四边形讲义

四边形

（一）多边形

1.多边形：一般地，由n 条线段首尾顺次相接组成的平面图形称为n 边形，又称为多边形。

2.对角线：联结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

3.正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

4.定理： n 边形的内角和为_(n-2)180°,外角和为_360°.

例：如果一个多边形的每个内角都相等，它的一个外角等于一个内角的三分之二，这个多变性是几边形？ 解：设这个多边形的边数为n.有多边形的内角和与外角和定理，得出这个多边形的 一个内角=（n-2）*180°/n, 一个外角=360°/n.

由已知，得360°/n=2/3*[(n-2)*180°]/n 解得n=5

（二）平行四边形 1.概念

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间关系

2.平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质

图形 边

角

对角线

平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分

菱形 对边平行，四条边相等 对角相等

两对角线互相垂直平分，每一

条对角线平分一组对角

矩形

对边平行且相等

四个角都是直角

对角线互相平分且相等 正方形

对边平行、四条边都相等

四个角都是直角

两条对角线互相平分、垂直、

相等，每一条对角线平分一组对角

对角线相等

对角线互相垂直

有一个角是直角 一组邻边相等

平行四边形

矩形

菱形

正方形

2.判断一个四边形是正方形可以有以下几种思路：

① 先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 ② 先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等

③ 先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 ④ 判定一个四边形是对角线相等，并且互相垂直平分 8.特殊四边形的判定

1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质：

因为ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧.

54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；

（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 4.平行四边形的判定： 是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行

（ABCD 54321⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎬⎫

. A B

C

D 12

34

A

B

D

O

C

A

B

D

O

C

5.矩形的性质：

因为ABCD 是矩形⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧.3;

2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ 6. 矩形的判定：

⎪⎭

⎪

⎬⎫

+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是矩形. 7．菱形的性质： 因为ABCD 是菱形

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧.321

角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；

（有通性；）具有平行四边形的所（ 8．菱形的判定：

⎪⎭

⎪

⎬⎫

+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形四边形ABCD 是菱形. 9．正方形的性质：

因为ABCD 是正方形⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧.321

分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；

）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ A B

C

D

O

10．正方形的判定：

⎪⎭

⎪

⎬⎫

++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是正方形.

11．等腰梯形的性质：

因为ABCD 是等腰梯形⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧.321）对角线相等（；

）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；

）（

C

D

B

A

O

C

D

B

A

O

A

B

C

D O

A

D B

C

O

A

D

B

C

O

C

D A

B

12．等腰梯形的判定：

⎪⎭⎪⎬⎫+++对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等

）梯形（321⇒四边形ABCD 是等腰梯形

14．三角形中位线定理：

三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.

15．梯形中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，并且等

于两底和的一半.

7.三角形中位线定理

三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边 （三）中心对称图形

中心对称图形：一般地，在同一平面内，一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转前、后的图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这这个点叫做它的对称中心。 （三）梯形

1.梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，两底之间的公垂线段叫做梯形的高。

定理：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 2.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形 等腰梯形性质定理1:等腰梯形在同一底上的两个角相等 等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等

等腰梯形判定定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 3.梯形常见的辅助线 1）延长两腰交于一点

作用：使梯形问题转化为三角形问题。 若是等腰梯形则得到等腰三角形。

E

F

D A

B

C

A B

C D

O