《高等数学》3.8 方程的近似解

由 f (a1 ) f (b1 ) 0，即知 a1 b1，且
b1

a1

1 (b 2

a);
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二、二分法
设 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，f (a) f (b) 0，
且方程 f ( x)＝０在 (a,b)内仅有一个实根，于是
[a , b] 即是这个根的一个隔离区间． 作法：
o a x1

bx
线与 x 轴的交点的横坐标
x1 比 x0 更接近方程的根 ． A
f (a) 0, f (b) 0
令 x0 a,
f ( x) 0, f ( x) 0
则切线方程为 y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
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令 y 0, 得
(a1

b1 ) 时，可求得 a2



b2
且
b2

a2

1 22
(b

a);
如此重复 n 次, 可求得 an bn 且
bn

an

1 2n
(b

a).
如果以 an 或 bn 作为 的近似值，那末其误差
小于
1 2n
(b

a
)．
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例１ 用二分法求方程 x3 1.1x2 0.9x 1.4 0 的实根的近似值,使误差不超过 103. 解 令 f ( x) x3 1.1x2 0.9x 1.4,
3 0.625, f (3 ) 0.16 0, 故 a3 0.625, b2 0.75; 4 0.687, f (4 ) 0.062 0, 故 a4 0.625, b4 0.687;
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5 0.656, f (5 ) 0.054 0, 故 a5 0.656, b5 0.687; 6 0.672, f (6 ) 0.005 0, 故 a6 0.656, b6 0.672; 7 0.664, f (7 ) 0.025 0, 故 a7 0.664, b7 0.672; 8 0.668, f (8 ) 0.010 0, 故 a8 0.668, b8 0.672; 9 0.670, f (9 ) 0.002 0, 故 a9 0.670, b9 0.672; 10 0.671, f (10 ) 0.001 0, 故 a10 0.670, b10 0.671.
x1

x0
f ( x0 ) , f ( x0 )
y
y f (x)
在点 ( x1, f ( x1 )) 作切线， 得根的近似值 x2 x1
o f ( x1 ) . f ( x1 )
a
x1
x2

A
如此继续，得根的近似值
B bx
xn

xn1
f ( xn1 ) f ( xn1 )
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如图，精确画出y f (x)的图形，然后从图上 定出它与 x 轴交点的大概位置．
２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似 值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得 满足精确度要求的近似实根．
常用方法——二分法和切线法（牛顿法）
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二、二分法
设 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，f (a) f (b) 0，
复习 s s( x). 单调增加函数
弧微分公式
故 ds 1 y2dx.
曲线C在点M处的曲率
K lim s0 s
K d .
ds
曲率的计算公式
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y
k
3.
(1 y2 )2
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1 曲率半径.
k
曲率圆.
D 曲率中心,
如果 f (1 ) 与 f (b) 同号，那末取 a1 a, b1 1,
也有
a1



b1
及
b1

a1

1 (b 2

a);
总之，
当

１ 时，可求得
a1



b1
且
b1

a1

1 (b 2

a);
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以 [a1,b1] 作为新的隔离区间，重复上述做法，
当


2

1 2
四、小结
求方程近似实根的常用方法: 二分法、切线法（牛顿法）、割线法．
切线法实质：特定的迭代法．( ( x) x f ( x) )
f ( x) 求方程的根的迭代法是指由根的近似值出发,通过 递推公式将近似值加以精确化的反复演算过程.
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0.670 0.671. 即 0.670 作为根的不足近似值, 0.671 作为根的过剩近似值, 其误差都小于103.
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三、切线法
设 f ( x) 在 [a,b] 上具有二阶导数，f (a) f (b) 0， 且 f ( x) 及 f ( x) 在 [a,b] 上保持定号．
且方程 f ( x)＝０在 (a,b)内仅有一个实根，于是
[a , b] 即是这个根的一个隔离区间．
作法：
取 [a,b]的中点 1

a b，计算 2
f (1 ).
如果 f (1 ) 0，那末 1；
如果 f (1 ) 与 f (a) 同号，那末取 a1 1, b1 b,
a
a1

a
2
b
1 b
A
x
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§3.8 方程的近似解
一、问题的提出
问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确 根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计 算方法．
求近似实根的步骤： １．确定根的大致范围——根的隔离区间．
确定一个区间[a,b] 使所求的根是位于这个 区间内的唯一实根．区间[a,b] 称为所求实 根的隔离区间．
显然 f ( x) 在 (,)内连续. f ( x) 3x2 2.2x 0.9, 1.49 0, f ( x) 0. 如图
故 f ( x) 在 (,)内单调增加, f ( x) 0 至多有一个实根．
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f (0) 1.4 0, f (1) 1.6 0,
(1)
注意 : 如果 f (b) 与 f ( x) 同号,可记 x0 b.
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例２ 用切线法求方程 x3 1.1x2 0.9x 1.4 0 的实根的近似值,使误差不超过 103.
解 令 f ( x) x3 1.1x2 0.9x 1.4, [0,1] 是一个隔离区间. f (0) 0, f (1) 0.
如图，在 [0,1] 上， f ( x) 3x2 2.2x 0.9 0,
f ( x) 6x 2.2 0,
O
1
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f ( x) 与 f (1) 同号， 令 x0 1.
代入(1),得
f (1)
x1
1
0.738; f (1)
x2
0.738
f ( x) 0 在 [0,1]内有唯一的实根.
取 a 0,b 1, [0,1]即是一个隔离区间.
计算得:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0.5, f (1 ) 0.55 0, 故 a1 0.5, b1 1; 2 0.75, f (2 ) 0.32 0, 故 a2 0.5, b2 0.75;
则方程 f ( x)＝０在 (a,b)内有唯一个的实根 ，
[a,b] 是根的一个隔离区间．
定义 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从 而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线 法（牛顿法）．
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如图，
y
在纵坐标与 f ( x) 同号的
y f (x)
B
那个端点（此端点记作 ( x0 , f ( x0 ))) 作切线，这切
y
D
o
y f (x)
x
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§3.8 方程的近似解 基本思想
设 f ( x) 在区间 [a,b] 上连续，f (a) f (b) 0，
则方程 f ( x)＝０在 (a,b)内至少有一个实根 ．
y
1：确定根的隔离区间
B
2：以隔离区间端点作为 根的初始近似值，再用 o 一些方法加以改善精度
f (0.738) f (0.738)
0.674;
O
1
x3
0.674
f (0.674) 0.671; f (0.674)
x4
0.671
f (0.671) 0.671; f (0.671)
计算停止.
得根的近似值为0.671 , 其误差都小于103.
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