生物统计学—卡方检验
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如果样本确实是抽自由（P1，P2，…,Pk）代 表的总体，Oi和Ei之间的差异就只是随机误差， 则Pearson统计量可视为服从卡方分布
反之，如果样本不是抽自由（P1，P2，…,Pk） 代表的总体，Oi和Ei之间的差异就不只是是随机 误差，从而使计算出的统计量有偏大的趋势
因此，对Pearson统计量进行单尾检验（即 右尾检验）可用于判断离散型资料的观测值与理 论值是不是吻合
c2
c 2 0.025
否定H0，接受HA，即样本方差与总体方差
试不同质的，认为受到污染的农田铅浓度的方差与正
常农田的方差有显著差异
卡方检验的原理和方法
Pearson定理：当（P1，P2，…,Pk）是总体的真实
概率分布时，统计量 c 2 k ni npi 2
i1 npi
随着n的增加渐近于自由度df=k-1的卡方分布。其中
c 2
1
2
2
xx
将样本方差代入，则：c
2
(k
1) s 2
2
其c2服从自由度为(k-1)的卡方分布
卡方函数的使用
假设
H 0:
2
2 0
,
适用右尾检验，其否定区为：c 2 c2
假设
H 0:
2
2 0
,
适用左尾检验，其否定区为：c
2
c2 1
假设
H
0:
2
2 0
,
适用双尾检验，
其否定区为：c 2
c2 1
n=1 n=4 n=10
n=20
2、卡方分布于区间[0, )，是一种 非对称分布。一般为正偏分布 c2
3、卡方分布的偏斜度随自由度降低而增大，当自由度
为1时，曲线以纵轴为渐近线；当自由度增大的时，
分布曲线渐趋近左右对称，当自由度大于等于30的
时候，卡方分布接近正态分布
4、卡方分布具有“可加性” X、Y 独立，
卡方检验基础
c2值的计算：
c 2 ( A E)2 E
由英国统计学家Karl Pearson首次提出，故被 称为Pearson c2 。
卡方检验基础－用途
检验某个连续变量的分布是否与某种理论分布一致，如是否符合正态 分布等
检验某个分类变量各类的出现概率是否等于指定概率 检验两个分类变量是否相互独立，如吸烟是否与呼吸道疾病有关 检验控制某种或某几种分类变量因素的作用之后，另两个分类变量是 否独立，如上例控制年龄、性别之后，吸烟是否与呼吸道疾病有关 检验两种方法的结果是否一致，如两种诊断方法对同一批人进行诊断， 其诊断结果是否一致
需要计算分布的数字 （X>0） 自由度
CHIINV Probability Degrees_freedom
卡方分布的单尾概率 自由度
卡方检验基础
c2检验是以c2分布为基础的一种假设检验方 法，主要用于分类变量，根据样本数据推断 总体的分布与期望分布是否有显著差异，或 推断两个分类变量是否相关或相互独立。
卡方检验的原理和方法
统计假设： H0：观测值与理论值的差异是由随机误差引起 HA：观测值与理论值之间有真实差异
所以卡方值是度量实际观测值与理论值偏南 程度的一个统计量
卡方值越小，表明观测值与理论值越接近 卡方值越大，表明观测值与理论值相Βιβλιοθήκη Baidu越大 卡方值为0，表明H0严格成立，且它不会有下侧 否定区，只能进行右尾检验
和c
2
c
2
2
2
例：已知某农田受到重金属污染，经抽样测定铅浓度分别为:
4.2, 4.5, 3.6, 4.7, 4.0, 3.8, 3.7, 4.2 (ug/g),方差为0.150, 试检验受到
污染的农田铅浓度的方差是不是和正常浓度铅浓度的方差
（0.065）相同
分析：1）一个样本方差同质性检验
2）事先不知道受污染的农田与正常农田的铅浓度
P1，P2，…,Pk为k种不同属性出现的频率，n为样 本容量，ni为样本中第i种属性出现的次数，是观
测值，记为Oi，pi为第i种属性出现的概率，npi则
可以看成理论上该样本第i种属性出现的次数，理
论值记为：Ei，即 k c2
Oi Ei 2 , (df
k 1)
i 1
Ei
卡方检验的原理和方法
Pearson定理的基本含义：
方差的大小，故双尾检验
解：（1）假设 H 0: 2 0.065 即受到污染的农田铅浓度的方差与 正常农田铅浓度的方差相同，对 H A: 2 0.065
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算
c2
(k
1)s 2
2
8 1 0.150
0.065
16.15
（4）推断：当df＝8-1＝7，由CHIINV(0.025,7)＝16.01，即
应用统计学
第五章 卡方检验
卡方 (c2) 分布
设总体服从正态分布N ~ (μ, σ2 )， X1，X2， …，Xn为来自该正态总体的样本，则样本 方差 s2 的分布为
(n 1)s2
2
~
c 2 (n 1)
将c2(n – 1)称为自由度为(n-1)的卡方分布
主要适用于对拟合优度检验和独立性 检验，以及对总体方差的估计和检验等
卡方 (c2) 分布
总体
m
选择容量为n 的 简单随机样本 计算样本方差S2
计算卡方值
c2 = (n-1)S2/σ2
计算出所有的
c 2值
不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10 n=20
c2
卡方 (c2) 分布的特点
不同容量样本的抽样分布
1、 c2分布是一个以自由度n为参数
的分布族，自由度n决定了分布的 形状，对于不同的n有不同的卡方 分布
卡方检验的原理和方法
由于离散型资料的卡方检验只是近似地服从连 续型变量的卡方分布，所以在对离散型资料进行 卡方检验计算的时，结果常常偏低，特别是当自 由度df=1时，有较大偏差，为此需要进行矫正：
k
cc2 i 1
Oi Ei 0.5 2 Ei
卡方检验的用途
同质性检验 适合性检验 独立性检验
一个样本方差和 总体方差是否相同
观察值和理论 值是否符合
两个或两个以 上因素之间是 否相关
计数 资料
和 属性 资料
一个样本方差的同质性检验
从标准正态总体中抽取k个独立u2之和为卡
方c2
c
2
x
m2
1
2
x
m 2
当用样本平均数估计总体平均数时，有：
X ~ c2(n1) ，Y ~ c2(n2) 则 X + Y ~ c2(n1+ n2)
卡方 (c2) 分布的函数
CHIDIST：自由度为n的卡方分布在x点处的单尾概率 P c 2 x
CHIINV： 返回自由度为n的卡方分布的单尾概率函数的逆函数
CHIDIST X
Degrees_freedom
反之，如果样本不是抽自由（P1，P2，…,Pk） 代表的总体，Oi和Ei之间的差异就不只是是随机 误差，从而使计算出的统计量有偏大的趋势
因此，对Pearson统计量进行单尾检验（即 右尾检验）可用于判断离散型资料的观测值与理 论值是不是吻合
c2
c 2 0.025
否定H0，接受HA，即样本方差与总体方差
试不同质的，认为受到污染的农田铅浓度的方差与正
常农田的方差有显著差异
卡方检验的原理和方法
Pearson定理：当（P1，P2，…,Pk）是总体的真实
概率分布时，统计量 c 2 k ni npi 2
i1 npi
随着n的增加渐近于自由度df=k-1的卡方分布。其中
c 2
1
2
2
xx
将样本方差代入，则：c
2
(k
1) s 2
2
其c2服从自由度为(k-1)的卡方分布
卡方函数的使用
假设
H 0:
2
2 0
,
适用右尾检验，其否定区为：c 2 c2
假设
H 0:
2
2 0
,
适用左尾检验，其否定区为：c
2
c2 1
假设
H
0:
2
2 0
,
适用双尾检验，
其否定区为：c 2
c2 1
n=1 n=4 n=10
n=20
2、卡方分布于区间[0, )，是一种 非对称分布。一般为正偏分布 c2
3、卡方分布的偏斜度随自由度降低而增大，当自由度
为1时，曲线以纵轴为渐近线；当自由度增大的时，
分布曲线渐趋近左右对称，当自由度大于等于30的
时候，卡方分布接近正态分布
4、卡方分布具有“可加性” X、Y 独立，
卡方检验基础
c2值的计算：
c 2 ( A E)2 E
由英国统计学家Karl Pearson首次提出，故被 称为Pearson c2 。
卡方检验基础－用途
检验某个连续变量的分布是否与某种理论分布一致，如是否符合正态 分布等
检验某个分类变量各类的出现概率是否等于指定概率 检验两个分类变量是否相互独立，如吸烟是否与呼吸道疾病有关 检验控制某种或某几种分类变量因素的作用之后，另两个分类变量是 否独立，如上例控制年龄、性别之后，吸烟是否与呼吸道疾病有关 检验两种方法的结果是否一致，如两种诊断方法对同一批人进行诊断， 其诊断结果是否一致
需要计算分布的数字 （X>0） 自由度
CHIINV Probability Degrees_freedom
卡方分布的单尾概率 自由度
卡方检验基础
c2检验是以c2分布为基础的一种假设检验方 法，主要用于分类变量，根据样本数据推断 总体的分布与期望分布是否有显著差异，或 推断两个分类变量是否相关或相互独立。
卡方检验的原理和方法
统计假设： H0：观测值与理论值的差异是由随机误差引起 HA：观测值与理论值之间有真实差异
所以卡方值是度量实际观测值与理论值偏南 程度的一个统计量
卡方值越小，表明观测值与理论值越接近 卡方值越大，表明观测值与理论值相Βιβλιοθήκη Baidu越大 卡方值为0，表明H0严格成立，且它不会有下侧 否定区，只能进行右尾检验
和c
2
c
2
2
2
例：已知某农田受到重金属污染，经抽样测定铅浓度分别为:
4.2, 4.5, 3.6, 4.7, 4.0, 3.8, 3.7, 4.2 (ug/g),方差为0.150, 试检验受到
污染的农田铅浓度的方差是不是和正常浓度铅浓度的方差
（0.065）相同
分析：1）一个样本方差同质性检验
2）事先不知道受污染的农田与正常农田的铅浓度
P1，P2，…,Pk为k种不同属性出现的频率，n为样 本容量，ni为样本中第i种属性出现的次数，是观
测值，记为Oi，pi为第i种属性出现的概率，npi则
可以看成理论上该样本第i种属性出现的次数，理
论值记为：Ei，即 k c2
Oi Ei 2 , (df
k 1)
i 1
Ei
卡方检验的原理和方法
Pearson定理的基本含义：
方差的大小，故双尾检验
解：（1）假设 H 0: 2 0.065 即受到污染的农田铅浓度的方差与 正常农田铅浓度的方差相同，对 H A: 2 0.065
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算
c2
(k
1)s 2
2
8 1 0.150
0.065
16.15
（4）推断：当df＝8-1＝7，由CHIINV(0.025,7)＝16.01，即
应用统计学
第五章 卡方检验
卡方 (c2) 分布
设总体服从正态分布N ~ (μ, σ2 )， X1，X2， …，Xn为来自该正态总体的样本，则样本 方差 s2 的分布为
(n 1)s2
2
~
c 2 (n 1)
将c2(n – 1)称为自由度为(n-1)的卡方分布
主要适用于对拟合优度检验和独立性 检验，以及对总体方差的估计和检验等
卡方 (c2) 分布
总体
m
选择容量为n 的 简单随机样本 计算样本方差S2
计算卡方值
c2 = (n-1)S2/σ2
计算出所有的
c 2值
不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10 n=20
c2
卡方 (c2) 分布的特点
不同容量样本的抽样分布
1、 c2分布是一个以自由度n为参数
的分布族，自由度n决定了分布的 形状，对于不同的n有不同的卡方 分布
卡方检验的原理和方法
由于离散型资料的卡方检验只是近似地服从连 续型变量的卡方分布，所以在对离散型资料进行 卡方检验计算的时，结果常常偏低，特别是当自 由度df=1时，有较大偏差，为此需要进行矫正：
k
cc2 i 1
Oi Ei 0.5 2 Ei
卡方检验的用途
同质性检验 适合性检验 独立性检验
一个样本方差和 总体方差是否相同
观察值和理论 值是否符合
两个或两个以 上因素之间是 否相关
计数 资料
和 属性 资料
一个样本方差的同质性检验
从标准正态总体中抽取k个独立u2之和为卡
方c2
c
2
x
m2
1
2
x
m 2
当用样本平均数估计总体平均数时，有：
X ~ c2(n1) ，Y ~ c2(n2) 则 X + Y ~ c2(n1+ n2)
卡方 (c2) 分布的函数
CHIDIST：自由度为n的卡方分布在x点处的单尾概率 P c 2 x
CHIINV： 返回自由度为n的卡方分布的单尾概率函数的逆函数
CHIDIST X
Degrees_freedom