小学数学竞赛四 其它类型的问题

四其它类型的问题

例1如图7-7，一支箭头表示一段有方向的路，试计算从A至I有多少条不同的路可走？

分析因为路数总是有限的，于是很自然的想法是用枚举法试试，但是试过几条路后，就会觉得由于道路的错综复杂，哪些路算过，哪些路还没有算过都搞不清了，所以我们不妨换一条思路，用倒推法试一试.

从图上可以看出来，要想到I，就必须经过F、M、H之一，因此从A 至F，M，H各有几条路.其总和便是从A到I所有不同的路数，对F，M，H又可做同样的倒推分析，这样一步一步地倒推下去，最后归结为找A至B，C，D的不同路数，因此再反推过去，便得到如下的计算方法：如果把A至某点的路数记在表示该点的字母旁边，那么，要求A到达某点的路数，只要看有几只箭头到达该点，这几只箭头的尾部数据之和即为所求.为统一起见，A点数据记为1，于是由A到B，C，D的路数分别为1，3，1，到E的路数为1+3+1＝5，其它类推，最后得A至I的路数为24+12+6＝42，见图7-8.

例2有一天，三位小朋友在图书馆相会，其中一个说：我每隔一天来一次.第二个说：我每隔两天来一次.第三个说：我每隔三天来一次.管理员告诉他们说：每逢星期三闭馆，小朋友们说：如果预定来的日子正好闭馆，那就次日来，从今天开始，他们按上述办法来，下一次在星期一他们三人又在图书馆相聚，上次谈话离这个星期一最近可能是星期几？

分析设这三个小朋友分别为A、B、C，对A来说，星期一的前一次是星期六，再前一次是星期四，再前一次是星期几呢？有两种可能性，星期二或星期一，对B，C二人也作类似的倒推分析，我们把分析的结果列成下表，表中的“√”表示可能去图书馆.

解从表中看出，对A和C来说，都在星期四去了图书馆，而星期四的前一次有两种可能性.所以离星期一最近的相遇时间可能是星期六.

例3 把123，124，125三个数分别写在图7-9所示的A，B，C三个小圆内，然后按下面的规则修改这三个数：

第一步：把B中数改为A中数与B中数之和；

第二步：把C中数改成B中（已改过）的数与C中数之和；

第三步：把A中数改为C中（已改过）的数与A中数之和.

再回到第一步，循环做下去.

如果在某一步做完之后，三个圆圈的数都变成了奇数，则停止运算.

为了尽可能多运算几步，那么124应填在哪一个圆圈里？

分析因为题目的要求，只是经过多少次运算后使圆圈中的数全部变为奇数，并不要求算出最后圆圈中的数，因此我们可以把123，124，125看成奇数，偶数，奇数，这个问题变成为一偶数两奇数分别放入三个圆圈中，按规则修改圆圈中的数，为使A，B，C中的数都变成奇数，偶数应放入哪个圆圈，就可以使运算步数尽可能多.

解为了叙述方便，我们用0表示偶数，用1表示奇数，三个圆圈分别用甲、乙、丙表示，从开始一步一步地倒推回去，如图7-10所示.

倒推是有规律的，每一步只有一个圆圈作修改，其它两个圆圈数字没有变，倒退回去，写出文字的表示变化了的，其余的可以照抄.

上面倒推七步就出现了三个圆圈都是奇数，说明从两个奇数和一个偶数出发至多六步.

第一步应从丙加到甲做修改，而题中要求第一步是从A加到B，所以丙就是A，从图中看出，开始时124应放在A中.

说明这道题实质上是利用了以下关系：

奇数+奇数＝偶数

奇数+偶数＝奇数

偶数+偶数＝偶数

有了这三个关系式，我们就可以省去许多数值计算，而同样达到目的.