理论力学 第八章

CA
ve v0 2 v0 作速度平行四边形，有： vr o 3 sin sin 60
运动学/点的合成运动
因牵连运动为平移，故有
aa ae ar
? 沿AB a0 ? CA
2
n ar
n ar vr 2
ar
R
大小 方向 其中：

沿CA指向C
2 4v0 2 ar vr / R ( v0 ) / R 3R 3
θ
A
C
B
D
运动学/点的合成运动
解：
y
1. 选择动点与动系
动点－曲柄上的A点；
x
o
B
动系－固连于杆BCD上。 定系－固连于机座。 2. 运动分析
y
o
D
O
θ
A C
x
绝对运动－以O为圆心 、l为 半径的等速圆周运动。 相对运动－沿BC的直线运动。
牵连运动－铅垂方向的平移。
运动学/点的合成运动
3. 速度分析
动系：OA杆 定系：基座 由 大小 方向
绝对运动：直线运动 相对运动：直线运动。C点到凸轮与 OA接触点的距离不变。 牵连运动：定轴转动
x
va
v
OC
ve vr
? //OA

OC
作出速度平行四边形如图示
3 ve va tan v 3 r 又ve OC 2r , sin
运动学/点的合成运动
例11 曲柄摆杆机构。已知：O1A＝r , , ，1；取O1A杆上A点为动点，动系固 结在O2B上，试计算动点A的科氏加速度。
ac
B
解： ac 2e vr 22 vr
示位置时相对于板的速度分别为 v1
度大小, 并标出方向。
解： 点M1的科氏加速度
ac1
和 v2 ，计算点M1 、 M2的科氏加速
ac1 2v1 sin
点M2 的科氏加速度
垂直板面向里
ac 2 0
( // v2 )
运动学/点的合成运动
牵连运动为平移时点的加速度合成定理
例6 曲杆OBC以匀角速度ω 绕固定轴O转动，使圆
环M沿固定直杆OA上滑动。设曲柄长OB=10 cm，OB
垂直BC,。 ω =0.5 rad/s，求φ=60°时，小环的绝对
速度。
C
O
φ ω
M
A
B
运动学/点的合成运动
解：
1. 选择动点，动系与定系 动点:小环M 动系:固连于摇杆 OBC
C
定系:固连于机座
运动学/点的合成运动
§8-1点的合成运动基本概念的回顾
一、一点、两系、三运动
一点：动点（研究对象）；两系（定系、动系） 三运动：绝对运动、相对运动、牵连运动
二、三种速度
绝对速度、相对速度、牵连速度
三、牵连点
在某瞬时，动坐标系上与动点相重合的点，为该瞬时动点 的牵连点。不同的瞬时动点的位置不同，牵连点也不同。
va
φ A
ve
v0
垂直 方向： 向上
因为杆AB作平移，所以此瞬时它的速度大小： 方向垂直向上
运动学/点的合成运动
例4：图示机构，曲柄OA的一端与滑块A用铰链连接。当曲柄 OA以匀角速度 绕定轴O转动时，滑块在摇杆上滑动，并带动 摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离OO1 l 求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相 对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
§8-2
点的速度合成定理
速度合成定理建立动点的绝对速度，相对速
度和牵连速度之间的关系:
va ve vr
绝对速度 牵连速度 相对速度
运动学/点的合成运动
●注意的问题
▼由速度合成定理的矢量形式知，绝对速度是以相对
速度和牵连速度为邻边组成的平行四边形的对角线。
▼点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
解：
1. 选择动点、动系与定系
B
动点：AB 杆的端点A 动系：固连于凸轮 定系：固连于水平 轨道
y
y
R
A
v0
o
φ
x
2. 运动分析
绝对运动：直线运动 相对运动：沿凸轮轮 廓曲线运动
牵连运动：水平平移
o
n
x
运动学/点的合成运动
3. 速度分析
B
大小： ？
vr
R
φ n
？
方向 沿凸 轮圆 周的 切线 方向 水平 向右
ve 1 3 3v （ v 2r 2r 3 6r
）
y
运动学/点的合成运动
§8-3 牵连运动为平移时点的加速度合成定理
aa ae ar
即：当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵
连加速度与相对加速度的矢量和。
——牵连运动为平移时点的加速度合成定理
运动学/点的合成运动
n 2
n
将上式投影到 n方向，得：
aa sin ae cos ar n
aa (ae cos ar ) / sin
n
运动学/点的合成运动
aa (ae cos ar ) / sin
n
4v0 (a0 cos 60 ) / sin 60 3R

2
n
整理得
例7 已知: 凸轮半径r , 图示时 v , 30, 杆OA靠在凸轮上。
求：杆OA的角速度。
分析：相接触的两个
物体的接触点位置都随时
间而变化，因此两物体的
接触点都不宜选为动点，
否则相对运动的分析就会
很困难。这种情况下，需
选择非接触点为动点。
运动学/点的合成运动
解： 选取动点： 凸轮上的C点
科氏加速度：
大小 : ac 2evr sin( e , vr )
方向：按右手法则确定。

当 90 时(e vr ), ac 2e vr


当 0 或 180 时(e // vr ), ac 0


运动学/点的合成运动
例11 矩形板ABCD以匀角速度 绕 固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿 板的对角线BD和边线CD运动，在图
定系:固连于机座 2. 运动分析
绝对运动:直线运动 相对运动: 以C为圆心 的圆周运动 牵连运动:绕O 轴的定轴 转动
运动学/点的合成运动
3. 速度分析
B
va ve vr
? 沿AB OA OA ? CA
vr
大小
θ A θ e
va ve
方向
C
O
ω
方向垂直向上
运动学/点的合成运动
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
▼该定理在推导的过程中，牵连运动未加限制，可以
是平移、定轴转动以及其他形式的刚体运动。
▼牵连速度为该瞬时动系上与动点相重合的点的速度。
运动学/点的合成运动
例2:已知正弦机构中，曲柄OA＝l，匀角速度 ω ， 当θ ＝30o 时。求T型杆BCD的速度。
O
选取动点，动系和定系；
分析三种运动；
分析三种速度； 根据速度合成定理作出速度合成平行四边形； 根据速度平行四边形，求出未知量。
恰当选择动点、动系和定系是求解合成 运动问题的关键：
1 .动点、动系不能选在同一物体上;
2 .动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断。
运动学/点的合成运动
aa ae ar
牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连 加速度与相对加速度的矢量和。
牵连运动为转动时点的加速度合成定理
aa ae ar ac
牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加 速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。
运动学/点的合成运动
在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω 作
匀角速转动，OA=r，试求杆BC 的加速度。
D
ω
O φ
A
C
B
E
运动学/点的合成运动
解： 动点：滑块A
绝对运动：以O为圆心的圆周 运动 动系：固连于丁字形杆 相对运动：沿槽ED的直线 定系：固连于机座 运动 牵连运动：BC 沿水平平移
D
ae ω O φ aa
3 8 v0 aa (a0 ) a AB 3 3 R
注意：加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静 平衡方程的投影关系不同。
2
aa ae ar
n ar
运动学/点的合成运动
例10 曲柄OA绕固定轴O转动，丁字形杆BC沿水平 方向往复平移，如图所示。铰链在曲柄端A的滑块，可
）
运动学/点的合成运动
例5 如图所示，半径为R，偏心距为e的凸轮， 以匀角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下
平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一
直线。求在图示位置时，杆AB的速度。
运动学/点的合成运动
解：
B
1. 选择动点，动系与定系
动点:AB的端点A 动系:固连于凸轮
A
y
C
x
θ e O ω
A
ar
B
C
大小 OA ω 2 方向
未知
未知 A→E
A→O 水平 向左
E
得杆BC 的加速度 水平向左。
运动学/点的合成运动
§8-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理
ຫໍສະໝຸດ Baidu
aa ae ar ac
即：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连 加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。
运动学/点的合成运动
理 论 力 学
第二部分 运 动 学
第八章
点 的 合 成 运 动
2013年8月4日
运动学/点的合成运动
第八章
§8-1 §8-2 §8-3
点的合成运动
点的合成运动的概念 点的速度合成定理 牵连运动为平移时 点的加速度合成定理
§8-4
牵连运动为转动时 点的加速度合成定理
本章中点的速度合成是重点，点的加速度合成是难点。
ac 2vr 2 2 r / cos
作出加速度矢量图，并向 n 轴投影得
n e n
aa cos a cos ar ac a AB aa
( 2 r cos 2 r 2 sec 2 / 2 2 r sec ) / cos
2 r (1 r sec 3 / 2 sec 2 )
例8 已知：凸轮半径 R, vo , ao 求： =60o时, 顶杆AB的加速度。
解： 选取动点：AB上的A点 动系：凸轮 定系：基座 由于求加速度分析需 由 ,故先求 运动分析： 绝对运动：直线运动 相对运动：圆周运动 牵连运动：平移
va
ve vr
v0 ?
大小
?
方向 沿AB
运动学/点的合成运动
解：
滑块A
1、选取动点： 上的A点 OA 动系： O1B
2、 运 绝对运动：圆周运动 动 相对运动：直线运动 分 析 牵连运动：定轴转动 ：
定系： 基座
运动学/点的合成运动
3、速度分析
由： v a
大小
r
ve vr
? O1B ?
方向
OA
沿O1B
作出速度平行四边形如图示
例12 已知：凸轮机构以匀角速度 绕O轴转动， 图示瞬时OA= r ，A点曲率半径 , 已知。 求： 该瞬时顶杆AB的速度和加速度。 解： 选取动点：AB上的A点 动系：凸轮 定系：地面 由 v v
a
大小 方向
? 沿AB
r

e
vr
? n
作出速度平行四边形如图示
v AB va ve tg r tg ( )
大小： ve va
θ
？
？
B
O A vr C D
方向： OA
水平向右 垂直向上
方向铅垂向上。
运动学/点的合成运动
B
例3 仿形机床中半径 为R的半圆形靠模凸轮以 等速度v0沿水平轨道向右 运动，带动顶杆AB沿铅
A R
v0
垂方向运动，如图所示。
试求φ=60º 时，顶杆AB的
φ
n
速度。
运动学/点的合成运动
vr ve /cos r /cos
运动学/点的合成运动
由牵连运动为转动时的加速度合成定理
n n aa ae ae a r a r ac
? 沿AB
2
大小 方向
0
2 r

? n
v r /
2
2vr
同 n
与n相反 aa
其中 arn vr / 2 r 2 / cos 2 θ
A
O φ ω
M
2. 运动分析 绝对运动:沿OA的直线 运动 相对运动:沿OB的直线 运动 牵连运动:绕O轴的定 轴转动
B
运动学/点的合成运动
3. 速度分析
va ve vr
大小 方向
C
? 沿OA
OM
OA向下
?
沿BC
O φ
M
A
ω
B
方向水平向右
运动学/点的合成运动
求解合成运动的速度问题的一般步骤为：
cos l l r
2 2
vr va cos
rl
l2 r2
sin
r r l
2 2
, ve va sin 1
r 2 r2 l2 r 2
ve 又 ve O1 A 1 , 1 O1 A
r 2 2 2（ 2 2 r l r2 l r2 l