双曲线教案(详案)

2.3.1双曲线及其标准方程
一、复习回顾： 老师：
老师：我们根据椭圆的定义：与两定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的点
的轨迹是椭圆.可以画出椭圆的图形。

并且椭圆有上面两种情况，一种交点在x 轴上，第二种交点在y 轴上. 思考？ 平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹又是什么图形呢？ 引入实例画双曲线：
(1)取一条拉链，拉开一部分
(2)在拉开的两边上各选择一点，固定在板上的两点 F 1、F 2
(3)把笔尖放在点M 处，随着拉链逐渐拉开闭拢，画出一条曲线
（利用几何画板展示画双曲线）画双曲线.exe
老师： 我们看到最后画出的是这样的一个图形，这就是我们今天所学习的新的图形叫做
“双曲线”
板书：
二、双曲线的定义：
1、平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|F 1F 2 |)的点的轨迹叫双曲线
2、定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点．
3、两焦点之间的距离叫做焦距(2c)．
三、双曲线的标准方程
老师： 我们之前学习了椭圆有两种标准方程，那么我们今天所学习的双曲线呢，它的标
准方程又是什么呢？下面我们一起来探讨一下。

板书：(板书推导出标准方程)
x
22221(0)x y a b a b +=>>221(0)a b a b
+=>>
第一步 建立直角坐标系
以线段F 1F 2中点为坐标原点，F 1F 2所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则F 1(-c,0)，F 2(c,0).
第二步 设点
设M (x , y )
第三步 列式
由定义可得 ||MF 1|-|MF 2||＝2a
第四步 代坐标 √(x +a)2+y 2－√(x −a)2+y 2 =2a
第五步 化简
(c 2-a 2) x 2+a 2y 2=a 2(c 2−a 2)
设 c 2-a 2＝b 2
得 b 2x 2−a 2y 2=a 2b 2
标准方程：x 2a 2－y 2b
2=1 图形：
特点：（1）、表示焦点在x 轴上的双曲线
（2）、其焦点坐标为（c,0),(-c,0)
（3）、双曲线上每一点到两焦点距离之差的绝对值为2a
即：x 2a 2－y 2
b 2=1（双曲线的标准方程）
四、分类
老师：我们前面学习了椭圆，我们知道椭圆有两种不同的图形，那么我们今天学习的双曲
线呢，也有两种类型。

板书：
（1）、交点在x 轴上的双曲线
M(x,y) F1（-c,0） F2(c,0) O y x
x2 a2－y
2
b2
=1
（2）、交点在y轴上的双曲线
y2 a2－x
2
b2
=1
老师：在y轴上的双曲线证明方法和前面我们证明交点在x轴上的双曲线是一样的，这个问题就留给大家自己下去证明。

五、练习
1、判断下列双曲线的焦点位置，并求出焦点坐标和焦距
(1)、x2
36
－y
2
64
=1
(2)、y2
16
－x
2
9
=1
思考？双曲线x 2
64－y
2
36
=1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另
一焦点F2的距离是______
2、已知双曲线的两个焦点坐标分别是(-5,0)，(5,0)，点P到F1,F2距离差的绝对
值等于6，求它的标准方程．
3、求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a=4，b=3，焦点在x轴上；
(2)焦点为(0,-6)，(0,6)，且经过点(2,-5)．
4、如图,设点Ａ，Ｂ的坐标分别为(-5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点Ｍ，且
它们的斜率之积是，求点Ｍ的轨迹方程．
5、求证：双曲线x2−15y2=15与椭圆x2
25
+y
9
=1的焦点相同．
六、小结
1、双曲线的定义
2、双曲线的标准方程
（1）x2
a2
－y
2
b2
=1（a>0,b>0），交点在x轴上.
（2）y2
a2
－x
2
b2
=1(a>0,b>0) ，交点在y轴上.。