ⊃时,求实数k 的取值范围.13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线22()y x ax a R =++∈与线段AB 有两个不同的 交点,求a 的取值范围.14已知定义在R 上的函数()f x ,满足:()()()f a b f a f b +=+,且0x >时,()0f x <, (1)2f =-.(I)求证:()f x 是奇函数; (II)求()f x 在[3,3]-上的最大值和最小值.15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和 描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的 兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用()f x 表 示学生掌握和接受概念的能力(()f x 值越大,表示接受的能力越强),x 表示提出和讲授 概念的时间(单位:分),可有以下公式:20.1 2.643(010)()59(1016)3107(1630)x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间?(II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些?(III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直 达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?16已知函数2()axf x x e =,其中0a ≤,e 为自然对数的底数.(I)讨论函数()f x 的单调性;(II)求函数()f x 在区间[0,1]上的最大值.四 参考答案:问题1:(I):(1)a<0,A=,∅∅ 解当时有A B=,{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{B=x x<-8或x>1}.由∅ A B=,有3813a a -+≥-⎧⎨≥+⎩ 得112a a ≤⎧⎨≤-⎩与≥a 0,矛盾! 故当∅ A B=时,a 的取值范围是(,0)-∞; (II)解:(1)a<0,A=,∅ 当时有A B=B ,{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{B=x x<-8或x>1}由 A B=B,必有A B ⊆,得38a +<-或31a -+> 得11a <- (舍去)或2a < 得02a ≤<故当 A B=B 时, a 的取值范围是(,2)-∞.温馨提示:在处理集合的问题中,别忘了我们的好朋友 空集.问题2:解:(1)当0a =时,0()f x x x=+, 令'()0f x <,得x <它的定义域是0x ≠, 得()f x 的单调增区间是(,-∞,)+∞它分别在(,0)-∞,(0,)+∞上为增函数. ()f x 的单调减区间是(. (2)当0a >时,()f x 的定义域是0x ≠, (3)当0a <时,()f x 的定义域是0x ≠,2'22()1a x a f x x x -=-= 2'22()1a x a f x x x-=-=0>令'()0f x >,得x >x < 得()f x 的单调增区间是(,0),(0,)-∞+∞.温馨提示:①对参数进行分类讨论,是处理含参数问题的常用方法, ②'()0f x >('()0f x <)⇒()f x 为增(减)函数,反之不行; ③以上单调区的书写格式,符合国际标准,请放心使用. 问题3:解:(I)()1x f x e ax =--,得'()xf x e a =-.()f x 在R 上单调递增,'()0xf x e a ∴=-≥恒成立,即xa e ≤,x R ∈恒成立 又x a e ≤时,(0,)xe ∈+∞,得0a ≤. (II)'()xf x e a =-,而()f x 在(,0]-∞上单调递减,得0x e a -≤在x ∈(,0]-∞上恒成立,有maxx a e ≥,又当x ∈(,0]-∞时,(0,1]xe ∈ ,得1a ≥ ①又()f x 在[0,)+∞上单调递增,得0x e a -≥在[0,)x ∈+∞上恒成立,有minx a e ≤,又当[0,)x ∈+∞时,[1,)xe ∈+∞,得1a ≤ ② 由①,②知1a =.(III)由(II)可知(0)f 是()f x 的最小值,有()(0)f x f ≥, 而0(0)010f e =--=,2()(1)11g x x =---≤- 故()()f x g x >,即()g x 的图象恒在()f x 图象的下方.温馨提示:()()f x g x ≥恒成立时,转化为min max ()()f x g x ≥进行考虑,合情合理. 问题4:(I)解:()f x 的定义域是11x -<<,得'2212()lg (2)1f x e x x =--+-0<所以()f x 在(1,1)-上是减函数. (II)证明:假设存在12,x x 且12x x ≠,使11()0fx -=,12()0f x -=,则有1110lg 0210x -=+++,2110lg0210x -=+++,于是得1212x x ==,与12x x ≠矛盾! 所以1()0f x -=只有一个实根12x =.(III)解:由(II)得11()02f -=,即1(0)2f =,又11[()]22f x x -<=(0)f而()f x 在(1,1)-上是减函数,得11()]02x x >->,有104x <<或1124x <<.即11[()]22f x x -<的解集是111((,)424 . 温馨提示:()f x 为增(减)函数⇒'()0f x ≥('()0f x ≤),反之不行. 习题1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B. 1,12()log fx x -=,有1222(4)log (4)f x x --=-,2,我们由映射的概念:每一个x ,有唯一的由240x ->,得22x -<< 一个y 与它对应.知,A,B,D.都满足. 函数2log y x =为(0,)+∞上的增函数, 而在C 中,M 中的1与tan1对应, 求22log (4)x -的单调减区间, 但tan11>,tan1在N 中找不到了.选C. 即求24u x =-的单调减区间,于是选C.3,设0x >,则0x -<,得()(1)g x x x -=--=()g x -,有()(1)g x x x =-, (1)当0x ≤时,由()()()()f x g x f x g x +=⋅,得(1)()(1)x x x x x x -++=-⋅+,解得12x =-,20x =.(2)当01x <<时,由()()()()f x g x f x g x +=⋅,得(1)()(1)x x x x x x -+-=-⋅-,无解. (3)当1x ≥时,由()()()()f x g x f x g x +=⋅,得(1)(1)x x x x x x +-=⋅-,无解.选B. 4,由(1)(1)0f f -==,(2)(2)1f f -==-,知只有C 正确.5,当a →+∞与a →-∞时,均合题意,而1a =时,1211=,不合题意,选B.6,③④正确.选B. 7,令2xt =,得2log x t =,22()log (log )f x x =,得1x >.8,令1cos t x =-,有cos 1x t =-,22()1cos 1(1)f t x t =-=--,得2()2f x x x =-,x ∈[0,2].9,令2252,u x x =-+-0u >,得122x <<.而它在5(1,]4上递增,在5(,2)4上递减, 而当1(,1)2x ∈时,log x y u =,x ↗,u ↗,y ↘;当5(1,]4x ∈时,x ↗,u ↗,y ↗;当5,2)4x ∈时,x ↗,u ↘,y ↘.于是得递增区间是5(1,]4.10,设2()f x x =,()log a g x x =,由题意,当102x <<时,()f x 的图象总在()g x 的图象的下方.当1a >时,显然不合题意;当01a <<时,必有11()()22g f ≥,211log ()22a ≥,得116a ≥,又01a <<,于是1116a ≤<. 11, 1''2''2(ln )()[(2)]y x x x -=-+-=3'2112(2)(2)2x x x x ----⋅-=32112(2)2x x x --+-,得'112x k y ===-,有x+2y-1=0. 12,解:{23}A x x =-≤≤,而B ≠∅,2{430,}B x kx x k x R =+++>∈,又由题意知0k <,且2-≤3≤, 解得342k -<≤-,故k 的取值范围是3(4,]2--. 温馨提示:函数的定义域,值域,均为非空集.你留意到了没有?13,解:过A,B 两点的直线方程为1y x =+,令221x ax x ++=+,则这方程有两相异实根12,x x ,且12,[0,2]x x ∈.设2()(1)1f x x a x =+-+,则问题等价于21022(1)40(0)0(2)0a a f -⎧<-<⎪⎪⎪∆=-->⎨⎪≥⎪≥⎪⎩,解得312a -≤<-.所以a 的取值范围是312a -≤<-. 14,解:(I)由()()()f a b f a f b +=+,令a b =-,得(0)()()f f a f a =+-, 又令0a b ==,有(0)2(0)f f =,得(0)0f =,于是()()f a f a -=-,a R ∈. 所以()f x 是奇函数. (II)又0x >时,()0f x <设120x x <<,则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-=21()f x x -- 而210x x ->,得21()f x x -0<,有21()f x x --0>,即12()()f x f x > 得()f x 在R 上是减函数,于是它在[3,3]-上有最大值(3)f -,最小值(3)f 而(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)6f f f f f f f =+=++==-,(3)(3)f f -=-=6. 所以()f x 在R 上有最大值6,最小值6-. 15,解:(I)当010x <≤时,22()0.1 2.6420.1(13)59.9f x x x x =-++=--+,得()f x 递增, 最大值为(10)f =59.当1630x <≤时,()f x 递减,()31610759f x <-⨯+=因此,开讲后10分钟,学生达到最强的接受能力(值为59),并维持6分钟. (II)(5)f =20.1(513)59.953.5-⨯-+=,(20)3201074753.5f =-⨯+=< 因此开讲后5分钟,学生的接受能力比开讲后20分钟强一些. 16,解:(I)'()(2)axf x x ax e =+. ①当0a =时,令'()0f x =,得0x =.若0x >,则'()0f x >,从而()f x 在(0,)+∞上单调递增; 若0x <,则'()0f x <,从而()f x 在(,0)-∞上单调递减;②当0a <时,令'()0f x =,得(2)x ax +=0,有1220,x x a==-. 若0x <或2x a >-,则'()0f x <,从而()f x 在(,0)-∞,2(,)a -+∞上单调递减;若20x a <<-,则'()0f x >,从而()f x 在2(0,)a-上单调递增;(II)①当0a =时,()f x 在区间[0,1]上的最大值是(1)1f =; ②当20a -<<时,()f x 在区间[0,1]上的最大值是(1)af e =; ③当2a ≤-时,()f x 在区间[0,1]上的最大值是2224()f a a e-=.。