典型环节与开环系统的频率特性
自动控制原理 第5章 频率法_2-1
1 2
)
(5-28)
M (w )
0.2 0.5
1
0.9
0
Mr
wr
wn w c
w
振荡环节的幅频特性
2 2
1 Tw 1 2 2 2 1 T w 2
这是一个标准圆方程，其圆心坐标是 1 ,0 ， 2 半径为 1 。且当ω 由 0 时， G( jw ) 由 0 90 ， 2 说明惯性环节的频率特性在 G( jw ) 平面上是实轴下 方半个圆周。
20
1 T
和
(w ) 45
0
的交点为
工程上常用简便的作图法来得到L(w曲线，方法如下：
w
1 T
L(w ) 20 lg
1 T w
2
2
0 (dB)
即当频率很低时， L(w可用零分贝线近似； 低频渐近线
w
1 T
L(w ) 20 lg
1 T w
2
2
20 lg wT (dB)
当 w 10 时，20 lg G( j10) 20 lg 10 20(dB)
。
8
设 w'
10w
'
，则有
(5-36)
dB L(w )
60
20 lg w 20 lg 10w 20 20 lg w
可见，积分环节的对数幅频特 性是一条在w=1（弧度/秒）处 穿过零分贝线（w轴），斜率为 -20dB/dec的直线。 几何 意义 积分环节的相频特性是
(1) 幅相曲线 振荡环节的传递函数为： ( s) G
1 T w j 2Tw 1
2 2
5.2.2开环频率特性
, T1 T2
() 90 arctanT1 arctanT2
1
(0) 90
() 270
特性分析： K 10
幅相特性曲线起点： A(0) 幅相特性曲线终点 : A() 0
第二节 典型环节与系统的频率特性
1 1 1 K ( 1s 1) ( 2 s 1) ... ( m s 1) ... s s s 14442 4443 1 1 1
T1s 1 T2 s 1 Tn s 1 可知：系统开环传递函数一般是由典型 环节串联而成的。
G0 (s) G1 (s)G2 (s) L Gn (s)
带入式G0(jω)虚部中，得与虚轴的交点为
第二节 典型环节与系统的频率特性
例5-4 已知系统开环传递函数为 Go (s) 试绘制系统开环幅相特性曲线。 解 :频率特性为 Go ( j ) 幅频特性为 相频特性为
10 j (T1 j 1)(T2 j 1) 10 A( ) 1 T12 2 1 T22 2
T1 T2 2 j 1 T1T2 2 与实轴交点分析 Go ( j ) 10 2 1 T12 2 1 T22 2
令虚部为0 解得
1 T1T2x2 0
x T1T2
10TT 1 2 带入式G0(jω)实部中，得与实轴的交点为 T T , j 0 1 2
1 φ ( ω ) φ ω 对数相频特性： ( )=Σ i i= 1 1 1 n
第二节 典型环节与系统的频率特性
绘制系统开环对数频率特性曲线的 一般步骤： 1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。 2）画出各典型环节的对数幅频和对数相 频特性曲线； 3) 将各环节的对数幅频、相频曲线相加。
自动控制原理 开环系统的频率特性—典型环节非最小相
频率特性
G
j
1
2 n2
j2
n
幅频特性
A G j
1
2 n2
2
2
n
2
不变！
相频特性
2
G
j
arctan
1
n 2
n2
A
1
2 n2
2
2
n
2
2
arctan
1
n 2
n2
2
arctan
1
n 2
n2
2
180 arctan
n
2 n2
1
0 A 1, 0
1 n
第四象限
不变！
0 ~ 90
Ts 1 频率特性 G j Tj 1
L 20 lg A 20 lg 1 T 22 180 arctanT
不变！
180 ~ 90
上页
L dB
40
20
3dB
0
0.1
12
180
0.5s 1
90 0 90
0.5s 1 0.5s 1
20
10
100
上页
7
11/22/2013
4，振荡环节
Gs
n2 s2 2ns n2
s2
1 n2 2
n s 1
频率特性
G
j
1
2 n2
1 j2
n
幅频特性
A G j
1
1
2 n2
2
2
n
2
不变！
相频特性
2
G
j
arctan
1
n 2Biblioteka n2A 11
5-2(2) 开环系统的频率特性
分子分母同乘以 1
•
K [(an 1bm1 2 1) (bm1 an 1 )( j )] 2 [a n2 1 2 1] 2型系统， 2
K (an 1bm1 2 1) U ( ) 2 (an2 1 2 1)
1
2
1
3
2
所以，开环频率特性为：
G ( j ) A( ) e j ( ) G1 ( j ) G2 ( j ) G3 ( j )
A1 ( ) A2 ( ) A3 ( ) e j ( ) ( ) ( )
1 2 3
开环幅频特性 开环相频特性
第五章 线性系统的频域分析法
第二节 典型环节与开环系统的 频率特性
5-2-2 开环系统频率特性的绘制
项目 内 容
教 学 目 的 数坐标图的绘制方法。
掌握控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对
教 学 重 点 标图的绘制。
控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对数坐
教 学 难 点 渐近线形式的对数坐标图幅频特性的绘制。
i 1
n
对数幅频特性和相频特性都符合叠加原则。
K 例题2：设系统的开环传递函数 G( s) H ( s) sT1 s 1T2 s 1
（T1 ＞T2 ＞ 0，K ＞ 0），试绘制系统开环对数频率特性曲线。 解： 因为系统的开环频率特性为：G( j ) 1）对数幅频特性
K j ( jT1 1)( jT2 1)
0
lim G ( j ) K0
lim G ( j ) 0 180
曲线与坐标轴的交点
可由G（jω）=0分别求得曲线与实轴或虚轴的交点:（也可能不存在 交点，而有渐近线的情形，如本例和P201例5的情况）
自动控制原理 第五章 第一讲 典型环节和开环频率特性
对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横坐标表示对数相频 对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横坐标表示对数相频 尼柯尔斯曲线）： 特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。 特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。
5.2 典型环节和开环频率特性
• 典型环节 • 典型环节的频率特性 • 最小相角系统和非最小相角系统
L(ω ) = −20 lg 1 + ω 2T 2
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT =-20(lgω-lg1/T)
(dB) 20 0 0.1 1/T -20 (o) 90 0 0.1 -90 1 10 ω 1 20dB/dec 10 ω -20dB/dec
幅频特性相同， 幅频特性相同，但相频特性符号相反 。 •最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对 最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应， 数幅频曲线就能写出系统的传递函数 。 L(dB)
L(dB) 20 10 -20 ω L(dB) -20 100 50 -40 ω -40 -20 ω 2 ω1 ωc ω -40
典型环节
•比例环节：G（s）= K 比例环节： （ ） •惯性环节： G（s）= 1/(Ts+1)，式中T>0 惯性环节： （ ） ，式中 •一阶微分环节： G（s）= (Ts+1)，式中 一阶微分环节： （ ） ，式中T>0 •积分环节： G（s）= 1/s 积分环节： （ ） 微分环节： （ ） •微分环节： G（s）= s •振荡环节： G（s）= 1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]; 振荡环节： （ ） 式中ω ， 式中 n>0，0<ζ<1 二阶微分环节： （ ） •二阶微分环节： G（s）= (s/ωn)2+2ζs/ωn+1; 式中ω ， 式中 n>0，0<ζ<1
胡寿松《自动控制原理》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第5~6章)【圣才出品】
第5章线性系统的频域分析法5.1复习笔记本章考点：幅相特性曲线、伯德图的绘制，奈奎斯特稳定判据，稳定裕度计算。
一、频率特性1．定义幅频特性：稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比A（ω）。
相频特性：稳态响应与正弦输入信号的相位差φ（ω）。
频率特性：幅频特性和相频特性在复平面上构成的一个完整向量G（jω）＝A（ω）e jφ（ω）。
2．频率特性的几何表示法（重点）（1）幅相频率特性曲线（幅相曲线或极坐标图），横坐标为开环频率特性的实部，纵坐标为虚部， 为参变量。
（2）对数频率特性曲线（伯德图），由对数幅频特性曲线、对数幅相频特性曲线两幅图组成：①对数幅频特性曲线的纵坐标表示L（ω）＝20lgA（ω），单位是分贝，记作dB；②对数相频特性曲线的纵坐标为φ（ω），单位为度“°”。
（3）对数幅相曲线（尼科尔斯图），横坐标表示频率特性的相角φ（ω），纵坐标表示频率特性的幅值的分贝数L（ω）＝20lgA（ω）。
二、典型环节与开环系统的频率特性1．典型环节的频率特性一些主要典型环节的频率特性曲线总结如表5-1-1所示。
表5-1-1典型环节频率特性曲线总结2．开环幅相曲线绘制步骤（1）确定开环幅相曲线的起点（ω＝0＋）和终点（ω＝∞），确定幅值变化与相角变化。
（2）计算开环幅相曲线与实轴的交点。
令Im[G（jωx）H（jωx）]＝0或φ（ωx）＝∠G（jωx）H（jωx）＝kπ（k＝0，±1，…）称ωx为穿越频率，而开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为Re[G（jωx）H（jωx）]＝G（jωx）H（jωx）。
（3）分析开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）。
3．开环对数频率特性曲线绘制步骤（1）开环传递函数典型环节分解并确定一阶环节、二阶环节的交接频率；（2）绘制低频段渐近特性线：在ω＜ωmin频段内，直线斜率为－20vdB/dec；（3）作ω≥ωmin频段渐近特性线，交接频率点处斜率变化表如表5-1-2所示。
频率特性法的最大特点是根据系统的开环系统频率特性曲线分
ω
=0o
第二节 典型环节与系统的频率特性
2．积分环节
传递函数和频率特性 1 G(jω)= 1 G(s)= jω S
幅频特性和相频特性 1 A(ω)= ω φ(ω)=-90o (1) 奈氏图
积分环节奈氏图
Im
∞
0
Re
ω=0
第二节 典型环节与系统的频率特性
(2) 伯德图
对数幅频特性：
L(ω)=20lgA(ω) =-20lgω 对数相频特性：
0
1
Re
φ(ω)=tg-1ωT
注：G(j)实部恒为1
第二节 典型环节与系统的频率特性
(2) 伯德图 一阶微分环节的伯德图 一阶微分环节的频率特性与惯性环节 L(ω)/dB 成反比 , 所以它们的伯德图对称于横轴 . 精确曲线
1 G(jω)= G(jω)=1+j -20 ωT 渐近线 1+jωT φ(ω) 对数幅频特性：
4．惯性环节
惯性环节的奈氏图
Im (1) 奈氏图 传递函数和频率特性 ω ∞ 0 ω=0 取特殊点： 绘制奈氏图近似方法: -45 Re 1 ω=0 A(ω)=1 1 根据幅频特性和相频特性求出特殊 G(s)= 1 ω= T A(ω)=0.707 Ts+1 G(j ω )= o φ (ω)=0 o j.ωT+1 点,然后将它们平滑连接起来 ω= 1 φ (ω)=-45 T ω=∞幅频特性和相频特性 A(ω)=0 可以证明： φ(ω)=-90o 1 惯性环节的奈氏图是以 (1/2,jo) -1 A(ω)= φ ( ω )=-tg ωT 2 1+( ωT ) 为圆心，以1/2为半径的半圆。
0dB
=0.8 =0.6
=0.4 =0.2
实验四典型环节和系统频率特性的测量
实验四 典型环节和系统频率特性的测量一、实验目的1．了解典型环节和系统的频率特性曲线的测试方法；2．根据实验求得的频率特性曲线求取相应的传递函数。
二、实验设备同实验一三、实验内容1．惯性环节的频率特性测试；2．二阶系统频率特性测试；3．无源滞后—超前校正网络的频率特性测试；4．由实验测得的频率特性曲线，求取相应的传递函数；5．用软件仿真的方法，求取惯性环节和二阶系统的频率特性。
四、实验原理设G(S)为一最小相位系统（环节）的传递函数。
如在它的输入端施加一幅值为Xm 、频率为ω的正弦信号，则系统的稳态输出为 )sin()()sin(ϕωωϕω+=+=t j G Xm t Y y m ①由式①得出系统输出，输入信号的幅值比 )()(ωωj G Xmj G Xm Xm Ym == ② 显然，)(ωj G 是输入X(t)频率的函数，故称其为幅频特性。
如用db （分贝）表示幅频值的大小，则式②可改写为XmYm j G Lg L lg 20)(20)(==ωω ③ 在实验时，只需改变输入信号频率ω的大小（幅值不变），就能测得相应输出信号的幅值Ym ，代入上式，就可计算出该频率下的对数幅频值。
根据实验作出被测系统(环节)的对数幅频曲线，就能对该系统（环节）的数学模型作出估计。
关于被测环节和系统的模拟电路图，请参见附录。
五、实验步骤1.熟悉实验箱上的“低频信号发生器”，掌握改变正弦波信号幅值和频率的方法。
利用实验箱上的模拟电路单元，设计一个惯性环节（可参考本实验附录的图4-4）的模拟电路。
电路接线无误检查后,接通实验装置的总电源，将直流稳压电源接入实验箱。
2.惯性环节频率特性曲线的测试把“低频函数信号发生器”的输出端与惯性环节的输入端相连，当“低频函数信号发生器”输出一个幅值恒定的正弦信号时，用示波器观测该环节的输入与输出波形的幅值，随着正弦信号频率的不断改变，可测得不同频率时惯性环节输出的增益和相位（可用“李沙育”图形），从而画出环节的频率特性。
5-3典型环节开环频率特性
ω 0 1/T |GF(jω)| 1 0.707 ∠GF(jω) -180o -135o jω 0 σ -1 0 1/T
2 2
∞ 0 -90o
∞
2.4 振荡环节G(s)和不稳定振荡环节GF(s)
G(s) 1 /(T s 2 Ts 1) ； GF (s) 1 /(T s 2 Ts 1) ； 1 1 G ( j ) ； G F ( j ) ； 2 2 2 2 1 T j 2 T 1 T j 2 T
Im ω= 0 0.6 0.5 0.4
ζ=0.8
1
2.5 一阶微分环节G(s)和不稳定一阶微分环节GF(s)
GF (s) Ts 1； G( s) Ts 1； G( j ) 1 j T ； GF ( j) 1 j T ； | G( j ) || GF ( j ) | (1 T 2 2 )1/ 2； G( j ) arctan T ； GF ( j) 180 arctan T ；
非最小相位环节 环节有零点或极点在S平 的面右半部。 ( K 0，T 0，0 1) 1.1 反向环节 K ； 1.2 惯性环节 1 /(Ts 1) ； 1.3 一阶微分环节 Ts 1； 1.4 振荡环节 1.5 二阶微分环节 2 2 2 2 T s 2 Ts 1； 1 /(T s 2 Ts 1) ； 2. 典型环节的频率特性及幅相曲线： 2.1 放大环节 G(s)=K 和反向环节 GF(s)=-K | G( j) || GF ( j) | K ； j G( j ) 0； -K K GF ( j) 180；
自动控制原理-第5章2
时的情况。 讨论 0 ≤ ζ ≤ 1时的情况。当K=1时，频率特性为： 时 频率特性为：
1 G ( jω ) = (1 − T 2ω 2 ) + j 2ζωT
实频、虚频、幅频和相频特性分别为： 实频、虚频、幅频和相频特性分别为： 1 − T 2ω 2 − 2ζωT P(ω ) = , Q (ω ) = 2 2 2 2 2 2 (1 − T ω ) + 4ζ ω T (1 − T 2ω 2 ) 2 + 4ζ 2ω 2T 2
1
二、幅相曲线（极坐标图、奈奎斯特图） 幅相曲线（极坐标图、奈奎斯特图）
比例环节： ⒈ 比例环节： G ( s ) = K ;
G ( jω ) = K
P Q 虚频特性： 实频特性 ： (ω ) = K ；虚频特性： (ω ) = 0 ；
ϕ 幅频特性： (ω ) = K ；相频特性： (ω ) = 0 A 相频特性： 幅频特性：
ϕ (ω ) = −
− tg −1T1ω − tg −1T2ω
[分析 、当 ω = 0 时， (0) = −k (T1 + T2 ), Q(0) = −∞, ϕ (0) = − π 分析]1、 分析 P 2 G 显然， 显然，当 ω → 0 时， ( jω )的渐近线是一条通过实轴 − k (T1 + T2 ) 点， 且平行于虚轴的直线。 且平行于虚轴的直线。
A(ω ) = P (ω ) 2 + Q(ω ) 2 =
−1
1 (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ζωT ) 2
Q(ω ) −1 2ζωT ϕ (ω ) = tg = −tg P(ω ) 1 − T 2ω 2
6
振荡环节的奈氏图
1 − T 2ω 2 P (ω ) = (1 − T 2ω 2 ) 2 + 4ζ 2ω 2T 2 − 2ζω T Q (ω ) = (1 − T 2ω 2 ) 2 + 4ζ 2ω 2T 2
实验三 典型环节(或系统)的频率特性测量
实验三 典型环节（或系统）的频率特性测量一．实验目的1．学习和掌握测量典型环节（或系统）频率特性曲线的方法和技能。
2．学习根据实验所得频率特性曲线求取传递函数的方法。
二．实验内容1．用实验方法完成一阶惯性环节的频率特性曲线测试。
2．用实验方法完成典型二阶系统开环频率特性曲线的测试。
3．用软件仿真方法求取一阶惯性环节频率特性和典型二阶系统开环频率特性，并与实验所得结果比较。
三、实验原理及说明1．实验用一阶惯性环节传递函数参数、电路设计及其幅相频率特性曲线：对于1)(+=Ts Ks G 的一阶惯性环节，其幅相频率特性曲线是一个半圆，见图3.1。
取ωj s =代入，得)()(1)(ωϕωωωj e r T j Kj G =+=(3-2-1)在实验所得特性曲线上，从半园的直径(0)r ，可得到环节的放大倍数K ，K ＝(0)r 。
在特性曲线上取一点k ω，可以确定环节的时间常数T ，kk tg T ωωϕ)(-=。
(3-2-2)实验用一阶惯性环节传递函数为12.01)(+=s s G ，其中参数为R 0=200K Ω，R 1＝200K Ω，C＝1uF ，参数根据实验要求可以自行搭配，其模拟电路设计参阅下图3.2。
在进行实验连线之前，先将U13单元输入端的100K 可调电阻顺时针旋转到底（即调至最大），使输入电阻R 0的总阻值为200K;其中，R1、C1在U13单元模块上。
U8单元为反相器单元，将U8单元输入端的10K 可调电阻逆时针旋转到底（即调至最小），使输入电阻R 的总值为10K;注明：所有运放单元的+端所接的100K 、10K 电阻均已经内部接好，实验时不需外接。
图3.22．实验用典型二阶系统开环传递函数参数、电路设计及其幅相频率特性曲线：对于由两个惯性环节组成的二阶系统，其开环传递函数为12)1)(1()(2221++=++=Ts s T Ks T s T K s G ξ )1(≥ξ 令上式中 s j ω=，可以得到对应的频率特性 )(22)(12)(ωϕωωξωωj e r T j T Kj G =++-=二阶系统开环传递函数的幅相频率特性曲线，如图所示。
5-2(1) 典型环节的频率特性
A( )
1
2 2 2 2 (1 2 ) 4 2 n n
相频特性
n ( ) arctg 2 1 2 n
2
其中，对于相频特性
2 n 当： n 时， ( ) arctg 2 1 2 n
当： n 时， ( ) 180 arctg
L（ω ）
j
ω =∞ ω ωn 0
20 0 φ（ω ） 1 ω =0 180° 0 (b)
[40] ωn ω
ω
（ a）
二阶微分环节的频率特性曲线图
8. 延迟环节 （教材P204）
传递函数 G(s)
频率特性
G( j) e j A() e j ( )
e
s
(1) 幅相曲线: （教材P204图5-25） 幅频特性 A（ω）= 1 相频特性 φ（ω） = -ωτ（rad）= - 57.3ωτ (°) (2) 对数频率特性曲线(Bode图): 1） 对数幅频特性 L(ω)=20lgA(ω)= 0 2） 对数相频特性：φ（ω） = -ωτ（rad）=-57.3ωτ(°)
ω →0
0
(a) 微分环节的幅相曲线
(2) 对数频率特性曲线(Bode图):
∵ 对数幅频特性 L(ω)=20lg∣G（jω）∣ = 20lgω 对数相频特性 φ（ω） = 90° ∴ 微分环节的Bode图如图(b)所示。
L（ω）
20
0
20dB/dec 1 10
φ（ ω ） 90° 0
ω
ω
(b) 微分环节的Bode图
r n 1 2 2
1 M r A(r ) 2 1 2 2 0 2
显然
对于不同的系统阻尼,振荡环节的谐振峰值Mr，谐振频率ωr不同， 参见教材P195-196分析。
实验四典型环节和系统频率特性的测量
一、实验目的1、了解典型环节系和统的频率特性曲线的测量方法2、根据实验求得的频率特性曲线求取传递函数二 实验设备1、THBDC-1型 控制理论·计算机控制技术实验平台2、PC 机一台（含“THBDC-1”软件）、USB 数据采集卡、37针通信线1根、16芯数据排线、USB 接口线三 实验内容（1）惯性环节的频率特性测试R1=R2=100K C=1uF R0=200K闭环传递函数为=)()(0S U S U i 1+TS K =实验记录Bode 图理论计算数据（2）二阶系统OP1，惯性环节，10.2S+1 ；OP2，积分环节，1S 10.1S ；OP3，反相，（-1）；25100:()52552X R K G S S S ==+⨯⨯+ ωn=2.236 ζ=1.118250R 10:()502505020X K G S S ==+⨯⨯+ ωn=7.071 ζ=0.3536实验记录波特图 Rx=100K实验记录波特图 Rx=10K仿真波特图 Rx=100K 仿真波特图 Rx=10K校正前观察响应曲线为校正后串联一个惯性装置波特图校正前后对比思考题：1、根据上位机测得的Bode图的幅频特性，就能确定系统（或环节）的相频特性，试问这在什么系统时才能实现？必须在开环二阶系统中，而且只能确定最小相位系统。
2、实验时所获得的性能指标为何与设计时确定的性能指标有偏差？因为在设计时，很多计算采用的近似计算，同时实验时用的电阻元件参数与设计不完全一致。
3.什么是超前校正装置和滞后校正装置，他们各利用矫正装置的什么特性对系统进行校正？答：超前校正装置用于改善系统的动态性能，实现在系统静态性能不受损的前提下，提高系统的动态性能。
通过加入超前校正环节，利用其相位超前特性来增大系统的相位裕度，改变系统的开环频率特性。
一般使校正环节的最大相位超前角出现在系统新的穿越频率点。
而滞后校正装置则通过加入滞后校正环节，使系统的开环增益有较大幅度增加，同时又使校正后的系统动态指标保持原系统的良好状态。
5-2频率特性曲线的绘制
由图可见无论是欠 阻尼还是过阻尼系 统，其图形的基本 形状是相同的。 当过阻尼时，阻尼 系数越大其图形越 接近圆。
-2
0.2
04:54 16
（2）Bode图（对数频率特性）：
幅频特性为：
A( )
1 (1 T 2 2 )2 (2T )2
相频特性为：
( ) tg 1
04:54
1 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。 T
17
1 相频特性： ( ) tg
2 T 1 T 2 2
1 , ( ) ; , ( ) 。 T 2
几个特征点： 0, ( ) 0;
下图是当T=1时的图
G ( j ) jT 1
j 0
（1）Nyquist图（幅相频率特性）：
ω
1
A( ) 1 T 2 2 , ( ) tg 1T
（2）Bode图（对数频率特性）：
L( ) 20lg 1 T 2 2
对数幅频特性（用渐近线近似）：
L( ) 0 20lg A( ) 0 L( ) 20lg A( ) 20lgT
20
16 12
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1 .0
10
8 4 0 -4 -8
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T
0
渐近线
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
-10
0 .7 0 .8 1 .0
04:54
低频段渐进线 高频段渐进线
12
这是斜率为+20dB/Dec的直线。
(完整版)系统开环频率特性
5-2 系统开环频率特性若系统开环传递函数由典型环节串联而成，即)()()()()(21s G s G s G s H s G n =开环频率特性为 )()()()()(21ωωωωωj G j G j G j H j G n = 12()()()12()()()n j j j n G j e G j e G j e ϕωϕωϕωωωω=∏=∑==ni ji ni i ej G 1)(1)(ωϕω可见，系统开环幅频特性为∏==nj i j G j H j G 1)()()(ωωω开环相频特性为∑==∠=ni i j H j G 1)()()()(ωϕωωωϕ而系统开环对数幅频特性为∑∏=====ni i n i i j G j G j H j G L 11)(lg 20)(lg 20)()(lg 20)(ωωωωω由此可见，系统开环对数幅频特性等于各串联环节的对数幅频特性之和；系统开环相频特性等于各环节相频特性之和。
综上所述，应用对数频率特性，可使幅值乘、除的运算转化为幅值加、减的运算，且典型环节的对数幅频又可用渐近线来近似，对数相频特性曲线又具有奇对称性质，再考虑到曲线的平移和互为镜象特点，这样，一个系统的开环对数频率特性曲线是比较容易绘制的。
【例5-1】已知系统开环传递函数为)1)(10(100)(++=s s s s G试绘制该系统的开环对数频率特性曲线。
解 （1） 首先将系统开环传递函数写成典型环节串联的形式，即)1)(11.0(100)(++=s s s s G可见，系统开环传递函数由以下三种典型环节串联而成:放大环节:10)(1=s G 积分环节：s s G 1)(2=惯性环节:)1(1)(3+=s s G 和)11.0(1)(4+=s s G（2) 分别作出各典型环节的对数幅频、相频特性曲线，如图5—19所示.为了图形清晰,有时略去直线斜率单位.（3) 分别将各典型环节的对数幅频、相频特性曲线相加,即得系统开环对数幅频、相频特性曲线，如图5—19中实线所示.由系统开环对数幅频特性曲线可以看出，系统开环对数频率特性渐近线由三段直线组成，其斜率分别为20-、40-、60-dB/dec,直线与直线之间的交点频率按ω增加的顺序分别为两个惯性环节的交接频率1、10.系统开环对数幅频特性曲线与零分贝线的交点频率称为系统的截止频率，并用c ω表示。
典型环节的频率特性
第五章频率域方法典型环节的频率特性用频率法研究控制系统的稳定性和动态响应，是根据系统的开环频率特性进行的，而控制系统的开环频率特性通常是由若干个典型环节的频率特性组成的，如直流电机的传递函数为()(1)mm K G s s T s =+可以将该传递函数分解为三个典型环节的乘积，分别是mK 放大环节：1s积分环节：11m T s +惯性环节：掌握好典型环节的频率特性，就能方便地得出系统的开环频率特性。
一、比例环节（放大环节）幅频特性()A Kω=相频特性()0ϕω︒=对数幅频特性()20lg L Kω=Kj()G s K =幅相特性曲线（K>0）（Nyquist 曲线）对数频率特性曲线（K>1）（Bode 图）典型环节的频率特性20lg K/dBL ϕω2π−ω(j )G Kω=AAKϕ2π−ϕω幅频、相频特性曲线(K>0)二、积分环节1()G s s =幅频特性1()A ωω=相频特性()2πϕω=−j2π−ω=ω∞幅相特性曲线（Nyquist 曲线）1()20lg20lg L ωωω==−对数幅频特性对数幅频特性曲线是斜率为-20分贝/十倍频程的直线，该直线在弧度/秒处与零分贝线相交。
1ω=1(j )j G ωω=AAϕ2π−ϕω幅频、相频特性曲线/(rad/s)ω对数频率特性曲线（Bode 图）20dB/dec−/dBL o /()ϕ三、惯性环节（一阶系统）1()1G s Ts =+幅频特性21()()1A T ωω=+相频特性()arctan T ϕωω=−幅相频特性曲线（Nyquist 曲线）j=1/Tω=ω∞=0ωω1-45︒1(j )1+j G T ωω=Aϕ90︒−ϕω145︒−1TA幅频、相频特性曲线对数频率特性曲线（Bode 图）T ω/dBL o /()ϕ2()20lg ()1L T ωω=−+对数幅频相频特性()arctan T ϕωω=−3(dB)L =−45ϕ︒=−当频率时1T ω=2()20lg ()1L T ωω=−+对数幅频()20lg 20lg 20lg L T Tωωω≈−=−−转折频率：1=Tω当频率时1T ω<()20lg10 (dB)L ω≈=当频率时1T ω>惯性环节（一阶系统）1()1G s Ts =+1(j )1+j G T ωω=对数频率特性曲线（Bode 图）T ω 20dB/dec−对数幅频渐近特性曲线3(dB)−dBL /o /()ϕ四、振荡环节（二阶系统）222()2nn nG s s s ωζωω=++2221()[1()][2()]n n A ωωωζωω=−+22()()arctan 1()n n ζωωϕωωω⎛⎫=− ⎪−⎝⎭/nωωA=0ζ=0.2ζ=0.5ζ=0.7ζ=1ζ/nωωo /()ϕ(0) 1 ()1(2) ()0n A A A ωζ==∞=()0d A d ωω=212m nωωζ=−令，得20<<2ζ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(0)0 ()2 ()=n ϕϕωπϕπ==−∞−21()21m m A A ωζζ==−幅频、相频特性曲线(0, 0)n ζω≥>当时，，当时无峰值。
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第五章 线性系统的频域分析法
6.一阶微分环节和二阶微分环节
dr (t ) G s ＝Ts +1 c(t ) T r (t ) dt
C(s) G s ＝ T 2 s 2 + 2 Ts 1 R(s)
2 d r (t ) dr (t ) 2 c(t ) T 2 T r (t ) 2 dt dt
传函典型环节表达式
第五章 线性系统的频域分析法
二 典型环节极坐标(Nyquist)图的绘制
1.放大环节（比例环节）
传递函数：G(s) K 频率特性： G( j) [G(s)]s j K Ke j 0 K j0
A( ) K ( ) 0
Im
放大环节的极坐标图是复 平面实轴上的一个点，它 到原点的距离为K。
第五章 线性系统的频域分析法
G(j0) 1 0
1 1 G j 45 2 T
G(j) 0 -90
不难看出，随着频率 ω=0→∞ 变化，惯性环节的幅值 逐步衰减，最终趋于 0 。相位的绝对值越来越大，但 最终不会大于90°，其极坐标图为一个半圆。
Im
s
实际微分环节实现电路
第五章 线性系统的频域分析法
4.积分环节
1 1 G s ＝ c t r t dt Ti s Ti 特点：输入消失后输出仍具有记忆功能。
dt
0
t
实例：电动机角速度与角度间的关系，物体行驶距离 与物体速度间的关系，模拟计算机中的积分器等。
特点：含一个储能元件，对突变的输入不能立即跟 随，输出无振荡。
0.63
第五章 线性系统的频域分析法
3.微分(超前)环节
dr t C(s) G s = ＝Ts c t T R(s) dt
特点：能预示输入信号的变化趋势。
实例：测速发电机输出电压与输入角度间的关系。
∞
r(t )
由于() = - 90°是常数。A()随 增大而减小。因此，积分环节是 极坐标图一条与虚轴负段相重合的
Im
0
0
Re
直线。
第五章 线性系统的频域分析法
4. 惯性环节
G(s) 传递函数： 1 Ts 1
频率特性：G jω
1 1 ωT j 2 2 1 jωT 1 ω T 1 ω2 T 2
第五章 线性系统的频域分析法一 典Fra bibliotek环节及其传递函数
1.比例(放大)环节
C ( s) G s ＝ K c t Kr t R( s )
特点：输出与输入成正比，无失真和时间延迟。
uc
第五章 线性系统的频域分析法
2.惯性环节
G s ＝
C ( s) 1 dc T c r R( s) Ts 1 dt
一阶微分环节、二阶微分环节和纯微分环节都 称为理论微分环节，不满足n m的条件，所以在实 际工程中不会单独存在。
第五章 线性系统的频域分析法
7.延迟环节
G s ＝e-s c(t ) r(t )
特点：准确复现输入量，但延迟了一个固定的时间 间隔。
实例：液压、气动等压力在容器内或热量在管道中 的传播有延迟时间；胶带输送机等机械传动系统、 晶闸管（可控硅）整流器等的控制问题的数学模型 就含有延迟环节；计算机控制系统中，由于运算需 要时间，也会出现延迟。
0
1 2
0
1
Re
第五章 线性系统的频域分析法
5. 振荡环节
传递函数：G ( s)
1 s 2 n
T
2
令
1
n
T
2
频率特性： G j
s 1 n 1
2 Tj 1
2
j
2
1 T 2 T
1 A ω 1 ω2 T 2 ω arctan T arctan T 1
取ω=0，1/T和ω=∞三个特殊点:
G(j0) 1 0 1 1 G j 45 2 T G(j) 0 -90
微分环节的极坐标图是一条 与虚轴正段相重合的直线。
0
Re
第五章 线性系统的频域分析法
3. 积分环节
1 传递函数：G ( s ) s
频率特性： G( j ) [G(s)]s j
1 A( ) 0 ( ) 90
1 1 1 900 0 j e j
第五章 线性系统的频域分析法
C(s) G s ＝ Ts R(s)
若输入一阶跃信号 R ( s ) 1 ，则可求出 c(t ) T (t ), 由于 (t ) 在实际工程中不存在，所以纯微分环节不 能单独存在，只是理想微分环节。 实际微分环节为(带有惯性环节)
C(s) Ts G s ＝ R(s) Ts 1
第五章 线性系统的频域分析法
5.振荡环节
2 1 d c dc G s ＝ 2 T 2 2 2 T c r T s 2 Ts 1 dt dt
0 1
特点：环节中有两个独立储能元件，并可进行能量交 换，其输出出现振荡。 实例：RLC电路、两级RC电路、弹簧-物体-阻尼器力学 位移系统等。
0
K
Re
第五章 线性系统的频域分析法
2.微分环节
传递函数： G( s) s
G ( j ) [G ( s )]s j j e 频率特性：
A( ) 0 ( ) arctan 90 0
j 900
0 j
Im
0
2 2 2
1 T 2 2
j
1 T 2 T
2 2 2
2 T
2
1 A 2 2 2 2 1 T 2 T 2 T ( ) arctan 1 T 2 2
第五章 线性系统的频域分析法