现代控制理论 矩阵指数函数的计算方法PDF版

《现代控制理论》MOOC课程第二章系统状态空间表达式的解三. 矩阵指数函数的计算方法根据矩阵指数函数的定义：方法一e At=I+At+12!A2t2+⋯=෍k=0∞1k!A k t k直接计算。

方法二将A阵化为对角标准型或约当标准型求解1. A的特征值不存在重根若A的n个特征值不存在重根，则在求出使A阵实现对角化λ1,λ2,⋯,λnT−1AT=λ1λ2⋱λn的变换阵后，即有指数函数矩阵：T−1、T e At=T eλ1teλ2t⋱eλn tT−1证明：T −1AT=λ1λ2⋱λn 由可得A =Tλ1λ2⋱λnT −1eAt=෍k=0∞1k!A k t k =෍k=0∞1k!Tλ1λ2⋱λnT−1kt k=෍k=0∞1k!Tλ1λ2⋱λnkT −1t k=T෍k=0∞1k!λ1k tk ෍k=0∞1k!λ2k tk ⋱෍k=0∞1k!λn k tk T −1=Te λ1te λ2t⋱e λn tT −1得证2. A的特征值存在重根若A的l组不同特征值为：λ1，λ2，⋯，λl，代数重数分别为σ1，σ2，⋯，σl(σ1+σ2+⋯+σl=n)且几何重数均为1，则在求出使A阵为约当标准型：J=T−1AT=J1J2⋱J l其中J i=λi1λi⋱⋱1λi为维矩阵σi×σi的变换阵后，即有指数函数矩阵：T−1、Te At=T e J1te J2t⋱e J l tT−1其中e J i t=eλi t1t12!t2⋯1(σi−1)!tσi−101t⋯1(σi−2)!tσi−2⋮⋮⋮⋯⋯⋯⋮t1证明：证明的思路与1相同,略去。

拉氏变换法：方法三e At =L −1(sI −A)−1证明：由矩阵指数函数的定义：e At=I +At +12!A 2t 2+⋯=෍k=0∞1k!A k tk取拉氏变换L(e At )=1s I +1s 2A +1s 3A 2+⋯=෍k=0∞1s(k+1)A k =s −1෍k=0∞s −1Ak =s −1I −s −1A−1=sI −A−1取拉氏反变换e At =L −1(sI −A)−1得证L t k k!=1sk+11+x +x 2+⋯+x k+⋯=෍k=0∞x k=11−x =(1−x)−1方法四应用凯莱－哈迷尔顿定理将表示为一个多项式e At e At =a 0t I +a 1t A +a 2t A 2+⋯+a n−1t A n−1若A 的特征值两两互异，则多项式的系数可按下式计算：a 0t a 1t ⋮a n−1t=1λ1λ12⋯λ1n−11λ2λ22⋯λ2n−1⋮1⋮λn⋮λn2⋮⋯⋮λnn−1−1e λ1te λ2t ⋮e λn tλ1，λ2，⋯，λl 若A 的n 个特征值为：，代数重数分别为，几何重数均为1，σ1，σ2，⋯，σl a 0t ⋮a σ1t ⋮a (σk=1l−1σk )+1t⋮a n−1t=p 1σ1⋮p 11⋮p lσl ⋮p l1−11σ1−1!t σ1−1e λ1t⋮e λ1t ⋮1σl −1!t σl −1e λl t⋮e λl t式中p i1=1λi λi 2⋯λin−1p i2=dp i1dλi ⋮p iσi =1σi −1!d σi −1p i1dλiσi −1凯莱－哈迷尔顿定理A∈R n×n设, 其特征多项式为：Dλ=λI−A=λn+a n−1λn−1+⋯+a1λ+a0=0则矩阵A必满足其特征多项式，即A n+a n−1A n−1+⋯+a1A+a0I=0证明：由凯莱－哈迷尔顿定理可表示为的线性组合,即A n−1、A n−2、⋯、A 、I A n A n =−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I进而有：A n+1=AA n =A(−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I)=−a n−1A n −a n−2A n−1−⋯−a 1A 2−a 0A=−a n−1(−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I)−a n−2A n−1−⋯−a 1A 2−a 0A=(a n−12−a n−2)A n−1+(a n−1a n−2−a n−3)A n−3+⋯+a n−1a 1−a 0A +a n−1a 0I这样均可表示为的线性组合。

A n−1、A n−2、⋯、A 、I A n+1、A n+2、⋯故有：eAt=I +At +12!A 2t 2+⋯=a 0t I +a 1t A +a 2t A 2+⋯+a n−1t A n−1若A 的特征值不存在重根，则有eAt=Te λ1te λ2t⋱e λn tT −1=a 0t I +a 1t A +a 2t A 2+⋯+a n−1t A n−12.1 线性定常齐次状态方程的解方法四a 0t +a 1t λ1+a 2t λ12+⋯+a n−1t λ1n−1=e λ1ta 0t +a 1t λ2+a 2t λ22+⋯+a n−1t λ2n−1=e λ2t⋮a 0t +a 1t λn +a 2t λn 2+⋯+a n−1t λnn−1=e λn t比较等式两边可得:=a 0t I +a 1tλ1λ2⋱λn+a 2tλ12λ22⋱λn2+⋯+a n−1tλ1n−1λ2n−1⋱λnn−1e λ1te λ2t⋱e λn t=a 0t T −1T +a 1t T −1A T +a 2t T −1A 2T +⋯+a n−1t T −1A n−1T 对于有重根的情况，可类似地方法证明。

得证。

a 0ta 1t ⋮a n−1t=1λ1λ12…λ1n−11λ2λ22…λ2n−1⋮1⋮λn⋮λn2⋮…⋮λnn−1−1e λ1te λ2t ⋮e λn t解得T −1A 2T =(T −1AT)(T −1AT)2.1 线性定常齐次状态方程的解(s I −A)=s −12s +3解：(1) 用定义计算e At=I +At +12!A 2t 2+⋯=I +01−2−3t +12!01−2−32t 2+⋯=1−t 2+⋯t −1.5t2+⋯−2t +3t 2+⋯1−3t +⋯(2) 用拉氏变换法计算(s I −A)−1=s +3(s +1)(s +2)1(s +1)(s +2)−2(s +1)(s +2)s(s +1)(s +2)e At=L −1(s I −A)−1=L −1s +3(s +1)(s +2)1(s +1)(s +2)−2(s +1)(s +2)s (s +1)(s +2)=2e −t −e −2t e −t −e −2t −2e −t +2e −2t−e −t +2e −2t例1设系统矩阵为按照矩阵指数函数的定义和拉氏变换法求。

e At A =1−2−32.1 线性定常齐次状态方程的解例2 用标准型法计算系统矩阵的e At A =01001230解：矩阵A 的特征方程为λI −A =(λ3−3λ−2)=λ+12λ−2=0解得系统特征根为：λ1=2(σ1=1),λ2=−1(σ2=2)的几何重数λ2α2=3−rank （λ2I −A ）=3−rank −1−100−1−1−2−3−1=3−2=1的几何重数λ1α1=3−rank （λ1I −A ）=3−rank 2−1002−1−2−32=3−2=1计算特征根对应的特征向量和广义特征向量:将λ1=2，代入特征向量计算公式(A −λi I)p i =0解得p 11p 21p 31=124−2100−2123−2p 11p 21p 31=0可得将λ2=−1，代入特征向量计算公式(A−λi I)p i=0110 011 231p12p22p32=0可得解得p12p22p32=1−11将λ2=−1，代入广义特征向量计算公式(A−λi I)p i=p i−1可得110011231p13p23p33=1−11解得p13p23p33=1−1 T =1112−1041−1故变换阵为：T−1=19121 2−52 63−3故变换阵的逆为：e At=T e2t00e J2tT−1=1 9e2t+(8+6t)e−t2e2t+(−2+3t)e−t e2t−(1+3t)e−t 2e2t−(2+6t)e−t4e2t+(5−3t)e−t2e2t+(−2+3t)e−t 4e2t+(−4+6t)e−t8e2t+(−8+3t)e−t4e2t+(5−3t)e−t e J2t=e−110−1t=e−t te−t0e−t而λ2=−1的约当块矩阵指数函数为：e At=191112−1041−1e2t000e−t te−t00e−t1212−5263−3这样，系统的矩阵指数函数为：例3. 用凯莱－哈密尔顿法计算系统矩阵的矩阵指数函数e AtA=010 001−6−11−6解：矩阵A的特征方程为λI−A=(λ3+6λ2+11λ+6)解的系统的特征值为λ1=−1，λ2=−2，λ,3=−3 a0ta1t a2t =1−111−241−39−1e−te−2te−3t=3e−t−3e−2t+e−3t52e−t−4e−2t+32e−3t12e−t−e−2t+12e−3t于是：e At=a0t I +a1t A+a2t A2=3e−t−3e−2t+e−3t52e−t−4e−2t+32e−3t12e−t−e−2t+12e−3t−3e−t+6e−2t−3e−3t−52e−t+8e−2t−92e−3t12e−t−2e−2t+32e−3t3e−t−12e−2t+9e−3t52e−t−16e−2t+272e−3t12e−t−4e−2t+92e−3t。