北师大版数学高二柯西不等式教案选修4-5

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选修4-5 第三节柯西不等式与算术—几何平均不等式2

3 2 2 2 2 2 2 x 3 3 x 3 4. x x x x 3 3 2 2 2 当且仅当 x , 即x 2时, xy x 取得最小值3 4. x
5、2009年浙江省样卷
二、高考考题解析 1 1 1．(2010· 辽宁沈阳)已知实数 x，y 满足 2＋ 2＝1， x y 求 x2＋2y2 的最小值．
1 1 1 2．已知 a，b，c 为正实数，求a3＋b3＋c3＋abc 的最小值．
解：因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3 1 1 1 1 1 1 ＋＋ ≥3 ··， a3 b3 c3 a3 b3 c3 1 1 1 3 即 3＋ 3＋ c 3 ≥abc. a b 1 1 1 3 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥abc＋abc. a b c
2 2 解：∵2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥4＋2a， x－a x－a ∴7≤4＋2a 3 3 ∴a≥2，∴amin＝2
4. 实数x,y满足xy>0,且x2y=4,求xy+x2的最小值.
解 : xy 0, x y 4,
2
4 y 2 0, x 0. x 4 4 2 2 xy x x 2 x x 2 x x
选修4—5 不等式选讲第三讲（两课时）
柯西不等式与算术—几何平均不等式 1.能利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最——几何平均不等式证明一些简单不等式，解决最大（小）值的问题，了解基本不等式的推广形式（n个正数的形式）.
[基础知识]
1 1 1 法二：左边＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]( ＋＋ ) a＋b b＋c c＋a a＋b a＋b b＋c b＋c c＋a c＋a ＝3＋＋＋＋＋＋ b＋c c＋a a＋b c＋a a＋b b＋c ≥3＋2 a＋b b＋c · ＋2 b＋c a＋b a＋b c＋a · ＋ c＋a a＋b

2017-2018学年高中数学选修4-5课件北师大版2.1柯西不等式(共28张PPT)

��2 �� 证明由柯西不等式可得cos2 �� + sin2 �� 2 ��2 �� = cos2 �� + sin2 �� (cos2θ+sin2θ)
第二章几个重要的不等式
§1 柯西不等式
学
习目标
思
维脉络
1.认识简单形式的柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义. 2.会证明一般形式的柯西不等式,并能利用柯西不等式来解决有关问题.
1.简单形式的柯西不等式
简单形式的柯西不等式代数形式(定理 1) 向量形式表达式等号成立的条件 ad=bc α 与 β 共线
向量(b1,b2,… ,bn)共线时,等号成立. (2)推论(三维形式的柯西不等式):
2 2 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是两组实数,则有( ��1 + ��2 + ��3 )· (��1 + ��2 + ��3 )≥ (a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a 2,a3)与向量( b1,b2,b3)共线时等号成立.
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 |α||β|≥ |α· β|
名师点拨 1.定理1的几点说明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(adbc)2≥(ac+bd)2,这里用了放缩法.因为(ad-bc)2≥0,所以简单形式的柯西不等式中等号成立的充要条件是(ad-bc)2=0,即ad=bc. 2.简单形式的柯西不等式反映了4个实数之间的特定数量关系, 不仅在排列形式上规律明显,具有简洁、对称的美感,而且在数学和物理中有重要作用.

高二数学北师大版选修4-5课件2.1 柯西不等式

2.一般形式的柯西不等式 (1)定理 2: 2 2 2 2 设 a1,a2,…,an 与 b1,b2,…,bn 是两组实数,则有(��1 + ��2 +…+�� )(��1 +
2 2 ��2 +…+�� )≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当向量(a1,a2,…,an)与向量(b1,b2,…,bn)共线时,等号成立. (2)推论(三维形式的柯西不等式): 2 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是两组实数,则有(��1 + ��2 + ��3 )· (��1 + ��2 + 2 ��3 )≥(a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a2,a3)与向量(b1,b2,b3)共线时等号成立.
第二章
几个重要的不等式
§1
柯西不等式
课程目标 1.认识简单形式的柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义. 2.会证明一般形式的柯西不等式, 并能利用柯西不等式来解决有关问题.
学习脉络
1.简单形式的柯西不等式
简单形式的柯西不等式代数形式(定理 1) 表达式 (a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2 向量形式 |α||β|≥|α· β| α 与 β 共线等号成立的条件
点拨(1)三维形式的柯西不等式是二维形式的柯西不等式的推广,是二维
形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式过渡的桥梁,是从平面向量的几何背景到空间向量的几何背景的拓展. (2)根据从特殊到一般的认识过程,由二维和三维形式的柯西不等式,类比猜想出一般形式的柯西不等式.

高二年级第二学期数学柯西不等式形学案选修4-5

学案13柯西不等式形柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．已知a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.【证明】因为a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，令m ＝(13a ＋1，有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．设a 、b 、c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值．]【解】由于a 、b 、c 为正实数，根据柯西不等式，知(a ＋2b ＋3c )(3＋1＋13)＝[(a )2＋(2b )2＋(3c )2][(3)2＋12＋(13)2] ≥(3·a ＋1·2b ＋13·3c )2 ＝(3a ＋2b ＋c )2，∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323，即3a ＋2b ＋c ≤1333，当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13时取等号．又a ＋2b ＋3c ＝13，∴当a ＝9，b ＝32，c ＝13时，3a ＋2b ＋c 取得最大值为1333.思想方法解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．本章常把要证明的不等式通过换元或配凑等转化手段，转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．已知a>b>c，求证：1a－b＋1b－c≥4a－c.【证明】∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，∵a>c，∴a－c>0.∴(a－c)(1a－b＋1b－c)＝[(a－b)＋(b－c)](1a－b ＋1b－c)≥(1＋1)2＝4.∴1a－b ＋1b－c≥4a－c.学案14数学归纳法数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n＝n0时命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明_n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．1．数学归纳法中，n取的第一个值n0是否一定是1?【提示】n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数，不是一定从1开始．2．如何理解数学归纳法的两个步骤之间的关系？【提示】第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的桥梁，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就无意义了．用数学归纳法证明：1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1成立时，左边计算的结果是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3【思路探究】注意左端特征，共有n ＋2项，首项为1，最后一项为a n ＋1.【自主解答】实际是由1(即a 0)起，每项指数增加1，到最后一项为a n ＋1，∴n ＝1时，左边的最后一项应为a 2，因此左边计算的结果应为1＋a ＋a 2.【答案】 C1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；2．递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．当f (k )＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k，则f (k ＋1)＝f (k )＋________.【解析】 f (k ＋1)＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)， ∴f (k ＋1)＝f (k )＋12k ＋1－12(k ＋1). 【答案】 12k ＋1－12k ＋2用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 【思路探究】要证等式的左边共2n 项，右边共n 项，f (k )与f (k ＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时要注意项的合并．【自主解答】 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，所以等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边，所以，n ＝k ＋1时等式成立．由①②知，等式对任意n ∈N *成立．1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n ＝n 0时命题的形式，二是要准确把握由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n ＝k ＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)．【证明】(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时等式也成立，根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N*)．【思路探究】先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．【自主解答】(1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[ 3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[21(k＋1)＋7]·7k－1＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k.∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，∴[ (3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．1．证明本题时关键是用归纳假设式子(3k＋1)·7k－1表示n ＝k＋1时的式子．2．用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．一般地，证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n)) 整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋f2(k)．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．【证明】(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)，由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．由(1)和(2)可知，对n∈N*命题成立．例4平面内有n(n≥2，n∈N*)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．【思路探究】(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)，(2)利用数学归纳法证明．【自主解答】当n＝2时，f(2)＝1 ；当n＝3时，f(3)＝3，当n＝4时，f(4)＝6，因此猜想f(n)＝n(n－1)2(n≥2，n∈N*)．下面利用数学归纳法证明：(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交点，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1.∴n＝2时，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝12k(k－1)，当n＝k＋1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，…，l k.由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k)＝k(k－1)2.由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，…，l k的交点共有k个．∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)2＋k＝k2＋k2＝k(k＋1)2＝(k＋1)[(k＋1)－1]2.∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对一切n∈N*且n≥2时成立．1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系．2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n ＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．【解】设分割成线段或射线的条数为f(n)．则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．(1)当n＝2时，显然成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时，结论成立，f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，l k，l k＋1共k＋1条直线满足题设条件．不妨取出直线l1，余下的k条直线l2、l3、…、l k、l k＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．直线l1与这k条直线恰有k个交点．则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2、l3、…、l k－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.∴当n ＝k ＋1时，结论正确．由(1)(2)可知，上述结论对一切n ≥2且n ∈N ＋均成立．(教材第50页习题4.1第5题)凸n 边形有多少条对角线？证明你的结论．(2013·南阳模拟)已知如下等式12＝1×2×36，12＋22＝2×3×56，12＋22＋32＝3×4×76.当n ∈N ＋时，试猜想12＋22＋32＋…＋n 2的值，并用数学归纳法给予证明．【命题意图】本题考查了归纳、猜想和数学归纳法证明等相关知识，考查学生的观察能力、分析解决问题的能力．【解】由已知猜想：12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6. 下面用数学归纳法给予证明：(1)当n ＝1时，由已知得原式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，原式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，则当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6. 故n ＝k ＋1时，原式也成立．由(1)(2)知，当n ∈N ＋时，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式为( )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4【解析】当n ＝1时左边有2×1＋1＝3项，∴左边所得的代数式为1＋2＋3.【答案】 C2．(2013·安阳检测)某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N ＋且k ≥1)时命题成立，则一定可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现已知n ＝5时，该命题不成立，那么应有( )A ．当n ＝4时该命题成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝6时该命题不成立【解析】若n ＝4时命题成立，由递推关系知n ＝5时命题成立，与题中条件矛盾，∴n ＝4时，该命题不成立．【答案】 C3．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左端需乘以的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋1【解析】当n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)．当n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)．比较n ＝k 和n ＝k ＋1时等式的左边，可知左端需乘以(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．故选B. 【答案】 B4．(2013·焦作检测)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n1－a(a ≠1，n ∈N *)．【证明】(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1－a1－a＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋a＋a2＋…＋a k－1＝1－a k 1－a，那么n＝k＋1时，左边＝1＋a＋a2＋…＋a k－1＋a k＝1－a k1－a＋a k＝1－a k＋a k－a k＋11－a＝1－a k＋11－a＝右边，∴等式也成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*等式均成立。

高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考二柯西不等式

23c =，则半短轴b =2.又椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为221164x y +=.而椭圆方程221164xy+=在伸缩变换','2x x y y==作用下，变为圆的方程2216x y +=，此时点(2,1)A 变为点(2,2)A ′.要求△ABC 面积的最大值问题转化为先求过原点做直径B C ′′，使△ABC ′′′面积最大.又根据圆的性质，当OA BC ′′′⊥时，点A ′到直径B C ′′的距离取到最大值，此时△AB C′′′的面积为1128228222R OA ′=××=最大.再由定理，知182422ABCA BC b S Sa ′′′==×=.故填42.4.利用伸缩变换解高考题例5(2006年高考山东文科卷)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.(I)求椭圆的方程；(II)直线l 过点P(0，2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当△AOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.解析：(I)易求椭圆方程为22121xy+=.(II)椭圆22121x y +=在伸缩变换','2x x y y==作用下，变为圆的方程222x y +=，此时点P(0，2)在伸缩变换1002作用下变为(0,22)P ′.由题意知直线l 的斜率K 存在且0K ≠时，设直线l 的方程为2y Kx =+，则直线l ′的方程为22y kx =+1()2bK k k a ==，原点到该直线l ′的距离2221d k =+，弦长22222826222211k AB Rd k k ′′===++，故ΔA OB 面积为22211262222211AO Bk S AB d k k ′′′′′==++2222622(1)(1)k k k =++令226(0),m k m =>则2262m k +=，从而21224218612AO Bm Sm m m ′′′==≤+++，当且仅当8m m=，即22m =时，ma x 1S =，此时7k =±.所以原直线l 的斜率114(7)22b K k a ==×±=±，故所求直线方程为14240x y ±+=.高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考(二)柯西不等式杨恩彬1,2柯跃海11福建师范大学数学与计算机科学学院(350007)2福建省宁德第一中学(352100)柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析学的过程中发现的．柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且具有非常重要的应用价值．因而《普通高中数学课程标准(实验)》中将柯西不等式列入高中数学的选学内容．2008年第6期福建中学数学131柯西不等式在《不等式选讲》中的地位《不等式选讲》新增的内容有：三个正数的算术-几何平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式，其中三个正数的算术-几何平均值不等式是中学数学教师较熟悉的，而对贝努利不等式的要求又不高，因而柯西不等式就成为本专题的一大特色内容．柯西不等式有着丰富的数学背景，从历史的角度看，柯西不等式又可称为柯西-布理可夫斯基席瓦兹(Cauch-BuniakowskySchwarz)不等式．作为其初等叙述，其不等式可从二维向量空间推广到一般的向量空间(n R )上，即：如果1212(,,,),(,,)n n a a a b b b αβ==，则222111()nnni ii i i i i a b a b ===≥∑∑∑，等号成立当且仅当存在,t R ∈使得(1,2,)i i b ta i n ==．而后，两位数学家又彼此独立地在积分学中对这一不等式作了推广，使之达到近乎完善：[222(()())()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤∫∫∫],等号成立当且仅当存在,t R ∈使得()()f x tg x =(0t ≠,t 为常数)．这一历史表明，柯西不等式主要是作为数学分析的重要工具．但真正能显示其魅力的还在于它与高等代数中的内积空间的密切联系，即任意两个向量,αβ的夹角,αβ<>的余弦cos ,αβαβαβ<>=，于是1αβαβ≤，这就是柯西不等式的向量形式．2柯西不等式的教学建议基于柯西不等式的应用价值，柯西不等式的教学目标应该定位于帮助学生理解柯西不等式的导出过程，认识柯西不等式及其几种不同形式的结构特征，理解它们的几何意义，会用二维或三维情形的柯西不等式解决简单的证明或求最值问题．教学重点则应放在柯西不等式的几何解释、向量背景以及实际应用上．由二维形式的柯西不等式到n 维形式的柯西不等式，是从特殊到一般的过程．因而教学中，应充分借助向量的内积或二次函数的性质通过对二维形式的柯西不等式证明思路的推广，把二维形式的柯西不等式推广到一般的n 维形式，并帮助学生了解其几何意义，从数与形两方面充分认识柯西不等式．此外，在n 维形式的柯西不等式的教学中，一定要引导学生认真分析不等式的结构，切实把握其结构特征，为运用柯西不等式打好基础．考虑到中学生数学学习的实际情况以及当前课程改革的基本理念，柯西不等式的呈现不宜过难，基本上应以二维形式为主，即重点研究222()(a b c ++22)()d ac bd ≥+及其简单应用，而且还应淡化求解过程所需变换的技巧．3柯西不等式的几种不同的形式3.1二维形式的柯西不等式及其它推广形式二维柯西不等式的基本形式为：若a b c d R ∈、、、，则2222()()a b c d ++(ac ≥+2)bd ，当且仅当ad bc =时等号成立．其推广形式为：①若0a b c d ≥、、、，则()()(a b c d ac ++≥+2)bd ，当且仅当ad bc =时等号成立．②若a b c d R ∈、、、，则2222a b c d ++≥ac bd +，当且仅当ad bc =时等号成立．③若a b c d R ∈、、、，则2222a b c d ++ac bd ≥+，当且仅当ad bc =时等号成立．④221212()()x x y y +222323()()x x y y ++221313()()x x y y ≥+(三角形不等式)．3.2一般形式的柯西不等式①柯西不等式的代数形式：设123a a a 、、、、,n a 123n b b b b 、、、、是实数，则2222221212()()n n a a a b b b ++++++21122()n n a b a b a b ≥+++,当且仅当0(1,2,)i b i n ==，或存在实数k 使得(1,2,)i i a k b i n ==时，等号成立．②柯西不等式的向量形式:设α、β是两个向量，则αβαβ≤，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=等号成立时,．4柯西不等式的应用举例柯西不等式揭示了任意两组实数积之和与平方和之积间的大小关系．应用它及其推论，可以很简单地解决许多复杂的不等式．在解题时如何改造变形是关键，也就是通过变换不等式，构造柯西不等14福建中学数学2008年第6期式所需要的两组数，使之符合柯西不等式使用的条件，这往往需要观察、直觉、猜测、推理．例1已知正数a b 、满足21a b +=，则21a b+的最小值为______．解析：∵正数a b 、满足21a b +=，()22121228a b a b a b a b∴++≥+=，故21a b+的最小值为8．评注：本题也可用平均值不等式完成，但不如用柯西不等式简洁、方便．对于已知中含有或隐含有1122n n m a m a m a k +++=(0,0,1,2,i i m a i >>=)n 这样的特殊条件，用1122n nm a m a m a k+++去乘任何式子，所得的结果不变，因而可以较容易地构造出一组非负数1122,,,n n m a m a m a ，从而与另一式所构造出的一组非负数使用柯西不等式．变式：(1)已知x y z 、、为正实数，且1x y z ++=，求证：14936x y z++≥．(证明略)(2)函数6586y x x =+的最大值是____．解析：本题虽没有直接给出和为定值的条件，但隐含了(5)(6)1x x +=为定值，故可构造出56x x 、及26、28两组数，进而使用柯西不等式求解．(答案：10)(3)已知x y a b 、、、为正实数，且1a bx y+=，求x y +的最小值．(答案：2()a b +)例2若a b R ∈、，且2210a b +=，则a b 的取值范围是()A.[25,25]B.[210,210]C.[10,10]D.[5,5]解析：a b a b ≤+∵，且222211,a b a b ++≥+25,a b ∴+≤25,ab ∴≤故选A ．评注：由于柯西不等式的前提条件是两组正数，故利用对称性和绝对值不等式的性质先把ab 化为a b +，从而创造了使用了柯西不等式的条件．变式：(1)设实数x y 、满足22312x y +≤2，则3P x =+2y 的最大值是．(答案：43)(2)已知221a b +=，则cos sin a b αα+的取值范围是____．(答案：[1,1])例3用柯西不等式推导直线外一点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式：0022Ax B y Cd A B ++=+．解析:设点111(,)P x y 是直线l 上的任意一点，则110A x B y C ++=,①2210101()()PP x x y y =+．②点1P P 、两点间的最短距离就是点P 到直线l 的距离，即求(2)式的最小值，∵()()22220101x x y y Α+Β+()()0101A x x B y y ≥+=()0011x y C x y C Α+Β+Α+Β+,由①、②得：221A B PP +22220101()()A B x x y y =++00A x By C ≥++,即00122A x By CPP A B++≥+，③当且仅当0101y y Bx x A=即1PP l ⊥时，③式取等号,即点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022Ax B y Cd A B ++=+．评注:柯西不等式的结构和谐,应用灵活广泛,不仅用在求解代数式的最值问题上,还可以在几何方面有广泛应用．变式:已知P 为椭圆22149x y +=上的一点，P 到直线34200x y ++=的距离为d ，求d 的最大值、最小值．(答案：min max 20652065,55d d +==).2008年第6期福建中学数学15。

北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案

课题：第01课时不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

北师大版高中数学选修4-5不等式选讲：柯西不等式

x x

3y 3y

1得

x y

1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
例1.Δ ABC之三边长为4，5，6，P为三角形內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。
C
6
F
E
zP y
5
x
A
B D4
225
x2+y2+z2 44
例2.已知x1, x2, , xn R , 求证
x12 x22 x2 x3

x2 n1
xn

xn2 x1

x1
x2

xn.
变式.设x1,x2, xn R ,且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
例3 已知实数a,b, c, d, e满足a b c d e 8, a2 b2 c2 d 2 e2 16,求e的取值范围.
解 : 4(a2 b2 c2 d 2 ) (1 1 1 1)(a2 b2 c2 d 2 ) (a b c d)2
1 xn

(1
x1

1
x2
1
xn
)

( 1
x12 x1

x22 1 x2

xn2 ) ( 1 xn
1 x1
x1 1 x1
1 x2
x2 1 x2

2018年选修4-5 《一般形式的柯西不等式》参考教案2

3.2 一般形式的柯西不等式教学目的（要求）：使学生认识二维柯西不等式及其证明；培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。

教学重点（难点）：维柯西不等式的应用。

教学过程：一、温故1、定理1：（二维形式的柯西不等式）若,,,,a b c d R ∈则()()()22222ab c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时取等号2、变式：若,,,,a b c d R ∈ac bd ≥+ac bd +显然当22221,1a b c d +=+=时，1ac bd +≤3、定理2：（柯西不等式的向量形式）设,αβ 是两个向量，则αβαβ⋅≤当且仅当,αβ 中有一个是零向量或存在实数k 使得k αβ=时，等号成立。

4、定理3、（二维形式的三角形不等式）设123123,,,,,x x x y y y R ∈，那么≥≥5、配凑的思想二、新课：推广柯西不等式1、由柯西不等式的向量形式：设,αβ是两个向量，则αβαβ⋅≤这里,αβ 是平面向量，若,αβ为空间向量呢，构造向量()()123123,,,,,,a a a b b b αβ==设,αβ间的夹角为θ，则仍有cos αβαβθαβαβ⋅=⇒⋅≤即112233a b a b a b ++≤所以()()()2222222133123112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++当且仅当()1,2,3i i a kb i ==时取等号 2、归纳推理：n 维上的柯西不等式：()()()222222213121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥++证明：回顾前面的证法视22222213121122,,n n n n A a a a C b b b B a b a b a b =+++=+++=++ 则不等式为2B AC ≤构造二次函数22y Ax Bx C =++即()()222212n f x a a a x =+++- ()x b a b a b a n n +++ 22112+()22212n b b b +++ 当120n a a a ==== 或120n b b b ==== 时不等式显然成立当12,,,n a a a 至少有一个不等于0时，222120n a a a +++> 而()()()()22211220n n f x a x b a x b a x b =-+-++-≥ 恒成立。

北师大版数学高二-选修4-5 2.1柯西不等式学案2

选修4-5 2.1柯西不等式学案2【学习目标】1、掌握三维形式和多维形式的柯西不等式。

2、通过运用一般形式的柯西不等式分析解决一些简单问题。

【重点难点】一般形式的柯西不等式一、自主学习要点1：三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a ＋a ＋a )·(b ＋b ＋b )≥ .当且仅当时，等号成立．要点2：一般形式的柯西不等式，当且仅当时，等号成立。

二、合作，探究，展示，点评题型一利用柯西不等式证明不等式【例1】设a ，b ，c 为正数且互不相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c.【变式1】已知a 1，a 2，a 3为实数，b 1，b 2，b 3为正实数．求证：a 21b 1＋a 22b 2＋a 23b 3≥a 1＋a 2＋a 32b 1＋b 2＋b 3题型二利用三维柯西不等式求函数的最值【例2】已知a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值．【变式2】已知x ＋4y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．题型三一般形式柯西不等式的应用【例3】设a 1，a 2，…，a n 为正整数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【变式3】已知a 、b 、c 、d ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＋d ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥14.方法技巧利用柯西不等式求最值【示例1】已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最大值【示例2】 “数学史与不等式选讲”模块已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1.(1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x ＋4y ＋4z的最小值．三、知识小结《一般形式的柯西不等式》课时作业一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1c的最小值为( )．A ．9B ．3 C. 3D ．12．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为 ( )． A ．1 B ．n C.nD ．23．已知a ，b ，c 为正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c 有( )．A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值3D ．最小值3二、填空题4．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为________．5．设a ，b ∈R ＋，则a ＋b2与a ＋b 的大小关系是________．三、解答题6．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的最值．7．设a 1>a 2>…>a n >a n ＋1，求证：1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1>0.8．设x ＋y ＋z ＝1，求函数u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值．。

北师大版数学高二《柯西不等式》教案选修4-5

1 让学生通过观察得出二维形式的三角不等式
从而得到定理3（二维形式的三角不等式）
2引导学生利用柯西不等式证明定理3，即以经典不等式为依据得出定理3中的不等关系，这是柯西不等式的一个简单的应用。
3例3的解决也是柯西不等式的一个简单的应用，让学生体会柯西不等式的用处
4在解决问题的过程中，让学生体会用柯西不等式这个重要的数学结论去解决具体问题的方法。
新
课
讲
授
过
程
引探
①观察：课本P34图3.1-4
在平面直角坐标系中，设点的坐标分别为，根据 △ 的边长关系，你能发现这四个实数蕴涵着何种大小关系吗？
通过观察分析推理后得出定理3
②以上是从几何的角度得出的结论，你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？
③讲解例题（例3）
④练习P37 第7题第6题
小
结
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式时有重要作用。
目的是让学生知道柯西不等式是一个重要的数学结论
布
置
作
业
课本P37 第8题
巩固提高
三、教学难点：
运用柯西不等式证明不等式
四、教学过程：
教学
环节
教学程序
设计意图
导
入
（复习
导入）
问题：上节课我们学习了二维形式的柯西不等式，你能简要的概括一下吗？
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，因此先让学生回顾柯西不等式以及变形后的两个等价形式:

2017-2018学年高中数学北师大版选修4-5教学案：第二章

1．2 一般形式的柯西不等式[对应学生用书P35][自主学习]1．一般形式的柯西不等式定理2：设a 1，a 2，…，a n 与b 1，b 2，…，b n 是两组实数，则有：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当向量(a 1，a 2，…，a n )与向量(b 1，b 2，…，b n )共线时，等号成立． 2．三维形式的柯西不等式定理2推论：设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是两组实数，则有(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2当向量(a 1，a 2，a 3)与向量(b 1，b 2，b 3)共线时，等号成立．[合作探究]1．类比二维形式的柯西不等式的向量式你能写出一般形式的柯西不等式的向量式吗？提示：设α＝(a 1，a 2，…，a n )，β＝(b 1，b 2，…，b n )，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件，记为a i ＝kb i (i ＝1,2,3，…，n )，可以吗？提示：不可以，若b i ＝0，而a i ≠0，则k 不存在．[对应学生用书P36][例1] 设a ，b ，c 为正数，求证：a b ＋b c ＋c a≥a ＋b ＋c .[思路点拨] 本题考查柯西不等式在证明不等式中的应用，考查不等式的性质及推理论证能力、代数式的变形求解能力．解答此题，需要构造两组实数，满足柯西不等式的结构特征是关键．[精解详析] 由柯西不等式得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫c a 2[(b )2＋(c )2＋(a )2]≥⎝⎛⎭⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2.于是⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .利用柯西不等式证明不等式的关键是根据待证不等式的结构特征，对其进行代数式的恒等变形，通过“拆分”“拼”“合”等构造两组实数，使其满足柯西不等式的结构后证明之．结合本例证明过程和结果，求证：对实数a 1a 2，…，a n ，和正实数b 1，b 2，…b n . 有：a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2nb n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2b 1＋b 2＋…＋b n.证明：⎝⎛⎭⎫a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2nb n (b 1＋b 2＋…＋b n ) ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·b 1＋a 2b 2·b 2＋…＋a n b n ·b n 2 ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2.∵b 1，b 2，…，b n 为正实数，∴b 1＋b 2＋…＋b n >0.∴a 21b 1＋a 22b 2＋…＋a 2nb n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2b 1＋b 2＋…＋b n.1．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ≥9. 证明：由柯西不等式，知左边＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫ b c 2＋⎝⎛⎭⎫ c a 2× ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ b a 2＋⎝⎛⎭⎫ c b 2＋⎝⎛⎭⎫ a c 2 ≥⎝⎛⎭⎫b a× a b＋ b c × c b＋ c a× a c 2＝(1＋1＋1)2＝9. ∴原不等式成立.[例2] 已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值． [思路点拨] 本题考查柯西不等式等基础知识，考查变形求解能力．解答此题利用x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，构造柯西不等式，再利用公式得出取值范围，从而求得最小值．[精解详析](x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎡⎦⎤32＋(2)2＋⎝⎛⎭⎫132≥⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2，∴(3x ＋2y ＋z )2≤(x 2＋2y 2＋3z 2)·⎣⎡⎦⎤32＋(2)2＋⎝⎛⎭⎫132＝12， ∴－23≤3x ＋2y ＋z ≤23，当且仅当x 2＝9y 2＝81z 2，即x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时取“＝”．∴3x ＋2y ＋z 的最小值为－2 3.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．2．设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值．解：根据柯西不等式120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]≥(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2，故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230. 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立，此时u max ＝230.考查一般柯西不等式在最值中的应用，是高考及模拟对本课时内容的常规考法，近几年各省市的模拟题多次出现应用柯西不等式求最值的应用题，将是今后高考对本内容的一个考查方向．[考题印证]等腰直角三角形AOB 的直角边长为1.如图所示，在此三角形中任取点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P 的位置．[命题立意]本题考查柯西不等式在解决实际问题中的应用，考查应用所学知识分析解决实际问题的能力．[自主尝试]分别取OA ，OB 为x 轴、y 轴，则AB 的方程为x ＋y ＝1，记P 点坐标为P (x p ，y p )，则以P 为公共顶点的三个三角形的面积和S 为S ＝12x 2p ＋12y 2p ＋12(1－x p －y p )2， 2S ＝x 2p ＋y 2p ＋(1－x p －y p )2.由柯西不等式，得[x 2p ＋y 2p ＋(1－x p －y p )2](12＋12＋12)≥[x p ＋y p ＋(1－x p －y p )]2，即2S ×3＝6S ≥1，所以S ≥16.当且仅当x p 1＝y p 1＝1－x p －y p1时，等号成立，即x p ＝y p ＝13时，面积S 最小，且最小值为S min ＝16.[对应学生用书P37]一、选择题1．已知w 2＋x 2＋y 2＋z 2＋F 2＝16，则F ＝8－w －x －y －z 的最大值为( ) A ．－165B. 5C.165D.455解析：|F －8|＝|w ＋x ＋y ＋z |≤4x 2＋y 2＋z 2＋w 2＝216－F 2，两边平方后得：0≤F ≤165.答案：C2．设实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，且a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的最大值是( )A.165B.516 C ．5D ．16解析：由已知，得a ＋b ＋c ＋d ＝8－e ，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝16－e 2，所以(8－e )2＝(a ＋b ＋c ＋d )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(12＋12＋12＋12)＝4(16－e 2)，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2或65时等号成立．化简得5e 2－16e ≤0⇒0≤e ≤165，所以e max ＝165. 答案：A3．设a 1，a 2，…，a n 为正实数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析：∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a n≥2(111)n ⋯＋＋＋个＝n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.即P ≥Q . 答案：B4．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z ＝( )A.14B.13C.12D.34解析：由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.答案：C 二、填空题5．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4，则3x ＋4y 的最大值为________．解析：根据柯西不等式得[](x －1)2＋(y －2)2(32＋42)≥[3(x －1)＋4(y －2)]2＝(3x ＋4y －11)2，∴(3x ＋4y －11)2≤100. 可得3x ＋4y ≤21，当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号．答案：216．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.解析：由柯西不等式，得25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302. 当且仅当a x ＝b y ＝cz ＝k 时取“＝”，由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝k ＝56.答案：567．(湖南高考)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________. 解析：根据柯西不等式可得，(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2＝14，所以要取到等号，必须满足x 1＝y 2＝z 3，结合x ＋2y ＋3z ＝14，可得x ＋y ＋z ＝3 147.答案：3 1478．边长为a ，b ，c 的三角形，其面积为14，外接圆半径为1，若S ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则S 与t 的大小关系是________．解析：S △＝abc 4R ＝abc 4＝14，即abc ＝1，所以t ＝ab ＋bc ＋ca ，则t 2＝(ab ＋bc ＋ca )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥(a ＋b ＋c )2＝S 2，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．又因为a ，b ，c ＞0，所以S ≤t . 答案：S ≤t 三、解答题9．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9. 证明：左边＝[2(a ＋b ＋c )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a≥(1＋1＋1)2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9.10．设x ，y ，z ∈R ，且(x －1)216＋(y ＋2)25＋(z －3)24＝1.求x ＋y ＋z 的最大值和最小值．解：根据柯西不等式，知[42＋(5)2＋22]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫x －142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＋⎝⎛⎭⎫z －322≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4·x －14＋5·y ＋25＋2·z －322，当且仅当x －116＝y ＋25＝z －34，即x ＝215，y ＝－1，z ＝195或x ＝－115，y ＝－3，z ＝115时等号成立．∴25×1≥(x ＋y ＋z －2)2. ∴|x ＋y ＋z －2|≤5， ∴－3≤x ＋y ＋z ≤7，即x ＋y ＋z 的最大值为7，最小值为－3.11．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．解：1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx＝12⎝⎛⎭⎪⎫1× zx ＋y ＋z＋1×xx ＋y ＋z＋1×y x ＋y ＋z≤12⎣⎡⎦⎤(12＋12＋12)⎝⎛⎭⎫z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z 12 ＝32. 故λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞.。

2.1柯西不等式学案(北师大版选修4-5)

第二章几个重要不等式§1柯西不等式1．1简单形式的柯西不等式1．2一般形式的柯西不等式1．简单形式的柯西不等式(1)定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时等号成立．(2)柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式(1)定理2：设a1，a2，…，a n与b1，b2，…，b n是两组实数，则有(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当向量(a1，a2，…，a n)与向量(b1，b2，…，b n)共线时，等号成立．(2)推论：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”号成立．1．不等式(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是柯西不等式吗？【提示】不是．柯西不等式中四个数的组合是有对应顺序的．2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a i＝kb i(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？【提示】不可以．若b i＝0而a i≠0，则k不存在．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈R ＋，求证(ax 1＋bx 2)·(bx 1＋ax 2)≥x 1x 2.【思路探究】如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论．若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证．【自主解答】 (ax 1＋bx 2)·(bx 1＋ax 2) ＝(ax 1＋bx 2)·(ax 2＋bx 1)≥(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝(a ＋b )2x 1x 2.又因为a ＋b ＝1，所以(a ＋b )2x 1x 2＝x 1x 2，其中等号当且仅当x 1＝x 2时成立．所以(ax 1＋bx 2)·(bx 1＋ax 2)≥x 1x 2.利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当地变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11.【证明】由柯西不等式(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2][(23)2＋(12)2] ＝(3x 2＋2y 2)(43＋12)≤6×116＝11. 于是2x ＋y ≤11.设a ，b ，c 为正数，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 【思路探究】如何构造二组数是解决问题的关键．【自主解答】由柯西不等式[(a b )2＋(b c )2＋(c a)2][(b )2＋(c )2＋(a )2] ≥(a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a )2. 于是(a 2b ＋b 2c ＋c 2a)(a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .根据题目的结构特点，我们构造了a b ，b c ，c a ；b ，c ，a 这二组数使问题得到证明．设x 1，x 2，…，x n 为正数，求证：(x 1＋x 2＋…＋x n )(1x 1＋1x 2＋…＋1x n)≥n 2. 【证明】由柯西不等式，得(x 1＋x 2＋…＋x n )(1x 1＋1x 2＋…＋1x n) ≥(x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n )2 ＝n 2.∴(x 1＋x 2＋…＋x n )(1x 1＋1x 2＋…＋1x n)≥n 2.已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．【思路探究】利用x 2＋2y 2＋3z 2为定值，构造柯西不等式形式，再利用公式得出范围，求解最小值．【自主解答】 (x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋(13)2] ≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2＝(3x ＋2y ＋z )2， ∴(3x ＋2y ＋z )2≤(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋(13)2]＝12. ∵－23≤3x ＋2y ＋z ≤23，∴3x ＋2y ＋z 的最小值为－2 3.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要保证取到等号成立的条件．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点．【解】由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425. 当且仅当x 3＝y 4时“＝”成立，为求最小值点，需解方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4.∴⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825. 因此，当x ＝6，y ＝8时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为4，最小值点为(6，825).已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．【思路探究】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x 的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx ＝12(1·z x ＋y ＋z＋1·x x ＋y ＋z ＋1·y x ＋y ＋z ) ≤12[(12＋12＋12)·(z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z )]12＝32. 故参数λ的取值范围是[32，＋∞)．此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．。

北师大版数学高二选修4-5第二章1柯西不等式

柯西不等式练习1已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是( )．A．56B．65C．2536D．36252函数y=的最小值是( )．A．．11+ D3函数()f x=的最大值是( )．AB．．4已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是( )．AB．2 CD．35边长为a，b，c的三角形，其面积为14，外接圆半径为1，若S=111ta b c=++，则S与t的大小关系是__________．6设x，y，z∈R，且满足x2＋y2＋z2＝5，则x＋2y＋3z的最大值为________．7已知1=．求证：a2＋b2＝1．8已知a1，a2，…，a n都是正实数，且a1＋a2＋…＋a n＝1．求证：222211212231112n nn n na aa aa a a a a a a a--+++≥++++．参考答案1 答案：B 由柯西不等式知22211(23)()=123x y x y ⎛⎫++≥+⎪⎝⎭，当且仅当2x ＝3y ，即35x =，25y =时等号成立，∴2x 2＋3y 2≥65．2 答案：D y = 根据柯西不等式，得222=(1)2(3)5y x x -++-++2222(1)2(3)52[(1)(3)[(1)(3)]x x x x x x ≥++-++--+=-+-+－11=+当且仅当13x x -=-即13x =时等号成立．此时，min y =3 答案：C 函数的定义域为[6,12]，且f (x )＞0．由柯西不等式，得22222(11]12≤++=，=，即x ＝9时，函数f (x )取得最大值，最大值为 4答案：C21x y y +=+⨯≤=当且仅当x y ==时等号成立，故2x ＋y ． 5 答案：S ≤t 1444abc abc S R ∆===，即abc ＝1，所以t ＝ab ＋bc ＋ca ，则222111()=t ab bc ca S a b c ⎛⎫=++++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．又因为a ，b ，c ＞0，所以S ≤t ．6 根据柯西不等式，知(x ＋2y ＋3z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)＝5×14＝70，当且仅当23x y z==，即x =，y =z =时等号成立，∴x ＋2y ＋3z7 答案：分析：利用柯西不等式，把式子进行调整、变形．证明：由柯西不等式，得22222 ([(1)][(1)]1a ab b≤+--+=，a=时取等号．∴ab=a2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1．8 答案：证明：根据柯西不等式，得2222112122311n nn n na aa aa a a a a a a a--+++++++＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a4)＋…＋(a n－1＋a n)＋(a n＋a1)]2222112nna-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⨯+++++⨯⎢⎥⎝⎣⎦22221(]na-++++2222112nna-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⨯++++⨯⎢⎥⎝⎣⎦2112na-⎤≥++⨯21211()22na a a=+++⨯=．∴原不等式成立．。

高中数学第二章几个重要的不等式1柯西不等式学案北师大版选修4_5

高中数学第二章几个重要的不等式1柯西不等式学案北师大版选修4_51．认识简单形式的柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义．2．会证明一般形式的柯西不等式，并能利用柯西不等式来解决有关问题．1．简单形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥__________________，当向量______________与向量________________共线时，等号成立．(2)简单形式的柯西不等式的向量形式：设α＝(a，b)，β＝(c，d)是平面上任意两个向量，则______≥|α·β|，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．(1)二维形式的柯西不等式的推论：①(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；②·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；③·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．(2)二维形式的三角不等式：①＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)；②推论：＋≥(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．【做一做1－1】已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )．A．2 B．4C．6 D．8【做一做1－2】已知x＋2y＝1，则x2＋y2的最小值为________．2．一般形式的柯西不等式(1)定理2：设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a＋a ＋…＋a)__________________≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量______________与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．(2)推论(三维形式的柯西不等式)：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a＋a＋a)(b＋b ＋b)≥________________．当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”成立．【做一做2－1】设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为________．【做一做2－2】已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是( )．A． B．C． D．15答案：1．(1)(ac＋bd)2 (a，b) (c，d)(2)|α||β|【做一做1－1】B 由柯西不等式可求出(x＋y)≥2＝(1＋)2，当x＝1，y＝时，(x＋y)能取到最小值(＋1)2，故只需(1＋)2≥9，即a≥4即可．【做一做1－2】解析：∵1＝x＋2y，∴1＝(x＋2y)2≤(1＋22)(x2＋y2)．当且仅当x＝，y＝时，取等号，∴(x2＋y2)min＝．2．(1)(b＋b＋…＋b) (a1，a2，…，an)(2)(a1b1＋a2b2＋a3b3)2【做一做2－1】4 由题知，a·b＝x－2z，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2，当且仅当向量a与b共线时“＝”成立，∴5×16≥(x－2z)2，∴－4≤x－2z≤4，即－4≤a·b≤4．故a·b的最大值为4．【做一做2－2】B 根据柯西不等式，有x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)·(x2＋y2＋z2)≥(1×x＋1×y＋1×z)2＝(x＋y＋z)2＝．当且仅当＝＝，即x＝y＝z＝时等号成立．1．对柯西不等式的理解剖析：柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为由四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识．“二维”是根据向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系．2．一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出。