第二十讲矩阵的对角化

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§7.52020线性变换的对角化

k1λmξ1 + k2λmξ2 + " + km−1λmξm−1 + kmλmξm = 0 （7.5.3）
把（7.5.2）减去（7.5.3）得：
k1(λ1 − λm )ξ1 + k2 (λ2 − λm )ξ2 + " + km−1(λm−1 − λm )ξm−1 = 0 由假设知，ξ1,ξ2 ,",ξm−1 线性无关，故得
⎞ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜
0 0
⎞ ⎟ ⎟
,
⎝⎜ −3 −6 −3⎠⎟ ⎝⎜ x3 ⎠⎟ ⎝⎜ 0⎠⎟
其基础解系为
⎛1⎞
η3
=
⎜ ⎜
−2
⎟ ⎟
⎜⎝ 3 ⎟⎠
⎛ −2 1 1 ⎞
⎛2 0 0 ⎞
故A可对角化，令
T
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
0 1
−2 3
⎟ ⎟⎟⎠
,
则
T ′AT
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2 0
0 −4
⎟ ⎟⎟⎠
ki (λi − λm ) = 0, i = 1, 2,", m − 1 。又由于 λi ≠ λm , i = 1, 2,", m − 1, 故得 ki = 0, i = 1, 2,", m − 1 代入（7.5.1）得 kmξm = 0, 又 ξm ≠ 0, 故 km = 0 。
因此 ξ1,ξ2 ,",ξm 线性无关。
结论（1）若 dimV = t1 + t2 + " + ts , 则 σ 可对角化；（2）若 t1 + t2 +" + ts < dimV , 则 σ 不可对角化。

对角化原理

对角化原理
对角化原理是线性代数中的一个重要概念，它涉及到将一个矩阵转换为对角矩阵的过程。

通过对角化，我们能够将一个复杂的矩阵问题简化，从而更容易地解决相关问题。

对角化原理的基本思想是将一个矩阵相似于一个对角矩阵。

对角矩阵是一个除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。

通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的特征向量和对应的特征值。

为了将对角化原理应用于实际问题，我们需要找到一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。

这个过程称为矩阵的对角化。

如果存在这样的可逆矩阵P，那么称矩阵A是可对角化的。

矩阵可对角化的条件是其所有特征值都是非零的，且每个特征值对应一个线性无关的特征向量。

如果这些条件满足，则存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是对角矩阵。

对角化原理的应用非常广泛，包括数值分析、信号处理、图像处理、控制系统等领域。

例如，在信号处理中，对角化可以用于将信号分解为一组正交的基函数，从而更好地理解和分析信号的特性。

在控制系统理论中，对角化可以用于分析系统的稳定性和性能。

总之，对角化原理是一种重要的数学工具，它可以简化复杂矩阵问题，并将其分解为一组简单的特征向量和特征值。

通过将对角化原理应用于实际问题，我们可以更好地理解和分析相关问题的特性，从而为实际应用提供更好的解决方案。

矩阵的对角化

Λ

0
1
0

，则有
A PΛP1
0 0 0
1 1 0
从而
An

(PΛP 1)n

PΛn P 1

2
2
0

4 2 1
23
(3) f ( A) A3 3A2 A 2I Pf ( Λ)P1
f (1)

Hale Waihona Puke P
22
(2) 解方程组 (I A)x 0 ，得对应于 1 的2个线性无关的特征向量 p1 (1, 2, 0)T , p2 (0, 0,1)T
解方程组 (0I A)x 0 ，得对应于 0
的1个线性无关的特征向量 p3 (1,1, 2)T
1 0 0
令
P ( p1, p2 , p3 )及
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
幂等矩阵
定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1.
(2)
幂等矩阵一定相似于形如
Ir

0
0 0

的对称阵.
幂零矩阵
定义设 A 为 n 阶方阵, 若满足 Am 0 (ｍ为正整数），则称

*
2
L

M M L

*
*L
n

则 1, 2 ,L , n
是A的全部特征值。
4
3.2.2 矩阵的对角化定理3.6 n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充
分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。充分性设方阵A的n个线性无关的特征向量

实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例

探索新的实对称矩阵对角化方法
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化，可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。

矩阵对角化

引言在高等代数中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在线性空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.基本概念定义定义1 常以n m P ⨯表示数域P 上n m ⨯矩阵的全体，用E 表示单位矩阵.定义2 n 阶方阵A 与B 是相似的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异的方阵矩阵T n n P ⨯∈，使得AT T B 1−=或者BT T A 1−=.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：AE E A 1−=； ②对称性：若A 相似于B ，则B 相似于A ； ③传递性：如果A 相似于B ，B 相似于C ，那么A 相似于C . 定义3 n 阶方阵A 与B 是合同的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异方阵T n n P ⨯∈，使得B =T T AT 或者BT T A T =.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：A =AE E T ；②对称性：由AT T B T =即有11)(−−=BT T A T ；③传递性：由111AT T A T=和2122T A T A T =有)()(21212T T A T T A T =.定义4 式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯m b b b 000000021的m 阶方阵叫对角矩阵，这里i b 是数（),2,1m i ⋯⋯=. 定义5 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A 1−=，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可相似对角化. 定义6 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A T =，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可合同对角化.定义7 矩阵的初等变换：⑴互换矩阵的第i 行(列)于j 行(列)； ⑵用非零数c P ∈乘以矩阵第i 行(列)；⑶把矩阵第j 行的t 倍加到第i 行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三种初等矩阵：①单位矩阵经过初等变换⑴得),(j i P 且),(),(1j i P j i P =−；②单位矩阵经过初等变换⑵得))((t i P 且)/1(())((1t i P t i P =−；③单位矩阵经过初等变换⑶得))(,(t j i P 且))(,())(,(1t j i P t j i P −=− 定义9 设方阵n n P B ⨯∈，若E B =2，就称B 为对合矩阵。

线性代数—实对称矩阵的对角化

8 − 14 T T (0,−2,−1,3) = (1,1,−2,0)T . = (3,5,1,−1) − (1,1,1,1) − 4 14
T
9
1 − 1 4 例4 将向量组 α 1 = 2 , α 2 = 3 , α 3 = − 1 − 1 1 0 标准正交化. 标准正交化. 解 β1 = α1 , − 1 1 − 1 − 1 4 5 (α 2 , β 1 ) β2 = α2 − β1 = 3 − 2 = 1 , β2 = 1 , ′ ( β1 , β1 ) 1 6 − 1 3 1 1 ′ (α 3 , β 1 ) (α 3 , β 2 ) ′ β3 = α3 − β1 − β2 ′ ′ ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
6 1 4 1 − 1 2 − 5 1 ′ = − 1 − 2 − 1 = 0 , β3 = 0 , 1 0 6 − 1 3 1 3 6
10
1 − 1 1 β1 = 2 , β 2 = 1 , β 3 = 0 , ′ ′ − 1 1 1
再单位化, 再单位化
1 1 − 1 1 1 1 γ1 = 2 , γ2 = 0 . 1 , γ3 = 6 2 3 − 1 1 1
n维基本单位向量组 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n 是两两正交的。是两两正交的。
ε 1 = (1, 0, ⋯ , 0)T , ε 2 = (0, 1, ⋯ , 0)T , ⋯ ,
ε n = (0, 0, ⋯ , 1)T ,

矩阵的正交对角化

矩阵的正交对角化是线性代数中一个重要的概念和方法。

正交对角化是指将一个实对称矩阵或复Hermite矩阵通过相似变换，化为对角矩阵的过程。

在这个过程中，新的矩阵具有一些特殊的性质，其中对角元素是原矩阵的特征值，而非对角元素为零。

要进行矩阵的正交对角化，首先需要满足两个条件：矩阵的特征值存在且为实数，且矩阵的特征值对应的特征向量构成一组正交向量组。

对于实对称矩阵和复Hermite矩阵而言，这两个条件是成立的。

以实对称矩阵为例，假设有一个实对称矩阵A，其特征值为λ1, λ2, ...,λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。

由于实对称矩阵的特征值都为实数，所以可以得出特征向量是线性无关的，并且可以正交化得到一组标准正交基{u1, u2, ..., un}。

接下来，将标准正交基{u1, u2, ..., un}作为列向量组成一个矩阵U，其中每一列就是一个单位特征向量。

由于特征向量是一个实数域上的向量，对于任意的特征向量ui和uj，都有其内积成立：ui·uj = δij。

然后，构造一个对角矩阵Λ，其对角线上的元素为矩阵A的特征值。

即Λ = diag(λ1, λ2, ..., λn)。

由于特征向量构成一组标准正交基，可以得到一个正交矩阵U，使得U^T·U = U·U^T = I，其中I为单位矩阵。

最后，可以得到正交对角矩阵D，使得D = U^T·A·U，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素即为A的特征值。

这个过程就是矩阵的正交对角化。

矩阵的正交对角化具有很多重要的意义。

首先，对角化可以将一个复杂的矩阵转化为一个很简单的矩阵，对于计算特征值和特征向量等操作提供了便利。

其次，正交对角化可以保留矩阵的一些重要性质，如行列式的性质、迹的性质、矩阵的幂等性等。

再次，正交对角化也为解决线性方程组和常微分方程等问题提供了基础。

需要注意的是，并非所有的矩阵都能进行正交对角化。

《线性代数》教学课件—矩阵的相似、对角化

k个
若A PB P 1 , 则
k
1
A PB P 1 PB P
PB P 1 PB P 1 P B k P 1 .
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1
判断下列实矩阵能否对角化？
1 2 2

(1) A 2 2 4
2

4

2

解
2 1 2

( 2) A 5 3 3
1 0 2

1
(1)由 E A

2
2
2
2
2 4
4
2
2 7
为对角阵，称矩阵A可对角化或相似于对角阵。
定理（重要结论）n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化)
的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
1
假设存在可逆阵
P
,
使
P
AP 为对角阵,
定理证明：
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由 P 1 AP , 得AP P ,
1

2

即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn

1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
n

A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1 , 2 p2 ,
2

矩阵对角化的方法

矩阵对角化的方法
矩阵对角化是将一个方阵通过相似变换，转化为对角矩阵的过程。

常用的矩阵对角化方法有以下几种：
1. 特征值分解：对于一个可对角化的矩阵，可以通过求解其特征值和特征向量来进行对角化。

首先求解矩阵的特征值，然后求解每个特征值对应的特征向量，并将这些特征向量排列成一个矩阵，将原矩阵相似变换到对角矩阵。

2. 正交对角化：对于实对称矩阵，可以通过正交对角化的方法进行对角化。

首先通过特征值分解求解出特征值和对应的特征向量，然后将特征向量单位化得到正交矩阵，再进行相似变换得到对角矩阵。

3. Jordan标准形：对于不可对角化的矩阵，可以通过Jordan标准形对其进行对角化。

首先求解矩阵的特征值和对应的特征向量，然后通过Jordan标准形的分块结构将矩阵进行相似变换得到对角矩阵。

需要注意的是，并不是所有矩阵都可以对角化。

只有满足一定条件的矩阵才可以进行对角化。

矩阵对角化的步骤

矩阵对角化的步骤引言矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，它可以将一个矩阵变换为对角矩阵，从而简化一些运算和求解问题的过程。

本文将通过介绍矩阵对角化的基本概念、性质和步骤来深入探讨该主题。

什么是矩阵对角化矩阵对角化是指通过相似变换将一个矩阵变换为对角矩阵的过程。

对角矩阵是一种特殊的方阵，它的非主对角线上的元素全都是0，而主对角线上的元素可以是任意的数。

对角矩阵在一些问题的求解过程中具有简化运算的作用。

矩阵对角化的条件要将一个矩阵对角化，需要满足以下条件： 1. 矩阵必须是方阵，即行数和列数相等。

2. 矩阵必须有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵的维度。

矩阵对角化的步骤对于一个满足对角化条件的矩阵，下面是进行矩阵对角化的步骤：步骤1：求矩阵的特征值首先，我们需要求出矩阵的特征值。

矩阵的特征值是一个标量，它满足方程Ax=λx，其中A是矩阵，λ是特征值，而x是对应于特征值λ的特征向量。

步骤2：求特征值对应的特征向量在求得矩阵的特征值之后，我们需要求解特征值对应的特征向量。

通过解方程(A−λI)x=0，其中A是矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵，x是特征向量，可以得到特征向量。

步骤3：构成特征向量矩阵将步骤2中求得的特征向量按列构成一个矩阵P，这个矩阵称为特征向量矩阵。

步骤4：构成特征值矩阵将步骤1中求得的特征值按对角线排列成一个对角矩阵Λ，其它位置上的元素为0。

步骤5：对角化通过相似变换，即A=PΛP−1，将矩阵A变换为对角矩阵Λ。

这个过程中，矩阵P是特征向量矩阵，Λ是特征值矩阵。

矩阵对角化的意义和应用矩阵对角化在数学和工程中有着广泛的应用。

其主要意义在于简化问题的求解过程和分析矩阵的性质。

以下是矩阵对角化的一些具体应用：1.矩阵求幂一步计算: 对角化可以将矩阵的幂指数形式A n化简为PΛn P−1的形式，其中Λn是对角矩阵每个元素分别进行幂运算，大大简化了计算的复杂度。

2.线性差分方程的求解: 微分方程可以用矩阵表示，对角化可以将不易求解的高阶微分方程转化为一组一阶方程，从而简化求解过程。

矩阵的对角化

摘要矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的．矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。

对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。

目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究。

在归纳总结前人的基础之上，先给出了与对角化相关的概念，其次讨论了矩阵对角化的几个等价条件，最后总结了一些有关矩阵对角化的应用。

关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化AbstractMatrix diagonalization refers similarity matrix and a diagonal matrix, The simplest form of a diagonal matrix plays an important role in matrix theory, Therefore Matrix diagonalization problem is very practical value.Whether matrix diagonalization matrix is a very important property. To be similar to the necessary and sufficient condition for understanding keratosis, has been one of linear algebra learning difficulties. At present more comprehensive and in-depth study of the matrix can be diagonalized conditions, matrix methods and the use of matrix diagonalization diagonalization of everything. In summarizing the basis of their predecessors, with the first given diagonalization related concepts, followed by discussion of the matrix diagonalization of several equivalent conditions and, finally, the application of some of the matrix diagonalization.Keywords: square; characteristic value; eigenvectors; diagonalization目录引言 (1)一矩阵可对角化的概念 (2)1.1 特征值、特征向量的概念 (2)1.2 矩阵可对角化的概念 (2)二矩阵可对角化的几个等价条件 (4)2.1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明 (4)2.2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 (8)三矩阵可对角化的应用 (9)3.1具体矩阵对角化的求解过程 (9)3.2矩阵对角化的应用 (13)3.2.1在反求矩阵方面的应用． (13)3.2.2 求方阵的高次幂 (14)3.2.3 求行列式的值 (15)3.2.4求一些具有线性递推关系组的数列的通项和极限 (16)3.2.5 在二次曲面上的一些应用 (17)结论 (19)致谢............................................... 错误!未定义书签。

矩阵的对角化

矩阵对角化一、矩阵的对角化涉及到四个方面的问题：（1）可对角化的判定；（2）相似矩阵的性质与应用；（3）一般矩阵的对角化及应用；（4）实对称矩阵的正交对角化及应用。

二、与方阵的对角化的相关的命题：思路：①n 阶方阵A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量；②对n 阶方阵A 的任一特征值i λ（设i k 为重根），有()i i n r E A k λ--=例：已知2253111a A b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭有特征值问A 能否对角化？说明理由。

解：由于1±是A 特征值，将其代入特征值方程，求其行列式有 A =71)01a a E--+=⇒=-（ 2(3)03E A b b --=-+=⇒=-故212533111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭3333111(1)2(3)(1)2i iii i aλλλ===⇒+-+=+-+-⇒=-∑∑那么A 有3个不痛的特征值，故A 可以对角化。

例：设A 为3阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足1123+A αααα=+，223A =2+ααα，323A =2+3ααα。

（I ）求矩阵B ，使得()()123123,,,,A B αααααα=；（II ）求巨神A 的特征值；（III ）求可逆矩阵P 使得1P AP -为对角矩阵。

解：（I ）由题设条件，有：()()()1231231232323,,,,,2,23A A A A ααααααααααααα==++++()123100,,122113ααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可知100122113B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（II ）因为123,,ααα是线性无关的三维列向量，可知矩阵()123,,C ααα=可逆，且由AC CB =，有1C AC B -=，即矩阵A 与B 相似，由此可得矩阵A 与B 有相同的特征值。

由()()2100122140113E B λλλλλλ--=---=--=---得矩阵B 的特征值，也即矩阵A 的特征值为121λλ==，34λ=（III ）对应于121l l ==解齐次线性方程组()0E B x -=，得基础解系：()()121,1,0,2,0,1T Tx x =-=-对应于34l =解齐次线性方程组()40E B x -=，得基础解系：()30,1,1Tx =令矩阵()123120,,101011Q ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则 1100010004Q BQ -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()()1111Q BQ Q C ACQ CQ AC CQ ----==记矩阵()()123121323120,,101,2,011P CQ ααα--⎛⎫⎪===-∂+∂-∂+∂∂+∂ ⎪ ⎪⎝⎭则有11p AP Q BQ --=为对角矩阵，故Ｐ即为所求的可逆矩阵。

线性代数矩阵的对角化

1 0 0 P AP = 0 1 0 . 0 0 − 2
−1
则有
−1 1 1 −2 0 P −1 AP = 0 1 0 0
−2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
则有
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．．要相互对应
故
Ak = Pdiag(λ1k ,⋯ , λnk ) P −1
λ1k = P P −1 (6(6-11′) ⋱ k λn
λ2k
λ −4 λI − A = 3
3
−6 λ +5 6
0 0
= (λ − 1) (λ + 2)
2
λ −1
所以A的全部特征值为 λ1 = λ2 = 1, λ3 = −2.
− 2 ξ1 = 1 , 0
0 ξ2 = 0 . 1
将 λ3 = −2代入 (λI − A ) x = 0, 得方程组的基础解系
例3 试将矩阵
解特征多项式为
k (λ ) = 3− λ 2 2
3 − 1 − 2 对角化. A= 2 0 − 2 2 − 1 − 1
故特征方程有根
λ (λ − 1) 2 = 0
λ1 = 0, λ 2 = λ3 = 1
为
对于λ1=0, (6(6-1′)
−1 −2 3− λ 1 2 −λ −2 = 2 2 λ −1 −1− λ 2 1 1+ λ
ρλ = mλ
（证略）证略）
例５考察矩阵 A =
1 1 是否可对角化. 0 1
可求出对应于特征值λ=1的特征向量. 由于方程组的系数矩阵之秩为1，故对应的特征子空间是1维的，维的，即

矩阵的相似对角化

2 4
2
4 2
2 7
0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入 A 1 E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
将3 2代入 A E x 0, 得方程组的基础解系
3 1,1,1T .
所以 A 可对角化. 0 1 0 1 1 1
0 1 0 . 0 2 0
由于 1 , 2 , 3 线性无关. 2 令 P 1 , 2 , 3 1 0 1 1 则有 P AP 0 0
§2
矩阵的相似对角化
一、相似矩阵的概念义1 设 A , B 都是 n 阶矩阵, 若有可逆矩阵 P ,
使 P 1 AP B , 则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵 A 与 B 相似.
记为 A ~ B
显然，矩阵的相似满足如下三个基本性质： (1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性 A~A； A ~ B ，则 B ~ A ； A ~ B, B ~ C, 则A ~ C 。
1 若令P 3 , 1 , 2 1 1 2 0 1 则有 P AP 0 1 0 0
注意
2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．
例 3
故A 不能化为对角矩阵.
6 0 4 例2 设A 3 5 0 3 6 1 A能否对角化？若能对角化, 则求出可逆矩阵P , 使P 1 AP为对角阵.
解

矩阵的对角化

矩阵的对角化学生姓名：马莉莹指导老师：朱广俊数学科学学院，2008级，数学与应用数学（师范）我们知道属于特征值i λ的特征向量i X 满足()0i i A I X λ-=，1,2,,,i n = 即它们满足如下条件：,1,2,,.i i i AX X i n λ== 其中（4-9）若将矩阵A 的特征向量i X 作为列向量所组成的n 阶方阵记为X ，则等式（4-9）可以表示为AX X =Λ （4-10）其中Λ是一个对角矩阵，且主对角线上的元素为A 特征值；即，12000000n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭（4-11）已经证明了属于不同特征值的特征向量是线性无关的（定理4-1）.所以，当i λ互不相同时，矩阵X 是非奇异的.当在等式（4-10）两边同时乘以1X -，可得到1X AX -=Λ （4-12）因此，通过特征向量所组成的矩阵和它的逆，我们能将特征值互异的矩阵A 变成一个主对角线上的元素为其特征值的对角矩阵.等式（4-12）所表示的变换称为矩阵A 的对角变换.如果矩阵A 的特征值不是互异的，那么A 未必可对角化.例如，矩阵3103A ⎛⎫= ⎪⎝⎭不能如（4-12）那样对角化.对于等式（4-12）中的矩阵A ，称为与对角矩阵相似.一般地，对任意两个同阶方阵A 和B ，如果存在一个非奇异的矩阵C ，使得1C AC B -=，则称方阵A 和B 是相似的，称由A 到B 的变换为相似变换.特别地，若矩阵B 是一个对角矩阵，且主对角线上的元素均是A 的特征值，则称矩阵B 是矩阵A 的标准形.除了主对角线上的元素的顺序外，该标准形是唯一的.在等式（4-12）中，我们称由矩阵A 的特征向量i X 构成的矩阵X 为矩阵A 的模态矩阵.矩阵的特征向量乘以任意非零常数后仍是该矩阵的特征向量.因此,矩阵A 的模态矩阵并非是唯一的.例1 试判断矩阵6221A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭和8631B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭是否是相似的. 解：若A 和B 相似，则存在一个2阶的可逆矩阵C 使得1C AC B -=；即AC CB =.令0.a b C ad bc c d ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭且则 6286=-2131a b a b c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6262836.22836a c a d a b a b a c b d c d c d ++--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-+-+--⎝⎭⎝⎭利用矩阵相等可得下面的齐次线性方程组2320273067202620a b c a c d a b d b c d --=⎧⎪+-=⎪⎨--=⎪⎪+-=⎩37,26,2,2a t s b t s c s d t =-=-==，其中s t 和是任意实数，为该齐次线性方程组的解.因此，存在一个可逆矩阵372622t s t s C s t --⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中s t 和是任意实数. 由0C ≠可得22618120t st s -+≠()()6120,t s t s --≠ 2.t s t s ≠≠且因此矩阵A 和B 是相似的.令0, 1.s t == 则1113233,,02102C C -⎛⎫- ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭且有11162328633.210231102C AC B -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭故A 与B 相似.例2 证明相似矩阵具有相同的行列式和相同的特征值.解：设A 和B 是相似矩阵，则存在一个与A 和B 同阶的可逆矩阵C ，使得1C AC B -=.由性质矩阵乘积的行列式等于行列式之积，可得111B C A C C C AC C A I A A---=====则()()111A I C A I CC AC C IC B I λλλλ----=-=-=-即A 和B 有相同的特征多项式,由此易知:矩阵A 和B 有相同的特征方程和特征值.值得注意的是：例2的逆命题不成立.例如矩阵10120101A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和有相同的特征值12==1λλ且A B =，但对于任意2阶可逆矩阵1C C AC I -=有,但.I B ≠,所以矩阵A 和B 不是相似的.例3 证明对所有自然数n 有n n i i i A X X λ=.解：可用数学归纳法来证明该等式：由（4-9）知 i i i AX X λ= i i i AX X λ=假设对任意正整数k 有k k i i i A X X λ=.由（4-9）得11k k k k i i i i i i i A X A X AX X λλλ++===即对所有自然数n 有n n i i i A X X λ= （4-13）若A 是具有n 个不同实特征值的n 阶实对称矩阵，则与n 个不同实特征值对应的特征向量是相互正交的（定理4-5）.若将每一个特征向量通过适当的乘法进行正规化，则由其作为列向量组成的矩阵是一个正交矩阵.我们称用正交模态矩阵作用的变换为正交变换；即矩阵A 的正交变换为变换T C AC ，其中C 是一个正交矩阵.若一个n 阶实对称矩阵有多个特征值，则我们总能得到n 个彼此正交的单位向量.我们也能得到与其它特征向量正交的r 个线性无关的特征向量是一个r 重特征值对应的特征向量.此外，可取这些特征向量两两正交.我们假定实对称矩阵的这些性质均是成立的，而它的有关证明则将留在更有深度的线性代数文本中去讨论.定理4-6 每一个实对称矩阵均可通过正交变换化为标准型.定理4-6有时也称为主轴定理.我们将在本章的后段部分讨论该定理在解析几何中的应用.例4 设3113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭.试求将矩阵A 变换为标准形的正交矩阵.解：A 的特征方程是2680λλ-+=；由此可得A 的特征值12λ=，24λ=.与特征值12λ=对应的特征向量为11.22T-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 与特征值24λ=对应的特征向量为11.22T ⎛⎫ ⎪⎝⎭因此将矩阵A 变换为标准形的正交矩阵为 1122;1122⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭即 111131202222111311042222-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

矩阵的对角化及二次型

第五章矩阵的对角化及二次型说明与要求:在矩阵分析和一些经济问题的计算中往往可归结为如下的数学问题：对于n⨯n矩阵A，求数λ和非零的n维向量α，使关系式Aα=λα成立．这样的数称为A的特征值，α称为特征向量．本章介绍矩阵的特征值及特征向量的概念、计算方法以及它们的一些基本性质，并讨论一些与它们有关的矩阵问题．本章的中心问题是研究矩阵的相似对角化，而在研究过程中，矩阵的特征值和特征向量是一个有力的工具，而且这些概念本身也是很重要的．我们要深刻理解矩阵的特征值和特征向量的概念、熟练掌握求特征值和特征向量的方法．对于抽象给出的矩阵要会用定义求解(实际是求特征值的取值范围)；对于具体数字给出的矩阵，一般先从特征方程|λA-E|=0求出特征值，再解齐次线性方程组(λA-E)X=0，基础解系就是λ所对应的线性无关的特征向量．相似对角化是重点，要掌握相似矩阵的概念和矩阵对角化的条件，注意一般矩阵与实对称矩阵在对角化方面的联系与区别．既要能求出矩阵A的相似对角矩阵Λ(当A可对角化时)，又要会用特征值、特征向量、相似、可对角化等确定A的参数．会利用对角化求A m．知道非负矩阵的定义及有关性质．二次型指的是数域P上的n元二次齐次多项式，它的研究起源于解析几何中化二次曲面的方程为标准形式的问题．二次型不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到．在这一章里，我们用学过的矩阵知识来讨论二次型的一些最基本的性质．二次型与实对称矩阵之间有一一对应的关系．一方面，二次型的问题可以用矩阵的理论与方法来研究；另一方面，实对称矩阵的问题也可转化成二次型的思想方法来解决．本章的另一中心问题是化二次型为标准形和二次型的正定性．学习时，应在掌握二次型的矩阵表示的基础上，熟练掌握化标准形的方法(配方法、初等变换法和正交变换法)．以及二次型正定的充要条件和正定性的判定．用正交变换法化二次型为标准形与实对称矩阵正交相似对角形是同一个问题，而以两种形式出现．若用正交变换化二次型X T AX为标准形Y TΛY，则A与对角矩阵Λ既相似又合同，Λ由A的特征值所组成．若用配方法化X T AX为标准形Y TΛY，则A与对角矩阵Λ仅仅是合同．此时对角矩阵Λ的元素不唯一．。

矩阵对角化的步骤

矩阵对角化的步骤矩阵对角化是线性代数中一项重要的技术，它可以将一个复杂的矩阵转化为一个更简单的对角矩阵。

在实际应用中，对角化可以帮助我们简化数学计算、解决方程组和求解特征值等问题。

下面将介绍矩阵对角化的步骤。

一、什么是矩阵对角化？在线性代数中，一个n×n的方阵A称为可对角化矩阵，当且仅当它可以表示成PDP−1的形式，其中P是可逆方阵，D是对角矩阵。

也就是说，通过一系列变换可以将原始矩阵转换为一个对角矩阵。

二、为什么要进行矩阵对角化？1. 简化计算通过对角化可以将原始矩阵转换为一个更加简单的形式，使得计算更加容易。

例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵可对角化，则可以直接求出其逆和行列式等参数。

2. 求解特征值通过对角化可以求出一个矩阵的特征值和特征向量。

这些参数在许多应用中都非常重要，例如图像处理、信号处理和物理建模等领域。

三、矩阵对角化的步骤1. 求出矩阵的特征值和特征向量对于一个n×n的矩阵A，首先需要求出它的n个特征值λ1,λ2,…,λn 和对应的特征向量v1,v2,…,vn。

这一步可以通过求解矩阵A−λI的零空间来实现，其中I是单位矩阵。

具体地，我们需要求解线性方程组(A−λI)x=0，并找到所有非零解x。

这些非零解构成了矩阵A的特征向量。

2. 构造特征向量矩阵P将所有求得的特征向量按列排成一个矩阵P=[v1v2⋯vn]，称为特征向量矩阵。

注意到如果某个特征值有多个线性无关的特征向量，那么它们都可以被加入到P中。

3. 求出对角化矩阵D将所有求得的特征值按对角线排列构成一个对角矩阵D=diag(λ1,λ2,…,λn)。

4. 求出逆变换矩阵P−1由于P是由线性无关的特征向量构成的矩阵，因此它是可逆的。

我们可以通过高斯-约旦消元法或矩阵求逆公式等方法求出P的逆矩阵P−1。

5. 检验对角化结果将对角化矩阵D和逆变换矩阵P−1代入PDP−1，即可得到原始矩阵A的对角化形式。

为了检验结果是否正确，可以计算PDP−1与原始矩阵A之间的误差。

矩阵的对角化的应用

矩阵的对角化的应用摘要：矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。

对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。

本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幕、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、向量空间、线性变换等方面的应用•关键词：对角化；特征值；特征向量；相似一、概念所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似\ 0 »0 - 0定义1:如下形式的nXn矩阵A = 1° 0…入J称为对角矩阵简记为AL 1. X=diag（一，◎,，一）定义2:把矩阵A （或线性变换T ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幕的乘积，所有这些一次因式方幕（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A （或线性变换T ）的初等因子。

定义3:设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f（x）使得f（x）=O，则称f（x）以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。

定义4:设V是P上的线性空间，°是V上的一个变换，如果对任意①卩£ V和上€ P都有点咽丽心阶㈣ 5何，则称。

为V的一个线性变换定义5:设0是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数A 和V中非零元素CL使得加，则称玄为0的一个特征值，而称亿为0的属于特征值k的一个特征向量，由0的属于特征值2的全部特征向量再添上零元素构成的集合叫一匕|。

何一丄观创构成V的一个子空间，称为0的一个特征子空间。

定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X 使得B二X "AX,则称A相似于B,记为M' B,并称由A变到B得变换为相似变换，称X为相似变换矩阵。

矩阵的对角化

第四章矩阵的对角化对于一个矩阵，如何寻找一个适当的变换，在将其变为简单矩阵的同时，保留原矩阵的一些重要特征，这是矩阵论中一个非常重要的问题.在这一问题的研究中，矩阵的特征值和特征向量的概念起着非常重要的作用.拉普拉斯在19世纪初提出了矩阵的特征值的概念.1854年，若尔当研究了矩阵化为标准形的问题.1885年,埃尔米特证明了一些特殊矩阵的特征根的性质，后人称之为埃尔米特矩阵的特征根性质，凯莱1858年发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》，文中研究了方阵的特征方程和特征值的一些基本结果，克莱布什等证明了对称矩阵的特征根性质.在这一问题的研究史上，值得重点介绍的是下面两位数学家：第一位是柯西，他首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值.第二位是弗罗贝尼乌斯，正是他引入了矩阵的相似变换、合同矩阵、正交矩阵等重要概念，并讨论了正交矩阵和合同矩阵的一些重要性质.矩阵的特征值、特征向量和仿真的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分，它不仅在数学的各个分支有重要作用，而且在其他学科如工程技术、数量经济分析等领域有着广泛的应用.本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵在相似意义下的对角化问题，并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1 矩阵的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的概念在工程实践及经济管理等许多领域中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.例 4.1.1 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为了研究某地区经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设，分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，，分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济发展水平，且有如下关系，令，，，则上述关系的矩阵形式为：若该地区目前的环境污染水平与经济发展水平，则若干年后的环境污染水平与经济发展水平为，即这里，4就是矩阵的一个特征值，是矩阵的对应于4的一个特征向量.定义 4.1.1 设为阶矩阵，若存在数和维非零列向量，使得；则称为矩阵的特征值，是矩阵一个特征值，称为的属于（或对应于）特征值的特征向量.由特征值、特征向量的定义可得（1）若为的属于的特征向量，则对于非实数，也是的属于的特征向量. （2）若，为的属于的特征向量，则当时，也是的属于的特征向量.（3）若，为的互异特征值，，分别为的属于，的特征向量，则.证若，则，即，故.由于，所以，矛盾.因此.例 4. 1. 2 求阶方阵的一个特征值与所对应的特征向量.解取维向量，，，则，故是的一个特征值，是属于特征值的一个特征向量.将（4.1.1）写成下面形式.根据定义，特征向量就是齐次线性方程组. （4.1.2）的非零解.由于（4.1.2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，故知阶矩阵的特征值满足方程.为叙述方便，引入下面的概念.定义4. 1. 2 .，称为矩阵的特征多项式，称为的特殊矩阵，称为的特征方程.二、特征值与特征向量的计算求阶矩阵的特征值和特征向量，可按如下步骤进行：（1）计算的特征多项式，求出特征方程的全部根，，，. 对每个特征值，，，，求解齐次线性方程组.设它的一个基础解系为，，，，则的属于的全部特征向量为其中，，，为不全为零的任意常数.限于本教材适用范围，我们将不讨论的复特征值和特征向量.例 4.1.3 求矩阵的特征值与特征向量解矩阵的特征多项式=由，得的特征值为，，.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于，的全部特征向量为（）.对于，解齐次线性方程组，即解方程组得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）..对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）..例4.1.4 求矩阵的特征值与特征向量解矩阵的特征多项式为=,由，得的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，，，，所以对应于的全部特征向量为（，不全为零）.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）.例4.1.5 求矩阵的特征值与特征向量解矩阵的特征多项式为=,由，得的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）. 对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）. 三、特征值与特征向量的性质定理4.1.1 阶矩阵与有相同的特征值.证由，知与有相同的特征多项式，故有相同的特征值.定理4.1.2 设，，，，为方阵的个特征值，则有（1）（2）证（1）根据多项式因式分解与方程根的关系，有（4.1.3）令，得，即（2）比较（4.1.3）式两端的系数，右端为，而左端含的项来自的主对角线元乘积项，其含的系数为，因此.我们将阶矩阵的主对角线元之和称为矩阵的迹，记为（），即（）= ∑=n k 1推论4.1.1 阶矩阵可逆的充分条件是它的任一特征值不等于零.定理4.1.3 若为的特征值，是对应的特征向量，则（1）为的特征值（为常数）；（2）为的特征值（为正整数）；（3）若为的多项式，则为的特征值；（4）若可逆，则为的特征值，为的特征值.证由题意，对于，有 .（1）因为，故为的特征值.（2）由，得，假设，于是，由数学归纳法知结论成立.（3）设，由（2）可得(4) 由于可逆，故，从而，故，，即为的特征值，为的特征值.下面给出方阵的特征向量的性质定理4.1.4 设，，，为阶矩阵的个互异特征值，，，，分别是的属于，，，的特征向量，则，，，线性无关.证设有常数，，，，使得（4.1.4）上式两边左乘，并注意到，，，，有.按这种方法再依次用，，左乘（4.1.4），并应用定理4.1.3（2）的结论，得，，，上式的矩阵形式为，，，（，，，），上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，因为，，，互不相同，所以该行列式的值不为零，从而该矩阵可逆.用该矩阵的逆右乘上述等式两边，得，，，（，，，）于是，，，，由于特征向量，，，非零，因此只有，，，上式才能成立，故，，，为线性无关.定理4.1.5设，，，为阶矩阵的个互异特征值，，，，分别是的属于，，，的线性无关的特征向量，则向量组，，，，，，，，，，，线性无关.证明略.关于对应同一个特征值的特征向量间的关系，有定理4.1.6 设是阶矩阵的重特征值，则对应于的线性无关特征向量个数不超过个.显然，依据定理4.1.6，当特征值为单根时，对应的线性无关特征向量个数只能是一个.根据上述定理，对于阶矩阵的每一个不同的特征值，求出齐次线性方程组的基础解系，就得到的属于的线性无关的特征向量.然后，把它们合成一起所得的向量组仍然线性无关.阶矩阵的线性无关特征向量个数不大于.例4.1.6设三阶矩阵的特征值为，，求（1）的特征值.（2）的特征值.（3）的特征值及.解（1）由于，因此可逆，由定理4.1.3知，的特征值为，，.（2）由定理4.1.3知，的特征值为6,6,4.（3）因为，所以）.设，由定理4.1.3知，的特征值为，1,2,3.由此得的特征值为，，，.例4.1.7 设为正交矩阵，若，则有特征值证，则.另一方面，由于及，则因此，即为的特征值.§4.2 相似矩阵在矩阵的运算中，对角矩阵的运算最方便.我们自然要问，一个阶矩阵是否可化为对角矩阵，且保持矩阵的一些重要性质不变.本节将讨论这个问题.一、相似矩阵定义4.2.1 设，为阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵，使得，则称矩阵和相似，也称是的相似矩阵，记作.可逆矩阵称为相似变换矩阵. 例 4.2.1 设，，，不难验证可逆，且.由于,因此.两个相似矩阵是等价矩阵，相似是方阵之间的一种关系，这种关系具有如下性质：（1）反身性：；（2）对称性：若，则；（3）传递性：若，，则；此外，相似矩阵之间有许多共同的性质定理4.2.1 若阶矩阵与相似，则（1）；（2）；（3），有相同的特征值；（4）.证由于，故存在阶可逆矩阵，使得，从而（1）；（2）；（3）由于，即，有相同的特征多项式，于是，有相同的特征值.（4）由（3）即得.推论4.2.1 若阶矩阵与对角矩阵=相似，则，，，是的个特征值.例4.2.2 若，求，.解对角矩阵的特征值为，，，由于，因此的特征值也为，，，再根据相似矩阵有相同的迹，可得，，解此方程组得，.两个相似的矩阵还具有下面的性质（1）若，则，（为正整数）；（2）若，为多项式，则；（3）若，且，均可逆，则；证只证，故存在阶矩阵，使得，从而个即.二、矩阵的对角化定义 4.2.2 若阶矩阵与对角矩阵相似，则称可对角化.相似矩阵有许多共同性质.在我们熟悉的矩阵中，形式最简单的一类是对角矩阵，若矩阵相似于对角矩阵，就可以借助对角矩阵来研究，如何求相应的可逆矩阵？下面我们就来讨论这个问题.定理4.2.3 阶矩阵相似于对角矩阵（可对角化）的充要条件是有个线性无关的特征向量.证必要性.设存在可逆矩阵，使得==.设，，，，由=，得=，或，，，，，，.即，，，，，，因此，，，，，由于可逆，因此，从而，，，都是非零向量，故，，，分别是的属于特征值，，，的特征向量，再由可逆知，，，线性无关.充分性.设，，，分别是的属于特征值，，，的个线性无关的特征向量，则有，，，取，，，,因为，，，线性无关，所以可逆，于是有=.，即==因此矩阵相似于对角矩阵.因为特征向量不是唯一的，所以矩阵不具有唯一性.推论4.2.2若阶矩阵有个互异的特征值，则必可对角化.推论4.2.3阶矩阵可对角化的充分必有条件是的每个重特征值都有个线性无关的特征向量.即.由上述结论可知，例4.1.3和例4.1.4给出的矩阵可对角化，而例4.1.5给出的矩阵不能对角化.根据上述结论，可以归纳出将矩阵对角化的具体计算步骤：（1）求出阶矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为，，，；（2）求的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，即为的对应的线性无关的特征向量，设为，，，，，，；（3）判定是否可对角化.若对每一个特征值都有，，，，则可对角化，否则不可对角化；（4）当可对角化时，令，，，，，，，，，，，，）个个个且可逆，且有=例4.2.3判断下列矩阵能否对角化，若能，求出可逆矩阵，使得为对角矩阵.(1)；（2）解（1）矩阵的特征多项式为=由，得的特征值为，，.由推论4.2.2知，矩阵可对角化.下面求可逆矩阵.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，即为即为的属于特征值的一个特征向量.对于，解齐次线性方程组，即解方程组得基础解系，，，即为的属于特征值的一个特征向量.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，，即为的属于特征值的一个特征向量.取，，,则有==（2）矩阵的特征多项式为=由，得的特征值为，.当，即为的二重特征值时，.故，依据推论4.2.3知，矩阵可对角化，且对应的线性无关的特征向量为，，，，，.对于，解齐次线性方程组，得的属于特征值的一个特征向量，，.取取，，,则有==对于可对角化的矩阵，我们可应用来求方程的幂,例如，对上例的矩阵，我们有.例4.2.4 设，求为何值时，（1）可对角化，并求相似变换矩阵；（2）为可逆矩阵.解（1）矩阵的特征多项式为=，故的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，得的属于特征值的特征向量为，，，，，.对于，解齐次线性方程组，得的属于特征值的特征向量为，，.依据推论4.2.3知，无论为何值，矩阵均可对角化.令，，，则有==.（）的特征值分别为，，，故当且时，为可逆矩阵.§4.3 实对称矩阵的对角化我们已经知道，不是每个矩阵都能对角化.但本节讨论的实对称矩阵一定可以对角化，而且还能正交相似于对角矩阵,本节将讨论实对称矩阵的对角化.一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量具有一些特殊的性质,这些性质可以保证实对称矩阵一定可以对角化.定理4.3.1 实对称矩阵的特征值都是实数.证设为实对称矩阵的特征值，为对应的特征向量，即，.用表示的共轭复数，用表示的共轭复向量.则，于是有，及，以上两式相减得，以为所以.因而，即为实数.由于实对称矩阵的特征值为实数，那么为实矩阵，则齐次线性方程组的解可取为实向量，亦即实对称矩阵的特征向量为实向量.定理4.3.2实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,证设，为实对称矩阵的两个不同的特征值，，分别为它们对应的特征向量，则，，，，从而，因是对称矩阵，又有，于是，因，故，即与正交.定理4.3.3 设为阶实对称矩阵，为的重特征根，则，从而特征值恰好对应个线性无关的特征向量.证明略.二、实对称矩阵的对角化由定理4.3.2和定理4.3.3可得定理4.3.4 设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得=其中，，，为的全部特征值.（1）求出阶实对称矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为，，，；（2）求实对称矩阵的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，即为的对应的线性无关的特征向量，设为，，，；（3）用施密特正交化方法，将特征向量，，，，，，正交，，，单位化，得到一个标准正交向量组，，，，，，；（4）令，，，，，，，，，，，（，，，，，，，，，，，，）个个个且为正交矩阵，且有=例4.3.1 设实对称矩阵，求正交矩阵，使得=为对角矩阵.解矩阵的特征多项式为=，因此，矩阵的特征值为，，.对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，；对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，；对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，.将，，单位化，可得，，，，，，，，令，，,且为正交矩阵，且有=例4.3.2 设实对称矩阵，求正交矩阵，使得=为对角矩阵.解矩阵的特征多项式为=，因此，矩阵的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，，，，；先将向量，正交化，令，，，，再单位化，得，，对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，，将其单位化，得.令，，,且为正交矩阵，且有=.例 4.3.3 设三阶实对称矩阵的特征值为，，且属于的特征矩阵为，，，求矩阵.解设的属于特征值的特征向量为，，，则与正交，即，解此齐次线性方程组，得基础解系，，，，，，易见，，正交.将，，单位化，可得，，令，，,则为正交矩阵，且有=，从而=.习题四（A ）一、填空题1. 为阶矩阵，有非零解，则必有一个特征值__________.2.若阶可逆方阵的每行元之和，则的一个特征值为__________.3.设为三阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为，，，则行列式 __________.4.设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为__________.5.若为四阶实对称矩阵，，且2是的三重特征值，则的相似对角矩阵为__________.6. 设为阶矩阵，有个互异特征值，，，，则有 __________ ，，， .7. 设是三阶实对称矩阵，的特征值是，，则有 __________. 8.若四阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，，，，则9.已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，则10.设，，，矩阵，为自然数，则行列式 11.已知三阶实对称矩阵的一个特征值为，对应的特征向量，，，且的主对角线上的元全为零，则二、单选题1.设三阶矩阵，则的特征值是（）（A ）1,0,1 （B ）1,1,2 （C ）-1,1,2 （D ）1,-1,12.若可对角化的阶矩阵只有一个特征值为零，则 =（）（A ）（B ）（C ）1 （D ）03.设，，，是矩阵对应于特征值的特征向量，当线性组合∑=ni 1满足（）时，∑=ni 1也是矩阵对应于特征值的特征向量.（A）其中不全为零（B）其中全不为零（C）是非零向量（D）是任一向量4.当满足下列（）条件时，矩阵与相似.（A）（B）（C）与有相同的特征多项式.（D）阶矩阵与有相同的特征值且个特征值不相同.5.已知二阶实对称矩阵的特征向量为，且，则必为的特征向量的是（）（A）（B），（C），，（D），，不同时为零6.设是阶非零矩阵，，下列命题不正确的是（）.（A）的特征值只有零（B）必不能对角化（C）必可逆（D）只有一个线性无关的特征向量7.设，是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，，则，线性无关的充要条件是（）（A）（B）（C）（D）8.若，且，，则以下结论错误的是（）.（A）（B）（C）为不可逆矩阵（D）必有特征值9.设，有特征值，（二重），且有三个线性无关的特征向量，则.（A）4（B）（C）（D）10.设，为阶矩阵，且与相似，则（）（A）（B）与均相似于同一个对角矩阵.（C）与有相同的特征值与特征向量（D）对任意常数，与相似.三、综合题1.求下列矩阵的特征值与特征向量：（1）；（2）；（3）；（4）.2.判断下列矩阵与是否相似：（1），；（2），；（3），；（4），.3.求下列矩阵的次幂:（1）；（2）.4.求正交矩阵，使得为对角矩阵.(1)；（2）.5.设是阶方阵的一个特征值，且的伴随矩阵为，试证：的非零列向量是的属于的特征向量.6.考察栖息地在同一地区的兔子和狐狸的生态模型，对两种动物的数量的相互依存的关系可用以下模型描述：，，，，，其中，分别表示第年时兔子和狐狸的数量，而，分别表示基年时兔子和狐狸的数量，记，，，，（1）写出该模型的矩阵形式；（2）如果,求.（3）求7.设，相似，求：（1），的值；（2）求正交矩阵，使得.8.设向量，，，，，，，，且，记，求的所有特征值及特征向量.9.设，为三维单位列向量，且，令，证明与相似.10.设三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3，矩阵的属于特征值1,2,3的特征向量分别是，，，，，.(1)求的属于特征值3的特征向量；（2）求矩阵.11.设，若为的一个特征值，求；（2）求.12.若存在正交矩阵，使矩阵，同时相似于对角矩阵，则必有.13.设为三阶实对称矩阵，且满足条件，的秩.求的全部特征值.14.设，求实对称矩阵，使.15.设矩阵，求.16.已知三阶矩阵与相似，，是的两个特征值，，计算,其中是的伴随矩阵.（B）1.设矩阵与相似，与相似，试证：与相似.2.已知与对角矩阵相似，求.3.设是阶实幂等矩阵（即），且，.（1）设，，试证.（2）试证：；（3）求4.设，为阶矩阵，，证明（1）是与的相同特征值；（2）与的基础解系线性相关.5.设是阶矩阵，且任一非零维向量都是的特征向量，试证：（即为数量矩阵）6.已知三阶非零矩阵，满足，，，证明：（1）0和1必是与的特征值；（2）若是关于的特征向量，的个特征值两两互异，若的特征向量总是的特征向量，证明.8.设，均为阶非零矩阵，且满足，，证明：（1）是，的特征值.（2）若，，分别是，对应于的特征向量，则，线性无关.答案：一、填空题1.02.3.-64.5..6.7.8.14 7639.10.11.二、单选题1-5 CBCDB6-10 DDADD三、综合题1.（1），，的属于的特征向量，；的属于的特征向量，.（2），；的属于的特征向量为，，不全为零；的属于的特征向量为，（3），；的属于的特征向量为，，不全为零；的属于的特征向量为，.（4）（三重）；的属于的特征向量为，，不全为零；2.（1）不相似；（2）相似；（3）相似.3.(1)；（2）当为偶数时，；当为奇数时，.。

第二十讲 矩阵的对角化

§7.52020线性变换的对角化

对角化原理

矩阵的对角化

实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例

矩阵对角化

线性代数—实对称矩阵的对角化

矩阵的正交对角化

《线性代数》教学课件—矩阵的相似、对角化

矩阵对角化的方法

矩阵对角化的步骤

矩阵的对角化

矩阵的对角化

线性代数 矩阵的对角化

矩阵的相似对角化

矩阵的对角化

矩阵的对角化及二次型

矩阵对角化的步骤

矩阵的对角化的应用

矩阵的对角化

第二十讲矩阵的对角化

线性代数矩阵的对角化