分式线性映射
复变函数课件6-2分式线性映射
够处理更广泛的函数。
值的扩展
02
将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理
复数函数的变换。
参数的扩展
03
引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射
的灵活性和适用性。
分式线性映射的推广
推广到高维空间
将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间 ，以处理更复杂的几何变换和函数变换。
解答1
对于题目1，首先化简$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z - 1)} = frac{(z + 1)(z - 1)}{z(z - 1)} = frac{z + 1}{z}$，然后根据 留数的定义，得到在$z = 1$和$z = 0$的留数分别为0和1。
解答2
对于题目2，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3} = frac{1}{(z - 1)(z - 3)} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z = 2 + i$和$z = 2 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
分式线性映射在信号处理中的应用
在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输 效率。
05
分式线性映射的习题和解答
分式线性映射的习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
设$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z 1)}$，求$f(z)$在$z = 1$和$z = 0$的留数。
应用
分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等 方面有重要应用。
分式线性映射
3、保对称点性
定理 设点 z1 , z2 关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们
P150 定理 6.7
的象点 w1 , w2 也关于象曲线 C 对称。
Γ
O C
z1
z2
Γ
w2
O C
w1
Γ
Γ
22
四、唯一决定分式线性映射的条件
分析
az b 分式线性映射 w 中含有四个常数 a , b , c , d . cz d
w 1 z 是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。 1 w1 z z
w1
w
11
三、分式线性映射的几种特性
1. 保形性 定理 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射， 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。 2. 保圆性
4
5
6
二、分式线性映射的分解
3. 相似映射
w r z , ( r 为正数 )
i i 令 z | z | e , 则有 w r | z | e .
其特点是保持点的辐角不变， 但模扩大(或缩小)r 倍。 它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。
7
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
(w)
例 已知区域 D { z : | z | 1 , Im z 0 } , 求一分式线性映射，将区域 D 映射
~ Γ
Γ
1
2
~ C
zi 例 求区域 D {z :| z 1 | 2 , | z 1 | 2 }在映射 w zi
下的像区域。 P148 例6.7 解 首先作一个简单的定性分析 (1) 区域 D 的边界 C1 和 C 2 是圆弧段， 且 C1 和 C 2 的交角为 90 度； (2) 由于所给的映射为分式线性映射， 因此具有保圆性与保角性； (3) 由于 i 被映射为 , i 被映射为 0，因此圆弧 C1 和 C 2 被映射为从原点出发且相互垂直的两条射线。
6-2分式线性映射
az + b ( ad − bc ≠ 0, a , b, c , d均为常数 .) 定义 w = cz + d 称为分式线性映射 分式线性映射. 称为分式线性映射 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成: 分式映射复合而成
(1)平移映射 w = z + b ; ( 2)旋转与相似映射 w = az ; 1 ( 3)反演映射 w = . z
由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 故命题得证. 故命题得证 [证毕 证毕] 证毕
17
试将如图所示的区域映射到上半平面. 试将如图所示的区域映射到上半平面 y z+i i , 解 取分式线性映射 w1 = z−i • 将切点 i映射为w1 = ∞ , 并将
9
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时 这 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域. 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域
10
三、典型例题
例1 求分式线性映射 , 使 z = 1映射成 w = 1 , 且使 z = 1,1 + i 映射成 w = 1, ∞ .
=e
− πiw1
=e
− πi
z+i z−i
为所求映射. 为所求映射
( w1 )
z+i w1 = z−i
•i
−1
O −i
1x
O
19
y
i
( w1 )
•
O −i
•i
1x
w2 = − iw1
i
( w2 )
−1
O
O
w3 = πw2
第二节 分式线形函数及其映射性质
注：
(1)分式线性函数的定义域可以推广到扩充复平
面 C。 (2)当 0时，规定它把 z 映射成 w ；
(3)当 0 时，规定它把z , z 映射成
w , w
二、分式线性函数的拓广
由此，我们可以解出分式线性函数。显然 这样的分式线性函数也是唯一的。
注：
z z1 : z3 z1 和 w w1 : w3 w1 分别称为 z z2 z3 z2 w w2 w3 w2 及 z1, z2, z, z3 的交比。w1, w2, w, w3 分别记为 (z1, z2 , z, z3 ) ，(w1, w2 , w, w3 )
2
2i
则得圆的复数表示：
azz z z d 0,
其中a,b,c,d是实常数，
1 2
(b
ic)
是复常数。
函数 w 1 把圆映射成为 z
dww w w a 0,
即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线， 即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。
注解：
(1)、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射 成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两个 扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域， D1, D2 及 D1', D2 '，其边界分别是C及C'。
（3）、w rz 确定一个以原点为相似中心的相 似映射；
（4）、w
1 z
是由 z1
1 z
映射及关于实轴的对称
映射 w z1 叠合而得。
四、映射的性质
1、保圆性
规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无 穷大的圆。 定理6.6 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射 成圆。
3分式线性映射资料
C
P . . o
r
OP : OT OT : OP
OP OP OT 2 r 2
13
1 1 i 设 z re , 则有 w1 e , z r
i
1 i w w1 e , r
从而 w1 z 1. 故可知: z与w1是关于单位园周z 1的对称点
33
四、分式线性映射的确定
az b 分式线性映射w (ad bc 0) cz d
含有三个独立的常数, 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 定理4
在 z 平面上任意给定三个相异的点 z1 , z2 , z3 ,
在 w 平面上也任意给定三个相异的点 w1 , w2 , w3 ,
i
1 ( 3) w rz , (4) w . z
由于前三种函数可以构 成整式线性映射, 因此分式线性映射可以 分解为整式线性映射 1 与w 的复合. z
7
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见, 令w平面与z平面重合)
1. w z b 平移映射 在此映射下, z沿向量 b (即复数 b所表示的向量)
C的像曲线的一对对称点 .
即：分式线性映射具有保对称性
32
是过w 1与w 2的任意一个圆，则其原 像 证明：设 Γ
C是过z 1与z2的圆，由z 1与z2关于C对称，有C与 C
正交，即过w 1与w 2任意圆 正交，由保角性Γ与 Γ
与Γ正交，因此对称.
az b 例4 求一分式线性映射 w 将单位圆内部 cz d 变为上半平面.
1 1 当z , 令 , u , 则有u ( ) z w b a
1 ( )在 0解析, 并且 (0) 0,因此映 a 射u ( )在 0是保形的, 并且 0时，
复变函数教程 §6-2 分式线性映射
1. 分式线性映射的定义 2. 分式线性映射的性质
1. 分式线性映射的定义
定义 映射w az b (ad bc 0) (1) cz d
称为分 ~~~式~~线 ~~~性~~映~~~射,其中a, b, c, d是复常数.
ad bc (1) w' (cz d )2
w
w1
1 ei r
o
x,u
w
w 1的几何作图
z
z
w1
r1 r
1, z与w1在同一射线上; z, w1关于 z 1对称.
1)作出点z关于圆周z 1的对称点w1.
2)作 出 点w1关 于 实 轴 对 称 的 点 即 得w(见 图).
2. 分式线性映射的性质
先讨论以上三种特殊映射的性质, 从而得
出一般分式线性映射的性质.
(1)保角性
对于(iii)w 1 的情况 z
z 1 w 1 z 1 w 1
z 1 w 1;
若arg z , arg w
因此映射w 1 通常称为反演变换
w f (z)
z
w f (z)
z 0 w ; z w 0(见第一章§2)
v y u2 v2
C : a( x2 y2 ) bx cy d 0
w1z : d (u2 v 2 ) bu cv a 0
a,d 0 a 0, d 0 a 0, d 0 a 0, d 0
圆 周C 圆 周 圆 周C 直 线 直 线C 圆 周 直 线C 直 线
cz d
cw a
则,逆映射仍为分式线性的,
§3 分式线性映射
装订线§3分式线性映射((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射))1、定义：由分式线性函数az bwcz d+=+(,,,a b c d为复常数且0ad bc-≠) ……(6.4)构成的映射，称为分式线性映射。
注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合：w z b=+，0iw zeθ=，(0)w rz r=>,1wz=因为：当0c=时,(6.4)式变为az b a bw zd d d+==+ ,可以看做(0)w rz r=>和w z b=+的复合.当0c≠时，(6.4)式变为()az b c az b ad ad acz ad bc ad a bc adw+++-++--====+它可以看作w z b=+，(0)w rz r=>,1wz=参与的复合。
((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点))(1)平移映射：w z b=+, ( b为复数) ((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))装订线同样将曲线C进行旋转θ角度。
(3)相似映射：(0)w rz r=>(4)反演映射：1wz=当点z在单位圆外部时，此时||1z>，故||1w<,即w位于单位圆内部。
当点z在单位圆内部时，此时||1z<，故||1w>,即w位于单位圆外部。
所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。
规定：反演映射1wz=将0z=映射成w=∞,将z=∞映射成0w=。
2、分式线性映射的性质1）保形性装订线定理6.5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射。
也就是说，分式线性函数在扩充复平面上既是保角的，也具有伸缩率不变性。
2）保圆性约定：直线是作为圆的一个特例，即直线是半径为无限的圆。
定理6.6 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。
复变函数第十五讲
第十五讲《§2分式线性映射》 §2分式线性映射 一、分式线性映射定义分式线性映射是共形映射中比较简单但很重要的一类映射，它的一般形式：w az b cz dad bc =++-≠()0其中a b c d ,,,均为常数。
ad bc -≠0是为了保证映射的保角性成立而限定的。
否则dw dz ad bccz d =-+()2将有dwdz=0，这时w ≡常数，它将整个z 平面映射成w 上的一个点。
将z 解出，即得逆映射：z dz bcw aa d bc =-+----≠,(()())0 分式线性映射的逆映射也是分式线性映射。
容易知道两个分式线性映射的复合仍是分式线性映射。
任何一个分式线性映射都能分解成一些简单分式线性的复合。
设w z =++-≠αξβγδαδβγ()0用除法可以把它化为w z =-++()βαδγγδαγ1令 ξγξδξξ1211=+=,，那么w A B A B =+ξ2,(,为常数）由此可见，一个一般的分式线性映射是由下列三种分式线性映射复合而成：), ); ).1111111w z b w az w z=+== 现在来讨论这三种映射。
为了方便，我们暂且将w 平面与z 平面重合。
)1w z b =+。
这是一个平移映射。
因为复数相加可以化成向量相加，所以在映射w z b =+之下，z 沿向量b （即复数b 所表示的方向）的方向平行移动一段距离b 后，就得到w 。
),110w az a =≠。
这是一个旋转与伸长（或缩短）映射。
事实上，设z re a e i i ==θαλ,，那么w r e i =+λθα()。
因此，把z 先旋转一个角度α，再将z 伸长（或缩短）到a=λ倍后得到w （图6.6）.)1111w z=，这个映射可以分解为 w zw w 111==,为了用几何方法从z 作出w ，首先给出关于一已知圆周的对称点的概念。
定义 设C 为以原点为心，r 为半径的圆周。
第2节 分式线性映射
复变函数
2. w=az
这是一个旋转与伸长（或缩短)的映射。
事实上，设z re i ei , 那么w rei( ) .
(z)=(w) w
因此，把z先旋转一个角度a，
再将 |z| 伸长(或缩短）到
z
|a|= 倍后， 就得到w 右图. o
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线性映射。
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复变函数 二、 分式线性映射的分解
设有线性映射 w ( 0) 把它化为
( ) ( )
w
( ) 1
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复变函数
3. w=1\z
先讨论 圆C的一对对称点。
T
如果有两点p 和p'满足关系式 r
op op r 2 那么我们就称这 O P
P
两点为关于圆周C的对称点。此外，我们规定，
无穷远点的对称点是圆心O 。
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复变函数
将映射w 1 z
分解为w1
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复变函数
这表明z'. 在C上，而Γ的切线就是C的半径， 因此Γ与C正交。
(充分性) 设是经过z1 z2 且与C正交的任一圆周， 那么连接z1与z2 的直线作为 的特殊情形。
（半径为无穷大的圆）必与C正交， 因此必过z0 。
又因 与C于交点z’处正交，因此C的半径z0 z' 就是 的切线。
反演映射
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第二节 分式线性变换(映射)
第二节 分式线性变换（映射）本节以及下一节，我们将介绍保形变换中两类基本的保形变换---分式线性变换和某些初等解析函数构成的保形变换---及其简单的应用．一、分式线性变换及其分解 （一）分式线性变换形如：az bw cz d+=+（其中0a b ad bc c d =-≠）的变换称为分式线性变换，简记为L()w z =．注：10 分式线性变换中，系数满足的条件不可少，否则，0a b ad bc c d=-=，即a bk c d= ，必将导致L()z k ≡为常数，显然它不可能构成保形变换．20 为研究的方便，在扩充平面上，我们对分式线性变换L()w z =补充定义如下：（·）当0c ≠时，补充定义L()d c-=∞，L()a c∞=； （··）当0c =时，补充定义L()∞=∞．则分式线性变换就成为整个扩充平面上线性变换．30 补充定义后，分式线性变换成为整个扩充z 平面与整个扩充w 平面之间的一一变换，即它在整个扩充z 平面上是单叶的，换言之，它将扩充z 平面单叶地变成扩充w 平面．事实上，在扩充平面上，分式线性变换L()az bw z cz d+==+具有单值的逆变换dw bz cw a-+=-．40 根据保域性定理（定理1）的推广，分式线性变换L()w z =在扩充平面上具有保域性．50 易知，分式线性变换与分式线性变换的复合仍为分式线性变换．（二）分式线性变换的分解（分式线性变换的四种基本形式）分式线性变换L()w z =总可以分解成下面四种简单变换的复合： （Ⅰ）i w e z θ= ------------------ 称为旋转变换； （Ⅱ）w r z =⋅ ------------------ 称为伸缩变换； （Ⅲ）w z h =+ ------------------ 称为平移变换； （Ⅳ）1w z= ------------------ 称为反演变换． 事实上，当0c =时，分式线性变换变为a b w z dd=+， 记i a re dθ=，它又变为()i bw r e z dθ=+， 显然，它是由下面三个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的变换i e z θξ=，r ηξ= 和 bw dη=+， 复合而成．当0c ≠时，分式线性变换可变形为21()1()1az b c az b a cz d bc ad a bc ad w d cz d c cz d c cz d c c z c++++--==⋅=⋅=+⋅++++， 记 2i bc adre cθ-=，它还可变形为211()i a bc ad a w r e d d c c c z z c cθ-=+⋅=+⋅++．显然，它是由下面五个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）的变换d z c ξ=+，1ηξ=，i e θςη=，r ζς=和aw cζ=+，复合而成．上面的四种变换中（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）可合并成形如w kz h =+（0k ≠）的分式线性变换，称为整线性变换．为了弄清楚分式线性变换的几何性质，下面，我们分别考察上述四种简单变换的几何意义．对于变换（Ⅰ）：它是将平面上的点z 绕原点按逆时针或顺时针（视θ的正负而定）旋转θ角；对于变换（Ⅱ）：它是将平面上的点z 沿z 的方向扩大或缩小（视r 大于1还是小于1而定）r 倍；对于变换（Ⅲ）：它是将平面上的点z 平移一个向量h ；图7.7（线性变换的示意图）可见，上述三种变换的一个共同特点是保持平面上图形的形状不变，图形的方向也不变，因此，这三种变换都是保持平面图形方向不变的相似变换，另外，由于相似变换的复合仍是相似变换，所以整线性变换w kz h =+（0k ≠）也是保持平面图形方向不变的相似变换．对于变换（Ⅳ）：它可以分解成下面两个更简单的变换的复合，1ω= ------ 称为关于单位圆周的对称变换，其中z和ω称为关z于单位圆周的点；= ------ 称为关于实轴的对称变换，其中ω和w称为关于实wω轴的对称点．可见，反演变换（Ⅳ）是通过两个对称变换的复合而成，此时原象点z和象点w之间的关系可通过图7.8所示的几何方法来实现．图7.8（反演变换的示意图）关于单位圆周1z=的对称点的补注：10 补充关于单位圆周1z=对称点的定义：若点z和ω都在从圆心z=的两侧（即一点在圆周z=出发的同一条射线上，分属于圆周1z=的内部，另一点在圆周1z=的外部），并且它们到圆心的距离的1乘积等于1（即1z=对称，点zzω⋅=），则称点z和ω关于单位圆周1和ω也称为关于单位圆周1z=的对称点．20 设点z和ω关于单位圆周1z=对称，由于它们都在从圆心0z=出发的同一条射线上，且1zω⋅=，从而它们的幅角相等，记i=，z reθ于是1111i i i i e e e z r re z θθθθωω-=⋅=⋅=⋅==， 即1zω=--------对称点的计算公式． 30 规定：圆心0z =和∞是关于单位圆周1z =的对称点． 40 关于单位圆周1z =的对称点的几何作法：（如图7.8）先过点z 作射线oz 的垂线与圆周交于一点A ，再过点A 作圆周1z =的切线与射线oz 交于一点ω，则ω就是点z 关于单位圆周1z =的对称点． 例 1 证明：除恒等变换外，一切分式线性变换在扩充平面上恒有两个相异的或一个二重的不动点（即将自己变成自己的点称为不动点）． 证明 设分式线性变换为 az bw cz d+=+，其中0ad bc -≠．由不动点的含义，其不动点必满足方程 az bz cz d+=+，即2()0cz d a z b +--= ------------------(*) 如果方程（*）的系数全为零，则az bw z cz d+==+为恒等变换，与题设矛盾，故方程（*）的系数必不全为零．下面分两种情况证明：（1）若0c ≠，则方程（*）有两根 1,2z =2()4a d bc ∆=-+当0∆≠时，方程（*）有两个相异的根，即az bw cz d+=+有两个相异的不动点1z 和2z ；当0∆=时，方程（*）有两个相等的根，即az bw cz d+=+有一个二重的不动点2a dz c-=． （2）若0c ≠，则方程（*）变为 ()0d a z b --=，此时az bw cz d+=+变为a b w z dd=+．当0d a -≠时，方程（*）有一个根 b z d a =-，即az bw c z d+=+有一个不动点bz d a =-，显然z =∞也是不动点． 故az b w cz d +=+仍有两个不动点bz d a=-和z =∞．当0d a -=时，此时0b ≠，方程（*）的根形式上变为bz d a==∞-，即az b w cz d +=+的不动点也变为b z d a ==∞-，因此，z =∞成为az bw cz d+=+的二重不动点，即az bw cz d+=+有一个二重不动点z =∞．注：归纳例1结论，关于分式线性变换az bw cz d+=+（其中0ad bc -≠）的不动点，我们有如下结果：Ⅰ、当0c ≠时，它仅有有限不动点而无无穷不动点∞．进一步，当2()40a d bc ∆=-+≠时，它有两个相异的有限不动点； 当2()40a d bc ∆=-+=，它有一个二重有限不动点． Ⅱ、当0c =时，它必有无穷不动点∞．进一步，当a d ≠时，它还有一个有限不动点；当a d =，0b ≠时，它没有有限不动点，此时∞是二重不动点； 当a d =，0b =时，此时变换成为恒等变换w z =，扩充平面上的任何点都是不动点．例2 求下列分式线性变换的不动点： （1）11z w z +=-； （2）311z w z -=+； （3）1w z =+； （4）w kz =（0k ≠）． 解（1）设z 为此变换的不动点，则z 满足11z z z +=-，即2210z z --=．解得1z =-+1z =-．即为此变换的两个相异的不动点（没有无穷不动点）．（2）设z 为此变换的不动点，则z 满足311z z z -=+，即 2210z z --=．显然，此方程有两个相等的根1z =，即1z =为此变换的二重不动点（没有无穷不动点）．（3）根据例1的结论，由于0c =，1a d ==，10b =≠，所以，此变换仅以∞为不动点，且为二重不动点（只有无穷不动点，而没有有限不动点）．（4）显然，当1k ≠时，在此变换下0变成0，∞变成∞，则此变换有一个有限不动点0z =和一个无穷不动点z =∞（既有一个有限不动点，也有一个无穷不动点）．当1k =时，此变换为恒等变换。
第四节 分式线性映射
1 所以当z在单位圆内 (外 )时w 在单位圆外 z 图7-16 1 (内),当z在上(下 )半平面时w 在下(上 )半 z dw 1 1 平面,当z 0时 2 0, 所以当z 0时反演映射w dz z z 是共形映射, 如果规定两条伸向无穷 远点的曲线在无穷远 1 点的交角等于它们由反 演映射w 所映成的过原点 w0 z
的任一圆周K '都与 '正交.设K '的原像为K ,由性质2知它 是z平面的圆周通过点 z1与z2 ,因z1与z2 关于圆周对称, 故 由引理知K与正交, 又因分式线性映射具有 保角性, 故它 们的像K 与 也正交, 再由引理知w1和w2 关于 对称.
' ' '
把性质3说成分式线性映射具有 保对称性.
今后将把图7 16(a )这样由两圆弧围成的区 域称为" z 二圆域" ,因此根据边界对应原理 ,w k 把二圆域 z 映射为顶点在原点的角 形域.此外还应注意,因为直线段 被看作扩充复平面的圆 弧, 所以诸如半圆内部或半 圆外 部等也是二圆域.
例2 : 中心分别在z 1与z 1, 半径为 2的二圆弧所 zi 围成的区域(图7 17), 在映射w 下映成何区域? zi [解 ] 所设两个圆弧的交
a b a1 b1 a2 b2 c d c d c d 1 1 2 2 因此 ad bc (a1d1 b1c1 )(a2d 2 b2c2 ) 0.
(4.3)
定理1 分式线性映射(4.1)可由平移、 旋转、 伸缩和反 演四种变换复合得到 , 分式线性映射的复合仍 为分式线 性映射.
§6.2 分式线性映射
a c
bc ad c2
z
1 d
记
bc ad c2
rei
c
则上式可分解为以下映射的有限次复合
z, ei z , rz, 1
z
下面分别讨论这四类映射：
（1） z
设 uiv, z xiy, b1 ib2,
则映射化为
u
v
x y
b1 b2
平移公式
（2） ei z 为实数
D 0时为直线
说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。
定理6.7 分式线性映射将扩充 z 平面上的
圆周映射成扩充 平面上的圆周。(保圆性)
3、保对称性
引理6.1 点 z 1 与 z 2 关于圆周 C 对称的充分 必要条件是， 经过 z 1 与z 2 的所有圆周都与 圆周 C 正交。（证略）
定理6.8 设点 z 1 与z 2 是关于圆周 C 的一对
对称点， 则在分式线性映射下，它们的像
点 1 与 2 是关于 C 的像曲线 的对称点。
（证略）
先求 z 关于单位圆周 z 1 的对称点 1，
再求 1关于实轴的对称点， y
z
即得 。
C
1
O
x
Hale Waihona Puke 三、分式线性映射的性质1、保角性
对于映射z、 ei z 、 kz
显然在 z时导数非零，是保角的。 对于反演映射 1 ，显然在 z 0 ， z
z 时，导数非零，是保角的。
下面定义两条曲线在无穷远点的夹角：
先给出关于圆周的对称点的定义：
设 C 为以原点 O 为圆心， r 为半径的圆周。
在以圆心为起点的射线上，
若有两点 P 与 P ，满足 C
6-3分式线性映射
证 设 w az b (ad bc 0) 将相异点 cz d
zk (k
1,2,3)
依次映射成
wk
azk czk
b d
(k
1,2,3)
所以
w
wk
(z zk )(ad bc) , (cz d )(czk d )
(k 1,2)
w3
wk
(z3 zk )(ad bc) , (cz3 d )(czk d )
分式线性映射的逆映射, 也是分式线性映射.
3) w ( 0) z ( 0) z
w az b ((ad bc ( )( ) 0))
25
例 2 求实轴在映射w 2i 下的像曲线. zi
在实轴上取三点 z , 0, 1 对应像点分别为 w 0, 2, 1 i 像曲线为 w 1 1
26
w
2i
2(
1
ห้องสมุดไป่ตู้
i
)e 2
zi zi
分解映射
z1 z i,
z2
1 z1
,
z3 2z2 ,
i
w z3e 2
因此, 把z转一个角度 0 就得到 w.
(z) (w)
w
0 z
o
9
3. w rz 相似映射 设 z ei 那末 w rei ,
因此，将 z 伸长(缩短)到
z的r倍后, 就得到w.
(z) (w)
w
z o
10
4. w 1 反演映射 z
分式线性变换及其映射性质
当四点中有一点为,应当将包含此点项用1代替. 如:z1 ,即有
1 1 (, z2 ,z3 ,z4 )= : . z4 z2 z3 z2
定理6.2.2 对于扩充z上任意三个不同的点 z1 , z2 , z3以及扩充w平面上任意三个不同的点w1 , w2 , w3 ,
存在唯一的分式线性函数, 把z1 ,z2 ,z3分别映射成 w1 , w2 , w3 .
~~~~~~~~
P'
x
~~~~~~~~~~~~~~~~~
规定无穷远点的对称点为圆心o
T
设给定圆C :| z z0 | R(0 R )，如果两个有限点 z1与z2在过点z0的同一条射线上, 且 |z1 z0 | | z2 z0 | R 2 . 则称z1与z2为关于圆C的对称点.
w w1 w3 w1 z z1 z3 z1 : : . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2 w w1 z z1 z3 z1 : . w w2 z z2 z3 z2
(6.2.4) (6.2.5)
上两式左右两边分别称为w1 , w2 , w3及z1 ,z2 ,z3的交比, 记作( w1 , w2 , w3 , w)及( z1 , z2 , z3 , z ).
z0
z1
z2
引理6.2.1 不同两点z1与z2是关于C的对称点 通过z1与z2的任何圆与圆C直交. 证 如果C是直线或者C是半径为有限的圆, 而且 z1与z2之中有一个是无穷远点,引理显然成立.
现在考虑C :| z z0 | R(0 R ), 且 z1与z2是有限点的情形.
必要性() 设z1与z2是关于C的对称,
P'
第六章6.3分式线性映射
三、分式线性映射的几种特性
3、保对称点性
定理 设点 z1, z2关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们
P150 定理
的象点 w1, w2也关于象曲线 C 对称。
6.7
O z1 C
z2 Γ Γ
O w1 C
Γ w2 Γ
21
四、唯一决定分式线性映射的条件
分析 分式线性映射 w az b 中含有四个常数 a , b , c , d . cz d
6.3 则称 A 和 B 是关于圆周 C 对称的。
自然地，规定圆心 O 与无穷远点关于该圆周对称。
7
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
w
1 z
令 z | z |ei ,
则有
w
到
单位圆外(或内)，且辐角反号。
结论
w
1 z
是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。
zi
解
方法一 分解为四种简单映射
πi
w 2 2e 2
1
.
zi
1
πi
z zi
平移
z1
z1 倒数
z2
e 2 z2
旋转
z3
2z3 相似
z4
z4 2 平移
w
i
πi
e 2 z2
旋转
2i
zi 平移
2z3 相似 1
1 z1
倒数
z4 2 平移
2i 1
12
例 求直线 C {z : Imz 1} 在映射 w 2z 下的像曲线。 zi
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射，
而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。
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代入z平面圆方程得其象曲线方程 代入 平面圆方程得其象曲线方程: 平面圆方程得其象曲线方程
d ( u 2 + v 2 ) + bu − cv + a = 0.
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性. 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性
3) 分式线性映射
az + b w = f (z) = (ad − bc ≠ 0) cz + d 1 因为映射由 w = , w = az + b (a ≠ 0) 复合而成 . z 定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射 定理二 分式线性映射将扩充 平面上的圆周映射
(1) w = z + b ,
( 2) w = az ,
αζ + β 对w= 的研究可化为对以上映 射的研究 . γζ + δ
1 ( 3) w = . z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
的方向平移一段距离 b 后, 就得到w.
(z) ≡ (w)
w
b
o
z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
变换的复合 .
思考题答案
1 z1 = z + i , z2 = , z3 = −( 3 + 4i ) z2 , w = z3 − 3i . z1
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默比乌斯资料
August Möbius
Born: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony (now Germany) Died: 26 Sept 1868 in Leipzig, Germany
az + b 2. w = 经变形得 : cz + d
cwz + dw − az − b = 0
默比乌斯
对每一个固定的w, 此式关于z是线性的 是线性的;对每一 对每一个固定的 此式关于 是线性的 对每一 个固定的z, 此式关于w也是线性的 也是线性的, 个固定的 此式关于 也是线性的 因此称上式 是双线性的. 分式线性映射也称双线性映射 双线性映射. 是双线性的 分式线性映射也称双线性映射
ζ
在ζ = 0处共形 , 处共形
综上所述 即 : w = az + b在z = ∞处共形 . 综上所述:
映射 w = az + b在扩充复平面上是处处 共形的.
定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一对 应的， 应的，且具有保角性
3. 保圆性 所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为 圆周的性质. 圆周的性质. 特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周 特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周. 1) 映射 w = az + b ( a ≠ 0) 特点: 特点 将 z平面内一点 z0经平移旋转伸缩而得到
1 同理 : 映射 z = 在 w = ∞处是共形的 . w 1 所以映射 w = 在 z = 0处是共形的 . z 综上所述知: 综上所述知
1 射w= 映 w= 在 充 平 上 处 是 形 . 射 = 扩 复 面 是 处 共 的 z
( 2) 考察 w = f ( z ) = az + b ( a ≠ 0)
因为 Γ 与 C正交 , 而分式线性映射具有保 角性 ,
所以 Γ′ 与 C ′ ( C 的象 ) 必正交 .
因此 , w1与w2是一对关于 C ′的对称点.
[证毕 证毕] 证毕
小知识 1. 分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯 (1790~1868)研究 所以也称为默比乌斯映射 研究, 默比乌斯映射. 研究 所以也称为默比乌斯映射
2.保角性 2.保角性
1 (1) 考察 w = z 1 因 w′ = − 2 ，所以除去 z = 0与z = ∞ ,映射是共形的 . z
若规定: 两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处 规定 1 的交角, 的交角 等于它们在映射 w = 下所映成的通过 z 圆点的两条象曲线的交角. 圆点的两条象曲线的交角 1 那么映射 w = 在 z = ∞处是共形的 . z
1 例如: 例如 映射 w = 将z = ∞映射成 w = 0, z
即当 z = ∞时, w = 0.
1 1 如果把 w = 改写成 z = , z w
可知当 w = ∞ 时, z = 0.
结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应 结论 分式线性映射在扩充复平面上一一对应. 分式线性映射在扩充复平面上一一对应
四、小结与思考
分式线性映射是一类比较简单而又很重要的 共形映射,应熟悉分式线性映射的分解和复合 共形映射 应熟悉分式线性映射的分解和复合, 及 应熟悉分式线性映射的分解和复合 其保角性、保圆性和保对称性. 其保角性、保圆性和保对称性
思考题
3z + 4 , 试将其分解为简单 已知映射 w = iz − 1
对称点的定义: 对称点的定义 为以原点为中心, 为半径的圆周. 设C为以原点为中心 r为半径的圆周 在以 为以原点为中心 为半径的圆周
圆心为起点的一条半直 线上, 如果有两点 P与 P ′
满足关系式
OP ⋅ OP ′ = r 2 ,
那末就称这两点为关于这圆周的对称点 那末就称这两点为关于这圆周的对称点. 对称点 规定: 规定 无穷远点的对称点是圆心O.
平面上的圆周, 成扩充w平面上的圆周 即具有保圆性 扩充 平面上的圆周 即具有保圆性. 说明: 说明: 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无 穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周; 穷远点 那末它就映射成半径为有限的圆周 如果 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线. 有一个点映射成无穷远点 那末它就映射成直线
因为 f ′( z ) = a ≠ 0, 所以当 z ≠ ∞时,映射是共形的 . 映射是共形的 1 ζ , 若令 ζ = ,η = z a + bζ
则 w = az + b 成为 η =
a + bζ 1 = ≠0 a
ζ
在ζ = 0处解析 , 且η ′(ζ ) ζ = 0 因而 η = a + bζ
象点 w0 .
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性. 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性Βιβλιοθήκη 1 2) 映射 w = z
平面上圆方程为: 若z平面上圆方程为 a ( x + y ) + bx + cy + d = 0 平面上圆方程为 1 令 z = x + iy , w = = u + iv , z 1 u −v = u + iv 即 x = 2 有 ,y= 2 2 x + iy u +v u + v2
因此 C的半径 z0 z′ 就是 Γ的切线.
则
z2 − z0 ⋅ z1 − z0 = R 2 ,
即
z1与 z 2是关于圆周 C 的一对对称点 .
结论
z1 , z2 是关于圆周 C : z − z0 = R的一对对称点的
充要条件是: 充要条件是 经过 z1 , z2的任何圆周 Γ与 C正交.
定理三 定理三
第二节
分式线性映射
一、分式线性映射的概念 二、几种简单的分式线性映射 三、分式线性映射的性质 四、小结与思考
一、分式线性映射的概念
az + b w= ( ad − bc ≠ 0, a , b, c , d均为常数 .) cz + d
称为分式线性映射 称为分式线性映射. 分式线性映射 说明: 说明
小知识
4) 分式线性映射
αζ + β αδ 1 α w= = β − + γζ + δ γ γζ + δ γ
令ζ 1 = γζ + δ ,ζ 2 = 1
ζ1
, 则w = Aζ 2 + B( A, B为常数 )
一个一般形式的分式线性映射是由下列三种 特殊的简单映射复合而成: 特殊的简单映射复合而成
4. 保对称性 对称点的特性
C
z.′
z0 z1
. .
Γ
设 z1 , z2是关于圆周
.
z2
C : z − z0 = R的一对对称点,
从 z0作 Γ 的切线 , 切点为 z ′. 显然 z0 z2是Γ的割线.
′ − z0 = z2 − z0 ⋅ z1 − z0 = R 2 , 因为 z
2
所以 z′ − z0 = R.
作图: 作图 的切线PT, 由T作OP的垂 设P在C外, 从P作C的切线 在 外 作 的切线 作 的垂
线 TP ′与 OP交于 P ′, 那么 P与 P ′即互为对称点 .
.T
∆OP ′T ~ ∆OTP
.P
C
. .P ′ o
r
OP ′ : OT = OT : OP
OP ⋅ OP ′ = OT 2 = r 2
1) ad − bc ≠ 0的限制，保证了映射的 保角性. 的限制，
dw ad − bc 0, 有w ≡ 常数. 否则, 否则 由于 = 2 = dz (cz + d )
那末整个z平面映射成 平面上的一点 平面上的一点. 那末整个 平面映射成 w平面上的一点
az + b ( ad − bc ≠ 0) 2) 由 w = cz + d − dw + b z= (ad − bc ≠ 0) cw − a