变质量问题的处理技巧

变质量问题的处理技巧高中物理中，常常出现流体连续冲击固体表面或者飞船进入宇宙微尘区问题，这类问题的典型特征是研究对象不明确，这让很多同学往往不知道如何下手，还有一些同学一知半解，随意选取一段较长时间进行考察，从而在重力考虑与否问题上犹豫不决。

根据笔者多年的教学经验，特对这类变质量问题作如下总结，供大家参考。

一、基本入手点：研究对象的选取——mt ∆→∆选取一段极短时间t ∆（0→∆t ）内的冲击到固体的流体或附着到飞船上的微尘为研究对象，求出这部分对象的质量m ∆，然后再对这部分对象m ∆应用动力学规律进行分析处理。

注意，这段时间一般应该取极短，如果取得太长，则在这段较长的时间内，这些冲击到固体表面的流体分子或者附着到飞船上的微尘，在作用前后的位置、速度就是一个取值差别较大的分布，使用微元法处理时，研究对象的初末态就不具有确定的速度和位置，其动力学方程无法简洁书写。

很多同学之所以发现重力不得不考虑，实际上就是时间取长了导致的。

二、动量定理与作用力的求解这类问题除了研究对象选取的上述技巧外，还要注意两条：其一，动量定理矢量方程，要规定好正方向后，各量带入正负号写进方程，一般规定初速度方向为正方向；其二，注意题目一般问的是流体对固体的冲击力，但是我们选择的是流体微元为研究对象，需要用到牛顿第三定律。

【例1】高压采煤水枪出水口的横截面积为S ，水的射速为v ，射到煤层上后，水的速度为零．若水的密度为ρ，求水对煤层的冲力．[解析]设在一段极短时间Δt 时间内从高压采煤水枪出水口射出的水的质量为Δm ，则Δm ＝ρSv ·Δt以质量为Δm 的水为研究对象，F ′N 为煤层对水的反冲力，因为F ′N ≫Δmg ，所以水受的重力可以忽略。

取水的初速度方向为正方向，则在Δt 时间内，由动量定理，有－F ′N ·Δt ＝0－Δmv ＝－ρSv 2·Δt由牛顿第三定律，水对煤层的冲力：F N ＝F ′N联立解得F N ＝ρSv 2．【例2】用豆粒模拟气体分子，可以模拟气体压强产生的原理．如图所示，从距秤盘80cm 高度处把1000粒的豆粒连续均匀地倒在秤盘上，持续作用时间为1s ，豆粒弹起时竖直方向的速度变为碰前的一半．若每个豆粒只与秤盘碰撞一次，且碰撞时间极短(在豆粒与秤盘碰撞极短时间内，碰撞力远大于豆粒受到的重力)，已知1000粒的豆粒的总质量为100g ，则在碰撞过程中秤盘受到的压力大小约为()A ．0．2NB ．0．6NC ．1．0ND ．1．6N[解析]由题意，单位时间内倒出的豆粒是N =1000颗，每颗豆粒的质量为N m m =0，则一段极短时间Δt 时间内到达秤盘的豆粒质量为0m t N m ⋅∆=∆，设豆粒从80cm 高处落到秤盘上时速度为v ，有v 2－02=2gh ，以向下为正方向，对这部分豆粒，由动量定理，有mv v m t F ∆-⋅∆-=∆-)2(，联立，解得F=0．6N ，选项B 正确．[反思]本题有两个问题是很多同学不放心的，值得仔细辨析一下：其一，如果考虑重力，则动量定理的表达式为mv vm t F t mg ∆-⋅∆-=∆-∆⋅∆)2(，解得23v t m mg F ⋅∆∆+∆=，其中0Nm tm =∆∆，0→∆t 时，0→∆m ，23v t m F ⋅∆∆≈。

其二，如果将Δt 取作1s，上述动量定理方程将不成立——因为，这段时间内，这1000颗豆粒分布在一段空间范围，且速度大小各不相同，这就必须考虑重力的作用，并将豆粒的速度取1s 前后各自的对应值，显然，这很麻烦。

【例3】如图所示，一工人沿着光滑水平轨道推动货车运装沙子，沙子经一静止的竖直漏斗连续的落进货车．已知单位时间内落进货车的沙子质量恒为Q ，工人对货车水平推力恒为F ．某时刻，货车（连同已落入其中的沙子）质量为M ，速度为v ，试求此时货车的加速度．[解析]一段极短时间t ∆内落入货车的沙子质量为t Q m ∆⋅=∆，沙子落入货车后，立即和货车共速，则由动量定理，有0-∆=∆⋅'mv t F ，解得沙子受到货车的力为Qv F ='，方向向前．由牛顿第三定律可知，货车受到沙子的反作用力向后，大小为Qv F ='，对货车（连同已落入其中的沙子），由牛顿第二定律，有Ma F F ='-，解得M Qv F a -=．[拓展]本题还可以有如下两种解法，一者是整体法，一者是求导法，其中求导法另辟蹊径，直接简洁。

【解法二】一段极短时间t ∆内落入货车的沙子质量为t Q m ∆⋅=∆，取系统为研究对象，则由动量定理，有Mv v m M t F -'∆+=∆⋅)(，解得v Q Ma v t m t v v MF '+='∆∆+∆-'=，由于时间极短，货车速度变化量极小，故有Qv v Q ≈'，解得M Qv F a -=．【解法三】取货车为研究对象，由动量定理，有Ma Qv tv M v t M t Mv t p F +=∆∆+∆∆=∆∆=∆∆=)(，解得M Qv F a -=．三、能量守恒与连续作用的功率【例4】某风力发电机叶片的有效迎风面积为S ，空气密度为ρ，风速为v ，若风力发电机的效率为η，求该发电机的发电功率．【解析】取一段极短时间Δt 内吹到发电机叶片上的空气Δm 为研究对象，则这部分空气柱的长度为t v l ∆=∆，则S l V m ⋅∆=∆=∆ρρ，这部分空气的动能为2k 21v m E ⋅∆=∆，转化为电能为k E E ∆⋅=∆η，则由t E P ∆∆=，得S v t v tS v P 322121ηρρη=∆⋅∆⋅=【例5】如图5­6所示为某农庄灌溉工程的示意图，地面与水面的距离为H ．用水泵从水池抽水(抽水过程中H 保持不变)，龙头离地面高h ，水管横截面积为S ，水的密度为ρ，重力加速度为g ，不计空气阻力．水从管口以不变的速度源源不断地沿水平方向喷出，水落地的位置到管口的水平距离为10h ．设管口横截面上各处水的速度都相同．(1)求每秒内从管口流出的水的质量m 0；(2)不计额外功的损失，求水泵输出的功率P ．[解析](1)水从管口沿水平方向喷出后做平抛运动，设水喷出时速度为v 0，落地时间为t ，竖直方向，有h ＝12gt 2水平方向，有10h ＝v 0t一段极短时间Δt 内喷出的水的质量Δm ＝ρV ＝ρv 0ΔtS ，每秒喷出的水的质量m 0＝tm ∆∆，联立以上各式解得m 0＝ρS 50gh ．(2)极短时间Δt 内水泵输出功ΔW ＝Δmg (H ＋h )＋12Δmv 20，输出功率P ＝tW ∆∆，解得P ＝ρSg 50gh (H ＋26h )．[反思]本题中，如果选择研究对象时，时间取得过长，也将出现和前面例2的问题。

另外，本题实际上采用了等效法——水泵做功，本来是连续推动水柱运动，水泵出水口和龙头右侧管口之间的水柱虽然在连续变换，但是这之间的水柱的动能、重力势能却保持不变，因此，可以等效的认为，水泵在时间Δt 内直接将质量为Δm 从水泵出水口搬运到了龙头右侧管口抛出，这就是上述功能关系方程的依据。

针对训练：1、火箭点火之后，要等一会儿才能起飞，这是因为火箭单位时间内的喷气量和喷出气体的速度还没有增加到足够大所致。

设点火后起飞前的某时刻，火箭的总质量为M ，此后的极短时间t ∆内竖直向下喷出的气体质量为m ∆、速度大小为v ，已知重力加速度大小为g 。

①试求这个t ∆内火箭剩余部分所受的向上的推力为多大？②若要使火箭起飞，则此时的m t∆∆和v 应满足什么条件？[解析]①设火箭剩余部分对喷出气体的作用力为F ，则由动量定理，有：()0F mg t mv +∆∆=∆-解得：m F v mg t ∆=-∆∆由牛顿第三定律可知，火箭所受向上的推力为m F F v mg t ∆'==-∆∆②火箭剩余部分的质量为M m -∆，要使火箭起飞，则要()F M m g '-∆≥，即()m v mg M m g t∆-∆-∆∆≥解得：m v Mg t ∆∆≥2、（2016年新课标I 卷35）某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M 的卡通玩具稳定地悬停在空中。

为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S 的喷口持续以速度v 0竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S ）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。

忽略空气阻力。

已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g ，求：(i)喷泉单位时间内喷出的水的质量；(ii)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

[解析](i)在一段很短的Δt 时间内，可以为喷泉喷出的水柱保持速度v 0不变。

该时间内，喷出水柱高度：0l v t ∆=⋅∆①喷出水柱质量：m V ρ∆=⋅∆②其中v ∆为水柱体积，满足：V l S ∆=∆⋅③由①②③可得：喷泉单位时间内喷出的水的质量为0m v S t ρ∆=⋅⋅∆(ii)设玩具底面相对于喷口的高度为h 由玩具受力平衡得：=F Mg 冲④其中；F 冲为玩具底部水体对其的作用力．由牛顿第三定律：=F F 压冲⑤其中，F 压为玩具时其底部下面水体的作用力，v'为水体到达玩具底部时的速度，由运动学公式：gh v v 2­202=-'⑥在很短t ∆时间内，冲击玩具水柱的质量为Δm0m v s t ρ∆=⋅⋅⋅∆⑦由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱有动量定理()F mg t m v '+∆⋅∆=∆⋅压⑧由于Δt 很小，Δmg 也很小，可以忽略⑧式变为F t m v '⋅∆=∆⋅压⑨由④⑤⑥⑦⑨可得220222022Sv g M g v h ρ-=3、自动称米机已在许多粮食加工厂广泛使用．有人认为：因米流落到容器中时有向下的冲力而导致装的分量不足；也有人则认为：当预定米的质量数满足时，自动装置即刻切断米流时，此刻尚有一些米仍在空中，这些米是多装袋的．因而双方争执起来．究竟哪种说法对呢？(原理如图所示)[解析]设称米机流量为Q (m 3/s)，米的密度为ρ(kg/m 3)，称米机出口至米堆上表面(磅秤上的米)的高度为h (m)，则米流与米堆作用前的速度为v ＝2gh若选取经很短时间Δt 后将落至米堆上的那部分米作为研究对象，其质量为Δm ＝ρQ ·Δt该部分米与米堆作用过程中受到米堆向上的作用力F 和向下的重力ΔG ＝Δmg ，由于F ≫Δmg ，所以米的重力可以忽略．由动量定理得－F ·Δt ＝0－(Δm ·v )联立得F ＝ρQ 2gh由牛顿第三定律可知，米流对米堆的冲击力大小为F ′＝F ＝ρQ 2gh米从出口落到米堆上的时间为t ＝2hg在这段时间内空中米流的总重量为G ＝ρgQt联立得G ＝ρQ 2gh故G ＝F ′，即空中米流的总重量恰等于米流对米堆的冲击力，或者说磅秤的示数恰好等于磅砰上米堆和空中米流的质量之和，所以两种说法都不对．4、（2016年北京卷）激光束可以看作是粒子流，其中的粒子以相同的动量沿光传播方向运动。