抽屉原理基本介绍
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基本介绍
应用抽屉原理解题
抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1:同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。
解:将一年中的365天视为365个抽屉,400个人看作400个物体,由抽屉原理1可以得知:至少有2人的生日相同. 400/365=1…35,1+1=2又如:我们从街上随便找来13人,就可断定他们中至少有两个人属相相同。
“从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套。”
“从数1,2,...,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同。”
例2:幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理.
解:从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种:(兔、兔),(兔、熊猫),(兔、长颈鹿),(熊猫、熊猫),(熊猫、长颈鹿),(长颈鹿、长颈鹿)。把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么根据原理1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同.
上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题,不错,这正是抽屉原则的主要作用.(需要说明的是,运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”,却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.
抽屉原理虽然简单,但应用却很广泛,它可以解答很多有趣的问题,其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。
制造抽屉是运用原则的一大关键
例1 从2、4、6、…、30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个数之和是34。
分析与解答我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉:
此抽屉特点:凡是抽屉中有两个数的,都具有一个共同的特点:这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数,由抽屉原理(因为抽屉只有8个),必有两个数可以在同一个抽屉中(符合上述特点).由制造的抽屉的特点,这两个数的和是34。
例2:从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中,至少任选几个数,就可以保证其中一定包括两个数,它们的差是12。
分析与解答在这20个自然数中,差是12的有以下8对:{20,8},{19,7},{18,6},{17,5},{16,4},{15,3},{14,2},{13,1}。
另外还有4个不能配对的数{9},{10},{11},{12},共制成12个抽屉(每个括号看成一个抽屉).只要有两个数取自同一个抽屉,那么它们的差就等于12,根据抽屉原理至少任选13个数,即可办到(取12个数:从12个抽屉中各取一个数(例如取1,2,3,…,12),那么这12个数中任意两个数的差必不等于12)。
例3:从1到20这20个数中,任取11个数,必有两个数,其中一个数是另一个数的倍数。
分析与解答根据题目所要求证的问题,应考虑按照同一抽屉中,任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组,看成10个抽屉(显然,它们具有上述性质):
{1,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},{13},{15},{17},{19}。
从这10个数组的20个数中任取11个数,根据抽屉原理,至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,所以这两个数中,其中一个数一定是另一个数的倍数。
例4:某校校庆,来了n位校友,彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况,在这n 个校友中至少有两人握手的次数一样多。
分析与解答共有n位校友,每个人握手的次数最少是0次,即这个人与其他校友都没有握过手;最多有n-1次,即这个人与每位到会校友都握了手.然而,如果有一个校友握手的次数是0次,那么握手次数最多的不能多于n-2次;如果有一个校友握手的次数是n-1次,那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2,还是后一种状态1、2、3、…、n-1,握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉,到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”,根据抽屉原理,至少有两个人属于同一抽屉,则这两个人握手的次数一样多。
在有些问题中,“抽屉”和“物体”不是很明显的,需要精心制造“抽屉”和“物体”.如何制造“抽屉”和“物体”可能是很困难的,一方面需要认真地分析题目中的条件和问题,另一方面需要多做一些题积累经验。
例5:15个网球分成数量不同的4堆,数量最多的一堆至少有多少个球?
分析与解答此题实际是求出15可分拆多少种4个互不相同的整数之和,而15=1+2+3+9=1+2+4+8=1+2+5+7=1+3+4+7=1+3+5+6=2+3+4+6,所以最多一堆的球数可能是9、8、7、6,其中至少有6个。[1]
整除问题
把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类,叫做m的剩余类或同余类,用[0],[1],[2],…,[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数,例如[1]中含有1,m+1,2m+1,3m+1,….在研究与整除有关的问题时,常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理,可以证明:任意n+1个自然数中,总有两个自然数的差是n的倍数。(证明:n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等(抽屉原理),不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b,则m-n整除n)。
例1 证明:任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数。
分析与解答在与整除有关的问题中有这样的性质,如果两个整数a、b,它们除以自然数m的余数相同,那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质,本题只需证明这8个自然数中有2个自然数,它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数,根据抽屉原理,必有两个数在同一个抽屉中,也就是它们除以7的余数相同,因此这两个数的差一定是7的倍数。
例2:对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除.
证明∵任何数除以3所得余数只能是0,1,2,不妨分别构造为3个抽屉:
[0],[1],[2]
①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数),我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5),其和(3+4+5=12)必能被3整除.
②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中,则其中必有一个抽屉至少包含有3个余数(抽屉原理),即一个抽屉包含1个余数,另一个包含4个,或者一个包含2个余数另一个抽屉包含3个。从余数多的那个抽屉里选出三个余数,其代数和或为0,或为3,或为6,均为3的倍数,故所对应的3个自然数之和是3的倍数.
③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中,很显然,从此抽屉中任意取出三个余数,同情况②,余数之和可被3整除,故其对应的3个自然数之和能被3整除.
例2′:对于任意的11个整数,证明其中一定有6个数,它们的和能被6整除.
证明:设这11个整数为:a1,a2,a3……a11 又6=2×3
①先考虑被3整除的情形
由例2知,在11个任意整数中,必存在:
3|a1+a2+a3,不妨设a1+a2+a3=b1;
同理,剩下的8个任意整数中,由例2,必存在:3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2;