一题多解专题六：等差数列前项和的最值问题
高中数学重点知识研究：等差数列前n项和的最值探究-小姚数学
a1 a2 a3 ak 0 ak 1 ，则： Smin Sk (ak 0) 或 Smin Sk Sk 1 (ak 0) ；
若 d 0，a1 0 时，存在 k N ， a1 a2 a3 ak 0 ak 1 ，则：
Smax Sk (ak 0) 或 Smax Sk Sk 1 (ak 0) ；
所以 a3 35, a4 33 ，故 a1 39, d 2 ，
所以 an a3 n 3 d 35 n 32 41 2n ，
2
学高为师，身正为范
小姚数学专题研究系列
Sn
na1
nn 1
2
d
39n
nn
1
n 40
n
，
法 1： Sn n40 n n 202 400 ，故使得 Sn 达到最大值的 n 是 20 ．
其图象是过原点的抛物线上一种“自变量等距离”的孤立的点．若 Sp Sq p, q N*, p q ，
则 Spq 0.
【变式 3】已知等差数列{an} 的首项 a1 0 ，设 Sn 为{an} 的前 n 项和，且 S6 S11 ， 则 Sn 取得最小值时， n ____________.
四、方法的灵活选取
【例 4】已知an 为等差数列，a1 a3 a5 105, a2 a4 a6 99 ，以 Sn 表示 an 的前 n
项和，则使得 Sn 达到最大值的 n 是
．
【解析】由于 an 为等差数列， a1 a5 2a3 , a2 a6 2a4 ，
又 a1 a3 a5 105, a2 a4 a6 99 ，
一、二次函数法
【例
1】已知等差数列
5,
4
2 7
,3
4 7
,
的前
等差数列的前n项和的最值及应用
法二 同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 又由因aann为＝＋1n＝－∈－2Nn2*＋（，2n7＋≥10），＋27≤0得nn≤ ≥11321212， . 所以当n＝13时，Sn有最大值，为S13＝169.
索引
法三 因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0.所以当n＝13时，Sn有最大值. 由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，又a1＝25， 解得d＝－2， 所以 S13＝13×25＋13×2 12×(－2)＝169， 所以 Sn 的最大值为 169.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
一、基础达标
1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( D )
A.11或12
B.12
C.13
D.12或13
解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列. 又 a1＝24，d＝－2， ∴Sn＝24n＋n（n2－1）×(－2)＝－n2＋25n＝－n－2252＋6425. ∵n∈N*，∴当 n＝12 或 13 时，Sn 最大.
索引
3.做一做 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天 起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天 16
计)共织390尺布，则每天比前一天多织___2_9____尺布(不作近似计算). 解析 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中 a1＝5，S30＝390， 设其公差为 d，则 S30＝30×5＋30×2 29d＝390，解得 d＝1269.故该女子织布每天增 加1269尺.
(文章)等差数列前n项和最值的求法
等差数列前n 项和最值的求法根据等差数列{a n }的前n 项和公式S n =na 1+2)1(-n n d=2d n 2+（a 1-2d ）n ，当a 1＞0，d ＜0时，S n 有最大值，当a 1＜0，d ＞0时，Sn 有最小值。
下面以最大值为例，探讨求Sn 的最值的一般方法。
方法一：S n =2d n 2+（a 1-2d ）n ，d ＜0，S n 可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的自然数n 是S n 取得最大值的n 。
（注：若对称轴为212+n ，则S n 与S n+1同时取得最大值） 方法二：由⎩⎨⎧≥+001n a an ，解出n 的范围，从而确定此范围中的自然数n 。
方法三：设法确定前几项为正，或是否有零项，那么所有非负数项的和最大，若有零项，会有两个和相等并且最大例1 等差数列{a n }中，a 1＞0，公差d ＜0，如果S 7=S 12，求数列{a n }前n 项和S n 的最大值。
分析：用上述三种方法分别求。
解法一：由S 7=S 12，得d=-91a 1，∴S n =na 1+21n （n-1）d=-181a 1（n-219）2+72361a 1。
故当n=9，n=10时，（9-219）2=（10-219）2，所以S 9=S 10并且最大。
解法二：由S 7=S 12，得d=-91a 1，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=+=≥-=-+=+0)9(910)10(91)1(11111n a nd a a n a d n a a n n 得9≤n ≤10，故当n=9，n=10时，（9-219）2=（10-219）2，所以S 9=S 10并且最大。
解法三：由S 7=S 12，得d=-91a 1＜0，知{a n }是递减的等差数列。
∵S 7=S 12，∴a 8+a 9+…+a 12=0∴5a 10=0，由此必有a 1＞a 2＞…＞a 10=0＞a 11＞…，故S 9=S 10并且最大。
等差数列前n项和的最值问题精编版
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-L 当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列前n项和的最值问题
等差数列前n项和的最值问题数列（二）一、数列的最大与最小项和最值问题1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值。
2．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.二、数列的求和1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法. 三、数列其他知识 1．(1) {}{}成等比数列成等差数列na n ba ?{}2n n n a a a n b S A n B n ?=+?=+成等差数列（2）{}{}成等比数列成等比数列kn n a a ? {}{}成等差数列成等比数列n ba n a a n log>2．递推数列：(1)能根据递推公式写出数列的前n 项(2)由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 变化（1）已知0),(11=--n n a S f (2)已知0),(1=--n n n S S S f 四、例题解析例1（1）已知n a =，则 n S =___________。
（2）从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升。
（3）3571013{}3224n a a a a a a ++++=在等差数列中，（）（），则此数列的前13项之和等于_______。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
等差数列的前n项和的最值问题
精品资料
解 方法一 ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋10× 2 9d＝15×20＋15× 2 14d， ∴d＝－53. ∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋635. ∴a13＝0. 即当 n≤12 时，an>0，n≥14 时，an<0. ∴当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S12＝S13＝12×20＋12× 2 11×－53＝130.
S2 009＝0.
(1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值；
(2)求 n 的取值集合，使 an≥Sn.
解 方法一 (1)设公差为 d，则由 S2 009＝0
⇒2
009a1＋2
009×2 2
008d＝0⇒a1＋1
004d＝0，
d＝－1 0104a1，a1＋an＝2 010090－4 na1，
∴Sn＝n2(a1＋an)＝n09n－n2)
∵a1<0，n∈N*，
∴当
n＝1
004
或
1
005精品时资料，Sn
取最小值1
005 2 a1.
(2)an＝1 100050－ 4 na1，
Sn≤an⇔2
a0108(2
009n－n2)≤1
005－n 1 004 a1
∵a1<0， ∴n2－2 011n＋2 010≤0，即(n－1)(n－2 010)≤0，
等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和的最值 问题
精品资料
前n项和Sn最大（最小）
1）在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最大， 可由不等式组 aann100来确定n 2)在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最小， 可由不等式组 aann100来确定n
等差数列前n项和最值的求法_唐辉
由方程an=0得 -2+(n-1)4/9=0
解得n=5.5 取 n=5 根据数列递增性可知a1,a2, a3,a4,a5均为负数，从第 六项起以后各项均为正数，因此前五项的和最小。 代入求和公式Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
解法三：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，
从第n+1项起以后各项均为零或正数，即 an≤0 -2+(n-1)×4/9 ≤0 即 an+1≥0 -2+(n+1-1)×4/9≥0 4/9≥0
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得 3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d， 得d=4/9。
由首项及公Байду номын сангаас知：该数列为递增等差数列。 等差数列前n项和Sn 是n的二次函数，而S3=S7
正说明二次函数是以n=（3+7）/2为对称轴，
且二次函数开口向上，所以当n =5时Sn有最小值。
将n =5 代入前n项和公式，有
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，
从第n+1项起以后各项均为零或正数，即 an≤0 -2+(n-1)×4/9 ≤0 即 an+1≥0 -2+(n+1-1)×4/9≥0 解得 4.5≤n ≤5 .5 所以n=5 即前5项的和最小，将 n =5 代入前n项和公式，
等差数列前n项和最值问题的解法分析
等差数列前n项和最值问题的解法分析等差数列是数学中非常重要的概念，它涉及到许多数学问题，其中一个最经典的问题便是如何求等差数列的前n项和最值问题。
本文以此问题为研究对象，对其解法进行分析，以期为进一步学习带来帮助。
首先，我们需要做的是引入一个关于等差数列的概念：什么是等差数列？等差数列是指满足特定规律的一类数列，其中每一项与它的前一项之间的差是一个常数，而这个常数叫作等差数列的公差，同时，等差数列前n项和指的是从首项开始到第n项止，等差数列所有项的和，这是我们本文要解决的问题。
其次，要解决等差数列前n项和最值问题，首先要明确等差数列的公差，以及首项和第n项的值，这样才能有效地求解等差数列的前n项和最值。
要求等差数列前n项和最值，有以下几种方法：方法一：直接推导法。
根据等差数列的数学表达式，可以直接推导出前n项的和的表达式，即：S=n*a + n(n-1)d/2，其中S表示等差数列前n项和，n表示等差数列的项数，a表示等差数列的首项，d 表示等差数列的公差。
方法二：找规律法。
如果我们能够找出等差数列前n项和的规律，那么也可以求出等差数列前n项和最值。
等差数列前n项和的规律是：S1 = a1 + a2 + a3 +… + an = n * (a1 + an) / 2，其中S1表示等差数列前n项和，n表示等差数列的项数，a1表示等差数列的首项，an表示等差数列的末项。
最后，为了进一步探究等差数列前n项和最值问题，我们可以通过一组具体的等差数列来进行分析。
比如，设数列{a1,a2,a3,…,an}为等差数列，a1=2，d=3，则等差数列前n项和S1=n*(a1+an)/2=n*(2+an)/2，其中n表示等差数列的项数，an表示等差数列的末项的值，an=a1+d*(n-1)=2+3*(n-1)，即an=3n-1。
所以，等差数列前n项和可以表示为S1=n*(2+3n-1)/2，即等差数列前n项和最值为S1=n^2+n-1。
高中数学解决等差数列前n项和的最值问题
高中数学解决等差数列前n项和的最值问题
解决等差数列前n项和的最值问题，有三种解法，函数法是通解通法，其他两种方法则要根据条件决定能否使用。
若数列是等差数列，是其前n项和，则
，其结构是以n为自变量的二次函数，从而数列的最值问题可转化为二次函数的最值问题。
例1、等差数列中，，是前n项和且，求当n为何值时，最大。
解法1（图象法）：设，由，，可知
d<>且二次函数图象的对称轴，故当n=13或14时，最大。
解法2（利用）：由，知，
，可得，即。
又，可知当n<>时，。
当n>14时，。
可得。
故当n=13或14时，最大。
解法3（函数法）：由，可知
，整理得。
所以。
故当n=13或14时，最大。
例2、是等差数列，，，是前n项和，求当n 为何值时，最大。
分析：，。
由，得。
然后解法同上（有兴趣的同学不妨试一试。
）
例3 等差数列中，，，是其前n项和，求当n为何值时，最大。
分析：该题从形式上完全等同于例2，但却不能化为例2的形式。
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《等差数列前n项和的最值》专题
《等差数列前n项和的最值》专题2019年（）月（）日班级姓名探究按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n项和S n取到最值时序号n通过上面的例子，我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号分界点处取到，据此完善下列结论：(1)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的最值．(2)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的最值；特别地，若a1＞0，d＞0，则S1是{S n}的最值;若a1＜0，d＜0，则S1是{S n}的最值．已知数列{a n}的通项公式是a n＝2n－48，则S n取得最小值时，n为________．例2在等差数列{a n}中，a n＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和S n的最小值．小结在等差数列中，求S n的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．训练2在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值．等差数列前n 项和的最值11．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16， 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17[解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．[答案] A求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m . 3．(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n 最大时，n ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：选C ∵a n ＝28－5n ，∴数列{a n }为递减数列．令a n ＝28－5n ≥0，则n ≤285，又n ∈N *，∴n ≤5. ∵S n 为数列{a n }的前n 项和，∴当n ＝5时，S n 最大．故选C.9．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0， ∴S n 的最大值为S 5.答案：S 5例3 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .小结 等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n 项的绝对值之和． 训练3 已知等差数列{a n }中，记S n 是它的前n 项和，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .3．设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝________.4．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值．。
等差数列前n项和的最值问题
0
解得6
nห้องสมุดไป่ตู้
7，所以第六项和第七项取得最大值
S6 S7 7a4 42
典例分析
例1、{an}是等差数列，a2 10, S5 40,求 Sn 的最大值。
方法二 Q S5 5a3 40,a3 8，又Q a2 10,d 2, a1 12
Sn
12n
n(n 1) 2
由Sn的定义可知：
Sn a1 a2 ...... an ,
使得an
0的
n
的最大值使得S
取得最大值。
n
方法一
满足 aann1 00的n使得Sn有最大值。
解决方法
设{an}是等差数列，公差为d, a1 0, d 0
Sn An2 Bn (d 2 A)
方法二 离对称轴最近的正整数n使得Sn取得最大值。
典例分析
例1、{an}是等差数列，a2 10, S5 40,求 Sn 的最大值。 方法一
Q S5 5a3 40,a3 8，又Q a2 10,d 2 an a2 (n 2)d 10 (n 2)(2) 2n 14
an 0 an1
6
m 2
6.5, 所以{an}前六项和最大。
谢谢
等差数列前n项和的最值问题
问题类型
设{an}是等差数列，公差为d.
1、a1 0, d 0 2、a1 0, d 0 3、a1 0, d 0 4、a1 0, d 0
S1为Sn的最小值
S1为Sn的最大值
S
有最大值
n
S
有最小值
n
等差数列前n项和的最值求解方法
等差数列前n项和的最值求解方法例1设等差数列｛a n｝的前n项和为S n ,已知a3=12, s,2>0, S13 0 ,(1)求公差d的取值范围；(2)指出S2,…，&2中哪一个值最大，并说明理由.解析(1)由a3=12,得：a1+2d=12，即a1=12-2d,, 一12*11 ♦一一24由S12>0,得：12&+ ---------d 0 ,所以d>———,2 7, 一一13*12 . _ ~ .由s13 0,得：13 a l+ ------d 0,所以d<-3,2因此，d的取值范围为(-24 ,-3 ).7(2)解法一：a n a1 (n 1)d=12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d由(1)知: 一13所以，—2 24<d<-3,7123—7,d令a n 0,得：n<3- 12,d一 * ...... .................... .又n N，故由等差数列的单调性可知：当n 6时，a n 0；当n>6时，a n 0 ,因此，s6最大.解法二：由题意可得：S n=n a1 + n(n 1) d =n(12-2d)+22n nd 25(12 2d)n 显然d 0, &是关于自变量n的二次函数,由(1)知：d<0,二次函数的图像抛物线的对称轴为, 「24由(1)知：——d 3 , n=5这2 d72 2_. 、* * 又因为n N, 故当n=6时，S n 最大, 即%最大.* 1 2 1例2已知等差数列｛a n ｝, a n N , S n = - a n 2)2.若b n -a n 30,求数列｛ b n ｝的前n 8 2 项和的最小值.分析：①由S n 与a n 的关系，可写出s n 1与a n 1之间的关系，两式作差，即可得出a n1与a n 间 的关系；②｛b n ｝的前n 项和最小，估计｛b n ｝的前n 项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最 小..一 1 c 1 C 解 a n1 = S n1-S n = - ( 1 1 2)2-1 ( [ 2)2, 8 8即 8a n 1= ( a n 1+2)2- ( a n +2)2, 所以(a n 1 -2 ) - ( a n +2)=0,即(a n 1 +a n) ( a n 1- a n -4) =0, *因为 a n N ,所以 a n 1 +a n 0,即 a n 1 - a n -4=0 , 所以 a n 1- a n =4,因此等差数列｛ a n ｝的公差大于0.12 a [ =& = 一 (a 2),斛信 a 1 二2.8 1所以 a n =4n-2,贝U b n —a n 30=2n-31.2即数列｛ b n ｝也为等差数列且公差为 2.2n 31 0 2931{2(n 1) 31 0，解得——n 一,E 、， . . * .一 5 所以6< — 2 12 13 不〈万,因为n N ,所以n=15,故｛>｝的前15项为负值，因此s]5最小，可知b1 =-29 , d=2,所以数列｛b n｝的前n项和的最小值为15( 29 2 15 31)sl5 = 2 =-225.小结：若｛a n｝是等差数列，求前n项和的最值时:a n 0①若a1 >0,d<0,当满足｛a n 1 0时，前n项和S n最大；a n 0② 若a1<0,d>0,当满足｛a n 1 0时，前n项和S n最小；除以上方法外，还可将｛a n｝的前n项和的最值问题看作S n关于n的二次函数问题，利用二次函数的图象或配方法求解，另外还可利用S n与n的函数关系，进行求导数求最值.。
等差数列前n项和的最值问题
当 ， 时，n为使 成立的最大的自然数时， 最大，这是因为：当 时， ，即 递增；已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0，Sn存在最大值，
若am使Sn取得最大值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最大
当 时， ，即 递减。类似地，当 ， 时，若am使Sn取得最小值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最小。
解：在等差数列{an}中，因为a1＋a12＞0，
所以a6＋a7＞0,又因为a1＜0且a6a7＜0，所以所以当Sn最小时的n为6
例题2：已知等差数列{an}的通项公式an＝3n－20，当n取何值时，Sn取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为：
－17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn取得最小值？
问题2：使数列Sn取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若am使Sn取得最小值，则am满足：
解法一：若am使Sn取得最小值，则am满足：
即
解得≤n≤，因为n∈N*，所以n＝6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
解法二：Sn＝n×（—17）＋×3＝n2－n，
其对称轴为n＝，所以离对称轴最近的整数为6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
练习：
1、已知等差数列 的通项为 ，则使得 最大的 的值是？
又 ，∴ 的前10项或前11项的和最小。
说明：此处虽说是用图像法，但不一定要画出图像，而是利用图像的性质去解题。
练习1：等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
速解： 抛物线对称轴方程为 ，则可设 ，
由
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值 例2、在等差数列{n a }中,4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
等差数列的前n项和Sn的最值问题
等差数列的前n项和S的最值问题数列是一种特殊的函数，因此高考题中常常会出现研究数列的单调性、最值等问题．其例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d<0，若S 10＝S 23，则数列{a n }的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．(2018·苏州第一学期期初调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)．若对任意的n ∈N *，总有S n ≤S k ，求正整数k 的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎨⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24，解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．例题答案：(1)a n ＝48－8n ；(2)S n ＝－4n 2＋44n ；(3)n ＝5或6时，S n 最大，S n ＝120. 解析：(1)因为a 3＝24，S 11＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝24，11a 1＋11×102d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝40，d ＝－8，所以a n ＝48－8n.(2)由(1)知，a 1＝40，a n ＝48－8n ，所以S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝（40＋48－8n ）n 2＝－4n 2＋44n.(3)解法1：由(2)有，S n ＝－4n 2＋44n ＝－4(n －112)2＋121，故当n ＝5或n ＝6时，S n 最大，且S n 的最大值为120.解法2 ：由a n ＝48－8n ，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧48－8n≥0，48－8（n ＋1）<0，得5<n≤6，又n∈N *，所以n ＝6，即该数列前5项都是正数，第6项为0，所以前5项和、前6项的和同为最大值，最大值为120.说明：等差数列的前n 项和S n 最值问题的研究有两种主要思路：其一，利用S n ＝an 2＋bn 具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，求得S n 取得最大值时n的条件，同样由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1>0，求得S n 取得最小值时n 的条件．变式联想变式1 答案：16. 解析：由S 9＝S 23，得a 10＋a 11＋…＋a 23＝0，即a 16＋a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 17<0，所以，数列{a n }的前16项的和最大．变式2答案：16或17.解析：由S 10＝S 23，得a 11＋a 12＋…＋a 23＝0，即a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 18<0，所以，数列{a n }的前16项或17的和最大．说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式1”中不含为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值只有一解，“变式2”中含有数值为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值有两解！请同学们仔细体会其中的差别．串讲激活串讲1答案：n ＝5. 解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝7a n ＋3，考虑到|T n |≥0，且由n ＋3＝8，得n ＝5，即满足|T n |取得最小值的正整数n ＝5.串讲2答案：n ＝5或6.解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，式子右边有6项，结合等差数列的对称性知，当下标n ＋(n ＋5)＝2×8±1，即就是n ＝5或6时，|T n |取得最小值．新题在线答案：－16. 解析：设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.所以S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.。
2020高三数学二轮复习 一题多解专题六 等差数列前项和的最值问题
一题多解专题六：等差数列前n 项和的最值问题求等差数列前n 项和n S 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 例、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析：选C.方法一：由113S S =得01154=+++a a a Λ，根据等差数列性质可得087=+a a ， 根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大.方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数 列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项 和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有 72113=+=n 时，n S 取得最大值. 针对性练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.①求n S ； ②这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值.解析：①∵102110a a a S ++=Λ，222122a a a S ++=Λ，又2210S S =，∴0221211=++a a a Λ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列的前n项和的最值
②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此 时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由
an ≤0且an+1 ≥ 0求得.
练习:已知数列{an}的通项为 an=26-2n,要使此数列的前n项和 最大,则n的值为( C )
A.12 B.13 D.14
C.12或13
小结
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
aann1
0
0
得
n n
15 2 13 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
②当n为何值时，s
s22最大
n
最大，
求等差数列前n项的最大(小)的方法
方法1:由Sn
d 2
n2
(a1
d )n利用二次函 2
数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法2:利用an的符号
①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此 时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由 an≥0且an+1≤0求得.
令A
d 2
,B
a1
d 2
则 Sn=An2+Bn
Sn是关于n的二次式，常数项为 零。（d可以为零）
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
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一题多解专题六：等差数列前n 项和的最值问题 求等差数列前n 项和n S 最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求 二次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法：
①0,01<>d a 时，满足⎩⎨
⎧≤≥+0
1n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ；
②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+00
1
n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S .
例、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解析：选C.方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ， 根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.
方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故 n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数 列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项 和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有 72
11
3=+=n 时，n S 取得最大值. 针对性练习：
1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =. ①求n S ； ②这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：①∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =，
∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d
∴21322
)
1(n n d n n na S n -=-+
=。
②方法一：由①中可知256)16(3222+--=-=n n n S n ， ∴当n ＝16时，n S 有最大值，n S 的最大值是256. 方法二：由1--=n n n S S a ，可得332+-=n a n . 由0332≥+-=n a n a ，得233≤
n ；由03121≤+-=+n a n ,得2
31≥n n ； 又n 为正整数，所以当n=16时，n S 有最大值256. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围.(2)求{a n }前n 项和S n 最大时n 的值.
解析：(1)∵S 12>0,S 13<0,∴111
12a 66d 0,
13a 78d 0,a 2d 12.
+>⎧⎪
+<⎨⎪+=⎩ ∴-247＜d<-3. (2)由()
11313713a a S 13a 0,2
+=
=<知a 7<0, S 12=6(a 1+a 12)=6(a 6+a 7)>0,知a 6>0, 又∵d ＜0,∴n ≤6时，a n >0,n ≥7时，a n <0, ∴S 6最大，即n=6. 3.已知数列{a n }是等差数列，且a 2=-1，a 5=5.
(1)求{a n }的通项a n . (2)求{a n }前n 项和S n 的最小值.
解析：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，11a d 1,
a 4d 5+=-⎧⎨+=⎩，解得a 1=-3，d=2.
所以a n =a 1+(n-1)d=2n-5. (2)S n =()()2
21n n 1na d n 4n n 242
-+
=-=--. 所以n=2时，S n 取到最小值-4.。