《整式》框架式教学学案

第2章 整式 骨架学习 §2.1代数式
宜宾天立国际学校初2014级数学组
【学习目标】
1．体会用字母表示数的意义.
2．了解代数式的概念，掌握代数式的常规书写要求，会规范地书写代数式. 3．会根据实际问题列出代数式，会对给出的代数式赋予实际意义. 4．了解代数式值的意义，会求代数式的值. 5．经历由数到式的过渡，体会类比的数学方法.
第一环节 自主做学
【自学教材尝试解决问题】
1．自学教材
2．试一试，你能解决下列问题吗？
（1）如图所示的大正方形的面积既可以表示为_____________，也可以表示为_______________.
（2）每本练习本m 元，甲买了5本，乙买了2本，两人一共花了____________________元，甲比乙多花了______________________元．
（3）一本书卖a 元，一只笔卖b 元，则买3只笔和两本书共需 _________ 元. （4）请赋予代数式x 5一个实际意义：_____________________________. （5） 当a ＝
2
1，b ＝2时，代数式2
22b ab a ++的值为_________________. （6）某工厂去年产值为a 万元，今年比去年增加10%，则今年的产值为 万元.
（7）一本书原价为m 元，9折优惠后，这本书的价格是 _________元. （8）x 的相反数与y 的倒数的和表示为_________________________________________.
第二环节 合作探究
【问题1】
1.为了测试一种皮球的弹跳高度与下落高度之间的关系，通过试验，得到下列一组数据 （单位：厘米）： 下落高度
40 50 80 100 150 弹起高
20
25
40
50
75
度
在这个问题中，如果我们用b （厘米）表示下落高度，那么相对应的弹跳高度为_______（厘米）．
2．1+2=_______；1+2+3=_______；1+2+3+4=_________；1+2+3+4+5=___________； 1+2+3+4+5+6=__________；1+2+3+4+5+6+…+n=____________. 请你结合上面两例谈谈用字母表示数的优越性： 试一试 我们知道：
232103=⨯+ 51061088652+⨯+⨯=
类似地，5984＝ 3
10⨯＋ 2
10⨯＋ 10⨯＋_________.
若某三位数的个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c ，则此三位数可表示为 .
【问题2】 填一填
1.圆的半径为r cm ，它的面积为______2
cm ；
2.长方形的长与宽分别为a cm 、b cm ，则该长方形的周长为______cm ；
3.小强在小学六年中共攒了a 元零花钱，上中学后买文具用去b 元，剩下的钱全部存入银行，则小强可以存款______元；
4.某机关原有工作人员m 人，现精简机构，减少20%的工作人员，则有_________人被精简．
探索
书写代数式时，有哪些常规要求？ 试一试
1.a 千克含盐为10%的盐水中含盐_________千克；
2.某同学军训期间打靶成绩为10环、8环、8环、7环、a 环，则他的平均成绩为_________环；
3.甲以a 千米／时、乙以b 千米／时（a ＞b ）的速度沿同一方向前进，甲在乙的后面8千米处开始追乙，则甲要追上乙需_______小时；
4.一枚古币的正面是一个半径为r 厘米的圆形，中间有一个边长为a 厘米的正方形孔，则这枚古币正面的面积为__________．
【问题3】
结合你的生活经验对下列代数式做出具体解释 （1）a-b （2）ab 注意
许多具有数量关系的实际问题可以用代数式来表示，反之，一个代数式也可以赋予其实际意义.
练习
说出下列代数式的意义
（1）2（a+b ）； （2） 5x ； （3）60
s
； （4）
b
a 5
；
【问题4】
小川在唱一首永远也唱不完的儿歌：1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水，2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水，3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水，……你能用字母表示这首儿歌吗？
探索
列代数式时应注意哪些问题？ 试一试
1.被9整除的数可表示为___________；被4除余1的数是_____________________；
2.三个连续整数，若最小的一个为n ，则另两个可表示为_______________________；
3.三个连续偶数，若中间一个为2n ，则另两个可表示为_______________________；
4.三个连续奇数，若最大的一个为2n+1，则另两个可表示为_______________________. 【问题5】
有四个同学在做一个传数游戏．第一个同学任意报一个数给第二个同学，第二个同学把这个数加1传给第三个同学，第三个同学再把听到的数平方后传给第四个同学，第四个同学
把听到的数减去1报出答案．若第一个同学报给第二个同学的数是5，而第四个同学报出的答案是35．你说结果对吗？为什么？
探索
如何求代数式的值？ 练习
当a ＝2，b ＝－1，c ＝－3时，求下列各代数式的值
（1）ac b 42
-； （2）()2
c b a ++;
（3）ac bc ab c b a 2222
2
2
+++++
第三环节 总结反思
【知识小结】
1．用字母表示数，可以使数量关系更加简明，更具有普遍意义. 2．代数式：像16n ，5s
，2a ＋3b ，
b 2
1
，a ，b ，a ＋b ，ab ，2a ，()2b a +，15，5 050，()2
1+n n ，5x ，t s
等用运算符号将数和表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.
3．列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出
来，即列出代数式．
4．代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结
果，叫做代数式的值.
5.求代数式的值的步骤：（1）代入；（2）计算. 【数学思想方法】
本节课学习中涉及到哪些数学思想想方法?试举例说明.
【反馈练习】
1．如图，某广场四角铺上四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r 米，则共有草地 平方米.
2．设某数为x ，则 （1）比某数的
2
3
大1的数可表示为_____________________； （2）比某数大10%的数可表示为_____________________； （3）某数与
5
2
的和的3倍表示为_____________________； （4）某数的倒数与5的差表示为_____________________．
3．某市出租车收费标准为：起步价10元，3千米后每千米价1.8元．则某人乘坐出租车x
（x ＞3）千米的付费为___________元． 4.根据生活经验，试对下列代数式做出解释. （1）a －2b ； （2） 2（1+p ）．
5．根据下列各组x 、y 的值，分别求出代数式x 2
＋2xy ＋y 2
与x 2
－2xy ＋y 2
的值： （1）x ＝2，y ＝3； （2）x ＝－2，y ＝－4．
6．某企业去年的年产值为a 亿元，今年比去年增长了10%．如果明年还能按这个速度增长，请你预测一下，该企业明年的年产值将能达到多少亿元？如果去年的年产值是2亿元，那么预计明年的年产值是多少亿元？
骨架学习 §2.2整式
宜宾天立国际学校初2014级数学组
【学习目标】
1. 知道单项式、多项式、整式，会将多项式升、降幂排列.
2. 能说出单项式的系数、次数，多项式的项数、次数.
3. 会识别单项式、多项式和整式.
第一环节 自主做学
【自学教材尝试解决问题】 1. 自学教材.
2. 试一试，你能解决下列问题吗？
（1）下列代数式中，①343r π，②1，③11x +，④213x +，⑤ 22x π
，⑥42
321n n -+，
⑦r .其中是单项式的有 ，是多项式的有 .（填写番号）
（2）下列说法正确的是（ ）
A. 单项式m 既没有系数，也没有次数．
B. 单项式2
r π的系数是1． C. －2 001也是单项式． D. 单项式23
x
-的系数是－2．
（3）填表：
（4）填空：
① 4a 2
＋3a －1是 次 项式，它的项分别是 ；
② 3322
5
233
m n m n mn -+
是 次 项式，它的项分别
是 ．
（5）把多项式
23351
3232
x x x +-+按x 升幂排列为 ． （6）把多项式322245x y y x -+按y 降幂排列为 ．
第二环节 合作探究
【问题1】
说出下列单项式的系数与次数：
（1）223
x y - ； （2）mn ； （3）2
5a ； （4）272ab c -．
探索
1.由数与字母的 组成的代数式叫做单项式，特别地，单独一个数或一个字母也是单项式．
2.单项式中的 叫做这个单项式的系数．
3.一个单项式中，所有 的指数的和叫做这个单项式的次数. 注意
1.圆周率π是常数；
2.当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如2
ab ，－abc ； 3.单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．如2114x y 写成25
4
x y ． 【问题2】
指出下列多项式是几次几项式：
（1）3
1x x -+； （2）3222
23x x y y -+．
探索
1.由几个单项式的和叫做 ．在多项式中，每个单项式叫做多项式的 ．其中，不含字母的项，叫做 ．
2.一个多项式含有几项，就叫几项式．多项式里， 的次数，就是这个多项式的次数．
注意
1.多项式的次数不是所有项的次数之和；
2.多项式的每一项都包括它前面的符号． 【问题3】
把多项式4
4
3
2
2
3
325x y x y xy x y -+--重新排列： （1）按x 升幂排列；
（2）按y 升幂排列．
探索
1.重新排列多项式时，每一项一定要连同它的 一起移动；
2.含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列．
第三环节 总结反思
【知识小结】
⎧⎪
⎧⎪
⎨⎪
⎩⎪⎪
⎨
⎪
⎧⎪
⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩
系数单项式次数（1）整式项、项数多项式次数排列 （2）注意单项式的次数与多项式的次数的区别.
（3）按某一字母升幂或降幂排列多项式时，要注意常数项的排列位置. 【数学思想方法】
本节课学习中涉及到哪些数学思想方法?试举例说明.
【反馈练习】
1.说出下列单项式的系数与次数：
① 223
x y - ； ② xy ； ③ 2
5a ； ④ 272ab c -．
2.填空：
① 2
213x x ++是 次 项式；
② 324a ab b -+是 次 项式． 3.指出下列多项式的次数与项： ①
4
1
32-xy ； ② 2222
2a a b ab b ++-； ③
22231a ab b -++．
4.把多项式2312x x x y π-+-+按x 升幂排列.
5.把多项式443223325x y x y xy x y -+--重新排列：
① 按x 升幂排列； ② 按y 升幂排列．
骨架学习 §2.3 整式的加减运算
宜宾天立国际学校初2014级数学组
【学习目标】
1．理解同类项的概念，会识别两项是否是同类项，会根据同类项的概念建立方程或方程组求待定字母的值.
2．掌握合并同类项的方法，会较熟练地合并同类项. 3．掌握去添括号法则，会较熟练地去括号、添括号.
4．掌握整式加减的一般步骤，能通过去括号与合并同类项进行整式的加减运算. 5．在经历同类项概念的抽象过程中，体会分类的数学思想方法.
第一环节 自主做学
【自学教材尝试解决问题】 1.自学教材
2.试一试，你能解决下列问题吗？ （1）下列两项是同类项的是（ ）.
A ．y x 23与23xy
B ．y x 23与23yx -
C ．22ab abc 和 （2）当k=___________时，y x k 3与y x 2-是同类项.
（3）请写出3
23c ab 的一个同类项：____________________________. （4）填空
（a －b ）+（-c-d ）= _____________ ; （a-b ）-（-c-d ）= _____________ ; -（a-b ）+ （-c-d ）= _____________ ; -（a-b ）- （-c-d ）= _____________ .
（5）x 2
-x+1= x 2
-（ ）； 2x 2
-3x-1=2x 2
+（ ）；
（6）计算：()()
232323
243x y x y x y +---=___________________.
（7）当a ＝－1时，求代数式2
29124144a a a a -+-+-的值.
第二环节 合作探究
【问题1】
认真观察两组式子：（1）y x 23与y x 25；（2）24xy -与22xy ，每组中两个式子有何共同特点？
探索
同类项：所含字母___________，相同字母的指数也__________的项叫做同类项，几个常数项也是______________.
注意
同类项概念中的“两相同两无关”. 【问题2】
化简：2222343525x y xy x y xy --+++. 探索
合并同类项概念与法则
1．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做________________． 2．合并同类项法则：合并同类项时，把同类项的系数相________，字母及字母的指数________.
注意 两不变一相加 【问题3】
观察下列变换过程，探索去添括号法则
探索 去括号法则：
括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都____________； 括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都____________． 添括号法则：
所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都_______________； 所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都_______________． 注意
添括号与去括号的过程正好相反，添括号是否正确，不妨用去括号检验一下． 简记：外“+”内不变，外“-”内全变. 【问题4】
化简：（1）（x ＋y －z ）＋（x －y ＋z ）－（x －y －z ）； （2）
()()2
22222a
ab b a ab b ++--+； （3）
()()222232232x y y x ---．
探索
整式加减的一般步骤（1）___________________；（2）______________________________.
第三环节 总结反思
【知识小结】
1．同类项概念：两相同两无关. 2．合并同类项法则：两不变一相加.
3．去、添括号法则：外“+”内不变；外“-”内全变. 4．整式的加减：去括号，合并同类项.
【数学思想方法】
1．在解决同类项概念的相关问题时，常常列出方程或方程组求解，体现方程这种数学思想方法的重要性.
2．合并同类项时，实际上是乘法分配律的逆用.
3．去、添括号是两个互逆的过程，因此，在检查添括号是否正确，常常利用去括号来进行.
【反馈练习】
1．判断下列各题中的两项是否是同类项： （1）4与12-
（2）22
3a 与 （3）2x 与2x
（4）3mn 与3mnp （5）2r π与-3x （6）2
3a b 与2
3ab .
2．（1）K 取何值时，233k x y -与264x y 是同类项？
（2）m 、n 取何值时，32m x y 与33n xy -是同类项？
3．下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正. （1）2
248x x x += （2）325x y xy += （3）2
2
734x x -= （4）2
2
990a b ba -=
4．在下列各式的括号内填上恰当的项
（1）3223333x x y xy y x -+-=+（ ）; （2）22222x xy y -+-=-（ ）. 5．先化简，再求值：
（1）()22
532234x x x x ⎡⎤----⎣⎦，其中1
2x =-
（2）22123122323x x y x y ⎛
⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，其中11,42x y =-=-
6．已知222232,23y xy x N y xy x M -+=+-=，求：（1）M-N; （2）M+N.
骨架学习 §2.4幂的运算
宜宾天立国际学校初2014级数学组
【 学习目标】
1. 理解同底数幂的运算法则；
2. 能熟练地进行幂的乘方、积的乘方的运算.
第一环节 自主做学
【自学教材尝试解决问题】 1. 自学教材
2. 试一试，你能解决下列问题吗？ （1）填空：
① a 5
·（ ）＝a 9
； ②（ ）·（－b ）2
＝（－b ）7
；
③ x6÷（）＝x；④（）÷（－y）3＝（－y）7．（2）计算：
① a10÷a2＝；②（－x）9÷（－x）3= ；
③ m8÷m2·m3= ；④（a3）2÷a6= ．
（3）计算（以幂的形式表示）：
① 93×95= ；② a7·a8= ；
③ 35×27= ；④ x2·x3·x4= ．（4）计算：
①（22）2= ；②（y2）5= ；
③（x4）2= ；④（y3）2·（y2）3= ．（5）计算：
①（-0.1）0= ；②
1
2003
⎛⎫
⎪
⎝⎭
= ；
③ 2-2= ；④
2
1
2
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
= .
第二环节合作探究
【问题1】计算：
（1）103×104；（2）a·a3；（3）a·a3·a5．
归纳：同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数，指数 .
即a m·a n＝a( )（m、n为正整数）．
【问题2】计算：
（1）（103）5（2）（b3）4（3）（2b）3
（4）（2×a3）2（5）（－a）3（6）（－3x）4
归纳：①幂的乘方，底数，指数．（a m）n＝a( )（m、n为正整数）．
②积的乘方，等于把积的分别，再把所得的幂．（ab）n＝a ( )
b ( )（n为正整数）．
【问题3】计算：
（1）a 8÷a 3 （2）（－a ）10÷（－a ）3 （3）（2a ）7÷（2a ）4
归纳：① 同底数幂相除，底数 ，指数 ．即a m ÷a n ＝a n
m - （m 、n 为
正整数，m ＞n ，a≠0）．
② 指数的范围扩大到了全体整数，所学幂的性质仍然成立.如： )3(23
2-+-=⋅a a a ；
（a ·b ）-3
=a -3b -3
； （a -3
）2
=a
（-3）×2
；)3(23
2---=÷a a
a .
【问题4】
（1）计算：①3-2
； ② 10
1031-⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛
（2）用小数表示下列各数：
①10-4
； ②2.1×10-5
.
（3）一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示.
归纳：① 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即 a 0
=1（a ≠0）；
② 任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数. 即n n
a
a
1
=
-（a ≠0，n 是正整数）. ③科学记数法：绝对值大于10的数表示成 a ×10n
的形式（n 是正整数，1≤∣a ∣＜10）绝对值较小的数表示成a ×10-n
的形式（n 是正整数，1≤∣a ∣＜10）.
第三环节 总结反思
1. 知识小结：
2. 数学思想方法：
3. 反馈训练：
（1）计算（以幂的形式表示）：
①（103）3； ②（a 3）7
； ③（x 2
）4
； ④（a 2
）3·a 5
．
（2）判断下列等式是否正确，并说明理由．
① a2·a2＝（2a）2；②a2·b2＝（ab）4；
③ a12＝（a2）6＝（a3）4＝（a5）7．
（3）计算：
① x12÷x4；②（－a）6÷（－a）4；
③（p3）2÷p5；④ a10÷（－a2）3．
（4）判断下列计算是否正确，错误的给予纠正．
①（a2b）2＝a2b2；② a5÷b2＝a3b；
③（3xy2）2＝6x2y4；④（－m）7÷（－m）2＝m5．
（5）计算：
①（a3）3÷（a4）2；②（x2y）5÷（x2y）3；
③ x2·（x2）3÷x5；④（y3）3÷y3÷（－y2）2．
（6）用科学记数法表示：
① 0.000 03；② -0.000 0064；③ 0.000 0314；④ 2013 000. （7）计算：
①（-0.1）0；②
2003
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
；③ 2-2；④
2
2
1-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
.
（8）计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：
①（x-3yz-2）2；②（a3b-1）-2（a-2b2）2；③（2m2n-3）3（-mn-2）-2.
（9）用多少张边长为a的正方形硬纸卡片，能拼出一个新的正方形?试写出三个答案，并用不同的方法表示新正方形的面积．从不同的表示方法中，你能发现什么?
骨架学习§2.5整式的乘法
宜宾天立国际学校初2014级数学组
【学习目标】
理解单乘单、单乘多（多乘单）、多乘多法则，会计算单乘单、单乘多（多乘单）、多乘多.
第一环节自主做学
【自学教材尝试解决问题】
1．自学教材
2．试一试，你能解决以下问题吗？
（1）计算：3a2·2a3=___________；（－9a2b3）·8ab2=__________；
（－3a2）3·（－2a3）2=____________；－3xy2z·（x2y）2=____________．
（2）计算：3x3y·（2xy2－3xy）=____________________；
2x·（3x2－xy＋y2）=____________________；
化简： x（x2－1）＋2x2（x＋1）－3x（2x－5）=_______________________________．（3）计算：（x＋2）（x－3）=____________；（3x－1）（2x＋1）=_________________；
（2m＋3n）（2m－3n）=_________________；（2a＋3b）（2a＋3b）=____________________．
第二环节合作探究
【问题1】单项式乘以单项式
1．试一试：
计算：（－5a2b3）·（－４b2c）
2．归纳：单项式与单项式相乘，如何进行计算？
3．做一做：
计算：（1）2x3·5x2；（2）3x2y·（－2xy3）；（3）－3xy2z·（x2y）2.
4．应用：卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×１０3米/秒，则卫星运行3×１０2秒所走的路程约是多少?
【问题2】单项式乘以多项式（多项式乘以单项式）
1．试一试：
计算： 2a2·（3a2－5b）
2．归纳：单项式乘以多项式，如何进行计算？
3．计算： （－2a 2
）·（３ab 2
－5ab 3
）
【问题3】多项式乘以多项式
1．试一试：某地区在退耕还林期间，将一块长m 米、宽a 米的长方形林区的长、宽分别增加n 米和b 米．用两种方法表示这块林区现在的面积．
2．探究：多项式乘以多项式，如何进行计算？
3．做一做：
计算：①（x ＋5）（x －7）； ②（x －3y ）（x ＋7y ）； ③（2x ＋5y ）（3x －2y ）． ④（9x ＋4y ）（9x －4y ）； ⑤2)21(x
第三环节 总结反思
【知识小结】
1．单乘单：单项式乘以单项式：（1）_______×_________；（2）_______×_________；
（3）只在一个单项式里出现的字母及其指数，则_______________________.
2．单乘多（多乘单）：.____________________)(=++c b a m 3．多乘多： .____________________))((=++b a n m
【数学思想方法】在进行单乘多及多乘多的运算中，体现了什么样的数学思想方法？试举例说明.
【反馈练习】 1. 计算：
（1） 5x 3
·8x 2
； （2） 11x 12
·（－12x 11
）；
（3） 2x 2·（－3x ）4； （4） ()3
2182xy x ⎛⎫-∙- ⎪⎝⎭
2. 计算：（1） －3x ·（2x 2
－x ＋4）； （2） 52xy ·（－x 3y 2
＋45
x 2y 3）．
3. 化简：（1） x （
12x ＋1）－3x （3
2
x －2）； （2） x 2
（x －1）＋2x （x 2
－2x ＋3）．
4. 计算：
（1）（x ＋5）（x ＋6）； （2）（3x ＋4）（3x －4）；
（3）（2x＋1）（2x＋3）；（4）（9x＋4y）（9x－4y）．
5. 世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达14
6.6米，底边长230.4米，用了约2.3×１０6块大石块，每块重约2.5×１０3千克．请问：胡夫金字塔总重约多少千克?
6．一块边长为xcm的正方形地砖，被裁掉一块2cm宽的长条．问剩下部分的面积是多少?
7．一块长a厘米、宽b厘米的玻璃，长、宽各减少c厘米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小）．问台面面积是多少?
骨架学习§2.6乘法公式
宜宾天立国际学校初2014级数学组
【学习目标】
掌握乘法公式的特征，会用乘法公式简化运算，提高运算的速度与准确性.
第一环节 自主做学
【自学教材尝试解决问题】 1．自学教材
2．试一试，你能解决以下问题吗？
（1）计算：（a ＋3）（a －3）=____________；（2a ＋3b ）（2a －3b ）=__________； （1＋2c ）（1－2c ）=_______________.
（2）计算：（x ＋3）2
=_______________； （2m －n ）2
=___________； （2x －3y ）2
=______________， （ 2a ＋
2
b ）2
=__________. 第二环节 合作探究
【问题1】两数和乘以这两数的差 1．计算：))((b a b a -+
2．归纳：两数和乘以两数差，结果是什么？有何特点？
3．你能利用下面的几何图形说明此等式吗？试试看.
图13.3.1
＝ － ．
4．计算：①（－x ＋2）（－x －2）；②（－2x －y ）（2x －y ）；③1998×２００２.
【问题2】两数和的平方 1．计算：（a ＋b ）2
2．归纳：两数和的平方，结果是什么？有何特点？
3．交流：你能用下面的图形说明上述等式吗？
＝ ＋ ＋ 4．探索：（a-b ）2
= __________ . 5．计算：
（1）（2x ＋y ）2； （2） （2m －n ）2； （3）（－2m ＋n ）2
； （4）（－2m －n ）
2
．
第三环节 总结反思
【知识小结】
1．平方差公式：.______________
))((=-+b a b a 2．完全平方公式：.________________)(2
=±b a 【数学思想方法】
在证明两个公式中用到_______________________数学思想方法. 在探索（a-b ）2
=？的过程中用到______________数学思想方法. 【反馈练习】 1.计算：
（1） （a ＋2b ）（a －2b ）； （2） （2a ＋5b ）（2a －5b ）； （3） （－2a －3b ）（－2a ＋3b ）； （4） （13-
a ＋12
b ）（13a ＋1
2
b ）．
2.计算：
（1）（3a＋b）2；（2）（2a＋1
3
b）2；（3）（2a＋1）（－2a－1）．
3. 计算：
（1）（2a－4b）2；（2）（1
2
a－
1
3
b）2．
4. 填空：
（1） a2＋6a＋＝（a＋）2；
（2） 4x2－20x＋＝（2x－）2；
（3） a2＋b2＝（a－b）2＋；
（4）（x－y）2＋＝（x＋y）2．
5.有一块边长为a米的正方形空地，现准备将这块空地四周均留出b米宽修筑围坝，中间修建喷泉水池．你能计算出喷泉水池的面积吗?
骨架学习§2.7整式的除法
宜宾天立国际学校初2014级数学组
【学习目标】
掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，会运用法则进行整式的除法运算.
第一环节自主做学
【自学教材尝试解决问题】
1．学教材
2．试一试，你能解决以下问题吗？
（1）计算：24a3b2÷３ab2=_____________；－21a2b3c÷３ab=___________；
（６xy2）2÷３xy=_____________．
（2）（9x4－15x2＋6x）÷３x=_________________________；
（28a3b2c＋a2b3－14a2b2）÷（－7a2b）=___________________________．
第二环节合作探究
【问题1】单项式除以单项式
1．试一试：
计算： 12a5c2÷３a2．
2．归纳：单项式除以单项式，如何进行计算？
3．交流：
计算：12（a－b）5÷３（a－b）2．
【问题2】多项式除以单项式
1．试一试：
计算：（1）（ax＋bx）÷x；（2）（ma＋mb＋mc）÷m．
2．归纳：多项式除以单项式，如何进行计算？
3．做一做：
（1）（3ab－2a）÷a；（2）（5ax2＋15x）÷5x；（3）（12m2n＋15mn2）÷6mn；（4）（x3－2x2y）÷（－x2）；
（5）（4a3b3－6a2b3c－2ab5）÷（－２ab2）；（6）x2y3－1
2
x3y2＋2x2y2÷
1
2
xy2.
第三环节总结反思
【知识小结】
1．单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
2．多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【数学思想方法】
本节课涉及到哪些数学思想想方法?
【反馈练习】
1. 填表：
被除式6x3y3－42x3y3－42x3y3除式2xy －6x2y2
商7x3
2．计算：
（1）－21a2b3÷7a2b （2） 7a5b2c3÷（－3a3b）
（3）
1
2
a4x4÷（－
1
6
a3x2）（4）（16x3－8x2＋4x）÷（－2x）
3．计算：
（1）（6a3b－9a2c）÷３a2（2）（4a3－6a2＋9a）÷（－2a）
（3）（－4m4＋20m3n－m2n2）÷（－4m2）（4） x2y－1
2
xy2－2xy÷
1
2
xy．
4．计算：
（1）（12p3q4＋20p3q2r－6p4q3）÷（－2pq）2（2）［４y（2x－y）－2x（2x－y）］÷（2x－y）
5．地球的质量约为5.98×１０24千克，木星的质量约为1.9×１０27千克．问木星的质量约是地球的多少倍?（结果保留三个有效数字）
6．聪聪在一次数学课外活动中发现了一个奇特的现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1．你能说明其中的道理吗?
骨架学习§2.8因式分解（一）
宜宾天立国际学校初2014级数学组
【学习目标】
1. 知道因式分解的定义、因式分解与整式乘法的互逆关系；
2. 会用整式乘法来检验因式分解结果的正确性；
3. 会应用提公因式法、公式法、十字相乘法和分组分解法分解因式.
第一环节自主做学
【自学教材尝试解决问题】
1. 自学教材
2. 试一试，你能解决下列问题吗？
（1）把一个多项式化为几个的的形式，叫做多项式的因式分解.
（2）分解因式：
①ma＋mb＋mc＝；
②a2－b2＝；
③a2±2ab＋b2＝；
④ 2x px q ++= .
（3）多项式－24m 2x －16n 2x 的公因式为 .
（4）判断下列因式分解是否正确，并简要说明理由．如果不正确，请写出正确答案． ① 4a 2－4a ＋1＝4a （a －1）＋1； ② x 2－4y 2＝（x ＋4y ）（x －4y ）．
（5）把下列各式分解因式：
① a 2＋a = ； ② 4ab －2a 2b = ； ③ 9m 2－n 2= ； ④ 2am 2－8a = ； ⑤（2010年·泸州市）3x 2＋6x ＋3= ．
第二环节 合作探究
【问题1】
把下列多项式分解因式：
（1）3a ＋3b ； （2）5x －5y ＋5z ； （3）224y x -; （4）2
2
96n mn m ++. 探索
（1）提公因式法：多项式am bm cm ++中公因式m ，既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
确定公因式的方法：①取各项整数系数的 ；②取各项相同的 ；③相同字母的指数取最 的.
注意：①用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；②公因式提出后，剩下公因式的求法：用公因式去除多项式各项，所得商即为另一个因式.
（2）公式法：
①平方差公式的特点：项数有两项；两项都为平方项，且符号相反.
②完全平方公式的特点：项数有三项；平方项的符号相同；中间项为首、尾项底数积的2倍.
【问题2】
把下列多项式分解因式：
（1）x 2＋5x ＋6； （2）a 2－a －20； （3）ab ＋a ＋b +1； （4）1－m 2+6m －9.
探索
++，如果能够找到（1）十字相乘法：对于二次项系数为“l”的二次三项式2x px q
a、b满足a·b=q，且a+b=p，那么2x px q
++= .
（2）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都 .
【问题3】
把下列多项式分解因式：
（1）4x3y＋4x2y2＋xy3；（2）3x3－12xy2．
探索
（1）分解因式要进行到每一个因式都为止．
（2）因式分解的一般步骤：可记忆为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”.
第三环节总结反思
【知识小结】
因式分解的定义、范围、方法、步骤和检查.
【思想方法】
因式分解的方法有哪些？本节课用到了哪些数学思想？
【反馈训练】
（1）把下列多项式分解因式：
①3x＋3y；②－24m2x－16n2x；
③a2－2a－3；④（xy）2－1；
⑤a4x2－a4y2; ⑥3x2＋6xy＋3y2；
⑦（x－y）2＋4xy；⑧4a2－3b（4a－3b）．
（2）先将下列代数式分解因式，再求值：
2x （a －2）－2y+ay ，其中a ＝0.5， x ＝1.5， y ＝－2．
（3）在一块边长为a ＝6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为b ＝1.7米的正方形修建花坛，其余的地方种草坪．问草坪的面积有多大?
（4）一块边长为a 米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，问扩建后的广场面积增大了多少?你会读吗?
骨架学习 §2.8因式分解（二）
宜宾天立国际学校初2014级数学组
【学习目标】
1．熟练运用十字相乘法把形如x 2＋px ＋q 的二次三项式分解因式；
2．经历用十字相乘法分解因式的不断尝试，培养自己的耐心和信心，并在尝试中增强观察能力.
第一环节 自主做学
【自学教材尝试解决问题】 1. 自学教材
2. 试一试，你能解决下列问题吗？ （1）计算：
① （x+2）（x+3）＝ ； ② （x －2）（x －3）＝ ；
③ （x －2）（x+3）＝ ； ④ （x+2）（x －3）＝ .
（2）把下列多项式分解因式：
① 652
++x x ＝ ； ② 652
+-x x = ； ③ 62--x x = ；
④ 62
-+x x = ；
第二环节 合作探究
【问题1】
把多项式342
+-x x 因式分解.
x - 1
x - 3
x x x 43-=-- 口诀：“拆两头凑中间，竖着分横着写”
练习： 把下列各式进行因式分解.
（1）1282+-x x （2）1582++x x （3）762-+x x
（4）11102--a a （5）432-+m m （6）302-+x x 探索
用“十字相乘法”把二次项系数是“1”的二次三项式分解因式时：
（1）当常数项是正数时，常数项分解的两个因数的符号是 ，且这两个因数的符号与一次项的系数的符号 .
（2）当常数项是负数时， 常数项分解的两个因数的符号是 ，其中 的因数符号与一次项系数的符号相同.
（3）对于常数项分解的两个因数，还要看看它们的 是否等于一次项的 . 【问题2】
把多项式下列多项式因式分解：
（1）13122--x x （2）2282y xy x -+ （3）2234b ab a ++
（4）22208y xy x -- （5）2254n mn m -- （6）434--x x 注意
（1）用“十字相乘法”分解因式时，有时需“画十字，多尝试”以验证分解结果. （2）在多项式x 2＋px ＋q 中，当p 2－4q ＜0时，在有理数（乃至以后的实数）范围内不能进行因式分解.
练习：把下列各式进行因式分解.
（1）1522--x x （2）24102-+x x （3）24142+-x x
第三环节 总结反思
【知识小结】
在2x px q ++中，如果a ·b =q ，且a +b =p ，那么2x px q ++可因式分解为 .
【思想方法】
整体思想，互逆变形的思想方法. 【反馈训练】
（1）请将下列多项式因式分解：
① 362132++x x ② 12724++x x
③ ()()24211222
2+---x x x x
（2）先填空，再分解（尽可能多的）： x 2 （ ）x + 60 = .
（3）请将下列多项式因式分解：
① （m ＋n ）2－4（m ＋n ）＋3 ② （x ＋y ）（x ＋y －1）－12
专题学习 §2.9整式的加减
宜宾天立国际学校初2014级数学组
【学习目标】
1. 了解整式、单项式、多项式的有关概念.
2. 知道什么是同类项，怎样合并同类项.
3. 熟练掌握整式加减的运算法则，能够进行整式的化简求值. 【知识储备】
1.如果m y x 23与35y x n -是同类项，则m = ___ n = ____
对同类项概念的理解要注意两个相同，一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同. 2.去括号：－3（x －1）＝
括号前如果有负因数，去掉括号后，括号内的各项都要乘这个负因数.
第一环节 自主做学
计算
1.)(32y xy xy -+ 2．)12(5--x x
3.)2(3222x x x --
4.)32(3)(3333b a b a --+
【阅读感悟】
已知12=+x y ，求代数式)4()1(22x y y --+的值． 解：原式=x y y y 4122
2
+-++ =142++x y =1)2(2++x y
当12=+x y 时，原式=3112=+⨯
第二环节 合作探究
【问题1】
化简：（1）22
()()(2)3a b a b a b a
++-+-； （2）
()22373432x x x x ⎡⎤----⎣⎦.
【问题2】 化简求值，求)3123()31(22122y x y x x +-+--的值，其中3
2,2=-=y x
【问题3】
（1）已知代数式6232
+-y y 的值为8，求12
32
+-y y 的值；
（2）如果3=x 时，代数式13++qx px 的值为2008，则当3-=x 时，代数式
13++qx px 的值是 .
第三环节 总结反思
【思想方法】
本节课学习中涉及到哪些数学思想思想方法?
【反馈练习】
（1）已知m 2
－mn ＝7，mn －n 2
＝－2，求m 2
－n 2
及m 2
－2mn ＋n 2
的值
（2）已知325A x x =-，2116B x x =-+，求：⑴A ＋2B ；⑵当1x =-时，求A ＋5B 的值.
（3）有这样一道题“当
2,2-==b a 时，求多项式
)22(3)33(222b ab a b ab a +---+-的值”
，马小虎做题时把2=a 错抄成2-=a ，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗?说明理由.
专题学习 §2.10幂的运算
宜宾天立国际学校初2014数学组
【学习目标】
掌握幂的运算法则，会综合利用幂的运算法则进行计算与化简. 【知识储备】
1.同底数的幂相乘：n
m n
m
a
a a +=∙ （m ，n 都是正整数）．
2.同底数的幂相除：n
m n
m
a
a a -=÷ （a≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ）．
3.幂的乘方：mn
m n a a =)( （m ，n 都是正整数）． 4.积的乘方：n n n b a ab =)( （n 是正整数）．
5.零指数幂和负整数指数幂：我们规定：
10=a （a ≠0）； p p p
a
a a 1)1(==-（a ≠0）.
第一环节 自主做学
填空：
1.4
3
1010⨯=___________；2.3
a a ⋅= ___________；3.5
3
a a a ÷⋅= ___________； 4.2
2
x x x +⋅= ___________；5.6
7
x x ÷= ___________；6.710)()(a a -÷-= ___________；
7.35)()(xy xy ÷= ___________. 【阅读感悟】
计算5232)()2(---mn mn ，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式.
解：原式= 2-3m -3n -6
×m -5n 10
= 81m -8n 4 = 8
4
8m n
第二环节 合作探究
【问题1】 已知2=m
x
，3=n x ，求下列各式的值
（1） n
m x +； （2） n
m x
-； （3） n
m x
23-.
【问题2】
⋅-⋅-53)()(a a （ ）12a -=.
【问题3】 已知：8a a a
n m n
m =⋅-+，求m 的值.
第三环节 总结反思
【方法小结】
在进行幂的有关运算时，（1）注意与同类项知识相区别；（2）注意每个公式的推广与逆用.
【反馈练习】
1. 已知32=a ，62=b
，122=c
，求a ， b ， c 之间的关系.
2. 已知510=a ，610=b ，求b
a 3210+的值.
3．比较7
448与的大小
4．已知5544553,4,3===c b a ，则a ，b ，c 的大小关系.
5．若 2·8n ·16n =2
22
，求正整数m 的值.
专题学习 §2.11整式的运算
宜宾天立国际学校初2014级数学组
【学习目标】
1.会进行有理指数幂的运算.
2.会进行整式加、减、乘、除运算.
3.会利通过整式乘除解决一些实际问题.
4.能理解整式乘除常用的数学思想方法，如：化归思想（“遍乘”）；方程思想；整体思想；数形结合思想等.
【知识储备】
1. 单项式和多项式统称整式；由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数；几个单项式的和叫做多项式，一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
2.有理指数幂的乘法法则
m n m n a a a +=g ；n m n m a a a -=÷（0a ≠）；()n m mn a a =；()n n n ab a b =；1
=a （0a ≠）.
3.整式的乘法法则
（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；
（2）单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；
（3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
4.常用乘法公式：（1）平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；（2）完全平方公式：
2222)(b ab a b a ++=+；2222)(b ab a b a +-=-．
5.整式的除法法则
（1）单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式；
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
第一环节 自主做学
1.化简()m n m n --+的结果是（ ）． A.0 B.2m C.2n - D.22m n -
2.下列运算正确的是（ ）.
A.3
4
12
x x x =g B.623(6)(2)3x x x -÷-= C.23a a a -=- D.22
(2)4x x -=-
3.下列计算结果正确的是（ ）.
A.4332222y x xy y x -=⋅-
B.2253xy y x -=y x 22-
C.xy y x y x 4728324=÷
D.49)23)(23(2-=---a a a 4.计算2
(2)x x x -÷=____________.
5.计算：=--)2)(2(b a b a _________________.
6.当3,1x y ==时，代数式2()()x y x y y +-+的值是______．
7.若533m x
y x y +与是同类项，则m =______．。