第1课时 勾股定理(微课)
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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
《勾股定理第一节》课件
《勾股定理第一节》PPT 课件
欢迎来到《勾股定理第一节》的PPT课件！在这里，我们将深入了解勾股定理 的定义、历史、应用以及如何利用它解决几何问题。准备好迎接数学的奇妙 之旅了吗？
勾股定理的定义
1 直角三角形
在直角三角形中，勾股定理描述了三条边之间的关系，即c²= a²+ b²，其中c为斜边，a和b 为两条直角边。
2 广泛应用
勾股定理在现实世界中有广泛的应用，为我们解决实际问题提供了有力工具。
3 数学乐趣
通过深入研究勾股定理，我们不仅能够提升数学技巧，还可以享受数学的乐趣。
2 数学公式
勾股定理可以用数学公式表示为a²+ b²= c²，其中a、b、c分别代表直角三角形的三条边。
3 几何推理
通过勾股定理，我们能够得到直角三角形内角的相互关系，进而应用于解决各种几何问 题。
勾股定理的历史
古代秦国
勾股定理最早可以追溯到古代秦国，文献 中有记载了解决直角三角形的方法。
中国古代
中国古代数学家对勾股定理进行了独特的 研究，发现了更多的特性和应用。
古希腊
勾股定理的现代形式由古希腊数学家一并 提出，并以毕达哥拉斯之名命名。
欧洲文艺复兴
欧洲文艺复兴时期，勾股定理开始在欧洲 广为传播，并成为现代数学的基础。
勾股定理的应用
1
导航与测量
2Байду номын сангаас
勾股定理可以帮助我们在导航和
测量中确定距离和方向。
3
建筑设计
勾股定理在建筑设计中广泛应用， 例如测量直角墙角、设计稳固的 支撑结构等。
物理学
勾股定理在物理学中有广泛应用， 尤其是在力学、光学和电磁学等 领域。
利用勾股定理求解几何问题
欢迎来到《勾股定理第一节》的PPT课件！在这里，我们将深入了解勾股定理 的定义、历史、应用以及如何利用它解决几何问题。准备好迎接数学的奇妙 之旅了吗？
勾股定理的定义
1 直角三角形
在直角三角形中，勾股定理描述了三条边之间的关系，即c²= a²+ b²，其中c为斜边，a和b 为两条直角边。
2 广泛应用
勾股定理在现实世界中有广泛的应用，为我们解决实际问题提供了有力工具。
3 数学乐趣
通过深入研究勾股定理，我们不仅能够提升数学技巧，还可以享受数学的乐趣。
2 数学公式
勾股定理可以用数学公式表示为a²+ b²= c²，其中a、b、c分别代表直角三角形的三条边。
3 几何推理
通过勾股定理，我们能够得到直角三角形内角的相互关系，进而应用于解决各种几何问 题。
勾股定理的历史
古代秦国
勾股定理最早可以追溯到古代秦国，文献 中有记载了解决直角三角形的方法。
中国古代
中国古代数学家对勾股定理进行了独特的 研究，发现了更多的特性和应用。
古希腊
勾股定理的现代形式由古希腊数学家一并 提出，并以毕达哥拉斯之名命名。
欧洲文艺复兴
欧洲文艺复兴时期，勾股定理开始在欧洲 广为传播，并成为现代数学的基础。
勾股定理的应用
1
导航与测量
2Байду номын сангаас
勾股定理可以帮助我们在导航和
测量中确定距离和方向。
3
建筑设计
勾股定理在建筑设计中广泛应用， 例如测量直角墙角、设计稳固的 支撑结构等。
物理学
勾股定理在物理学中有广泛应用， 尤其是在力学、光学和电磁学等 领域。
利用勾股定理求解几何问题
探索勾股定理微型课教案第一课时
探索勾股定理微型课教案第一课时
通过展示一个直角三角形或直角三角形的图片，引导学生思考如何求解直角三角形的边长。
2. 学习
（1）讲解勾股定理的概念及应用。
（2）通过示例，讲解如何使用勾股定理求解直角三角形的边长。
（3）让学生自己尝试使用勾股定理求解直角三角形的边长。
3. 课堂练习
（1）让学生自己完成几道勾股定理的练习题。
（2）让学生分组合作，通过比赛的形式来巩固所学内容。
4. 课堂小结
通过小结，让学生对勾股定理的概念及应用有更加深入的理解。
四、教学方法
1. 讲解法。
2. 实践操作法。
3. 比赛法。
五、教学手段
1. 课件。
2. 教学板书。
3. 练习题。
4. 勾股定理的模型。
六、教学评估
1. 学生能否正确理解勾股定理的概念及其应用？
2. 学生能否熟练地使用勾股定理求解直角三角形的边长？
3. 学生能否合作协作，团队比赛的形式来巩固所学内容？
4. 整体教学效果如何？
七、教学反思
本节课采用了讲解法、实践操作法和比赛法相结合的教学方法，通过生动有趣的教学形式来激发学生的学习兴趣，同时培养学生的数学思维和逻辑思维能力，课堂效果较好。
但需要注意的是，在课堂教学中要注意学生的学习情况，及时调整和改进教学方法，以提高教学效果。
《勾股定理》PPT精品课件(第1课时)
解：本题斜边不确定，需分类讨论： B 4
当AB为斜边时，如图
BC2 AB2 AC2 16 9 7，
3 C 图
B
4 AA 3 C
图
BC 7.
方法点拨：已知直角三角形的两边求
当BC为斜边时，如图
第三边,关键是先明确所求的边是直
BC2 AB2 AC2 16 9 25， 角边还是斜边,再应用勾股定理. BC 5.
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
c2 4 1 ab b a 2 a2 b2.
2
cb a b-a
赵爽弦图
知识讲解
右图是四个全等的直角三角形拼成的.请你根据此图， 利用它们之间的面积关系推导出: a2 b2 c2
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
知识讲解
猜想直角三角形的三边关系
B
C A
图中每个小方格子都是 边长为1的小正方形．
问题1
1、 BC=_3__, AC=_4__, AB=__5_ 2、 S黄 =_9__, S蓝 =1_6__, S红 =2_5__
3、S黄、S蓝与S红的关系是S_黄__+_S_蓝_=__S_红_.
4、能不能用直角三角形ABC的三边表 示S黄、S蓝、S红的等量关系？
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× 1 ab+c2
2
=c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
a b
ac b
b ca
cb a
知识讲解
勾股定理
勾股定理(动画课件)
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的 对边分别是a，b，c. (1)已知a＝b＝6，求c； (2)已知c＝3，b＝2，求a； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
导引：分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b， c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．
解：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6， ∴由勾股定理，得 c a2 b2 62 62 6 2.
斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正
确的是( C )
A．b2＝c2－a2
B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2
D．c2＝a2＋b2
4 【中考·东营】在△ABC中，AB＝10，AC＝
2 10 ，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等
于( C )
A．10
B．8
C．6或10
D．8或10
5 【 中考·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同 的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重 合，点C′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝ ∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( A ) A．3 3 B．6 C．3 2 D.
(3)你能发现图2-1中三个正方 形A，B，C的面积之间有 什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上 的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A a
Bb c
C
Sa+Sb=Sc
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
6 【中考·漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5， BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若 线段AD长为正整数，则点D的个数共有( C ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
勾股定理教案第一课时
勾股定理教案第一课时
一、教学目标
1. 理解勾股定理的基本概念，知道勾股定理的定义。
2. 能够熟练地运用勾股定理解决实际问题。
3. 通过实例分析，提高学生的数学思维能力。
二、教学重点与难点
1. 教学重点：勾股定理的定义与运用。
2. 教学难点：勾股定理的运用与解释。
三、教学过程
1. 导入新课：通过提问的方式，引导学生思考勾股定理的实际应用，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲授：
a. 讲解勾股定理的定义，让学生理解什么是勾股定理。
b. 通过实例分析，让学生掌握勾股定理的运用方法。
c. 通过实际问题解决，让学生熟练掌握勾股定理的运用。
3. 课堂练习：通过课堂练习，让学生巩固勾股定理的运用方法。
4. 课堂总结：总结本节课的主要内容，强调勾股定理的重要性和运用方法。
四、教学评价
通过课堂表现、课堂练习等方式，对学生的学习情况进行评价。
五、教学反思
通过本节课的教学，学生是否能够理解勾股定理的定义，是否能够熟练运用勾股定理解决实际问题，是否有足够的课堂参与度等，都是需要进行教学反思的内容。
八年级数学上册 1 勾股定理 1 探索勾股定理(第1课时)课件 (新版)北师大版
图2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积.
做一做
你是怎样得
到表中的结
A
果的？与同
伴交流交流。
（1）观察图 3、图4，并 填写右表：
A的面积（单 位面积）
C
B
C
图3
A
B
图4
B的面积（单
C的面积（单
位面积）
位面积）
图3
16
9
25
图4
C
正方形的面积吗？
（2）你能发现 直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流.
B
C
图3
A
B
图4
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一 个直角三角形，并测量斜边的长度.（2）中 的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
C A
S正方形C
B
C
图1
A
B 图2
1 62 2
1 8（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C看成边长为6的正方形面积的一半.
C A
（2）在图2中，正方 形A，B，C中各含有
多少个小方格？它们 的面积各是多少？
B C
图1
A
B
（3）你能发现图1中 三个正方形A，B，C
的面积之间有什么关 系吗？
•
• •
• •
••C
• •
• •
•
A
••••• •••
•
B
图1
《探索勾股定理》勾股定理PPT课件(第1课时)
解：利用勾股定理 a2 + b2 = c2 可以得到c²=100， c=10m
巩固新知
1.求下列直角三角形中未知边的长:
常见整数的平方 （大于10）
12
112 = 121 242 = 576
8
17
5
122 = 144 252 = 625 132 = 169 302 = 900
x
142 = 196 402 =
历史课件： . /kejian/lishi/
c
数是根据圆形和方形的数学道理计算得来的。 圆来自方，而方来自直角三角形，直角三角形是根 据乘法九九表算出来的。如果将一线段折成三段围 成直角三角形，一直角边（勾）为三，另外一直角
边（股）为四，则斜边（弦）就是五。
勾股定理是关于什么图形的定理？
答：关于直角三角形三边的关系
解:∵在Rt△ADC中,AD=12,AC=13（已知）, ∴由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=132-122=52, ∵CD=5.BC=14（已知）, ∴BD=14-5=Hale Waihona Puke . 在Rt△ABD中,由勾股定理,得
AB2=AD2+BD2=122+92=152, ∴AB=15.
课堂小结
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，
《周髀算经》曾记载记录着商高和周公的一段对话。
我早就听说您是擅长数 学的人，请问古代伏羲测量天文 制定历法，可没有登天的台阶，又 不能测量大地的尺寸，这数据是
怎么来的呢？
ppt模板： . /moban/
ppt素材： . /sucai/
ppt背景： . /beijing/
ppt图表： . /tubiao/
（2）△ABC的a=6,b=8,则c=10.
巩固新知
1.求下列直角三角形中未知边的长:
常见整数的平方 （大于10）
12
112 = 121 242 = 576
8
17
5
122 = 144 252 = 625 132 = 169 302 = 900
x
142 = 196 402 =
历史课件： . /kejian/lishi/
c
数是根据圆形和方形的数学道理计算得来的。 圆来自方，而方来自直角三角形，直角三角形是根 据乘法九九表算出来的。如果将一线段折成三段围 成直角三角形，一直角边（勾）为三，另外一直角
边（股）为四，则斜边（弦）就是五。
勾股定理是关于什么图形的定理？
答：关于直角三角形三边的关系
解:∵在Rt△ADC中,AD=12,AC=13（已知）, ∴由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=132-122=52, ∵CD=5.BC=14（已知）, ∴BD=14-5=Hale Waihona Puke . 在Rt△ABD中,由勾股定理,得
AB2=AD2+BD2=122+92=152, ∴AB=15.
课堂小结
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，
《周髀算经》曾记载记录着商高和周公的一段对话。
我早就听说您是擅长数 学的人，请问古代伏羲测量天文 制定历法，可没有登天的台阶，又 不能测量大地的尺寸，这数据是
怎么来的呢？
ppt模板： . /moban/
ppt素材： . /sucai/
ppt背景： . /beijing/
ppt图表： . /tubiao/
（2）△ABC的a=6,b=8,则c=10.
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
2.7 探索勾股定理第1课时 勾股定理 浙教版数学八年级上册课件
分析：(4)设a =3x，则c = 5x，根据a2+b2=c2，得b= 4x， 则x=4， a =3x =12.
2.如图，由四个全等的直角三角形及一个小正方形组成一 个大正方形，已知直角三角形的短直角边长为3，小正方 形的面积为1，则大正方形的面积为（ B ）
A. 4 B. 25 C. 6
D. 24
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可 以求出第三边的长度.
例2.如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在 数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交 正半轴于一点，求这个点表示的实数.
解：
例3.如图，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离， 一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形.通过 测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿 过湖到点B有多远？
分析：直角三角形的短直角边长为3， 长直角边为3+1=4，则斜边为5. 大正方形的面积为52 =25.
3.丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂
直到地面还多2米，当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后，
发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ B ）
A.4米
B.8米
C.10米
D.12米
分析：设旗杆的高为x米，则绳子的长为(x+2)米， 根据题意得：x2+62= (x+2)2， 解得x=8.
概括 一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的 长，则
a2+b2=c2.
我国古代把直角三角形中较短的直
角边称为“勾”，较长的直角边称
为“股”，斜边称为“弦”.
2.如图，由四个全等的直角三角形及一个小正方形组成一 个大正方形，已知直角三角形的短直角边长为3，小正方 形的面积为1，则大正方形的面积为（ B ）
A. 4 B. 25 C. 6
D. 24
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可 以求出第三边的长度.
例2.如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在 数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交 正半轴于一点，求这个点表示的实数.
解：
例3.如图，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离， 一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形.通过 测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿 过湖到点B有多远？
分析：直角三角形的短直角边长为3， 长直角边为3+1=4，则斜边为5. 大正方形的面积为52 =25.
3.丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂
直到地面还多2米，当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后，
发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ B ）
A.4米
B.8米
C.10米
D.12米
分析：设旗杆的高为x米，则绳子的长为(x+2)米， 根据题意得：x2+62= (x+2)2， 解得x=8.
概括 一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的 长，则
a2+b2=c2.
我国古代把直角三角形中较短的直
角边称为“勾”，较长的直角边称
为“股”，斜边称为“弦”.
勾股定理(第1课时)课件
SA+SB=SC
a2+b2=c2
3.探究总结，提出猜想a来自cb命题１：如果直角三角形的两直角边 长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
4.证明命题1
证法：赵爽弦图
小组讨 论，通过割 补拼一个正 方形，探究 a、b、c之 间的关系。 小组展示， 并请3位同 学拿着图形 表演：
a2+b2=c2
5.命题正确，总结定理
勾股定理：
在西方国家又称为毕 达哥拉斯定理！
如果直角三角形两直角边分别为 a、b,斜
边为 c，那么 a2 b2 c2 .
即：直角三角形两直角边
的平方和等于斜边的平方。 勾 a
c弦
b
“赵爽弦图”，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地 利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数
1.问题：A、B、C的面积有什么关系？
A
B
C
AB C
SA+SB=SC 对于等腰直角三角形三边有这样的关系：
两条直边的平方和等于斜边的平方
2.问题：观察图甲、图乙，小方格的 边长为1.正方形A、B、C的面积有什么 关系？
C
A ac
B
b
B
A
图乙
a bc
C
图甲
A的面积 B的面积 C的面积
图甲 图乙 49 4 16 8 25
C
B
a
c a2 b2
三、运用公式，巩固新知
1.求出下列直角三角形中未知边的长度：
(1)
x
6
(2)
x
5
8
13
解：由勾股定理得： 解：由勾股定理得：
∵x2=62+82 ∴x2 =36+64
勾股定理微课教案
勾股定理微课教案教案标题：勾股定理微课教案教学目标：1. 学生能够理解勾股定理的概念和原理。
2. 学生能够应用勾股定理解决直角三角形的问题。
3. 学生能够运用勾股定理解决实际生活中的问题。
教学重点：1. 勾股定理的概念和原理。
2. 勾股定理在直角三角形中的应用。
3. 勾股定理在实际生活中的应用。
教学准备：1. 电脑、投影仪和音响设备。
2. PowerPoint或其他教学软件。
3. 直角三角形的模型或图片。
4. 实际生活中应用勾股定理的例子。
教学过程：引入：1. 利用一些有趣的问题或图片引起学生的兴趣，如：你知道如何计算斜边的长度吗？为什么直角三角形的两条边的平方和等于斜边的平方？2. 引导学生思考并提出问题，激发他们对于勾股定理的好奇心。
探究：1. 使用PPT或其他教学软件，介绍勾股定理的概念和原理。
解释直角三角形、斜边、直角边等概念。
2. 展示直角三角形的模型或图片，让学生观察并讨论直角三角形的特点。
3. 引导学生自主探究勾股定理的应用。
给予学生几个直角三角形的例子，让他们通过测量边长和斜边长度，发现勾股定理的规律。
巩固：1. 给学生提供一些直角三角形的问题，让他们运用勾股定理解决。
例如：一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，求斜边的长度。
2. 引导学生讨论和分享解题思路，解答问题并纠正错误。
3. 提供更多的练习题，让学生巩固和熟练应用勾股定理。
拓展：1. 展示一些实际生活中应用勾股定理的例子，如建筑设计、航空航天等领域。
2. 引导学生思考如何将勾股定理应用到实际问题中，鼓励他们提出自己的问题和解决方法。
总结：1. 对勾股定理的概念和应用进行总结，强调其重要性和实用性。
2. 鼓励学生继续探索和应用勾股定理，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
评估：1. 布置一些习题作为课后作业，检验学生对于勾股定理的理解和应用能力。
2. 在下一堂课上进行课堂小测，检查学生的学习效果。
教学延伸：1. 鼓励学生参加数学竞赛，提高他们的数学能力和解决问题的技巧。
人教版勾股定理第一课时
12
பைடு நூலகம்
拼图证明
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为a，b， 斜边c）；
2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方
形
吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边长的正 方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
13
拼图证明
如何利用下图证明a2+b2=c2？
赵爽弦图
图1-1
图1-2
古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、
研究它的证明，新证法不断出现。目前世界上共有500
多种证明“勾股定理”的方法。其中包括大画家达·芬奇
18
和美国总统加菲尔德的证法。
勾股定理运用1
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
青 出
青 入
朱朱
朱 出出 方
朱朱入入 青入
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
青出
29
证法欣赏3
④
⑤
b
c
③
a
①②
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
长分别为a、b，斜边长为c，那么 a2 + b2 = c2
数学方法：1.观察—探索—猜想—验证—归纳—应用
2.“割补、拼接”法
பைடு நூலகம்
拼图证明
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为a，b， 斜边c）；
2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方
形
吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边长的正 方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
13
拼图证明
如何利用下图证明a2+b2=c2？
赵爽弦图
图1-1
图1-2
古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、
研究它的证明，新证法不断出现。目前世界上共有500
多种证明“勾股定理”的方法。其中包括大画家达·芬奇
18
和美国总统加菲尔德的证法。
勾股定理运用1
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
青 出
青 入
朱朱
朱 出出 方
朱朱入入 青入
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
青出
29
证法欣赏3
④
⑤
b
c
③
a
①②
以刘徽的“青朱 出入图”为代表， 证明不需用任何 数学符号和文字， 更不需进行运算， 隐含在图中的勾 股定理便清晰地 呈现，整个证明 单靠移动几块图 形而得出，被称 为“无字证明”.
长分别为a、b，斜边长为c，那么 a2 + b2 = c2
数学方法：1.观察—探索—猜想—验证—归纳—应用
2.“割补、拼接”法
勾股定理微课课件
01
勾股定理的挑战与 探索
勾股数与费马大定理
勾股数
在数学中，勾股数是指一组特殊的正整数，满足$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a, b, c$为正整数。例 如，$3, 4, 5$就是一组勾股数。
费马大定理
费马大定理是指一个整数幂不可能被分解为两个大于1的整数幂的和。例如，$x^4 + y^4 = z^4$在 整数范围内无解。费马曾宣称自己证明了这一定理，但未给出证明，因此该定理仍是一个著名的数学 难题。
勾股定理的表述形式
勾股定理可以用公式表示为 a² + b² = c²，其中 a 和 b 是直角三角形的两条直 角边，c 是斜边。
勾股定理的重要性
理论意义
勾股定理是几何学中的基石之一 ，它揭示了直角三角形三边之间 的数量关系，对于理解几何图形 和解决几何问题具有重要意义。
实际应用
勾股定理在现实生活中有着广泛 的应用，例如在建筑、航空、航 海等领域中，都需要用到勾股定 理来计算角度、距离等参数。
角函数的性质和公式。
数论
勾股定理在数论中也有应用，例 如在证明一些数学猜想的推导过
程中。
科学领域中的应用
天文学
在天文学中，勾股定理可以用于确定天体的位置和运动轨迹，例 如计算行星的轨道半径等。
物理学
在物理学中，勾股定理可以用于解决与力矩、加速度等相关的物理 问题，例如确定物体的运动轨迹和受力情况等。
工程学
在工程学中，勾股定理可以用于确定结构的稳定性和安全性，例如 计算桥梁的承载力和建筑结构的抗震性能等。
01
勾股定理的拓展与 延伸
勾股定理的逆定理
总结词
勾股定理的逆定理是关于直角三角形三边关系的重要推论，它表明如果三角形的 三边满足勾股定理的条件，则这个三角形一定是直角三角形。
北师大版八年级数学上册 (探索勾股定理)勾股定理教育教学课件(第1课时)
1 ×
2
ab+（a
Hale Waihona Puke b）2，A又∵S正方形ABCD =c 2，
∴4
1 ×
ab+（a
b）2 =c 2，
2
D C
B
∴2ab+a 2 2ab+b2 =c2， ∴a 2 +b2 =c 2 .
C分成四个全等的
C
等腰直角三角形， A
可求得正方形C的
面积为18.
B
还可以用什么办法计算C的面积呢？
验证法2
方法：可把正方形
C分成四个全等的
C
等腰直角三角形， A
可求得正方形C的
面积为18.
B
还可以用什么办法计算C的面积呢？
验证法3 方法：可在正方形C 外边圈一个大正方形 用大正方形的面积减 去4个直角三角形的 面积，即可求得正方 形C的面积为18.
获取新知
如下图，分别以直角三角形的三条边为边长向外 作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？
你是如何做的？ 与同伴交流.
如下图，分别以直角三角形的三条边为边长向外 作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？
割
补
活动1：小明的证明思路如下图，想一想：小明是 怎样对大正方形进行割补的？
怎么解答
9米
这道题呢？
12米
在直角三角形中，任意两条边确定了，另一边确定吗？ 为什么？
强大的台风使得一个旗杆在离地面9 m处折断倒下，旗杆顶部 落在离旗杆底部12 m处，请问旗杆折断前有多高？
9米
12米
解：设旗杆折断前有x m，由勾股定理得： （x－9）2=122+92 因为x－9>0，所以x－9=15，所以x=24.
勾股定理微课课件
谢谢观赏！
2020/11/5
20
C A
B
C A
B
“割”
“补”
“拼”
（4）分析填表数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
图1
4
9
13
图2 16
9
25
SA+SB=SC
（5）请结合上述关系，你能说说直角三角形三 条边之间有什么关系吗？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A a
Sa+SБайду номын сангаас=Sc
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
梯 形 A B C D A B E D E C A E D
简捷、易懂、明 了的证明，就把
12ab12ab12c2
1 2
(2ab
c
2)
这一证法称为
“总统证法”．
比较两式可知：a2+b2=c2
目前，世界上共有500多种证明“勾股 定理”的方法，爱好数学的您还能想出新 的证明方法吗？
谢谢！
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
a
Sa+Sb=Sc
bc
a2+b2=c2
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦c 股b
┏
勾a
a2+b2=c2
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把 弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半 部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较 短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为 勾股定理.
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第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
R· 八年级数学下册
新课导入
提问 你知道在古代，人们 如何称呼直角三角形的三 边吗？
弦
股
勾
那么勾、股、弦之间有什么关系呢？这 就是我们今天要探究的问题。
推进新课
知识点 1
勾股定理的发现
毕达哥拉斯在朋友家里做客 时，从砖铺成的地面中发现了直 角三角形三边的数量关系．
如何证明呢？
如图我国古代证明该命题 的“赵爽弦图”.
赵爽指出：按弦图，又可以 勾股相乘为朱实二，倍之为 朱实四.以勾股之差自相乘为 中黄实.加差实，亦成弦实.
赵爽弦图
思考 你是如何理解的？你会证明吗？
证明
赵爽弦图
小正方形的面积= 即c2=a2+b2.
( a -b )2
1 2 =c -4×
2
ab
世界上几个文明古国相继发现和研究过 勾股定理，据说其证明方法多达400 多种，有 兴趣的同学可以继续研究.
观察
你从图片中发现了什么？
思考 三个正方形的面积有什么关系？
发现
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.
探究
观察并填写下表:
面积/格 A 4
A' 9
B 9
B' 25
C 13
C' 34
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
面积/格
思考
等腰直角三角形三条边长度 之间有怎样的特殊关系？
小结
S1
a c
b
S2
S
等腰直角三角形斜边的平 方等于两直角边的平方和.
S=S1+S2， 即c2=a2+b2.
提问
通过前面的探究活动，你发现了直形两直角边长分别为a，b，斜 边长为c，那么a2+b2=c2．
知识点 2
勾股定理的证明
命题
如果直角三角形两直角边 长分别为a，b，斜边长为c，那 么a2+b2=c2．
第1课时 勾股定理
R· 八年级数学下册
新课导入
提问 你知道在古代，人们 如何称呼直角三角形的三 边吗？
弦
股
勾
那么勾、股、弦之间有什么关系呢？这 就是我们今天要探究的问题。
推进新课
知识点 1
勾股定理的发现
毕达哥拉斯在朋友家里做客 时，从砖铺成的地面中发现了直 角三角形三边的数量关系．
如何证明呢？
如图我国古代证明该命题 的“赵爽弦图”.
赵爽指出：按弦图，又可以 勾股相乘为朱实二，倍之为 朱实四.以勾股之差自相乘为 中黄实.加差实，亦成弦实.
赵爽弦图
思考 你是如何理解的？你会证明吗？
证明
赵爽弦图
小正方形的面积= 即c2=a2+b2.
( a -b )2
1 2 =c -4×
2
ab
世界上几个文明古国相继发现和研究过 勾股定理，据说其证明方法多达400 多种，有 兴趣的同学可以继续研究.
观察
你从图片中发现了什么？
思考 三个正方形的面积有什么关系？
发现
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.
探究
观察并填写下表:
面积/格 A 4
A' 9
B 9
B' 25
C 13
C' 34
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
面积/格
思考
等腰直角三角形三条边长度 之间有怎样的特殊关系？
小结
S1
a c
b
S2
S
等腰直角三角形斜边的平 方等于两直角边的平方和.
S=S1+S2， 即c2=a2+b2.
提问
通过前面的探究活动，你发现了直形两直角边长分别为a，b，斜 边长为c，那么a2+b2=c2．
知识点 2
勾股定理的证明
命题
如果直角三角形两直角边 长分别为a，b，斜边长为c，那 么a2+b2=c2．