勾股定理经典中考题

勾股定理

练习题

温故而知新：

1.勾股定理

直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.

2.勾股定理的验证

勾股定理的证明方法很多，据说已有400余种，其证明的内涵极其丰富.常用的证法是面积割补法，如图所示.

3.直角三角形的性质

两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系），30°角所对的直角边等于斜边的一半（边角关系），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用.

例1 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行（）

A.8米

B.10米

C.12米

D.14米

例2 如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（）

A.3 cm

B.6 cm

C.32cm

D.62cm

例 3 如图所示，公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45°.求出这块草地的面积.

举一反三：

1.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）

A.5

B.7

C.5

D.5或7.

2.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）

A.3

B.23

C.33

D.43

6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3. （1）求DE的长；

（2）求△ADB的面积.

例4 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.图是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S

1

，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之

和为S

2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为S

n

，设第一个正方形的边长

为1.请解答下列问题：

（1）S

1

=_______；

（2）通过探究，用含n的代数式表示S，则S

n

=________.

举一反三：

4.(2013·莆田)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方形E的面积是__________.

例5 如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长.小萍灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

分别以AB，AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于G点，可得四边形AEGF为正方形.设AD=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6 cm，

BC=8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕

为DE，则DE的长为（）

A.4 cm

B.15

4

cm C.6 cm D.10 cm

举一反三：

5.（2013·东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m（容器厚度忽略不计）．

解析：将圆柱侧面展开如图所示，作点A关于CD的对称点A′,连接A′B，则A′B的长即为所求最短距离；

过点B作BE⊥AC于E，

则BE=0.5m，A′E=1.2m，根据勾股定理得

A′B=22

'A E BE

+=22

+=1.3（m）.

1.20.5