线性代数试题三

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．排列53142的逆序数τ（53142）=（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 2．下列等式中正确的是（ ）

A ．()2

22

B BA AB A B A +++=+

B ．()T T T

B A AB =

C ．()()2

2

B A B A B A -=+- D ．()A A A A 233-=-

3．设k 为常数，A 为n 阶矩阵，则|k A |=（ ） A ．k|A | B ．|k||A |

C ．n k |A |

D ．n |k ||A |

4．设n 阶方阵A 满足02=A ，则必有（ ） A ．E A +不可逆 B ．E A -可逆 C ．A 可逆 D ．0=A

5．设⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321y y y Y ，则关系式（ ）

⎪⎩⎪

⎨⎧+=+=+=3332231133

33222211223

312211111y

a y a y a x y a y a y a x y a y a y a x ＋＋＋

的矩阵表示形式是

A ．AY X =

B ．Y A X T =

C ．YA X =

D ．A Y X T = 6．若向量组（Ⅰ）：r ,,,αααΛ21可由向量组（Ⅱ）：s 21,βββ,,Λ线性表示，则必有（ ） A ．秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ） B ．秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ） C ．r ≤s D ．r>s

7．设21ββ,是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ ） A ．21+ββ B ．21ββ- C ．

222

1ββ+

D ．

5

232

1ββ+ 8．设A ，B 是同阶正交矩阵，则下列命题错误．．的是（ ） A ．1-A 也是正交矩阵 B ．*A 也是正交矩阵 C ．AB 也是正交矩阵 D ．B A +也是正交矩阵 9．下列二次型中，秩为2的二次型是（ ） A ．212x B ．212221

44x x x x -+ C ．21x x

D ．322221

2x x x x ＋+ 10．已知矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=21111010

0A ，则二次型=Ax x T （ ）

A ．32212

221

222x x x x x x -++ B ．32312

322x x 2x x 2x 2x +-+ C ．32312322

222x x x x x x -++

D ．32312

321x x 2x x 2x 2x +-+

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．已知A ，B 为n 阶矩阵，A =2，B =－3，则1-B A T =_________________.

12．已知⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011321βα, ，E 是3阶单位矩阵，则E +T

T αβαβ＝_________________.

13．若21αα,线性无关，而321ααα,,线性相关，则向量组32132ααα,,的一个最大线性无关组为

_________________. 14．若向量组()()()t ,,,,,,,,31322101321===ααα 线性无关，则t 应满足条件_________________. 15．设321ααα,,是方程组0Ax =的基础解系，则向量组321ααα,,的秩为_________________. 16．设()T

11221-=,,,α，()T

23511,,,-=α，则21αα与的内积（21αα,）＝________________.

17．设齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ＝⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛000的解空间的维数是2，则a ＝______________.

18．若实二次型()212

32221

32124x tx x x x x ,x ,x f +++=正定，则t 的取值范围是_________________. 19．实二次型()322

1321x x 2x x x x f +=,,的正惯性指数p ＝_________________.

20．设A 为n 阶方阵，0≠A ，若A 有特征值λ，则*A 必有特征值_________________. 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

21．计算行列式210012100

1210012=D .

22．设实数2121y ,y ,x ,x 满足条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4321x x ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-21

23

y y ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-10505，求1x 及2x . 23．求向量组

⎪

⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=2421α， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112α， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1323α， ⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=2534α

的一个最大线性无关组，并把其余向量用该最大线性无关组表示.

24．给定齐次线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=-++=-++=+++.

x x x x ,x x x x ,x x x x 000432143214321λλ

（1）当λ满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？

（2）当λ＝1时，求方程组的通解.

25．设矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=653032001A ，求()

.*1

-A

26．设向量()T

1121,,=α和()T

,,2112=α都是方阵A 的属于特征值λ＝2的特征向量，又向量

212α+α=β，求β2A .

27．设矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=200032023A ，求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵.

28．设二次型()32212

32221

32122332x bx x ax x x x x ,x ,x f ++++=经正交变换Qy x =化为标准形2

3222152y y y f ++=，求a ，b 的值.

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 29．设A 为3阶实对称矩阵，且0A 2=.证明：0A =.