最新初中数学课件：一元二次方程的根的判别式
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人教版九年级数学上册《解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式》教学课件
2
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
一元二次方程根的判别式(ppt课件)
练习4：关于x的方程(a－1)x2－2x＋1＝0有实数根，求a
的取值范围
解：①当原方程是一元一次方程时 则有a-1=0，a=1
②当原方程是一元二次方程时 则有Δ≥0，（a-1）≠0
b2-4ac=（-2）2-4×（a-1）×1≥0，a≠1 解得：a＜2且a≠1.
【类型三】运用根的判别式判断三角形的形状
(1)2x2＋3x－4＝0； 有两个不相等的实数根
(2)x2－x＋1＝0；
4
有两个相等的实数根
(3)x2－x＋1＝0.
无实数根
练习 2：不解方程，判断下列方程根 的情况
(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. (2)(x－5)(x－6)＝x－5. (3)4x2＋4x＋10＝1－8x.
有两个不相等的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根
课
有两个不__相__等__的__实数根， (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
堂
有__俩__个__相__等__的__实数根。 (3)b2 － 4ac<0⇔ 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝
小
0(a≠0)解决问题时，如果二次项系数中
（4）由于 a≠0，方程 ax2＋bx＋c＝0
移项，得：ax2＋bx＝－c
二次项系数划为 1：x2＋bx＝－c， aa
b
b
配方，得：x2＋bx＋
2a
2＝－
c
＋
2a
2，
a
a
b
x＋ 2a
2＝b2－4ac，
4a2
可以看出
只有当b²-4ac≥0时，方 程才有实数根，这样b²-
4ac就决定着一元二次方
人教版九年级数学课件《一元二次方程根的判别式》
典例解析
人教版数学九年级上册
例3 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9;
(3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
解：(2m+1)2 －4 (m−2)2 ≥0
4m2 ＋4m＋1－ 4m2 ＋16m－16≥0
20m≥15
m≥ 34 又∵ (m−2)2 ≠0 ∴m≠2 ∴m≥ 34 且m≠2
针对练习
人教版数学九年级上册
7.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程 x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， 所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
=4m2-4m+1-4m2+4m=1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解方程x2-（2m-1）x+m2-m=0
得x=m或x=m-1，
∵a＞b，m＞m-1，
17.3一元二次方程的根的判别式课件(共14张PPT)
系数含有字 母的方程
8k 2 4k 2 4k 2
∵ k 2 0,4k 2 0，即 0,
方程有两个实数根.
不解方程，判别关于 x 的方程 a2x2 ax 1 0a 0
的根的情况.
解： (a)2 4a2 (1) 5a2,且a 0 5a2 0,即 0 所以，原方程有两个不相等的实数根。
课堂小结
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ：
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根.
反之，同样成立！
b2 4ac 0
3)带入求根公式 x b b2 4ac
计算方程的根
2a
温故而知新
一般地，对于一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
如果b2 4ac 0，那么方程的两个根为
b b2 4ac x
2a
合作探究
活动：探究一元二次方程根的判别式 如何把一元二次方a程x2 bx c 0(a 0)
写成 （x+h)2=k 的形式？
ax2 bx c 0
配方法
x2 b x c 0 aa
x2 b x c aa
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
数学衔接课程专题 一元二次方程根的判别式(共7张PPT)
4．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： (1)3x2－2x－1＝0；
解：Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根
(2)x2＋3＝2 2x；
解：Δ<0，∴方程没有实数根
(3)16y2＋9＝24y.
解：Δ＝0，∴方程有两个相等的实数根
知识点二：根据根的情况，确定字母系数的取值范围
5．(2014·广东)关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋m＝0 有两个不相
(2)当Δ＝0时，原方程有_____两_个__相___等___实数根，其根为x1＝x2＝ ____－__2b_a_____．
(3)当Δ<0时，原方程____没__有___实数根． 注意：在运用一元二次方程根的判别式时，要注意二次项系数
a____≠__0__的条件．
知识点一：不解方程，判断根的情况
1．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D )
等的实数根，则实数 m 的取值范围为( B )
A．m>94
B．m<94
C．m＝94
D．m<－94
6．(易错题)(2014·益阳)一元二次方程 x2－2x＋m＝0 总有实数根，
则 m 应满足的条件是( A．m>1
D)
B．m＝1
C．m<1
D．m≤1
7．(易错题)关于 x 的一元二次方程(a＋1)x2－4x－1＝0 有两个不相等的
(3)x2－2mx＋2m－1＝0； 解：Δ＝4(m－1)2≥0，∴方程有两个实数根
(4)12x2－mx＋m－4＝0. 解：Δ＝(m－1)2＋7>0，∴方程有两个不相等的实数根
3．已知关于 x 的方程 x2－(2k＋1)x＋4(k－12)＝0，求证：这个方 程总有两个实数根．
一元二次方程根的判别式ppt课件
2.3 一元二次方程根的判别式
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
一元二次方程根的判别式课件(人教版)
x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
一元二次方程根的判别式课件PPT
02
当$Delta > 0$时，方程 有两个不相等的实根。
03
当$Delta = 0$时，方程 有两个相等的实根（重 根）。
04
当$Delta < 0$时，方程 没有实根（虚根）。
判别方程的根的性质
01
02
03
04
判别根的性质：根据判别式的 值，可以判断方程的根的性质
。
当$Delta > 0$时，方程有两 个不相等的实根，且为实数。
结论阶段
根据判别式的符号，得出方程根的 判断结果。
06
判别式的应用实例
判别实根的实例
判别实根
通过判别式判断一元二次方程是否具有实根，当判别式大于0 时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两 个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根。
实例
对于方程$x^2 - 2x + 1 = 0$，判别式$Delta = b^2 - 4ac = 4 - 4 = 0$，因此方程有两个相等的实根$x_1 = x_2 = 1$。
判别根的个数
通过判别式判断一元二次方程的根的个数，即一元二次方程的解的个数。
实例
对于方程$x^2 - 2x + 3 = 0$，判别式$Delta = b^2 - 4ac = 4 - 12 = -8 < 0$，因此方程没有实根，即该一元 二次方程无解。
THANKS
感谢观看
判别式的证明方法
代数证明
通过代数运算和等式的变 形，证明判别式与方程根 的关系。
几何证明
利用数形结合的思想，通 过几何图形直观地解释判 别式的意义。
实际应用证明
通过解决实际问题，展示 判别式的实用价值。
一元二次方程根的判别式公开课课件
一元二次方程根的判别式公开课课 件
目 录
• 一元二次方程根的判别式的基本概念 • 一元二次方程根的判别式的应用 • 一元二次方程根的判别式的证明 • 一元二次方程根的判别式的扩展 • 一元二次方程根的判别式的练习题与解析
01 一元二次方程根的判别式 的基本概念
定义与公式
定义
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac，其中a、b、c分别是一元二次方程ax² + bx + c = 0的系数。
题目15
已知一元二次方程$7x^2 - x - 8 = 0$，求该方程的根。
进阶题目解析
题目16
已知一元二次方程$8x^2 + x 7 = 0$，判断该方程的根的情况。
题目17
已知一元二次方程$9x^2 - x 10 = 0$，求该方程的根。
题目18
已知一元二次方程$10x^2 + x 9 = 0$，判断该方程的根的情况。
求解一元二次方程
通过判别式，可以判断一元二次方程实 数根的个数，进而求解方程。
VS
解决实际问题
判别式可以用于解决一些实际问题，例如 判断某个事件是否会发生，或者预测某个 结果的可能性。
判别式的实际应用案例
物理学中的应用
在物理学中，判别式可以用于解决一些与二 次方程相关的问题，例如物体运动轨迹、振 动等问题。
进阶题方程$3x^2 - x - 4 = 0$，求该方程 的根。
题目12
已知一元二次方程$4x^2 + x - 3 = 0$，判断该 方程的根的情况。
进阶题目解析
题目13
已知一元二次方程$5x^2 - x - 6 = 0$，求该方程的根。
题目14
已知一元二次方程$6x^2 + x - 5 = 0$，判断该方程的根的情况。
目 录
• 一元二次方程根的判别式的基本概念 • 一元二次方程根的判别式的应用 • 一元二次方程根的判别式的证明 • 一元二次方程根的判别式的扩展 • 一元二次方程根的判别式的练习题与解析
01 一元二次方程根的判别式 的基本概念
定义与公式
定义
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac，其中a、b、c分别是一元二次方程ax² + bx + c = 0的系数。
题目15
已知一元二次方程$7x^2 - x - 8 = 0$，求该方程的根。
进阶题目解析
题目16
已知一元二次方程$8x^2 + x 7 = 0$，判断该方程的根的情况。
题目17
已知一元二次方程$9x^2 - x 10 = 0$，求该方程的根。
题目18
已知一元二次方程$10x^2 + x 9 = 0$，判断该方程的根的情况。
求解一元二次方程
通过判别式，可以判断一元二次方程实 数根的个数，进而求解方程。
VS
解决实际问题
判别式可以用于解决一些实际问题，例如 判断某个事件是否会发生，或者预测某个 结果的可能性。
判别式的实际应用案例
物理学中的应用
在物理学中，判别式可以用于解决一些与二 次方程相关的问题，例如物体运动轨迹、振 动等问题。
进阶题方程$3x^2 - x - 4 = 0$，求该方程 的根。
题目12
已知一元二次方程$4x^2 + x - 3 = 0$，判断该 方程的根的情况。
进阶题目解析
题目13
已知一元二次方程$5x^2 - x - 6 = 0$，求该方程的根。
题目14
已知一元二次方程$6x^2 + x - 5 = 0$，判断该方程的根的情况。
《一元二次方程根的判别式》PPT课件
87、活鱼会逆流而上，死鱼才会随波 逐流。 88、钕人总是把男人的谎言当作誓言 去信守 。
89、任何业绩的质变都来自于量变的 积累。 90、要战胜恐惧，而不是退缩。
91、推销产品要针对顾客的心，不要 针对顾 客的头 。 92、无论做什么，记得是为自己而做 ，那就 毫无怨 8、相信所有的汗水与眼泪，最后会化 成一篇 山花烂 漫。
例1 不解方程,判断下列方程根的情况.
（1）2x23x10 （2）x2 2 2x 2 0 （3）5x27x50 （4）kx2(2k1)xk10(k0)
（1）2x23x10
（2） x2 2 2x 2 0
（3）5x27x50 （4）kx2(2k1)xk10(k0) 解（1）(3)2421980 ∴方程（1）有两个不等的实根.
356
Ⅰ观察两根之和,两根之积与a、b、c的关系; Ⅱ两根之和一次项系数的相反数; 两根之积常数项.
Ⅲ推广 方程ax2bxc0(a0 b24ac0)
变形为 x2 b x c 0
aa
由求根公式
x1 b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
x2
2a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
53、勇士搏出惊涛骇流而不沉沦，懦 夫在风 平浪静 也会溺 水。 54、好好管教自己，不要管别人。
55、人的一生没有一帆风顺的坦途。 当你面 对失败 而优柔 寡断， 当动摇 自信而 怨天尤 人，当 你错失 机遇而 自暴自 弃的时 候你是 否会思 考：我 的自信 心呢？ 其实， 自信心 就在我 们的心 中。 56、失去金钱的人损失甚少，失去健 康的人 损失极 多，失 去勇气 的人损 失一切 。 57、暗自伤心，不如立即行动。
52、若不给自己设限，则人生中就没 有限制 你发挥 的藩篱 。 53、希望是厄运的忠实的姐妹。 54、辛勤的蜜蜂永没有时间悲哀。 55、领导的速度决定团队的效率。
89、任何业绩的质变都来自于量变的 积累。 90、要战胜恐惧，而不是退缩。
91、推销产品要针对顾客的心，不要 针对顾 客的头 。 92、无论做什么，记得是为自己而做 ，那就 毫无怨 8、相信所有的汗水与眼泪，最后会化 成一篇 山花烂 漫。
例1 不解方程,判断下列方程根的情况.
（1）2x23x10 （2）x2 2 2x 2 0 （3）5x27x50 （4）kx2(2k1)xk10(k0)
（1）2x23x10
（2） x2 2 2x 2 0
（3）5x27x50 （4）kx2(2k1)xk10(k0) 解（1）(3)2421980 ∴方程（1）有两个不等的实根.
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Ⅰ观察两根之和,两根之积与a、b、c的关系; Ⅱ两根之和一次项系数的相反数; 两根之积常数项.
Ⅲ推广 方程ax2bxc0(a0 b24ac0)
变形为 x2 b x c 0
aa
由求根公式
x1 b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
x2
2a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
53、勇士搏出惊涛骇流而不沉沦，懦 夫在风 平浪静 也会溺 水。 54、好好管教自己，不要管别人。
55、人的一生没有一帆风顺的坦途。 当你面 对失败 而优柔 寡断， 当动摇 自信而 怨天尤 人，当 你错失 机遇而 自暴自 弃的时 候你是 否会思 考：我 的自信 心呢？ 其实， 自信心 就在我 们的心 中。 56、失去金钱的人损失甚少，失去健 康的人 损失极 多，失 去勇气 的人损 失一切 。 57、暗自伤心，不如立即行动。
52、若不给自己设限，则人生中就没 有限制 你发挥 的藩篱 。 53、希望是厄运的忠实的姐妹。 54、辛勤的蜜蜂永没有时间悲哀。 55、领导的速度决定团队的效率。
一元二次方程的根的判别式(PPT)3-2
一元二次方程判别式
• 一复习提问： • 1、一元二次方程的标准式是什么？ • 2、一元二次方程的求根公式是什么？ • 想一想：b2-4ac的符号与ax2+bx+c=0会有关系吗？ • 做一做：用求根公式法解下列方程 • （1）x2-x-2=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2-x+1=0 • 看一看：上列三个方程的根与b2-4ac的符号有关系吗？
• （1）3x 2-4x+7=0 解：a=3，
（解2）：14xa2=+x41+1，=b0=1（，3）解2：x2- a√=62x-1=0 c=1
b=-4，c=7，
b2-4ac
b=√6，c=-1
2
b -4ac =16-4×3×7 =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实
个相等的实数根 =14＞0，所以原
数根
方程有两个不相 等的根
有什么关系？
测显示土卫六表面确有着闪烁的液体反光，尤其是几年前通过大型无线电望远镜观测的结果更证明极有可能存在液体海洋。土卫六土卫六土卫六大气的98.% 是氮气，是太阳系中惟一除了地球外的富氮星体，那里还有大量不同种类的碳氢化合物残余（包括甲烷、乙烷、丁二炔、丙炔、丙炔腈、乙炔、丙烷，以及
二氧化碳、氰、氰化氢和氦气）。这些碳氢化合物被认为来自于土卫六上层大气中的甲烷。当甲烷因为太阳辐射而发生反应就会产生浓密的桔红色烟云。土 卫六表面那像是被涂上了一层柏油的有机物沉淀叫做tholin。土卫六没有磁场保护,所以当它有时运行在土星的磁气层外时，便直接暴露在太阳风之下。这导 致大气电离并在大气上层释放出一些分子。在接近表面时，土卫六的温度大约是9K(-79.℃)。水冰在这种温度下会升华，所以大气中会有少量的水蒸气存在. 土卫六表面除；https:/// qq代刷网 ； 了覆盖全球的迷雾之外也有各种不同的云。云可能是由甲烷，乙烷或简单的有机物组成。其他稀有的复杂化 学物质是土卫六在太空外观呈现橙色的原因。年月卡西尼号飞越过土卫六照片中明亮多云的南极,但并未发现期望的甲烷存在.这令科学家们困惑,対云成分的 相关研究仍然在进行中,人们过去关于土卫六大气的知识可能需要重新书写。年卡西尼号观测大气的结果发现土卫六大气“超级旋转”，就像金星那样，其大 气要比表面旋转快很多。土星土星(张)据美国科学日报报道，西班牙格拉纳达大学和瓦伦西亚大学的物理学家们通过分析“惠更斯”探测器对土卫六的特殊 观测数据，明确地证实土卫六大气层中存在着雷电风暴等自然电活跃性活动。科学团体认为有机分子、早期生命形式可能形成于行星或卫星具有雷电风暴的 高层大气层中。自从98年，西班牙天文学家乔西·科马斯·苏拉发现土卫六具有大气层以来，在其他卫星上未曾发现过大气层的存在。他解释说，“在土卫六 上形成着具有传递运动的大气云层，因此静态电场和暴风雨状况可以形成。依据俄罗斯生物化学家亚历山大·奥帕金的理论和斯坦利·米勒的实验，土卫六具 有雷电风暴活动性的大气层可能形成有机物质和早期生命形式，该条件下通过释放电量可从无机混合物中综合形成有机化合物。表面特征编辑至年，人类对
• 一复习提问： • 1、一元二次方程的标准式是什么？ • 2、一元二次方程的求根公式是什么？ • 想一想：b2-4ac的符号与ax2+bx+c=0会有关系吗？ • 做一做：用求根公式法解下列方程 • （1）x2-x-2=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2-x+1=0 • 看一看：上列三个方程的根与b2-4ac的符号有关系吗？
• （1）3x 2-4x+7=0 解：a=3，
（解2）：14xa2=+x41+1，=b0=1（，3）解2：x2- a√=62x-1=0 c=1
b=-4，c=7，
b2-4ac
b=√6，c=-1
2
b -4ac =16-4×3×7 =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实
个相等的实数根 =14＞0，所以原
数根
方程有两个不相 等的根
有什么关系？
测显示土卫六表面确有着闪烁的液体反光，尤其是几年前通过大型无线电望远镜观测的结果更证明极有可能存在液体海洋。土卫六土卫六土卫六大气的98.% 是氮气，是太阳系中惟一除了地球外的富氮星体，那里还有大量不同种类的碳氢化合物残余（包括甲烷、乙烷、丁二炔、丙炔、丙炔腈、乙炔、丙烷，以及
二氧化碳、氰、氰化氢和氦气）。这些碳氢化合物被认为来自于土卫六上层大气中的甲烷。当甲烷因为太阳辐射而发生反应就会产生浓密的桔红色烟云。土 卫六表面那像是被涂上了一层柏油的有机物沉淀叫做tholin。土卫六没有磁场保护,所以当它有时运行在土星的磁气层外时，便直接暴露在太阳风之下。这导 致大气电离并在大气上层释放出一些分子。在接近表面时，土卫六的温度大约是9K(-79.℃)。水冰在这种温度下会升华，所以大气中会有少量的水蒸气存在. 土卫六表面除；https:/// qq代刷网 ； 了覆盖全球的迷雾之外也有各种不同的云。云可能是由甲烷，乙烷或简单的有机物组成。其他稀有的复杂化 学物质是土卫六在太空外观呈现橙色的原因。年月卡西尼号飞越过土卫六照片中明亮多云的南极,但并未发现期望的甲烷存在.这令科学家们困惑,対云成分的 相关研究仍然在进行中,人们过去关于土卫六大气的知识可能需要重新书写。年卡西尼号观测大气的结果发现土卫六大气“超级旋转”，就像金星那样，其大 气要比表面旋转快很多。土星土星(张)据美国科学日报报道，西班牙格拉纳达大学和瓦伦西亚大学的物理学家们通过分析“惠更斯”探测器对土卫六的特殊 观测数据，明确地证实土卫六大气层中存在着雷电风暴等自然电活跃性活动。科学团体认为有机分子、早期生命形式可能形成于行星或卫星具有雷电风暴的 高层大气层中。自从98年，西班牙天文学家乔西·科马斯·苏拉发现土卫六具有大气层以来，在其他卫星上未曾发现过大气层的存在。他解释说，“在土卫六 上形成着具有传递运动的大气云层，因此静态电场和暴风雨状况可以形成。依据俄罗斯生物化学家亚历山大·奥帕金的理论和斯坦利·米勒的实验，土卫六具 有雷电风暴活动性的大气层可能形成有机物质和早期生命形式，该条件下通过释放电量可从无机混合物中综合形成有机化合物。表面特征编辑至年，人类对
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有什么关系？
一元二次方程判别式
• 猜一猜：对于一般ax2+bx+c=0 （a≠0）的根与b -24ac的 符号有会么关系？
因为ax2 +bx+c=0（a≠0）的求根公式是 x= -b±√b -24ac 2a
故对于方程ax2 +bx+c=0 （a≠0）有下列关系：
当b2-4ac≥0时，方程有两个不相等的根
有相等的实数根
一元二次方程判别式
• 小结：方程ax2+bx+c=0 （a≠0） • 1、△=b -24ac叫一元二次方程的判别式 • 当△＞0时方程有两个不相等的实数根 • 当△=0时方程有两个相等的实数根 • △＜0时方程无实数根 • 2、能灵活运用△讨论方程根的情况或知道根的情况，
能正确运用△具备的条件解出待定系数的值 • 3、能正确运用△的符号证明方程何时有不相等的实数
一元二次方程判别式
课件制作 主 讲 余小芳
一元二次方程判别式
• 一复习提问： • 1、一元二次方程的标准式是什么？ • 2、一元二次方程的求根公式是什么？ • 想一想：b2-4ac的符号与ax2+bx+c=0会有关系吗？ • 做一做：用求根公式法解下列方程 • （1）x2-x-2=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2-x+1=0 • 看一看：上列三个方程的根与b2-4ac的符号有关系吗？
以把它叫一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别 式。记作“△”读作“delta”
一元二次方程判别式
• 二、例1，不解下列方程判别下列方程的根的情况
• （1）3x 2-4x+7=0 解：a=3，
（解2）：14xa2=+x41+1，=b0=1（，3）解2：x2- a√=62x-1=0 c=1
有两个相等的根？并求出它的根 解；原方程可以整理成；2x2+（m-2）x+m-2=0 a=2, b=m-2, c=-2+m ，b2-4ac=（m-2）2 -4×2（-2+m）
据题意有m2-12m+20=0∴m1=2， m2 =10
当m=2时，x1=x2 =0；当m=10时x1=x2=-2
一元二次方程判别式
根，何时有相等的实数根，何时没有实数根的问题
谢谢观看!
THANK YOU FOR WATCHING!
x = -b+√b -24ac
1
2a
x 2=
-b-√b -24ac 2a
当b-24ac=0时，方程有两个相等的根x1=x2=
-
b 2a
当2 b2- 4ac＜0时，方程没有实数根.
一元二次方程判别式
• 反过来方程ax2 +bx+c=0有两个实数根时b2-4ac＞0 • 有两个相等的根时b2-4ac=0 • 没有实数根时b2-4ac＜0 • 由此可见b2-4ac的值决定一元二次方程的根的情况，所
相等的根∴4k+1≥0，即k≥-
1 4
若有两个相等根4k+1=0即k= - 1 4
若没有实数根则4k+1＜0即k＜ - 1 4
一元二次方程判别式
• 例4：求证： • （1）关于x的方程x2 +kx+k2+1 =0没有实数根 • （2）关于x的方程（x+a)(x-a)-x=2(x-1)总有两个不相等
一元二次方程判别式
• 课堂练习; • 1、对于方程4(m+1)x2 +2(2m-1)x=1-m (m≠-1）
• （1）方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围 • （2）方程有两个相等的实数根，求m的取值范围 • （3）方程没有实数根，求m的取值范围 • 2、已知a+c≠0，a +2b =2 c 2求证（a+c）x +2 2bx+c-a=0总
b=-4，c=7，
b2-4ac
b=√6，c=-1
2
b -4ac =16-4×3×7 ＜0
1 =所1以-4×原方4×程1=有0，两
b2-4ac =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实
个相等的实数根 =14＞0，所以原
数根
方程有两个不相 等的根
一元二次方程判别式
• 做练习：不解方程试判断下列方程的根的情况 • （1）3x 2-7x+2=0 （2）9x2+6x+1=0 • （3）2x 2-（2+√2）x+3x-2=2x-m，当m为何值时方程
• 练习：当K为何值时方程（k-2）x2 +2kx-1=0有两个相 等的实数根，并求出方程的根。
• 例3：当K为何值时，方程kx2 +（2k+1）x+k=0（k≠0）
• （1）有两个不相等的根（2）有两个相等的根
• （3）没有实数根
解：∵b2 -4ac=（2k+1）2 -4k·k=4k+1，而方程有两个不
的根。 （1）证明：∵△=b 2-4ac=k 2-4（k 2+1）= -3k -24无论 k为何实数k ≥02∴△＜0故原方程没有实数根。
（2）证明：整理原方程得 x2 -3x+2 -a2 =0 ∵△=9-4×（2-a ）2 =1+a 2 无论a为何值a ≥20 ∴ △＞0,故原方程有两个不相等的根
一元二次方程判别式
• 猜一猜：对于一般ax2+bx+c=0 （a≠0）的根与b -24ac的 符号有会么关系？
因为ax2 +bx+c=0（a≠0）的求根公式是 x= -b±√b -24ac 2a
故对于方程ax2 +bx+c=0 （a≠0）有下列关系：
当b2-4ac≥0时，方程有两个不相等的根
有相等的实数根
一元二次方程判别式
• 小结：方程ax2+bx+c=0 （a≠0） • 1、△=b -24ac叫一元二次方程的判别式 • 当△＞0时方程有两个不相等的实数根 • 当△=0时方程有两个相等的实数根 • △＜0时方程无实数根 • 2、能灵活运用△讨论方程根的情况或知道根的情况，
能正确运用△具备的条件解出待定系数的值 • 3、能正确运用△的符号证明方程何时有不相等的实数
一元二次方程判别式
课件制作 主 讲 余小芳
一元二次方程判别式
• 一复习提问： • 1、一元二次方程的标准式是什么？ • 2、一元二次方程的求根公式是什么？ • 想一想：b2-4ac的符号与ax2+bx+c=0会有关系吗？ • 做一做：用求根公式法解下列方程 • （1）x2-x-2=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2-x+1=0 • 看一看：上列三个方程的根与b2-4ac的符号有关系吗？
以把它叫一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别 式。记作“△”读作“delta”
一元二次方程判别式
• 二、例1，不解下列方程判别下列方程的根的情况
• （1）3x 2-4x+7=0 解：a=3，
（解2）：14xa2=+x41+1，=b0=1（，3）解2：x2- a√=62x-1=0 c=1
有两个相等的根？并求出它的根 解；原方程可以整理成；2x2+（m-2）x+m-2=0 a=2, b=m-2, c=-2+m ，b2-4ac=（m-2）2 -4×2（-2+m）
据题意有m2-12m+20=0∴m1=2， m2 =10
当m=2时，x1=x2 =0；当m=10时x1=x2=-2
一元二次方程判别式
根，何时有相等的实数根，何时没有实数根的问题
谢谢观看!
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x = -b+√b -24ac
1
2a
x 2=
-b-√b -24ac 2a
当b-24ac=0时，方程有两个相等的根x1=x2=
-
b 2a
当2 b2- 4ac＜0时，方程没有实数根.
一元二次方程判别式
• 反过来方程ax2 +bx+c=0有两个实数根时b2-4ac＞0 • 有两个相等的根时b2-4ac=0 • 没有实数根时b2-4ac＜0 • 由此可见b2-4ac的值决定一元二次方程的根的情况，所
相等的根∴4k+1≥0，即k≥-
1 4
若有两个相等根4k+1=0即k= - 1 4
若没有实数根则4k+1＜0即k＜ - 1 4
一元二次方程判别式
• 例4：求证： • （1）关于x的方程x2 +kx+k2+1 =0没有实数根 • （2）关于x的方程（x+a)(x-a)-x=2(x-1)总有两个不相等
一元二次方程判别式
• 课堂练习; • 1、对于方程4(m+1)x2 +2(2m-1)x=1-m (m≠-1）
• （1）方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围 • （2）方程有两个相等的实数根，求m的取值范围 • （3）方程没有实数根，求m的取值范围 • 2、已知a+c≠0，a +2b =2 c 2求证（a+c）x +2 2bx+c-a=0总
b=-4，c=7，
b2-4ac
b=√6，c=-1
2
b -4ac =16-4×3×7 ＜0
1 =所1以-4×原方4×程1=有0，两
b2-4ac =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实
个相等的实数根 =14＞0，所以原
数根
方程有两个不相 等的根
一元二次方程判别式
• 做练习：不解方程试判断下列方程的根的情况 • （1）3x 2-7x+2=0 （2）9x2+6x+1=0 • （3）2x 2-（2+√2）x+3x-2=2x-m，当m为何值时方程
• 练习：当K为何值时方程（k-2）x2 +2kx-1=0有两个相 等的实数根，并求出方程的根。
• 例3：当K为何值时，方程kx2 +（2k+1）x+k=0（k≠0）
• （1）有两个不相等的根（2）有两个相等的根
• （3）没有实数根
解：∵b2 -4ac=（2k+1）2 -4k·k=4k+1，而方程有两个不
的根。 （1）证明：∵△=b 2-4ac=k 2-4（k 2+1）= -3k -24无论 k为何实数k ≥02∴△＜0故原方程没有实数根。
（2）证明：整理原方程得 x2 -3x+2 -a2 =0 ∵△=9-4×（2-a ）2 =1+a 2 无论a为何值a ≥20 ∴ △＞0,故原方程有两个不相等的根