模式识别导论习题集

模式识别导论习题集

1、设一幅256×256大小的图像，如表示成向量，其维数是多少？如按行串接成一维，则第3行第4个象素在向量表示中的序号。 解：其维数为2；序号为256×2＋4＝516

2、如标准数字1在5×7的方格中表示成如图所示的黑白图像，黑为1，白为0，现若有一数字1在5×7网格中向左错了一列。试用分别计算要与标准模板之间的欧氏距离、绝对值偏差、偏差的夹角表示，异己用“异或”计算两者差异。

解：把该图像的特征向量为5×7＝35维，其中标准模版的特征向量为： x =[0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0]T 待测样本的特征向量为：

y =[0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0]T

因此欧氏距离为35

21

()14i i i x y =-=∑ ，绝对值偏差为351

|()|14i i i x y =-=∑，

夹角余弦为cos 0||||||||

T

x y x y θ=

=⋅，因此夹角为

90度。

3、哈明距离常用来计算二进制之间的相似度，如011与010的哈明距离为1，010与100距离为3。现用来计算7位LED 编码表示的个数字之间的相似度，试计算3与其它数字中的哪个数字的哈明距离最小。

解：是“9”，距离为1

4、对一个染色体分别用一下两种方法描述：

(1)计算其面积、周长、面积/周长、面积与其外接矩形面积之比可以得到一些特征描述，如何利用这四个值？属于特征向量法，还是结构表示法？

(2)按其轮廓线的形状分成几种类型，表示成a 、b 、c 等如图表示，如何利用这些量？属哪种描述方法？ (3)设想其他结构描述方法。

解：

（1）这是一种特征描述方法，其中面积周长可以体现染色体大小，面积周长比值越小，说明染色体越粗，面积占外接矩形的比例也体现了染色体的粗细。把这四个值组成一个维数为4的特征向量，该特征向量可以描述染色体的一些重要特征，可以按照特征向量匹配方法计算样本间的相似度。可以区分染色体和其它圆形、椭圆细胞结构。 （2）a 形曲线表示水平方向的凹陷，b 形表示竖直方向的凹陷，c 形指两个凹陷之间的突起，把这些值从左上角开始，按顺时针方向绕一圈，可以得到一个序列描述染色体的边界。它可以很好的体现染色体的形状，用于区分X 和Y 染色体很合适。这是结构表示法。

（3）可以先提取待识别形状的骨架，在图中用蓝色表示，然后，用树形表示骨架图像。

5. 设在一维特征空间中两类样本服从正态分布，1σ=2σ=1，µ1=0，µ2=3，

两类先验概率之比e P P =)(/)(21ωω，试求按基于最小错误率贝叶斯决策原则的决策分界面的x 值。 解：按照公式（2－84），分界面上的点应满足：

111

[(0)1(0)(3)1(3)]ln ln 0221

11

302116

x x x x e x x --⋅⋅---⋅⋅--+=⇒-+=⇒=

6. 设有两类正态分布的样本集，第一类均值t )0,2(1=μ，⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=∑12/12/11

1，t )2,2(2=μ先验概率)()(21ωωP P =，现按基于最小错误率贝叶斯决策设计

分类器，试求分类器得分界面。 解：按照公式（2－84），分界面上的点应满足：

11112211112212

111

[()()()()]ln ln10221()()()()2T T T T x x x x x x x x x x μμμμμμμμ------⋅⋅---⋅⋅--+=⇒-⋅⋅-=-⋅⋅-⇒=∑∑∑∑

7. 已知某一正态分布二维随机变量的协方差矩阵为⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛12/12/11，均值向量为零向量。试求其mahalanobis 距离为1的点的轨迹。（不要求）

8. 设有二维随机变量的分布如图a 、b 、c 所示的三种情况，协方差矩

阵表示成⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛2221

1211a a a a ，试问这三种分布分别对应哪种情况（A. a12>0 B. a12<0 C. a12≈0）？

解：这3种情况都存在均值向量μ＝0，所以协方差矩阵为

2

11121

22212

2{()}x x x x E x x E x x x x ⎛⎫

⎛⎫

==

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

∑ 所以对于图a 而言，明显有12x x 的平均值>0,因此a →A,

对于图b 而言，明显有12x x 的平均值=0,因此b →C, 对于图b 而言，明显有12x x 的平均值<0,因此c →B,

a b

c

图1

9. 什么叫对称矩阵？什么叫正定矩阵？半正定矩阵？试问协方差矩

阵是否是对称矩阵？

是否是正定矩阵或半正定矩阵？

答：对称阵：a ij =a ji 。正定阵：它的特征值都大于0。半正定阵：它的特征值都大于等于0。协方差矩阵是正定阵。

10. 设有N 个d 维向量组成样本集，表示成X1，…，Xn ，Σ是任一

个非奇异对称阵，证明使∑=--∑-N

k k T k x x x x 11)()(为最小的向量

X 是该样本集的均值向量。（不要求）

证明：显然可以看出这是一个多元二次式。故极值位置是导数为零的

位置，求导，得：

∑∑==--=-∑+∑-N

k N

k k T

k

x x x x

1

1

1

1

0)()(,这是一个一次方程组，在N

x

x N

k k

∑==

1

处得零。故极值在这里取得。