七年级上册奥数提高班讲义 有理数的巧算
七年级奥数培训讲义 第一章有理数
七年级奥数教学讲义七年级奥数讲义第一章《有理数》要求：掌握基本概念和基本运算技能会灵活应用运算律和运算法则解题。
同号相加号不差，绝对值要相加；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；（异号相加取绝大，大绝要把小绝压；）谁同0加谁当家，相反数相加0自夸。
遇到减法细观察，改变符号再相加。
乘除符号意义大，同正异负莫出差；谁同0乘0自夸，互为倒数1当家。
混合运算顺序化，乘方乘除再相加；运算律的好处大，合理运用能简化；分配侓，别漏乘，定符号，再相乘。
括号由里小中大，切记负号别拉下。
认真仔细基础打，长大当个科学家。
【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。
1-1⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。
（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
注：“0”的9 种说法：（1）既不是正数也不是负数的数．（2）最大的非正数．（3）最小的非负数．（4）与其相反数相等的数．（5）最小的非负整数．（6）最大的非正整数．（7）最小的自然数．（8）绝对值最小的有理数．（9）没有倒数的数．4、有理数的概念【定义】：整数与分数统称为有理数（注意：所有的有限小数和无限循环小数都可以化为分数。
）⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
七年级数学培优辅导讲义(共十讲80页)
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x 来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值．3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．。
七年级数学辅导： 有理数的巧算
有理数的巧算姓名： 日期：【知识要点】有些有理数的计算题数值较大、项数较多、次数较高、计算形式十分复杂， 解题时要抓住题目的特征，掌握一些基本方法：拆项法;倒序相加法；错位相减法；换元法；分类讨论法等.（倒序相加法与错位相减法的实质是一样的） (1）()11+n n 型裂项公式：()11111+-=+n n n n ．（2）)(1k n n +型裂项公式：⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1（3）)(k n n k +型裂项公式：kn n k n n k +-=+11)(．（4）)2)((1k n k n n ++型裂项公式：)2)((1k n k n n ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+)2)((1)(121k n k n k n n k（5）)2)((2k n k n n k ++型裂项公式：()()()k n k n k n n k n k n n n 211)2)((++-+=++【典型例题】一：拆项法 例1、计算201120081191611613113101⨯--⨯-⨯-⨯-Λ 例2、1111232349899100+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L笔记：二：错位相减法 例3、求数列Λ,81,41,21,1--的前8项的和. 例4、200743220071200712007120071200711++++++Λ例5、比较2007200722007164834221+++++=ΛS 与2的大小三：换元法 例6、计算3121()20071......31211()20071......3121()20061......31211(++⨯-----+++⨯----四：高次幂的运算 例7、设3344555,4,3===c b a，比较a,b,c 的大小思考：将1，2，3，…，100这100个自然数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任意一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式)(21b a b a ++-中进行计算，50组都代入后可求得50个值，求这50个值得和的最大值.【练习与拓展】一：填空题 1、4213012011216121-----=________________ 2、20÷（0.30+0.31+0.32+…+0.69）的值得整数部分是_________3、12)12()12()12()12()12(3216842-+⨯+⨯+⨯+⨯+=_____________4、111111123456761220304256++++++=__________________ 二：计算（1）、3009200820082006200630092006200920074014200520064010200722⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯--（2）、1111224246246200++++++++++L L L（3）、Λ++++3227252321共2007项的和.三：解答题 （1）、若n=7217561542133011209127311+-+-+-，求n 的负倒数（2）、已知+21+51+81+111+201+411+110116401=1，求 --21-51+81+111+201+411+110116401的值(3)、将101014228,9,4,3由大到小排列.（附加）把2007的数1，11，111，1111，11111相加，所得和的末4位数是多少？有理数的巧算课后作业姓名： 家长签名：1、计算11111661111165156++++⨯⨯⨯⨯L L2、计算：10001510512015105115105110511+++++++++++++++ΛΛ3、求和20073277771+++++=ΛS4、⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++766554433276655443322112176655443322176655443322125、求证：200720062006543++是10的倍数.（附加）在数1，2，3，…，2007前添加符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的绝对值最小的数是多少？。
初一奥数 第五讲 有理数的计算技巧
第六节 活学巧算【知识要点】1．裂项相消法：有些求若干个分数之和的计算题，如果用通分的方法来解答，显得既繁又难，也很不容易求出正确答案，我们可以把其中的每个加数，根据()11111+-=+n n n n 的原理，分裂为两个分数之差，这样算式中除首、尾两项之外，其余各分数均加、减相消，可巧妙求出整个算式的和，这种巧解思路，称为裂项相消法．2．裂项公式：（1）()11+n n 型（n 为自然数）裂项公式．因为111+-n n =())1(1)1(11+=+-++n n n n n n n n ， 所以，有裂项公式()11111+-=+n n n n ． （2）)(1k n n +型（k n ,均为自然数）裂项公式．⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k n n k 111()()()k n n k n n n k n n k n k +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=11 所以，有裂项公式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1 姓名： 日期：（3）)(k n n k +型（k n ,均为自然数）裂项公式．因为)()()(11k n n k k n n n k n n k n k n n +=+-++=+-，所以，有裂项公式kn n k n n k +-=+11)(．3．倒写相加法：用将原式倒序排列后所得的新式，再与原式对应项相加，使所得的和均相等，这样能使计算简便，这种计算方法叫做倒写相加法．4、整体换元法用字母将算式中具有共同特点的部分进行整体代换后，可以使计算简化。
这种方法叫做整体换元法。
【典型例题】例1 计算：10032114321132112111+++++++++++++++．例2 求证：()()()212324321641531421311+++-=+++⨯+⨯+⨯+⨯n n n n n ．例3 计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++19991141131121119991411311211413112113121121例4、 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++9897983981656361434121例5．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+9182734637281941322314312213211211例6.比较200022000164834221+++++=S 与2的大小．例7、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++199613121119971413121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-199614131211997131211【经典练习】1．计算：()()13231741411+-++⨯+⨯n n ．2．计算：191817143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯3．计算：200320017531++++++4．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++60596058602601545352514342413231215．计算：2019181715432143211⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯6．122000200120012001+++=7．1111399241111111111111111112232342399+++=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．111113142531999199720001998+++++=⨯⨯⨯⨯⨯9.⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++7665544332766554433221121766554433221766554433221210．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++17113111119117113111111911711311111711311111思考题：222222221223342000200112233420002001+++++++=⨯⨯⨯⨯有理数的巧算作业1．111111123456761220304256++++++=2．32191617815413211++++姓名： 成绩：3．1111 1661111165156 ++++⨯⨯⨯⨯4．()() 22222222 24610013599 12310981++++-+++= ++++++++5．1111 224246246200 ++++++++++。
有理数的巧算讲义知识点经典例题练习
有理数的巧算【知识要点】1. 凑整法如果几个数的和恰好可以凑成未尾带零的整数或者一个特殊的整数，那么,就先求出这几个数的和，可以使计算简便,这种方法叫做凑整法.2. 巧用乘法分配律3. 倒写相加法用将原式倒序排列后所得的新式，再与原式对应项相加，使所得的和均相等，这样能使计算简便，这种计算方法叫做倒写相加法．4. 整体换元法用字母将算式中具有共同特点的部分进行整体代换后，可以使计算简化.5．错位相减法用将原式乘以n （n 为正整数）后所得的新式，减去原式，抵消两式中相同的项，这样能使计算简化，这种计算方法叫做错位相减法．6． 裂项相消法：（1）()11+n n 型（n 为自然数）裂项公式．因为111+-n n =())1(1)1(11+=+-++n n n n n n n n ， 所以，有裂项公式()11111+-=+n n n n ． （2）)(1k n n +型（k n ,均为自然数）裂项公式． ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k n n k 111()()()kn n k n n n k n n k n k +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=11 所以，有裂项公式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1 【典型例题】例1. 计算：89999989999899989989++++例2. 计算：85314526612833531218++++++例3. 计算：445211789555789445555211⨯+⨯+⨯+⨯例4. 计算：（1） 20128642+++++ΛΛ(2) 201110741+++++ΛΛ例5. 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++17113111119117113111111911711311111711311111例6. 计算:（1） 10099199981321211⨯+⨯++⨯+⨯ΛΛ（2）201420111201120081741411⨯+⨯++⨯+⨯ΛΛ（3）|41－31|+|51－41|+……+|201－191|例7. 1281641321161814121++++++例8. 求和20113222221+++++=ΛΛS思考题:在□1□2□3□4□5□6□7□8□9□10□11□12□13□14的□中任意填入“+”和 “-”号，则运算的结果可能得到的最小非负值是 ．【初试锋芒】1．计算：20112010201120092011220111++++ΛΛ2. 计算：20122011201020097654321-+-+-+-+-+-ΛΛ3．计算：32191617815413211++++4．计算：121011191531421311⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ΛΛ5. 计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫⎝⎛++199812119991211199812111999121ΛΛΛΛ6．计算：14552735214974-++--7．计算：9.03.02.01.010*********++++-+-+-+-+-Λ【大显身手】1．计算： 2011200920077531+++++++Λ2．计算：11111661111165156++++⨯⨯⨯⨯L L3．计算：111111123456761220304256++++++ * 4．计算：2101111333++++L L。
【七年级奥数】第1讲 有理数的巧算（例题练习）
第1讲有理数的巧算——例题一、第1讲有理数的巧算(例题部分)1.计算:【答案】解:原式===0+0+0=0【解析】【分析】在有理数加减运算中，应注意利用交换律与结合律，将其中的数适当改变顺序，重新组合、尽可能“凑整”或“抵消”．“抵消”，即两个相反的数相加，和为0(两个相同的数相减，差为0)，如上面的与-,-与,但要注意符号，不要搞错，如上面的-与不能抵消，它们的和与可以抵消．2.计算【答案】解:原式===【解析】【分析】在进行有理数的乘除运算时，要注意确定结果的符号：奇数个负数相乘除，结果为负；偶数个负数相乘除，结果为正．通常将小数化为分数，带分数化为假分数，把除法转化为乘法，能约分的先约分，尽量化简。
3.计算【答案】解:原式==【解析】【分析】在进行有理数的四则运算时，还应注意应用分配律．若有公因数，一般可将公因数提出，然后进行运算．如本例中，分子有公因数1×2×3，分母有公因数1×3×5，就可以将它们提出，然后约分，以简化运算．应注意，当提出的公因数带负号时，提取后各项的符号都要改变．4.计算【答案】解：原式====……==1-=【解析】【分析】经过观察发现算式的特点：后一项是前一项的一半．如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值．因此，我们巧添了一个辅助数，使问题得以顺利解决．当然，根据代数式的值得不变性可知，在添加上后不要忘了还应减。
5.计算（1）1+2+3+4+ +2007+2008（2）1-2+3-4+ +2007-2008【答案】（1）解:令S=1+2+3+4+ +2007+2008则S=2008+2007 +2+1两式相加,得2S===2009 2008所以S=即原式=（2）原式===-1004【解析】【分析】(1)由题意知，本小题的特点是：后一项减去前一项的差都相等．这样的一列数是等差数列．即若一列数，有(常数)(i=12，…，n一1)，则这列数称为等差数列，其中称为首项，称为末项，n为项数，d为公差．等差数列的和a，的计算公式为：所以，本题也可用这个计算公式计算．有时，项数不能直接看出，可用下面的公式计算：(2)由题意知，相邻的项两两结合求差为-1，可以简化运算．这是由本题的特点所决定的．所以，在做题时，应先观察一下题目的特点，根据特点下手，往往有事半功倍的效果．6.计算【答案】解：原式==1-= =【解析】【分析】在做加减法运算时，根据数的特点，将其中一些数适当拆开，变成两个数的差并且拆开后有一些数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把拆成，即可求解。
七年级数学上册有理数难题巧算方法讲解归纳
七年级数学上册有理数难题巧算方法讲解归纳【知识要点】1．乘法分配律法2．约分法3．倒写相加法4．裂项相消法有些求若干个分数之和的计算题，我们可以把其中的每个加数，根据()11111+-=+n n n n 的原理，分裂为两个分数之差，这样算式中除首、尾两项之外，其余各分数均加、减相消，可巧妙求出整个算式的和，这种巧解思路，称为裂项相消法．下面给出五类常见的裂项公式：(1）()11+n n 型裂项公式：()11111+-=+n n n n ． （2）)(1k n n +型裂项公式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1 （3）)(k n n k +型裂项公式：kn n k n n k +-=+11)(． （4）)2)((1k n k n n ++型裂项公式： )2)((1k n k n n ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+)2)((1)(121k n k n k n n k （5）)2)((2k n k n n k ++型裂项公式：()()()k n k n k n n k n k n n k 211)2)((2++-+=++ 5.错位相减法6．整体换元法【典型例题】1．乘法分配律法例1 计算：① .21825.3825.325.0825.141825.3⨯+⨯+-⨯② 103451194911994199411949145199414511949+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯2．约分法 * 例2 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+1719116191319121911911917118171317121711713．倒写相加法例3 设n 为正整数，计算：43424131323332312122211+++++++++++.1112141424344nn n n n n n n n ++-++-+++++++++4．裂项相消法例4 计算201120081191611613113101⨯--⨯-⨯-⨯-* 例51111232349899100+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯* 例6:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++199911411311211199914113112114131121131211215.错位相减法* 例7 200843220081200812008120081200811++++++6．整体换元法例8 计算)20071......3121()20081......31211()20081......3121()20071......31211(+++⨯-----+++⨯----1．1436.171464.8295135159513518⨯+⨯+⨯-⨯2．求和19993222221+++++= S3201918143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯4．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++99113112119914113112114131121131211215.计算：.311212311999212000312001212002-++-+-1．填空题（1）4213012011216121-----=________________ （2） 20÷（0.30+0.31+0.32+…+0.69）的值的整数部分是_________（3） 111111123456761220304256++++++=__________________ （4） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-+-10001141131121110201970198019902000 =_____________（5） ()()_____________1541957.0154329417.0=-⨯+⨯+-⨯+⨯； （6）____________19197676767676191919=-；2．计算：（1） 445211789555789445555211⨯+⨯+⨯+⨯（2） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-110031120021120031120041（3）.1051011171311391951⨯++⨯+⨯+⨯（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯751517315151537319315151537319751517537319751517315151（5） 311021983278%12541153881568825.1⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯（6） 200020001999199919992000⨯-⨯2)6543187(36-+-⨯-（7） 求和20083277771+++++= S3．已知+21+51+81+111+201+411+110116401=1， 求--21-51+81+111+201+411+110116401的值4．若n=7217561542133011209127311+-+-+-，求n 的负倒数5．217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-766554433276655443322116．2001200420002004200120012001200120012001200020002000200020002000个个+++++7．n n n n n n 93186293142842421⋅⋅++⨯⨯+⨯⨯⋅⋅++⨯⨯+⨯⨯ ** 8.求 ++++3227252321共2008项的和.。
培优：有理数的巧算讲义1
有理数的巧算【考点解析】1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不但能够简化运算，提升解题速度，而且能够养成勤于动脑，善于观察到良好习惯。
2、有理数的相关概念和性质法则⑴有理数的运算法则⑵有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧⑴巧用运算律⑵凑整法⑶拆项法（裂项相消）⑷分组相约法⑸倒写相加法⑹错位相减法⑺换元法⑻观察探究、归纳法【水平训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。
（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。
（4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
3、巧算的一般性技巧：①凑整（凑0）；②巧用分配律③去、添括号法则；④裂项法【典型例题解析】：1、计算：3510.752(0.125)1244782、计算：（1）560.9 4.48.11（2）（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25 （3）（-423）+1113623243、计算：①232321 1.75343②1111422434化简：计算：（1）711145438248（2）35123.7540.1258623（3）340115477（4）235713346（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（7957618）5、计算：（1）3242311 （2）219981110.5333（3）22831210.525521426、计算：3413312100.516447、计算：3323200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001【培优典型例题解析】：1、计算：237970.71 6.6 2.20.7 3.311731182、1111111111(1)()(1)23199623419972319971111()23419963、计算：①2232(2)|3.14|| 3.14|(1)②235324[3(2)(4)(1)]74、化简：111()(2)(3)(9)122389x y x y xy xy 并求当2,x 9y 时的值。
初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算
初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算第一篇：初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算金苹果文化培训学校奥数学提高班第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________ 于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫――___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．金苹果文化培训学校奥数学提高班3．观察算式找规律例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．2399100例6 计算1+5+5+5+…+5+5的值．例7 计算：金苹果文化培训学校奥数学提高班(6)1+4+7+ (244)1111(7)1++2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2000333***9-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅＋－(8)1-+***99002．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．金苹果文化培训学校奥数学提高班再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．例6 计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．99100 解设S=1+5+52+…+5+5，①所以231001015S=5+5+5+…+5+5．②②—①得1014S=5-1，例7 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．第二篇：初一奥数提高班第03讲-绝对值_金苹果文化培训学校奥数学提高班第3讲绝对值（1）一主要知识点回顾1．有理数：按有理数的符号分为三类：正有理数、负有理数和零，简称正数、负数和零2.数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可．相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数（符号相反且绝对值相等的两数）绝对值一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数二典型例题分析:例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．三.专项练习(一).填空题:1.a＞0时，|2a|=________；(2)当a＞1时，|a-1|=________；2.已知a++b-3=0，则a____b______3.如果a>0，b<0，a<b，则a，b，—a，—b这4个数从小到大的顺序是______________________(用大于号连接起来)4.若xy>0，z<0，那么xyz=______0．5.上山的速度为a千米/时，下山的速度为b千米/时，则此人上山下山的整个路程的平均速度是_______________千米/时(二).选择题:6.值大于3且小于5的所有整数的和是（）A.7B.－7C.0D.57.知字母a、b表示有理数，如果a+b=0，则下列说法正确的是（）A.a、b中一定有一个是负数B.a、b都为0C.a与b不可能相等D.a与b的绝对值相等8.下列说法中不正确的是()Ａ．0既不是正数,也不是负数B．0不是自然数C．0的相反数是零D．0的绝对值是09.列说法中正确的是（）A、-a是正数B、—a是负数C、-a是负数D、-a不是负数10.x=3，y=2，且x>y，则x+y的值为（）A、5B、1C、5或1D、—5或—111.<0时，化简aa等于（）A、1B、—1C、0D、±112.若ab=ab，则必有（）A、a>0,b<0B、a<0,b<0C、ab>0D、ab≥013.已知：x=3，y=2，且x>y，则x+y的值为（）A、5B、1C、5或1D、—5或—1(三).解答题:14.a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．15..若x-y+y-3=0，求2x+y的值.16.当b为何值时，5-2b-有最大值，最大值是多少？17.已知a是最小的正整数，b、c是有理数，并且有|2+b|+(3a+2c)2=0.4ab+c求式子的值.22-a+c+418.若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．《春雨的色彩》说课稿一、教材内容分析：春天里万物复苏，百花争艳、绿草如荫、一派迷人的景色。
初一奥赛培训01：有理数的巧算 甄选
初一奥赛培训01：有理数的巧算（优选.)一、解答题（共16小初一奥赛培训01：有理数的巧算题，满分150分）1、计算：（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×2]÷0.46（2）2、计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．3、计算：S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n+1•n．4、在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“﹣”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？5、计算3001×2999的值．6、计算103×97×10 009的值．7、计算：8、计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．9、计算：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=_________10、计算：11、某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．12、计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．13、计算1+5+52+53+…+599+5100的值．14、计算：+++…+．15、计算下列各式的值：（1）﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣…﹣1997+1999；（2）11+12﹣13﹣14+15+16﹣17﹣18+…+99+100；（3）1991×1999﹣1990×2000；（4）4726342+472 6352﹣472 633×472 635﹣472 634×472 636；（5）（6）1+4+7+ (244)（7）1+（8）116、某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．答案与评分标准一、解答题（共16小题，满分150分）1、计算：（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×2]÷0.46（2）考点：有理数的混合运算。
七年级奥数：有理数的计算
七年级奥数：有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算． 数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有： 1．利用运算律； 2．以符代数； 3．裂项相消 4．分解相约； 5．巧用公式等．例题与求解例1 已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，则x —(1+m +n +ab )x +(m +n )x+(—ab )的值等于_________．(湖北省黄冈市竞赛题)解题思路 利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．例2 把足够大的一张厚度为0．1mm 的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过12mm ，至少要对折( )．(A )6次 (B )7次 (C )8次 (D )9次 (江苏省竞赛题)解题思路 探索对折的规律，运用估算求解．例3 计算： (1) 1111..12123123100+++⋯+++++++⋯⋯+ (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2) 23419987777.7++++⋯+(江苏省泰州市奥校竞赛题)(3) 22222221949195019511952199719981999-+-+⋯+-+(北京市竞赛题)解题思路 对于(1)，若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于(2)，由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；(3)式使人联3220012002想到平方差公式．例4 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a +b ，a 的形式，又可表示为0、、b 的形式，求的值．(“希望杯”邀请赛试题)解题思路 由于三个互不相等的有理数有两种表示形式，因此，应考虑对应分情况讨论．例5 有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：(1)证明：可以得到22； (2)证明：可以得到2．(全国初中数学竞赛题)解题思路 要证明可以得到相应的数，只要依据程序编出相应的程序即可．能力训练 A 级1．初一“数学晚会”上，有十个同学藏在10张盾牌后面，男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10张盾牌如下所示：则盾牌后面的同学中，有女同学_____人，男同学______人．2．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算，例如对1，2，3，4，可作运算：(1+2+3)×4=24(注意上述运算与4×(1+2+3)应视作相同方法的运算)．现有四个有理数3，4，-6，10运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：(杭州市重点中学加试试题)3．计算：(1)111135577919971999+++⋯+=⨯⨯⨯⨯ (2) 43421(0.25)(8)2(2)(6)3⎛⎫⎡⎤-⨯--+-÷-÷- ⎪⎣⎦⎝⎭=ab20001999b a+30108413223−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+2297100-+4．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…，依此类推，直主最后减去余下的，最后的答数是_________． (“祖冲之杯”邀请赛试题)5.如果对于任意非零有理数a 、b 定义运算△如下:a ba b ab-=，则 5(43)=____ 6.如果有理数c 、b 、c 满足关系式0a b c <<<那么代数式23bc acab c-的值（ ). （A ）必为正数 （C ）可正可负 （B ）必为负数 （D ）可能为0（第十六届江苏省竞赛题） 7．199797199898,,,199898199999----这四个数由小到大的排列顺序是（)・ 199797199898(A) 199898199999199819979897 (B) 199919989998979819971998 (C) 989919981999981998971997 (D) 991999981998-<-<-<--<-<-<--<-<-<--<-<-<-(重庆市竞赛题)8.若a 与（一b ）互为相反数，则221898991997a b ab+= (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 1997 9.如果20012002()1,()1a b a b +=--=,则20032003a b +的值是（)・(A) 2 (B) 1 （C ） 0 （D ） -1 （第十三届“希望杯”邀请赛试题）10.若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数9且abed = 9,则d+b+c+d 等于（ ）. (A) 0 (B) 4 (C) 8 （D ）值无法确定 1 1 亠1L 把111,3.7,6,2.9,4.652分别填在图中五个○内，再在每个□中填上和它相连的三个○中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中找出一种填法，使△中的数尽可 能小,并求这个数.2131415119971（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛） 12.已知a 、b 、c 都不等于零，且||||||||a b c abca b c abc +++的最大值为m ，最小值为n ，求(+1)1998m n +的值.B 级1.计算：1131351397=244666989898⎛⎫⎛⎫⎛++++++++++⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝） （第十届“五羊杯”竞赛题）2．计算：23456789102222222222--------+= （第十届“希望杯”邀请赛试题）3．计算：212424824139261839n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⎛⎫= ⎪⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⎝⎭4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度，因此，基础教育的任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人会学习”．已知底，人类知识总量为以a ．假如从底到2009年底是每3年翻一番；从2009年底到2019年底是每1年翻一番；2020年是每73天翻一番．则： (1)2009年底人类知识总量是——； (2)2019年底人类知识总量是——；(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是——． (北京市顺义区中考题) 5.你能比较两个数20022001和20012002的大小吗？为了解决这个问题.我们先写岀它的一般形式，即比较1n n +与+1nn （）的大小（n 是自然数），然后，我们从分析1,2,3,n n n ===中发现规律，经归纳、猜想得出结论.（1）通过计算.比较下列各组中两个数的大小（在空格中填写<，=，>号）2132435465(1)12;(2)23;(3)34;(4)45;(5)56-----（2）从第（1）题的结果经过归纳.以猜想出1n n+与+1nn （）的大小关系是——； (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小20022001_20012002 (福建省龙岩市中考题)6．如果ac<0,那么下面的不等式22330,0,0,00aac a c c a ca c<<<<<，中必定成立的有（）个(A )1 (B )2 (C )3 (D )47. a 、b 都是有理数,代数式222222222,,(),(),1,0.001,a b a b a b a b a a b +--++++24231a b ++中，其中值为正的共有（ ）个・(A )3 (B )4 (C )5 (D )68．三进位制数201可用十进位制数表示为21230312901219⨯+⨯+=⨯++；二进位制数1011可用十进位制法表示为3211202121802111⨯+⨯+⨯+=+++=．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数a =221，二进位制数b =10111，则a 与b 的大小关系为( )．(D )不能判定(重庆市竞赛题)9．如果有理数a ．b 、c 、d 满足a +b >c +d ，则( )． (第十一届“希望杯”邀请赛试题)222233334444(A) |1||1| (B) (C) (D) a b c d a b c d a b c da b c d-++>++>++>++>+10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这1998个有理数的和为( )． (《学习报》公开赛试题)999997998999(A)(B)(C)(D)199719971998199811．设n 为自然数，比较与2的大小. 12．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和(1)大于9 (2)大于10? 若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由． (第十五届江苏省竞赛题)n n ns 223222132++++=n s。
【七年级奥数】第1讲 有理数的巧算（例题练习）
第1讲有理数的巧算——练习题一、第1讲有理数的巧算(练习题部分)1.2.3.4. 3.825 ×−1.825+0.25×3.825+3.825×5.−7.2×0.125+0.375×1.1+3.6×−3.5×0.3756.7.8.9.10. 9+99+999+9999+99999+99999911.12.13.14.15.16.17.答案解析部分一、第1讲有理数的巧算(练习题部分)1.【答案】解：原式=（31+4）+（-22+11）=36-1125.【解析】【分析】根据有理数加法交换律和结合律，把分母相同的放一起，利用有理数加减法法则计算即可得出答案.2.【答案】解：原式=（5-3-2）+（8-3.125）+（6-7-3），=0+5-5，=0.【解析】【分析】根据有理数加法交换律和结合律，把分母相同的放一起，利用有理数加减法法则计算即可得出答案.3.【答案】解：原式=-××（-）×（-）××（-），=.【解析】【分析】根据有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，化成乘法之后，再根据乘法法则计算即可得出答案.4.【答案】解：原式=3.825×0.25-1.825+0.25×3.825+3.825×0.5，=3.825×（0.25+0.25+0.5）-1.825，=3.825×1-1.825，=3.825-1.825，=2.【解析】【分析】根据乘法分配律先计算再根据有理数减法法则计算即可得出答案.5.【答案】解：原式=3.6×（-2）×0.125+0.375×1.1+3.6×-3.5×0.375，=3.6×（-2×0.125+0.5）+0.375×（1.1-3.5），=3.6×（-0.25+0.5）+0.375×（-2.4），=3.6×0.25+0.375×（-2.4），=0.9-0.9，=0.【解析】【分析】根据乘法分配律先计算，再根据有理数乘法和减法法则计算即可得出答案.6.【答案】解：原式=，=，=.【解析】【分析】由里往外，逐层计算，根据分数除法和减法的法则计算即可.7.【答案】解：原式=1++3++5++7++9+，=（1+3+5+7+9）+（++++），=25+，=25.【解析】【分析】先将带分数化成整数+分数的形式，再利用加法交换律和结合律计算即可得出得出答案.8.【答案】解：原式=，=，=999.【解析】【分析】先根据分数加法法则：同分母的分数相加，分母不变，分子相加，再由高斯定理计算即可.9.【答案】解：原式=（7-5）+（9-7）+（11-9）+……+（101-99），=2+2+2 (2)=2×48，=96.【解析】【分析】利用加法交换和结合律得出有48个2，计算即可得出答案.10.【答案】解：原式=（10-1）+（100-1）+（1000-1）+（10000-1）+（100000-1）+（1000000-1），=（10+100+1000+10000+100000+1000000）-（1+1+1+1+1+1），=1111110-6，=1111104.【解析】【分析】先将各数分拆，再利用加法交换、结合律计算即可得出答案.11.【答案】解：原式=3×31999-5×31999+2×31999，=31999×（3-5+2），=31999×0，=0.【解析】【分析】根据幂的运算性质拆分，再利用乘法分配律计算即可得出答案.12.【答案】解：原式=1-1+1-1，=0.【解析】【分析】根据负数的偶次幂为正，奇次幂为负，计算即可得出答案.13.【答案】解：原式=×（-）+×（-）+×（-）+……+×（-），=×（-+-+-+……+-），=×（-），=×，=.【解析】【分析】先把每一项裂项，之后抵消，计算即可得出答案.14.【答案】解：原式=2002+-2001-+2000+-1999-+……+2+-1-，=（2002-2001）+（-）+（2000-1999）+（-）+……+（2-1）+（-），=1++1++……+1+，=1×1001+×1001，=1001×（1+），=.【解析】【分析】先将带分数拆成整数+分数形式，再利用加法交换、结合律计算，之后利用乘法分配律计算即可.15.【答案】解：原式=，=，=.【解析】【分析】分子分母先提起公因式，再约分，即可得出答案.16.【答案】解：原式=1+2++3++4++5++6++7+，=（1+2+3+4+5+6+7）+（+++++），=28+（-+-+-+-+-+-），=28+（-），=28+，=28.【解析】【分析】先将带分数拆成整数+分数形式，再利用加法交换、结合律，利用裂项相消计算即可.17.【答案】解：∵，∴原式=2×（1-）+2×（-）+2×（-）+……+2×（-），=2×（1-+-+-+……+-），=2×（1-），=2×，=.【解析】【分析】由展开计算即可得出答案.。
2020华师大初一上册提高讲义第四讲 有理数的巧算(一)
第四讲 有理数的巧算（一）学习目标1、知识目标：在理解有理数的有关概念、法则，根据法则、公式等正确、迅速地进行运算的基础上了解巧算；进一步熟练掌握有理数的混合运算的方法，寻找其中规律，仔细计算，提高运算能力，利用去括号和添括号的法则使有理数的计算简化；利用运算律简化计算过程；知道应用拆项法、换元法来解决有关有理数的计算问题.2、能力目标：培养学生善于归纳、总结的能力，鼓励学生大胆尝试，通过交流探究，提高学生的思维能力；让学生弄清运算顺序，提高解题的准确率。
3、情感目标：鼓励学生在做题前，学会观察，确定恰当的解题方法会在很大程度上简化计算，从而感到学数学的幸福和快乐。
一、知识讲解课前测评1．（2017秋临清市期中）下列各式中，积为负数的是（ ） A ．（-5）×（-2）×（-3）×（-7） B ．（-5）×（-2）×|-3| C ．（-5）×2×0×（-7） D ．（-5）×2×（-3）×（-7） 2．计算512+（+4.71）+712+（−6.71）的结果为（ ） A. −2 B.3 C. −3 D. −13．（2016秋邵武市校级月考）算式-25×14+18×14-39×（-14）=（-25+18+39）×14是逆用了（ ） A ．加法交换律 B ．乘法交换律 C ．乘法结合律 D ．乘法分配律 4．计算（−0.5）+314+2.75+（−512）的结果为________. 5、计算：32(6)8(2)(4)5-⨯----⨯；知识点回顾1、掌握有理数的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
2、有理数加法交换律： ；加法结合律： 。
3、有理数乘法交换律： ；乘法结合律： ；乘法分配律 ；二、例题辨析【考点1、有理数运算的分级与运算顺序】例1、（2017年秋成章实验中学月考）计算：（1）、223113(3)(1)()32-÷---⨯-； （2）、222122()(1)3()543⨯-÷--⨯-；变式练习：1、（2017年秋成章实验中学月考）计算：32(1)(12)(4)2(5)⎡⎤-⨯-÷-+⨯-⎣⎦；2、（2017年秋船山实验中学第二次月考）计算：2223(11)(6)93-⨯-+-+-÷；3、计算：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2323221212； （2）()32692211332-÷-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--；【考点2、加法的交换律与结合律】例2、（2015年秋船山实验中学期中）计算：( 5.5)( 3.2)( 2.5) 4.8-+----；1、（2017年秋成章实验中学月考）计算：1112(1)(3)(4)(2)2433--++-++；2、计算： （1）12411()()()23523+-++-+-；（2）111(2)(5)(3)( 1.125)(4)822-+++-++++；【考点3、乘法的交换律、结合律及分配律】例3、计算：（1）31472()(2)1(1)2537811-⨯-⨯⨯-⨯；（2）)251(4)5(25.0-⨯⨯-⨯--；变式练习：1、计算：（1）72)67(56⨯-⨯⨯-）（； （2）125)5.2()2.7()8(⨯-⨯-⨯-；（1）)48()1214361(-⨯-+-；（2）54.21256131321÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+--；变式练习：1、计算： （1）1231(1)604356+--⨯； （2）48245834132⨯⎪⎭⎫⎝⎛+--；2、（2017年秋成章实验中学月考）计算：134( 2.5)3624⨯--+⨯--；例5、计算：（1）75.04.34353.075.053.1⨯-⨯+⨯-；（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-7631276377635；变式练习：例6、计算：（1）6799(36)72⨯-； （2）117(3)17-⨯-；变式练习：1、计算： （1）5025249⨯⎪⎭⎫⎝⎛-； （2）799(13)8⨯-；三、归纳总结知识点1、有理数混合运算的顺序2、加法的交换律与结合律3、乘法的交换律与结合律、分配律方法与技巧 有理数混合运算时：1、先乘除，再加减。
初一奥数题有理数的运算技巧简便计算
el usrnot for commeciah tna personl use oly in sudy andresearc; rFo巧算技运有理数的肁姓名袀有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧。
只要认真分析和研究题目的芆运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。
下面介绍几种运算技巧。
膄一. 巧用运算律螂例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题）羂求和蚈9533583111112222233 )(? ?? ?)?????)?(?? ???(?? ?)?(?袇0059664935234960455604659 分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。
11212312359?(?)?(??)? ??(??? ?)解：原式薂6060606044433292?541?????? 222221951??2?3??) (2蝿9(11?59)?5??225?88螇二. 巧用倒序法芆4005123??? ?例2. 计算节20032003200320031234005?????A 设解：，把等式右边倒序排列，得螁20032003200320034005400421A????? 腿2003200320032003将两式相加，得蚆1400524004400512A?(?)?(?)? ?(?)肃2003200320032003200320032A?2?4005A50?40即，所以袂所以原式＝4005 芇巧用拆项法. 三肅．例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）螃1111? ??1???________ 计算虿0?2?3??10?21?21??31?2?341分析：直接计算难上加难。
应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。
利用上面介绍蚀1122211????，而的反序相加法，不难求得最后两项为，004950550999?1009910?4950509 221??同理，薅1010550010那么本题就不难解决了。
初一奥数培训教材(1—8讲)
第1讲有理数的加减【例1】有理数加法计算：（1）12()()33-+-；（2）(10.8)(10.7)-++；（3）(6)0-+；（4）4452(52)77+-.【例2】有理数减法计算：（1）6(3)--；（2）0(2)--；（3）(7)(5)---；（4）(2)0--【例3】有理数混合计算：（1）263(59.8)()(12.8)55+--+-+；（2）311(2)(2)38(3)843-+---++.【例4】有理数混合计算：（1）3212()(31)()(31)4545-++-+-；（2）2253(7)(4)(2)(5)7575++-++-.【例5】在数23456789,,,,,,,1010101010101010的前面分别添上加“+”或“-”，使它们的和为1.你能想出多少种方法？（开放性题）【例6】一个水井，下面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.5米后又往下滑了0.1米；第二次往上爬了0.42米，却又下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米，却又下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米，却又下滑了0.1米；第五次往上爬了0.55米，却又下滑了0.48米.问蜗牛有没有爬出井口？课后练习: 1、计算：（1）3.2( 4.2)+-；（2）23()()55-+-；（3）(382.4)(382.4)-++；（4）0(24.1)+-；（5）11 ()() 36 -+-2、计算：（1）(3)(5)---；（2）(7)5--；（3）0 4.2-；（4）( 4.2)0--；（3）(20)3(30)5-----；（6）03(4)5(6)-----.3、计算：（1）0.2(0.3)(0.4)(0.5)-+---+-；（2）10(8)(6)(4)(2)--+---+-；（3）111()326---；（4）1110()5210--+-.4、潜水艇原来在水下200米处，若它下潜50米，接着又上浮130米，问这里潜水艇在水下多少米处？5、判断题：（1）若两个数的和为负数，则这两个数都是负数. （）（2）若两个数的差为正数，则这两个数都是正数. （）（3）零减去一个有理数，差必为负数. （）（4）如果两个数互为相反数，则它们的差为0. （）6、计算：（1）(1)2(3)4(5)6(7)8-++-++-++-+；（2）3313 04()(1)17575-+---+；（3）3232(1)4(2)(2)7373-+--+-；（4）511(3)(3)24(1)635-+---+-.7、请在数1，2，…，2006，2007前适当添加上“+”或“-”号，使它们的和的绝对值最小。
2020华师大初一上册培优讲义第四讲 有理数的巧算(一)
第四讲 有理数的巧算（一）学习目标1、知识目标：在理解有理数的有关概念、法则，根据法则、公式等正确、迅速地进行运算的基础上了解巧算；进一步熟练掌握有理数的混合运算的方法，寻找其中规律，仔细计算，提高运算能力，利用去括号和添括号的法则使有理数的计算简化；利用运算律简化计算过程；知道应用拆项法、换元法来解决有关有理数的计算问题。
2、能力目标：培养学生善于归纳、总结的能力，鼓励学生大胆尝试，通过交流探究，提高学生的思维能力；让学生弄清运算顺序，提高解题的准确率。
3、情感目标：鼓励学生在做题前，学会观察，确定恰当的解题方法会在很大程度上简化计算，从而感到学数学的幸福和快乐。
一、知识讲解课前测评1、422(2)-÷-（）的结果是（ ）A ．4B ．－4C ．2D ．－22、如果21(3)0a b -++=，那么1b a+的值是（ ） A ．－2 B ．－3 C ．－4 D ．43、计算：（－8）×5－40=_____；4、计算：－4÷4×14=_____； 5、计算：12411()()()23523+-++-+-；知识点回顾1、掌握有理数的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
2、有理数加法交换律： ；加法结合律： 。
3、有理数乘法交换律： ；乘法结合律： ；乘法分配律 ；二、例题辨析【考点1、有理数运算的分级与运算顺序】例1、（2017年秋船山实验中学月考）计算： （1）42006211(1)2(2)3⎡⎤---⨯÷---⎣⎦； （2）[]2(2)18(3)24-+--⨯÷；变式练习：1、（2015年秋船山实验中学期中）计算：232122(3)(1)6()293---⨯-÷-；2．（2013年秋船山英文学校期末）计算：4211(10.5)2(3)3⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦；3、计算：（1）[]2)4(231)5.01(-+⨯÷-- （2）()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+----22114.031132【考点2、加法的交换律与结合律】例2、（2015年秋船山实验中学期中）计算：( 5.5)( 3.2)( 2.5) 4.8-+----；变式练习：1．计算下列各题：（1）23＋（－27）＋9＋5 （2）－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25；（3）－0.5－314＋2.75－712 （4）33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|2、计算：11111120072006200520041232323-+-+-；【考点3、乘法的交换律、结合律及分配律】 例3、计算：)433()313()10(871-÷-⨯-÷；变式练习：1、计算：（1）13(7)(8)() 3.25344-⨯-⨯-⨯； （2）1111(1)(1)(1)(1)2342006-⨯-⨯-⨯⨯-例4、（2017年秋船山实验中学月考）计算：（1）157(3)(36)2612-+-⨯-； （2）53191()()6731442-+-÷-；变式练习：1、（2016年秋成章实验中学期末）计算：320091111 2.75(1)23824⎛⎫⎛⎫+-÷-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2、（2017年秋船山实验中学月考）计算：2117313()1(5)126424-+-⨯--；3、（2015年秋北斗星中学南校区月考）计算：200913132()24(5)(1)2864⎡⎤++-⨯÷-⨯-⎢⎥⎣⎦；例5、（2017年秋成章实验中学月考）计算：24242424(2)()(8)5()7777-⨯-+-⨯-⨯-+变式练习：1、计算：（1）43510.712(15)0.7(15)9494⨯+⨯-+⨯+⨯-； （2）16191517⨯；三、归纳总结知识点1、有理数混合运算的顺序2、加法的交换律与结合律3、乘法的交换律与结合律、分配律方法与技巧有理数混合运算时：1、先乘方，再乘除，最后算加减。
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第一讲有理数的巧算
【学习导航】
有理数的运算是中学数学中一切运算的基础。
它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算。
不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
1．括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
例1计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
试一试
(1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；
例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
2．用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________
于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________
这个公式叫――___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．
例3计算3001×2999的值．
试一试
（1）103×97×10009 （2）
（3）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) （4）
3．观察算式找规律
例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．
例6计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．
例7 计算：
练 习 题
1．计算下列各式的值：
(1) 1991×1999-1990×2000； (2) 4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；
(3)2010
20091751531311⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯ (4)1+4+7+ (244)
(5)2000323
13131311+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++ (6)990019997081975615-42133011-209127-311－＋⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++
2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．
81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．
第一讲有理数的巧算答案
例1 计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第
一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．
解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
=211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789
=1000×(211+789)
=1 000 000．
说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．
例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．
所以，所求最小非负数是1．
说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．
例3 计算 3001×2999的值．
解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．
例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为
90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2) =1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．
例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．
分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．
解用字母S表示所求算式，即
S=1+3+5+…+1997+1999．①
再将S各项倒过来写为
S=1999+1997+1995+…+3+1．②
将①，②两式左右分别相加，得
2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)
=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)
=2000×500．
从而有 S=500 000．
例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．
分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．
解设S=1+5+52+…+599+5100，①
所以
5S=5+52+53+…+5100+5101．②
②—①得
4S=5101-1，
例7 计算：
分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式
来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．
解由于
所以
说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．。