导数的四则运算法则

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学案4：1.2.3 导数的四则运算法则

1.2.3 导数的四则运算法则学习目标(1)能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数；(2)理解并掌握复合函数的求导法则．知识导学一、导数的四则运算法则1．函数和(或差)的求导法则若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)．注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)±f2(x)±…±f n(x))′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f n′(x)．2．函数积的求导法则对于可导函数f(x)，g(x)，有[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)．注意：(1)若C为常数，则[Cf(x)]′＝C′f(x)＋Cf′(x)＝0＋Cf′(x)＝Cf′(x)，即[Cf(x)]′＝Cf′(x)，即常数与函数之积的导数，等于常数乘函数的导数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，a，b为常数．切忌把[f(x)·g(x)]′记成f′(x)·g′(x)．3．函数的商的求导法则对于可导函数f(x)，g(x)，有[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0)．注意：在两个函数积f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与g′(x)f(x)之间为“＋”号；而两个函数商f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之间为“－”号．二、复合函数的求导法则1．复合函数的求导法则一般地，设函数u＝φ(x)在点x处有导数u x′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y u′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y x′＝y u′·u x′或f′(φ(x))＝f′(u) φ′(x)或d y d x＝d y d u·d ud x，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数．2．求复合函数的导数的步骤(1)适当选定中间变量，正确分清复合关系；(2)分步求导；(3)把中间变量代回原自变量的函数．整个过程可简记为“分解——求导——回代”．熟练后，可省略中间过程．若遇多重复合，可相应的多次用中间变量．3．求复合函数的导数应处理好以下环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后要把中间变量换成自变量的函数．三、导数计算中的化简技巧有关导数的运算一般要按照导数的运算法则进行，但也不能盲目地套用公式，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，但每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运处算失误．探究点一导数的四则运算例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝2x ＋1x 2＋x 22x ＋1.归纳总结(1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式，并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确性．(2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开化为和、差的导数比用积的导数简单容易．练一练1.求下列函数的导数：(1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1；(2)y＝x cos x；(3)y＝sin2x；(4)y＝tan x＋cot x；(5)y＝x2ln x＋1log a x(a>0且a≠1，x>0)．探究点二复合函数的导数例2 求下列函数的导数．(1)y＝sin3x；(2)y＝3－x.方法总结复合函数的求导需注意以下问题：(1)分清复合函数的复合关系，看它是由哪些基本初等函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin2x )′＝2cos2x ，而(sin2x )′≠cos2x ；(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写．练一练2.求下列函数的导数：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6； (2)y ＝ln(2x 2＋3x ＋1)．探究点三求导法则的综合应用例3 求和S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1(x ≠0，n ∈N ＋)．方法总结本题事实上可用数列中的错位相减法求和解决，若利用导数转化，则可成为等比数列求和问题，从而简化运算．求解时要注意需对x 是否等于1分类讨论．练一练3.求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．当堂检测1.求函数y ＝x 3·cos x 的导数．解：y ′＝(x 3)′cos x ＋x 3·(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x .2.求y ＝x 2sin x的导数．3.求复合函数y ＝(2x ＋1)5的导数．4.函数f (x )＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)的导数为( )A ．x 2－x ＋1B ．(x ＋1)(2x －1)C ．3x 2D ．3x 2＋15、已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)·…·(x －2015)，则f ′(0)＝________.课堂小结导数的四则运算法则⎩⎪⎨⎪⎧ 函数和差积商的求导法则掌握复合函数的求导法则理解参考答案探究点一导数的四则运算例1 解：(1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′＋(6)′＝4x 3－6x －5.(2)解法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.解法2：∵y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2 ＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 解法2：∵y ＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′ ＝－(2)′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 2′＋⎝⎛⎭⎫x 22x ＋1′＝(2x ＋1)′x 2－(2x ＋1)(x 2)′x 4＋(x 2)′(2x ＋1)－x 2(2x ＋1)′(2x ＋1)2＝2x 2－4x 2－2x x 4＋4x 2＋2x －2x 2(2x ＋1)2＝－2x －2x 3＋2x 2＋2x (2x ＋1)2. 练一练1.解：(1)y ′＝4x 3－9x 2＋4x －4.(2)y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′＝cos x －x sin x .(3)y ′＝(sin2x )′＝(2sin x cos x )′＝(2sin x )′cos x ＋2sin x (cos x )′＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x .(4)y ′＝(tan x ＋cot x )′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＋⎝⎛⎭⎫cos x sin x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝1cos 2x －1sin 2x＝－cos2x cos 2x sin 2x ＝－4cos2x sin 22x . (5)y ′＝2x ln x ＋x 2·1x ＋0－1x ln a log 2a x＝2x ln x ＋x －ln a x ln 2x . 探究点二复合函数的导数例2 解：(1)设y ＝sin u ，u ＝3x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·3＝3cos3x .(2)设y ＝u ，u ＝3－x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u ·(－1)＝－123－x. 练一练 2.解：(1)设y ＝cos u ，u ＝3x －π6， ∴y ′x ＝－sin u ·3＝－3sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6. (2)设y ＝ln u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(4x ＋3)＝4x ＋32x 2＋3x ＋1. 探究点三求导法则的综合应用例3 解：当x ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2；当x ≠1时，∵x ＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝x (x n －1)x －1， ∴S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )′＝(x n ＋1－x x －1)′ ＝(x n ＋1－x )′(x －1)－(x n ＋1－x )(x －1)′(x －1)2＝1－(n ＋1)x n ＋nx n ＋1(x －1)2. 练一练3.解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)． ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0. ② 又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.当堂检测1.解：y ′＝(x 3)′cos x ＋x 3·(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x .2.解：y ′＝(x 2)′sin x －x 2·(sin x )′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. 3.解：∵函数y ＝(2x ＋1)5由函数y ＝u 5和u ＝2x ＋1复合而成， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′u ·(2x ＋1)′x＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4，即y ′x ＝10(2x ＋1)4.4.【答案】 C【解析】因为y ＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝x 3＋1，所以y ′＝(x 3＋1)′＝3x 2，故选C.5.【答案】－(1×2×3× (2015)【解析】依题意，设g (x )＝(x －1)(x －2)·…·(x －2015)，则f (x )＝x ·g (x )，f ′(x )＝[x ·g (x )]′＝g (x )＋x ·g ′(x )，故f ′(0)＝g (0)＝－(1×2×3×…×2015)．。

导数的四则运算证明

导数的四则运算证明本文讲解了求导数四则运算如何进行证明，包括加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算。

一、加法运算求解导数的加法运算是基于拉格朗日准则：“两个曲线的切线的斜率的和等于这两条曲线的斜率的和”，可以通过它来进行证明。

如果有两个函数y1=f1(x)，y2=f2(x)，则其和函数y1+y2=f1(x)+f2(x)，证明的形式如下：∂/∂x(f1(x)+f2(x))=∂/∂x(f1(x))+∂/∂x(f2(x))即求得，两个函数的导数的和等于这两个函数之和的导数二、减法运算假设有两个函数y1=f1(x)，y2=f2(x)，减法运算后y1-y2=f1(x)-f2(x)，求其导数的证明如下：∂/∂x(f1(x)-f2(x))=∂/∂x(f1(x))-∂/∂x(f2(x))即求得，两个函数的导数的差等于这两个函数之差的导数三、乘法运算假设有两个函数f1(x)，f2(x)，它们的乘积函数为f1(x)×f2(x)，对其导数求解如下：∂/∂x(f1(x)×f2(x))=f1(x)×∂/∂x(f2(x))+∂/∂x(f1(x))×f2(x)即求得，两个函数的导数的乘积等于这两个函数之乘积的导数四、除法运算假设有两个函数f1(x)，f2(x)，它们的积除函数为f1(x)÷f2(x)，对其导数求解如下：∂/∂x(f1(x)÷f2(x))=[(f2(x))×∂/∂x(f1(x))-(f1(x))×∂/∂x(f2(x))]÷(f2(x))^2即求得，两个函数的导数的商等于这两个函数之商的导数以上就是求导数四则运算的证明，可以看出，四则运算都满足拉格朗日准则，即函数的性质不变，斜率的和等于总斜率。

导数的四则运算法则

x
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地，有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ．区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）；（log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx

导数的基本公式和四则运算法则

导数的基本公式和四则运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的基本公式和四则运算法则是学习导数的基础，也是解决导数相关问题的重要工具。

首先，我们来看导数的基本公式。

对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.这个公式描述了函数在点x处的变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。

通过这个公式，我们可以求得函数在任意点的导数值，从而描绘出函数的变化规律。

接下来，我们来看四则运算法则在导数中的应用。

四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。

在导数的计算中，我们可以利用这些法则简化复杂函数的导数计算。

对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数计算规则如下：1. 和的导数，(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。

2. 差的导数，(f-g)'(x) = f'(x) g'(x)。

3. 积的导数，(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

4. 商的导数，(f/g)'(x) = (f'(x)g(x) f(x)g'(x)) / g(x)^2。

利用四则运算法则，我们可以将复杂函数的导数计算转化为简单函数的导数计算，从而更方便地求得函数的导数值。

在实际问题中，导数的基本公式和四则运算法则是非常有用的工具。

它们可以帮助我们分析函数的变化规律，解决最优化问题，以及研究曲线的性质。

因此，掌握导数的基本公式和四则运算法则对于理解微积分的重要性不言而喻。

希望通过本文的介绍，读者对导数的基本概念有了更清晰的认识，也能够更加灵活地运用导数的基本公式和四则运算法则解决实际问题。

导数基本公式与运算法则

y'
.
设 y 1 2x5x2 3x 1 求 y '
例2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ已知
f
x
x 2 x 2 ，求
x3
f ' 1
.
练习求 y tan x 的导数。
tan x' 1 sec2 x
cos2 x
cot x'

s
1 in 2
x

csc2
x.
2、复合函数的导数
定理设函数 u x 在点x 数 y f u在点u 处有导数
处有导数 du ' x ，函
dy

f
dx
' u ，则复合函数
du
y f x在该点 x 也有导数，且
dy f ' u ' x
dx
或
y
' x

yu'
u'
或 dy dy du
dx du dx
这个定理说明，复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
例题求下列函数的导数： (1) y sin 3 x (2) y 4 3x2
练习：求 y ln cosx 的导数。
由定理的结论可以推广到多次复合的情况。例如
设 y f u,u v,v x ，则复合函数 y f x
2.2导数基本公式与运算法则
1、导数的四则运算法则
1.1、代数和的导数
设函数ux和vx 在点x处可导，则 y ux vx 在点x
处也可导，且
u v' u ' v '

导数的四则运算法则

法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以用及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再法根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为

导数的运算公式和法则

导数的运算公式和法则导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。

在求导的过程中，有一些常用的运算公式和法则，可以帮助我们简化计算。

下面是一些常用的导数运算公式和法则。

一、基本导数公式1. 常数导数法则：对于任意常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。

2. 幂函数导数法则：对于任意实数n，幂函数y = x^n的导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。

特别地，当n = 0时，常数函数y = c的导数为d/dx(c) = 0。

3. 指数函数导数法则：对于底数为常数a的指数函数y = a^x，其导数为d/dx(a^x) = ln(a) * a^x。

这个法则也适用于自然对数中的指数函数y = e^x，其导数为d/dx(e^x) = e^x。

4. 对数函数导数法则：对于底数为常数a的对数函数y = log_a(x)，其导数为d/dx(log_a(x)) = 1 / (x * ln(a))。

特别地，当底数为自然常数e时，对数函数变为自然对数函数y =ln(x)，其导数为d/dx(ln(x)) = 1 / x。

5.三角函数导数法则：（1）正弦函数的导数为d/dx(sin(x)) = cos(x)。

（2）余弦函数的导数为d/dx(cos(x)) = -sin(x)。

（3）正切函数的导数为d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。

（4）余切函数的导数为d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)。

（5）正切函数和余切函数的导数也可以写成d/dx(tan(x)) = 1 /cos^2(x)和d/dx(cot(x)) = -1 / sin^2(x)。

6.反三角函数导数法则：（1）反正弦函数的导数为d/dx(arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2)。

（2）反余弦函数的导数为d/dx(arccos(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2)。

（3）反正切函数的导数为d/dx(arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)。

课件11：1.2.3 导数的四则运算法则

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1.2.3 导数的四则运算法则
学习目标 (1)能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数； (2)理解并掌握复合函数的求导法则．
知识导学一、导数的四则运算法则 1．函数和(或差)的求导法则若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x) －g(x))′＝f′(x)－g′(x)．注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．
解：(1)y′＝4x3－9x2＋4x－4. (2)y′＝x′cosx＋x(cosx)′＝cosx－xsinx. (3)y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′＝(2sinx)′cosx＋2sinx(cosx)′ ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x. (4)y′＝(tanx＋cotx)′＝csoinsxx′＋csoinsxx′ ＝cos2cxo＋s2sxin2x＋－sins2ixn－2xcos2x＝co1s2x－sin12x
归纳总结 (1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式，并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确性． (2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开化为和、差的导数比用积的导数简单容易．
练一练 1.求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1； (2)y＝xcosx； (3)y＝sin2x； (4)y＝tanx＋cotx； (5)y＝x2lnx＋lo1gax(a>0 且 a≠1，x>0)．
(2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．

导数的基本公式及四则运算法则

导数的减法法则
总结词
导数的减法法则是导数的基本运算法则之一，它指出两个函数的导数的差等于它们各自导数的差的负值。
VS
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，那么$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$ 。
导数的乘法法则
总结词
导数的乘法法则是说，如果一个函数乘以一个常数，那么它的导数就是这个常数乘以该函数的导数。
详细描述
对于对数函数f(x)=ln(x)，其导数为f'(x)=1/x。这个公式告诉我们，对数函数的斜率与x 的倒数有关。
03
导数的四则运算法则
导数的加法法则
总结词
导数的加法法则是指两个函数的导数的和等于它们各自导数的和。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，那么$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$。
04
导数在实际问题中的应用
最大值和最小值问题
总结词
导数在求解最大值和最小值问题中具有广泛应用。
详细描述
通过求导找到函数的极值点，进而确定函数的最大值或最小值。在经济学、工程技术和科学研究等领域中，求解最大值和最小值问题是一个常见的问题，导数的应用为这些问
题提供了有效的解决方案。
速度和加速度问题
导数在实际问题中的应用案例分析
总结：导数在实际问题中有着广泛的应用，通过分析导数，我们可以解决许多实际问题，如最优化问题、经济问题等。
例如，在物理学中，导数可以用来描述速度和加速度的变化；在经济学中，导数可以用来分析边际成本和边际收益；在工程学中，导数可以用来设计最优化的方案。

导数运算法则加减乘除

导数运算法则加减乘除一、导数的定义导数是微积分中重要的概念，它主要用于表达函数在某一点处的变化速度。

可以用来研究函数运动规律，反映函数曲线的变化趋势。

二、导数的运算1、加法运算规则：设函数f（x）=f1（x）+f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）+f2'（x）2、减法运算规则：设函数f（x）=f1（x）-f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）-f2'（x）3、乘法运算规则：设函数f（x）=f1（x）*f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）*f2（x）+f2'（x）*f1（x）4、除法运算规则：设函数f（x）=f1（x）/f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=（f1'（x）*f2（x）-f2'（x）*f1（x））/（f2（x）*f2（x））三、导数运算法则的应用导数运算法则广泛应用于几何、物理学、经济学、管理学等多学科，其应用范围非常广泛。

例如，在几何学中，用来描述曲线的凹凸性，在物理学中，可以用来解析运动物体的位移关系，也可以用来研究二者之间的力学原理。

在经济学中，导数法则可以用来研究经济中的边际效应，以及经济变量之间的关系。

在管理学中，可以应用导数法则进行管理绩效的诊断，以便更好地进行企业管理。

四、总结导数具有重要的概念价值和重要的应用价值，可以用来描述函数的变化，反映曲线的变化趋势。

导数运算法则几乎可以应用于各学科领域，可以使解决问题的过程更有效率。

5.2.2导数的四则运算法则

(100−98)
费用的瞬时变化率是1321元/吨.
课堂小结
1. 函数的和、差的导数运算法则
±
′
= ′ () ± ′ ().
2. 函数的积、商的导数运算法则

′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
5
2
=
5 ′
2
+
3 ′
2 2
+
]′
3 ′
2 2
5 3
3 1
= 2 + 2 ∙ 2
2
2
1
5 3
= 2 + 3 2 .
2
.
典型例题
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水的纯净度的
提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%时
所需费用（单位：元）为
5284
′ = 2
, ′ = 1 .
设ℎ = + = 2 + ；求ℎ′ .
∆
因为
∆
=
(+∆)2 + +∆ −( 2 +)
∆
(∆)2 +2 ⋅ ∆ + ∆
= ∆ + 2 + 1，
=
∆
∆
′
ℎ′ = ′ + ′ .
所以ℎ = lim
们有如下法则：

′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
2
≠0 .

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中常用的法则，它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。

在微积分中，导数表示函数变化率的概念，它可以通过极限的方法计算得到。

四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。

1.加法法则：如果两个函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)也可导，且有(d/dx)(f+g)(x) = f'(x) + g'(x)。

这个法则表明，两个函数的导数之和等于它们的和函数的导数。

2.减法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的差函数(f-g)(x)也可导，且有(d/dx)(f-g)(x) = f'(x) - g'(x)。

这个法则表明，两个函数的导数之差等于它们的差函数的导数。

3.乘法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，且有(d/dx)(f*g)(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

这个法则可以通过展开乘积并使用导数定义来证明。

它表示两个函数的导数之乘等于其中一个函数乘以另一个函数的导数再加上另一个函数乘以其中一个函数的导数。

4.除法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不等于零，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，且有(d/dx)(f/g)(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)。

这个法则可以通过乘法法则和导数的倒数法则来证明。

它表示两个函数的导数之商等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子再除以分母的平方。

总结：导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。

它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。

利用这些法则，我们可以对函数进行导数计算，从而求解各种应用问题，如曲线的切线方程、最优化问题等。

这些法则是微积分中基础且重要的内容，值得深入学习和掌握。

导数的四则运算法则(学生版无答案)

第1页共8页导数的四则运算法则基本初等函数的导数公式表导数的运算法则(1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的． (2)法则：①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f2′±…±f n ′.②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．特别地：[Cf (x )]′＝Cf′(x )．③商的求导法则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)，特别地：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．思考：商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？[提示]先对f(x)求导，即f′(x)g(x)，再对g(x)求导，即f(x)g′(x)．1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x2．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)3．已知函数f(x)＝ln xx，则f′(1)＝________.用导数的求导法则求导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝2x2＋1x－3x3；(2)y＝x＋3x2＋3；(3)y＝e x cos x＋sin x；(4)y＝x3＋lg x.应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导.第2页共8页提醒：当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，再求导.求下列函数的导数：(1)y＝1x2＋sinx2cosx2；(2)y＝x⎝⎛⎭⎪⎫x2－32x－6＋2；(3)y＝cos x ln x；(4)y＝x e x.导数运算法则的应用[探究问题]1．导数的和、差运算法则求导能拓展到多个函数吗？[提示][f 1(x)±f 2(x)±…±f n(x)]′＝f 1′(x)±f 2′(x)±…±f′n(x)．2．导数的积、商运算法则有哪些相似的地方？区别是什么？[提示]对于积与商的导数运算法则，应避免出现“积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商”这类想当然的错误，应特别注意积与商中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．第3页共8页【例2】已知函数f(x)＝ln x－ax＋1－ax－1(a∈R)．当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．1．(变换条件)本典例函数不变，条件变为“曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为x第4页共8页第5页共8页(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.(2)准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键.【巩固练习】 1．思考辨析(1)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f′(a )＝3a 2＋2x . ( ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤C g (x )′＝－Cg ′(x )g 2(x ). ( ) (3)任何函数都可以应用导数的运算法则求导数． ( )2．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2kx ，若f′(1)＝1，则k 等于( )A ．e 2B ．e3 C ．－e 2 D ．－e 33．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．224．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f′(－1)＝0，则a ＝________.5．设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．第6页共8页【作业】：1．已知函数f (x )＝sin x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( )A ．1－cos 1B ．1＋cos 1C ．cos 1－1D ．－1－cos 1 2．函数f (x )＝e x ＋x sin x －7x 在x ＝0处的导数等于( )A ．－6B ．6C ．－4D ．－53．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12C ．－12 D ．－24．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－185．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.7．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 8．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 9．求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4.第7页共8页10．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．11．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]12．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A ．13B ．－13C ．73D ．－13或5313．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在坐标原点处的切线方程为________．第8页共8页。

导数的四则运算法则

1 2
xsinx + = = -
1 2 x x
cosx = -
2xsinx + cosx 2x x
cosx + 2xsinx 2x x
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1 x 例6．求y=f（x）= 的导函数,f'(1). 3 x
2 2 1 x (1 x ) (3 x ) (1 x )(3 x ) 解： y ' ( )' 3 x (3 x 2 )2
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证明：令y=f(x)+g(x)，则
Δy = f(x +Δx)+ g(x +Δx)-[f(x)+ g(x)] =[f(x +Δx)- f(x)]+[g(x +Δx)- g(x)]= Δf +Δg
Δy Δf Δg = + Δx Δx Δx Δy Δf Δg Δf Δg lim = lim + = lim + lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δx
练习：求下列函数导函数（1）y= e2x (2) 答案:（e2x）'=2e2x ,
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y=cos2x (cos2x)'= -sin2x
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练习题 1．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，且f(x)，g(x)满足f ’(x)=g’(x)，则f(x) 与g(x)满足（ B ）（A）f(x)＝g(x) （B）f(x)－g(x)为常数函数
(1) y 2 x 3x 8
5 2
(2) y ( x 2x)( x 2)

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则1.求和规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于各自函数的导数之和。

即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)2.差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于各自函数的导数之差。

即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)3.乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

即：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)不等于零，则它们的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。

即：(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2这些四则运算法则可以用于计算复杂函数的导数。

下面通过一些简单的例子来说明这些规则的具体应用。

例子1：计算函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1的导数。

解：对于这个函数，可以按照求和规则和乘法规则分别对各项进行求导。

f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+(-3x)'+(1)'=(3x^2)+(4x)+(-3)=3x^2+4x-3例子2：计算函数g(x)=(2x^2+3x-1)/(x+2)的导数。

解：应用乘法规则和除法规则对该函数进行求导。

g'(x)=((2x^2+3x-1)'*(x+2)-(2x^2+3x-1)*(x+2)')/(x+2)^2=(((4x+3)*(x+2))-((2x^2+3x-1)*1))/(x+2)^2=(4x^2+11x+6-2x^2-3x+1)/(x+2)^2=(2x^2+8x+7)/(x+2)^2通过这两个简单的例子，我们可以看到四则运算法则在计算导数中的应用。

求导数公式及运算法则

求导数公式及运算法则求导数公式及运算法则导数是微积分中非常重要的概念，它用来描述函数在某一点的变化率。

在实际应用中，求导数可以帮助我们确定函数的最大值、最小值、驻点等，因此对求导数的理解和掌握是非常重要的。

本文将介绍一些常见的求导数公式及运算法则。

一、求导数的定义假设函数f(x)在区间[a,b]内可导，则函数在某一点x的导数表示为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，lim表示极限，h表示x自变量的增量。

二、求导数常用的公式1. 常数函数的导数：若c是常数，则f(x)=c的导数为0。

2. 幂函数的导数：对于任意实数n，f(x)=x^n的导数为：f'(x) = nx^(n-1)特别地，当n=1时，f(x)=x的导数为1。

3. 指数函数的导数：f(x)=e^x的导数为：f'(x) = e^x4. 对数函数的导数：f(x)=log_a(x)的导数为：f'(x) = 1/(x*log_a)其中a为常数，且a>0且a≠1。

5. 三角函数的导数：sin(x)' = cos(x)cos(x)' = -sin(x)tan(x)' = sec^2(x)这里的sec(x)表示secant（正割）函数。

三、四则运算法则求导数不仅可以针对单个函数进行，还可以对多个函数之间进行四则运算。

下面介绍求导数的四则运算法则。

1. 和差法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)+g(x)]' = f'(x) + g'(x)[f(x)-g(x)]' = f'(x) - g'(x)即求和或求差的导数等于各自的导数之和或差。

2. 乘法法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)即求两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第二个函数的导数乘以第一个函数。