半对数计算精编版
semilogplots半对数图
PharmaSUG2011 - Paper CC14Semi log plots - Getting the axis tick mark labels in expanded Log10 scale Neha Mohan, i3 Statprobe (Ingenix Pharmaceutical Services), Mumbai, India ABSTRACTIn Semi-log plots, one axis is plotted on a logarithmic scale while the other on a linear scale (here the actual data is plotted ona log scale and not the log transformed data) - the advantage being that it can bring out features in the data that would not easily be seen if both the axes had been plotted linearly. When such a semi-log plot is required to be created in SAS® using Log10 scale, we usually use the LOGBASE and LOGSTYLE options in the axis statement. If the data points are either too small or too large, the resultant log axis that SAS generates is sometimes presented in exponential form having tick mark labels such as '1.00E-02', '1.00E-04', etc. However, if the display is required to be in the expanded form instead i.e. tick mark labels such as '0.001', '0.00001', etc , the user has to then define these labels in the AXIS statement by means of ORDER and/or VALUE options. In cases when the data is likely to change or when multiple graphs are created using the same program, defining axis scale for each data re-fresh and/or for all the graphs in case of multiple graphs can be tedious and inefficient. This article describes an approach, used in one such practical situation from a clinical trial, which automatically determines the optimized way of displaying the expanded log10 scale on the graph axis.INTRODUCTIONPractically speaking, if it is required to present data with very small or very large values graphically, on a log10 transformed y-axis and a linear x-axis, due to the nature of data, SAS may automatically collapse the labels of the y-axis tick marks to present them in the exponential form (Refer Figure 1). However, if the requirement is to have the tick marks in an expanded form (Refer Figure 2) the labels will have to be manually set in the code. This approach would be inefficient if more data is expected to be added for each data re-fresh and/or if several graphs are to be generated from the same code. Hence the need arises to have a solution that would automatically set the expanded log10 scale tick marks based on the actual data range axis scale.Figure 1: Collapsed Y-axisFigure 2: Expanded Y-axisAPPROACHThe following three fold approach can be used (Please refer the code provided on page 3 for derivations as well as usage of the macro variables described hereafter):•Identify the range of the actual data for each individual graph•Map the range to a log10 scale•Create individual tick mark labels in expanded form and assign the values to macro variables. Then use these macro variables in ORDER and VALUE options while defining the axisIDENTIFYING THE RANGE OF DATA POINTS:To begin with, the maximum and the minimum values of the variable being plotted need to be identified and assigned to macro variables, say MAX and MIN respectively.MAPPING THE RANGE TO LOG10 SCALE:Since the actual data is to be plotted on a log10 scale (and not the logarithmic values of the actual data), a range on log10 scale corresponding to the actual data range needs to be identified. This can be achieved using the following logic:For any number that is less than 1, its corresponding value on a log10 scale depends on the number of places the decimal needs to be shifted in order to convert it to a value greater than or equal to 1. Whereas, for a number that is greater than 1, it is the number of digits before the decimal.For example, consider the following dummy data of results for one treatment on 7 timepoints –DATA test;INPUT TRT TPT RES;DATALINES;1 1 0.00002471 2 0.002471 3 0.2471 4 2.471 5 2471 6 247891 7 24789111;RUN;In this example, the data has a range of 0.0000247 to 24789111 and hence the corresponding range on the log10 scale will be 10-5 to 108 (i.e. 0.01 to 100000000).CREATING LABELS FOR EACH TICK MARKNow that the range on the log10 scale is identified, the next step is to get the intermittent tick mark labels in expanded form. For a range on a log10 scale, the number of intermittent tick marks required is usually the sum of the number of zeros in both the minimum and maximum values of the range. For a number less than 1, consider the number of zeros after the decimal and before 1, whereas, for a number greater than 1, consider the number of zeros after 1. So, using the dummy data above, for a range of 0.00001 to 100000000, the number of intermittent tick marks required will be 12 (4 + 8).Next, using this count, each individual tick mark (including the lower and upper range values, i.e. the bounds) needs to be created and assigned to macro variables, say TCKi (i = 1 to 14 in case of dummy data, where 14 comprises of 12 intermittent tick marks and 2 bounds). In addition to these macro variables, we also need another macro variable (say ORD2) that will hold the order in which the tick marks are to be presented on the graph. These macro variables can then be used in the VALUE and ORDER options while defining the y-axis to get the output in the required format.Following will be the values for the aforementioned macro variables based on the dummy data:&TCK1 = 0.00001 /** Minimum **/&TCK2 = 0.0001&TCK3 = 0.001&TCK4 = 0.01&TCK5 = 0.1&TCK6 = 1&TCK7 = 10&TCK8 = 100&TCK9 = 1000&TCK10 = 10000&TCK11 = 100000&TCK12 = 1000000&TCK13 = 10000000&TCK14 = 100000000 /** Maximum **/&ORD2 = 0.000001 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000 100000010000000 100000000 /** Order of tick marks **/SAS CODE:The below code is specific to the dummy data used in the paper and may need to be adapted as per the requirement while re-using the code.%MACRO plot;/****************************************************************/* Identifying the data range and assigning the values to macro *;* variables MIN and MAX *;/****************************************************************/%LET min=.;%LET max=.;PROC SQL NOPRINT;SELECT MIN(res)INTO: min FROM test WHERE res^=.;SELECT MAX(res)INTO: max FROM test WHERE res^=.;QUIT;%PUT &min, &max;/**********************************************************/* Identifying the number of tick marks required *;/***********************************************************/DATA inter1;min1=SCAN(&min,1,'.');min2=SCAN(&min,2,'.');max1=SCAN(&max,1,'.');max2=SCAN(&max,2,'.');l1=LENGTH(COMPRESS(min2))- LENGTH(COMPRESS(PUT(INPUT(min2,best.),best.)))+1;CALL SYMPUT ('l',COMPRESS('Z'||PUT(l1,best.)||' '));RUN;DATA inter2;SET inter1;IF INPUT(min1,best.)>0 THEN DO;CALL SYMPUT('v1',INPUT(10*LENGTH(min1),best.));END;ELSE DO;CALL SYMPUT('v1',INPUT('0.'||COMPRESS(PUT(1,&l..)),best.));END;IF INPUT(max1,best.)>0 THEN DO;CALL SYMPUT('v2',INPUT(10**LENGTH(COMPRESS(max1)),best.));END;RUN;DATA inter3;LENGTH a $500;SET inter2;a=COMPRESS(PUT(&v1,best.))||'@';p=l1+INPUT(LENGTH(COMPRESS(max1)),best.);CALL SYMPUT('p',COMPRESS(p));RUN;/***************************************************************************************/* 1] Creating the labels for the tick marks in expanded form and assigning the values *; * to macro variables TCKi *;* 2] Creating macro variable ORD2 to assign the order in which tick marks are to be *;* presented on the graph *;/***************************************************************************************/ DATA inter4;SET inter3;%DO i = 1 %TO &p;pwr=INPUT(&v1,best.)*10**&i.;x= COMPRESS(PUT(pwr,best.));a=COMPRESS(a)||COMPRESS(x)||'@';%END;CALL SYMPUT ('ORD1',COMPRESS(a));CALL SYMPUT ('ORD2',trim(left(translate(a,' ','@'))));%DO h = 1 % TO %EVAL(&p+1);CALL SYMPUT ("tck&h",COMPRESS(SCAN(a,&h,'@')));%END;RUN;%DO h = 1 % TO % EVAL (&p+1);%PUT &&tck&h;%END;% PUT &v1, &v2, &ord1, &ord2, &p;/***************************************************************/* Assigning symbols, defining axes and legends for the graphs *;/****************************************************************/SYMBOL1 INTERPOL=j WIDTH=2 C=black VALUE=none LINE=1;AXIS1 LABEL=(r=0 a=90 h=1.0 "Results")ORIGIN=(1.3in,2.25in)LOGBASE=10 LOGSTYLE=expandWIDTH=1 LENGTH = 3inORDER=(&ord2.) /** Used macro variable ORD2 here to define the order. **/L(&p+1)VALUE=( %DO h = 1 %TO %EVA; /** Used macro variables TCKi here to assign **/ %STR(TICK=&h "&&tck&h" ) /** labels to the tick marks. **/%END;);AXIS2 LABEL=(a=0 h=1.0 "Timepoints") MINOR=noneLENGTH = 6in ORIGIN =(1.3in,2.25in)VALUE =( tick=1 'T1''T2'tick=2'T3'tick=3'T4'tick=4tick=5'T5''T6'tick=6'T7'tick=7tick=8 ' ');LEGEND1 NOFRAME LABEL=("Treatment Group: ")POSITION = (center outside)ORIGIN = (0.9in,1.3in)VALUE = ('Group 1' );PROC GPLOT DATA=test ;PLOT res*tpt =trt / HAXIS = AXIS2VAXIS = AXIS1AUTOVREF LVREF=34FRAME LEGEND=LEGEND1;RUN;QUIT;GOPTIONS RESET = ALL;%MEND plot;CONCLUSIONThe logic described in the paper proved very useful in arriving at the required log axis for multiple graphs and with minimal re-work for each data re-fresh. I hope this information will be helpful to other programmers as well who work with similar data and requirements. The described logic is relevant to semi-log plots (base 10) and may be further generalized and extended to log-log plots or any other plots that require actual data values to be plotted on log10 scale.ACKNOWLEDGMENTSI thank all my colleagues for guiding this work and carefully reviewing the paper with comments and suggestions.CONTACT INFORMATIONYour comments and questions are valued and encouraged. Contact the author at:Neha Mohani3 Statprobe (Ingenix Pharmaceutical Services),7th Floor, Corporate Center,Opp. To VITS Hotel,Andheri-Kurla Road,Andheri (E)- 400059Mumbai, IndiaWork Phone: +91-22-30554000E- mail: ***********************;*****************SAS and all other SAS Institute Inc. product or service names are registered trademarks or trademarks of SAS Institute Inc. in the USA and other countries. ® indicates USA registration.Other brand and product names are trademarks of their respective companies.Below is given annual work summary, do not need friends can download after editor deleted Welcome to visit againXXXX annual work summaryDear every leader, colleagues:Look back end of XXXX, XXXX years of work, have the joy of success in your work, have a collaboration with colleagues, working hard, also have disappointed when encountered difficulties and setbacks. Imperceptible in tense and orderly to be over a year, a year, under the loving care and guidance of the leadership of the company, under the support and help of colleagues, through their own efforts, various aspects have made certain progress, better to complete the job. For better work, sum up experience and lessons, will now work a brief summary.To continuously strengthen learning, improve their comprehensive quality. With good comprehensive quality is the precondition of completes the labor of duty and conditions. A year always put learning in the important position, trying to improve their comprehensive quality. Continuous learning professional skills, learn from surrounding colleagues with rich work experience, equip themselves with knowledge, the expanded aspect of knowledge, efforts to improve their comprehensive quality.The second Do best, strictly perform their responsibilities. Set up the company, to maximize the customer to the satisfaction of the company's products, do a good job in technical services and product promotion to the company. And collected on the properties of the products of the company, in order to make improvement in time, make the products better meet the using demand of the scene.Three to learn to be good at communication, coordinating assistance. On‐site technical service personnel should not only have strong professional technology, should also have good communication ability, a lot of a product due to improper operation to appear problem, but often not customers reflect the quality of no, so this time we need to find out the crux, and customer communication, standardized operation, to avoid customer's mistrust of the products and even the damage of the company's image. Some experiences in the past work, mentality is very important in the work, work to have passion, keep the smile of sunshine, can close the distance between people, easy to communicate with the customer. Do better in the daily work to communicate with customers and achieve customer satisfaction, excellent technical service every time, on behalf of the customer on our products much a understanding and trust.Fourth, we need to continue to learn professional knowledge, do practical grasp skilled operation. Over the past year, through continuous learning and fumble, studied the gas generation, collection and methods, gradually familiar with and master the company introduced the working principle, operation method of gas machine. With the help of the department leaders and colleagues, familiar with and master the launch of the division principle, debugging method of the control system, and to wuhan Chen Guchong garbage power plant of gas machine control system transformation, learn to debug, accumulated some experience. All in all, over the past year, did some work, have also made some achievements, but the results can only represent the past, there are some problems to work, can't meet the higher requirements. In the future work, I must develop the oneself advantage, lack of correct, foster strengths and circumvent weaknesses, for greater achievements. Looking forward to XXXX years of work, I'll be more efforts, constant progress in their jobs, make greater achievements. Every year I have progress, the growth of believe will get greater returns, I will my biggest contribution to the development of the company, believe inyourself do better next year!I wish you all work study progress in the year to come.。
普通平面直角坐标系与半对数坐标系-谢谢
一、首先我们说说常规的平面直角坐标系定义 设我们要分析的物理量是a 和b ，则满足如下条件的坐标系为普通平面直角坐标系：横坐标代表a ，纵轴代表b ，图像点到纵轴的距离按照与该点横坐标代表的物理量a 值成正比的原则确定（a>0，在纵轴右侧；a<0，则在纵轴左侧），图像点到横轴的距离按照与该点纵坐标代表的物理量b 值成正比的原则确定（b>0，在横轴上侧；b<0，则在横轴下侧）。
图像和坐标轴上标记的横坐标和纵坐标数值分别是横轴代表的物理量a 值和纵轴代表的物理量b 值。
注意（需要强调的是）在图中标记的坐标点横纵坐标的数值代表的是该横纵坐标所代表物理量的数值，而不是这个点与坐标原点的距离。
二、接下来我们说说半对数坐标系定义 设我们要分析的物理量是a 和b ，则满足如下条件的坐标系为半对数平面直角坐标系：横坐标代表a ，纵轴代表b ，图像点到纵轴的距离按照与该点横坐标代表的物理量a 值以10为底的对数（即10log a ）成正比的原则确定（10log a >0，在纵轴右侧；10log a <0，则在纵轴左侧），图像点到横轴的距离按照与该点纵坐标代表的物理量b 值成正比的原则确定（b>0，在横轴上侧；b<0，则在横轴下侧）。
图像和坐标轴上标记的横坐标和纵坐标数值分别是横轴代表的物理量a 和纵轴代表的物理量b 。
注意（需要强调的是）在图中标记的坐标点横纵坐标的数值代表的是该横纵坐标所代表物理量的数值，而不是这个点与坐标原点的距离，也不是以10为底a 的对数值10log a ，10log a 只是在绘图时使用，在绘制完成图后标记的是a 值。
有时我们分析的物理量是1020log b 与a ，如果让横坐标代表a ，纵坐标代表1020log b ，那么图像点与纵轴的距离按照与10log a 成正比这个原则确定（10log a >0，在纵轴右侧；10log a <0，则在纵轴左侧），图像点与横轴的距离按照与该点纵坐标代表的物理量值成正比的原则确定（1020log b >0，在横轴上侧；1020log b <0，则在横轴下侧）。
（完整版）对数公式及对数函数的总结
（完整版）对数公式及对数函数的总结对数运算和对数函数对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数。
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =?=>≠>。
常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中2.71828e =…）．对数函数及其性质类型一、对数公式的应用1计算下列对数=-3log 6log 22 =?31log 12log 2222=+2lg 5lg =61000lg=+64log 128log 22 =?)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384=++3log 23log 2242 =?16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333=++c b a 842log log log =+++200199lg 43lg 32lgΛ =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 22222 解对数的值：18lg 7lg 37lg214lg -+- 0 =-+-1)21(2lg 225lg-1 13341log 2log 8??-? ???的值0 提示：对数公式的运算如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么（1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a aMM N N-= （3）数乘：log log ()na a n M M n R =∈ （4）log aN a N = （5）log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈（6）换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（7）1log log =?a b b a （8）a b b a log 1log =类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是)1,31(-2设()x x x f -+=22lg，则??+??? ??x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4Y --3函数()f x = ]1,0()0,1(Y - ）提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1≠=x xy 。
考点02 指数与对数的运算(新高考地区专用)(解析版)
考点02 指数与对数的运算一．指数运算1．根式(1)根式的概念(2)两个重要公式∈na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数)；∈(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示∈正数的正分数指数幂是mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，n>1)；∈正数的负分数指数幂是mna＝1mna＝1na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；∈0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质∈a s a t＝a s＋t(a>0，t，s∈Q)；∈(a s)t＝a st(a>0，t，s∈Q)；∈(ab)t＝a t b t(a>0，b>0，t∈Q)．二．对数的概念(1)对数的定义∈一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝log a N，知识理解其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．∈底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ∈log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)； ∈log a a N ＝N (a >0且a ≠1)．(2)对数的重要公式∈换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；∈log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么∈log a (MN )＝log a M ＋log a N ；∈log a MN＝log a M －log a N ；∈log a M n ＝n log a M (n∈R )；∈log m na M ＝n mlog a M考向一 根式【例1】（2020·全国练习）化简下列各式：（1 （21)x；（3【答案】（1）1（2）原式2,13,24, 3.x x x <⎧=⎨-⎩（3）【解析】（1）原式|3||2|321=+=-=. （2）原式|1||3|x x =-+-，考向分析当13x ≤<时，原式132x x =-+-=； 当3x ≥时，原式1324x x x =-+-=-.∴原式2,13,24, 3.x x x <⎧=⎨-⎩（3）原式=||==+==【举一反三】1．=_____________.【答案】3【解析】化简得：)22-+2=+故答案为：3. 2．（2020·四川省冕宁中学校）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ）A ．()()120x x =-≥ B ()130x x =≤C ．)340xx -=>D ．)130xx -=≠【答案】C【解析】A. ()()120x x =-≥，故错误；B.()130xx =-≤，故错误；C. )340x x-==>,故正确；D. )130x x-=≠，故错误；故选：C3．下列各式正确的是（）Aa=B．01a=C4=-Dπ=-【答案】D【解析】对于Aa=，当a为负数时等式不成立，故A不正确；对于B，01a=，当0a=时无意义，故B不正确；对于C4=-，左边为正，右边为负，故C不正确；对于Dπ=-，故D正确.故选：D.考向二指数运算【例2】（2020·浙江课时练习）计算下列各式：（1）1220.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）11430.753237(0.064)(2)16|0.01|8---⎛⎫⎡⎤--+-++-⎪⎣⎦⎝⎭.【答案】（1）1615；（2）100；（3）14380.【解析】（1）原式11221411116114910061015⎛⎫⎛⎫=+⨯-=+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）原式122322516437390.12748-⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5937100310031648=++-+=. （3）原式1430.41(2)20.1---=-+-++10111143141681080=-+++=.【举一反三】（1）（214）12−(−2)0−(278)−23+(32)−2（2）(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2．（3）[(0.06415)−2.5]23−√3383−π0；（4） (235)0+2−2⋅(214)−12−(0.01)0.5（5）12616(2018)449-︒⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（6）)()46030.251648201149⎛⎫+-⨯-- ⎪⎝⎭0.50934-+（﹣﹣【答案】（1）12.（2）12（3）0（4）1615（5）99π+；（6）1007)43π+ 【解析】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质， 可得：（214）12−(−2)−(278)−23+(32)−2=[(32)2]12−(−2)−[(32)3]−23+(32)−2=32−1−49+49=12，故答案为：12（2）(214)12−(−9.6)0−(827)23+(32)−2=(94)12−1−(23)3×23+(23)2=32−1=12． （3）[(0.06415)−2.5]23−√3383−π0=0.43×15×(−2.5)×23−32−1=52−32−1=0.（4）(235)0+2−2⋅(214)−12−(0.01)0.5=1+122√94√0.01=1+14×23−110=1615（5）原式12616(2018)41081739949ππ-︒⎛⎫=+--⨯+=+-+-=+ ⎪⎝⎭（6）原式43133234447232422142727211004⎛⎫=⨯+-⨯-⨯-=⨯+---= ⎪⎝⎭.（7）原式241133ππ=+-+=+；考向三 指对数的转化【例3】将下列指数式与对数式互化.（1）31327-=； （2）3416x -=；（3）12log 83=-； （4）log (11a =-.【答案】（1）31log 327=-.（2）163log 4x =-.（3）3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭.（4）11a -=+【解析】因为由x a b =可得log ,0,1,0a x b a a b =>≠>，所以 (1)由31327-=可得31log 327=-； (2)由3416x -=可得163log 4x =-； 由log ,0,1,0a x b a a b =>≠>可得x a b =，所以(3)由12log 83=-可得3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(4)由log (11a +=-可得11a -=+ 【举一反三】1．（2020·上海课时练习）将下列指数式改为对数式： （1）2139-=，对数式为_____________； （2）128=___________； （3）3481x -=，对数式为_____________； （4）9x e =，对数式为_____________.【答案】31log 29=- 81log 2= 813log 4=-x ln9=x【解析】(1) 利用互化公式可得，2139-=31log 29⇔=-.(2) 利用互化公式可得，128=81log 2⇔=(3) 利用互化公式可得，3481x -=813log 4x ⇔=-(4) 利用互化公式可得，9x e =ln9x ⇔=.故答案为: 31log 29=-；81log 2=；813log 4=-x ；ln9=x .2．（2020·全国课时练习）用对数的形式表示下列各式中的x ： （1）1025x =；（2）212x =；（3）56x =；（4）146x=. 【答案】（1）lg 25x =；（2）2log 12x =；（3）5log 6x =；（4）41log 6x =. 【解析】（1） 1025x =根据指数式与对数式的相互转化,log ,Na ab b N ==∴ lg 25x =（2）212x =根据指数式与对数式的相互转化,log ,Na ab b N ==∴2log 12x = （3）56x =根据指数式与对数式的相互转化,log ,Na ab b N ==∴5log 6x =（4）146x =根据指数式与对数式的相互转化,log ,Na ab b N ==∴41log 6x =考点四 对数式求值【例4】（2020·全国课时练习）求下列各式中x 的值： （1）642log 3x =-； （2）log 86x =； （3）lg100x =； （4）2ln e x -=.【答案】（1）116；（2；（3）2；（4）2- 【解析】（1）因为642log 3x =-所以()2232331644416x ---====.（2）因为log 86x =,所以68x =.又0x >所以()1113626822x ====（3）因为1g100x =所以210100,1010xx==于是2x = （4）因为2ln e x -=所以22ln ,xe x e e -=-=于是2x =-【举一反三】1．（2020·宁县第二中学）方程()2log 121x -=的解x =__________ 【答案】12-【解析】∵22log (12)1log 2x -==，∴122x -=，∴12x =-经检验12x =-满足120x ->故答案为：12-.2．（2019·安徽金安·六安一中）已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝( ) A ．13B ．36C ．33D ．24【答案】D【解析】∵()732log log log 0x ⎡⎤⎣⎦＝，∴()32log log 1x =，∴2log 3x =，∴8x =． ∴121248x-==．故选D ． 3.求下列各式中的x 的值．(1)log 2(log 3x )＝0；(2)log 5(log 2x )＝1；(3)log (3＋1)23－1＝x . 【答案】（1）3 （2）32 （3）1【解析】 (1)因为log 2(log 3x )＝0，所以log 3x ＝1，所以x ＝3. (2)因为log 5(log 2x )＝1，所以log 2x ＝5，所以x ＝25＝32. (3)23－1＝23＋12＝3＋1，所以log (3＋1)23－1＝log (3＋1)(3＋1)＝1，所以x ＝1.考点五 对数运算或化简【例5】（2020·上海课时练习）计算下列各式： （1）41log 16=___________； （2）log 125=_________； （3）23log 3log ⨯=_________；（4）93log 8log 2=________； （5）345678log 4log 5log 6log 7log 8log 9⨯⨯⨯⨯⨯=________．【答案】-2346 32 2【解析】（1）2441log log 4216-==-； （2）225553254332log log log 52===（3）12322232333log 38log 3log 2log 3log 26log 3log 2612⨯=⨯=⨯⨯=⨯= （4）239333333log 2log log 832log 2log 2log 222=== （5）345678log 4log 5log 6log 7log 8log 9⨯⨯⨯⨯⨯lg 4lg5lg 6lg 7lg8lg9lg3lg 4lg5lg 6lg 7lg8=⨯⨯⨯⨯⨯ 2lg 9lg 32lg 32lg 3lg 3lg 3==== 故答案为：2-；34；6；32；2.【举一反三】1．（2020·四川达州·高三其他（文））计算ln 2231lg 2lg5e ----=______．【答案】0【解析】由题意(()1233ln 22231lg 2lg532lg 2lg532lg100e ---⎡⎤⎛⎫⎢⎥---=--+=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故答案为：0.2．（2020·石嘴山市第三中学）49log 43log lg 25lg 47+++=______. 【答案】154【解析】根据对数的运算性质及换底公式化简可得49log 43log lg 25lg 473+++ ()773log 44log 4933log lg 25473=+⨯+711log 42423log 3lg107-=++1152244=-++=，故答案为：154. 3. log 2748＋log 212－12log 242； 【答案】－12【解析】原式＝log 27×1248×42＝log 2212-＝－12.4.(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3. 【答案】1【解析】原式＝(lg2＋lg5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.一．化简或计算下列指数式（1）()11222512220.0134-⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2（3） （4）122303112163125π--⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5 （6）014133270.06480.018-⎛⎫--++- ⎪⎝⎭.（7） （8）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48-----+（9 （10）0.752231(0.25)816--⎛⎫+- ⎪⎝⎭强化练习（11）()1620162020449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（12）21348)0.0081π-++（13）01430.75337(0.064)(2)168---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭（14）1210951)(3)254π--⎛⎫-++- ⎪⎝⎭； （15）1 1.51223311(0.001)(27)49---⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）1615；（2）-2 （3）0（4）41 （5）0.5； （6）17.6 （7）6；（8）12.（9）23π-；（10）12（11）99π+（12）1.3；（13）2716（14（15）44【解析】（1）原式11221411116114910061015⎛⎫⎛⎫=+⨯-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式2222=-++=-．（3）原式1141233=⋅ 133==0=（4）原式()()()2123133363513695141----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+=+-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦（5）原式530.50.522=--=； （6）原式45120.117.62=-++=.（7）原式1223==⨯111111111113336332362233223236--+++=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=.（8）原式1223232223333331()1()()1()()2222222----⎡⎤⎡⎤=--+=--+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（9）原式3323πππππ=-+-=-+=-；（10）原式()3243243223164111244282122---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=⎢⎥= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦+⎥-⎝⎭⎢⎣；（11）原式237231434π=⨯+-⨯+-10817399ππ=+-+-=+；（12）210348)0.0081π-++()21113134423624123102++-⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭120.32 1.3=-++=（13）01430.75337(0.064)(2)168---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭()10.7533431(410)1216---=⨯-++51112168=-++2716= （14）1210951)(3)254π--⎛⎫-++- ⎪⎝⎭11232335411543-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5533=-= （15）1 1.51223311(0.001)(27)49---⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()1233331322221131.302---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎡⎤=+-+⎣⎦⎥⎣⎦⎣⎦，10922744=+-+=.二．化简或计算下列对数式 （1）21log 31324lg 22493+- （2）ln 2145log 22lg 4lg 8e +++（3）lg 32lg 21lg1.2+- （4）ln 216643log 22log 2log 2e +++． (5)3log 18662log 2log 93250(lg 4lg 25)++++.（6）7114log 335508111log 4log 0.012log 71642e -⎛⎫+⋅⋅-+-+ ⎪⎝⎭. （7）2634181log 362-⎛⎫+- ⎪⎝⎭（8）233371log 7log 21log 7log 3--（9）2233318log 752log 52-⎛⎫++- ⎪⎝⎭．（10）31log 225lg 2lg 230.252-+++. 【答案】（1）132（2）52.（3）1（4）52（5）520（6）3（7）29 ；（8）0（9）9（10）5【解析】（1）原式()()115lg 22lg 72lg 22lg 7lg52322=--+++⨯，11lg 2lg5622=++，113622=+= （2）ln 2145log 22lg 4lg 8e +++2232log 22lg2lg5lg22-=++-+ 14lg 2lg53lg 222=-++-+ 3lg 2lg52=++52= （3）lg32lg 21lg3lg 41lg12lg10lg1.2lg1.2lg1.2+-+--==12lg101lg1.2== （4）原式66132log 2log 222=-+++613log (4)222=-+⨯+1122=-++52=（5）原式6log (49)182502218500520=⨯++⨯=++= （6）7114log 335508111log 4log 0.012log 71642e -⎛⎫+⋅⋅-+-+ ⎪⎝⎭14455431lg32lg 211log 100log 1124lg343lg 22-⎛⎫=+⨯⨯++-+ ⎪⎝⎭15311122log 10012443-⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21121333=++-+=. （7）2634181log 362-⎛⎫+- ⎪⎝⎭34224623log 6⨯=+- 343229+-=，（8）233371log 7log 21log 7log 3--()2333333log 7log 7log log 7log 7=+--()3333log 7log 7log lo 13g 7-=+-0=（9）原式=()()232333333212log 3552log 542log 32log 52log 512++⨯⨯-=+++-⎛⎫⎪⎝⎭4419=++=，故答案为：9.（10）31212log 222551lg 2lg 230.25lg lg 22222--⎡⎤⎛⎫+++=+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦151lg 42lg10414522-⎛⎫=⨯++=+=+= ⎪⎝⎭故答案为：5。
对数与对数运算学生版
2.2.1 对数与对数运算1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．释疑点在对数log a N中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0；(2)若a＝0，且N≠0时，log a N不存在；N＝0时，log a0有无数个值，不能确定，因此规定a ≠0，N≠0；(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；(4)由a x＝N，a＞0知N恒大于0．(2)(3)(4)当a＞0，且a≠1时．如图所示：比如：43＝64⇔3＝log464；log525＝2⇔52＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23．谈重点对指数与对数的互化关系的理解(1)由指数式a b＝N可以写成log a N＝b(a＞0，且a ≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式log a Na N＝．指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段．【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( ) A．100＝1与lg 1＝0B．131273-=与271log3＝13-C．log39＝2与129＝3D．log55＝1与51＝5 【例1－2【例1－3】求下列各式中(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)log x27＝34；(4)x＝log84．2．对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②loga MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．谈重点对对数的运算性质的理解(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．(2)谈重点利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“log a(MN)＝log a M＋log a N”的推导：设log a M＝m，log a N＝n，则a m＝M，a n＝N，于是MN＝a m·a n＝a m＋n，因此log a(MN)＝log a M＋log a N＝m＋n．【例2－1】若a ＞0，且a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N *，则下列各式： ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a (xy )＝log a x ·log a y ；④log log log a a a x xy y=；⑤(log a x )n ＝log a x n ；⑥1log log a a x x=-；⑦log log a a x n=其中式子成立的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【例2－2】计算：(1)2log 122＋log 123；(2)lg 500－lg 5；(3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求．析规律 对数的运算性质的作用 (1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论．3．换底公式(1)公式log a b ＝log log c c ba(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1，b ＞0)．(2)公式推导： 设log log c c b x a=，则log c b ＝x log c a ＝log c a x ， ∴b ＝a x ．∴x ＝log a b ．∴log log c c ba＝log a b ．(3)公式的作用换底公式的作用在于把以a 为底的对数，换成了以c 为底的对数，特别有：lg log lg a NN a=，ln log ln a NN a=，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值． (4)换底公式的三个推论：①log log m n a a nN N m=(a ，N ＞0，且a ≠1，m ≠0，m ，n ∈R )；②log a b＝1log b a (a ，b ＞0，且a ，b ≠1)；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c ＞0，且a ，b ，c ≠1，d ＞0)．证明：①log am N n＝log log log log n a a a ma N n N n N a m m ==．②log ab ＝log 1log log b b b b a a=．③log a b ·log b c ·log c d ＝lg lg lg lg lg lg lg lg b c d da b c a⋅⋅=＝log a d ． 【例3－1】82log 9log 3的值是( ) A ．23 B ．32 C ．1 D ．2【例3－2】若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于( )A ．12B ．9C ．18D ．274．对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义，对数符号log a N 中实数a 和N 满足的条件是底数a 是不等于1的正实数，真数N 是正实数，即>0,>0,1,N a a ⎧⎪⎨⎪≠⎩因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念．【例4－1】已知对数log (1－a )(a ＋2)有意义，则实数a 的取值范围是__________．【例4－2】若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝__________．5．对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度．(1)同底数的对数式的化简、求值 一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．如39log 5＋log 35＝log 39－log 35＋log 35＝log 39＝2．二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．如，39log 5＋log 35＝39log 55⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝log 39＝2．三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N ，lg 2＋lg 5＝1，log a b ·log b a ＝1等．【例5－1】化简求值：(1)4lg 2＋3lg 5－1lg5；；(3)2log32－332log9＋log38－5log35；(4)log2(1)＋log2(1．【例5－2】计算：(log43＋log83)(log32＋log92)－．6．条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．例如：设x＝log23，求332222x xx x----的值时，我们可由x＝log23，求出2x＝3,2－x＝13，然后将它们代入332222x xx x----，可得33331322913122933x xx x--⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--．【例6】已知3a＝4b＝36，求21a b+的值．析规律与对数式有关的求值问题的解决方法(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．7．利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)用对数log a x和log b y等表示其他对数时，首先仔细观察a，b和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a，b．解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．对数的运算性质总结：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；log a MN＝log a M －log a N ； log a M n ＝n log a M (n ∈R )．换底公式：log a b ＝log log c c ba(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． 【例7－1】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( )A ．a b a +B ．a b b +C ．a a b +D ．b a b +【例7－2】已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．8．与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x 的方程log a f (x )＝b ，通常将其化为指数式f (x )＝a b ，这样解关于x 的方程f (x )＝a b 即可，最后要注意验根．例如：解方程64152log 163x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将其化为指数式为23156416x --=，又223233164(4)416---===，则1511616x -=，所以x ＝1，经检验x ＝1是原方程的根．第二类是形如关于x 的方程log f (x )n ＝b ，通常将其化为指数式f b (x )＝n ，这样解关于x 的方程f b (x )＝n 即可，最后要注意验根．例如，解方程log (1－x )4＝2，将其化为指数式为(1－x )2＝4，解得x ＝3或x ＝－1，经检验x ＝3是增根，原方程的根是x ＝－1．第三类是形如关于x 的方程f (log a x )＝0，通常利用换元法，设log a x ＝t ，转化为解方程f (t )＝0得t ＝p 的值，再解方程log a x ＝p ，化为指数式则x ＝a p ，最后要注意验根．【例8－1】已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求xy的值．【例8－2】解方程lg 2x －lg x 2－3＝0．9．对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值．计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式．另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算．【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)。
3.2.1对数——对数的运算及换底公式课件(苏教版)
探要点、究所然
探究点一 ：对数运算性质
第2课时
例 1 求下列各式的值： (1)log2(23×45)；(2)log5125. 解 (1)log2(23×45)＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋5×2＝13.
(2)log5125＝log553＝3log55＝3. 反思与感悟 这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方
你能不能推导出呢？ 答 令 M＝am，N＝an，则MN＝am÷an＝am－n， ∴m－n＝logaMN.又由 M＝am，N＝an，
∴m＝logaM，n＝logaN，
即：logaM－logaN＝m－n＝logaMN ；
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
第2课时
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：对数运算性质
第2课时
思考 4 同样地，由 am÷an＝am－n 和(am)n＝amn，也得到对数运算的其他性质： logaMN＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM(a>0，且 a≠1，M>0，N>0，n∈R)．
反思与感悟 在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对 数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数 互不相同，我们可以选择以 10 为底数进行换底．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点二 ：换底公式
半对数模型
半对数模型————测度增长率1978年至2009年中国人口增长率1978年至2009年中国人口（万人）中国人口时间中国人口时间96259 1 119850 1797542 2 121121 1898705 3 122398 19100072 4 123626 20101654 5 124761 21103008 6 125786 22104357 7 126743 23105851 8 127627 24107507 9 128453 25109300 10 129227 26111026 11 129988 27112704 12 130756 28114333 13 131448 29115823 14 132129 30117171 15 132802 31118517 16 133474 32注：该表数据人口数中不含港澳台人口数。
数据来源：国家统计局定义：Y: 表示中国人口增长率t: 表示时间1=1978；32=20092.该数据在满足OLS基本假设条件下，用普通最小二乘法估计回归参数，用eviews统计软件，得到OLS回归结果如下：样本回归函数为：Ln（Yt）=11.48746+0.010909tSe(0.006420) (0.000340)t（1789.336）（32.12897)R 2 = 0.971759 F（1032.271）p值=（0.0000）(0.0000)3.对参数进行检验：假设：H0：B2=0 ；H1：B2≠0 得出：t = 0.010909 / 0.000340=32.12897从而假设显著性a=5% 时，计算得出的t的绝对值远远超过t 的临界值，拒绝零假设；从而对另外一个参数B1的检验也按此方法进行。
从而结论为：参数B1和B2均通过检验，对回归结果解释如下：斜率系数0.010909表明，平均而言，中国人口的年增长率为0.010909，即Y 以每年1.0909% 的速度增长。
半对数计算与配合其他结构、指标、波浪
半對數計算與配合其他結構、指標、波浪一、何謂股價三分線▲我們常計算回檔(反彈)1/3、0.382、1/2、0.618，其實1/3與0.382屬同層級，意謂強勢整理(弱勢反彈)，乃最有機會創高(破底)之表徵。
1/2中線則是最普遍運用的支撐或壓力之觀測點，因為這裡是回檔或反彈的成本均衡處，穩定的漲勢或跌是常藉1/2中線之轉折繼續維繫其多空步伐。
至於0.618乃回檔的『最後防線』及反彈的『乾坤挪移』所在，前者跌破，防回檔轉回跌，後者突破可促反彈轉回升，這一關的重要性關乎原始趨勢之轉變與否。
◆問題來了！沒人規定股價的高低點要落在三分線位置，若視之為『隨機』落在任何位置皆可能，重要的是據美國分析界學者之長期統計，落在三分線附近之機率遠大於其他位置，足見其存在的慣性意義。
二、為什麼要用半對數計算▲很多人早就會自行計算所謂的回檔(反彈)1/3、1/2及黃金切割率，久而久之卻懶得算了；原因是算不出『準頭』！何以艾略特主張要用『半對數』?例：10 →100 的中心點在哪? 小學生也知道( 10 + 100 ) / 2 = 55，但是，股價的運算~ √10X 100 = 31.6。
半對數乃一門運用數學，並適用於股市這門投資學。
◆原理：拿一百萬元買一檔10元的股票，漲到31.6元增值為316萬；又，拿一百萬元買足一檔31.6元的股票，漲到100元同樣增值為316萬。
可見31.6才是10←→100的漲跌『成本中心』位置；若說線圖為人性之軌跡，那麼『慣性』透過半對數計算才得知最敏感的表徵處。
進而推演出公式：10 →100回檔1/3 ~ 100.333 X 1000.666= 46.2；100 →10 反彈1/3 ~ 1000.333 X 100.666= 21.5。
所以說，一定要用工程用計算機才算得出來。
三、如何『取樣』來加強計算的可信度?▲半對數計算必頇先有『背景取樣』，因為我們是藉由前一上漲波來測量回檔支撐，由前一下跌波來測量反彈壓力；但所謂的『前一波』可長可短，且走勢不見得如想像中單純，是故，取樣的準則應力求：一、較佳的線性軌道(走勢太曲折則不佳)；二、較符合波浪循環之原則。
对数的运算法则高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
方法归纳
选择适当的对数运算法则求值，注意掌握一些对数的性质：loga1＝
0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)．
角度2 对数运算法则的综合应用
例3 计算下列各式的值．
(1)lg
7
14－2lg ＋lg
3
lg
(2)；
(3)lg
7－lg 18；
27＋lg 8－3lg
lg 1.2
2
2
5 ＋ lg
3
10
8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
方法归纳
1．对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).
2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、
变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时
x
1
1
(3)loga ＝loga －loga(yz)＝ logax－(logay+logaz )＝ logax－logay－logaz；
yz
2
2
x2 y
1
1
2
(4)loga 3 ＝logax ＋loga －loga 3 ＝2logax＋ logay－ logaz.
2
3
方法归纳
运用对数运算法则进行对数式的化简，要注意只有当式子中所有的
A．－2 B．2
C． 2 D．log62
)
答案：B
解析：原式＝log618＋log62＝log636＝2.故选B.
4．log
3 45－log 3 5＝________．
半对数公式股票推算
股票价
黄金
1664.93
分割点
3478 1664.93到3478
0.382 17.004868 22.5313855 2624.913176
0.5 40.8035538 58.9745708 2406.37207
0.618 97.9090225 154.362456 2206.025933
备注： 1、X^Y表示X的Y次方
例如：10^0.382表示10的0.382次方 2、黄色区域代表股票价可改动。
股票价 黄金 分割点
0.382
0
0.5
0
0.618
0
底点到高点 高点到底点
0
0
0
0
0
0
0
0
0
因我叔叔喜欢炒股，我帮忙编辑一个半对数的公式， 只需编辑最低价和最高价即可自动计算。
382次方 。
3478到1664.93
2206.025933 2406.37207 2624.913176
股票价
黄金
10
分割点Leabharlann 100底点到高点0.382 2.40990543 5.80764418 41.49540426
0.5 3.16227766 10
31.6227766
高点到底点
24.09905429 31.6227766
41.49540426
股票价
黄金
998
分割点
6124
998到6124
0.382 13.9851738 27.9671003 3062.355528
0.5 31.591138 78.2559902 2472.195785
对数运算法则ppt课件
值呢？
x
x
设 log 3 5 x ，则 3 5 ，从而 lg 3 lg 5 ，即 x lg 3 lg 5 ，
所以 x
lg 5
，
lg 3
也就是说 log 3 5
lg 5 0.699 0
1.4651 .
lg 3 0.477 1
换底公式
一般地，我们有
log a b
log c b
5
lg 27 lg 8
lg 4 lg 25
1
1
lg 5 3lg 3 3lg 2 lg 5 9
，故 B 错误；对于 C， log 2 25 log3 log5
16
9
lg 9 2 lg 2 2 lg 5 2 lg 3 8
log 2 52 log 3 24 log 5 32
4 log8 27
3log 2 3
log 2 27
1 ，
，
9
log 2 3 log 2 8 log 2 3 3log 2 3
( 2 3)0 1 ， log 3 1 0 ， 2lg 5 lg 4 lg 52 4 lg102 2 ， 5log5 2 2 ，
60
则 log z m 的值为_____________.
解析： log x m 24 ， log y m 40 ， log xyz m 12 ， log m x
log m xyz
1
1
， log m y
，
24
40
1
1
1
1
1
~422对数运算对数运算法则
当堂检测
对数基本性质的应用
例 2 (1)若 log3(lg x)=1,则 x=
;
1
(2)求值:42(lo g 2 9-lo g 2 5)=
.
9
答案:(1)1 000 (2)5
解析:(1)∵log3(lg x)=1,∴lg x=3.
∴x=103=1 000.
(2)原式=2
(lo g 2 9-lo g 2 5)
需要引入本节课将要学习的“对数”.
课前篇自主预习
一
二
三
四
2.填空.
(1)一般地,对于指数式ab=N,我们把“以a为底N的对数b”记作
logaN,即b=logaN(a>0,且a≠1).其中,数a称为对数的底数,N称为对数
的真数,读作“b等于以a为底N的对数”.
(2)以10为底的对数称为常用对数,即log10N,记作lg N.
.
25
解:(1)因为 103=1 000,所以 lg 1 000=log101 000=3;
1
(2)因为e2
1
= e,所以 ln e=loge e = 2;
(3)设 log2 2 4=x,则(2 2)
x
3
4
3
=4,即22 =22,
4
所以2x=2,x=3,故 log2 2 4=3;
(4)31+lo g 3 6 =3·3lo g 3 6 =3×6=18;
2.如何用换底公式证明 log
lg
m
提示:左边=log b =
lg
b = logab(a>0,b>0,a≠1,n≠0)?
lg
= logab=右边.
spss半对数模型操作
spss半对数模型操作
基本原理：将分类变量（解释变量）看做因素或解释变量，将单元格的观察频数看做因变量（反应变量），在某种假设前提下，如服从poisson分布或多项分布，把期望频数的自然对数表示为各分类变量的主效应及各阶交互效应的线性函数。
该模型中包含全部主效应和交互效应，故称为饱和模型，若缺少一项，则称为不饱和模型。
饱和模型估计的期望频数必然与观察频数相等，因此饱和模型没有实用意义，真正实用的是不饱和模型。
结果中显示数据处理的基本信息。
单元计数和残差：给出观察值，期望值，残差等，因为选择的是饱和模型，所以对于残差都是0。
其中的“拟合度检验”中的概率是省略的，就是1的意思，说明模型完全拟合样本数据。
K-Way和高阶效果：k=1表示主效应，k=2表示一阶交互效应，以此类推。
计算概率知，三阶交互的作用不明显，所以模型要重新选择，不应该选择饱和模型。
专题15 对数(原卷版)
专题15对数1．对数的概念若a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，则数x 叫做以a 为底N 的对数，a 叫做对数的底数，N 叫做真数，记作x ＝log a N .[知识点拨] 对数式log a N 可看作一种记号，表示关于x 的方程a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a (a ＞0，且a ≠1)，幂为N ，求幂指数的运算，因此，对数式log a N 又可看作幂运算的逆运算．2．常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为lg N .(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.71828…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为ln N .3．对数与指数的关系当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N .4．对数的基本性质(1)零和负数没有对数．(2)log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)．(3)log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)．6．对数的运算性质[知识点拨] a a a N )，log a (M ＋N )≠log a M＋log a N ，log a M N ≠log a M log a N. 7．换底公式log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． [知识拓展] (1)可用换底公式证明以下结论：①log a b ＝1log b a ；②log a b ·log b c ·log c a ＝1；③log an b n ＝log a b ；④log an b m ＝m n log a b ；⑤log 1ab ＝－log a b . (2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．典型题型与解题方法重要考点一：指数式与对数式的互化【典型例题】已知23x =，则x =_____【题型强化】1.已知x ，y 为正数，若23x y =，则x y =_________. 2.已知()21log 1x -=-，则x =__________．【名师点睛】对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N .重要考点二：对数定义与性质的应用【典型例题】2lg 5lg2lg50+⋅=__________.【题型强化】1.计算：02lg2lg53⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是________．2.已知629a b ==，则11a b-=_______． 【名师点睛】对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 重要考点三：对数恒等式的应用【典型例题】已知lg6a =，lg15b =，试用a 、b 表示lg 48=________．【题型强化】1.51log 33332log 2log 32log 85+-+-= ________.2.化简计算2log =__________．【名师点睛】运用对数恒等式时注意事项(1)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．重要考点四：因忽视对数式的底数和真数的取值范围致误【典型例题】若log (x －1)(3－x )有意义，则x 的取值范围是________．【题型强化】1.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围是__________．2.对数表达式1log (5)x x --中的x 的取值范围是________【名师点睛】对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．重要考点五：再谈等价转化【典型例题】（1）计算331log 2327lg50lg 2+++；（2）已知23a =，46b =，求2b a -的值.【题型强化】1.设x ，y ，z 均为正数，且346x y z ==.（1）试求x ，y ，z 之间的关系.（2）求使2x py =成立，且与p 最近的正整数（即求与p 的差的绝对值最小的整数）.（3）比较3x ，4y ，6z 的大小.2.已知323,18.a b log ==（1）求()2a b -的值；（2）求214b a -+⨯的值.【名师点睛】指数式与对数式可以相互转化，利用这种转化关系可以求解指对方程与不等式及指数对数运算．将等式两端取同底的对数，是指数对数转化的另一种表现形式． 重要考点六：对数的运算法则【典型例题】已知22log log 3x y -=，求3238log x y的值. 【题型强化】1.求下列各式的值：（1）2log 525＋3log 264；（2）lg ； （3）(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.2.计算下列各式的值:(1)lg 4lg 25+;(2)(3)752log 4)2(⨯;(4)2(lg2)lg20lg5+⨯.【名师点睛】对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制． 重要考点七：运用对数的运算性质化简求值【典型例题】已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.34y 的值．【题型强化】1.求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.2.计算：（1）已知2log 3,37b a ==，试用,a b 表示12log 56；（2）22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+.【名师点睛】灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算． 重要考点八：换底公式的应用【典型例题】设3436x y==，求21x y +的值.【题型强化】1.已知5322510a b c ==，求证：111532a b c+=.2.（1）证明对数换底公式：log log log a b a N N b=（其中0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，0N >） （2）已知3log 2m =，试用m 表示32log 18.【名师点睛】关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ＝1log b a；log a a n ＝n ，log am b n ＝n mlog a b ；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果． 重要考点九：因忽视对数的真数大于零而致误【典型例题】解下列对数方程：（1）()2lg(2)lg 2610x x x +-+-+=；（2）lg 2810x x +=.【题型强化】1.解下列对数方程：（1）2log 1)3=；（2）()222log 69log (26)x x x -+=-； （3）2322log log 4x x+=；（4）lg 21000x x -=.2.解下列对数方程：（1）2322log log 4x x +=；（2）lg 21000x x -=.重要考点十：转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力【典型例题】（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35【题型强化】1.设0a >，1a ≠，x 、y 满足log 3log log 3a x x x a y +-=，用log a x 表示log a y ，并求当x 取何值时，log a y 取得最小值.2.（1）已知lg 2,lg3a b ==，用a ，b 表示36log 45；（2）已知23log 3,log 7a b ==，用a ，b 表示42log 56.【名师点睛】1.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．1．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 2．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >> 3．已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．516 B ．54 C ．52 D ．54．设3log 42a =，则4a -=（ ）A ．116B ．19C ．18D ．165．已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b6．已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则 A ．1- B ．0C ．1D ．2 7．若x log 34=1，则4x +4–x =A ．1B ．2C ．83D ．1038．若4log 3a =，则22a a -+= ．931log 43321ln 83log 4+--=e _______. 10．已知0,0,8a b ab >>=，则()22log log 2a b ⋅的最大值是____．11．已知函数941x y a -=-（0a >且1a ≠）恒过定点(),A m n ，则log m n =__________. 12．已知23a =，98b =，则ab 的值是______.13．化简求值：（1）21123321lg 3lg 9lg 114125()()100227lg81lg 27--+-+-++- （2）5log 35233log 8log 5255log 2log lg 4l 3g 2295⋅++-+．14．（1）求值：()()3948log 2log 2log 3log 3++；（2）设3436x y ==，求21x y+的值； （3）若2log 31x =，求39x x -+的值.15．已知log a 2＝m ，log a 3＝n .(1)求a 2m －n 的值；(2)求log a 18.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
半对数计算
一、
何谓股价三分线
▲我们常计算回档(反弹)1/3、0.382、1/2、0.618，其实1/3与0.382属同层级，
意谓强势整理(弱势反弹)，乃最有机会创高(破底)之表征。
1/2中线则是最普遍
运用的支撑或压力之观测点，因为这里是回档或反弹的成本均衡处，稳定的涨
势或跌是常藉1/2中线之转折继续维系其多空步伐。
至于0.618乃回檔的『最
后防线』及反弹的『乾坤挪移』所在，前者跌破，防回档转回跌，后者突破可
促反弹转回升，这一关的重要性关乎原始趋势之转变与否。
◆问题来了！没人规定股价的高低点要落在三分线位置，若视之为『随机』落在
任何位置皆可能，重要的是据美国分析界学者之长期统计，落在三分线附近之
机率远大于其它位置，足见其存在的惯性意义。
二、
为什么要用半对数计算
▲很多人早就会自行计算所谓的回档(反弹)1/3、1/2及黄金切割率，久而久之却
懒得算了；原因是算不出『准头』！何以艾略特主张要用『半对数』?
例：10→
100的中心点在哪
? 小学生也知道(10 + 100 ) / 2 = 55，但是，股价的运算~ √10 X 100 = 31.6。
半对数乃一门运用数学，并适用于股市这门投资学。
◆原理：拿一百万元买一档10元的股票，涨到31.6元增值为316万；又，拿一
百万元买足一档31.6元的股票，涨到100元同样增值为316万。
可见31.6才
是10←→100的涨跌『成本中心』位置；若说线图为人性之轨迹，那么『惯性』
透过半对数计算才得知最敏感的表征处。
进而推演出公式：10→
100回檔1/3~ 100.333 X 1000.666= 46.2；100 →
10反弹
1/3~ 1000.333 X 100.666= 21.5。
所以说，一定要用工程用计算器才算得出来。
三、如何『取样』来加强计算的可信度
?
▲半对数计算必须先有『背景取样』，因为我们是藉由前一上涨波来测量回档支
撑，由前一下跌波来测量反弹压力；但所谓的『前一波』可长可短，且走势不
见得如想象中单纯，是故，取样的准则应力求：
一、较佳的线性轨道(走势太曲折则不佳)；
二、较符合波浪循环之原则。
有时会遇到较复杂或模棱两可的股价背景时，则不排除采用不同版本之
交叉计算，甚至舍弃某一模糊阶段寻求其它途径来判断。
也就是说，越符合前两项取样原则，计算半对数的参考价值将愈高。
譬如
10元(低点)涨到
100元(高点)之回檔0.382为100.382X 1000.618 = 41.5；回檔0.618为100.618 X
1000.382 = 24.1。
先写出取景的起落点，然后以欲测幅作为起点之次方，再以(1-测幅)当落点之次方。
譬如
反过来计算
100元跌到10元之后的反弹0.382为
1000.382X 100.618 = 24.1；反弹0.618为
1000.618 X 100.382 = 41.5。
四、如何运用半对数衍生来测距
?
▲半对数计算不只是在测知回档或反弹之关卡，当在做原趋势之顺向测距时，也
要运用半对数，比方说一档股票从15元涨到25元时出现『中继缺口』，理论
告诉你它只涨到半途，那么一般人就会一前半段涨幅10元，自25+ 10 = 35
当作目标；而以半对数之原理，25既然是起点与未来目标( K)之中心点，则√15
x K = 25，K = 252 / 15 =41.7，这才是真正的理论目标价。
◆最单纯的W底及M头测幅满足点，乃依颈在线下等幅之原则，假设W底最
低之一脚为30，颈线为50，非指目标为70，同上原理；K=502 / 30 = 83.5。
另假设一种情形，一档股票自6元涨到18元又回檔至14元，倘预期接下来的涨升波与前波等长，指的目标并非(18 – 6 ) + 14 = 26，应是( 12 x 14 / 6 ) + 14 = 42，此即半对数测距。
是故，倘计算前波段的1.618倍，指的目标也不是12x 1.618 + 14 = 33.4，应该是多少呢
?
五、为什么一定要采用半对数比例图
?
▲假设股价自6 →
18为初升段，回档至14元欲展开主升段，且预期涨幅为初升
段的1.618倍，按半对数求目标价
K。
首先倒过来看，初升段为主升段的0.618
倍( 0.618与1.618互为倒数
)，已知初升段全长12元，换算主升段之等幅度：12x 14 / 6 = 28；14 + 28 = 42，这是主升段的0.618位置，也就是14→
K的回檔0.382所在，代入公式：140.382x K0.618 = 42，K = 83，半对数的1.618倍比想象来得大多了吧。
◆如上；数学计算未免太复杂，其实最简单的是打印一张半对数比例图，先以尺
量出初升段垂直距离之刻度，照其公分数乘上1.618，在自主升段起点14元向
上画垂直线，目标就指向83元，须知6 →
18与14→
42在图上垂直测量原是
等距的，是故，W底与M头只需拿尺测量颈在线下等距即知理论满足点，又
三角收敛之突破采『平行斜测法』，为有用尺来画最简便。
一般人印的不是半
对数比例图，居然还连结各高、低点画趋势线及切线，甚至做甘氏角之研究，
根本是徒劳无功，波浪之演化也必须在半对数比例图上才得窥全貌。
六、何谓『三合一落点』?
▲半对数不是独立存在的东西，它要搭配波浪、图形及K线，才能显现出其意义，是故，在我们计算出三分线的同时，也在探询有无其它技术面之『重迭』，譬如回档的哪一道关卡，恰是头部型态的满足点，那可比双重引力将股价往下吸，俟下跌接近时，则构成双重的支撑力，这也包括缺口、K线多空版图、均线、趋势线及波浪的阶段性落点等等。
◆又远近不同背景之取样也可能形成重迭关卡，譬如中波段的反弹0.618恰是长波段的反弹1 / 3位置，同样具有双重引力及反压效果。
一如上述三项关卡重
迭时，谓之『三合一落点』其支撑或压力之转折效应必大，要是说这样还挡不住直扑而来的趋势呢
? 那足见趋势的力量更大，既然连手也挡不住，正所谓
势如破竹，股价朝下一道奔驰而去，此成操作者勇于进场同时必须善设停损的正反强力依据。
七、什么是多头的标准步伐
?
▲当股价在涨的时候，那是多头正在迈开它的脚步，但事实上很少一路冲锋不回头的，稳健的步伐乃所谓『进二退一』或『进三退二』，重点还不在进几步退几步，而是在半对数比例上退多少，如果说退1 /3或0.382是继续前进的最高姿态，那么退1 / 2乃有利于操作的最佳状态，因前者确认时，股价或已创高，又高姿态并不意谓后市的涨升空间必大，倒是后者经较充分的洗盘换手，且上涨的空间往往来自于拉回，试想，『弯弓射箭』之原理，弓如何弯得够深而又不至于扯断弦，我以为1 /2最佳。
◆筑底或盘整时期的股价往往来回震荡，纵使逐渐垫高脚步，还是受限于区域之内，按波浪之观点，或许正在酝酿上涨，惟趋势尚未形成，值得注意的是当某次短波折返不破1 / 2可能是突破盘局之前兆，抑或先突破随即拉回固守1 /2，那也是展开波段行情的最实时上车机会。
一般而言，初升段之后的第二波回档常深及起涨点上缘，致多头涨势遭到质疑，假使在1 /2关前即止跌翻扬，后
续得主升段颇值得信赖，且规模应不小。
空头步伐可反向推理。
八、1 /2中线如何应用在短波观察
?
▲
每个高低点相乘再开根号，那就是1 /2中线，可藉此观察多空短兵相接之强
弱虚实，譬如：三个交易日指数自5500涨到5750，回檔1 /2在5624，未破
中线5624前短多仍占上风，可按此简单之原理，观测当天多空所采位置之强
弱度，甚或在当天上半场拉出一段空间时(或涨或跌
)，看是否回测并据守
中线来推估多空续强之机会。