22.3.1--利用二次函数求几何面积的最值问题教案与例题
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)教案教学设计
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
22.3实际问题与二次函数(1)教案
22.3 实际问题与二次函数（1）教学目标：1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y ＝ax 2的关系式。
2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。
重点难点：重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y ＝ax 2、y ＝ax 2＋bx ＋c 的关系式是教学的重点。
难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。
教学过程：一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
它的拱高AB 为4m ，拱高CO 为0.8m 。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。
如图所示，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系。
这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y ＝ax 2 (a ＜0) (1)因为y 轴垂直平分AB ，并交AB 于点C ，所以CB ＝AB 2＝2(cm)，又CO ＝0.8m ，所以点B 的坐标为(2，－0.8)。
因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －0.8＝a×22 所以a ＝－0.2因此，所求函数关系式是y ＝－0.2x 2。
二、引申拓展问题1：能不能以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系?让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系也是可行的。
问题2，若以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?分析：按此方法建立直角坐标系，则A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，O 点坐标为(2；0．8)。
次函数的最值—面积问题教学设计
二次函数的最值
——面积问题
学习目标：
1、知识与技能
通过本节学习，巩固二次函数的图像与性质，理解顶点与最值的关系，会
求解实际问题中的最值问题。
2、过程与方法：
通过图像理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值问题转化为二次函数中的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会特殊与一般的关系，了解数形结合思想，函数思想和数学模型思想。
3、情感态度价值观：
通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。
学习重点：
利用二次函数的图像与性质解决实际问题中的最值问题。
学习难点：
1、正确构建数学模型。
2、对函数顶点、端点与最值关系的理解与应用。
学习过程：
一、情境创设
二、问题探究
在一块余料为直角三角形木板上裁出一个面积最大的矩形？你有几种方案？请作图说明。
如图，∠C=90，AC=30cm,BC=40cm，你所截出的最大面积是多少？
C B
变式：如图，将上题中的直角三角形木板改为等腰三角形，AB=AC=10cm，BC=12cm，所作矩形一边在BC上，另外两个顶点分别在AB、AC上，满足条件的矩形有最大
面积吗？
三、思维拓展：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=BC=10,P是斜边AB中点，过P作直角分别交边AC、BC于E、F两点，连接EF,将∠P绕P点旋转，在旋转过程中角两边始终与Rt△ABC两直角边相交，问△PEF面积是否存在最小值？如存在，求出最小值。
四、学习小结
五、课后作业。
22.3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形面积问题
R·九年级上册
新课导入
问题:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时，小球最高？何图形相关的实际问题. (2)会用二次函数的图象和性质解决实际问题.
课堂小结
2.图形面积最值问题： 由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
1.运动问题： （1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中的公式求解； （2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
推进新课
问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
分析： ①由a=-5可得，图象的开口向下； ②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图； ③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度。
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
解：设矩形的长为x m,面积为y m2,则矩形的宽为 m.
∴0<x≤18.
综合应用
3.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面 积为y，则DG=1-x. 即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》这一节主要介绍了二次函数在几何图形中的应用，通过研究二次函数图象与几何图形面积的关系，让学生进一步理解二次函数的性质，提高解决实际问题的能力。
本节内容是初中数学的重要知识，也是中考的热点，对于学生来说，理解并掌握二次函数与图形面积问题的解决方法具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本性质和图象，对于二次函数的解析式、顶点坐标、开口方向等概念有了一定的了解。
但是，将二次函数与几何图形的面积联系起来，可能会对学生造成一定的困扰。
因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的二次函数知识与新的面积问题相结合，通过实例分析，让学生体会二次函数与图形面积问题的联系。
三. 教学目标1.理解二次函数图象与几何图形面积的关系。
2.学会利用二次函数解决实际面积问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数图象与几何图形面积的关系。
2.难点：如何将二次函数与实际面积问题相结合，找出解决问题的方法。
五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的实例，让学生观察二次函数图象与几何图形面积的关系。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，解决问题，培养学生的数学思维能力。
3.小组合作法：让学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例，以便在课堂上进行分析。
2.准备一些练习题，以便在课堂上进行操练。
3.准备多媒体教学设备，以便进行图象展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，引导学生回顾二次函数的基本性质和图象，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）展示一些实际的面积问题，让学生观察并思考这些问题与二次函数图象之间的关系。
3.操练（20分钟）让学生分组讨论，尝试利用已知的二次函数知识解决呈现的面积问题。
九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积教案(新版)新人教版
22．3 第1课时 二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b 24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】 先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式．【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】 求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．【解答】 由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2.【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。
22.3.1--利用二次函数求几何面积的最值问题教案与例题
的 因此，当 t ＝ - =- ＝ - 时，二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小(大)值 。
2．已知 0≤x≤ ，那么函数 y ＝－2x 2＋8x －6 的最大值是（B ） 4．二次函数 y ＝2x 2－6x ＋1，当 0≤x≤5 时，y 的取值范围是- ≤y≤21 . 第 1 课时 利用二次函数求几何面积的最值问题1.二次函数的最值问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运动时间 t(单位：s)之 间的关系式是 h ＝30t －5t 2(0≤t ≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最 大高度是多少？可以借助函数图象解决这个问题．画出函数 h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)图象(如图)． 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当 t 取顶点的横 坐标时，这个函数有最大值． b 30 2a 2 ⨯ (-5)= 3 时，h 有最大值 4ac - b 2 = -302= 45. 4a 4 ⨯ (-5)也就是说，小球运动的时间是 3 s 时，小球最高．小球运动中的最大高度是 45 m.一般地，当 a>0(a<0)时，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低(高)点，也就是说，当 xb 2a 4ac - b 2 4a例题：1．二次函数 y ＝x 2－4x ＋c 的最小值为 0，则 c 的值为（B ）A.2B.4C.-4 D .161 2A. -6B.-2.5C.2 D ．不能确定3．已知 y ＝－x （x ＋3－a ）＋1 是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围在 1≤x≤5 时，若 y 在 x ＝1 时取得最大值，则实数 a 的取值情况是（D ）A.a=9B.a=5C ．a≤9D ．a≤57 25．若二次函数 y ＝x 2＋ax ＋5 的图象关于直线 x ＝－2 对称，且当 m≤x≤0 时，y 有最大值 5， 最小值 1，则 m 的取值范围是－4≤m≤－2 .所以另一边长⎛ 60 2 - l ⎪ 因此，当 l ＝ - =- = 15 时， 2.几何面积的最值问题：总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化，当 l 是 多少米时，场地的面积 S 最大？解：矩形场地的周长是 60 m ，一边长为 l m ，⎫ ⎝ ⎭ 为 m ． 场地的面积 S ＝l(30－l)，即 S ＝－l 2＋30l(0<l<30)．b 30 2a 2 ⨯ (-1)4ac - b 2 -302 = = 225. 4a 4 ⨯ (-1)S 有最大值也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．在周长一定的情况下，所围成的几何图形的形状不同，所得到的几何图形的面积也不同. 利用二次函数求几何图形的最大（小）面积的一般步骤：（1）引入自变量，用含自变量的代数式分别表示与所求问题相关的量.（2）分析题目中的数量关系，根据题意列出函数解析式.（3）根据函数解析式求出最值及取得最值时自变量的值，注意自变量的取值范围.例题：1．已知一个直角三角形两直角边长之和为 20cm ，则这个直角三角形的最大面积为（B ） A ．25cm 2 B ．50cm 2 C ．100cm 2 D ．不确定2．用一条长为 40cm 的绳子围成一个面积为 acm 2 的长方形，a 的值不可能为（D ）A.20B.40C.100 D .1203．如图，在矩形 ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2，从较短边 AD 上找一点 E ，过这点剪下两个正 方形，它们的边长分别是 AE ，DE 的长，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点 E 应选 在（A ）A ．AD 的中点B.AE:ED=( 5 -1):2C.AE:ED= 2 :1D.AE:ED=( 2 -1):24．（2016 兰州)某农场拟建三间长方形种牛饲养室饲养室的一面靠 墙（墙长 50m ），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 144 m 2．5．如图，线段 AB ＝6，点 C 是 AB 上一点，点 D 是 AC 的中点，分別以 AD ，DC ，CB 为边作正方形，则当 AC ＝4 时，∵a=-2＜0，- =- = . ∴当 x ＝ 时，y 有最大值，y 三个正方形的面积之和最小。
22.3.1二次函数与图形面积问题课件 2024-2025学年人教版数学九上
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，
∵a＝－1＜0，∴S有最大值，
即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．
知识讲解
(4) 当l是多少米时，场地的面积S最大？
（4）解：根据题意得S=-l2+30l (0<l<30).
因此，当l=
b
30
15时，
2a
2 ( 1)
2
2
S有最大值 4ac b 30 225.
4a
4 ( 1)
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
随堂练习
2. 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与
随堂练习
4. 某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费用每平
方米1 000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2).
(1) 写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
知识点 利用二次函数解决几何图形的最值问题
【例 2】用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为
x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果
不能，请说明理由．
知识讲解
《实际问题与二次函数》第一课时最值问题教案 教案
人教版数学九年级上22.3.1第一课时教学设计坐标是 .当x= 时，函数有最_______ 值，是 .讲授新课二、探究新知问题1: 体育课上，同学们都在准备体育测试。
小明从地面竖直向上抛出一个小球，铅球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系是2305h t t =-（06t ≤≤）。
小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动1：教师提出问题，学生尝试回答。
（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？ （3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？教师追问：如何求出球的最大高度呢？小组内探究分析：画出2305h t t =-（06t ≤≤）的图象，借助函数图象解决实际问题：学生通过思考，循序渐进找到解答问题的突破口，从而学会运用二次函数解决实际问题。
学生分组分析讨论，并回答问题。
结合学生生活创设情境，引导学生思考实际问题。
通过追问为学生提供解决此类问题的思路，让学生在问题解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系。
()230506h t t t=-≤≤从函数的图象看是一条抛物线的一部分可以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象的点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最值。
解：当= = 时，h有最大值244ac ba-= .∴小球运动的时间是时，小球运动到最大高度是.活动2：探究归纳如何求出二次函数y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？一般地，当a＞0（a____）时，抛物线_____(a≠0)的顶点是最低____( )点，也就是说，当x=（）时，y有最____（）值是_____。
巩固练习：教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m）与水平距离x（m）之间的关系为y=﹣x2+x，由此可知铅球推出的距离是（）A．10m B．3m C．4m D．2m或10m 让学生自主探究归纳，得出求二次函数的最小（大）值的结论。
22.3.1二次函数与图形面积问题
例题：一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以 AD 为直径的半圆 O，下部 是一个矩形 ABCD。 （1） 当 AD=4 米时，求隧道截面上部半圆 O 的面积； （2） 已知矩形 ABCD 相邻两边之和为 8 米，半圆 O 的半径为 r 米。 ①求隧道截面的面积 S（平方米）关于半径 r（米）的函数关系式（不要求写 出 r 的取值范围） ； ②若 2 米≦CD≦3 米，求隧道截面的面积 S 的最大值。 （取 3.14，结果精确 到 0.1 平方米）
我的小组问题
自我评价：
学科长评价：
教师评价：
Hale Waihona Puke 《22..3.1 二次函数与图形面积问题》问题训练案
班级: 姓名: 主备： 审核： 使用时间：
B组
1、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10m 的围墙，为了美化生活环境， 小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃， 他买回了 32m 长的不锈钢管准备作为花 圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通 道及在左右花圃各放一个 1m 宽的门（木质） ．花圃的长与宽如何设计才能使花圃 的面积最大？
x
s1
s2
自我评价：
学科长评价：
教师评价：
个半圆形.设矩形的面积为 S1 平方米，半圆形的面积为 S2 平方米 ，半径为 r 米。 请你通过计算帮农场主选择一个围成区域最大的方案（ 3 ）
篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为 x m 。 (1)、要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米? (2)、如果中间有 n ( n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场 面积最大，鸡场的长应为多少米? (3)、比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论?
专题22.3.1 实际问题与二次函数(几何图形最值)(练习)(解析版)
第二十二章二次函数22.3.1 实际问题与二次函数（几何图形最值）精选练习答案一、单选题（共10小题)1．已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是( )A．y=-0.5x2+5x B．y=-x2+10x C．y=0.5x2+5x D．y=x2+10x【答案】A【分析】一条直角边为x，则另一条直角边为10-x，再利用三角形面积公式即可列式.【详解】解：由题意得，y=12x(10−x)=−0.5x2+5x，故选择A.【点睛】本题考查了运用三角形面积公式列二次函数表达式.2．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（）A．193 B．194 C．195 D．196【答案】C【分析】根据长方形的面积公式可得S关于m的函数解析式，由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m 求出m的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．【详解】∵AB=m米，∴BC=（28-m）米．则S=AB•BC=m（28-m）=-m2+28m．基础篇即S=-m2+28m（0＜m＜28）．由题意可知，{m≥628−x≥15，解得6≤m≤13．∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，∴当m=13时，S最大值=195，即花园面积的最大值为195m2．故选C．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与m的函数关系式是解题关键．3．（2017·甘肃中考真题）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570【答案】A【解析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程:(32−2x)(20−x)=570，故选：A.4．有长24m的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为x m，面积是s m2，则s与x的关系式是（）A．s=﹣3x2+24x B．s=﹣2x2﹣24xC．s=﹣3x2﹣24x D．s=﹣2x2+24x【答案】A【分析】AB为x m，则BC为（24﹣3x）m，利用长方体的面积公式，可求出关系式．【详解】解：如图所示：AB为x m，则BC为（24﹣3x）m，所以S=（24﹣3x）x=﹣3x2+24x．故选：A．【点睛】考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是能够用自变量x表示出矩形的长与宽．5．（2018·全国初三课时练习）如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（）A．10米B．15米C．20米D．25米【答案】A【解析】设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为40-2x，S=（40-2x）x= -2x2+40x．要使矩形ABCD面积最大，则即x的长为10m．故选A．6．周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m2A ．45B ．83C ．4D ．56【答案】B【解析】设窗户的宽是x ，根据题意得S =()832x x- =2348(04)233x x ⎛⎫--+<< ⎪⎝⎭ ∴当窗户宽是43m 时，面积最大是83m²,故选B. 点睛：根据窗户框的形状可设宽为x ，其高就是8-3x 2，所以窗户面积S =()832x x -，再求出二次函数解析式—顶点式即可求出最大面积。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时主要介绍了二次函数在实际问题中的应用。
这部分内容是对前面学习的二次函数知识的巩固和拓展，通过实际问题引导学生将理论知识和实际应用相结合，提高解决问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的运用方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题对学生来说还是一个挑战。
因此，在教学过程中，需要关注学生对知识的掌握程度，以及他们在解决实际问题时的思维方式和方法。
三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。
2.能够将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.掌握二次函数在实际问题中的应用。
2.将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
同时，运用讨论法、案例分析法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出本节课的主题，激发学生的兴趣。
例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积一定的条件下，如何安排两种作物的种植面积，使得总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现实际问题，引导学生认识到实际问题可以通过二次函数来解决。
通过PPT展示实际问题的图像，让学生观察和分析图像，理解二次函数在实际问题中的应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题。
每组选择一个实际问题，分析问题中的变量关系，列出二次函数的表达式。
22.3 实际问题与二次函数(第一课时)(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)
22.3 实际问题与二次函数（第一课时） 教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.3 实际问题与二次函数（第一课时），内容包括：利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值．2.内容解析二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，将实际问题中的变量关系转化为二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论解决相关的实际问题．以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问题的关键．通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，让学生体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小(大)值解决实际问题．二、目标和目标解析1.目标1)会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题． 2.目标解析达成目标1）的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到在二次函数顶点处取得最小(大)值的结论，理解当x ＝－2ba时，函数有最小(大)值244ac b a －．达成目标2）的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．四、教学过程设计（一）复习巩固[问题]通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？1）y=6x2+12x 2）y=－4x2+8x－10师生活动：教师提出问题，学生回答．【设计意图】复习回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质，为本节课学习利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值进行铺垫．（二）探究新知【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？师：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？生：小球运动的高度h和小球运动的时间t两个变量之间的关系．师：结合题目内容，你觉得小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系？生：小球运动的高度随小球的运动时间的变化而变化．师：小球的运动时间是多少时，小球最高呢？生：结合已学二次函数知识回答问题.师生活动：教师引导学生，得出如下结论：画出函数的图像h=30t－5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。
二次函数与几何图形的最值问题教学设计
二次函数与几何的综合运用（1）教学设计教学目标：1、利用二次函数的轴对称性来求线段和的最小值2、利用二次函数求铅锤线段的最大值3、在利用二次函数性质解决有关线段的最值问题时，体会数形结合、转化等数学思想。
教学重点：利用二次函数性质解决有关线段的最值问题教学难点：利用函数解析式设点的坐标来解决几何问题教学过程：一、预习交流（一）、知识回顾 名称 一般式 顶点式二次函数解析式(a ≠0)轴对称性 对称轴顶点坐标增减性a ＞0在对称轴左侧，y 随x 增大而（ ）; 在对称轴右侧，y 随x 增大而（ ）. a ＜0 在对称轴左侧，y 随x 增大而（ ）;在对称轴右侧，y 随x 增大而（ ）.最值a ＞0;,)(）（时当最小值==y x a ＜0;,)(）（时当最大值==y x.,)(）（时当最大值==y x （二）、热身练习： (教材基本题)抛物线交x 轴于A 、B 两点， 其中B （3，0），交y 轴于点C(0,3).求抛物线的解析式和直线BC 的解析式。
n mx x y ++-=2.,)(）（时当最小值==y x二、合作探究(教材基本题)抛物线交x 轴于 A 、B 两点，其中B （3，0），交y 轴于点C(0,3).（一）、探究1：点P 是抛物线对称轴上一动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标。
变式：点P 是抛物线对称轴上一动点，当 PAC 周长最小时，求点P 的坐标（二 ）探究2：点M 直线BC 上方抛物线上一动点，过点M 作x 轴垂线交BC 于点N ，求MN 的最大值变式:(1）点M 是直线BC 上方抛物线上一动点， 求 MBC 面积的最大值。
变式（2）点M 是直线BC 上方抛物线上一动点，求四边形 ACMB 面积的最大值n mx x y ++-=2⊿ M N ⊿三、课堂小结：一个核心：二次函数的性质（轴对称性，增减性）二种思想：数形结合，转化三种方法：求线段和的最小值常用二次函数的轴对称性来转化求铅垂线段的最大值时，常用较大的纵坐标减去较小的纵坐标，再求出所得二次函数的最值利用函数解析式设点的坐标来解决几何问题四、课堂检测1、当x＝________时，二次函数y＝x2＋2x－2有最小值．2、如图，抛物线经过A(－2，0)，B(－1，0)，C(0，2)三点．(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的对称轴。
22.3 第1课时 二次函数与图形面积问题 课件(共21张PPT)
用.
解：(1)∵矩形的一边长为x m,∴其邻边长为(6-x)m,
∴S=x(6-x)=-x²+6x,其中0<x<6.
(2)∵ S=-x²+6x=-(x-3)²+9, ∴当x=3, 即矩形的一边长为
3 m时, 矩形面积最大, 为9 m², 此时设计费最多, 为9×
问题3 面积S关于的函数解析式是什
么？自变量的取值范围是什么？
自主探究
1.已知二次函数 y=x²+2x-3,在下列各条件下，当x取何值时，
y有最大值或最小值.
(1)x为全体实数； (2)-3≤x≤0;
(3)-10≤x≤-4.
(1)当x=-1时，y有最小值；无最大值.
(2)当x=-3时，y有最大值；当x=-1时，y有最小值.
（2）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标（1，-6），当
x=1时，y有最大值-6.
女排精神是永不言败，一排球运动员从地面竖直向上抛出一
排球，排球的高度h（单位：m）与排球的运动时间t（单位：
s）之间的关系式是h=25t-5t2（0≤t≤5）.排球的运动时间是多
少时，排球最高？排球运动过程中的最大高度是多少？
6cm/s的速度沿A→D运动，直到两点都到达终点为止.设点P的运动时间 为
t(s),△APQ的面积为S(cm²),则S关于t的函数图象大致是( C)
例2： 某广告公司设计一个周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费
为每平方米1 000元，设矩形的一边长为x m，面积为S .
（1）求S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
−
× −
= ,即最
[详细讲解]利用二次函数求几何图形面积的最值问题
![[详细讲解]利用二次函数求几何图形面积的最值问题](https://img.taocdn.com/s3/m/fe4d68aa970590c69ec3d5bbfd0a79563c1ed429.png)
利用二次函数求几何图形面积的最值问题构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明.方法：1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量（如周长、长、宽、半径等）。
2、根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示这个面积。
3、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值，当 的值不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。
例1（2006年旅顺口区中考试题）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图1），其中AF ＝2，BF ＝1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积.简析 设矩形PNDM 的边DN ＝x ，NP ＝y ，则矩形PNDM 的面积S ＝xy （2≤x ≤4）， 易知CN ＝4－x ，EM ＝4－y .且有NP BC CN-＝BFAF（作辅助线构造相似三角形），即34y x --＝12，所以y ＝－12x +5，S ＝xy ＝－12x 2+5x （2≤x ≤4），此二次函数的图象开口向下，对称轴为x ＝5，所以当x ≤5时，函数的值是随x 的增大而增大，对2≤x ≤4来说，当x ＝4时，S 有最大值S 最大＝－12×42+5×4＝12.说明 本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给同学们探索解题思路留下了思维空间.例2（2006年南京市中考试题）如图2，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，线段EF ＝10.在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD .令MN ＝x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？简析 因为矩形MFGN ∽矩形ABCD ，所以MNAD＝MF AB，因为AB ＝2AD ，MN ＝x ，所以MF ＝2x ，所以EM ＝EF －MF ＝10－2x ，所以S ＝x (10－2x )＝－2x 2+10x ＝－2(x －52)2+252，所以当x ＝52时，S 有最大值为252.说明 本题是利用相似多边形的性质，求出矩形的边之间的关系，再运用矩形的面积构造出二次函数的表达式，使问题求解.例3（2006年泉州市中考试题）一条隧道的截面如图3所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD .（1）当AD ＝4米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；（2）已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米，半圆O 的半径为r 米.①求隧道截面的面积S （米）关于半径r （米）的函数关系式（不要求写出r 的取值范围）；②若2米≤CD ≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值.（π取3.14，结果精确到0.1米）简析（1）当AD ＝4米时，S半圆=12π×22AD ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12π×22＝2π(米2).（2）①因为AD ＝2r ，AD +CD ＝8，所以CD ＝8－AD ＝8－2r ，所以S ＝12πr 2+AD ·CD ＝12πr 2+2r (8－2r )＝(12π－4)r 2+16r ；②由①知CD ＝8－2r ，又因为2米≤CD ≤3米，所以2≤8－2r ≤3，图 2 图1所以 2.5≤r ≤3，由①知S ＝(12π－4)r 2+16r ＝(12×3.14-4)r 2+16r ＝－2.43r 2+16r ＝－2.43(r －82.43)2+642.43，因为－2.43＜0，所以函数图象为开口向下的抛物线，因为函数图象对称轴r ＝82.43≈3.3.又2.5≤r ≤3＜3.3，由函数图象的性质可知，在对称轴左侧S 随r 的增大而增大，故当r ＝3时，S 有最大值，S最大值＝(12π－4)×32+16×3≈(12×3.14－4)×9+48＝26.13≈26.1(米2).即隧道截面面积S 的最大值约为26.1米2.说明 本题是一道典型的代数与几何的综合题，集图形的面积、不等式与二次函数的知识有机的结合在一起，有助于培养同学们的综合应用能力.例4（2006年陕西中考课改试题）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm 的正方形板子；另一块是上底为30cm ，下底为120cm ，高为60cm 的直角梯形板子（如图4），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE 围成的区域（如图5），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B 为一个顶点.（1）求FC 的长；（2）利用如图5求出矩形顶点B 所对的顶点到BC 边的距离x (cm)为多少时，矩形的面积最大？最大面积时多少？图3（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长.简析（1）由题意，得△DEF ∽△CGF ，FC DF ＝CGDE，即603060=-FC FC ， 所以FC ＝40(cm).（2）如图5，设矩形顶点B 所对顶点为P ，则①当顶点P 在AE 上时，x ＝60，y 的最大值为60×30＝1800(cm 2)；②当顶点P 在EF 上时，过点P 分别作PN ⊥BG 于点N ，PM ⊥AB 于点M .根据题意，得△GFC ∽△GPN ，所以CGFG NG DF =，所以NG ＝23x ，所以BN ＝120－23x ，所以y ＝x (120－23x )＝－23(x －40)2+2400，所以当x ＝40时，y 的最大值为2400(cm 2)；③当顶点P 在FC 上时，y 的最大值为60×40＝2400(cm 2).综合①②③，得x ＝40cm 时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm 2.（3）根据题意，正方形的面积y (cm 2)与边长x (cm)满足的函数表达式为： y ＝－23x 2+120x .当y ＝x 2时，正方形的面积最大，所以x 2＝－23x 2+120x .解之，得 x 1＝0（舍去），x 2＝48(cm).图4图5所以面积最大得正方形得边长为48 cm.说明本题是一道典型的二次函数与几何综合应用的问题，在解第（2）小题时，一定不要忽视分类讨论来求出每一种情况的最大值后，再进行比较得出结论，第（3）小题只需根据题意列出方程就能解决.。
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》说课稿
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》这一节主要讲述了二次函数在几何图形中的应用，通过研究二次函数图象与几何图形的关系，引导学生利用二次函数解决实际问题。
本节内容是学生在学习了二次函数的基本性质和图象特征之后，进一步拓展和加深对二次函数的理解，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的基本概念、性质和图象特征有了初步的认识。
但是，对于二次函数在几何图形中的应用，以及如何利用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导他们通过自主学习、合作交流等方式，逐步掌握二次函数与图形面积问题的解决方法。
三. 说教学目标1.理解二次函数与几何图形的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征。
2.学会利用二次函数解决图形面积问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的合作交流意识，提高学生的数学思维能力。
四. 说教学重难点1.重点：二次函数与几何图形的关系，二次函数图象上点的坐标特征。
2.难点：如何利用二次函数解决图形面积问题，以及在不同情境下选择合适的方法。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，探索二次函数与图形面积问题的解决方法。
2.利用多媒体课件、几何画板等教学手段，直观展示二次函数图象与几何图形的关系，帮助学生更好地理解知识点。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些实际问题，引导学生关注二次函数与图形面积问题的关系，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：让学生回顾二次函数的基本性质和图象特征，为本节课的学习打下基础。
3.合作交流：引导学生分组讨论，探讨如何利用二次函数解决图形面积问题，分享各自的解题方法。
4.讲解演示：教师对学生的讨论进行点评，总结二次函数与图形面积问题的解决方法，利用多媒体课件进行演示。
2022年初中数学《二次函数在面积最值问题中的应用3》精品教案
21.4 二次函数的应用第1课时二次函数在面积最值问题中的应用第2课时利用移项解一元一次方程教学目标1．掌握移项变号的根本原那么；2．会利用移项解一元一次方程。
教学重难点【教学重点】移项变号的根本原那么。
【教学难点】利用移项解一元一次方程。
课前准备课件、教具等。
教学过程一、情境导入上节课学习了一元一次方程，它们都有这样的特点：一边是含有未知数的项，一边是常数项．这样的方程我们可以用合并同类项的方法解答．那么像3x＋7＝32－2x这样的方程怎么解呢？二、合作探究探究点一：移项例1 通过移项将以下方程变形，正确的选项是( )A．由5x－7＝2，得5x＝2－7B．由6x－3＝x＋4，得3－6x＝4＋xC．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8D．由x＋9＝3x－1，得3x－x＝－1＋9解析：A.由5x－7＝2，得5x＝2＋7，应选项错误；B.由6x－3＝x＋4，得6x－x＝3＋4，应选项错误；C.由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8，应选项正确；D.由x＋9＝3x－1，得3x－x＝9＋1，应选项错误．应选C.方法总结：(1)所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这个方程的一边变换两项的位置；(2)移项时要变号，不变号不能移项．探究点二：用移项解一元一次方程例2 解以下方程：(1)－x－4＝3x；(2)5x－1＝9；(3)－4xxx.解析：通过移项、合并、系数化为1的方法解答即可．解：(1)移项得－x－3x＝4，合并同类项得－4x＝4，系数化成1得x＝－1；(2)移项得5x＝9＋1，合并同类项得5x＝10，系数化成1得x＝2；(3)移项得－4x＝4＋8，合并同类项得－4x＝12，系数化成1得x＝－3；xx，x，系数化成1得x＝4.方法总结：将所有含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1.特别注意移项要变号．三、板书设计1．移项的定义：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．2．移项法那么的依据：等式的根本性质1.3．用移项解一元一次方程．教学反思本节课先利用等式的根本性质来解方程，从而引出了移项的概念，然后让学生利用移项的方法来解方程．在教学设计当中应给学生进行针对性训练．引导学生正确地解方程．。
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-第1课时 利用二次函数求几何面积的最值问题
1.二次函数的最值
问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t ≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
可以借助函数图象解决这个问题．画出函数h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)的图象(如图)． 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线
的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t 取顶点的横
坐标时，这个函数有最大值． 因此，当t ＝ 时， h 有最大值
也就是说，小球运动的时间是3 s 时，小球最高．小球运动中的
最大高度是45 m.
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低(高)点，也就是说，当x ＝a
b 2-时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋
c 有最小(大)值a b ac 442-。
例题：
1．二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的最小值为0，则c 的值为（B ）
A.2
B.4
C.-4
D.16
2．已知0≤x≤2
1，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是（B ） A. -6 B.-2.5 C.2 D ．不能确定
3．已知y ＝－x （x ＋3－a ）＋1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围在1≤x≤5时，若y 在x ＝1时取得最大值，则实数a 的取值情况是（D ）
A.a=9
B.a=5
C ．a≤9
D ．a≤5
4．二次函数y ＝2x 2－6x ＋1，当0≤x≤5时，y 的取值范围是-27≤y≤21 . 5．若二次函数y ＝x 2＋ax ＋5的图象关于直线x ＝－2对称，且当m≤x≤0时，y 有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是－4≤m≤－2 .
2243045.44(5)ac b a --==⨯-
602l ⎛⎫- ⎪⎝⎭301522(1)
b a -=-=⨯-22
430225.44(1)
ac b a --==⨯-2.几何面积的最值
问题：总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，当l 是多少米时，场地的面积S 最大？
解：矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，
所以另一边长为 m ．
场地的面积S ＝l (30－l )，
即S ＝－l 2＋30l (0<l <30)． 因此，当l ＝时， S 有最大值
也就是说，当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．
在周长一定的情况下，所围成的几何图形的形状不同，所得到的几何图形的面积也不同.利用二次函数求几何图形的最大（小）面积的一般步骤：
（1）引入自变量，用含自变量的代数式分别表示与所求问题相关的量.
（2）分析题目中的数量关系，根据题意列出函数解析式.
（3）根据函数解析式求出最值及取得最值时自变量的值，注意自变量的取值范围. 例题：
1．已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm ，则这个直角三角形的最大面积为（B ）
A ．25cm 2
B ．50cm 2
C ．100cm 2
D ．不确定
2．用一条长为40cm 的绳子围成一个面积为acm 2的长方形，a 的值不可能为（D ）
A.20
B.40
C.100
D.120
3．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2，从较短边AD 上找一点E ，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE ，DE 的长，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E 应选在（A ）
A ．AD 的中点 B.AE:ED=(5-1):2 C.AE:ED=2:1 D.AE:ED=(2-1):2
4．（2016・兰州)某农场拟建三间长方形种牛饲养室饲养室的一面靠
墙（墙长50m ），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材
料可建墙的总长度为48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积
的最大值为144 m 2．
5．如图，线段AB ＝6，点C 是AB 上一点，点D 是AC 的
中点，分別以AD ，DC ，CB 为边作正方形，则当AC ＝4 时，
三个正方形的面积之和最小。
6．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，BC ＝6cm 点P 从点A
开始沿AB 向B 以2cm ／s 的速度移动点Q 从点B 开始沿BC 向C 以
1cm ／s 的速度移动,如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，当△PBQ 的面
积最大时，运动时间为2s .
7.［2016・内江] 某中学课外兴趣活动小组准备围建个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30m 的篱笆围成，已知墙长为18m （如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为xm ．
（1）若苗圃园的面积为72m 2，求x
（2）若平行于墙的一边长不小于8m ，这个苗圃园的面积
有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如
果没有，请说明理由．
（3）当这个苗圃园的面积不小于100m 2时，直接写出x 的
取值范围．
解：（1）根据题意得（30－2x ）x ＝72
解得x 1＝3，x 2＝12
∵0＜30－2x≤18，x ＞0
∴6≤x ＜15．∴x ＝12．
（2）有最大值和最小值．设苗圃园的面积为ym 2，
∴y ＝x （30－2x ）＝－2x 2＋30x ．
由题意知8≤30－2x≤18，x ＞0，解得6≤x≤11．
∵a=-2＜0，-a 2b =-）（2-230 =2
15. ∴当x ＝2
15时，y 有最大值，y 最大值＝112．5． 当x ＝11时，y 有最小值，y 最小值＝88.
即这个苗圃园的面积有最大值和最小值，最大值为112．5m 2，最小值为88m 2.
（3）6≤x≤10．
考查角度1利用二次函数解决实际中围成面积的最值问题
1.［2016・绍兴]课本中有一例题：
有一个窗户形状如图①所示，上部是一个半圆，下部
是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这
个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光
面积最大值约为1.05m 2.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成
的矩形，材料总长仍为6m ，如图②所示．解答下列问题:
（1）若AB 为1m ，求此时窗户的透光面积.
（2）与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明.
解：（1）由已知可得AD ＝4
5221-1-1-1-6 （m ），则窗户的透光面积为45×1=45(m 2). （2）设AB ＝xm ，则AD ＝(3－4
7x)m ∵3－47＞0，且x ＞0，∴0＜x ＜7
12 设窗户的透光面积为Sm 2，由已知得S=AB.AD=x(3－47x)=-47x 2+3x=-47(x-76)2+7
9, ∵x=76在0＜x ＜7
12的范围内， ∴当x ＝76时，S 最大值=7
9＞1.05. 与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大．
考查角度2利用二次函数解决动态几何面积的最值问题
1．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12mm ，BC ＝24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm ／s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm ／s 的速度移动．已知
P ，Q 分别从A ，B 同时出发，求△PBQ 的面积S （mm 2）与出发时间t （s ）的函数解析式，
并求出t 为何值时，△PBQ 的面积最大，最大值是多少？
解：由题意可知，BP ＝（12－2t ）mm ，BQ ＝4tmm
∴S ＝21BP ・BQ ＝2
1（12－2t ）・4t ，整理，得 S ＝－4t 2＋24t ，易知0＜t ＜6．
∵S=-4t 2+24t=-4(t-3)2+36,
∴当t ＝3时，S 取得最大值，为36．
故S 与的函数解析式为S ＝－4t 2＋24t （0＜t ＜6）.
当t ＝3时，△PBQ 的面积最大，为36mm 2.
总结：1.怎样求二次函数的最大（小）值？
2.求几何图形面积的最值时都有哪些步骤？。