2019安徽中考数学专题训练——几何图形的证明及计算

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2019届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案

2019届初三数学中考复习几何证明与计算专题复习训练题1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．6. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于点H，交CD于点G.(1)求证：BG＝DE；(2)若点G为CD的中点，求HGGF的值．7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．参考答案：1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BDG和△ADC中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC ，，∴△BDG ≌△ADC. ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD.∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF.(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠ECF，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC，∴△ADE ≌△FCE(ASA)．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG ≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG.∵AB∥CD，∴∠DCG ＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG ＝EG AG.∴AG 2＝GE·GF. 4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝2CD ＝6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF. 在Rt △CED 中，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B＝30°. ∴DE ＝CDcos30°＝2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)． (2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°.∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE. 在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE.(2)设CG ＝x ，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝x ，由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝x.由勾股定理可知DE ＝BG ＝5x ，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF＝55x.∵AB∥CG，∴△ABH ∽△CGH.∴AB CG ＝BH GH ＝21. ∴BH＝253x ，GH ＝53x.∴HG GF ＝53.7. 解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：连接CG.∵四边形ABCD 是正方形，∴点A ，C 关于对角线BD 对称． ∵点G 在BD 上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC 于点E ，GF⊥BC 于点F ， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC 是矩形．∴CF＝GE.在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG 2＝GF 2＋GE 2.(2)过点B 作BN⊥AG 于点N ，在BN 上取一点M ，使得AM ＝BM.设AN ＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG ＝∠FGB＝∠ABG＝45°， ∴∠AGB ＝60°，∠GBN ＝30°，∠ABM ＝∠MAB＝15°.∴∠AMN ＝30°.∴AM ＝BM ＝2x ，MN ＝3x.在Rt △ABN 中，∵AB 2＝AN 2＋BN 2，∴1＝x 2＋(2x ＋3x)2，解得x ＝6－24，∴BN ＝6＋24.∴BG＝BN cos30°＝32＋66. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C ＋∠DBF＝90°，∠C ＋∠DAC＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC，∴△ACD ∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝ADBD＝1，∴BF ＝AC ＝39. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG ＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF10. 解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS)，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS)，∴BD ＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形 11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM ⊥BM ，∴AM ＝BM ＝ABcos45°＝32×22＝3. 则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝22＋32＝13.(2)证明：延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM ＝MC ，∠BMD ＝∠AMC ，BM ＝AM ，∴△BMD≌△AMC(SAS)．∴AC ＝BD.又CE ＝AC ，∴BD ＝CE.∵BF ＝FC ，∠BFG ＝∠EFC ，FG ＝FE ，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE ，∠G＝∠E.∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG＝∠G＝∠E. 12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EA F.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B＝90°，AB ＝AD ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13.∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM∽△EFA，∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE.∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），过（1，y 1）、（2，y 2）．下列结论：①若y 1＞0时，则a+b+c ＞0； ②若a ＝2b 时，则y 1＜y 2；③若y 1＜0，y 2＞0，且a+b ＜0，则a ＞0．其中正确的结论个数为（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知直线a ∥b ，将一块含45o角的直角三角板(∠C=90o)按如图所示的位置摆放，若∠1=55o，则∠2 的度数为( )A ．85oB ．70oC ．80oD ．75o3．如图，⊙O 与BC 相切于点B ，弦AB ∥OC ，若∠C ＝40°，则∠AOB 的度数是（）A.60B.70°C.80°D.90°4．如图，点P(-a,2a)是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为5π，则反比例函数的解析是为（）A. B. C. D.5．如图，等边三角形ABC ，B 点在坐标原点，C 点的坐标为（4，0），则点A 的坐标为（）A ．（2，3）B ．（2，）C ．（，2）D ．（2，6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为(4,0)，60AOC ∠=︒，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N(点M 在点N 的上方)，若OMN ∆的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒(04)t ≤≤，则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是( )A. B.C. D.7．如果a+b ＝12，那么a b a b b a+--22的值是（） A ．12B ．14C ．2D ．48．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问甲乙持钱各几何？”其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有.问甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱为，乙带钱为，根据题意，可列方程组为（）A.B.C.D.9．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G ，H 在对角线AC 上，若四边形GEHF 是菱形，则AE 的长是（）A.5B.254C. D.10．正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象上一点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为2 : 3，且y 随x 的增大而减小，则k 的值是 ( ) A ．23B ．32C ．32-D ．23-11．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠BAD ＝90°，BO ＝DO ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BCD ＝90°C ．AB ＝CD D ．AB ∥CD12．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动,当点E 到达点C 时停止运动，过点E 作FE AE ⊥,交CD 于点F ，设点E 运动的路程为x ,FC y =.则y 关于x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，将边长为3的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH ，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N ，那么折痕GH 的长为_____．14．计算：①232n m ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____；②b a a b a b -=-- _____． 15．如图是23名射击运动员的一次测试成绩的频数分布折线图，则射击成绩的中位数_____。

2019年中考数学压轴题汇编(几何1)解析版

（2019年安徽23题）23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2h3．【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判断出，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠PAB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠PAB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC（2）∵△PAB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∴∴PA＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△PAB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2h3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．（2019年北京27题）27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M 为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．【分析】（1）根据题意画出图形．（2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证．（3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP ＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD＝NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD＝a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH＝MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH＝a+a＝+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以OP＝2为条件，利用构造全等证得ON＝QP．【解答】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD＝OP＝1∴OD＝∵OH＝+1∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1∵点M关于点H的对称点为Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN与△QDP中∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON＝QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP＝2为条件构造全等证明ON＝QP．（2019年北京28题）28．（7分）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC 中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t＝时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP 满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC＝＝＝4，DE＝BC＝×4＝2，∴弧＝×2π＝π；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE 垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t＝时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m≤综上所述，m≤或m≥1．②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，∴P（t，），∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE＝＝＝，∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE＝AE由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴AE≤，AE≤3，即≤3，解得：t≤，∵t＞0∴0＜t≤．【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．（2019年福建24题）24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∠ADB＝90°﹣∠CAD，从而得到∠BAC＝∠CAD，即可证得结论；（2）易证得BC＝CF＝4，即可证得AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tan∠BAD的值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴＝，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝2∠DFC，∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，∴CB＝CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．又BC＝4，设AE＝x，CE＝10﹣x，由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，解得x＝6，∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，∴DE＝＝＝3，∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵ABDH＝BDAE，∴DH＝＝＝，∴BH＝＝，∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，∴tan∠BAD＝＝＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题．（2019年甘肃兰州27题）27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D 作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2＝GOGB．【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，AB为⊙O直径，故只需证AD⊥AB即可．由∠ABC+∠BAC＝90°和∠DAE＝∠ABC可证得∠DAE+∠BAC＝90°，而E、A、C在同一直线上，用180°减去90°即为∠BAD＝90°，得证．（2）依题意画出图形，由要证的结论FG2＝GOGB联想到对应边成比例，所以需证△FGO ∽△BGF．其中∠FGO＝∠BGF为公共角，即需证∠FOG＝∠BFG．∠BFG为圆周角，所对的弧为弧BC，故连接OC后有∠BFG＝∠BOC，问题又转化为证∠FOG＝∠BOC．把DO延长交BC于点H后，有∠FOG＝∠BOH，故问题转化为证∠BOH＝∠BOC．只要OH ⊥BC，由等腰三角形三线合一即有∠BOH＝∠BOC，故问题继续转化为证DH∥CE．联系【模型呈现】发现能证△DEA≌△ACB，得到AE＝BC＝2，AC＝DE＝1，即能求AD＝AB ＝．又因为O为AB中点，可得到，再加上第（1）题证得∠BAD＝90°，可得△DAO∽△AED，所以∠ADO＝∠EAD，DO∥EA，得证．【解答】证明：（1）∵⊙O为Rt△ABC的外接圆∴O为斜边AB中点，AB为直径∵∠ACB＝90°∴∠ABC+∠BAC＝90°∵∠DAE＝∠ABC∴∠DAE+∠BAC＝90°∴∠BAD＝180°﹣（∠DAE+∠BAC）＝90°∴AD⊥AB∴AD是⊙O的切线（2）延长DO交BC于点H，连接OC∵DE⊥AC于点E∴∠DEA＝90°∵AB绕点A旋转得到AD∴AB＝AD在△DEA与△ACB中∴△DEA≌△ACB（AAS）∴AE＝BC＝2，AC＝DE＝1∴AD＝AB＝∵O为AB中点∴AO＝AB＝∴∵∠DAO＝∠AED＝90°∴△DAO∽△AED∴∠ADO＝∠EAD∴DO∥EA∴∠OHB＝∠ACB＝90°，即DH⊥BC∵OB＝OC∴OH平分∠BOC，即∠BOH＝∠BOC∵∠FOG＝∠BOH，∠BFG＝∠BOC∴∠FOG＝∠BFG∵∠FGO＝∠BGF∴△FGO∽△BGF∴∴FG2＝GOGB【点评】本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理．其中第（2）题证明DO∥EA进而得到DO垂直BC是解题关键．（2019年甘肃陇南27题）27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．【答案】解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1=90°+45°=135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1=EM1，∠1=∠2，∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A1M1N1=180°-90°=90°．【解析】延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1=∠B1C1E=45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1=EM1，∠1=∠2，得出EM1=M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论．此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．（2019年甘肃天水25题）25．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．（2019年广东深圳23题）23．（9分）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC 为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标，F2（5，0）（直接写出）；②求的最大值．【分析】（1）连接ED，证明∠EDO＝90°即可，可通过半径相等得到∠EDB＝∠EBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO＝BO＝AO，∠ODB＝∠OBD，得证；（2）①分两种情况：a）F位于线段AB上，b）F位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标；②应用相似三角形性质和三角函数值表示出＝，令y＝CG2（64﹣CG2）＝﹣（CG2﹣32）2+322，应用二次函数最值可得到结论．【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC为圆的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠BDA＝90°∵OA＝OB∴OD＝OB＝OA∴∠OBD＝∠ODB∵EB＝ED∴∠EBD＝∠EDB∴EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB即：∠EBO＝∠EDO∵CB⊥x轴∴∠EBO＝90°∴∠EDO＝90°∵点D在⊙E上∴直线OD为⊙E的切线．（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N，∵F1N⊥AC∴∠ANF1＝∠ABC＝90°∴△ANF∽△ABC∴∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，即AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5 ∴设AN＝3k，则NF1＝4k，AF1＝5k∴CN＝CA﹣AN＝10﹣3k∴tan∠ACF＝＝＝，解得：k＝∴即F1（，0）如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M，∵△AMF2∽△ABC∴设AM＝3k，则MF2＝4k，AF2＝5k∴CM＝CA+AM＝10+3k∴tan∠ACF＝解得：∴AF2＝5k＝2OF2＝3+2＝5即F2（5，0）故答案为：F1（，0），F2（5，0）．②如图4，∵CB为直径∴∠CGB＝∠CBF＝90°∴△CBG∽△CFB∴∴BC2＝CGCFCF＝∵CG2+BG2＝BC2，∴BG2＝BC2﹣CG2∴＝＝∴＝令y＝CG2（64﹣CG2）＝﹣CG4+64CG2＝﹣[（CG2﹣32）2﹣322]＝﹣（CG2﹣32）2+322∴当CG2＝32时，此时CG＝4＝＝．【点评】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键．（2019年广东24题）24．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB 交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BCBE＝25，求BG的长．【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD ＝∠ADC，从而得证；（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD 得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；（3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BCBE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；（2）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BCBE，∴BCBE＝25，∴AB＝5，如图2，连接AG，∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，又∵∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝5．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．（2019年广东广州24题）24．（14分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上∴∠DFC＝∠C＝60°∴∠DFC＝∠A∴DF∥AB；（2）存在，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2∴DF＝2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°∴MD＝2∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6∴S最大值＝﹣（6﹣6）＝3+6（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°∵GD⊥EF，∠EFD＝60°∴FG＝1，DG＝FG＝∵BD2＝BG2+DG2，∴16＝3+（BF+1）2，∴BF＝﹣1∴BG＝∵EH⊥BC，∠C＝60°∴CH＝，EH＝HC＝EC∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°∴△BGD∽△BHE∴∴∴EC＝﹣1∴AE＝AC﹣EC＝7﹣【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．（2019年广西池州25题）25．（10分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；（2）若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．【分析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出∠ADE＝∠DBC，证明△ADE≌△DBC，即可得出结论；（2）连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，则∠OHG＝∠OHB＝90°，由切线的性质得出∠FCG＝90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF＝CG，OG＝OH，由等边三角形的性质得出∠OBH＝30°，由直角三角形的性质得出OH＝OB＝1，OG＝，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AE＝DC，∴，∴∠ADE＝∠DBC，在△ADE和△DBC中，，∴△ADE≌△DBC（AAS），∴DE＝BC；（2）解：连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，如图所示：则∠OHG＝∠OHB＝90°，∵CF与⊙O相切于点C，∴∠FCG＝90°，∵∠F＝45°，∴△CFG、△OGH是等腰直角三角形，∴CF＝CG，OG＝OH，∵AB＝BD＝DA，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠OBH＝30°，∴OH＝OB＝1，∴OG＝，∴CF＝CG＝OC+OG＝2+．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．（2019年广西贺州25题）25．（10分）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．（1）求∠ADB的度数；（2）求AC的长度．【分析】（1）由切线的性质得出AF⊥OA，由圆周角定理好已知条件得出∠F＝∠DBC，证出AF∥BC，得出OA⊥BC，求出∠BOA＝90°﹣30°＝60°，由圆周角定理即可得出结果；（2）由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，得出AB＝AC，证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE＝OB，BE＝OE＝4，求出OE＝，即可得出AC ＝AB＝OB＝2OE＝．【解答】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，∴AF⊥OA，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠F＝30°，∴∠F＝∠DBC，∴AF∥BC，∴OA⊥BC，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝30°；（2）∵OA⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝4，∴AB＝AC，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB，∵∠OBE＝30°，∴OE＝OB，BE＝OE＝4，∴OE＝，∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA⊥BC是解题的关键．（2019年广西柳州25题）25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且＝，连接FB，FD，FD交AB于点N．（1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径；（2）求证：△BNF为等腰三角形；（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ONOP＝OEOM．【解答】解：（1）如图1，连接BC，AC，AD，∵CD⊥AB，AB是直径∴，CE＝DE＝CD＝3∴∠ACD＝∠ABC，且∠AEC＝∠CEB∴△ACE∽△CEB∴∴∴BE＝9∴AB＝AE+BE＝10∴⊙O的半径为5（2）∵＝∴∠ACD＝∠ADC＝∠CDF，且DE＝DE，∠AED＝∠NED＝90°∴△ADE≌△NDE（ASA）∴∠DAN＝∠DNA，AE＝EN∵∠DAB＝∠DFB，∠AND＝∠FNB∴∠FNB＝∠DFB∴BN＝BF，∴△BNF是等腰三角形（3）如图2，连接AC，CE，CO，DO，∵MD是切线，∴MD⊥DO，∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE∴△MDO∽△DEO∴∴OD2＝OEOM∵AE＝EN，CD⊥AO∴∠ANC＝∠CAN，∴∠CAP＝∠CNO，∵∴∠AOC＝∠ABF∵CO∥BF∴∠PCO＝∠PFB∵四边形ACFB是圆内接四边形∴∠PAC＝∠PFB∴∠PAC＝∠PFB＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE ∴△CNO∽△PCO∴∴CO2＝PONO，∴ONOP＝OEOM．（2019年广西北部湾等25题）25．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．【分析】（1）先判断出∠GCB+∠CBG＝90，再由四边形ABCD是正方形，得出∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，即可得出结论；（2）设AB＝CD＝BC＝2a，先求出EA＝EB＝AB＝a，进而得出CE＝a，再求出BG＝a，CG═a，再判断出△CQD≌△BGC（AAS），进而判断出GQ＝CQ，即可得出结论；（3）先求出CH＝a，再求出DH＝a，再判断出△CHD∽△DHM，求出HM＝a，再用勾股定理求出GH＝a，最后判断出△QGH∽△GCH，得出HN＝＝a，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BGCE＝CBEB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CQD＝∠CGB＝90°，∴△CQD≌△BGC（AAS），∴CQ＝BG＝a，∴GQ＝CG﹣CQ＝a＝CQ，∵DQ＝DQ，∠CQD＝∠GQD＝90°，∴△DGQ≌△CDQ（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DH⊥CE于H，S△CDG＝DQ＝CHDG，∴CH＝＝a，在Rt△CHD中，CD＝2a，∴DH＝＝a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴，∴HM＝a，在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠QGH＝∠HCG，∴△QGH∽△GCH，∴，∴HN＝＝a，∴MN＝HM﹣HN＝a，∴＝【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△DGQ≌△CDQ是解本题的关键．（2019年广西梧州25题）25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．（1）求DE的长；（2）求证：∠1＝∠DFC．【分析】（1）由AD∥CF，AF平分∠DAC，可得∠FAC＝∠AFC，得出AC＝CF＝5，可证出△ADE∽△FCE，则，可求出DE长；（2）由△ADG∽△HBG，可求出DG，则，可得EG∥BC，则∠1＝∠AHC，根据DF∥AH，可得∠AHC＝∠DFC，结论得证．【解答】（1）解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠ACF，∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴＝＝5，∴CF＝5，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴，设DE＝x，则，解得x＝∴；（2）∵AD∥FH，AF∥DH，∴四边形ADFH是平行四边形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5，∵AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，∴，∴，∴DG＝，∵DE＝，∴＝，∴EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∠1＝∠DFC．【点评】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．（2019年广西梧州25题）25．（10分）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）已知：AB＝2，EB＝4，tan∠GEH＝2，求四边形EHFG的周长．【分析】（1）证明△ABE≌△CDF（AAS），得BE＝DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；（2）如图，连接BD，交EF于O，计算EO和BO的长，得∠OEB＝30°，根据三角函数可得HM的长，从而得EM和EH的长，利用勾股定理计算FH的长，最后根据四边的和计算结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠BEA，∵∠BAC＝∠BEA+∠ABE，∠DCA＝∠CFD+∠CDF，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵BH＝DG，∴BE+BH＝DF+DG，即EH＝GF，∵EH∥GF，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接BD，交EF于O，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴∠AOB＝90°，∵AB＝2，∴OA＝OB＝2，Rt△BOE中，EB＝4，∴∠OEB＝30°，∴EO＝2，∵OD＝OB，∠EOB＝∠DOF，∵DF∥EB，∴∠DFC＝∠BEA，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴OF＝OE＝2，∴EF＝4，∴FM＝2，EM＝6，过F作FM⊥EH于M，交EH的延长线于M，∵EG∥FH，∴∠FHM＝∠GEH，∵tan∠GEH＝tan∠FHM＝＝2，∴，∴HM＝1，∴EH＝EM﹣HM＝6﹣1＝5，FH＝＝＝，∴四边形EHFG的周长＝2EH+2FH＝2×5+2＝10+2．【点评】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角函数和全等三角形的判定等知识．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题，第二问有难度，恰当地作出辅助线是关键．（2019年广西百色25题）25．（10分）如图，已知AC、AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B、C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E、D两点，OB平分∠AOC．（1）求证：△ACD∽△ABO；（2）过点E的切线交AC于F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．[提示：（+1）（﹣1）＝1]【解答】证明：（1）∵OB平分∠AOC ∴∠BOE＝∠AOC∵OC＝OD∴∠D＝∠OCD∵∠AOC＝∠D+∠OCD∴∠D＝∠AOC∴∠D＝∠BOE，且∠A＝∠A∴△ACD∽△ABO（2）∵EF切⊙O于E∴∠OEF＝90°∵EF∥OC∴∠DOC＝∠OEF＝90°∵OC＝OD＝3∴CD＝＝3∵△ACD∽△ABO∴∴∴AE＝3∵EF∥OC∴∴∴EF＝6﹣3（2019年广西贵港26题）26．（10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB ＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题．②连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．首先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF＝PB′，推出PA+PF ＝PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．【解答】（1）①解：旋转角为105°．理由：如图1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴PA+PF的最小值为．【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．（2019年广西桂林25题）25．（10分）如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OEDC：（3）求tan∠ACD的值．【分析】（1）由切线的性质和圆周角定理可得∠ACB＝∠ABM＝90°，由角平分线的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°；（2）通过证明△EDO∽△ODC，可得，即可得结论；（3）连接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于点F，由外角的性质可得∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB，可求∠ODB＝15°＝∠OBD，由直角三角形的性质可得BD＝DF+BF＝AD+2AD，即可求tan∠ACD的值．【解答】证明：（1）∵BM是以AB为直径的⊙O的切线，∴∠ABM＝90°，∵BC平分∠ABM，∴∠ABC＝∠ABM＝45°∵AB是直径∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°∴AC＝BC∴△ACB是等腰直角三角形；（2）如图，连接OD，OC∵DE＝EO，DO＝CO∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD∴∠EDO＝∠EDO，∠EOD＝∠OCD∴△EDO∽△ODC∴∴OD2＝DEDC∴OA2＝DEDC＝EODC（2）如图，连接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于点F，∵DO＝BO∴∠ODB＝∠OBD，∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO，∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB，∴∠ODB＝15°＝∠OBD∵∠BAF＝∠DBA＝15°∴AF＝BF，∠AFD＝30°∵AB是直径∴∠ADB＝90°∴AF＝2AD，DF＝AD∴BD＝DF+BF＝AD+2AD∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝＝2﹣【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．（2019年贵州毕节10题）10．（4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm2【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB＝＝3x，∴3x＝30，解得x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×6×12﹣（4）2＝100（cm2）．故选：D．（2019年贵州安顺25题）25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E 两点，过点D作DH⊥AC于点H．（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：H为CE的中点；（3）若BC＝10，cos C＝，求AE的长．【分析】（1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则根据等腰三角形的性质得BD＝CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；（2）连结DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DEC＝∠B，再证明∠DEC＝∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH＝EH；（3）利用余弦的定义，在Rt△ADC中可计算出AC＝5，在Rt△CDH中可计算出CH＝，则CE＝2CH＝2，然后计算AC﹣CE即可得到AE的长．【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：连结OD、AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，而AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为⊙O的切线；（2）证明：连结DE，如图，∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠DEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴CH＝EH，即H为CE的中点；（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，∵cos C＝＝，∴AC＝5，在Rt△CDH中，∵cos C＝＝，∴CH＝，∴CE＝2CH＝2，∴AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理和等腰三角形的判定与性质；会利用三角函数的定义解直角三角形．（2019年贵州贵阳25题）25．（12分）（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．【分析】数学理解：（1）由等腰直角三角形的性质可得AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC，由正方形的性质可得DE＝DF＝CE，∠DFC＝∠DEC＝90°，可求AF＝DF＝CE，即可得AB＝（AF+BE）；。

2019年安徽中考数学试卷-含解析

2019年安徽省中考学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、在—2，—1，0，1这四个数中，最小的数是（）A、—2B、—1 C.、0 D、12、计算a3·(—a)的结果是（）A、a2B、—a2C、a4D、—a43、一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）4、2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学计数法表示为（）A、1.61×109B、1.61×1010C、1.61×1011D、1.61×10125、已知点A（1，—3）关于x轴的对称点A/在反比例函数kyx的图像上，则实数k的值为（）A、3B、13C、—3 D、－136、在某时段有50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（）A、60B、50C、40D、157、如图，在R t△ABC中，∠ACB=900，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，E F⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于G，若EF=EG，则CD的长为（）A、3.6B、4C、4.8D、58、据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6﹪，假设国内生产总值增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份为（）A、2019年B、2020年C、2021年D、2022年9、已知三个实数a，b，c满足a-2b+c=0，a+2b+c<0，则（）A、b＞0，b2-a c≤0B、b＜0，b2-a c≤0C、b＞0，b2-a c≥0D、b＜0，b2-a c≥010、如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P 正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P个数是（）A、0B、4C、6D、8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11182的结果是.12、命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为.13、如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30O，∠CBA＝45O，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 .14、在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax 的图像交于P，Q两点，若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a 的取值范围是.三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15、解方程（x—1）2=4.16、如图，在边长为1的单位长度的小正方形组的12×12风格中，给出了以格点（风格线的交点）为端点的线段AB。

2019年安徽省中考数学试卷以及解析版

2019年安徽省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A ，B ，C ，D 四个选项，其中只有一个是正确的．1．（4分）在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．12．（4分）计算a 3?（﹣a ）的结果是（）A ．a2B ．﹣a2C ．a4D ．﹣a43．（4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．4．（4分）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为（）A ．1.61×109B ．1.61×1010C ．1.61×1011D ．1.61×10125．（4分）已知点A （1，﹣3）关于x 轴的对称点A'在反比例函数y ＝的图象上，则实数k的值为（）A ．3B ．C ．﹣3D ．﹣6．（4分）在某时段有50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h ）为（）A ．60B ．50C ．40D ．157．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝12，点D 在边BC 上，点E 在线段AD 上，EF ⊥AC 于点F ，EG ⊥EF 交AB 于点G ．若EF ＝EG ，则CD 的长为（）A ．3.6B ．4C ．4.8D ．58．（4分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长 6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）A ．2019年B ．2020年C ．2021年D ．2022年9．（4分）已知三个实数a ，b ，c 满足a ﹣2b+c ＝0，a+2b+c ＜0，则（）A ．b ＞0，b 2﹣ac ≤0B ．b ＜0，b 2﹣ac ≤0C ．b ＞0，b 2﹣ac ≥0D ．b ＜0，b 2﹣ac ≥010．（4分）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝12，点P 在正方形的边上，则满足PE+PF ＝9的点P 的个数是（）A ．0B ．4C ．6D ．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）计算÷的结果是．12．（5分）命题“如果a+b ＝0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为．13．（5分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为．14．（5分）在平面直角坐标系中，垂直于x 轴的直线l 分别与函数y ＝x ﹣a+1和y ＝x 2﹣2ax 的图象相交于P ，Q 两点．若平移直线l ，可以使P ，Q 都在x 轴的下方，则实数a 的取值范围是．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）解方程：（x ﹣1）2＝4．16．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB ．（1）将线段AB 向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD ，请画出线段CD ．（2）以线段CD 为一边，作一个菱形CDEF ，且点E ，F 也为格点．（作出一个菱形即可）四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？18．（8分）观察以下等式：第1个等式：＝+，第2个等式：＝+，第3个等式：＝+，第4个等式：＝+，第5个等式：＝+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O 为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）20．（10分）如图，点E在?ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设?ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．六、（本题满分12分）21．（12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格：编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩?????尺寸（cm）8.728.888.928.938.948.968.978.98a9.039.049.069.079.08b按照生产标准，产品等次规定如下：尺寸（单位：cm）产品等次8.97≤x≤9.03特等品8.95≤x≤9.05优等品8.90≤x≤9.10合格品x＜8.90或x＞9.10非合格品注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内．（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为?的产品是否为合格品，并说明理由．（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm．（i）求a的值；（ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．七、（本题满分12分）22．（12分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax 2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W 的最小值．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB ＝∠BPC＝135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2?h3．2019年安徽省中考数学试卷答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的．1．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣2＜﹣1＜0＜1，∴在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是﹣2．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．【解答】解：a3?（﹣a）＝﹣a3?a＝﹣a4．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．3．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：几何体的俯视图是：故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：根据题意161亿用科学记数法表示为 1.61×1010 ．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入y＝中即可得到k的值．【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．6．【分析】根据中位数的定义求解可得．【解答】解：由条形图知，车速40km/h的车辆有15辆，为最多，所以众数为40，故选：C．【点评】本题主要考查众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键．7．【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决．【解答】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴，∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EFA＝∠C＝90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴，∴，∵EG＝EF，∴DH＝CD，设DH＝x，则CD＝x，∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12﹣x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴，即，解得，x＝4，∴CD＝4，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．8．【分析】根据题意分别求出2019年全年国内生产总值、2020年全年国内生产总值，得到答案．【解答】解：2019年全年国内生产总值为：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（万亿），2020年全年国内生产总值为：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（万亿），∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年，故选：B．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则、正确列出算式是解题的关键．9．【分析】根据a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2﹣ac的正负情况，本题得以解决．【解答】解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，∴a+c＝2b，b＝，∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，∴b＜0，∴b2﹣ac＝＝﹣ac＝＝≥0，即b＜0，b2﹣ac≥0，故选：D．【点评】本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出b和b2﹣ac的正负情况．10．【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，FC＝4＝AE，∵点M与点F关于BC对称∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°∴∠ACM＝90°∴EM＝＝4则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF∴△ABE≌△CBF（SAS）∴BE＝BF＝2∴PE+PF＝4∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．即共有8个点P满足PE+PF＝9，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E 和点F的距离之和最小是本题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：．故答案为：3【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．12．【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．13．【分析】连接CO，OB，则∠O＝2∠A＝60°，得到△BOC是等边三角形，求得BC＝2，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接CO，OB，则∠O＝2∠A＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∵⊙O的半径为2，∴BC＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14．【分析】令y＝x﹣a+1＜0，x＜﹣1+a；当a＞0时，x＜﹣1+a与0＜x＜2a有解，则a＞1；当a＜0时，x＜﹣1+a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞2a，则a＜﹣1；即可求解．【解答】解：∵平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，令y＝x﹣a+1＜0，∴x＜﹣1+a，令y＝x2﹣2ax＜0，当a＞0时，0＜x＜2a；当a＜0时，2a＜x＜0；①当a＞0时，x＜﹣1+a与0＜x＜2a有解，则a＞1，②当a＜0时，x＜﹣1+a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞2a，则a＜﹣1；∴a＜﹣1；故答案为a＜﹣1或则a＞1；【点评】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质以及函数与不等式的关系；数形结合的分析问题，将问题转化为不等式的解是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．【点评】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．16．【分析】（1）直接利用平移的性质得出C，D点位置，进而得出答案；（2）直接利用菱形的判定方法进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；（2）如图：菱形CDEF即为所求，答案不唯一．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平移变换，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，解得x＝7，所以乙工程队每天掘进5米，（天）答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．18．【分析】（1）根据已知等式即可得；（2）根据已知等式得出规律，再利用分式的混合运算法则验证即可．【解答】解：（1）第6个等式为：，故答案为：；（2）证明：∵右边＝＝左边．∴等式成立，故答案为：．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出的规律，并熟练加以运用．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．【分析】连接CO并延长，与AB交于点D，由CD与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出OA，进而求出OD，由CO+OD求出CD的长即可．【解答】解：连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3（米），在Rt△AOD中，∠OAB＝41.3°，∴cos41.3°＝，即OA＝＝＝4（米），tan41.3°＝，即OD＝AD?tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米），则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．20．【分析】（1）根据ASA证明：△BCE≌△ADF；（2）根据点E在?ABCD内部，可知：S△BEC+S△AED＝S?ABCD，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，∵，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）∵点E在?ABCD内部，∴S△BEC+S△AED＝S?ABCD，由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S?ABCD，∵?ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，∴＝＝2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．六、（本题满分12分）21．【分析】（1）由15×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3个，给出的数据只有①②两个不合格可得答案；（2）（i）由可得答案；（ii）由特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）不合格．因为15×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3个，给出的数据只有①②两个不合格；（2）（i）优等品有⑥～?，中位数在⑧8.98，⑨a之间，∴，解得a＝9.02（ii）大于9cm的有⑨⑩？，小于9cm的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩画树状图为：共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种．∴抽到两种产品都是特等品的概率P＝．【点评】本题考查的是利用树状图求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．七、（本题满分12分）22．【分析】（1）由交点为（1，2），代入y＝kx+4，可求得k，由y＝ax 2+c可知，二次函数的顶点在y轴上，即x＝0，则可求得顶点的坐标，从而可求c值，最后可求a的值（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0，可求x的值，再利用根与系数的关系式，即可求解．【解答】解：（1）由题意得，k+4＝2，解得k＝﹣2，又∵二次函数顶点为（0，4），∴c＝4把（1，2）带入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，∴W＝OA2+BC2＝∴当m＝1时，W取得最小值7【点评】此题主要考查二次函数的性质及一次函数与二次函数图象的交点问题，此类问题，通常转化为一元二次方程，再利用根的判别式，根与系数的关系进行解答即可．八、（本题满分14分）23．【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△P AB∽△PBC，判断出，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠P AB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠P AB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△P AB∽△PBC（2）∵△PAB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∴∴P A＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△P AB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2?h3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP ＝∠PCD是解本题的关键．。

安徽省2019年中考数学真题试题(含解析)含答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的．1．（4分）在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12．（4分）计算a3•（﹣a）的结果是（）A．a2 B．﹣a2C．a4D．﹣a43．（4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）A．B．C．D．4．（4分）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为（）A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×10125．（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（）A．3 B．C．﹣3 D．﹣6．（4分）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（）A．60 B．50 C．40 D．157．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF ⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．58．（4分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）A．2019年B．2020年C．2021年D．2022年9．（4分）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥010．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）A．0 B．4 C．6 D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）计算÷的结果是．12．（5分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为．13．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．14．（5分）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）解方程：（x﹣1）2＝4．16．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB．（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD．（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可）四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？18．（8分）观察以下等式：第1个等式：＝+，第2个等式：＝+，第3个等式：＝+，第4个等式：＝+，第5个等式：＝+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）20．（10分）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．六、（本题满分12分）21．（12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮尺寸8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 a9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b（cm）按照生产标准，产品等次规定如下：尺寸（单位：cm）产品等次8.97≤x≤9.03 特等品8.95≤x≤9.05 优等品8.90≤x≤9.10 合格品x＜8.90或x＞9.10 非合格品注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内．（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm．（i）求a的值；（ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．七、（本题满分12分）22．（12分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．2019年安徽省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的．1．（4分）在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣2＜﹣1＜0＜1，∴在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是﹣2．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．（4分）计算a3•（﹣a）的结果是（）A．a2 B．﹣a2C．a4D．﹣a4【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．【解答】解：a3•（﹣a）＝﹣a3•a＝﹣a4．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．3．（4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：几何体的俯视图是：故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图．4．（4分）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为（）A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：根据题意161亿用科学记数法表示为1.61×1010 ．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（）A．3 B．C．﹣3 D．﹣【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入y＝中即可得到k的值．【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．6．（4分）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（）A．60 B．50 C．40 D．15【分析】根据中位数的定义求解可得．【解答】解：由条形图知，50个数据的中位数为第25、26个数据的平均数，即中位数为＝＝40，故选：C．【点评】本题主要考查众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键．7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF ⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决．【解答】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴，∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EFA＝∠C＝90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴，∴，∵EG＝EF，∴DH＝CD，设DH＝x，则CD＝x，∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12﹣x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴，即，解得，x＝4，∴CD＝4，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．8．（4分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）A．2019年B．2020年C．2021年D．2022年【分析】根据题意分别求出2019年全年国内生产总值、2020年全年国内生产总值，得到答案．【解答】解：2019年全年国内生产总值为：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（万亿），2020年全年国内生产总值为：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（万亿），∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年，故选：B．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则、正确列出算式是解题的关键．9．（4分）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0【分析】根据a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2﹣ac 的正负情况，本题得以解决．【解答】解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，∴a+c＝2b，b＝，∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，∴b＜0，∴b2﹣ac＝＝﹣ac＝＝≥0，即b＜0，b2﹣ac≥0，故选：D．【点评】本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出b和b2﹣ac 的正负情况．10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）A．0 B．4 C．6 D．8【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，可得点N到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，FC＝4，∵点M与点F关于BC对称∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°∴∠ACM＝90°∴EM＝＝4则在线段BC存在点N到点E和点F的距离之和最小为4＜9∴在线段BC上点N的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．即共有8个点P满足PE+PF＝9，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点N使点N到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）计算÷的结果是 3 ．【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：．故答案为：3【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．12．（5分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为如果a，b互为相反数，那么a+b ＝0 ．【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．13．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．【分析】连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，∵⊙O的半径为2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是a＞1或a＜﹣1 ．【分析】由y＝x﹣a+1与x轴的交点为（1﹣a，0），可知当P，Q都在x轴的下方时，x直线l与x轴的交点要在（1﹣a，0）的左侧，即可求解；【解答】解：y＝x﹣a+1与x轴的交点为（1﹣a，0），∵平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，∴当x＝1﹣a时，y＝（1﹣a）2﹣2a（1﹣a）＜0，∴a2﹣1＞0，∴a＞1或a＜﹣1；故答案为a＞1或a＜﹣1；【点评】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；数形结合的分析问题，将问题转化为当x＝1﹣a时，二次函数y＜0是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）解方程：（x﹣1）2＝4．【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．【点评】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a （x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．16．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB．（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD．（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可）【分析】（1）直接利用平移的性质得出C，D点位置，进而得出答案；（2）直接利用菱形的判定方法进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；（2）如图：菱形CDEF即为所求，答案不唯一．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平移变换，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，解得x＝7，所以乙工程队每天掘进5米，（天）答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．18．（8分）观察以下等式：第1个等式：＝+，第2个等式：＝+，第3个等式：＝+，第4个等式：＝+，第5个等式：＝+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【分析】（1）根据已知等式即可得；（2）根据已知等式得出规律，再利用分式的混合运算法则验证即可．【解答】解：（1）第6个等式为：，故答案为：；（2）证明：∵右边＝＝左边．∴等式成立，故答案为：．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出的规律，并熟练加以运用．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）【分析】连接CO并延长，与AB交于点D，由CD与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出OA，进而求出OD，由CO+OD求出CD的长即可．【解答】解：连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3（米），在Rt△AOD中，∠OAB＝41.3°，∴cos41.3°＝，即OA＝＝＝4（米），tan41.3°＝，即OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米），则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．20．（10分）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．【分析】（1）根据ASA证明：△BCE≌△ADF；（2）根据点E在▱ABCD内部，可知：S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EAB+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，∵，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）∵点E在▱ABCD内部，∴S△BEC+S△AED ＝S▱ABCD，由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED ＝S▱ABCD，∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，∴＝＝2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．六、（本题满分12分）21．（12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 a9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b尺寸（cm）按照生产标准，产品等次规定如下：尺寸（单位：cm）产品等次8.97≤x≤9.03 特等品8.95≤x≤9.05 优等品8.90≤x≤9.10 合格品x＜8.90或x＞9.10 非合格品注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内．（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm．（i）求a的值；（ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．【分析】（1）由15×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3个，给出的数据只有①②两个不合格可得答案；（2）（i）由可得答案；（ii）由特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）不合格．因为15×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3个，给出的数据只有①②两个不合格；（2）（i）优等品有⑥～⑪，中位数在⑧8.98，⑨a之间，∴，解得a＝9.02（ii）大于9cm的有⑨⑩⑪，小于9cm的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩画树状图为：共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种．∴抽到两种产品都是特等品的概率P＝．【点评】本题考查的是利用树状图求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．七、（本题满分12分）22．（12分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．【分析】（1）由交点为（1，2），代入y＝kx+4，可求得k，由y＝ax2+c可知，二次函数的顶点在y 轴上，即x＝0，则可求得顶点的坐标，从而可求c值，最后可求a的值（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0，可求x的值，再利用根与系数的关系式，即可求解．【解答】解：（1）由题意得，k+4＝﹣2，解得k＝﹣2，又∵二次函数顶点为（0，4），∴c＝4把（1，2）带入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，∴W＝OA2+BC2＝∴当m＝1时，W取得最小值7【点评】此题主要考查二次函数的性质及一次函数与二次函数图象的交点问题，此类问题，通常转化为一元二次方程，再利用根的判别式，根与系数的关系进行解答即可．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判断出，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠PAB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠PAB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC（2）∵△PAB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∴∴PA＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△PAB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2•h3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．。

2019安徽中考数学真题及答案(电子版可修改)

2019安徽中考数学真题及答案（电子版）一、选择题。

（40分）1.在-2，-1，0，1这四个数中，最小的数是（）A.-2B.-1C.0D.12.计算()a a -∙3的结果是（）A.2aB.2a -C.4aD.4a -3.一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）4.2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元。

其中161亿用科学记数法表示为（）A. 91061.1⨯B.101061.1⨯C.111061.1⨯D.121061.1⨯5. 已知点A （1，-3）关于x 轴对称点A ，在反比例函数xk y =的图像上，则实数k 的值为（） A.3B.31C.-3D.31-6. 在某时段有50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h ）为（）A.60B.50C.40D.157. 如图，在△ABC 中，∠ACB=900，AC=6,BC=12,点D 在边BC 上，点E 在线段AD 上，A.3.6B.4C.4.8D.58. 据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%。

假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份为（）A.2019年B.2020年C.2021年D.2022年9. 已知三个实数a,b,c 满足02,02<++=+-c b a c b a ，则（）A. 0,02≤->ac b bB.0,02≤-<ac b bC.0,02≥->ac b bD.0,02≥-<ac b b10. 如图，在正方形ABCD 中，点E,F 将对角线AC 三等分，且AC=12，点P 在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P 的个数是（）A.0B.4C.6D.8二、填空题（共20分）11. 计算218+的结果是_______________。

2019中考数学几何证明专题试卷精选汇编(有解析答案)

1几何证明东城区19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF .19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分 ∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分 ∵∠DEB =∠FEA ， ∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF . -------------------5分西城区19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <．（1）求证：DE AC ∥．（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．2 EDCBA【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ， ∴90ADB ∠=︒， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =，2ABDE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥．（2）ADE △．321EDCBA海淀区19．如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．3FE DCB A19. 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. …………… ∵DC EF ∥，∴CBF DCB ∠=∠.∴CBF ABC ∠=∠. ∴BC 平分ABF ∠. 丰台区19．如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：DE = DF ．F DE CBA19．证明：连接AD .∵AB ＝BC ，D 是BC 边上的中点，∴∠BAD =∠CAD . ………………………3分 ∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，ABCE DF4 ∴DE ＝DF ． ………………………5分（其他证法相应给分）石景山区19．问题将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.O H GFE DCB A（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ；（2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ；（3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ；（4）在DA 边上取点H ，使DH = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .19．解：3，2，1； ………………2分EB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分朝阳区19. 如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.求证：∠DAB =∠ACE.19. 证明：∵AC ＝BC ，CE 为△ACB 的中线，∴∠CAB ＝∠B ，CE ⊥AB . ……………………………………………2分 ∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°. ………………………………………………3分 ∵AD 为△ACB 的高线， ∴∠D ＝90°.∴∠DAB ＋∠B ＝90°. ……………………………………………………4分∴∠DAB＝∠ACE. ………………………………………………………5分燕山区19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。

安徽2019中考数学试题word及答案

安徽2019中考数学试题word及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a=2，b=-3，则a+b的值为：A. 5B. -1C. 1D. -52. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y=ax^2+bx+cB. y=ax^2+bxC. y=ax+bD. y=a(x+b)(x+c)3. 一个圆的半径为5，其面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 绝对值等于5的数是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是5. 一个三角形的内角和是多少度？A. 90度B. 180度C. 360度D. 720度6. 若x=2是方程2x-3=1的解，则x的值是：A. 1B. 2C. 3D. 47. 函数y=2x+3的图象经过第几象限？A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限8. 一个等腰三角形的底角为70度，其顶角为：A. 40度B. 70度C. 80度D. 90度9. 一个数的相反数是-5，这个数是：A. 5B. -5C. 0D. 1010. 一个数的平方是25，这个数是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 0二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的立方是-8，则这个数是______。

12. 一个等差数列的首项是3，公差是2，其第五项是______。

13. 一个直角三角形的两直角边长分别是3和4，斜边长是______。

14. 一个正方体的体积是64立方厘米，其棱长是______厘米。

15. 一个圆的周长是2πr，其中r是半径，若周长为12π，则半径r 是______。

三、解答题（每题10分，共40分）16. 解方程：3x-5=2x+7。

17. 证明：若a^2+b^2=0，则a=0且b=0。

18. 计算：(3x^2-2x+1)-(2x^2+5x-3)。

19. 已知一个直角三角形的两直角边长分别是6和8，求斜边长和三角形的面积。

2019安徽初中数学中考07 专题七

专题七几何图形综合题类型一与全等三角形有关的探究(2014·安徽)如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P点作PM∥AB交AF于点M，作PN∥CD交DE于点N.(1)①∠MPN＝________°；②求证：PM＋PN＝3a；(2)如图2，点O是AD的中点，连接OM，ON.求证：OM＝ON；(3)如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．例1题图【分析】(1)①∵正六边形的每个内角均为120°，且PM∥AB，PN∥CD，∴∠BPM＝∠CPN＝60°，问题解决：②作A G⊥MP交MP于点G，作B H⊥MP交MP 于点H，作D K⊥NP交NP于点K，作C L⊥NP交NP于点L，得GH＝AB＝a，KL＝CD＝a，再利用正六边形内角的关系和性质可求出HP＋PL和MG＋KN的值，再根据PM＋PN＝MG＋GH＋HP＋PL＋LK＋KN计算PM＋PN的值即可证明；(2)根据题意，先证明△O A M≌△OEN，即可证得OM＝ON；(3)先证明△GOE≌△NO D得OG＝ON，再证明△GON和△OMG是等边三角形，得到OM＝MG＝GN＝NO，即可得到四边形OMGN是菱形．【自主解答】【方法点拨】本题是压轴题，综合性较强，每个小问都需作出辅助线，然后利用数形结合、转化思想进行求解，如(1)中的②，将证明PM＋PN＝3a转化为AB ＋CD＋GM＋PH＋PL＋NK＝3a，(3)中将问题转化为证明△MGO与△NGO都为等边三角形，对学生的思维能力要求较高．【难点突破】本题的难点是第(3)问，突破口是作辅助线OE，既可利用(2)的结论及已知推出∠MON＝120°，又可以证明△GOE≌△NO D达到证明OG＝ON的目的，从而使问题解决．1．(2018·阜新)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)如图1，点E，F在AB，AC上，且∠E DF＝90°.求证：BE＝AF；(2)点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°.①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB＋AN＝2AM；②当点M在点A，D之间，且∠AMN＝30°时，已知AB＝2，直接写出线段AM的长．第1题图2．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等边△ADE(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE.(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CE；②AC＝CE＋CD；(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．第2题图3．(2018·长春)在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C、D重合)，连接BE.【感知】如图1，过点A作A F⊥BE交BC于点F，易证△AB F≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.(1)求证：BE＝FG.(2)连接CM.若CM＝1，则FG的长为______．【应用】如图3，取BE的中点M，连接CM.过点C作C G⊥BE交AD于点G，连接EG、MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为______．第3题图类型二与相似三角形有关的探究(2012·安徽)如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC＝a、AC＝b、AB＝c.例2题图(1)求线段BG的长；(2)求证：DG平分∠E DF；(3)连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：B G⊥CG.【分析】 (1)根据△BDG与四边形ACDG的周长相等和D是BC的中点，可知BG ＝AC＋AG.根据等量代换即可求得BG的长．(2)由题可知DF、BF的长，根据等边对等角的性质，可知∠F DG＝∠FG D，由三角形中位线定理可知D E∥AB，根据角的基本运算和角平分线的定义即可得证．(3)根据相似三角形对应角相等的性质和等量代换，可知∠FG D＝∠B，根据等角对等边的性质的等量代换，可知DG＝BD＝CD，根据圆内接三角形的性质，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆上，根据直径所对的圆周角是直角的性质即可证得B G⊥CG.【自主解答】【方法点拨】本题中涉及线段长度的求解有两个思路：一是直接求；二是通过等量代换来求．而证明角平分线常用到角平分线定义或判定定理，证明两直线垂直常用到勾股定理或圆中直径所对的圆周角是直角的性质．【难点突破】结合图形可以发现如果B G⊥CG，则B、G、C三点共圆，故只需证明DG＝BD＝CD即可突破难点．1．(2018·芜湖繁昌县一模)如图1，点D为正△ABC的BC边上一点(D不与点B，C重合)．点E、F分别在边AB、AC上，且∠E DF＝∠B.(1)求证：△BD E∽△CFD；(2)设BD＝a，CD＝b，△BDE的面积为S1，△CDF的面积为S2，求S1·S2(用含a，b的式子表示)；(3)如图2，若点D为BC边的中点，求证：DF2＝EF·F C.2．(2018·安庆二模)在△ABC中．∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点C为等边△DEF 的边DE 的中点．(1)如图1，当DE 与BC 在一条直线上时，已知CF AF ＝12，求EDDB的值；(2)如图2.当DE 与AC 在同一条直线上时，分别连接AF ，BD ，试判断BD 和AF 的位置关系并说明理由；(3)如图3，当DE 与△ABC 的边均不在一条直线上时，分别连接AF ，BD.求证：∠F AC ＝∠CBD.第2题图3．(2018·枣庄)如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边上的点E 处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．第3题图4．(2018·咸宁)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等．．．)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．第4题图理解：(1)如图1，已知Rt△ABC，在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺．．．．．．在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹，找出3个即可)；(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：(3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG，若△EFG的面积为23，求FH的长．类型三与全等和相似三角形有关的探究(2017·安徽)已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．(1)如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.①求证：BE＝CF；②求证：BE2＝BC·CE.例3题图【分析】(1)①由互余及等量代换可证∠BAE＝∠CBF，再证明△AB E≌△BCF即可得出结论，②由已知先证∠G AM＝∠AGM，再证△C GE∽△CBG，可推CG2＝BC·CE，结合①下面只需证明CF＝CG，BE＝CG.【自主解答】(2)如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．【分析】 (2)两个思路：一是延长AE，DC交于点N，先证△C EN∽△BEA，可得B E·CN ＝AB ·CE ，再证FC ＝CN ＝BE ，令BE ＝x ，BC ＝1，根据BE 2＝BC ·CE 求出x ，而tan ∠CBF ＝CF BC ＝BEBC ＝BE 即可求；二是作GN∥BC ，令BE ＝x ，BC ＝1，根据BE 2＝BC ·CE 求出x ，再令MN ＝y ，易得GN ＝2y ，由GN BE ＝AN AB 可求y ，从而GM ＝12＝MA ＝MB ，说明G 点在以AB 为直径的圆上，∴∠AGB ＝90°，由(1)知BE ＝CF ，∴tan ∠CBF ＝CF BC ＝BEBC ＝BE 即可求．【自主解答】【方法指导】本题以正方形为载体，往往要用到正方形的直角及边的平行且相等，从而可以应用三角形全等及三角形相似的判定与性质．注意，在这样的压轴题中往往需要作辅助线才可以用上全等或相似．【难点突破】证明BE ＝CF 是本题的关键，第(2)问的突破口是作辅助线并利用相似三角形的性质和M是AB的中点．1．(2018·安徽)如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，D E⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.(1)求证：CM＝EM；(2)若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；(3)如图2，若△DA E≌△CEM，点N为CM的中点，求证：A N∥EM.2．(2018·庐阳区一模)已知四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC平分∠DAB，过点C作C E⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，连接DF.(1)求证：CD＝CF；(2)连接DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC；(3)若点H 为线段DG 上一点，连接AH ，若∠ADC ＝2∠H AG ，AD ＝3，DC ＝2，求FGGH 的值．第2题图3．(2018·海南)已知，如图1，在▱ABCD 中，点 E 是AB 中点，连接DE 并延长，交CB 的延长线于点 F. (1)求证：△AD E≌△BFE ；(2)如图2，点G 是边BC 上任意一点(点G 不与点B 、C 重合)，连接AG 交DF 于点H ，连接HC ，过点A 作A K∥H C ，交DF 于点K.①求证：HC＝2AK；②当点G是边BC中点时，恰有 HD＝n·HK(n为正整数)，求n的值．第3题图4．(2018·禹会区二模)如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF 与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G.(1)求证：△D OK≌△BOG；(2)求证：AB＋AK＝BG；(3)如图2，若KD＝KG＝2，点P是线段KD上的动点(不与点D、K重合)，PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD＝x，S△PMN＝y，求出y与x的函数关系式．第4题图5．(2018·瑶海区三模)如图1，点O为正方形ABCD的中心，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△E BF的周长等于BC的长．(1)求∠EOF的度数；(2)连接OA、OC(如图2)．求证：△A OE∽△CFO；(3)若OE＝52OF，求AECF的值．第5题图6．(2018·资阳)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD＝CM，D E⊥AB于点E，连接AD、CD.(1)求证：△ME D∽△BCA；(2)求证：△AMD≌△CMD；(3)设△M DE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2＝175S1时，求cos∠ABC的值．第6题图参考答案类型一【例1】 (1)①解：60；②证明：如解图1，作AG⊥MP 交MP 于点G ，作BH⊥MP 交MP 于点H ，作DK⊥NP 交NP 于点K ，作CL⊥NP 交NP 于点L ，PM ＋PN ＝MG ＋GH ＋HP ＋PL ＋LK ＋KN ， ∵正六边形各个角都等于120°，且PM∥AB，PN∥CD， ∴GH＝AB ＝a ，KL ＝CD ＝a ，且∠BPM＝∠CPN＝60°， ∴HP＝BP·cos 60°＝12BP ，PL ＝PC·cos 60°＝12PC ，∴HP＋PL ＝12(BP ＋PC)＝a2，∵六边形ABCDEF 是正六边形，且PM∥AB，PN∥CD，∴四边形ABPM 和四边形CDNP 均为等腰梯形，根据等腰梯形的性质MG ＝HP ，KN ＝LP ，∴MG＋KN ＝HP ＋LP ＝a2，∴PM＋PN ＝MG ＋GH ＋HP ＋PL ＋LK ＋KN ＝a ＋a ＋a 2＋a2＝3a.例1题解图(2)证明：如解图2，连接OE ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，且PM∥AB，PN∥CD，则可得四边形ABPM 和四边形CDNP 为等腰梯形，则AM ＝BP ，CP ＝ND ，又∵BC＝ED ，则AM ＝BP ＝EN ， ∵点O 是AD 的中点，∴OA＝OE ，∠OAM＝∠OEN＝60°，在△OAM 和△OEN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝EN ，∠OAM＝∠OEN，OA ＝OE ，∴△OAM≌△OEN(SAS )．∴OM＝ON ； (3)解：四边形OMGN 是菱形，理由如下：如解图3，连接OE ，由(2)得△OAM≌△OEN，∴∠AOM＝∠EON， ∵EF∥AD，AF∥OE，∴四边形AOEF 是平行四边形， ∵∠F＝120°，∴∠AOE＝120°，∠DOE＝60°，∵∠AOM＝∠EON，∴∠MON＝120°， ∵OG 平分∠MON，∴∠GON＝∠MOG＝60°， ∵∠GOE＝∠GON－∠EON＝60°－∠EON， ∠NOD＝∠DOE－∠EON＝60°－∠EON， ∴∠GOE＝∠NOD，在△GOE 和△NOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GOE＝∠NOD OE ＝OD∠OEG＝∠ODN， ∴△GOE≌△NOD(ASA )，∴OG＝ON ，∵∠GON＝60°，∴△GON 是等边三角形，∴GN ＝ON ， ∵OM＝ON ，∴OM＝OG ，∵∠MOG＝60°，∴△OMG 是等边三角形， ∴OM＝MG ＝GN ＝NO ， ∴四边形OMGN 是菱形．针对训练1．证明：(1)∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，∴∠B＝∠C＝45°， ∵AD⊥BC，∴BD＝CD ，∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠CAD＝∠B，AD ＝BD ， ∵∠EDF＝∠BDA＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF(ASA )， ∴BE＝AF ；第1题解图(2)①证明：如解图，过点M 作MP⊥AM，交AB 的延长线于点P ， ∴∠AMP＝90°，∵∠PAM＝45°， ∴∠P＝∠PAM＝45°， ∴AM＝PM ，∵∠BMN＝∠AMP＝90°， ∴∠BMP＝∠AMN，∵∠DAC＝∠P＝45°，∴△AMN≌△PMB(ASA )， ∴AN＝PB ，∴AP＝AB ＋BP ＝AB ＋AN ，在Rt △AMP 中，∠AMP＝90°，AM ＝MP ， ∴AP＝2AM ，∴AB＋AN ＝2AM ； ②解：AM ＝2－63.2．解：(1)∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD＝∠CAE AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS )，∴BD＝CE. ∵BC＝BD ＋CD ，AC ＝BC ，∴AC＝CE ＋CD ；(2)AC ＝CE ＋CD 不成立，AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系是：AC ＝CE －CD. 理由：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC ＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD＝∠CAE AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS )，∴BD＝CE ， ∴C E －CD ＝BD －CD ＝BC ＝AC ， ∴AC＝CE －CD ； (3)补全图形(如解图)，第3题解图AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系是：AC ＝CD －CE. 理由：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS )，∴BD＝CE. ∵BC＝CD －BD ， ∴AC＝CD －CE.3．【探究】(1)证明：如解图，过点A 作AH∥GF，交BC 于点H ，则AH ＝FG ，第3题解图∵FG⊥BE，∴AH⊥BE， ∴∠ABE＋∠BAH＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC＝∠BCE＝90°，AB ＝BC ， ∴∠ABE＋∠EBC＝90°， ∴∠BAH＝∠EBC. 在△ABH 和△BCE 中，∵∠BAH＝∠EBC，AB ＝BC ，∠ABC＝∠BCE， ∴△ABH≌△BCE(ASA )，∴AH＝BE. 又∵AH＝FG ，∴BE＝FG ； (2)解：FG ＝2. 【应用】S 四边形CEGM ＝9. 类型二【例2】 (1)∵△BDG 与四边形ACDG 的周长相等， ∴BD＋BG ＋DG ＝AC ＋CD ＋DG ＋AG.∵D 是BC 的中点，∴BD＝CD ，则BG ＝AC ＋AG ， ∵BG＋AG ＝AB ，∴BG＝AC ＋AB －BG ，即BG ＝12(AB ＋AC)＝12(b ＋c)；(2)∵点D 、F 分别是BC 、AB 的中点， ∴DF＝12AC ＝12b ，BF ＝12AB ＝12c.∵FG＝BG －BF ＝12(b ＋c)－12c ＝12b ，∴DF＝FG ，则∠FDG＝∠FGD， ∵点D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴DE∥AB，故∠EDG＝∠FGD， ∴∠FDG＝∠EDG，即DG 平分∠EDF； (3)当△BDG∽△DFG 时，则∠B＝∠FDG，由FD ＝FG ＝12b 可得∠FDG＝∠FGD，∴∠FGD＝∠B，故DG ＝BD. ∵BD＝CD ，BD ＝GD ，∴DG＝BD ＝CD ，则B 、G 、C 三点在以D 为圆心、BC 为直径的圆上，故∠BGC＝90°，即BG⊥CG. 针对训练1．(1)证明：在△BDE 中，∠BDE＋∠DEB＋∠B＝180°，又∵∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∴∠BDE＋∠DEB＋∠B＝∠BDE＋∠EDF＋∠FDC ， ∵∠EDF＝∠B，∴∠DEB＝∠FDC，又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD；第1题解图(2)解：分别过E ，F 作EG⊥BC 于点G ，FH⊥BC 于点H ，如解图， S 1＝12BD·EG＝12a·BE·sin 60°＝34a·BE，S 2＝12CD·FH＝34b·CF，∴S 1·S 2＝316ab·BE·CF，由(1)得△BDE∽△CFD，∴BD BE ＝FCCD ，即BE·FC＝BD·CD＝ab ，∴S 1·S 2＝316a 2b 2；(3)证明：由(1)得△BDE∽△CFD，∴BD DE ＝FCDF ，又∵BD＝CD ，∴CD DE ＝FCDF，又∵∠EDF＝∠C＝60°，∴△DFE∽△CFD， ∴EF DF ＝DFFC ，即DF 2＝EF·FC. 2．(1)解：易得DF∥AB， ∵CF AF ＝12，∴CD DB ＝12， ∵ED＝2CD ，∴EDDB的值为1；(2)解：如解图1，连接CF ，延长BD 交AF 于点G ，则BD⊥AF 于G.第2题解图1理由：∵tan 60°＝CF CD ＝ACCB ＝3，∠ACF＝∠BCD＝90°， ∴AC CF ＝CB CD， ∴△ACF∽△BCD，∴∠FAC＝∠CBD，∵∠BDC＋∠DBC＝90°，∴∠ADG＋∠DAG＝90°，即BD⊥AF 于G ；(3)证明：连接CF ，如解图2，易得∠FCD＝90°，第2题解图2∵∠FCA＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°， ∴∠FCA＝∠BCD，∵tan 60°＝CF CD ＝ACCB ＝3，∴△ACF∽△BCD，∴∠FAC＝∠CBD.3．(1)证明：∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG.由翻折的性质可知GD ＝GE ，DF ＝EF ，∠DGF＝∠EGF， ∴∠DGF＝∠DFG.∴GD＝DF.∴DG＝GE ＝DF ＝EF.∴四边形EFDG 为菱形； (2)解：EG 2＝12GF·AF.理由：如解图1所示，连接DE ，交AF 于点O.第3题解图1∵四边形EFDG 为菱形， ∴GF⊥DE，OG ＝OF ＝12GF ，∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA， ∴△DOF∽△ADF.∴DF AF ＝FODF，即DF 2＝FO·AF. ∵FO＝12GF ，DF ＝EG ，∴EG 2＝12GF·AF；(3)解：如解图2：过点G 作GH⊥DC，垂足为H.第3题解图2∵EG 2＝12GF·AF.AG＝6，EG ＝25，∴20＝12FG·(FG＋6)，整理得：FG 2＋6FG －40＝0. 解得FG ＝4，FG ＝－10(舍去)． ∵DF＝GE ＝25，AF ＝10， ∴AD＝AF 2－DF 2＝45， ∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD. ∴△FGH∽△FAD.∴GH AD ＝FGAF，即GH 45＝410.∴GH＝855.∴BE＝AD －GH ＝45－855＝1255.4．解：(1)如解图1所示(找出D 1，D 2，D 3，D 4中任意3个即可)；第4题解图(2)证明：∵∠ABC＝80°，BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝40°，∴∠A＋∠ADB＝140°. ∵∠ADC＝140°，∴∠BDC＋∠ADB＝140°. ∴∠A＝∠BDC.∴△ABD∽△DBC. ∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”； (3)解：∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， ∴△EFH 与△HFG 相似．又∠EFH＝∠HFG， ∴△FEH∽△FHG，∴FE FH ＝FHFG .即FH 2＝FE·FG.过点E 作EQ⊥FG，垂足为Q.如解图2，则EQ ＝FE·sin 60°＝32FE. ∵12FG·EQ＝23，∴12FG·32FE ＝23， ∴FG·FE＝8，∴FH 2＝FE·FG＝8，∴FH＝2 2. 类型三【例3】 (1)证明：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，又∵∠AGB＝90°，∴∠BAE＋∠ABG＝90°，又∵∠ABG＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF.∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴BE＝CF；②∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，∴MG＝MA＝MB，∴∠GAM＝∠AGM.又∵∠CGE＝∠AGM，从而∠CGE＝∠CBG，又∵∠ECG＝∠GCB，∴△CGE∽△CBG.∴CECG＝CGCB，即CG2＝BC·CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF，得CF＝CG. 由①知，BE＝CF，∴BE＝CG，∴BE2＝BC·CE；(2)解：(方法一)延长AE，DC交于点N(如解图1)，例3题解图1 ∵四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.∴∠N＝∠EAB，又∠CEN＝∠BEA，∴△CEN∽△BEA.∴CE BE ＝CN BA ，即BE·CN＝AB·CE，∵AB＝BC ，BE 2＝BC·CE，∴CN＝BE ，由AB∥DN，知CN AM ＝CG GM ＝CF MB .又∵AM＝MB ，∴FC＝CN ＝BE ，不妨假设正方形边长为1.设BE ＝x ，则由BE 2＝BC·CE，得x 2＝1·(1－x)．解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)，∴BE BC ＝5－12.∴tan ∠CBF＝FC BC ＝BE BC ＝5－12；(方法二)不妨假设正方形边长为1，设BE ＝x ，则由BE 2＝BC·CE，得x 2＝1·(1－x)．解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)，即BE ＝5－12.作GN∥BC 交AB 于点N(如解图2)，则△MNG∽△MBC，例3题解图2∴MN NG ＝MBBC ＝12.∵GN BE ＝AN AB ，即2y 5－12＝y ＋121，解得y ＝510，∴GM＝12，从而GM ＝MA ＝MB ，此时点G 在以AB 为直径的圆上．∴△AGB 是直角三角形，且∠AGB＝90°.由(1)知BE ＝CF ，∴tan ∠CBF＝FC BC ＝BE BC ＝5－12. 针对训练1．(1)证明：∵∠ACB＝90°，点M 为BD 的中点，∴CM＝12BD ，同理EM ＝12BD ， ∴CM＝EM ；(2)解：方法一：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，由(1)得CM ＝DM ＝BM ＝EM ，∴点B ，C ，D ，E 在以点M 为圆心，BD 为直径的⊙M 上，∴∠CME＝2∠ABC＝80°，∴∠EMF＝180°－80°＝100°；方法二：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，∵DE⊥AB，∴∠CDE＝∠A＋∠DEA＝140°，由(1)得CM ＝DM ＝EM ，∴∠MCD＝∠MDC，∠MED＝∠MDE，∴∠DCM＋∠DEM＝∠MDC＋∠MDE＝140°，∴∠CME＝360°－140°－140°＝80°，∴∠EMF＝180°－80°＝100°.(3)证明：方法一：∵△DAE≌△CEM，∴∠CME＝∠DEA＝90°，DE ＝CM ，AE ＝EM ，又∵CM＝DM ＝EM ，∴DM＝DE ＝EM ，∴△DEM 是等边三角形，∴在Rt △EMF 中，∠EMF＝90°，∠MEF＝∠DEF－∠DEM ＝30°，∴MF EF ＝12，又∵NM＝12CM ＝12EM ＝12AE ，∴FN＝FM ＋NM ＝12EF ＋12AE ＝12(AE ＋EF)＝12AF.∴MF EF ＝NF AF ＝12.∵∠AFN＝∠EFM，∴△AFN∽△EFM，∴∠NAF＝∠MEF，故AN∥EM.方法二：如解图，连接AM ，则∠EAM＝∠EMA＝12∠MEF＝15°，第1题解图∴∠AMC＝∠EMC－∠EMA＝75°，①又∠CMD＝∠EMC－∠EMD＝30°，且MC ＝MD ，∴∠ACM＝12(180°－30°)＝75°.② 由①②可知AC ＝AM ，又N 为CM 的中点，∴AN⊥CM，而EM⊥CM，∴AN∥EM.2．(1)证明：AC 平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，在△ADC 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC ∠DAC＝∠BAC AD ＝AB，∴△ADC≌△ABC(SAS )，∴CD＝CB ，∵CE⊥AB，EF ＝EB ，∴CF＝CB ，∴CD＝CF ；(2)证明：∵△ADC≌△ABC，∴∠ADC＝∠B，∵CF＝CB ，∴∠CFB＝∠B，∴∠ADC＝∠CFB，∴∠ADC＋∠AFC＝180°，∵四边形AFCD 的内角和等于360°，∴∠DCF＋∠DAF ＝180°，∵CD＝CF. ∴∠CDG＝∠CFD，∵∠DCF＋∠CDF＋∠CFD＝180°，∴∠DAF＝∠CDF＋∠CFD＝2∠CDG，∵∠DAB＝2∠DAC，∴∠CDG＝∠DAC，∵∠DCG＝∠ACD，∴△DGC∽△ADC；(3)解：∵△DGC∽△ADC，∴∠DGC＝∠ADC，∠CDG＝∠DAC ，CG CD ＝DG AD， ∵∠ADC＝2∠HAG，AD ＝3，DC ＝2，∴∠HAG＝12∠DGC，CG 2＝DG 3， ∴∠HAG＝∠AHG，CG DG ＝23，∴HG＝AG ， ∵∠GDC＝∠DAC＝∠FAG，∠DGC＝∠AGF，∴△DGC∽△AGF，∴GF AG ＝CG DG ＝23，∴FG GH ＝23. 3．(1)证明：在▱ABCD 中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠F，∵E 是AB 的中点，∴AE＝BE ，又∵∠AED＝∠BEF(对顶角相等)，∴△ADE≌△BFE(AAS )；(2)①证明：如解图1，第3题解图1在▱ABCD 中，AB∥CD，AB ＝CD ，∴∠AEK＝∠CDH，∵AK∥HC，∴△AEK∽△CDH.∴AE CD ＝AK CH，又∵E 是边AB 的中点，∴2AE＝AB ＝CD ，∴HC＝2AK ；②解：当点G 是BC 的中点时，如解图2，第3题解图2在▱ABCD 中，AD∥BC，AD ＝BC ，∴△AHD∽△GHF，∴AD GF ＝HD HF，由(1)得，△ADE≌△BFE，∴AD＝BF ，又∵G 是BC 的中点，∴2BG＝AD ＝BF ，∴AD GF ＝23，∴HD＝23HF ，如解图3，第3题解图3∵AD∥FC，∴∠ADK＝∠F，∵AK∥HC，∴∠AKH＝∠CHK，∴∠AKD＝∠CHF(等角的补角相等)，∴AD CF ＝KD HF ＝12，∴KD＝12HF ，∴HK＝HD －KD ＝16HF ，∴HD HK ＝23HF16HF＝4，∴HD＝4HK ，∴n＝4.4．(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AD∥BC，∴∠KDO＝∠GBO，∠DKO＝∠BGO，∵点O 是BD 的中点，∴DO＝BO ，∴在△DOK 和△BOG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠KDO＝∠GBO，∠D KO ＝∠BGO，DO ＝BO ，∴△DOK≌△BOG(AAS )；(2)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，又∵AF 平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∴∠BAF＝∠BFA，∴AB＝BF ，∵OK∥AF，AK∥FG，∴四边形AFGK 是平行四边形，∴AK＝FG ，(3)解：如解图，过点G 作GI⊥KD 于点I ，由(2)知，四边形AFGK 是平行四边形，△ABF 为等腰直角三角形．第4题解图∴AF＝KG ＝2，AB ＝22AF ＝2， ∵四边形ABCD 是矩形，∴GI＝AB ＝2，S △KDG ＝12KD·GI＝12×2×2＝ 2. ∵PD＝x ，∴PK＝2－x ，∵PM∥DG，PN∥KG，∴四边形PMGN 是平行四边形，△DKG∽△PKM∽△DPN ，∴S △DPN S △DGK ＝(x 2)2＝x 24，即S △DPN ＝x 24S △DKG ＝24x 2. 同理，S △KPM ＝2（2－x ）24， S ▱PMGN ＝S △DKG －S △DPN －S △KPM ＝2－24x 2－2（2－x ）24. 则S △PMN ＝12S ▱PMGN ＝－24x 2＋22x.(0<x<2) 5．(1)解：如解图，在BC 上取一点G ，使得CG ＝BE ，连接OB 、OC 、OG. ∵点O 为正方形ABCD 的中心，第5题解图∴OB＝OC ，∠BOC＝90°，∠OBE＝∠OCG＝45°. ∴△OBE≌△OCG(SAS )．∴∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE ＝OG.∴∠EOG＝90°，∵△BEF 的周长等于BC 的长，∴EF＝GF.∴△EOF≌△GOF(SSS )．∴∠EOF＝∠GOF＝45°.(2)证明：如解图，∵点O 为正方形ABCD 的中心， ∴∠OAE＝∠FCO＝45°.∵∠BOE＝∠COG，∠AEO＝∠BOE＋∠OBE＝∠BOE＋45°，∠COF＝∠COG＋∠GOF＝∠COG＋45°.∴∠AEO＝∠COF，且∠OAE＝∠FCO.∴△AOE∽△CFO.(3)解：∵△AOE∽△CFO，∴AO CF ＝OE FO ＝AE CO. 即AE ＝OE FO ·CO，CF ＝AO÷OE FO. ∵OE＝52OF ，∴OE FO ＝52. ∴AE＝52CO ，CF ＝25AO. AE 56．(1)证明：∵MD∥BC，∴∠DME＝∠CBA， ∵∠ACB ＝∠MED＝90°，∴△MED∽△BCA；(2)证明：∵∠ACB＝90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB＝MC ＝AM ，∴∠MCB＝∠MBC，∵∠DMB＝∠MBC，∴∠MCB＝∠DMB＝∠MBC， ∵∠AMD＝180°－∠DMB，∠CMD＝180°－∠MCB－∠MBC＋∠DMB＝180°－∠MBC， ∴∠AMD＝∠CMD，在△AMD 与△CMD 中，⎩⎪⎨⎪⎧MD ＝MD ，∠AMD ＝∠CMD，AM ＝CM ，∴△AMD≌△CMD(SAS )；(3)解：∵MD＝CM ，∴AM＝MC ＝MD ＝MB ，∴MD＝12AB.由(1)可知：△MED∽△BCA，∴S 1S △ACB＝(MD AB )2＝14，∴S △ACB ＝4S 1，∵CM 是△ACB 斜边AB 上的中线，∴S △MCB ＝12S △ACB ＝2S 1，∴S △EBD ＝S 2－S △MCB －S 1＝25S 1，∵S 1S △EBD ＝ME EB ，∴S 125S 1＝ME EB ， ∴ME EB ＝52，设ME ＝5x ，EB ＝2x ， ∴MB＝7x ，∴AB＝2MB ＝14x ， ∵MD AB ＝ME BC ＝12，7x 14x ＝5x BC ， ∴BC＝10x ，∴cos ∠ABC＝BC AB ＝10x 14x ＝57.。

安徽省2019年中考二轮复习题型六：几何图形的证明及计算(含答案)

题型六几何图形的证明及计算类型一与全等三角形有关的证明及计算1.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N 为线段AM上的点，且MB＝MN.(1)求证：BN平分∠ABE；(2)若BD＝1，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；第1题图2.如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.(1)求证：△ABF是等腰三角形；(2)如图②，BF的延长线交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．第2题图3.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边上的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G.(1)求证：CF＝BG；(2)如图②，延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP＋CF；(3)在(2)问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝33，BG＝6，求AC的长．图①图②第3题图4.如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE.(1)求证：∠CAE＝∠CBD；(2)如图②，F是BD的中点，连接CF交AE于点M，求证：AE⊥CF；(3)如图③，F，G分别是BD，AE的中点，连接GF，若AC＝2 2 ，CE＝1，求△CGF 的面积．第4题图5.如图①，在正方形ABCD中，O是对角线AC上一点，点E在BC的延长线上，且OE＝OB，OE交CD于点F.(1)求证：△OBC≌△ODC；(2)求证：∠DOE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝52°，求∠DOE的度数．第5题图6.已知：如图①，等腰直角△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC ＝DC.(1)求证：BE＝AD；(2)如图②，若将△ECD绕点C按逆时针方向旋转一个锐角，①延长BE交AD于点F，交AC于点O.求证：BF⊥AD；②如图③，取BE的中点M，AD的中点N，连接MN，NC，求∠MNC的度数．第6题图类型二与相似三角形有关的证明及计算1.如图①，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①)或线段AB的延长线(如图②)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．第1题图2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，连接DE 、CE .(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝5，AB ＝7，求ACAF的值．第2题图3. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，∠EDF ＝∠B. (1)求证：DE ·CD ＝DF ·BE ；(2)如图②，若D 为BC 中点，连接EF ，A D. ①求证：DE 平分∠BEF ；②若四边形AEDF 为菱形，求∠BAC 的度数及AEAB的值．第3题图4. 如图①，△ABC 中，点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上，且BE ＝CD ，EP ∥AC 交直线CD 的延长线于点P ，交直线AB 的延长线于点F ，∠ADP ＝∠AC B.(1)图①中是否存在与AC 相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；(2)若将“点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上”改为“点D 在线段BA 延长线上，点E 在线段BC 延长线上”，其他条件不变(如图②)．当∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝2时，求线段PE 的长．第4题图5. 如图①，△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交CD 于H .(1)若∠EFC ＝∠A ，求证：CE ·CD ＝CH ·BC ；(2)如图②，若BH 平分∠ABC ，CE ＝CF ，BF ＝3，AE ＝2，求EF 的长； (3)如图③，若CE ≠CF ，∠CEF ＝∠B ，∠ACB ＝60°，CH ＝5，CE ＝4 3 ，求ACBC的值．第5题图类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算1.如图，等边△ABC边长是8，过点C的直线l∥AB，点D为BC上一点(不与点B，C重合)，将一个60°角的顶点放在D处，它的边始终过点A，另一边与直线l交于点E，DE 交AC于点F.(1)若BD＝6，求CF的长；(2)若点D是BC的中点，判定△ADE的形状，并给出证明；(3)若点D不是BC的中点，则(2)中的结论成立吗？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．第1题图2.如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、P分别为AC、AB的中点，连接BD、CP，CP交BD于点E，点F在AB上且∠ACF＝∠CB D.(1)求证：CF＝BE；(2)如图②，过点A作AG⊥AB交BD的延长线于点G.①若CF＝6，求DG的长；②设CF 交BD 于点H ，求HECH的值．第2题图3. 如图①，已知D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BE ＝CF ，点M 、N 分别是AE 、DE 上的点，AN ⊥FM 于点G .(1)若∠BAC ＝90°，求证：△ABC 为等腰直角三角形； (2)如图②，若∠BAC ≠90°，AF ＝2DF . ①求证：FM AN ＝EM DN ；②求AN ∶FM 的值．图① 图②第3题图4. (2018六安市模拟)我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I 为△ABC 的内心．(1)如图①，连接AI 并延长交BC 于点D ，若AB ＝AC ＝3，BC ＝2，求ID 的长； (2)如图②，过点I 作直线交AB 于点M ，交AC 于点N . ①若MN ⊥AI ，求证：MI 2＝BM ·CN ；②如图③，AI 的延长线交BC 于点D ，若∠BAC ＝60°，AI ＝4，求1AM ＋AN1的值．5.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，顶点C恰好在直线l上，过A、B 分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E.(1)求证：DE＝AD＋BE；(2)如图②，在△ABC中，当AC＝kBC，其他条件不变，猜想DE与AD、BE的关系，并证明你的结论；(3)如图③，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝12，∠ACB＝90°，点D是AC的中点，点E在BC上，过点E作EF⊥DE交AB于点F，若恰好EF＝2DE，求CE的长．第5题图6.如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC, D为AB的中点，连接CD，将一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.(1)若CE＝CF，求证：△DCE≌△DCF；(2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究线段AB与CE、CF之间的数量关系，并证明；②若AB＝42，CE＝2CF，求DN的长．第6题图参考答案类型一与全等三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＋∠ACM＝90°，∵AC⊥BD，∴∠MBE＋∠ACM＝90°，∴∠BAN＝∠CAM＝∠MBE，∵MB＝MN，∴∠MNB＝∠MBN，∵∠MNB＝∠ABN＋∠BAN，∠MBN＝∠MBE＋∠NBE，∴∠ABN＋∠BAN＝∠MBE＋∠NBE，∴∠ABN ＝∠NBE ，即BN 平分∠ABE ；(2)解：连接DN ，∵点M 为BC 中点，MB ＝MN ，∴MB ＝MN ＝12BC ， ∵四边形DNBC 为平行四边形，∴BN ＝CD ，BN ∥CD ，∴∠DBN ＝∠BDC ，由(1)知∠ABN ＝∠DBN ，∴∠ABN ＝∠BDC ，∵AB ＝BD ＝1，∴△ABN ≌△BDC ，∴AN ＝BC ，∴AM ＝AN ＋MN ＝32BC ，由(1)中条件可知AM ⊥BC ，即∠AMB ＝90°，∴AM 2＋MB 2＝AB 2，即(32BC )2＋(12BC )2＝1，解得BC ＝105.第1题解图2. (1)证明：∵等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABD ＝∠ACD ，∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED ，∵∠BAD ＋∠ABD ＝∠ADE ＋∠EDC ，∠EDC ＋∠ACD ＝∠AED ，∴∠BAD ＝2∠EDC ，∵∠ABF ＝2∠EDC ，∴∠BAD ＝∠ABF ，∴△ABF 是等腰三角形；(2)解：AN ＝12BM .证明：如解图，延长CA 至点H ，使AG ＝AH ，连接BH ，∵点N 是BG 的中点，点A 是HG 的中点，∴AN ＝12BH ， ∵(1)中已证明∠BAD ＝∠ABF ，且∠DAC ＝∠CBG ，∴∠CAB ＝∠CBA ，∴CA ＝CB又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∠BAC ＝∠BCA ＝60°，∴∠BAH ＝∠BCM ，∵GM ＝AB ，AB ＝AC ，∴AC ＝GM ，∴CM ＝AG ，∴AH ＝CM ，在△BAH 和△BCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠BAH ＝∠BCM AH ＝CM，∴△BAH ≌△BCM (SAS)，∴BH ＝BM ，∴AN ＝12BM .第2题解图3. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°，∵CG 平分∠ACB ，∴∠ACG ＝∠BCG ＝45°，∴∠A ＝∠BCG ，在△BCG 和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BCG AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBE，∴△BCG ≌△CAF (ASA)，∴CF ＝BG ；(2)证明：∵PC ∥AG ，∴∠PCA ＝∠CAG ，∵AC ＝BC ，∠ACG ＝∠BCG ，CG ＝CG ，∴△ACG ≌△BCG (SAS )，∴∠CAG ＝∠CBE ，∵∠PCG ＝∠PCA ＋∠ACG ＝∠CAG ＋45°＝∠CBE ＋45°，∠PGC ＝∠GCB ＋∠CBE ＝∠CBE ＋45°，∴∠PCG ＝∠PGC ，∴PC ＝PG ，∵PB ＝BG ＋PG ，BG ＝CF ，∴PB ＝CP ＋CF ；(3)解：如解图，过E 作EM ⊥AG ，交AG 于M ，∵S △AEG ＝12AG ·EM ＝33，由(2)得：△ACG ≌△BCG ，∴BG ＝AG ＝6，∴ 12×6×EM ＝33，解得EM ＝3，设∠FCH ＝x °，则∠GAC ＝2x °，∴∠ACF ＝∠EBC ＝∠GAC ＝2x °，∵∠ACH ＝45°，∴2x ＋x ＝45，解得x ＝15，∴∠ACF ＝∠GAC ＝30°，在Rt △AEM 中，AE ＝2EM ＝23，AM ＝（23）2－（3）2＝3，∴M 是AG 的中点，∴AE ＝EG ＝23，第3题解图∴BE ＝BG ＋EG ＝6＋23，在Rt △ECB 中，∠EBC ＝30°，∴CE ＝12BE ＝3＋3， ∴AC ＝AE ＋EC ＝23＋3＋3＝33＋3.4. (1)证明：在△ACE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ；(2)证明：在Rt △BCD 中，点F 是BD 的中点，∴CF ＝BF ，∴∠BCF ＝∠CBF ，由(1)知，∠CAE ＝∠CBD ，∴∠BCF ＝∠CAE ，∴∠CAE ＋∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACF ＝∠BCA ＝90°，∴∠AMC ＝90°，∴AE ⊥CF ；(3)解：∵AC ＝2 2 ，∴BC ＝AC ＝2 2 ，∵CE ＝1，∴CD ＝CE ＝1，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得，BD ＝CD 2＋BC 2＝3 ，∵点F 是BD 中点，∴CF ＝DF ＝12BD ＝32，同理：EG ＝12AE ＝32，如解图，连接EF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，∵∠ACB ＝90°，点F 是BD 的中点，∴FH ＝12CD ＝12， ∴S △CEF ＝12CE ·FH ＝12×1×12＝14，由(2)知，AE ⊥CF ，第4题解图∴S △CEF ＝12CF ·ME ＝12×32ME ＝34ME ， ∴ 34ME ＝14， ∴ME ＝13， ∴GM ＝EG －ME ＝32－13＝76， ∴S △CFG ＝12CF ·GM ＝12×32×76＝78. 5. (1)证明：∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，在△OBC 和△ODC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO， ∴△OBC ≌△ODC (SAS)；(2)证明：由(1)知，△OBC ≌△ODC ，∴∠CBO ＝∠CDO ，∵OE ＝OB ，∴∠CBO ＝∠E ，∴∠CDO ＝∠E ，∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DOE ＝∠ABC ；(3)解：∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，在△BCO 和△DCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO，∴△BCO ≌△DCO (SAS)，∴∠CBO ＝∠CDO ，∵OE ＝OB ，∴∠CBO ＝∠E ，∴∠CDO ＝∠E ，∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DOE ＝∠ABC ＝52°.6. (1)证明：在△BEC 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠ACB ＝∠ECD EC ＝DC，∴△BEC ≌△ADC (SAS)，∴BE ＝AD ；(2)①证明：∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ACB －∠ACE ＝∠ECD －∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD ，在△BEC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠BCE ＝∠ACD EC ＝DC， ∴△BEC ≌△ADC (SAS)，∴∠CBE ＝∠CAD ，在△BCO 和△AFO 中，∠CBE ＝∠CAD ，∠BOC ＝∠AOF ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，∴BF ⊥AD ；②解：如解图，连接MC ，∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠BCE ＝∠ACD ，又∵AC ＝BC ，EC ＝DC ，∴△BEC ≌△ADC ，∴∠CBE ＝∠CAD ，AD ＝BE ，∵M 是BE 的中点，N 是AD 的中点，∴BM ＝AN ，在△BMC 和△ANC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝AN ∠CBE ＝∠CAD BC ＝AC， ∴△BMC ≌△ANC (SAS)，∴CM ＝CN ，∠BCM ＝∠ACN ，∴∠ACN ＋∠MCA ＝∠BCM ＋∠MCA ，∴∠MCN ＝∠ACB ＝90°，∴△MCN 是等腰直角三角形，∴∠MNC ＝45°.第6题解图类型二与相似三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵PQ ⊥AQ ，∴∠AQP ＝90°＝∠ABC .在△AQP 与△ABC 中，∵∠AQP ＝∠ABC ，∠QAP ＝∠BAC ，∴△AQP ∽△ABC ；(2)解：在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理得AC ＝5.①当点P 在线段AB 上时，如题图①所示．∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ ，由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，∴P A AC ＝PQ BC ，即3－PB 5＝BP 4，解得PB ＝43， ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53； ②当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图②所示．∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ .∴∠BQP ＝∠P ，∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°，∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ，∴AB ＝BP ，∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6. 2. (1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC ＝AC AB， ∴AC 2＝AB ·AD ;(2)证明：∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CE ＝12AB ＝AE ， ∴∠EAC ＝∠ECA ，∵∠DAC ＝∠CAB ，∴∠DAC ＝∠ECA .∴AD ∥CE ；(3)解：∵CE ∥AD ，∴∠DAF ＝∠ECF ，又∵∠DF A ＝∠EFC ，∴△AFD ∽△CFE ，∴AD CE ＝AF CF， ∵CE ＝12AB ， ∴CE ＝12×7＝72， ∵AD ＝5，∴572＝AF CF，∴CFAF＝710，∴AF＋CFAF＝1＋CFAF＝1710，即ACAF＝1710.3. (1)证明：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°，∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB，∴△CFD∽△BDE，∴DEDF＝BECD，即DE·CD＝DF·BE；(2)①证明：由(1)证得△BDE∽△CFD，∴BECD＝DEDF，∵D为BC中点，∴BD＝CD，∴BEBD＝DEDF，∵∠B＝∠EDF，∴△BDE∽△DFE，∴∠BED＝∠DEF，∴ED平分∠BEF；②解：∵四边形AEDF为菱形，∴∠AEF＝∠DEF，由(2)知，∠BED＝∠DEF，∵∠AEF＋∠DEF＋∠BED＝180°，∴∠AEF＝60°，∵AE＝AF，∴∠BAC＝60°.∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，又∵∠BED＝∠AEF＝60°，∴△BED 是等边三角形，∴BE ＝DE ，∵AE ＝DE ，∴AE ＝BE ＝12AB ， ∴AE AB ＝12. 4. 解：(1)AC ＝BF .证明如下：∵∠ADP ＝∠ACD ＋∠A ，∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ADP ＝∠ACB ， ∴∠BCD ＝∠A ，又∵∠CBD ＝∠ABC ，∴△CBD ∽△ABC ，∴ CD AC ＝BC BA，① ∵FE ∥AC ，∴∠CAB ＝∠EFB ，又∵∠ABC ＝∠FBE ，∴△ABC ∽△FBE ，∴ BC BA ＝BE BF，② 由①②可得CD AC ＝BE BF， ∵BE ＝CD ，∴BF ＝AC ；(2)∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴∠ACB ＝30°＝∠ADP ，∴∠BCD ＝60°，∠ACD ＝60°－30°＝30°，∵PE ∥AC ，∴∠E ＝∠ACB ＝30°，∠CPE ＝∠ACD ＝30°，∴CP ＝CE ，∵BE ＝CD ，∴BE －CE ＝CD －CP ，∴BC ＝DP ，∵∠ABC ＝90°，∠D ＝30°，∴BC ＝12CD ，∴DP ＝12CD ，即P 为CD 的中点，又∵PF ∥AC ，∴F 是AD 的中点，∴FP 是△ADC 的中位线，∴FP ＝12AC ， ∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ， ∴FP ＝AB ＝2，∵DP ＝CP ＝BC ，CP ＝CE ，∴BC ＝CE ，即C 为BE 的中点，又∵EF ∥AC ，∴A 为FB 的中点，∴AC 是△BEF 的中位线，∴EF ＝2AC ＝4AB ＝8，∴PE ＝EF －FP ＝8－2＝6.5. (1)证明：∵∠EFC ＋∠FEC ＋∠ECF ＝180°，∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，又∵∠EFC ＝∠A ，∠ECF ＝∠ACB ，∴∠CEF ＝∠B ，∵∠ECH ＝∠DCB ，∴△ECH ∽△BCD ，∴EC BC ＝CH CD， ∴CE ·CD ＝CH ·BC ；(2)解：如解图①，连接AH .∵BH 、CH 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，∴AH 是∠BAC 的平分线，∴∠BHC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB )＝180°－12(180°－∠BAC )＝90°＋12∠BAC ＝90°＋∠HAE ，∵CE ＝CF ，∠HCE ＝∠HCF ，∴CH ⊥EF ，HF ＝HE ，∴∠CHF ＝90°，∵∠BHC ＝∠BHF ＋∠CHF ＝∠BHF ＋90°，∴∠HAE ＝∠BHF ，∵CE ＝CF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴∠AEH ＝∠BFH ，∴△AEH ∽△HFB ，∴ AE HF ＝EH FB， ∴FH ·EH ＝6，∴HE ＝HF ＝6，∴EF ＝26；第5题解图①(3)解：如解图②，作HM ⊥AC 于M ，HN ⊥BC 于N .设HF ＝x ，FN ＝y .∵∠HCM ＝∠HCN ＝30°，HC ＝5，∴HM ＝HN ＝52， CM ＝CN ＝532， ∵CE ＝4 3 ，∴EM ＝332， ∴EH ＝EM 2＋HM 2＝13 ， ∵S △HCF ∶S △HCE ＝FH ∶EH ＝FC ∶EC ，∴x ∶13＝(y ＋ 532)∶43，又∵x 2＝y 2＋(52)2 ，解得y ＝5314或332， ∵当y ＝332时，CF ＝CN ＋NF ＝43，又∵CE ≠CF ，∴y ≠332，即FN ＝5314，∴CF ＝2037， ∵∠CEF ＝∠B ，∠ECF ＝∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ，∴ EC BC ＝CF AC ， ∴ AC BC ＝CF EC ＝203743＝57.第5题解图②类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算1. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠FCD ＝60°，∵∠BAD ＝180°－60°－∠ADB ，∠FDC ＝180°－∠ADE －∠ADB ＝180°－60°－∠ADB ， ∴∠BAD ＝∠FDC ，∴△ABD ∽△DCF ，∴AB DC ＝BD CF， ∴CF ＝DC ·BD AB ＝（8－6）×68＝32； (2)△ADE 是等边三角形．证明：若D 点是BC 边中点，则AD ⊥BC ，∴∠CDE ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°，又∵l ∥AB ，∴∠DCE ＝180°－∠ABC ＝180°－60°＝120°，∴∠CED ＝180°－∠DCE －∠CDE ＝180°－120°－30°＝30°，即∠CDE ＝∠CED ，∴CE ＝CD .在△ACD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC ∠ACD ＝∠ACE ＝60°DC ＝EC，∴△ACD ≌△ACE (SAS)，∴AD ＝AE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形；(3)(2)中结论仍然成立．证明：如解图，过点D 作DG ∥l 交AC 于点G ，则△GDC ∽△ABC ， ∴△GDC 是等边三角形，∴DG ＝DC ，∠GDC ＝∠DGC ＝60°，∵∠ADE ＝60°，∴∠ADE ＝∠GDC ，∴∠ADG ＝∠EDC ，又∵∠AGD ＝180°－60°＝120°，∠DCE ＝180°－∠ABC ＝120°，∴∠AGD ＝∠DCE ，在△ADG 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADG ＝∠EDC DG ＝DC ∠AGD ＝∠DCE，∴△ADG ≌△EDC (ASA)，∴AD ＝DE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．2. (1)证明：∵P 为AB 的中点，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCE ＝12∠ACB ＝12×90°＝45°，∠A ＝45°， ∴∠A ＝∠BCE ，在△ACF 和△CBE 中⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BCE AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBD，∴△ACF ≌△CBE (ASA)，∴CF ＝BE ；第1题解图(2)解：①由(1)得CF ＝BE ，∴BE ＝CF ＝6，∵AC ＝BC ，CE 平分∠ACB ，P 为AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∵AG ⊥AB ，∴CE ∥AG ，∴∠GAD ＝∠ECD ，又∵∠ADG ＝∠CDE ，∴△ADG ∽△CDE ，∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝CD ，即相似比k ＝1，∴△ADG ≌△CDE ，∴DG ＝DE ＝12GE ， ∵CE ∥AG 且P 为AB 中点，∴GE ＝BE ＝6，∴DG ＝3；②设EP ＝a ，由(2)① 得EP ∥AG ，∴AG ＝2a ，又由上题得△ADG ≌△CDE ，∴CE ＝AG ＝2a ，∴CP ＝CE ＋EP ＝3a ，∵等腰直角△ABC 中 CP ⊥AB ，∴BP ＝CP ＝3a ，由题得∠ACP ＝∠CBP ＝45°，∵∠ACF ＝∠CBD ，∴∠ACP －∠ACF ＝∠CBP －∠CBD ，即∠HCE ＝∠PBE ，∵∠CEH ＝∠PEB ，∴∠CHE ＝180°－∠CEH －∠HCE ，∠BPE ＝180°－∠PBE －∠PEB ， ∴∠CHE ＝∠BPE ＝90°，∴△CHE 是直角三角形，∴△CHE ∽△BPE ，∴HE CH ＝PE BP ＝a 3a ＝13.3. (1)证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在Rt △BED 和Rt △CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD BE ＝CF ， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)，∴∠B ＝∠C ，∵∠BAC ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形；(2)①证明：如解图，连接AD 、EF ，相交于点O ，∵由(1)可得Rt △BED ≌Rt △CFD ，∴∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AB ＝AC ，∵BE ＝CF ，∴AE ＝AF ，∴AD ⊥EF ，又∵∠NEM ＝∠MGN ＝90°，∴∠GME ＋∠ENG ＝∠DNG ＋∠ENG ＝180°，∴∠EMF ＝∠DNA ，又∵∠AEO ＋∠EAO ＝90°，∠EAO ＋∠NDA ＝90°，∴∠AEO ＝∠NDA ，∴△FME ∽△AND ，∴FM AN ＝EM DN；第3题解图②解：设AF ＝2k ，DF ＝k ，在Rt △ADF 中，AD ＝（2k ）2＋k 2＝5k ，由①可得∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AD 垂直平分EF ，则OF ＝12EF ， ∵DF ⊥AC ，∴S △ADF ＝12×5k ·OF ＝12×2k ×k ， ∴OF ＝255k ，EF ＝455k ， ∴AD EF ＝54，又∵△FME ∽△AND ，∴AN FM ＝AD EF ＝54，即AN ∶FM ＝5∶4.4. (1)解：如解图①中，作IE ⊥AB 于E .设ID ＝x ，∵AB ＝AC ＝3，AI 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝1，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝32－12＝2 2 ，在△BEI 和△BDI 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBI ＝∠DBI ，∠BEI ＝∠BDI ＝90°，BI ＝BI ，∴△BEI ≌△BDI ，∴ID ＝IE ＝x ，BD ＝BE ＝1，AE ＝2，在Rt △AEI 中，∵AE 2＋EI 2＝AI 2，∴22＋x 2＝(22－x )2 ，∴x ＝22，∴ID ＝22；第4题解图(2)①证明：如解图②，连接BI 、CI .∵I 是内心，∴∠MAI ＝∠NAI ，∵AI ⊥MN ，∴∠AIM＝∠AIN＝90°，又∵AI＝AI，∴△AMI≌△ANI(ASA)，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠BMI＝∠CNI，设∠BAI＝∠CAI＝α，∠ACI＝∠BCI＝β，∴∠NIC＝90°－α－β，∵∠ABC＝180°－2α－2β，∴∠MBI＝90°－α－β，∴∠MBI＝∠NIC，∴△BMI∽△INC，∴BMNI＝MINC，∴NI·MI＝BM·CN，∵NI＝MI，∴MI2＝BM·CN；②解：如解图③，过点N作NG∥AD交MA的延长线于G. ∵NG∥AD，∴∠ANG＝∠DAN，∠AGN＝∠BAD，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠DAN＝30°，∴∠ANG＝∠AGN＝30°，∴AN＝AG，NG＝3AN，∵AI∥NG，∴∠MIA＝∠MNG，∠MAI＝∠MGN，∴△AMI∽△GMN，∴AMMG＝AING，∴AMAM＋AN＝43AN，∴AM＋ANAM＝3AN4，∴1AM＋1AN＝34.第4题解图③5. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，∴∠DAC ＝∠ECB ，在△ADC 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠CEB ∠DAC ＝∠ECB AC ＝CB，∴△ADC ≌△CEB (AAS)，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CE ＋DC ＝AD ＋BE ；(2)解：DE ＝kBE ＋1kAD . 证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∴∠DAC ＝∠ECB ，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ，∴AD CE ＝DC BE ＝AC BC＝k ， ∴DC ＝kBE ，CE ＝1kAD ， ∴DE ＝DC ＋CE ＝kBE ＋1kAD ； (3)解：如解图，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，∵AC ＝4，D 是AC 的中点，∴CD ＝2，∵EF ＝2DE ，易证△DCE ∽△EGF ，FG ＝2CE ，EG ＝2DC ＝4，设CE ＝x ，则BG ＝BC －CG ＝12－4－x ＝8－x ，∵FG ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠FGB ＝90°，∵∠B ＝∠B ，∴△FGB ∽△ACB ，∴FG AC ＝BG BC ，即2x 4＝8－x 12，解得x ＝87，即CE 的长为87.第5题解图6. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°， ∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°，在△DCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ∠DCE ＝∠DCF CD ＝CD，∴△DCE ≌△DCF (SAS)；(2) ①解：AB 2＝4CE ·CF .证明：∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°，∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°，∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°，∴∠F ＝∠CDE ，∴△CDF ∽△CED ，∴CD CE ＝CF CD，即CD 2＝CE ·CF ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB ，∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ， ∴(12AB )2＝CE ·CF ，.. ∴AB 2＝4CE ·CF ；②解：如解图，过D 作DG ⊥BC 于G ，由①得AB 2＝4CE ·CF ，∵AB ＝42，CE ＝2CF ，∴CE ＝4，CF ＝2，∵DG ⊥BC 于G ，由题得∠B ＝45°，BD ＝12AB ＝2 2 ∴△DGB 是等腰直角三角形，∴BG ＝DG ＝22·sin 45°＝2，∵DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴DG ∥AC 即DG ∥CE ，∴∠ECN ＝∠DGN又∵∠ENC ＝∠DNG∴△CEN ∽△GDN ，∴CE DG ＝CN NG ＝42＝2，又∵D 点为AB 中点，DG ∥AC ， ∴CG ＝BG ＝2，∴NG ＝13CG ＝23，在Rt △DGN 中，DN ＝DG 2＋NG 2＝22＋（23）2＝2103.第6题解图。

2019年安徽省中考数学试卷(含答案解析)

2019年安徽省中考数学试卷(含答案解析)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的．1．（4分）在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．（4分）计算a3•（﹣a）的结果是（）A．a2 B．﹣a2C．a4D．﹣a43．（4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）A．B．C．D．4．（4分）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为（）A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012 5．（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k 的值为（）A．3B．C．﹣3D．﹣6．（4分）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（）A．60B．50C．40D．157．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E 在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（）A．3.6B．4C．4.8D．58．（4分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）A．2019年B．2020年C．2021年D．2022年9．（4分）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥010．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）A．0B．4C．6D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）计算÷的结果是．12．（5分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为．13．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．14．（5分）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax 的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）解方程：（x﹣1）2＝4．16．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB．（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD．（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可）四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？18．（8分）观察以下等式：第1个等式：＝+，第2个等式：＝+，第3个等式：＝+，第4个等式：＝+，第5个等式：＝+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O 为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）20．（10分）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．六、（本题满分12分）21．（12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格：编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮8.728.888.928.938.948.968.978.98a9.039.049.069.079.08b尺寸（cm）按照生产标准，产品等次规定如下：尺寸（单位：cm）产品等次8.97≤x≤9.03特等品8.95≤x≤9.05优等品8.90≤x≤9.10合格品x＜8.90或x＞9.10非合格品注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内．（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm．（i）求a的值；（ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．七、（本题满分12分）22．（12分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W 的最小值．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB ＝∠BPC＝135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．2019年安徽省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的．1．（4分）在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣2＜﹣1＜0＜1，∴在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是﹣2．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．（4分）计算a3•（﹣a）的结果是（）A．a2 B．﹣a2C．a4D．﹣a4【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．【解答】解：a3•（﹣a）＝﹣a3•a＝﹣a4．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．3．（4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：几何体的俯视图是：故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图．4．（4分）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为（）A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：根据题意161亿用科学记数法表示为1.61×1010 ．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k 的值为（）A．3B．C．﹣3D．﹣【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入y＝中即可得到k的值．【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．6．（4分）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（）A．60B．50C．40D．15【分析】根据中位数的定义求解可得．【解答】解：由条形图知，车速40km/h的车辆有15辆，为最多，所以众数为40，故选：C．【点评】本题主要考查众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键．7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E 在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（）A．3.6B．4C．4.8D．5【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决．【解答】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴，∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EF A＝∠C＝90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴，∴，∵EG＝EF，∴DH＝CD，设DH＝x，则CD＝x，∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12﹣x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴，即，解得，x＝4，∴CD＝4，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．8．（4分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）A．2019年B．2020年C．2021年D．2022年【分析】根据题意分别求出2019年全年国内生产总值、2020年全年国内生产总值，得到答案．【解答】解：2019年全年国内生产总值为：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（万亿），2020年全年国内生产总值为：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（万亿），∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年，故选：B．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则、正确列出算式是解题的关键．9．（4分）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0【分析】根据a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2﹣ac的正负情况，本题得以解决．【解答】解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，∴a+c＝2b，b＝，∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，∴b＜0，∴b2﹣ac＝＝﹣ac＝＝≥0，即b＜0，b2﹣ac≥0，故选：D．【点评】本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出b和b2﹣ac的正负情况．10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）A．0B．4C．6D．8【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，FC＝4＝AE，∵点M与点F关于BC对称∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°∴∠ACM＝90°∴EM＝＝4则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF∴△ABE≌△CBF（SAS）∴BE＝BF＝2∴PE+PF＝4∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．即共有8个点P满足PE+PF＝9，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点N使点N到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）计算÷的结果是3．【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：．故答案为：3【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．12．（5分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．13．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．【分析】连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，∵⊙O的半径为2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax 的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是a＞1或a＜﹣1．【分析】令y＝x﹣a+1＜0，x＜1﹣a；令y＝x2﹣2ax＜0，2a＜x＜0；当a＞0时，x＜1﹣a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞0，则a＞1；当a＜0时，x＜1﹣a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞2a，则a＜﹣1；即可求解．【解答】解：∵平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，令y＝x﹣a+1＜0，∴x＜1﹣a，令y＝x2﹣2ax＜0，∴2a＜x＜0；当a＞0时，x＜1﹣a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞0，则a＞1；当a＜0时，x＜1﹣a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞2a，则a＜﹣1；∴a＞1或a＜﹣1；故答案为a＞1或a＜﹣1；【点评】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；数形结合的分析问题，将问题转化为不等式的解是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）解方程：（x﹣1）2＝4．【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．【点评】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．16．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB．（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD．（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可）【分析】（1）直接利用平移的性质得出C，D点位置，进而得出答案；（2）直接利用菱形的判定方法进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；（2）如图：菱形CDEF即为所求，答案不唯一．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平移变换，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，解得x＝7，所以乙工程队每天掘进5米，（天）答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．18．（8分）观察以下等式：第1个等式：＝+，第2个等式：＝+，第3个等式：＝+，第4个等式：＝+，第5个等式：＝+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【分析】（1）根据已知等式即可得；（2）根据已知等式得出规律，再利用分式的混合运算法则验证即可．【解答】解：（1）第6个等式为：，故答案为：；（2）证明：∵右边＝＝左边．∴等式成立，故答案为：．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出的规律，并熟练加以运用．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）【分析】连接CO并延长，与AB交于点D，由CD与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出OA，进而求出OD，由CO+OD求出CD的长即可．【解答】解：连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3（米），在Rt△AOD中，∠OAB＝41.3°，∴cos41.3°＝，即OA＝＝＝4（米），tan41.3°＝，即OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米），则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．20．（10分）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．【分析】（1）根据ASA证明：△BCE≌△ADF；（2）根据点E在▱ABCD内部，可知：S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，∵，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）∵点E在▱ABCD内部，∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，∴＝＝2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．六、（本题满分12分）21．（12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格：编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮尺寸8.728.888.928.938.948.968.978.98a9.039.049.069.079.08b（cm）按照生产标准，产品等次规定如下：尺寸（单位：cm）产品等次8.97≤x≤9.03特等品8.95≤x≤9.05优等品8.90≤x≤9.10合格品x＜8.90或x＞9.10非合格品注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内．（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm．（i）求a的值；（ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．【分析】（1）由15×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3个，给出的数据只有①②两个不合格可得答案；（2）（i ）由可得答案；（ii）由特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）不合格．因为15×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3个，给出的数据只有①②两个不合格；（2）（i）优等品有⑥～⑪，中位数在⑧8.98，⑨a之间，∴，解得a＝9.02（ii）大于9cm的有⑨⑩⑪，小于9cm的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩画树状图为：共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种．∴抽到两种产品都是特等品的概率P＝．【点评】本题考查的是利用树状图求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．七、（本题满分12分）22．（12分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W 的最小值．【分析】（1）由交点为（1，2），代入y＝kx+4，可求得k，由y＝ax2+c可知，二次函数的顶点在y轴上，即x＝0，则可求得顶点的坐标，从而可求c值，最后可求a的值（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0，可求x的值，再利用根与系数的关系式，即可求解．【解答】解：（1）由题意得，k+4＝2，解得k＝﹣2，又∵二次函数顶点为（0，4），∴c＝4把（1，2）带入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，∴W＝OA2+BC2＝∴当m＝1时，W取得最小值7【点评】此题主要考查二次函数的性质及一次函数与二次函数图象的交点问题，此类问题，通常转化为一元二次方程，再利用根的判别式，根与系数的关系进行解答即可．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB ＝∠BPC＝135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠P AB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△P AB∽△PBC，判断出，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠P AB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠P AB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△P AB∽△PBC（2）∵△P AB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∴∴P A＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△P AB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2•h3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．。

2020安徽中考数学专题复习(七)：几何图形的证明与计算(15张PPT)

DG⊥EF，
∴G为EF的中点，DG＝
1 2
EF.
∴在Rt△CEF中，GC＝ 1 EF.
∴CG＝GD；
2
②解：由①可知，DG＝CG，
∴∠CDG＝∠GCD.
又∵∠CDG＋∠GDH＝∠DCG＋∠DHG
＝90°，
∴∠GDH＝∠GHD.
∴DG＝GH. ∴CG＝GH＝1 CH.
2
∵∠ECF＝90°，G为EF中点， ∴CG＝ 1 EF.
类型三与全等和相似三角形有关的证明与计算
（2018、2017、2016、2015、2013.23）例3 如图①，点A在线段BC上，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为边AE上一点，连接DF. (1)连接BE、CD，求证BE＝CD； (2)若F为AE的中点，BA＝1 AC，求证：△ADF是等边三角形； (3)如图②，延长DF交CE于2点P，连接AP，CF交于点G，若DP∥BC， △BFC∽△FPC，求tan∠AGF的值．
(1)证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， (2)证明：∵△ABD和△ACE都是等
∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC，边三角形，
∴∠BAE＝∠DAC.
∴AB＝AD，AE＝AC，∠DAF＝
∵在△BAE和△DAC中，
180°－∠DAB－∠FAC＝60°.
AB＝AD， ∠BAE＝∠DAC， AE＝AC ∴△BAE≌△DAC(SAS)．
QF EF
(2)解：如解图，过点E作EM⊥AC于点M，EN⊥BC于点N.
在Rt△ACB中，
∵∠B＝30°，BC＝4 3 ，
∴AC＝4.
∵∠C＝∠ENB＝90°，
∴EN∥AC. ∵E为AB的中点，
例2题解图

中考数学复习练测课件专题练测5 几何图形中的证明与计算

5．(2021·张家界)如图，在 Rt△AOB 中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆交 BO 的延长线于点 C，过点 C 作 OA 的平行线，交⊙O 于点 D，连接 AD.
(1)求证：AD 为⊙O 的切线；
证明：连接 OD. ∵∠OAB＝30°，∠ABO＝90°， ∴∠AOB＝60°. ∵CD∥OA，∴∠C＝∠AOB＝60°. 又∵OC＝OD，∴△COD 是等边三角形． ∴∠COD＝60°.∴∠AOD＝180°－60°－60°＝60°＝∠AOB. 又∵OD＝OB，AO＝AO，∴△AOD≌△AOB(SAS)． ∴∠ADO＝∠ABO＝90°，即 OD⊥AD. 又∵点 D 在⊙O 上，∴AD 是⊙O 的切线．
8．(2021·株洲)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 是⊙O 上不同的两点，直线 BD 交线段 OC 于点 E，交过点 C 的直线 CF 于点 F，若 OC＝3CE，且 9(EF2－CF2)＝OC2. (2)连接 OD，AD，AC，DC，若∠COD＝2∠BOC. ①求证：△ACD∽△OBE； ②过点 E 作 EG∥AB，交线段 AC 于点 G，点 M 为线段 AC 的中点，若 AD ＝4，求线段 MG 的长度．
4．(2021·泰安)四边形 ABCD 为矩形，E 是 AB 延长线上的一点．
(2)若 AB＝AD，点 F 是 AB 上的点，AF＝BE，EG⊥AC 于点 G，如图 2，
求证：△DGF 是等腰直角三角形．证明：∵AB＝AD，
∴矩形 ABCD 是正方形．
∵EG⊥AC，
∴∠E＝∠GAE＝45°.
∴GE＝GA.
∠EAD＝∠FAD，
在△AED 与△AFD 中，∠AED＝∠AFD， AD＝AD，

安徽省2019年中考二轮复习题型三填空压轴题之几何图形多解问题

5.已知△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD＝2∶1，(题型三填空压轴之几何图形多解问题1.已知正方形ABCD的边长为42，如果P是正方形对角线BD上一点，满足△ABP≌△CBP，若△PCB 为直角三角形，则BP的长为________．2.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F 处，当△AEF为直角三角形时，BE＝________．第2题图第4题图3.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接PB、△PC，BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为________．4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P、Q分别为直线AB、BC上的点，满足PD⊥PQ，则当△PDQ为等腰三角形时，AP的长为________．23则△ABC面积的所有可能值为________．6.如图，有一张面积为10的三角形纸片，其中一边A B为4，把它剪开两次拼成一个矩形无缝隙、无重叠)，且矩形的一边与AB平行，则矩形的周长为________．第6题图第7题图7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，MN为对角线BD的垂直平分线，以BD为底边作等腰三角形BPD，使得点P落在直线MN上，且PD＝5，则AP＝________．8.在△Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2＋2，D是边AC上的动点，满足BD的垂直平分线交BC 于点E，若△CDE为直角三角形，则BE的长为________．9.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点△F，若BCD是等腰三角形，则四边形BDFC的面积为________．A C第9题图第10题图10.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝23，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E、′、三点在一条直线上时，DF的长度为________．11.已知在△Rt ABC中，斜边AB＝5，BC＝3，以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，那么当点C′落在直线AB上时，BB′＝________12.△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，使得B′C＝4，连接A′C，则△A′B′C的周长为________．13.如图，在ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使CD落在直线AB上，点C的对应点为C′，点D的对应点为D′，若BD′＝1，则AD的长为__________．第13题图第14题图14.定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．如图，在互补四边形纸片A BCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的平行四边形，则CD的长为________．15.如图，在△Rt ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，当△EDC旋转到A，D，E三点共线时，线段BD的长为________．第15题图参考答案1.4或8【解析】由题可知，∵△ABP≌△CBP，∴点P一定处于正方形对角线BD上，∴共存在两种情3. 5 或 6 【解析】如解图①，当 PB ＝PC 时，点 P 是 BC 的中垂线与 AD 的交点，则 AP ＝DP ＝ AD ＝3， 5. 8 或 24 【解析】如解图①，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝4，在 △RtABD 中，AD ＝BD ·tan B ＝4×况使△PBC 为直角三角形，(1)如解图①，当 CP ⊥PB 时，有 PC 2＋PB 2＝BC 2.又∵∠CBP ＝45°，∴PB ＝PC ， ∴BP ＝4；(2)如解图②，当 P 点与 D 点重合时△PBC 为直角三角形，BP ＝ 2BC ＝8.第 1 题解图2. 3 或 6 【解析】如解图①，当∠AFE ＝90°时，设 BE ＝x ，则 EF ＝x ，AE ＝8－x ，FC ＝BC ＝6，由勾股定理得 AC ＝ AB 2＋BC 2＝10，∴AF ＝10－6＝4，在 △Rt AEF 中，42＋x 2＝(8－x )2，解得 x ＝3，∴BE ＝3；如解图②，当∠AEF ＝90°时，四边形 BCFE 是正方形，BE ＝BC ＝6.综上所述，BE ＝3 或 6.第 2 题解图12在 △Rt ABP 中，由勾股定理可得 PB ＝ AP 2＋AB 2＝ 32＋42＝5；如解图②，当 PB ＝BC ＝6 时，△BPC 也是以 PB 为腰的等腰三角形．综上所述，PB 的长度为 5 或 6.第 3 题解图4. 1 或 7 【解析】∵△PDQ 是等腰三角形，∴分三种情况：①如解图①，若点 P 在线段 AB 上，∠DPQ ＝90°，∴PD ＝PQ ，∠APD ＋∠BPQ ＝90°，∵在矩形 ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，∴∠APD ＋∠ADP ＝90°， ∴∠ADP ＝∠BPQ ，∴△DAP ≌△PBQ (AAS)，∴PB ＝AD ＝3，∴AP ＝4－3＝1；②如解图②，若点 P 在线段 AB 的延长线上，PQ 交 CB 的延长线于点 Q ，PD ＝△PQ ，同理可证 ADP ≌△BPQ ，∴AD ＝PB ，∴AP ＝ AB ＋AD ＝3＋4＝7；③当 P 在线段 BA 的延长线上时，显然不成立，故 AP 的长为 1 或 7.第 4 题解图238 1 1 8＝3，∴S △ABC ＝2BC · AD ＝2×6×3＝8；如解图②，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝12，在 △Rt ABD 中，面积公式得10＝×4×CD，解得CD＝5，∵MN为△ABC的中位线，∴CQ＝DQ＝CD＝2.5，∴矩形AEFB形面积公式得10＝×4×CD，解得CD＝5，∵N为AC中点，CD∥EQ，∴AQ＝DQ，同理BT＝DT，∴QT ＝AB＝2，∴矩形EQTF的周长为(5＋2)×2＝14.故答案为13或14.＝2(2＋2)＝2(2＋1)，∴BE＝BC＝×2(2＋1)＝2＋1；②当∠CDE＝90°时，如解图②，∵∠A＝90°，211AD＝BD·tan B＝12×3＝8，∴△SABC＝2BC·AD＝2×6×8＝24.∴△ABC面积的所有可能值为8或24.第5题解图6.13或14【解析】分为两种情况：①如解图①，沿MN剪开，再沿CQ剪开(CD⊥AB于点D，MN为△ABC的中位线，CD交MN于点Q△)，将CQN放在△BFN的位置上，△CQM放在△AEM的位置上，由三角形1122的周长为(2.5＋4)×2＝13；②如解图②，沿NQ、MT剪开(N、M分别为AC、BC中点，EQ⊥BA于点Q，FT⊥AB于点T，CD⊥AB于点D△)，将AQN放在△CEN的位置上，△BTM放在△CFM的位置上，由三角1212第6题解图7.3或41【解析】如解图，连接BM，DN，AN，得到四边形BNDM为菱形，∴BM＝MD，AM＋MD＝AM＋BM＝AD＝8，在△Rt ABM中，设AM＝x，则BM＝8－x，AB＝4，根据勾股定理得：x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴AM＝3，MD＝5.当PB和PD在BD上方时，点P与点M重合，则AP＝AM＝3；当PB和PD在BD下方时，点P与点N重合，由对称性得到PD＝ND＝BN＝MD＝5，在△Rt ABN中，AB＝4，BN＝5，根据勾股定理得：AN＝AB2＋BN2＝42＋52＝41，此时AP＝AN＝41.综上所述，AP的长为3或41.第7题解图8.2＋1或2【解析】①当∠CED＝90°时，点D与点A重合，E是BC的中点，如解图①.∵BC＝2AB1122AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝2DE，易得BE＝DE，∴CE＝2BE，∴CE ＋BE＝2BE＋BE＝2(2＋1)．∴BE＝△2.综上所述，若CDE为直角三角形，则BE的长为2＋1或2.第8题解图9.62或35【解析】∵∠A＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，∴∠CBE＝∠DFE，∵∠BEC＝∠FED，CE＝FCH＝A′H，而∠A′B′C′＝∠B′CA′＋∠B′A′C，∴∠B′CA′＝30°，在△Rt B′CH中，∵∠B′CH＝30°，∴B′H＝CB′△DE，∴BEC≌△FED(AAS)，∴BE＝FE，∴四边形BDFC是平行四边形，①当BC＝BD＝3时，在△Rt ABD 中，AB＝32－12＝22，S四边形BDFC＝3×22＝62；②当BC＝CD＝3时，如解图，过点C作CG⊥AF于点G，则四边形ABCG是矩形，∴AG＝BC＝3，∴DG＝AG－AD＝3－1＝2，在△Rt CDG中，CG＝32－22＝5，∴S四边形BDFC＝3×5＝35；③BD＝CD时，BC边上的中线应与BC垂直，从而BC＝2AD＝2，矛盾，此时不成立．故四边形BDFC面积为62或3 5.第9题解图10.6＋27或6－27【解析】如解图①，是线段CD上一动点，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在Rt△BCE中，EC＝BC2＋EB2＝（23）2＋42＝27，∴CF＝CE＝27，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD－CF＝6－27；如解图②，F是DC延长线上一点，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠BEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在△Rt BCE 中，EC＝BC2＋EB2＝（23）2＋42＝27，∴CF＝CE＝27，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD＋CF＝6＋27，故答案为6＋27或6－27.图①图②第10题解图11.10或310【解析】①如解图①，当点C′在线段AB上时，∵AB＝5，BC＝3，∴在△Rt ABC中，AC＝AB2－BC2＝4，∵以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，∴AC′＝4，BC′＝1，B′C′＝3，∴BB′＝（B′C′）2＋（BC′）2＝10；②如解图②，当点C′在线段BA的延长线上时，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∵以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，∴BC′＝9，B′C′＝3，∴BB′＝（BC′）2＋（B′C′）2＝310.故长BB′长为10或310.图①图②第11题解图12.12或8＋43【解析】当点B′在线段BC上，如解图①，∵△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，BC＝B′C′＝6，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴△A′B′C为等边三角形，∴△A′B′C的周长为12；当点B′在线段BC的延长线上，如解图②，作B′H⊥A′C，∵△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴∠B′CA＝∠B′A′C，12＝2，∴CH＝3B′H＝23，∴A′C＝2CH＝4△3，∴A′B′C的周长＝4＋4＋43＝8＋4 3.故答案为12或815. 4 5或 5 【解析】如解图①，易得 AC ＝ AB 2＋BC 2＝4 5，CD ＝4，CD ⊥AD ，∴AD ＝ AC 2－CD 2 ＋4 3.第 12 题解图13. 4 或 8 【解析】如解图①，当点 D′在线段 AB 上时，AD′＝AB －BD′＝3－1＝2，∵E 是 AD 的中点，∴AE ＝DE ，由折叠的性质得 ED′＝ED ，∴ED′＝AE ，∵∠A ＝60°，∴△AED′是等边三角形，∴AE ＝AD′＝2，∴AD ＝4.如解图②，当点 D′在 AB 的延长线上时，AD′＝AB ＋BD′＝△4.同理可知 AED′是等边三角形，∴AE ＝AD′ ＝4，∴AD ＝8.图① 图②第 13 题解图14. 2 2＋ 6或 4 2＋2 6 【解析】如解图①，作 CE ∥AB 交 BD 于点 E ，延长 CE 交 AD 于点 F ，连接 AE ，过点 B 作 BG ⊥AE 于点 G ，∵BA ＝BC ，∴此时的平行四边形 ABCE 为菱形，∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°， ∠ADC ＝30°，AB ∥CF ，∴∠CFD ＝90°，∠BCE ＝∠BAE ＝∠AEF ＝30°，设 BG ＝m ，则 BA ＝2m ，∵菱形 ABCE 的面积为 4，∴2m ×m ＝4，解得 m ＝ 2(负值舍去)，∴AE ＝CE ＝BA ＝2 2，EF ＝AE ·cos30°＝ 6， ∴CF ＝2 2＋ 6，在 △Rt CFD 中，CD ＝2CF ＝4 2＋2 6；如解图②，作 BE ∥AD 交 CD 于点 E ，作 BF ∥CD 交 AD 于点 F ，根据折叠与裁剪可知 BE ＝BF ，此时的平行四边形 BEDF 也是菱形，∴BE ∥FD ，∴∠BEC ＝∠ADC ＝30°，∵∠A ＝∠C ＝90°，设 BC ＝n ，则 BE ＝2n ，CE ＝ 3n ，∵菱形 BEDF 的面积为 4，∴2n ×n ＝4，解得 n ＝ 2(负值舍去)，∴BC ＝ 2，DE ＝BE ＝2 2，CE ＝ 6，∴CD ＝CE ＋DE ＝2 2＋ 6，综上所述，CD 的长为 2 2＋ 6或 4 2＋2 6.第 14 题解图12 5＝（4 5）2－42＝ 80－16＝8，∴AD ＝BC ，AB ＝DC ，∠B ＝90°，∴四边形 ABCD 是矩形，∴BD ＝AC＝4 5；如解图②，连接BD ，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q ，过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P ，∵AC点，∴DE ＝ AB ＝2，∴AE ＝AD －DE ＝8－2＝6，CE ＝ ED 2＋CD 2＝2 5，∵∠ECD ＝∠ACB ，∴∠ECA＝∠DCB ，又∵EC ＝，∴△ACECA ∽△DCB ，∴ ＝＝，∴BD ＝＝，综上所述，BD 的长为4 5或12 5＝4 5，CD ＝4，CD ⊥AD ，∴AD ＝ AC 2－CD 2＝（4 5）2－42＝8，∵点 D 、E 分别是边 BC 、AC 的中12AE EC 5 6 12 5DC BCBD DC 2 55 25 .第 15 题解图① 第 15 题解图②。

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2019安徽中考数学几何图形的证明与计算专题训练类型一与全等三角形有关的证明及计算1.如图①，在等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，在等腰Rt△DCE中，∠DCE=90°，CD=CE，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、BE，点N是线段BE的中点，连接CN与AD交于点G．图①图②第1题图（1）若CN=12.5，CE=7，求BD的值．（2）求证：CN⊥AD．（3）若把等腰Rt△DCE绕点C旋转至如图②位置，点N是线段BE的中点，延长NC 交AD于点H，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．（1）解：∵∠ACB=90°，点N是线段BE的中点，∴BE=2CN=25，∵CD=CE=7，∴BD=BC-CD=17；（2）证明：在△ACD与△BCE中，⎪⎩⎨=CE CD ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CAD =∠CBE ，∵∠ACB =90°，点N 是线段BE 的中点，∴CN =BN ，∴∠CBE =∠NCD ，∴∠NCD =∠CAD ，∵∠NCD +∠NCA =90°，∴∠CAG +∠GCA =90°，∴∠CGA =90°，∴CN ⊥AD ；（3）解：（2）中的结论还成立，如解图，延长CN 至点F 使FN =CN ，连接BF ，在△CEN 与△BFN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BN EN BNF CNE FN CN ，∴△CEN ≌△BNF （SAS ），∴CE =BF ，∠F =∠ECN ，∵∠CBF =180°-∠F -∠BCF ，∠DCA =360°-∠DCE -∠ACB -∠BCE =180°-∠ECF -∠BCF ，∴∠CBF =∠ACD ，∵CE =CD ，∴BF =CD ，在△ACD 与△CBF 中，⎪⎩⎨=BC AC ∴△ACD ≌△CBF （SAS ），∴∠DAC =∠BCF ，∵∠BCF +∠ACH =90°，∴∠CAH +∠ACH =90°，∴∠AHC =90°，∴CN ⊥AD ．第1题解图2.如图，在△ABC 和△ECF 中，∠ABC =∠CEF =90°，AB =BC ，CE =EF ，连接AF ，点M 是AF 的中点，连接MB 、ME .（1）如图①，当点B 在CE 上时，求证：BM ∥CF ；（2）如图②，若∠BCE =45°，AB =a ，CE =22a ，求ME 的长；（3）如图③，若∠BCF =45°，CE :AB =m （m >1），求EM BM 的值（用含m 的代数式表示）.图① 图② 图③第2题图（1）证明：如解图①，连接MC ，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，∴∠ACB =∠BAC =45°，同理，∠ECF =45°，∴∠ACF =90°.∵M 是AF 的中点，∴AM =MC =MF ，∴∠MCF =∠MFC .在△AMB 和△CMB 中，AM CM MB MBAB BC ===⎧⎪⎨⎪⎩∴△AMB ≌△CMB （SSS ），∴∠AMB =∠BMC .∵∠AMC =∠MFC +∠MCF ，∴2∠AMB =2∠AFC ，∴∠AMB =∠AFC ，∴BM ∥CF ；（2）解：如解图②，延长BM 交CF 于点N ，连接BE 、EN ，∵∠ECF =∠BCE =45°，∴∠BCF =90=∠ABC ，∴AB ∥CF ，∴∠BAM =∠NFM ，∠ABM =∠FNM .∵M 是AF 的中点，∴AM =MF ，∴△ABM ≌△FNM ，∴BM =MN ，NF =AB =BC ，∵AB =a ，CE =22a ，∴BC =NF =a ，CF =4a ，∴CN =3a . 第2题解图①第2题解图②在△BCE 和△NFE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=EF CE NFE BCE NF BC 45，∴△BCE ≌△NFE （SAS ），∴BE =EN ，∠BEC =∠FEN ，∴∠BEC +∠CEN =∠FEN +∠CEN =∠CEF =90°，∴△BEN 是等腰直角三角形，∴BM =MN ，∴EM =BM =MN .在Rt △BCN 中，由勾股定理得BN =BC 2+CN 2=a 2+(3a )2=10a ，∴EM =BM =12BN =102a ；（3）解：如解图③，延长MB 交AC 于点N ，连接MC ，∵∠ACB =45°，∠FCB =45°，∴∠ACF =90°，∵M 是AF 的中点，∴MC =MA ，∵BC =BA ，∴MN ⊥AC ，且CN =AN ，∴BN =AN =CN ，MN =12CF =22CE .设AB =1，∵CE :AB =m ，∴CE =m ，∴AC =2，CF =2m ，∴BN =22，MN =22m ，∴BM =MN -BN =22m -22.在△CEM 和△FEM 中，⎪⎩⎪⎨⎧===FM CM EM EM EF CE ，∴△CEM ≌△FEM （SSS ），∴点C 与点F 关于EM 对称，∴EM ⊥CF ，∵AC ⊥CF ，∴EM ∥AC ，∵MN ⊥AC ，∴BM ⊥EM ，连接BE ，第2题解图③在Rt △BEC 中，由勾股定理得BE 2=CB 2+CE 2=1+m 2，在Rt △EMB 中，由勾股定理得)1(22)2222(12222+=--+=-=m m m BM BE EM ， ∴11)1(22)1(22-+=-+=m m m m BM EM . 类型二与相似三角形有关的证明及计算3.如图①，在锐角△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 的中点，点F 在AC 上，且满足∠AFE =∠A ，DM ∥EF 交AC 于点M .（1）求证：DM =DA ；（2）如图②，点G 在BE 上，且∠BDG =∠C .①求证：△DEG ∽△ECF ；②若点H 在CE 上，满足∠CFH =∠B ，且BG =5，求EH 的长.图① 图②第3题图（1）证明：∵DM ∥EF ，∴∠AMD =∠AFE ，∵∠AFE =∠A ，∴∠AMD =∠A ，∴DE =DA ；（2）①证明：∵D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC ，∴∠BDE =∠A ，∠DEG =∠C ，∵∠AFE =∠A ，∴∠BDE =∠AFE ，∴∠BDG +∠GDE =∠C +∠FEC ，∵∠BDG =∠C ，∴∠GDE =∠FEC ，∴△DEG ∽△ECF ；②解：∵∠BDG =∠C =∠DEB ，∠B =∠B ，∴△BDG ∽△BED ， ∴BDBG BE BD =，∴BD 2=BG ·BE ， ∵∠AFE =∠A ，∠CFH =∠B ，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-∠AFE -∠CFH =∠EFH ，又∵∠FEH =∠CEF ，∴△EFH ∽△ECF ， ∴ECEF EF EH =，∴EF 2=EH ·EC ， ∵DE ∥AC ，DM ∥EF ，∴四边形DEFM 是平行四边形，∴EF =DM =DA =BD ，∴BG ·BE =EH ·EC ，∵BE =EC ，∴EH =BG =5.4.如图，在矩形ABCD 中，EH 垂直平分BD ，交BD 于点M ，过BD 上一点F 作FG ∥BE ，FG 恰好平分∥EFD ，FG 与EH 交于点N ．（1）求证：DE •DG =DF •BF ；（2）若AB =3，AD =9，求FN 的长．第4题图（1）证明：∵EH垂直平分BD，∴BE=DE，∠EBD=∠EDB．∵FG平分∠EFD，∴∠EFG=∠GFD．∵FG∥BE，∴∠EFG=∠BEF，∴∠GFD=∠BEF，∴△BEF∽△DFG，∵BE=DE，∴DE•DG=DF•BF；（2）解：设DE=x，则BE=x，∵AB=3，AD=9，∴AE=9-x．在Rt△ABE中，∵∠A=90°，∴AB2+AE2=BE2，即32+（9-x）2=x2，解得x=5．在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AB=3，AD=9，∵BE=DE，∴BE2=BF•DB，∵FN∥BE，∴△MNF∽△MEB，类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算5.在正方形ABCD中，P为直线CD上一点，以PC为边作正方形CPMN，使点N在直线BC上，连接MB、MD.（1）如图①，若点P在线段DC的延长线上，求证：MB=MD；（2）如图②，若点P在线段DC上，①连接BD，当点P为DC的中点时，求证：△PMD是等腰直角三角形；②当MP平分∠DMB时，求∠DMB的度数.图①图②第5题图（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CPMN是正方形，∴BC =DC ，CN =CP =PM =MN ，∠P =∠N =90°，∴BC +CN =DC +PC ，即BN =DP ，∴△BNM ≌△DPM （SAS ），∴MB =MD ；（2）①证明：∵P 是CD 的中点，∴PD =PC ，∵四边形CPMN 是正方形，∴PM =PC ，∠DPM =∠CPM =90°，∴PD =PM ，∴△PMD 是等腰直角三角形；②解：如解图，设PC 与BM 交于点E ，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，设CD =a ，PC =b ，则PD =a -b ，∵MP 平分∠DME ，MP ⊥DE ，∴PE =PD =a -b ,CE =a -2(a -b )=2b -a ，∵PM ∥BC ，∴△PME ∽△CBE ， ∴CE PE BC PM =，即ab b a a b --=2， ∴a =2b .∵∠CDB =45°，∴EF =DE ·sin 45°=22×2(a -b )=2(2b -b )=2b -2b ，∵CE =2b -a =2b -2b ，∴EF =EC ，∵EF ⊥BD ，EC ⊥BC ，∴BE 平分∠DBC ，∴∠EBF =∠EBC =12∠DBC =22.5°，∴PM ∥BC ，∴∠DMP =∠PME =∠EBC =22.5°，∴∠DMB =45°.第5题解图6.在矩形ABCD 中，AD =4，M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上一动点，连接 EM 并延长交线段CD 的延长线于点F .（1）如图①，求证：△AEM ≌△DFM ；（2）如图②，若AB =2，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 于点G ，求证：△GEF 是等腰直角三角形；（3）如图③，若AB =23，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 的延长线于点G ，求MG ME 的值.图① 图② 图③第6题图（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠EAM =∠FDM =90°，∵M 是AD 的中点，∴AM =DM ，在△AEM 和△DFM 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DMFAME DM AM FDB A ，∴△AEM ≌△DFM （ASA ）；（2）证明：如解图①，过点G 作GH ⊥AD 于点H ，∵∠A =∠B =∠AHG =90°，∴四边形ABGH 是矩形，∴GH =AB =2，∵M 是AD 的中点，∴AM =12AD =2，∴AM =GH ，∵MG ⊥EF ，∴∠GME =90°，∴∠AME +∠GMH =90°.∵∠AME +∠AEM =90°，∴∠AEM =∠GMH .在△AEM 和△HMG 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=AHGA GMH AEM GH AM ，∴△AEM ≌△HMG （AAS ），∴ME =MG ，∴∠EGM =45°.由（1）得，△AME ≌△DMF ，∴ME =MF .∵MG ⊥EF ，∴GE =GF ，∴∠EGF =2∠EGM =90°，∴△GEF 是等腰直角三角形；（3）解：如解图②，过点 G 作GH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ， ∵∠A =∠B =∠AHG =90°，∴四边形ABGH 为矩形，∴GH =AB =23，∵MG ⊥EF ，∴∠GME =90°，∴∠AME +∠GMH =90°，∵∠AME +∠AEM =90°，∴∠AEM =∠GMH .又∵∠A =∠GHM =90°，∴△AEM∽△HMG.∴ME MG =AM GH，∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2.在Rt△GME中，tan∠MEG=MGME=GHAM=232=3.图①图②第6题解图。