排列组合综合应用课件大习题课

解 1 ：C C
3 7 3 4
3 7
3 4
C C 2 解2： ( ). A 2 2 A2
分 配 问 题
例 3： （ 7）将5名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每个班至少1名，最多2名，则 不 同 的 分 配 方 案 有 多 少 ？
C C 3 解： ( ). A 90 3 2 A2
2 5
(2) 若允许某些盒子不放球，则相当于在 n+m-1 个位置 中选m-1个隔板，把n个小球分隔成m份，共有 种
m −1 cn+m −1
放
法
组图形问题
例5：四面体的一个顶点是A，从其它顶点和 各棱中点中取3个点，使他们和点A在同一个 平面上，则共有多少种不同的取法？
解： 3C 3
3 5
1.每个侧面上的2.顶点A与底面三线中线构成的三角形
分：（1，1，1，4）；（1，1，2，3）； （1，2，2，2）共3种。
（3）7个不同的小球放入到4个相同的盒子，
C C C C C C C C 3 A A3 （4）7个不同的小球放入到4个不同的盒子，
4 7 3 7 2 4 2 2 1 2 1 7 2 6 2 4 2 2
C C C C C C C 4 (C ) A 4 3 A A3
排列组合综合应用
知识梳理
1．排列 (1)定义：从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素，按照 一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个排列． (2)排列数定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有排列 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 m 的排列数，用符号 An 表示． (3)排列数公式：n，m∈N*，m≤n， Am n＝
注：1.非均匀分组，，只需依次取出相应元素即可 2.均匀分成m组，由于出现重复现象，故需除以 A m m 3.部分均匀分组，也会出现重复现象，有k部分均匀，就
除以 A
k k
分 配 问 题
例 3：
（ 6 ） 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周 日两天参加社会公益活动，若每天安排 3人，则有多少种不同的安排方法？
最短路问题
例13（1）某城市的街区由12个全等的矩形 区组成其中实线表示马路，从A走到B的最 短路径有多少种？ 3
35 C7
B
Leabharlann Baidu
A
混 合 问 题 例 14：将 4 个不同的小球放到编号 为 1 、 2 、 3 、 4 的 4 个盒子中，则恰 好有一个空盒子的方法有多少种？ 2 2
2 4 1 4 3 13
多一本，有多少种不同的分法？ （ 3 ） 6 本不同的书全部分给 5 名
C
同学每人至少一本，有多
少 种 不 同 的 分 法 ？
C A
2 6
变式题 有 6 本不同的书按下列分配方式分配， 问共 有多少种不同的分配方式？ (1)分成 1 本、2 本、3 本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本； (3)分成每组都是 2 本的三个组； (4)分给甲、乙、丙三人，每个人 2 本．
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n！ ＝ . n－m！
(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个 n· (n－1)(n－2)·…·3·2·1 不同元素的一个全排列，An n＝ ＝ n！ ，规定 0！＝ 1 . 2．组合 (1)定义：从 n 个不同元素中，任意取出 m(m≤n)个元素合 成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (2)组合数：从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素的所有 组合的个数，叫做从 n 个不同元素中任意取出 m 个元素的组 m 合数，用符号 Cn 表示． (3)组合数公式： nn－1n－2…n－m＋1 m An mm－1…3· 2· 1 Cm ＝ m＝ n Am n！ ＝ n－m！m！ ，
【解答】(1)分三步：先选 1 本有 C1 6种选法；再从余 下的 5 本中选 2 本有 C2 5种选法；最后余下的 3 本全选有 1 C3 C2 C3 3种选法，由分步计数原理知，分配方式共有： C6· 5· 3 ＝60(种)． (2)由于甲、 乙、 丙是不同的三个人， 在(1)题的基础上， 2 3 3 还在考虑再分配问题．因此分配方式共有：C1 · C · C · A 6 5 3 3＝ 360(种)． (3)先分三步，则应是 C2 C2 C2 6· 4· 2种方法，但是这里面出 现了重复．不妨记六本书为 A、B、C、D、E、F.若第一 步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分
解： 小球数 隔板数 7 3 10
3 10
共有不同方法数 C
问题的一般形式：把 n 个相同的小球放取 m个 （ m<n ）个不同的盒子中，有多少种放法？ （ 1 ）若每个盒子中至少放一球，则只需在 n 个小 球的n-1间隙中放置m-1个隔板把它隔成m份即可， m −1 共 有 种 不 同 的 放 法 cn −1
2 1 有 5 个，因此共有 N＝4A3 ＋ 6A ＋ 5A 9 8 7＋5＝2392 种．
排
例2：
人
问
题
4个男孩3个女孩，站成一排照相留念。 1)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
解：A . A
3 3
5 5
2)若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一 起，有多少种不同的排法？
解：A .A .A 288
1 . n，m∈N*，m≤n.由于 0！＝ 1 ，所以 C0 n＝
3．组合数的性质 (1)Cm n＝ (2)Cm n＋1＝
－m Cn n .
m C Cm n n ＋
－1
.
典型题型 排 数 问 题
例 1 ： 用 0 、 1 、 2 、 3 、 4 五个数字组成无重数 字 的 四 位 数 ， 则 在 这 些 四 位 数 中 ， （ 1 ）偶数有多少个？
5) 若其中A、B、C小孩有自己的顺序，有多少种 不同的排法？ 7 4 解1： 7 7 3 3 问：若A、B、C三个小孩按从高到矮的顺序站，有多 少种不同的排法？
A A
解2：A
A 解： .2 A
7 7 3 3
例2：
4个男孩3个女孩，站成一排照相留念。
6）若前排站三人，后排站四人，其中的A、B两小 孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？
解 ：A A A A
3 4 1 2 1 3
2 3
（2）被3整除的数有多少个？
解：和能被 3整除情形： 0、 1、 2、 3； 0、 2、 3、 4
共有2 A A
1 3 3 3
变式题 用 0～9 这十个数字组成没有重复数字的正 整数． (1)共有几个三位数？ (2)末位数字是 4 的三位数有多少？ (3)求所有三位数的和； (4)四位偶数有多少？ (5)比 5231 大的四位数有多少？
组图形问题 例 6 ：四面体的顶点和各棱中点 共 10 个点，从中任取 4 个不共面 的点，有多少种不同的取法？
解：C (4C 3 6)
4 10 4 6
1.四个侧面2.各棱中点构成的平行四边形
3.顶点与对面中线构成的三角形
组图形问题 例7：用正方体的 8个顶点共可以 组成多少个不同的四面体？
4 7 3 7 2 4 2 2 1 2 1 7 2 6 2 4 2 2
分 配 问 题
相同元素的分配问题：隔板法
不同元素的分配问题：先组后排， 注意分清—均匀分组，非均匀分组，部分均匀分组
分 配 问 题
例4：
隔板法
（ 2 ） 7 个相同的小球，任意放入 4 个不 同的盒子中，共有多少种不同的方法？ 解： 相当于将 7 个小球用 3 块隔板分成 4 份
2＋…9)×100＝355680. (4)分末位数字是否为 0 两种情况考虑．
1 1 2 A3 9＋A4A8A8＝2296 种；
(5)①千位上为 9,8,7,6 的四位数各有 A3 ②千位上 9个； 是 5，百位上为 3,4,6,7,8,9 的四位数各有 A2 8个； ③千位上 是 5，百位上为 2，十位上为 4,6,7,8,9 的四位数各有 A1 7个； ④千位上是 5，百位上为 2，十位上为 3 且满足要求的共
解2：将 5 块地转化为 块地 解1 ： 3 2 (2 2 3 3 ) 42 1,3,5 ； 2； 4， 1,3； 2,5； 4， 1,3； 2,4； 5 ， 1,5； 2,4； 3 3,5； 1,4； 2， 3,5； 2,4； 1 ， 1,4； 2,5； 3
3 3
共有7 A 42种
2 3
分 配 问 题 隔板法 例4（ ： 1 ） 7 个相同的小球，任意放入 4 个 不同的盒子中，每个盒子至少有 1个 相同 小球的不同放法有多少种？ 解：将7个小球用3块隔板分
成 4 份 但 盒 子 又 不 能 空
解： 7个小球有 6个空隙有不同方法数 C
3 6
变式： (2)7个相同的小球放入到4个相同的盒子，每个 盒子至少放一个球
解： (C C ).C (C C ).C C .C
2 1 2 3 3 5 1 2 2 3 3 4 3 3
3 3
分三类：1.从多面手中选一人作为日语
2.从多面手中选二人作为日语
3.从多面手中选三人作为日语
种 植 问 题
12 3 4
5
例 10 ：将三种不同农作物种植在下面五 块土地上，要求相邻区域不种同一作物 ，则有多少种不同的种植方案？
【解答】(1) 百位不能为 “0”，因此共有 A1 A2 9· 9＝648 个； (2)末位为 4，百位不能为 “0”，因此共有 A1 A1 8· 8＝64 个． (3) 考虑各数位上的数字之和，可得所有三位数的和 为：
1 1 1 A1 10＋A2 8A8(1＋2＋…＋9)＋A8A8(1＋2＋…＋9)× 9(1＋
法为(AB，CD，EF)，则 C2 C2 C2 6· 4· 2种分法中还有(AB，EF， CD)、(CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、 3 (EF，AB，CD)，共 A3 种情况．而且这 A 3 3种情况仅是 AB， CD，EF 的顺序不同．因此只能作为一种方法．故分配方 2 2 1 式有： C C C 4 6 4 2 2 2 2 A C6· C4· C2 4 2 2 ＝15(种)． A A 3 2 2 A3 (4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方式： 2 2 C2 · C · C 6 4 2 2 2 2 · A3 ＝ C · C · C 3 3 6 4 2＝90(种)． A3 （5）分给甲乙丙丁四人，其中二人各一本，二人各二本
解： 2A A
2 2
5 5
问：若7个座位3个孩子去坐，要求每个孩子的旁边都 有空位置，有多少种不同的排法？
解：A (搬凳子插入）
3 3
分 配 问 题
例 3： （ 1 ） 6 本 不 同的 书 分给 5 名同 学 每 人一本，有多少种不同分法？
A
5 6 5 6 5 5
（2）5本相同的书分给 6名同学每人至
4 10 1 2 1 2 1 2 1 2
解2：C .C .C .C A 3360
1 20 1 18 1 16 1 14 4 4
（3）4只鞋子中有2只成双，另外2只不成双;
1440 解：C .C C C 1140
1 10 2 9 1 2 1 2
选 人 问 题
例9： 8名外交工作者，其中 3人只会英语， 2 人只会日语，3人既会英语又会日语，现从则 8人中选3个会英语，3个会日语的人去完成一 项 任 务 ， 有 多 少 种 不 同 的 选 法 ？
解 ： C (6C 6)
4 8 4 4
1.6个侧面2.6个对角面
例 8 ： 10 双不相同的鞋子混装在一 先成双后成单 只口袋中，从中任取 4 只，试求符 合下列各种情形的方法数？ 2 （ 1 ） 4 只 鞋 子 恰 成 两 双 ； 解：C10 (2)4只鞋子没有成双；
解1 ：C .C C C C 3360
3 3 4 4 2 2
例2：
4个男孩3个女孩，站成一排照相留念。
3) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻， 有多少种不同的排法？
解：A A 144
4 4 3 3
4) A、B小孩必须相邻，且C、D小孩不能相邻有 多少种不同的排法？
解：A . A . A
2 2
4 4
2 5
例2：
4个男孩3个女孩，站成一排照相留念。