2019安徽中考数学专题训练——几何图形的证明及计算

2019安徽中考数学几何图形的证明与计算专题训练

类型一与全等三角形有关的证明及计算

1.如图①，在等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，在等腰Rt△DCE中，∠DCE=90°，CD=CE，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、BE，点N是线段BE的中点，连接CN与AD交于点G．

图①图②

第1题图

（1）若CN=12.5，CE=7，求BD的值．

（2）求证：CN⊥AD．

（3）若把等腰Rt△DCE绕点C旋转至如图②位置，点N是线段BE的中点，延长NC 交AD于点H，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

（1）解：∵∠ACB=90°，点N是线段BE的中点，

∴BE=2CN=25，

∵CD=CE=7，

∴BD=BC-CD=17；

（2）证明：在△ACD与△BCE中，

⎪⎩

⎨=CE CD ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），

∴∠CAD =∠CBE ，

∵∠ACB =90°，点N 是线段BE 的中点，

∴CN =BN ，

∴∠CBE =∠NCD ，

∴∠NCD =∠CAD ，

∵∠NCD +∠NCA =90°，

∴∠CAG +∠GCA =90°，

∴∠CGA =90°，

∴CN ⊥AD ；

（3）解：（2）中的结论还成立，

如解图，延长CN 至点F 使FN =CN ，连接BF ，

在△CEN 与△BFN 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=BN EN BNF CNE FN CN ，

∴△CEN ≌△BNF （SAS ），

∴CE =BF ，∠F =∠ECN ，

∵∠CBF =180°-∠F -∠BCF ，∠DCA =360°-∠DCE -∠ACB -∠BCE =180°-

∠ECF -∠BCF ，

∴∠CBF =∠ACD ，

∵CE =CD ，

∴BF =CD ，

在△ACD 与△CBF 中，

⎪⎩

⎨=BC AC ∴△ACD ≌△CBF （SAS ），

∴∠DAC =∠BCF ，

∵∠BCF +∠ACH =90°，

∴∠CAH +∠ACH =90°，

∴∠AHC =90°，

∴CN ⊥AD ．

第1题解图

2.如图，在△ABC 和△ECF 中，∠ABC =∠CEF =90°，AB =BC ，CE =EF ，连接AF ，点M 是AF 的中点，连接MB 、ME .

（1）如图①，当点B 在CE 上时，求证：BM ∥CF ；

（2）如图②，若∠BCE =45°，AB =a ，CE =22a ，求ME 的长；

（3）如图③，若∠BCF =45°，CE :AB =m （m >1），求EM BM 的值（用含m 的代数式表示）.

图① 图② 图③

第2题图

（1）证明：如解图①，连接MC ，

在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，

∴∠ACB =∠BAC =45°，

同理，∠ECF =45°，

∴∠ACF =90°.

∵M 是AF 的中点，∴AM =MC =MF ，

∴∠MCF =∠MFC .

在△AMB 和△CMB 中，

AM CM MB MB

AB BC ===⎧⎪⎨⎪⎩

∴△AMB ≌△CMB （SSS ），

∴∠AMB =∠BMC .

∵∠AMC =∠MFC +∠MCF ，

∴2∠AMB =2∠AFC ，

∴∠AMB =∠AFC ，

∴BM ∥CF ；

（2）解：如解图②，延长BM 交CF 于点N ，连接BE 、EN ，

∵∠ECF =∠BCE =45°，

∴∠BCF =90=∠ABC ，∴AB ∥CF ，

∴∠BAM =∠NFM ，∠ABM =∠FNM .

∵M 是AF 的中点，∴AM =MF ，

∴△ABM ≌△FNM ，

∴BM =MN ，NF =AB =BC ，

∵AB =a ，CE =22a ，

∴BC =NF =a ，CF =4a ，∴CN =3a . 第2题解图①

第2题解图②

在△BCE 和△NFE 中，⎪⎩

⎪⎨⎧=︒=∠=∠=EF CE NFE BCE NF BC 45，

∴△BCE ≌△NFE （SAS ），

∴BE =EN ，∠BEC =∠FEN ，

∴∠BEC +∠CEN =∠FEN +∠CEN =∠CEF =90°，

∴△BEN 是等腰直角三角形，

∴BM =MN ，∴EM =BM =MN .

在Rt △BCN 中，由勾股定理得BN =BC 2+CN 2=a 2+(3a )2=10a ，

∴EM =BM =12BN =102a ；

（3）解：如解图③，延长MB 交AC 于点N ，连接MC ，

∵∠ACB =45°，∠FCB =45°，∴∠ACF =90°，

∵M 是AF 的中点，∴MC =MA ，

∵BC =BA ，

∴MN ⊥AC ，且CN =AN ，

∴BN =AN =CN ，MN =12CF =22CE .

设AB =1，∵CE :AB =m ，∴CE =m ，

∴AC =2，CF =2m ，∴BN =22，MN =22m ，

∴BM =MN -BN =22m -22.

在△CEM 和△FEM 中，⎪⎩⎪⎨⎧===FM CM EM EM EF CE ，

∴△CEM ≌△FEM （SSS ），

∴点C 与点F 关于EM 对称，∴EM ⊥CF ，

∵AC ⊥CF ，∴EM ∥AC ，

∵MN ⊥AC ，∴BM ⊥EM ，

连接BE ，

第2题解图③