空间向量的坐标表示
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1.4 空间向量的坐标表 示
空间直角坐标系. 向量的直角坐标运算.
一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用来 i , j , k 表示
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点， 分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、 y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了 一个空间直角坐标系O--xyz
例1 已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a, a •b
Z
例2 在正方体 ABCD—A1B1
D1
A1
C1 B1
C1D1 中 E、F
分别是 BB1 、
CD 的中点 ，
E
求证： D1F 平面ADE
D F
C X
A
B
Y
• 例2：已知空间四点A(-2,31),)B(2,-5,3) • C(10,0,10)和D（8，4，9），求证： • 四边形ABCD是梯形。
三、向量的直角坐标运算.
设 a(a1,a2,a3)b,(b1,b2,b3)则
ab(a1b1,a2b2,a3b3); ab(a1b1,a2b2,a3b3);
a(a1,a2,a3)(R);
a•baபைடு நூலகம்b1a2b2a3b3;
a /b / a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R )
a b a1b 1a2b2a3b30.
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标.
空间向量坐标运算法则，关键是注意空 间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在 利用向量的坐标运算判断空间几何关系时， 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的 坐标。
点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标
给定一个空间坐标系和向
量 a,且设i、j、k为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯
一的有序实数组(a1,a2,a3)使
a= a1i+a2j+a3k
z
a
k i Oj
有序数组(a1,a2,a3)叫做 a在空
间直角坐标系O--xyz中的坐标，
x
记作.
a=(a1 ,a2,a3)
A(x,y,z) y
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一 点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有 序实数组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有 序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中 的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
空间直角坐标系. 向量的直角坐标运算.
一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用来 i , j , k 表示
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点， 分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、 y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了 一个空间直角坐标系O--xyz
例1 已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a, a •b
Z
例2 在正方体 ABCD—A1B1
D1
A1
C1 B1
C1D1 中 E、F
分别是 BB1 、
CD 的中点 ，
E
求证： D1F 平面ADE
D F
C X
A
B
Y
• 例2：已知空间四点A(-2,31),)B(2,-5,3) • C(10,0,10)和D（8，4，9），求证： • 四边形ABCD是梯形。
三、向量的直角坐标运算.
设 a(a1,a2,a3)b,(b1,b2,b3)则
ab(a1b1,a2b2,a3b3); ab(a1b1,a2b2,a3b3);
a(a1,a2,a3)(R);
a•baபைடு நூலகம்b1a2b2a3b3;
a /b / a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R )
a b a1b 1a2b2a3b30.
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标.
空间向量坐标运算法则，关键是注意空 间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在 利用向量的坐标运算判断空间几何关系时， 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的 坐标。
点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标
给定一个空间坐标系和向
量 a,且设i、j、k为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯
一的有序实数组(a1,a2,a3)使
a= a1i+a2j+a3k
z
a
k i Oj
有序数组(a1,a2,a3)叫做 a在空
间直角坐标系O--xyz中的坐标，
x
记作.
a=(a1 ,a2,a3)
A(x,y,z) y
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一 点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有 序实数组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有 序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中 的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.