重力加速度的测量

g=
4π 2 ⋅ L' T2
（14）
复摆的周期可以测得非常精确，但直接测量 L' 相当困难，一是重心 G 的位置不易确定，
h 难以精确测定； 二是复摆不可能做成密度均匀的理想形状， 其 I 难以精确计
算。不过，可以利用复摆的共轭特性来间接测量 L' 。 如图 5，复摆的共轭特性是指在重心 G 的两旁总可以找到两个共轭点 O 和 O΄（与重心三点共线） ，当两点之间的距离等于等效摆长 L' 时，以 O 为悬点 的摆动周期和以 O΄为悬点的摆动周期正好相等。证明如下： 设复摆对重心 G 轴的转动惯量为 IG，根据平行轴定理可得复摆对转轴 O （到重心的距离为 h）的转动惯量：
2． 原理: 方法一：如图 1 所示,我们把上光电门放于 小球下落的起始位置附近，下光电门放于装 置的二分之一高度附近测出两光电门的坐 标 x0 , x1 ， 则 两 光 电 门 之 间 距 离
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h1 = x0 − x1 ，释放小球，记下小球落下时经过两光电门的时间 t1 ；把下光电门下移至捕球 器附近，测出下光电门的坐标 x 2 ，则两光电门之间的距离 h2 = x0 − x 2 ，释放小球，记下小 球下落经过两光电门的时间 t 2 ，设小球落经上光电门时的速度为 v 0 ，则有 1 2 (4) h1 = v0 t1 + gt1 2 1 2 (5) h2 = v0 t 2 + gt 2 2
（11）
其摆动周期：
T=
若令 L' =
2π
ω
= 2π
I mgh
（12）
I ，则复摆的周期公式可改写为： mh L′ g
T = 2π
（13）
它与单摆的周期公式相同，因而又把 L' 称为复摆的等值单摆长（即等效摆长） 。可见，
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只要能测出复摆的周期 T 及其等效摆长 L' 就可求出重力加速度 g：
相应半角
1 个周期测量值(T/s) 1 2 3 平均值
sin 2 (θ / 2)
⑶数据处理： 直线拟合法：由表 2 数据作出 T ~ sin 知 ： A = 2π （l = L +
2
θ / 2 直线，得到斜率 B，载距 A；由（3）式可
l 4π 2 l ， 故 g= g A2
1 d） 2
方案二、自由落体法：
教学系统软件自动完成。实验结果见图 3。
图3 处理方法 2：按（6）式直接算出 g。 对于处理方法 1 和处理方法 2，求出 g 后，根据桂林地区重力加速的公认值
g 公认值 = 9.785m / s 2 ， 求 出 相 对 不 确 定 度 E =
g = g ± Δg (其中Δg = E ⋅ g )
方法二： (1）仪器：同方法 1 (2）操作：也同方法 1 填表 3
2
E=
g 公认值 − g g 公认值
× 100% ，并求得测量结果为： g = g ± Δg (其中Δg = E ⋅ g )
4π 2 为其斜率，故可利 g
B、直线拟合法: 由式（2）可知，T2 和 L 之间具有线性关系，
用 T —L 直线的斜率求出重力加速度 g。 注： g 公认值 可按如下公式获得： ①先求出在海平面上纬度为 ϕ 的重力加速度；
将（9）式变形有
（17）
IG − h = 0 ，于是由（10）式可得 L ′′ = L ′ 。可见，以 O΄为悬 m( L ′ − h )
点的等效摆长与以 O 为悬点的等效摆长相同，因而它们的摆动周期也相同，都等于：
T = 2π
I + mh 2 L′ = 2π G g mgh
（18）
根据复摆的这一共轭特性，只要能找到 T = T ′ 的两个点 O 和 O΄，测出其间距 OO ′ 就可 得到与复摆周期 T 相对应的等效摆长 L' 。 2．方案实施： ，数字毫秒计，光电门。 （1）仪器：J-LD23 型复摆实验仪（使用见讲义 P18） （2）操作： ①按照 h 从小到大或从大到小的顺序，先测出它在某个小孔处的周期 T，并从摆杆上直 接读出悬点到摆杆中心的距 h； ② 找到第一步时的悬点 （小孔） 关于摆杆重点的对称点(小孔)， 然后测出期摆动周期 T ′ ③ 重复①、 ②步，测 10 个对称小孔。填表 4
再令
H = A2 − A1 = ( x 4 − x 2 ) − ( x3 − x1 ) = x 4 + x1 − x 2 − x3 = 2 gt 2
g= ( x + x1 ) − ( x 2 + x3 ) H = 4 2 2t 2t 2
(7)
且 x1 , x 2 , x3 , x 4 为下光电门位置读数， 其读数误差 此法的优点是与上光电门的读数 x0 无关， 相同，由上式知其误差已消除，由此减少了所产生的系统误差；并进行多次测量，减少了偶 然误差，从而提高了测量精度，此法难在 1t,2t,3t,3t 的时间控制，一定要细心调节。测量 精度可达 99.9%。 3． 方案的实施： 方法 1： (1)仪器：自由落体测定仪、HPCI-1 物理实验微机辅助教学系统、钢球、重锤 (2）操作：
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设计性实验一
重力加速度的测量
重力加速度 g 是一个反映地球引力强弱的地球物理常数，它与地球上各个地区的经纬 度、 海拔高度及地下资源的分布有关 （两极的 g 最大， 赤道附近的 g 最小， 两者相差约 1/300） 。 重力加速度的测定在理论、生产和科学研究中都具有重要意义。
I = I G + mh 2
复摆以 O 为悬点的等效摆长：
（15）
L' =
I I = G +h mh mh
2
（16）
同理可以求得复摆以 O΄为悬点（到重心的距离为 L΄-h）的等效摆长：
I + m(L ′ − h ) IG I′ L ′′ = = G = + L′ − h m( L ′ − h ) m(L ′ − h ) m(L ′ − h )
M = − mgh sin θ M = − mghθ
于是由刚体转动定律 M = I
（8）
式中的负号表示力矩的方向与角位移的方向相反。当摆角 θ <5°时，sin θ ≈ θ ，此时： （9）
d 2θ 可得： dt 2
（10）
d 2θ mgh =θ 2 I dt
令ω =
2
mgh ，可得复摆的动力学方程： I d 2θ + ω 2θ = 0 2 dt
(1)
方法 1：零级近似法：当θ<5°时
T = 2π
l g
(2)
方法 2：一级近似法: 由（1）式可得 1 级近似公式为：
T = 2π
l ⎛ 1 2θ⎞ ⎜1 + sin ⎟ 2⎠ g⎝ 4
2
（3）
故当 l 固定不变时，T 与 sin
θ
2
成线性关系。
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2．方案的实施： 对于方法 1： ⑴仪器：三线摆支架，小球，细线，游标卡尺，米尺，MS-1 多功能计时器，霍尔开关。 ⑵操作步骤： ①把三线摆改装成单摆，并在小球下安装磁铁。 ②调节磁铁与霍尔开关的距离，使其能正常工作，连接计时器。 ③测出相关的数据，填入表 1 中。 ④改变摆长，再重复测量，直至完成表 1 的记录。 表 1 次数 1 2 3 4 5 平均
2
g 海平面 = 9.780327(1 + 0.00530244 sin 2 ϕ − 0.00000585 sin 2 2ϕ )
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②再求海拨为 h 时的重力加速度：
g 公认值 = g 海平面 − h * 3.09 × 10 −6 (m / s 2 )
其中 h 的单位为 m.
设计方案举例：
测量重力加速度的方法很多，有单摆、开特摆、三线摆、气垫导轨法和自由落体仪法等 等，它们各有特点。下面例举几种比较典型的方案。
方案一、单摆法
1． 原理 摆长为 l 的单摆，其摆动周期 T 与摆角 θ 的关系为：
2 2 2 θ⎤ l ⎡ ⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ 2 θ T = 2π + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ sin 4 ⎥ ⎢1 + ⎜ ⎟ sin g⎢ 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠ 2⎥ ⎣ ⎝2⎠ ⎦
2
桂林北纬 25 度 16 分，平均海拨 150m.按公式算可求得 g 公认值 = 9.785m / s
对于方法 2： ⑴仪器：同零级近似法。 ⑵操作步骤： ①把三线摆改装成单摆，并在小球下安装磁铁。 ②调节磁铁与霍尔开关的距离，使其能正常工作，连接计时器。 ③测出相关的数据，填入表 2 中。 ④改变拉开距离，再重复测量，直至完成表 2 的记录。 表2 拉开距离 x（cm） L= cm, d= cm
由上述两式联立化简得
g=
2(h2 t1 − h1t 2 )
t 2 t1 − t1 t 2
2
2
=
2(h2 t 2 − h1 t1 ) t 2 − t1
(6)
此法与 v 0 无关，即已消除了电磁铁断电后剩磁的影响，但由于上下光电门之间存在一定差 异，即光电门的位置读数与光电门开始或结束计时并不相符，故 h1、h2 的读数存在一定误 差。 方法二：如图 2 所示,为了尽可能消除上、下光电门位置读数与数字毫秒计计时开始或结束 不相符而产生的误差，可测出一组数据 nt， （n=1,2,3,4）及对应的高度 hn = x 0 − x n （n=1,2,3,4） ， x0 为上光电门坐标， x n 为下光电门坐标 结合式 h = v0 t +
1 2 gt 并根据二次逐差法原则可令 2 A1 = h3 − h1 = ( x3 − x0 ) − ( x1 − x0 ) = x3 − x1 = v0 (2t ) + 4 gt 2 A2 = h4 − h2 = ( x 4 − x0 ) − ( x 2 − x0 ) = x 4 − x 2 = v0 (2t ) + 6 gt 2
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表4
物理量 次数
h(cm)
T（s）
T ′ （s）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
（3）处理 ①在坐标纸上绘制周期 T 与悬点位置 h 之间的关系 曲线（如图 6） ； ②在坐标图上作一条 T=Ti 的直线 MN，它与 T～h 曲 线有 a、b、c、d 四个交点（其中 a 与 c 共轭、b 与
2
E=
g 公认值 − g g 公认值
× 100% ，并求得测量结果为： g = g ± Δg (其中Δg = E ⋅ g )
方案三、复摆法
1．原理： 如图 4，在重力作用下能绕固定水平转轴在竖直面内自由摆动的刚体 称为复摆（物理摆） 。设刚体的质量为 m，重心 G 到转轴 O 的距离为 h，绕 O 轴的转动惯量为 I，当 OG 连线与铅垂线的夹角为 θ 时，刚体受到的重力 矩：
摆线长 度 L1
（cm）
摆 球 直径 d (cm)
摆长
L=L1+d/2(c
m)
50 个 周期 t50(s)
周期 T(s)
重力加速度 g(cm/s2)
⑶数据处理： A、计算法 ①由表 1，计算出平均测量值 g ； ②根据桂林地区重力加速度的公认值 g 公认值 = 9.785m / s ， 求出相对不确定度
d 共轭） ；
时间
g 公认值 − g g 公认值
× 100% ， 并 求 得 测 量 结 果
T
表3 2T
3T
4T
下光电门坐 标
x1
x2
x3
x
4
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ห้องสมุดไป่ตู้
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(3）处理： ①由（7）式计算出 g ②根据桂林地区重力加速度的公认值 g 公认值 = 9.785m / s ， 求出相对不确定度
选择的研究课题
1、测定本地区重力加速度 g 值，测量结果至少有 4 位有效数字，并要求百分误差小于 0.1％。 2、 试比较各种实验测量方法的优缺点。 讨论各种实验测量方法中， 哪些量可测得精确？ 哪些量不易测准？并说明如何减小或消除影响精确测量的各种因素等。
选择的仪器
单摆、三线摆、J-LD23 型复摆实验仪、自由落体测定仪、HPCI-1 物理实验微机辅助教 学系统、钢球、重锤、米尺、游标卡尺、光电门、霍尔开关、数字毫秒计、杨氏模量测量仪 等。
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据记录由 HPCI-1 物理实验微机辅助教学系统软件自动完成。见图 3 左侧。 (3)处理: 处理方法 1：用二次多项式 s = A + Bt + Ct 拟合所测数据 Δt i 和Δsi ，求得系数 A，B，C，
2
与自由落体方程 s = v0 t +
1 2 gt 相比较从而得 g=2*C。此过程由 HPCI-1 物理实验微机辅助 2