量子力学课程总结

量子力学
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量子力 学
态和力学量的表象
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算符的矩阵表示，在G表象中
F11 F21 F Fn1 F12 F22 Fn 2 F1m F2 m Fnm
在自身表象中，是对角矩阵，对角线上的值 是本征值
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量子力 学
态和力学量的表象
1、坐标算符的本征值和本 征函数
r 0 r r0
i


2、动量的本征值和本征函 数
p P p0 P , P ce
0 0 0
p0 r
箱归一化

p

1 L
3 2
i
e
pr
p
归一化成δ 函数
1
3 2
i
2
e
pr
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量子力 学
量子力学中的力学量
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量子力 学
波函数和薛定谔方程
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四种守 恒
粒子数 守恒
几率守 恒
电荷守 恒
质量守 恒
N q +J N =0 +J =0 +J =0 +J q =0 t t t t
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量子力 学
量子力学中的力学量
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坐标和动量算 符
H mn 1 (0) (0) En Em
量子力学
E
(0) n
E
(0) m
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微扰理论
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跃迁几率
Wk m 2 t | Fmk |2 ( m - k h ) h
能量守恒
Wk m
2 t
2
| Fmk |2 (mk )
共振特性
(0) (1) (2) ( En En 2 En
(0) (1) (2) )( n n 2 n
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量子力 学
微扰理论
0 : 1 : 2 :
ˆ (0) (0) E (0) (0) H n n n
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ˆ (0) (1) H ˆ (1) (0) E (0) (1) E (1) (0) H n n n n n n ˆ (0) (2) H ˆ (1) (1) E (0) (2) E (1) (1) E (2) (0) H n n n n n n n n
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
ˆ2 S
算符的本征值是
ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S ˆ 2 3 2 S x y z 4
2 S 2 s(s 1)2 3 4
s 1 2
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自旋与全同粒子
S x x 2 S y y 2 S z z 2

pdq nh
修正

1 pdq n h 2
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绪论
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1924德布罗意提出微观粒子的波粒二象性
E E h h h h P P
这个公式称为德布罗意公式或德布罗意关系
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WLeabharlann Baidu m
4 | Fmk |2 sin 2 1 2 (mk )t1 2 (mk )2
能量与时 间的测不 准关系
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量子力学
量子力 学
自旋与全同粒子
ˆ L ˆ ˆ ˆ LL i L ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [L x y z
量子力学课程总结 自旋角动量
轨道角动量
ˆ S
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波函数和薛定谔方程
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V(x) a 0 x
一维线性谐振子
1 2 2 x 2
结论
V0
1 En = n+ 2 , n 0,1, 2,... 2 2 N e H n n n
1900年普朗克引入量子概念才 很好地解释黑体辐射
量子论的生日—1900年12月14日 柏林物理学会
/μm
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量子力 学
绪论
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1905年，爱因斯坦对光电效应做出了解释：
1 2 me vm =h -W0 2
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绪论
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1913年，玻尔提出了量子化条件解释了 经典理论在原子结构上遇到的困难
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量子力学中的力学量
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L L z z Lz m , m 0, 1, 2,... 1 eim m 2
L2Y , L2Y , 2 2 2 L l l 1 ; l 0,1, 2...... Yl ,m , l ,m m , m 0, 1, 2,... l
ˆ ˆ ˆ S S i S ˆ ,S ˆ ]i S ˆ [S x y z ˆ ,S ˆ ]i S ˆ [S y z x ˆ ,S ˆ ]i S ˆ [S z x y
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [L y z x ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [L z x y
所以
ˆ S x
ˆ S y
ˆ S z
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量子力学中的力学量 厄米算符的对易
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F , G F G G F
若式子为零，则 F 和 G 对 易，否则，不对易
测不准关系
F F F 均方差可以描述对本征态的偏离程度
2 ( k ) 2 2 ˆ ˆ (F ) (G) 4
F11 F21 Fn1 Fn 2
F12 F22

F1n F2 n

0 Fnn
久期行列式
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态和力学量的表象
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狄拉克符号
右矢：|n > ψn(x)；左矢：< |是右矢的共轭
1: d
ˆ ˆa ˆ N a
称为粒子数算符
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微扰理论
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微扰体系的Schrö dinger方程
(0) (1) ˆ ˆ ˆ H H H
En E
(0) n
E
(1) n
E
2
(2) n

) )
ˆ (0) H ˆ (1) )( (0) (1) 2 (2) (H n n n
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波函数和薛定谔方程
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一维无限深势阱
V(x)
0, U( x)
| x | a | x | a
I -a
II
III a
0
结论
n n x =C sin 2a x+a ,C n 2 2 2 E n = 2 8 a 1 , n 0, 1, ,....., x a a
波函数和薛定谔方程
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人们所普遍接受的对于波函数的统计解释是玻恩首先提出的 波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子 的概率成正比例，按照这种解释，描写粒子的波 乃是概率波。
态叠加原理一般表述：
若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的 线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ... 也是体系的一个可能状态。 (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复数)。
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量子力 学
波函数和薛定谔方程
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薛定谔方程
2 i = 2 +U r,t t 2

势能U与时间无关， 有定态波函数
e
2
i Et
ψ满足定态 薛定谔方程
-
2
2 (r )+U r (r )= E (r )

波函数的三个基本条件：连续性、有限性、 单值性 量子力学
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合肥工业大学微电子12-1班
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量子力 学
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1、绪论
主 要 内 容
2、波函数和薛定谔方程
3、量子力学中的力学量 4、态和力学量的表象 5、微扰论 7、自旋与全同粒子
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绪论
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经典力学的困难：无法解释黑体辐射、光电效应 等
ˆ | n n 1 | n 1 a
i ˆ ˆ [x p] 2
x [ a a] 2 ˆ p i [a a ] 2
2 ˆ p 1 ˆ ˆ 1] ˆ a ˆ1 H 2 x 2 [a ] [ N 2 2 2 2
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泡 利 算 符
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是±/2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1； σx2,σy2,σZ2 的本征值都是1 。
反 对 易 关 系
ˆ x ˆ y ˆ y ˆx 0 ˆ y ˆz ˆ z ˆy 0 ˆ ˆ ˆ x ˆz 0 z x
r r, p i
知道坐标和动量算符我们可以求出其他的 算符 厄米算符
r F r d r F r d
*



*


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量子力 学
量子力学中的力学量
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r r 0 r0 r 0
算 符 的 本 征 值 和 本 征 函 数
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量子力 学
微扰理论
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（2）非简并定态微扰 （本章简并微扰不是重点）
En E
(0) n
H nn
m n


2 | H nm | ' (0) (0) En Em
n
(0) n
m n


'
H mn (0) m (0) (0) En Em
ˆ (0) E (0) ] (0) 0 [ H n n (0) ˆ E (0) ] (1) [ H ˆ (1) E (1) ] (0) [ H n n n n (0) ˆ E (0) ] (2) [ H ˆ (1) E (1) ] (1) E (2) (0) [ H n n n n n n
*
ˆ | 2: F | F
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态和力学量的表象 线性谐振子与占有数表象
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i ˆ ˆ ˆ] a [x p 2
ˆ a
a n n n1
ˆ n n 1 a n1
ˆ | n n | n 1 a
算 符 的 本 征 值 和 本 征 函 数
3、动能的本征值和本征函数
T x Ae Be
ix
ix
Ae
i
2T
2
x
Be
i
2T
2
x
4、角动量的本征值
ˆ Lz -ih
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin
量子力学
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量子力学公式的矩阵表示 1、平均值
F11 F21 F a1 * ( t ), a2 * ( t ), , am * ( t ) Fm1 F12 F22 Fm 2 F2 n Fmn F1n a1 ( t ) a2 (t ) an (t )
F * F
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态和力学量的表象
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2、本征值方程 ˆ ( x) ( x) F
F11 F21 Fn1 F12 F22 Fn 2 F1n F2 n Fnn a1 a2 an a1 a2 an