(完整版)初三上专题四点共圆

四点共圆专题讲义
例1．如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证：E、F、G、H四点共圆．
例2．（1）如图，在△ABC中，BD、CE是AC、AB上的高，∠A=60°．求证：ED=1
2 BC
（2）已知：点O是△ABC的外心，BE，CD是高．求证：AO⊥DE
例3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．
总结：四点共圆的方法：
1．__________________________________________________________
3．__________________________________________________________
4．__________________________________________________________
例4．求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中AB·CD+BC·AD=AC·BD．
练习1．在ABC
△中，BA BC BAC
∠α
==
，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段P A绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若60
α=︒且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围．
OA=OB=OC∠ADC=∠ABC=90°∠ACD=∠ABD=90°∠B+∠D=180°或∠
A+∠BCD=180°或∠
A=∠DCE
∠A=∠D或∠B=∠
C
练习2．在△ABC 中，∠A =30°，AB =2
3，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α（0°<α<90°），得到△DBE ，其中点A 的对应点是点D ，点C 的对应点是点E ，AC 、DE 相交于点F ，连接BF .
（1）如图1，若α=60°，线段BA 绕点B 旋转α得到线段BD .请补全△DBE ，并直接写出∠AFB 的度数； （2）如图2，若α=90°，求∠AFB 的度数和BF 的长； （3）如图3，若旋转α（0°<α<90°），请直接写出∠AFB 的度数及BF 的长（用含α 的代数式表示）.
练习3．已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线P A 交射线OM 于点A ，将射线P A 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB +∠MON =180°． （1）利用图1，求证：P A =PB ；
（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当S △POB =3S △PCB 时，求PB 与PC 的比值； （3）若∠MON =60°，OB =2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且∠PBD =∠ABO ，请借助图3补全图形，并求OP 长．
图3 D
C B F
图1 D 图2 F D C B
练习4．已知，在△ABC中，AB=AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN．
（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，
①如图a，当θ=45°时，∠ANC的度数为________ ；
②如图b，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；
（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明．
练习5．已知：Rt△''
BA C
∠=∠BAC=30°，现将Rt△''
A BC绕
∠=∠ACB=90°，''
A C B
A BC
∠和Rt△ABC重合，''
点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线''
C C和线段'
AA相交于点D,连接BD．
（1）当α=60°时，'A B过点C，如图1所示，判断BD和'
AA之间的位置关系，不必证明；
（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；
（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
图1 图2 图3
图1
图2
图3
练习6．在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，BD ，CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．设∠P AB ＝α，∠ACE ＝β，∠AEC ＝γ．
(1) 依题意补全图1； (2) 若α＝15°，直接写出β和γ的度数； (3) 如图2，若60°<α<120°，①判断α，β的数量关系并加以证明； ②请写出求γ大小的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）
练习7．阅读下面材料：
小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC 中，AD ⊥BC ，BD =4，DC =6，且∠BAC =45°，求线段AD 的长．
小红是这样想的：作△ABC 的外接圆⊙O ，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道∠BOC =90°，然后过O 点作OE ⊥BC 于E ，作OF ⊥AD 于F ，在Rt △BOC 中可以求出⊙O 半径及OE ，在Rt △AOF 中可以求出AF ，最后利用AD =AF +DF 得以解决此题．
请你回答图2中线段AD 的长 . 参考小红思考问题的方法，解决下列问题：
如图3：在△ABC 中，AD ⊥BC ，BD =4，DC =6,且∠BAC =30°，则线段AD 的长 .
图2
A B
P
C
A
B C
P
图1
练习8．已知：A 、B 、C 三点不在同一直线上． (1)若点A 、B 、C 均在半径为R 的⊙O 上， （i ）如图①，当∠A =45°，R =1时，求∠BOC 的度数和BC 的长； （ii ）如图②，当∠A 为锐角时，求证：sinA =
2BC
R
； (2)若定长线段BC 的两个端点分别在∠MAN 的两边AM 、AN (B 、C 均与A 不重合)滑动，如图③，当∠MAN =60°，BC =2时，分别作BP ⊥AM ，CP ⊥AN ，交点为P ，试探索在整个滑动过程中，P 、A 两点间的距离是否保持不变？请说明理由．
练习9．在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM =∠CBK ． 求证：∠DMA =∠CKB ．
分析：连KM，由∠DAM=∠CBK，得到A，B，M，K四点共圆，则∠DAB=∠CMK，∠AKB=∠AMB，而∠DAB+∠ADC=180°，得到∠CMK+∠KDC=180°，因此C，D，K，M四点共圆，所以∠CMD=∠DKC，即可得到∠DMA=∠CKB．
解答：解：连KM，
∵∠DAM=∠CBK，
∴A，B，M，K四点共圆，
∴∠DAB=∠CMK，∠AKB=∠AMB，
又∵AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC=180°，
∴∠CMK+∠KDC=180°．
∴C，D，K，M四点共圆，
∴∠CMD=∠DKC，
∴180°-∠DKC-∠AKB=180°-∠CMD-∠AMB，
∴∠DMA=∠CKB．。