互斥事件
高二数学互斥事件
B 与 D . B与 C， B与 D 件的是 ________
2.判别下列每对事件是不是互斥事件，如果是， 再判别它们是不是对立事件． 从一堆产品（其 中正品与次品都多于2个）中任取2件，其中：
(1)恰有1件次品和恰有2件正品； 互斥但不对立
(2)至少有1件次品和全是次品； 不互斥 (3)至少有1件正品和至少有1件次品； 不互斥 (4)至少有1件次品和全是正品； 互斥对立
例题讲解：
例1 黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：
血型 该血型人所占比/% A 28 B 29 AB 8 O 35
已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血 型的人，任何人的血都可以输给 AB型血的人，其他不 同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病 需要输血，问： （1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ （2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
音 7 6 8 8 11 10 数 10
英
回顾小结：
一、知识要点： ⑴ 互斥事件、对立事件的概念及它们的关系； ⑵ n 个彼此互斥事件的概率公式：
P ( A1 A2
An ) P ( A1 ) P ( A2 )
P ( An )
⑶ 对立事件的概率之和等于1，即：
P(A A) P(A) P(A) 1
例4 袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次 任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)3只全是红球的概
率;(2)3只颜色全相同的概率;(3)3只颜色不全相同的概率.
解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为33, 1 (1)3只全是红球的概率为 27 ; (2)3只颜色全相同的概率为 3 1 ；
例3 一只口袋有大小一样的5只球，其中3只红球，2 只黄球，从中摸出2只球，求两只颜色不同的概率. 解：从5只球中任意取2只含有的基本事件总数为10. 记：“从5只球中任意取2只球颜色不同”为事件 只球颜色相同”为事件A， “从5只球中任意取2只红球”为事件B， “从5只 球中任意取2只黄球”为事件C，则A=B+C. 6 3 3 1 P ( A) ， P ( B ) ， P (C ) ， 10 5 10 10 3 1 2 P( A) P( B C ) ， 10 10 5 则“从5只球中任意取2只球颜色不同”的概率 为： P ( A) 1 - P ( A) 1 2 3 5 5 3 答：从5只球中任意取2只球颜色不同的概率为 . 5
互斥事件的概率公式
3.什么是对立事件 对立事件有什么性质 什么是对立事件?对立事件有什么性质 什么是对立事件 对立事件有什么性质? 必有一个发生的互斥事件事件叫对立事件 为对立事件， 若A与B为对立事件，则P(A)+P(B)=1. 与 为对立事件
创设情境
甲坛子里有3个白球， 个黑球 个黑球； 甲坛子里有 个白球，2个黑球；乙坛子里 个白球 个白球， 个黑球 个黑球． 有2个白球，2个黑球．设“从甲坛子里摸出一 个白球 A 个球，得到白球” 个球，得到白球”叫做事件 ，“从乙坛子里 B 摸出一个球，得到白球” 摸出一个球，得到白球”叫做事件 A 问 与 ． B 是不是互斥事件呢？是不是对立事件？ 是不是互斥事件呢？是不是对立事件？还有其 他什么关系？ 他什么关系？
反过来，事件 是否发生对事件 是否发生对事件A发生的概 反过来，事件B是否发生对事件 发生的概 率有没有影响呢? 率有没有影响呢 没有. 答:没有 没有 这就是说， 这就是说，事件 A 或 B ）是否发生对事 （ 发生的概率没有影响， 件 B 或 A ）发生的概率没有影响，这样的两 （ 相互独立事件． 个事件叫做相互独立事件 个事件叫做相互独立事件．
个球， “从甲坛子里摸出1个球，得到白球” 从甲坛子里摸出 个球 得到白球” 从乙坛子里摸出1个球 个球， 与“从乙坛子里摸出 个球，得到黑 球”同时发生的概率
3 1 3 P(A·B)=P(A)·P(B) = 5 × 2 = 10
个球， “从两个坛子里分别摸出1个球，恰得 从两个坛子里分别摸出 个球 到一个白球”的概率为 到一个白球”的概率为
人都击中目标的概率， （1）欲求 人都击中目标的概率，即求 、B ）欲求2人都击中目标的概率 即求A 同时发生的概率. 同时发生的概率 人各射击1次 恰有1人击中目标 人击中目标” （2）“2人各射击 次，恰有 人击中目标”包 ） 人各射击 括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（ 括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件 A· B 发生 ） ，另一种是甲未击中 、乙击中（事 发生） 另一种是甲未击中、乙击中（ 发生） 且事件A· 互斥. 件 ·B发生）,且事件 B 与 ·B互斥 发生 且事件 互斥 人击中目标” （3）“至少有 人击中目标”包括两种情况： ） 至少有1人击中目标 包括两种情况： 一种是恰有1人击中 另一种是恰有2人击中 人击中， 人击中. 一种是恰有 人击中，另一种是恰有 人击中
第3章 2.3 互斥事件
2.3 互斥事件学习目标 1.了解互斥事件、事件A ＋B 及对立事件的概念和实际意义.2.能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥、对立.3.学会用互斥事件概率加法公式计算一些事件的概率．知识点一 互斥事件思考 从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，“抽到红桃”与“抽到方块”能否同时发生？ 答案 不能．梳理 在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称作互斥事件．知识点二 事件A ＋B给定事件A ，B ，我们规定A ＋B 为一个事件，事件A ＋B 发生是指事件A 和事件B 至少有一个发生．知识点三 互斥事件概率加法公式思考 一枚均匀的骰子抛掷一次，记事件A ＝“向上的点数大于2”；B ＝“向上的点数大于3”；则P (A ＋B )是否等于P (A )＋P (B )? 答案 A ＋B 即：向上的点数大于2， ∴P (A ＋B )＝46＝23，而P (A )＝46，P (B )＝36，P (A )＋P (B )＝76≠P (A ＋B )．梳理 互斥事件概率加法公式(1)在一个随机试验中，如果随机事件A 和事件B 是互斥事件，那么有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． (2)如果随机事件A 1，A 2，…，A n 中任意两个是互斥事件，那么有P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 知识点四 对立事件思考从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，记A＝“抽到红色牌”；B＝“抽到黑色牌”，则A，B的关系与知识点一思考中两事件关系有何异同？答案共同点：都不能同时发生；不同点：在一次试验中，A，B必有一个发生．梳理在同一次试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件，事件A的对立事件记作A；对立事件概率公式P(A)＝1－P(A)．1．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(×)2．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(√)3．若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.(√)类型一事件的关系与判断例1判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．解(1)是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．(4)是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．反思与感悟如果A，B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A，B这两个事件所含结果组成的集合交集为空集．跟踪训练1一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6,7,8,9,10环．解A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件(至少一个发生)．类型二概率的加法公式例2从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A＝“抽到的是一等品”，事件B＝“抽到的是二等品”，事件C＝“抽到的是三等品”，且P(A)＝0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.05.求下列事件的概率：(1)事件D＝“抽到的是一等品或三等品”；(2)事件E＝“抽到的是二等品或三等品”．解(1)事件D即事件A＋C，因为事件A＝“抽到的是一等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式知，P(D)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.7＋0.05＝0.75.(2)事件E即事件B＋C，因为事件B＝“抽到的是二等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式知，P(E)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.1＋0.05＝0.15.反思与感悟在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率．因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”．跟踪训练2在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率．解 分别记小明的成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B ，C ，D ，E ，这四个事件是彼此互斥的．根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝0.18＋0.51＝0.69.小明考试及格的概率为P (B ＋C ＋D ＋E )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.类型三 对立事件的概率例3 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示，随机选取1个成员：(1)他至少参加2个小组的概率是多少？ (2)他参加不超过2个小组的概率是多少？解 (1)从题图可以看出，3个课外兴趣小组总人数为60.用A 表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则A 就表示“选取的成员至少参加2个小组”， 所以P (A )＝1－P (A )＝1－6＋8＋1060＝35＝0.6.因此，随机选取1个成员至少参加2个小组的概率是0.6. (2)用B 表示事件“选取的成员参加3个小组”， 则B 就表示“选取的成员参加不超过2个小组”， 所以P (B )＝1－P (B )＝1－860＝1315.所以随机选取的1个成员参加不超过2个小组概率等于1315.反思与感悟 求复杂事件的概率通常有两种方法： 一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．跟踪训练3某战士射击一次，若事件A＝“中靶”的概率为0.95，事件B＝“中靶环数大于5”的概率为0.7.(1)A的概率为多少？(2)事件C＝“中靶环数小于6”的概率为多少？(3)事件D＝“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？解(1)因为A与A互为对立事件，所以P(A)＝1－P(A)＝0.05.(2)事件B与事件C互为对立事件，所以P(C)＝1－P(B)＝0.3.(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即P(D)＝P(C)－P(A)＝0.3－0.05＝0.25.1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A＋B＝A时，P(A＋B)＝P(A)，∴④错；只有当A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．2．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是()A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上答案都不对答案 C解析 由于只有一本语文书，甲、乙两同学不可能同时得到，所以这两个事件为互斥事件．又因为甲、乙可以都得不到语文书，所以这两事件不是对立事件．3．在同一事件下，若P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1，事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立 D ．以上答案都不对答案 C4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是( ) A ．至少有一个红球；都是红球 B ．至少有一个红球；都是白球 C ．至少有一个红球；至少有一个白球 D ．恰有一个红球；恰有两个红球 答案 D解析 可以先考虑哪几对事件是互斥的，然后从中排除还是对立的事件后，即可获得互斥而不对立的事件．在各选项所涉及的四对事件中，仅选项B 和D 中的两对事件是互斥事件．同时，又可以发现选项B 所涉及事件是一对对立事件，而D 中的这对事件可以都不发生，故不是对立事件． 5．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是14，乙队胜的概率是13，则甲队胜的概率是________． 答案512解析 记甲队胜为事件A ， 则P (A )＝1－14－13＝512.1．互斥事件与对立事件的判定(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.①事件A与B 互斥，即集合A∩B＝∅；②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，也即A＝∁I B 或B＝∁I A；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.2．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.一、选择题1．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)等于()A．0.3 B．0.2C．0.1 D．不确定答案 D解析由于不能确定A与B是否互斥，所以P(A＋B)的值不能确定．2．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立 D ．不互斥、不对立答案 C解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A 与事件B 的关系是互斥且对立．3．从1,2，…，9中任取两个数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述几对事件中是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③ 答案 C解析 从1,2，…，9中任取两个数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．①中“恰有一个偶数”和“恰有一个是奇数”是同一个事件，因此不互斥也不对立；②中“至少有一个是奇数”包括“两个都是奇数”这个事件，可以同时发生，因此不互斥也不对立；④中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”，可以同时发生，因此不互斥也不对立；③中是对立事件，故选C.4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在4.8～4.85(g)范围内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.68 答案 C解析 设“质量小于4.8g ”为事件A ，“质量小于4.85 g ”为事件B ，“质量在4.8 g ～4.85 g ”为事件C ，则A ＋C ＝B ，且A ，C 为互斥事件，所以P (B )＝P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )，则P (C )＝P (B )－P (A )＝0.32－0.3＝0.02.5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A.15B.25C.35D.45 答案 C解析 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A ，B ，C ，D ，E ，则A ，B ，C ，D ，E 互斥，取到理科书的概率为事件B ，D ，E 概率的和． ∴P (B ＋D ＋E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35.6．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50<T ≤100时，空气质量为良；100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为( ) A.35 B.1180 C.119 D.56 答案 A解析 由于空气质量达到良或优包含污染指数T ≤100，由互斥事件概率的加法公式，得该城市2017年空气质量达到良或优的概率为110＋16＋13＝35.7．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C解析 由题意知，B 表示“大于或等于5的点数出现”， 事件A 与事件B 互斥，由概率的加法计算公式， 可得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝26＋26＝46＝23.8．在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为710的是( )A ．都是一级品B ．都是二级品C ．一级品和二级品各1件D ．至少有1件二级品 答案 D解析基本事件总数为10,2件都是一级品包含的基本事件有3种，因此至少有1件二级品的基本事件有7种，故“至少有1件二级品”的概率为710.二、填空题9．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为49，则至少有一个5点或6点的概率是________．答案 59解析 记“同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点”的事件为A ，则P (A )＝49，至少有一个5点或6点的事件为B .则A 与B 是对立事件，所以P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59. 故至少有一个5点或6点的概率为59. 10．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A 表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B 表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P (A )＝310，P (B )＝12，则“3个球中既有红球又有白球”的概率为________．答案 45解析 记事件C 为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A “3个球中有1个红球，2个白球”和事件B “3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A 与事件B 是互斥的，所以P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝310＋12＝45. 11．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人． 答案 120解析 可设参加联欢会的教师共有n 人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－920＝1120. 再由题意，知1120n －920n ＝12，解得n ＝120. 三、解答题12．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解 (1)记“他乘火车去”为事件A 1，“他乘轮船去”为事件A 2，“他乘汽车去”为事件A 3，“他乘飞机去”为事件A 4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．故P (A 1＋A 4)＝P (A 1)＋P (A 4)＝0.3＋0.4＝0.7.所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P ，则P ＝1－P (A 2)＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P (A 1)＋P (A 2)＝0.3＋0.2＝0.5，P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．13．玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112. (1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．解 方法一 (1)因为事件A ，B ，C ，D 彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34. (2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112. 方法二 (1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A ＋B 的对立事件为C ＋D ，所以P (A ＋B )＝1－P (C ＋D )＝1－P (C )－P (D )＝1－16－112＝34，即“取出1个球为红球或黑球”的概率为34. (2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A ＋B ＋C 的对立事件为D ，所以P (A ＋B ＋C )＝1－P (D )＝1－112＝1112， 即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为1112.四、探究与拓展14．事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A )＝________. 答案 35解析 由题意知P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又P (A )＝2P (B )，联立方程组解得P (A )＝25，P (B )＝15，故P (A )＝1－P (A )＝35. 15．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的． 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ P (A )＝13，P (B ＋C )＝512，P (C ＋D )＝512，P (A ＋B ＋C ＋D )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ P (B )＋P (C )＝512，P (C )＋P (D )＝512，13＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14， 故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.。
随机事件的互斥事件和独立事件
随机事件的互斥事件和独立事件1. 互斥事件1.1 定义互斥事件（Mutually Exclusive Events）指的是两个事件不可能同时发生。
用数学符号表示为：A ∩ B = ∅，即事件A和事件B的交集为空集。
1.2 性质（1）完备性：对于任意事件A，有P(A) = P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，其中B’为事件B的补集。
（2）互斥事件的概率公式：若A1, A2, …, An为互斥事件，则P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。
1.3 应用互斥事件在实际生活中有很多应用，如在抽奖活动中，中奖和不中奖这两个事件就是互斥的。
在统计分析中，也可以利用互斥事件来计算概率。
2. 独立事件2.1 定义独立事件（Independent Events）指的是两个事件的发生与否互不影响。
用数学符号表示为：P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
2.2 性质（1）组合性：对于任意事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。
（2）独立事件的乘法公式：若A1, A2, …, An和B1, B2, …, Bm为独立事件，则P(A1 ∩ B1 ∩ … ∩ An ∩ Bm) = P(A1)P(B1) … P(An)P(Bm)。
2.3 应用独立事件在实际生活中也有很多应用，如在投掷两个骰子的情况下，第一个骰子出现1点，第二个骰子出现2点的概率就是独立事件。
在统计分析中，独立事件可以用来计算联合概率。
3. 互斥事件与独立事件的区别与联系3.1 区别（1）定义不同：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响。
（2）概率公式不同：互斥事件的概率公式为P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，独立事件的概率公式为P(A)P(B)。
3.2 联系（1）互补事件：互斥事件和独立事件都可以看作是互补事件。
高中数学课件-互斥事件
思考：事件A＋B的概率是多少？
如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生（即A， B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别 发生的概率的和.
即：P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
注意：事件A与B不可能同时发生．
1.互斥事件的定义
❖不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．
❖对于上面的事件A、B、C，其中任何两个都是互斥 事件，这时我们说事件A、B、C彼此互斥．
❖一般地，若事件A1，A2，…，An中的任何两个都是
互斥事件，那么就说事件A1，A2，…，An彼此互斥．
❖从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事 件所含的结果组成的集合彼此互不相交，
()
①将一枚硬币抛两次,设事件A为”两次出现正面”,
事件B为”只有一次出现反面”,则事件A与B是对立事
件;
②若事件A与B为对立事件,则事件A与B为互斥事件
③若事件A 与B为互斥事件,则事件A与B为对立事件;
④若事件A与B为对立事件,则事件A+B为必然事件.
A．1
B. 2 C．3 D．4
4.甲,乙两人下棋,甲获胜的概率为40％,甲不输的概率为90
互斥事件与对立事件的判断
一个射手进行一次射击,记“命中的环数大于8” 为事件A,“命中的环数大于5”为事件B,“命中的环数 小于4”为事件C,“命中的环数小于6”为事件D.那么A、 B、C、D中有多少对互斥事件?是否有对立事件?
【解析】A 与 C,A 与 D,B 与 C 是互斥事件,但不是对立事件.因 为此三组中的任意两个事件都是不可能同时发生的,所以是互斥事 件.同时,不能保证其中一个一定发生,故二者不是对立事件.B 与 D 既是互斥事件,又是对立事件.
事件的互斥和独立性质
事件的互斥和独立性质事件的互斥性和独立性质在概率论和统计学中具有重要的意义。
互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生的情况，而独立事件则指两个或多个事件的发生与否相互独立，不会相互影响。
本文将从理论和实际应用的角度探讨事件的互斥性和独立性质。
一、互斥性互斥性指的是两个或多个事件之间的排斥关系，即这些事件不能同时发生。
在事件A与事件B互斥的情况下，当A发生时，B不可能发生；当B发生时，A不可能发生。
互斥事件可以用逻辑运算中的“或”来表示。
以投掷一枚硬币为例，事件A表示硬币正面朝上，事件B表示硬币反面朝上。
由于硬币的正面和反面是互斥的，因此投掷硬币时，事件A与事件B只能发生其中之一。
同样，抛掷一颗骰子，事件A表示骰子点数为奇数，事件B表示骰子点数为偶数，也是互斥事件。
互斥事件在实际生活中也非常常见。
例如，在一场足球比赛中，事件A表示主队获胜，事件B表示客队获胜。
由于任意一只球队只能获胜一次，因此事件A与事件B是互斥的。
二、独立性独立性指的是两个或多个事件的发生与否相互独立，一个事件的发生不会影响其他事件的发生概率。
在独立事件中，事件A的发生概率与事件B的发生概率是相互独立的，可以用逻辑运算中的“与”来表示。
以抛掷两枚硬币为例，事件A表示第一枚硬币正面朝上，事件B表示第二枚硬币正面朝上。
由于两枚硬币之间相互独立，第一枚硬币的结果不会影响第二枚硬币的结果，因此事件A与事件B是独立事件。
独立事件也可以通过概率进行计算。
假设事件A是投掷一颗骰子点数为奇数，事件B是投掷两颗骰子点数之和大于8。
如果这两个事件是独立的，我们可以通过分别计算事件A和事件B的概率来求出它们的交集概率。
如果这两个事件不是独立的，计算它们的交集概率则需要考虑它们之间的依赖关系。
事件的互斥性和独立性在现实生活中有广泛的应用。
在统计学中，互斥事件和独立事件是基本的概率性质，可以用来描述和计算事件发生的概率。
在风险管理领域，对事件的互斥性和独立性进行分析和评估可以帮助我们制定有效的风险控制策略。
三个事件的概率计算公式
三个事件的概率计算公式1. 三个互斥事件的概率加法公式。
- 如果事件A、B、C两两互斥（即A∩ B=varnothing，A∩ C=varnothing，B∩ C=varnothing），那么P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)。
- 例如：掷骰子，事件A为掷出1点，事件B为掷出2点，事件C为掷出3点。
这三个事件两两互斥，P(A)=(1)/(6)，P(B)=(1)/(6)，P(C)=(1)/(6)，P(A∪ B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=(1)/(6)+(1)/(6)+(1)/(6)=(1)/(2)。
2. 三个相互独立事件的概率乘法公式。
- 如果事件A、B、C相互独立（即P(A∩ B)=P(A)P(B)，P(A∩ C)=P(A)P(C)，P(B∩ C)=P(B)P(C)，P(A∩ B∩ C)=P(A)P(B)P(C)）。
- 例如：有三个口袋，第一个口袋中有2个红球3个白球，从第一个口袋中取到红球的概率P(A)=(2)/(5)；第二个口袋中有3个红球2个白球，从第二个口袋中取到红球的概率P(B)=(3)/(5)；第三个口袋中有4个红球1个白球，从第三个口袋中取到红球的概率P(C)=(4)/(5)。
因为从每个口袋取球的事件相互独立，所以从三个口袋中都取到红球的概率P(A∩ B∩ C)=P(A)P(B)P(C)=(2)/(5)×(3)/(5)×(4)/(5)=(24)/(125)。
3. 一般情况下（非互斥、非独立）三个事件的概率公式。
- P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩ B)-P(A∩ C)-P(B∩ C)+P(A∩ B∩ C)。
- 例如：在一个班级中，事件A表示学生喜欢数学，P(A) = 0.6；事件B表示学生喜欢语文，P(B)=0.5；事件C表示学生喜欢英语，P(C)=0.4。
同时喜欢数学和语文的概率P(A∩ B)=0.3，同时喜欢数学和英语的概率P(A∩ C)=0.2，同时喜欢语文和英语的概率P(B∩ C)=0.15，同时喜欢三门课的概率P(A∩ B∩ C)=0.1。
概率2.3 互斥事件
2．3互斥事件[学习目标] 1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．知识点一互斥事件与对立事件发生是指思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？知识点二概率的几个基本性质1．概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即.(2) 的概率为1.(3) 的概率为0.2．互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，A＋B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A＋B的频率f n(A＋B)＝f n(A)＋f n(B)，则概率的加法公式为P(A＋B)＝．3．对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝．题型一互斥事件、对立事件的概念例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球题型二和事件的概念例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．反思与感悟事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？题型三对立事件、互斥事件的概率例3同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．反思与感悟 1.互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练3某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率．求复杂事件的概率例4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率； (2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．解后反思 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P (A )＝1－P (B )(B 是A 的对立事件)．1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立，对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． 3．求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立D ．不互斥、不对立3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( ) A ．A ⊆D B ．B ∩D ＝∅ C ．A ∪C ＝DD ．A ∪C ＝B ∪D5．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a ，b ，c }的子集的概率是34，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是( )A.35B.25C.14D.186．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________．7．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为49，则5点或6点至少出现一个的概率是________．8．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．一、选择题1．已知P (A )＝0.1，P (B )＝0.2，则P (A ＋B )等于( ) A ．0.3 B ．0.2 C ．0.1D ．不确定2．若A 、B 是互斥事件，则( ) A ．P (A ＋B )<1 B ．P (A ＋B )＝1 C ．P (A ＋B )>1D ．P (A ＋B )≤13．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为( ) A ．0.09 B ．0.97 C ．0.99D ．0.964．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③D ．①③6．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；③若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1；④事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．其中错误命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．37．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56二、填空题8．若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ＋B )＝0.7，则P (B )＝________.9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．10．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．三、解答题12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的．由题意，得⎩⎨⎧P (A )＝13， P (B ＋C )＝512， P (C ＋D )＝512， P (A ＋B ＋C ＋D )＝1，即⎩⎨⎧P (B )＋P (C )＝512， P (C )＋P (D )＝512， 13＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，解得⎩⎨⎧P (B )＝14， P (C )＝16， P (D )＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.13．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.由于B，O型血可以输给B型血的人，因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得：P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，所以P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.[学习目标] 1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．知识点一 几何概型的含义1．几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 思考 几何概型与古典概型有何区别？ 答 几何概型与古典概型的异同点P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？ 答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一 与长度有关的几何概型例1 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1 m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练1 平面上画了一组彼此平行且相距2a 的平行线．把一枚半径r ＜a 的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解 设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A .如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r 的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰．故P (A )＝虚线间距离平行线间距离＝2a －2r 2a ＝a －ra .题型二 与面积有关的几何概型例2 如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解 记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×12.22cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.反思与感悟 解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解 如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)． 所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 题型三 与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率P ＝78.反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率． 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.题型四 与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件． 于是，记事件B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}． 因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝16.反思与感悟 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解 因为CM 是∠ACB 内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB 的大小，即为90°， 所以作AC ′＝AC ，且∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM 在∠ACC ′内部的任意一个位置时，皆有AM ＜AC ′＝AC ，即P (AM ＜AC )＝67.5°90°＝34.转化与化归思想例5 把长度为a 的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析 将长度为a 的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解 设将长度为a 的木棒任意折成三段的长分别为x ，y ，a －x －y ，则(x ，y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤a ，0≤y ≤a ，0≤x ＋y ≤a ，它所构成的区域为图中的△AOB .设事件M ＝{能构成一个三角形}， 则当(x ，y )满足下列条件时，事件M 发生．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a －x －y ，x ＋a －x －y ＞y ，y ＋a －x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a 2，y ＜a2，x ＜a 2，它所构成的区域为图中的阴影部分， 故P (M )＝S 阴影S △AOB ＝12×⎝⎛⎭⎫a 2212×a 2＝14.故满足条件的概率为14.解后反思 解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79答案 C解析 此数不大于2的概率P ＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.2．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12 答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是( )A.13B.23C.43 D ．无法计算答案 C解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56 答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.5．在1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________． 答案31 000解析 由几何概型知，P ＝31 000.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).。
高二数学 互斥事件
高二数学 互斥事件一、知识要点：1、互斥事件① 如果两个事件A 和B 不能同时发生，则称A 和B 是互斥事件。
② 如果事件n A A A ,,,21 中的任意两个都是互斥事件，就说事件n A A A ,,,21 彼此互斥。
2、对立事件两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件。
事件A 的对立事件记为A 。
3、互斥事件的概率加法公式如果事件A ，B 为互斥，当事件A 、B 至少有一个发生，我们把这个事件记作A+B 。
如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+．一般地，如果事件n A A A ,,,21 两两互斥，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++4、对立事件的性质对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而1)()()(=+=+A P A P A A P ．因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=。
5、互斥事件有与对立事件的区别与联系对立必互斥，互斥未必对立。
二、典型例题：例1、 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报也不订”。
判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件。
⑴A 与C ⑵B 与E ⑶B 与D ⑷B 与C ⑸C 与E（2）求射击1次，命中不足7环的概率。
例3、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品。
例4、鞋柜有4双不同的鞋，随机取出4只，试求下列事件的概率：（1）取出的鞋都不成对；（2）取出的鞋恰好有2只是成对的；（3）取出的鞋至少有2只成对；（4）取出的鞋全部成对。
高三数学互斥事件概率
二、重点难点 ：
互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公 式是重点；互斥事件、对立事件的概念及 二者的联系与区别及应用是难点。
三、思维方式 ：
在求某些稍复杂的事件的概率时通常有两 种方法：一是将所求事件的概率分化成一 些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求 出此事件的对立事件的概率，即用逆向思 维法。正难则反的思想。
（1）三个组各有一个亚洲队的概率； （2）至少有两个亚洲队分在同一组的 概率。
五、例题：
思维点拨：要能正确熟练地掌握排列、 组合的有关计算。
五、例题：
例5、从一副52张的扑克牌中任取4张，求 其中至少有两张牌的花色相同的概率。
思维点拨：直接计算符合条件的事件个数 较繁时，可间接地先计算对立事件的个数， 求得对立事件的概率，再求出符合条件的 事件的概率。
第二节 互斥事件 有一个发生的概率
一、基本知识概要：
1、互斥事件：如果事件A与B不能同时发生 （即A发生B必不发生或者B发生A必不发 生），那么称事件A，B为互斥事件（或称 互不相容事件）。如果事件A1，A2，… An 中任何两个都是互斥事件，那么称事件A1， A2，…An彼此互斥。
一、基本知识概要：
六、课堂小结
1．互斥事件不一定是对立事件、对立事件 一定是互斥事件。在求用“至少”表达的 事件的概率时，先求其对立事件的概率往 往比较简便。
2．把一个复杂事件分解成几个彼此互斥的 事件时，要做到不重复不遗漏。
六、课堂小结
3．互斥事件的概率加法公式
利用互斥事件的概率加法公式来求概率， 首先要确定事件彼此互斥，然后求出事件 分别发生的概率，再求其和。在具体计算 中，利用 P(A) 1 P(A)或 P(A) 1 P( A)常可 使概率的计算简化。
互斥事件的概率计算公式
互斥事件的概率计算公式
互斥事件是指不能同时发生的事件，例如在一次抛掷两枚硬币的实验中，出现两个正面的可能性为零。
因此，计算互斥事件发生的概率公式为：
P（A∩B）=0
其中，A和B分别表示两个互斥事件。
以抛掷硬币为例，要计算硬币抛掷后正反面同时出现的概率，可以使用上述公式：
P（正面∩反面）=0
可以看出，两个互斥事件同时发生的概率为零，也就是说，在这个实验中，抛掷硬币出现两个正面的可能性为零。
同样，我们可以使用此公式来计算其他互斥事件发生的概率，例如抛掷两个骰子后出现两个六的概率为：
P（六∩六）=0
这意味着，抛掷两个骰子后出现两个六的可能性为零。
因此，用互斥事件的概率计算公式可以计算任意互斥事件发生的概率，即P（A∩B）=0，其中A和B分别表示两个互斥事件。
由此可
见，互斥事件发生的概率总是为零。
第十章 §10.5 互斥事件与独立事件
§10.5互斥事件与独立事件知识梳理1．互斥事件(1)定义不能同时发生的两个事件称为互斥事件．(2)互斥事件的加法公式如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．一般地，如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．2．对立事件如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件A的对立事件记为A，对立事件概率公式P(A)＝1－P(A)．3．相互独立事件(1)概念：一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A，B为相互独立事件．(2)结论：A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．(3)相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．4．随机事件的概率其他常用性质(1)当A⊆B时，P(A)≤P(B)；(2)当A，B不互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．常用结论1．当事件A，B互斥时，不一定对立；当事件A，B对立时，一定互斥．即两事件互斥是对立的必要不充分条件．2．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对立事件一定是互斥事件．(√)(2)若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，则事件A，B互斥且对立．(×)(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(×)(4)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则A，B相互独立．(√)教材改编题1.事件A与事件B的关系如图所示，则()A．A⊆BB．A⊇BC．A与B互斥D．A与B互为对立事件答案C解析由题图知，事件A与事件B不能同时发生，且A∪B≠Ω，因此A与B互斥不对立，故选C.2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为()A．0.9B．0.3C．0.6D．0.4答案D解析设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则P(A)＝1－P(A)＝1－0.6＝0.4. 3．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为()A．1B．0.629C．0D．0.74或0.85答案B解析由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，∴甲、乙两根保险丝都熔断的概率为0.85×0.74＝0.629.题型一互斥事件与对立事件例1(1)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是()A．A⊆BB．A∩B＝∅C．A∪B＝“至少一次中靶”D．A与B互为对立事件答案BC解析事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事件，所以AD选项错误，B选项正确．A∪B＝“至少一次中靶”，C选项正确．(2)(多选)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则()A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是13答案BD解析事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确；事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是13，D正确．教师备选1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C i＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是()A．C1与C2对立B．D1与D2互斥C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)答案C解析对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故选项A不正确；对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故选项B不正确；对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生F一定发生，所以D3⊆F，故选项C正确；对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故选项D不正确．2．(多选)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A＝“恰有一个偶数”；B＝“恰有一个奇数”；C＝“至少有一个是奇数”；D＝“两个数都是偶数”；E＝“至多有一个奇数”．下列结论正确的有()A．A＝B B．B⊆CC．D∩E＝∅D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω答案ABD解析事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E有公共事件，故C错误；此时C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω.思维升华事件的关系运算策略(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．跟踪训练1(1)(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是()A．至少有1个红球与至少有1个黑球B．至少有1个红球与都是黑球C．至少有1个红球与至多有1个黑球D．恰有1个红球与恰有2个红球答案D解析对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生．所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；对于C，不互斥．如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有3个红球．(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：A i＝“向上的点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是()A.A1⊆B B．A2＋B＝ΩC．A3与B互斥D．A4与B对立答案C解析对于A，A1＝{2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，∴B⊆A1，故A错误；对于B，A2＋B＝{2}∪{2,4,6}＝{2,4,6}≠Ω，故B错误；对于C，A3与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，A4＝{4}，B＝{1,3,5}，A4与B是互斥但不对立事件，故D错误．题型二概率的基本性质例2某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2个的概率；(2)求派出医生至少2个的概率．解设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2个”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二“派出医生至少2个”的概率为1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74.教师备选1．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A＋B)等于()A.12B.23C.56D ．1答案B 解析方法一A 包含向上点数是1,3,5的情况，B 包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A ＋B 包含了向上点数是1,2,3,5的情况，故P (A ＋B )＝46＝23.方法二P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝12＋12－26＝1－13＝23.2．甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为()A.18B.16C.14D.12答案C解析所有的排法有A 44＝24(种)，若甲、丙之间恰好为乙，则有A 22A 22种排法；若甲、丙之间恰好为丁，则有A 22种排法，故所求的概率为P ＝A 22A 22＋A 22A 44＝624＝14.思维升华求复杂互斥事件的概率的两种方法(1)直接法(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)．跟踪训练2(1)(2022·东营模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为()A.12B.710C.920D.1120答案B解析设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A ，则A 表示这个音序中不含宫和羽这两个音序，∴P (A )＝1－P (A )＝1－A 23A 25＝1－3×25×4＝710.(2)(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型A B AB O 该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血，O 型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB 血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是()A ．任找一个人，其血可以输给B 型血的人的概率是0.64B ．任找一个人，B 型血的人能为其输血的概率是0.29C ．任找一个人，其血可以输给O 型血的人的概率为1D ．任找一个人，其血可以输给AB 型血的人的概率为1答案AD解析任找一个人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别为A ′，B ′，C ′，D ′，它们两两互斥．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，所以“可以输给B 型血的人”为事件B ′∪D ′，根据概率的加法公式，得P (B ′＋D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64，故A 正确；B 型血的人能为B 型、AB 型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37，B 错误；由O 型血只能接受O 型血的人输血知，C 错误；由任何人的血都可以输给AB 型血的人，知D 正确．题型三相互独立事件的概率例3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立答案B解析事件甲发生的概率P (甲)＝16，事件乙发生的概率P (乙)＝16，事件丙发生的概率P (丙)＝56×6＝536，事件丁发生的概率P (丁)＝66×6＝16.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P (甲丙)≠P (甲)P (丙)，故A 错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6＝136，P (甲丁)＝P (甲)P (丁)，故B 正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6＝136，P (乙丙)≠P (乙)P (丙)，故C 错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D 错误．(2)(2022·福州模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为13，投中壶耳的概率为15.四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为()A.1375B.375C.815D.875答案A解析由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：(1)第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，其概率为P 1＝13×15＝115；(2)第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，其概率为P 2＝15×＝875，所以乙赢得这局比赛的概率为P ＝P 1＋P 2＝115＋875＝1375.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．跟踪训练3溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为23，乙队每人回答问题的正确率分别为12，23，34，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．解(1)记“甲队总得分为3分”为事件A ，“甲队总得分为1分”为事件B .甲队得3分，即三人都回答正确，其概率P (A )＝23×23×23＝827，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余2人都回答错误，其概率P (B )＝23××23××23＝29.故甲队总得分为3分与1分的概率分别为827，29.(2)记“甲队总得分为2分”为事件C ，“乙队总得分为1分”为事件D .甲队得2分，即甲队三人中有2人回答正确，1人回答错误，则P (C )＝23×23×＋23××23＋×23×23＝49，乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，则P (D )＝12××23××34＝14.由题意得事件C 与事件D 相互独立，则甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P (CD )＝P (C )P (D )＝49×14＝19.。
事件互斥的概念
事件互斥的概念事件互斥是一个由概率论和统计学衍生出的重要概念。
它描述了在一定条件下，两个或多个事件之间不能同时发生的概率关系。
在概率论和统计学中，事件互斥是指两个事件不能同时发生的情况，即两个事件中的一个发生时，另一个事件必然不发生。
事件互斥的概念在现实生活中非常普遍。
例如，考虑抛掷一枚硬币的情况。
当硬币抛掷后，它只能出现正面或者反面，而不可能同时出现正面和反面。
因此，正面和反面是事件互斥的。
类似地，掷骰子时，出现的点数只能是一个值，而不可能同时出现多个点数，因此点数之间是事件互斥的。
为了进一步理解事件互斥的概念，我们可以考虑两个事件A和B，它们互斥的情况下满足以下条件：1. 事件A和事件B不能同时发生。
这意味着当事件A发生时，事件B必然不发生；而当事件B发生时，事件A必然不发生。
2. 如果事件A发生的概率大于0，则事件B发生的概率必然为0；反之亦然。
因为如果事件B发生的概率不为0，那么事件A发生和事件B发生的概率之和就大于1，这与概率的定义相矛盾。
3. 事件A和事件B的并集概率等于两个事件的边缘概率之和。
也就是说，P(A∪B) = P(A) + P(B)。
通过以上的定义和条件，我们可以更好地理解事件互斥的含义。
事件互斥是指两个或多个事件之间的互斥性，也就是说它们不能同时发生。
这种互斥性在统计分析和概率计算中非常重要。
如果两个事件不互斥，那么它们发生的概率之和将超过1，这是无法接受的。
除了上述的概念和条件，事件互斥还有一些重要的性质和推论：1. 互斥事件的边缘概率：如果事件A和事件B是互斥事件，那么P(A) + P(B) = 1。
这是因为事件A和事件B不能同时发生，所以它们的概率之和必然等于1。
2. 互斥事件的交集概率：如果事件A和事件B是互斥事件，那么它们的交集概率为0，即P(A∩B) = 0。
这是因为如果事件A和事件B发生的概率都不为0，那么它们的概率之和将大于1，与概率的定义相矛盾。
3. 互斥事件的补事件：如果事件A和事件B是互斥事件，那么它们的补事件也是互斥的。
第1部分 第三章 § 2 2.3 互斥事件
件的概率转化为求某些互斥事件和的概率，另外也可考虑 用古典概型以及对立事件来解决．
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[精解详析]
法一：利用等可能事件求概率．
(1)从 12 个球中任取 1 球得红球有 5 种取法，得黑球有 4 种取法，得红球或黑球共有 5＋4＝9 种不同取法，任取 1 球 有 12 种取法． 9 3 ∴任取 1 球得红球或黑球的概率为 P1＝ ＝ . 12 4 (2)从 12 个球中任取一球得红球有 5 种取法，得黑球有 4 种取法，得白球有 2 种取法．从而得红球或黑球或白球的概 5＋4＋2 11 率为 ＝ . 12 12
(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大
于9”．
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解：(1)是互斥事件，不是对立事件． 从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃” 是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证
其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅
花”，因此， 二者不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件． 从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑 色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，
a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，
(a3，b2)，(b1，b2)． 返回
(2)用 A 表示“恰有一名参赛学生是男生”这一事件，则 A 包 含的所有基本事件为：(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2，)， (a3，b1)，(a3，b2)， 6 故 P(A)＝ ＝0.6. 10
∵A、B、C、D两两互斥，∴P(F)＝1－0.28－0.25－0.23－
0.21＝0.03. 返回
[例3]
一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个
初中数学 什么是互斥事件
初中数学什么是互斥事件
互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况。
当两个事件互斥时，它们的交集为空集。
换句话说，如果一个事件发生了，那么另一个事件一定不会发生。
在数学中，我们可以使用符号"∩" 来表示两个事件的交集。
如果两个事件的交集为空集，即A ∩ B = ∅，那么这两个事件就是互斥事件。
举个简单的例子来说明互斥事件。
假设有一个骰子，事件A表示投掷结果为偶数，事件B 表示投掷结果为奇数。
显然，一个骰子的结果既不可能同时是偶数又同时是奇数，所以事件A和事件B是互斥事件。
互斥事件在数学中有许多实际应用。
例如，在概率论中，我们可以通过计算互斥事件的概率来求解复杂的概率问题。
此外，在集合论中，互斥事件的概念也被广泛应用于集合的运算和推理中。
总结一下，互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况。
通过分析事件的交集是否为空集，我们可以确定两个事件是否互斥。
对立事件和互斥事件公式
对立事件和互斥事件公式
对立事件和互斥事件是概率论中常用的概念，用于描述两个事件之间的关系。
在概率论中，事件是指可能发生或不发生的某种情况或结果。
下面我们将介绍对立事件和互斥事件的定义和相关公式。
对立事件是指两个事件中至少一个事件发生的情况下，另一个事件一定不会发生。
换句话说，对立事件是互相排斥的事件。
如果事件A和事件B是对立事件，那么当事件A发生时，事件B一定不会发生；反之亦然。
对立事件可以用符号表示为A和B。
对立事件的概率公式是：P(A) + P(B) = 1。
这是由于在概率论中，所有可能的事件的概率之和必须等于1。
因此，如果事件A的概率为P(A)，那么事件B的概率就是1减去事件A的概率，即P(B) = 1 - P(A)。
互斥事件是指两个事件中只能发生一个事件的情况。
换句话说，互斥事件是两个事件中任意一个事件发生了，另一个事件一定不会发生。
互斥事件可以用符号表示为A或B。
互斥事件的概率公式是：P(A或B) = P(A) + P(B)。
这是因为在互斥事件中，事件A和事件B只能发生一个，所以它们的概率之和就等于同时发生事件A和事件B的概率。
需要注意的是，对立事件和互斥事件是不同的概念。
对立事件指的是两个事件中至少一个事件发生，另一个事件不会发生；而互斥事件指的是两个事件中只能发生一个事件。
对立事件是互斥事件的一种特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件。
在实际应用中，对立事件和互斥事件的概念和公式经常被用于计算概率、推导事件的关系以及进行统计分析。
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互斥事件
教学目标：了解互斥事件、对立事件的概念，了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算；2010年考试说明要求A. 知识点回顾：
1.互斥事件的概念：______________________(不可能同时发生的)P(A+B)=P(A)+P(B)；
2.对立事件的概念：______________________(A 、B 不可能同时发生,但A 、B 中必然有一发生)：P(A )+P(A )＝1.
基础训练：
1.某单位要在4名工人中安排2名分别到两处出差（每人被安排是等可能的），则其中甲、乙两人都被安排的概率是_________
2.某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若选出代表为男生的概率是选出代表是女生的概率的
5
4，则这个班的男生人数占全班人数的百分比为_______
3.边长为1的红色小正方体与白色小正方体相间堆成一个3×3×3的大正方体，（同色正方体都没有相邻的面），从中任选一个小正方体，则选中红色正方体的概率为_______
4.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则两件都是一等品的概率是______，两件中有一件是次品的概率是______ 两件都是正品的概率为______
5.抛掷一枚硬币3次，则出现结果是2次正面向上的概率为_______
6.用计算机随机产生的有序二元数组)(y x ，满足1111<<-<<-y x ，，对每个二元数组
)(y x ，，
用计算机计算22y x +的值，记A 为事件“122<+y x ”，则事件A 发生的概率为_______
7.有A 、B 两个口袋，A 袋中有4个白球和2个黑球，B 袋中有3个白球和4个黑球，从A 、B 袋中各取两个球交换后，则A 袋中仍装有4个白球的概率为__________
典型例题：
两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2:1时比赛因故终止，有人提出按2:1分配奖金，分配合理吗，为什么？
一次口试中，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道回答，若答对其中一道即为及格，某位考生会答8道题中的5道题，这位考生及格的概率为_______，若一位考生及格的概率小于50%，则他最多只会_______道题。
检测与反馈：
1．半径为10 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆．现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为 .
2．在平面直角坐标系xOy中，若D表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D内随机地投一点，则落在E中的概率_
4.将扑克牌4种花色的A、K、Q共12张洗匀，（1）甲从中任意抽取2张，抽取2张都为A的概率为_______；（2）若甲已抽到两张K后未放回，则乙抽到2张A的概率________。